然而，严格来说，TLS实际上包含了不同的、虽然密切相关的估算程序。第一个是由Koenker和Basset（1978）提出的，参见Ruppert和d C arroll（1980），它构成了一个两步M估计：第一步，通过通常的M估计确定α和β量。然后，忽略前一个值以下和后一个值以上的所有值，并使用普通最小二乘法计算RVAα、β。还可以使用顺序统计信息来表示此过程。使用第7.1小节的符号，arg minz给出了RVaRα，β的M估计量∈RnP[nβ]i=[nα]（z-Y（i））。这里，Y（1）≤ ··· ≤ Y（n）是样本Y的顺序统计量，Yn。虽然该程序似乎适用于过于简单的回归模型（忽略回归器XT，仅对截距部分建模），但不清楚如何在更有趣的回归环境中使用它，其中人们实际上对给定XT的Yt的条件分布而不是Yt的无条件分布感兴趣。此外，由于此应用程序会选择整个样本Y的顺序统计信息，为了隐式估计α和β分位数，需要这些分位数在时间上保持不变。因此，即使RVaRα、β在时间上是常数，异方差（在时间上）也会导致问题。第二种方法是描述的，例如inRousseeuw（1984，1985），它依赖于平方残差的有序统计。这似乎只适用于α-修剪平均值。为了更精确，再次使用上面的符号fr-om，设m:Rd×Θ→ R为一维参数模型。同样，我们假设存在唯一正确指定的模型参数θ∈ Θ使得rVarα，1-α（FYt | Xt）=所有t的m（Xt，θ）P-a.s∈ N、 （7.2）对于每个θ∈ Θ，确定残差εt（θ）：=Yt- m（Xt，θ）和绝对残差rt（θ）：=|εt（θ）|。

确定绝对残差0的顺序统计≤ r（1）（θ）≤ ··· ≤r（n）（θ）对于大小为n的样本。然后通过bθn=arg minθ定义M估计量∈Θn[n（1-2α）]Xi=1r（i）（θ）。虽然该程序似乎与普通最小二乘法程序非常相似，具有各自的计算优势，但人们应该记得，在微调时，th主要取决于ds对参数θ的选择。这意味着，即使模型在参数θ上不线性，通常也会得到一个具有多个局部极小值的非凸目标函数。有趣的是，仅对模量较大的残差进行修剪。如果误差分布是对称的，则此过程会在i.i.d.设置中产生θ的一致估计量。如果想要放松对误差分布的假设，并对（7.2）中一般0<α<β<1的RVaRα、β建模感兴趣，可以提出以下特别程序：考虑残差ε（1）（θ）的顺序统计≤ ··· ≤ ε（n）（θ）。然后通过bθn=arg minθ确定M估计量∈Θn[nβ]Xi=[nα]|ε（i）（θ）|。当处理β6=1时，该程序考虑了修剪的不对称性质-α或β=1-α和不对称误差分布。然而，如上所述，如果给定的YtXt的条件VaRα和VaRβ依赖于Xt，则此过程可能导致误差d分布存在异方差或一般非平稳性的问题。我们想指出，以对α-分位数和β-分位数进行额外建模为代价，使用我们在第7.1小节中描述的严格一致的三分位数评分函数（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）的程序不依赖于usageof ord er统计，通常可以处理异方差。通过（7.1）只需要“平稳性”程度。

尤其是在金融数据的背景下，平稳性被认为是一个过于强大的假设；西达维斯（2016）。最后，我们想指出，TLS领域还有进一步的程序。对于姿态，Atkinson和C heng（1999）提出了一种自适应程序，其中微调参数是数据驱动的；参见alsoCerioli等人（2018年）。然而，如果有人对预先确定的修剪参数α和β感兴趣，我们看不到明显的方法如何使用这些程序。7.3与Huber损失的联系和Huber跳过的意义在他的开创性论文中，Huber（1964）介绍了著名的Huber损失S（x，y）=ρ（x-y） 式中，ρ（t）=t对于| t |≤ k和ρ（t）=k | t |-kfor | t |>k.Huber认为“相应的[M-]估计量与获胜有关”（Huber，1964年，第79页）。可能是由于其缺乏凸性，引起较少关注的是他在论文的同一页上考虑的另一个损失函数，定义为asS（x，y）=ρ（x- y） 对于ρ（t）=t对于| t |≤ k和ρ（t）=kfor | t |>k。他写道：“相应的[M-]估计量是一个修剪平均值”（ibidem）。可以使用Sk，k（x，y）=ρk，k（x）来定义后一种损失函数的非对称版本- y） ρk，k（t）=kt<ktk≤ t<kkt≥ k、 假设F与密度F是连续的，为了简化论证，预期分数Sk，k（x，F）的最小值对应的一阶条件等于x=F（k- x）- F（k- x） Zk公司-xk公司-xyf（y）dy.现在，根据toRousseeuw（1984，第876页）的建议，考虑该损失，k=VaRβ（F）和k=VaRα（F），来源于一些预测。然而，可以看出，一阶条件通常不是由RVaRα、β（F）来解决的。

同样，如果对修剪平均值或更一般的RVaR的M估计感兴趣，则应使用（3.3）中介绍的评分函数。致谢我们感谢蒂莫·迪米特里亚迪斯（Timo Dimitriadis）和安东尼·C·阿特金森（Anthony C.Atkinson）就这一主题进行了深入的讨论，并感谢鲁杜·王（Ruodu Wang）、拉斐尔·弗隆吉罗（Rafael Frongillo）、蒂尔曼·格尼廷（Tilmann Gneiting）和贾纳·拉维诺夫（JanaHlavinov\'a）提出了有益的建议。托拜厄斯·菲斯勒（TobiasFissler）感谢伦敦帝国理工学院（ImperialCollege London）数学系资助他的奖学金，在此期间，本论文的大部分工作都完成了。Johanna Ziegel感谢Sw iss国家科学基金会的财政支持。附录我们提供了第3节中使用的假设列表。有关其解释和含义的更多详细信息，请参见Fissler和Ziegel（2016），他们最初是在那里介绍的。假设（V1）。F是凸的，并且对于每个x∈ int（A）有F，Fk+1∈ F如0所示∈ 内景卷积和多项式相乘\'V（x，F），(R)V（x，Fk+1）.如果V:A×R，则注释th→ Rkis是T:F的严格F识别函数→ A其中满足假设（V1），然后对于每个x∈ int（A）这是一个F∈ F使得t（F）=x。假设（V3）。映射V（·，F）对于每个F都是连续不同的∈ F、 假设（V4）。假设（V3）成立。适用于所有r∈ {1，…，k}和allt∈ 内景（A）∩ T（F）有F，F∈ T-1（{t}）这样l'Vl（t，F）=l’Vl（t，F）l∈ {1，…，k}\\{r}，r'Vr（t，F）6=r'Vr（t，F）。假设（F1）。永远的y y∈ R存在序列（Fn）n∈Nof分配fn∈ 弱收敛于Dirac测度δysuch的F，对于所有n.假设（VS1），fn的支持度包含在紧集K中。假设setC的补码：={（x，y）∈ A×R | V（x，·）和S（x，·）在点y}具有（k+d）-维勒贝格测度零处连续。假设（S2）。

对于每个F∈ F、 函数S（·，F）是连续可微的，梯度是局部Lipschitz连续的。此外，在t=t（F）时，S（·，F）可连续两次区分∈ int（A）。参考C。Acerbi和B.Sz\'ekly。反向测试预期的Shor tfall。《风险杂志》，2014年。C、 Acerbi和B.Sz\'ekly。可回溯测试统计的一般属性。预印本，2017年。统一资源定位地址https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2905109.P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。数学《金融》，1999年9:203–228。A、 C.Atkinson和T.-C.Cheng。使用forwardsearch计算最小修剪平方回归。统计学家。计算。，9(4):251–263, 1999.国际清算银行。咨询文件：《tradingbook基本审查：未决问题》。2014年，巴伦德斯。对尾部和四分位期望值进行有效加权估计。预印本，2020年。统一资源定位地址https://dx.doi.org/10.2139/ssrn.2937665.J.R.Br e hmer。启发性及其在风险管理中的应用。曼海姆大学硕士论文，2017年。统一资源定位地址http://arxiv.org/abs/1707.09604.A.Cerioli、M.Riani、A.C.Atkinson和A.Corbellini。监测的力量：如何充分利用受污染的多变量样本。统计方法应用。，27(4):559 –587, 2018.R、 Cont、R.Deguest和G.Scandolo。风险度量过程的稳健性和敏感性分析。数量。《金融》，10:593–62010年6月6日。M、 H.A.戴维斯。内部风险度量评估的验证。统计风险模型。，33 (3–4):67–93,2016.F、 迪堡和马里亚诺。比较预测准确性。J、 公共汽车。经济学。统计员。，13 :253–263, 1995.T、 Dimitriadis、T.Fissler和J.F.Ziegel。效率差距。预印本，2020年。统一资源定位地址https://arxiv.org/abs/2010.14146.W.Ehm、T.Gneiting、A.Jordan和F.Kr¨uger。

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