评估风险价值范围预测

2022-6-11 16:20:55

在RiskFo重铸时评估范围值*Tobias Fissler+Johanna F.Ziegel2021年9月30日摘要。关于在实践中选择何种量化风险度量的争论主要集中在风险价值（VaR）和预期短缺（ES）之间的二分法上，后者是尾部预期。风险价值区间（RVA）是这两个重要风险度量之间的一个自然插值，它在后者的敏感性和前者的稳健性之间构成一个权衡，将其自身转化为一个实际相关的风险度量。因此，需要对RVaR预测进行统计验证，并对不同RVaR模型的执行情况进行比较和排序，这些模型包括在“财务回溯测试”一词下的任务。预测性能最好根据严格一致的损失或评分函数进行评估和比较。也就是说，通过正确的RVA预测，函数的期望值最小化。与ES非常相似，最近已经证明，RVaR不允许严格一致的评分函数，即它是不可导出的。为了缓解这一负面结果，本文表明，在不同水平上具有两个VaR分量的RVaR的完整性是可以得出的。我们为这个三元组描述了严格一致的评分函数类。本文还研究了这些评分函数的其他属性，包括墨菲图的诊断工具。

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2022-6-11 16:20:58

通过仿真研究对结果进行了说明，并与稳健回归中修剪最小二乘法的经典方法进行了比较。关键词：回溯测试；一致性启发性；应为S短球；分位数间期望；点预测；稳健性；评分功能；修剪平均值；风险价值；Winsorized Meansc2020等级：62C99；62G35；62P05；91G70*本文件的早期版本以风险范围值的可引出性为名分发。+维也纳经济和商业大学金融、会计和统计系，Welthandelsplatz 1，1020 Vienna，Austria，电子邮件：tobias。fissler@wu.ac.at伯尔尼大学，数学与统计系，数理统计与实际科学研究所，阿尔卑涅格斯特拉斯22号，3012伯尔尼，瑞士，电子邮件：johanna。ziegel@stat.unibe.ch1简介在量化风险管理领域，过去一到二十年来，关于哪种货币风险度量（Artzner等人，1999）是（监管）实践中最好的，存在着激烈的争论。争论主要集中在风险价值（VaRβ）与预期短缺（ESβ）之间的二分法，另一方面，在一定的概率水平β下∈ （0，1）（定义见第2节）。在经典统计学中，VaRβ（基本上是一个分位数）因其稳健性而备受推崇，而ESβ（尾部期望）则因其敏感性和满足一致风险度量公理的事实而被视为具有吸引力（Artzner et al.，1999），这反映了作为中心性度量的中间值和平均值之间的历史较量。我们建议读者参考Embrechts et al.（2014）和Emmer et al.（2015）进行全面的学术讨论，并参考国际清算银行（2014）对银行业的监管观点。Cont等人。

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能者818

2022-6-11 16:21:02

（2010）考虑了HAMPEL意义下风险度量估计的统计稳健性问题（1971）。他们表明，风险度量不能既可靠又连贯。作为一种折衷，他们提出了风险度量“范围值atRisk”，RVaRα，β在概率水平0<α<β<1时。定义为γ介于α和β之间的所有变量γ的平均值（定义见第2节）。作为极限情况，我们得到了RVaRβ，β=VaRβ和RVaR0，β=ESβ，这表示RVaRα，β是VaRβ和ESβ的自然插值。根据分解点对其稳健性进行量化，并遵循Uber和Ronchetti（2009，第59页）提供的参数，RVaRα，β的分解点为min{α，1-β} ，将其置于绝对VaRβ之间（临界点为min{β，1-β} ）和完全非稳健的ESβ（击穿点0）。这意味着它是一个robus t，因此不是一致的风险度量，除非它退化为RVaR0，β=ESβ（或如果0≤ α < β = 1). 此外，RVA属于畸变风险度量的广泛类别（Kusuoka，2001）。关于在风险度量方面对稳健性的进一步贡献，我们参考了读者toKr¨atschmer et al.（2012、2014）、Kou et al.（2013）、Embrechts et al.（2015）和Z¨ahle（2016）。自最近的articleCont等人（2010年）发表以来，RVA在风险管理文献中得到了越来越多的关注——参见Embrechts等人（2018a，b）的广泛研究——以及在计量经济学中（Barendse，2020年），其中RVA有时具有替代命名的数量间扩展。对于对称情况β=1- α>1/2，RVaRα，1-在经典统计学中，α在α-修剪均值项下是已知的，它是均值和中位数作为中心性度量的替代和插值；参见Lugosi和Mendelson（2019），了解最近的研究和修剪平均数的多元扩展。

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2022-6-11 16:21:05

它与α-温氏平均值密切相关，见（2.4）。如何评估点预测xt对统计函数T的预测性能，例如利息量yt（有条件）分布的平均值、中值或风险度量？对于一些得分或损失函数S，通常根据平均实现得分Npnt=1S（xt，yt）来衡量，使用的方向越小越好。因此，T（F）=arg minxRS（x，y）dF（y）中的损失函数S应与T严格一致：从长远来看，正确的预测是值得尊重和鼓励的。Eg、，平方损失S（x，y）=（x- y）平均值一致，绝对损失S（x，y）=x- y |与中值一致。如果功能性药物的得分严格一致，则称之为可诱导（Osb和d，1985；Lambert等人，2008；Gneiting，2011）。通过定义，可引出函数允许M估计，并在回归框架中具有自然估计范式（Dimitriadis et al.，2020，Section2），例如分位数回归（Koenker and Basset，1978；Koenker，2005）或预期回归（Newey and Powell，1987）。可激发性对于有意义的预测评估至关重要（Engelberg等人，2009；Murphy和Daan，1985；Gneiting，2011）。在概率预测与分布预测ft或密度预测ft的情况下，（严格）一致的评分函数通常被称为（严格）适当的规则，如对数评分S（f，y）=-日志f（y）（片麻岩和漂流，2007年）。在定量金融领域，尤其是在关于哪种风险衡量方法是最佳实践的辩论中，可激发性获得了相当大的关注（Emmer et al.，2015；Ziegel，2016；Davis，2016）。特别是，回溯测试中的可启发性的作用一直备受争议（Gneiting，2011；Acerbi和Sz\'ekly，2014，2017）。

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kedemingshi

2022-6-11 16:21:08

已经明确，可诱导性是比较回溯测试的核心（Fissler等人，2016；Nolde和Ziegel，2017）。并非所有的泛函都是可引出的。Osband（1985）表明，可导函数必然具有凸水平集（CxLS）：如果两个分布F，F的T（F）=T（F）=T，则T（Fλ）=T，其中Fλ=（1-λ） F+λF，λ∈ (0, 1). 方差和ES通常没有CxLS（Weber，2006；Gneiting，2011），因此无法得出。揭示原理（Osband，1985；Gneiting，2011）断言，任何无合理泛函的双射都是可引出的。这意味着，这对（平均值、方差）是前两个时刻的一种投射，尽管方差不可能被激发出来，但它是可以被激发出来的。类似地，Fissler和Ziegel（2016）表明，这对（VaRβ，ESβ）是可引出的，其结构差异是揭示原则在这种情况下不适用的。这就产生了一个更普遍的结论，即最低预期分数及其最小值总是可以共同得出的（Brehmer，2017；Frongillo和Kash，2020）。最近，Wang和Wei（2020，定理5.3）表明，RVaRα，β，0<α<β<1，与ESα类似，没有CxLS特性，这排除了其可诱导性。相反，他们观察到，识别变量α，β=βESβ-αESα/(β - α），0<α<β<1，（1.1）并且该对的CxLS特性（VaRα，ESα）暗示了三联体的CxLS特性（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）（Wang和Wei，2020，示例4.6），这导致了这个三联体是否可引出的问题。调用（VaRα，ESα）的可诱导性、在（1.1）处的一致性和启示原则，确定了四倍体（VaRα，VaRβ，ESα，RVaRα，β）和（VaRα，VaRβ，ESβ，RVaRα，β）的可诱导性。

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2022-6-11 16:21:10

该方法已在巴伦德东南部（2020年）的回归研究中使用。进一步，我们证明了在弱正则性条件下，三重态（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）是可导出的（定理3.2）。实际上，这为有意义的预测性能比较，尤其是对这三元组的比较回溯测试，以及回归框架开辟了道路。理论上，这表明RVaRα、β的诱导复杂性（Lambert et al.，2008；Frongillo and Kash，2020）或诱导ord er（Fissler and Ziegel，2016）最多为3。此外，除了VaR预测之外，只要求VaR预测尤其有利于额外要求ES预测。对于任何分布F，行程let（VaRα（F），VaRβ（F），RVaRα，β（F）），0<α<β<1，存在一个d是有限的，而ESα（F）和ESβ（F）仅在分布F的（左）尾可积时存在。由于RVaRα、β通常用于鲁棒性目的，以防止OUTLIERS和重尾性，这一优势很重要。我们想指出本文中提供的可激发性结果F（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）与Fissler和Ziegel（2016）中的相关结果g（VaRα，ESα）以及Frongillo和Kash（2020）和Brehmer（2017）更一般的结果之间的结构差异。虽然ESα对应于VaRα严格一致的预期得分最小值的负性，但事实证明，RVaRα、β可以表示为VaRα和VaRβ的预期严格一致得分函数的最小值的差异（命题3.1）。因此，三重态（VaRα、VaRβ、RVaRα、β）的严格一致性评分函数类比（VaRα、ESα）的更不灵活；详见备注3.7。

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2022-6-11 16:21:13

特别是，存在本质上无平移不变或正齐次的评分函数，该评分函数与（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）严格一致；参见第4节。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了有关RVA、评分函数和可引出性的相关符号和定义。第3节介绍了确定三重态（VaRα、VaRβ、VaRα、β）（定理3.2和3.5）可引出性的主要结果和相关发现。第4节表明，（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）存在基本一致的评分函数，这些函数是正齐次的或平移不变的。在第5节中，我们按照ofEhm et al.（2016）的精神，建立了严格一致的评分函数的混合表示。该结果可以根据墨菲图同时比较所有一致评分函数的预测。我们证明了我们的结果的适用性，并在第6节所述的模拟研究中比较了不同评分函数的辨别能力。本文在第7节中讨论了我们在M估计背景下的结果，并将其与统计文献中的其他建议进行了比较，这些建议采用了修剪最小二乘法（Koenker和Basset，1978；Ruppert和Carroll，1980；Rousseeuw，1984）。2符号和定义2.1风险范围值的定义关于风险度量的文献中有不同的符号约定。在本文中，我们使用以下约定：如果一个随机变量Y对损失和收益进行建模，则Y的正值表示收益，Y的负值表示损失。此外，如果ρ是arisk测度，我们假设ρ（Y）∈ R对应于一个人可以提取的最大金额，以便位置Y- ρ（Y）仍然可以接受。因此，ρ的负值对应于风险头寸。

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2022-6-11 16:21:16

在续集中，让Fbe表示R上的概率分布函数类。回忆一下α-分位数，α∈ F的[0，1]∈ F定义为集合qα（F）={x∈ R | F（x-) ≤ α ≤ F（x）}，其中F（x）-) := 限制↑xF（t）。定义2.1。风险价值F∈ 脂肪水平α∈ [0，1]定义为VaRα（F）=inf qα（F）。对于任何α∈ [0，1]我们介绍了F的以下子类：Fα=F∈ F | qα（F）={VaRα（F）}, F（α）=F∈ F | F（VaRα（F））=α. （2.1）定义2.2。风险范围值F∈ 脂肪水平0≤ α ≤ β ≤ 1定义为RVARα、β（F）=β - αZβαVaRγ（F）dγ，如果α<β，VaRα（F），如果α=β。RVA的定义意味着th atVaRα（F）≤ RVaRα，β（F）≤ VaRβ（F）。（2.2）对于0<α≤ β<1和F∈ 得到（i）RVaRα，β（F）∈ R（ii）RVaR0，β（F）∈R∪ {-∞} 如果且仅当ifR-∞|y | dF（y）<∞; 和（iii）RVaRα，1（F）∈R∪ {∞} 只有当且仅当ifR∞|y | dF（y）<∞. RVaR0,1（F）仅存在于IFR-∞|y | dF（y）<∞ 奥尔∞|y|dF（y）<∞. 如果F有一个有限的第一时刻，则rVAR0,1（F）=Ry dF（y）与F的第一时刻一致。如果存在RVaRα，β（F），则认为RVaRα，β（F）=β- αZ（VaRα（F），VaRβ（F）]y dF（y）+VaRα（F）F（VaRα（F））- α- VaRβ（F）F（VaRβ（F））- β!,（2.3）使用常用惯例F(-∞) = 0，F(∞) = 1和0·∞ = 0 · (-∞) = 0、IfF∈ F（α）∩ F（β），则（2.3）第二行中的校正项s消失，屈服RVARα，β（F）=EF[Y 1{VaRα（F）<Y≤ VaRβ（F）}]/（β- α），它只是RVaR的另一个名称，即分位数间期望。定义2.3。预计短缺F∈ 脂肪水平α∈ （0，1）定义为ESα（F）=RVaR0，α（F）∈ R∪ {-∞}.因此，如果ESα（F）、ESβ（F）是有限的，则可以获得id实体（1.1）。如果Fhas为固定左尾（R-∞|y | dF（y）<∞) 然后可以使用（1.1）的右侧定义RVaRα、β（F）。

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2022-6-11 16:21:19

然而，根据我们在引言中的讨论，RVaRα、β（F）始终存在，并且对于0<α<β<1是有限的，即使（1.1）的右侧没有定义。有趣的是，Embrechts等人（2018b，定理2）确定RVA的th可以写为VaR和ES在适当水平上的inf卷积。这个结果相当于符号约定中的超卷积。还请注意，RVaRα、β的参数化与它们不同。对于α∈ （0，1/2），RVaRα，1-α对应于α-修剪平均值，并与α-Winsorized平均值Wα密切相关（Huber和Ronchetti，2009，第57-59页），通过Wα（F）：=（1- 2α）RVaRα，1-α（F）+αVaRα（F）+αVaR1-α（F），α∈ (0, 1/2). （2.4）2.2可引出性和评分函数利用Offsler和Ziegel（2016）以及Gneiting（2011）的决策理论框架，我们引入以下符号。让F Fbe一些泛型子类，以及 Rkbe是一个操作域。当我们考虑函数T:F时→ A、我们默认T（F）对于所有F都定义得很好∈ 并且是A的一个元素。T（F）对应于图像{T（F）∈ A | F∈ F} 。对于任意子集M Rkwe用int（M）表示M的最大开子集。此外，conv（M）表示集合M的凸包。我们说函数a:R→ 如果R是可测的且R | a（y）| dF（y），则R是F-可积的<∞ 对于所有F∈ F、类似地，函数g:a×R→ R称为F-可积ifg（x，·）：R→ 对于所有x，R是F-可积的∈ A、如果g是F-可积的，我们定义映射g:A×F→ R、 \'g（x，F）：=Rg（x，y）dF（y）。如果g:A×R→ R在其第一个参数中是充分光滑的，我们用mg（·，y）。定义2.4。A图S:A×R→ R是T:F的F一致性评分函数→ Aif它是F-可积的，如果是S（T（F），F）≤\'S（x，F）表示所有x∈ A、 F级∈ F

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2022-6-11 16:21:22

如果T是一致的，并且如果\'S（T（F），F）=\'S（x，F）意味着x=T（F），则T是严格一致的∈ A和所有F∈ F、 A函数T:F→ 如果A具有严格的F一致的得分函数，则A在F上是可引出的。定义2.5。两个评分函数S，eS:A×R→ 如果有a:R，那么R是等价的→ R和一些λ>0，使得所有（x，y）的es（x，y）=λS（x，y）+a（y）∈ A×R。如果另外A≡ 这个等价关系保持（严格）一致性：如果S对于T是（严格）F-一致的，如果a是F-可积的，那么es对于T也是（严格）F-一致的。与可引出性概念密切相关的是可识别性概念。定义2.6。A映射V:A×R→ Rkis是T:F的F识别函数→ Aif它是F-可积的，如果V（T（F），F）=0表示所有F∈ F、如果另外V（x，F）=0意味着x=T（F）表示所有x，则这是T的严格F-识别函数∈ A和所有F∈ F.它是一致的，如果\'S（T（F），F）=\'S（x，F）意味着x=T（F）表示所有x∈ A和d代表所有F∈ F、 A函数T:F→ 如果A具有严格一致的评分函数，则A是可引出的。A函数T:F→ 如果A具有严格的F-识别函数，则A可以在F上识别。与Neiting（2011）相反，我们只考虑点值泛函。关于集值泛函可导性的最新综合研究，我们参考了Fissler等人（2020）。为完整起见，我们列出了第3节中使用的一些假设，这些假设最初在附录中介绍了inFissler和Ziegel（2016）。3可引出性和可识别性结果Wang和Wei（2020，定理5.3）表明，对于0<α<β<1，RVaRα，β（以及对（VaRα，RVaRα，β）和（VaRβ，RVaRα，β））在FDI上没有CxLS，这是具有有界和离散支持的分布类。

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能者818

2022-6-11 16:21:25

因此，调用C x l对于可诱导性和可识别性来说是必要的，RVaRα、β以及成对（VaRα、RVaRα、β）和（VaRβ、RVaRα、β）在FDI上都是可诱导和可识别的。然而，我们的新贡献是，三联体（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）是可诱导和可识别的，受温和条件的影响。我们使用符号Sα（x，y）=（1{y≤ x}- α） x个- 1{y≤ x} y，andrecall，Sα对于VaRαifR是F一致的-∞|y|dF（y）<∞ 对于所有F∈ F、如果进一步F，则严格一致 Fα（片麻岩，2011）。提案3.1。对于0<α<β<1，映射V:R×R→ RV（x，x，x，y）=1{y≤ x}- α1{y≤ x}- βx+β-αSβ（x，y）- Sα（x，y）（3.1）是F（α）∩ F（β）-对于（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）的识别函数，它是严格的Fα∩ F（α）∩ Fβ∩ F（β）。证据证明是标准的，观察到“V（VaRα（F），VaRβ（F），x，F）=x- RVaRα，β（F），（3.2），由表示式（2.3）得出。下面的定理建立了一类丰富的（严格）一致的评分函数S:R×R→ R表示（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）。通过先验假设预测与某个立方体中的值有界[cmin，cmax]，-∞ ≤ cmin<cmax≤ ∞ （默认为[cmin，cmax]：=[cmin，cmax]∩如果cmin=-∞ 或cmax=∞), 这个班有七辆b级跑车。定理3.2。

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kedemingshi

2022-6-11 16:21:29

对于0<α<β<1，图S：[cmin，cmax]×R→ RS（x，x，x，y）=1{y≤ x}- αg（x）- 1{y≤ x} g（y）（3.3）+1{y≤ x}- βg（x）- 1{y≤ x} g（y）+φ′（x）x+β-αSβ（x，y）- Sα（x，y）- φ（x）+a（y），是（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）的F一致评分函数，如果（i）φ：[cmin，cmax]→ 对于所有x，R是次梯度φ′（ii）凸的∈ 【cmin，cmax】函数g1，x:【cmin，cmax】→ R、 x7级→ g（x）- xφ′（x）/（β-α），（3.4）G2，x：[cmin，cmax]→ R、 x7级→ g（x）+xφ′（x）/（β-α）（3.5）正在增加，以及（iii）y 7→ a（y）- 1{y≤ x} g（y）- 1{y≤ x} 对于所有x，x，g（y）是F-可积的∈[最小值，最大值]。如果φ是严格凸的，且（3.4）和（3.5）处的函数是严格凸的，则S是严格Fα∩ Fβ-与T一致。证据Let（x，x，x）∈ A、 F级∈ F和（t，t，t）：=t（F）。然后，s从G1开始，xis增大，[cmin，cmax]×R （x′，y）7→ 对于VaRα，S（x′，x，x，y）是F-一致的，如果G1，xis严格增加，则S（x′，x，y）是F-一致的。类似的注释适用于map[cmin，cmax]×R （x′，y）7→ S（t，x′，x，y）。因此，0≤\'S（x，x，x，F）-\'S（t，x，x，F）+\'S（t，x，x，F）-\'S（t，t，x，F）=\'S（x，x，x，F）-在严格一致性条件下，如果（x，x）6=（t，t），则具有严格不等式。最后，S（t，t，x，F）-\'S（t，t，t，F）=φ′（x）（x- t）- φ（x）+φ（t）≥ 0，（3.6），因为φ是凸的。如果φ是严格凸的，如果x6=t，则（3.6）中的不等式是严格凸的。备注3.3。如果定理3.2中的条件（iii）成立，并且如果φ是严格凸的，且G1、x和G2、x是严格增加的，那么（3.3）中给出的S在一般F的RVaR分量中仍然是严格F-一致的 F、这就是F∈ 法尔格minx∈A'S（x，F）=qα（F）×qβ（F）×{RVaRα，β（F）}。利用（2.4）和启示原则（Osband，1985；Gneiting，2011；Fissler，2017），定理3.2还为（VaRα，VaR1-α、 Wα），其中Wα是α-加权平均值。

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2022-6-11 16:21:34

以下命题有助于构建示例；参见第6节。提案3.4。设（3.3）形式为（严格）凸非恒常函数φ，且函数g，g使得（3.4）和（3.5）处的函数（严格）增加，且满足定理3.2的条件（iii）。然后，以下情况成立：（i）φ的次梯度φ′必然有界，甘加的单侧导数从下方必然有界。（ii）S与形式（3.3）的评分函数▄S与▄φ′以β为界的（严格）凸函数▄φsuch强等价- α = -infx公司∈[cmin，cmax]~φ′（x）=supx∈[cmin，cmax]~φ′（x），并严格考虑到其单侧导数从下方以1为界，并且（3.4）和（3.5）处的函数（严格）增加，定理3.2的条件（iii）满足证明。（i）该证明类似于推论5.5 inFissler和Ziegel（2016）：条件（ii）意味着对于任何x，x′，x，x′，x∈ [cmin，cmax]对于x<x′和x<x′，它认为- ∞ < -g（x′）- g（x）x′- x个≤φ′（x）β-α≤g（x′）- g（x）x′- x<∞. （3.7）因此，φ′是有界的，并且gis的单侧导数从下方supxφ′（x）/（β）有界-α）而gis的单侧导数从belowby开始-infxφ′（x）/（β- α).（ii）对于任何c∈ R、如果我们用bφ替换φ：x 7→ φ（x）+cx，Gw，带bg:x 7→ g（x）+cx/（β）- α），和带bg的Gw:x 7→ g（x）- cx/（β）- α）在S的公式（3.3）中，S不变。Alsobφ（严格）凸当且仅当φ（严格）凸。此外，定理3.2的条件（ii）和（iii）适用于φ，g，gifand，仅当它们适用于bφ，bg和bg时。根据命题（i）部分，φ′有界。因此，我们可以在不丧失一般性的情况下假设-infx公司∈[cmin，cmax]φ′（x）=supx∈[cmin，cmaxφ′（x）=λ>0，sin ceφ是非常数。

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2022-6-11 16:21:38

然后参数后面是设置▄S=λβ-αS。调用不等式（2.2），三元组（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）只能在域A中获得值：={（x，x，x）∈ R | x≤ x个≤ x} 。因此，我们称之为最大可感作用域。在A之外发布T预测，因此违反（2.2）将是不合理的，与负方差预测相对应。尽管如此，表格（3.3）的评分函数允许对违反（2.2）的预测进行评估。为了（VaRα、VaRβ、RVaRα、β）获得（严格）一致的SCORINGFUNCTION的必要特征化结果，很快就会意识到[cmin、cmax]中存在灵活性，因为可以将分数设置为一致，并且仍然保持（严格）一致性。因此，一个必要的特征化结果只在域a上起作用并不奇怪 A、这种必要描述的关键是源自奥斯本（1985）的著名论文《奥斯本原理》（Fissler and Ziegel，2016，定理3.2）。由于它利用了预期分数最小化的一阶条件，因此结果的主要假设包括预期分数的平滑性假设以及分布F的非劣化类的丰富度假设；有关详细的技术公式，请参见附录dix。有关这些条件的讨论，请参见Fissler和Ziegel（2016）。我们介绍了Fcont类 Fof分布持续不同，且具有严格的正导数/密度。（C learly Fcont Fγ∩ F（γ）表示任意γ∈ (0, 1).) 对于任何A R、我们用a′R表示rth分量上的投影：={xr∈ R|（z，z，z）∈ A、 zr=xr}，r∈ {1, 2, 3}. 对于任何x∈ A′和m∈ {1，2}，设A′m，x：={xm∈ R|（z，z，z）∈ A、 zm=xm，z=x}。定理3.5。让F Fcont，0<α<β<1，T=（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）：F→A. A、设V=（V，V，V）定义见（3.1）。

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可人4

2022-6-11 16:21:41

如果假设（V1）和（F1）保持不变和（V，V）满足假设（V4），则任何严格F一致的评分函数：A×R→ 满足假设（VS1）和（S2）的T的R几乎在任何地方都必须采用（3.3）的形式，其中函数Gr，x:A′R，x→ R、 R∈ {1，2}，x∈ A′，in（3.4）和（3.5）严格递增，φ：A′→ R是严格凸的。证据首先注意，V满足F的假设（V3） Fcont公司。让F∈ 带导数F和let x的F∈ int（A）。然后得到'V（x，F）=x+β-αx（F（x）- β) - x（F（x）- α) -Zxxyf（y）dyV的偏导数如下所示：\'V（x，F）=F（x），\'V（x，F）=F（x），(R)V（x，F）=-（F（x）- α)/(β - α), (R)V（x，F）=（F（x）- β)/(β - α), V（x，F）=1，和r'V（x，F）和r的m'V（x，F）消失∈ {2，3}和m∈ {1, 3}. 应用Fissler和Ziegel（2016，定理3.2）得出连续可微函数hlm:int（A）的存在性→ R、 l，m∈ {1，2，3}，这样m'S（x，F）=Pi=1hmi（x）'Vi（x，F）（对于m）∈ {1, 2, 3}. 因为我们假设'S（·，F）对于任何F是两次连续可微的∈ F、二阶偏微分方程需要通勤。L et t=t（F）。然后\'S（t，F）=\'S（t，F）等于h（t）F（t）=h（t）F（t）。这需要保持f或所有f∈ F、假设（V4）与T的相关性相结合所暗示的密度变化得出h≡ h类≡ int（A）上为0。同样，评估\'S（x，F）=\'S（x，F）和\'S（x，F）=在x=t=t（F）时的S（x，F）产生h（t）=h（t）F（t），h（t）=h（t）F（t）。再次使用假设（V4）以及T的满射性，这意味着h≡ h类≡ h类≡ h类≡ 因此，我们剩下的是特征化hmmfor m∈ {1, 2, 3}. 注意，假设（V1）意味着对于任何x=（x，x，x）∈ int（A）有两个分布F，F∈ F使得（F（x）-α、 F（x）-β)和（F（x）-α、 F（x）-β)林很早就独立了。

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2022-6-11 16:21:45

那么，要求\'S（x，F）=h（x）（F（x）- β) = h（x）（F（x）- α) = \'S（x，F）表示所有x∈ int（A）和所有F∈ F意味着h类≡ h类≡ 0、从开始\'S（x，F）=\'S（x，F），表示高压（x，F）=h（x）+h（x）/（β-α)(R)V（x，F）。同样，假设（V1）意味着有F，F∈ F此类\'V（x，F），\'V（x，F）和\'V（x，F），\'V（x，F）是线性独立的。因此，我们得到h类≡ 0和h类≡ -h/（β）- α). 用同样的论证，从\'S（x，F）=\'S（x，F）可以显示h类≡ 0和h类≡h/（β）-α). 这意味着存在函数c：{（x，x）∈ R|（z，z，z）∈ int（A），x=z，x=z}→ R、 c：{（x，x）∈ R|（z，z，z）∈ int（A），x=z，x=z}→ R、 c：int（A）′型→ R、还有一些z∈ int（A）′，使得对于任何x=（x，x，x）∈ int（A）i认为h（x）=c（x），h（x）=cmin（x，x）=-β -αZxzc（z）dz+b（x），h（x）=cmax（x，x）=β- αZxzc（z）dz+b（x），其中br:int（A）′r→ R、 R∈ {1, 2}. 由于T的任何分量都是混合连续的f作用，并且由于f是凸的和T满射的，投影int（A）′是凸f A泛函T:f的开口→ 对于任何F，G，Rkis称为混合连续∈ 图[0，1] λ 7→ T（（1- λ） F+λG）是连续的。间隔因此，[最小值（z，x），最大值（z，x）] int（A）′。由于假设（V3）和（S2），Fissler和Ziegel（2016，定理3.2）暗示c，c，care局部Lipschitz Continue ou s。上述计算暗示预期分数的Hessian，\'S（x，F），在其最小值x=t=t（F）处，是一个对角线矩阵，其条目为c（t，t）F（t）、c（t，t）F（t）和c（t）。作为二阶条件\'S（t，F）必须为正S emi定义。再次调用T的满射性，这表明c，c，c≥ 0

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2022-6-11 16:21:48

更重要的是，调用预期分数的连续差异性以及S对于T是严格F一致的事实，对于任何F∈ F，t=t（F），对于任何v∈ R、 v 6=0时，存在ε>0，因此DDS（t+sv，F）对于所有S均为负值∈ (-ε、 0），s=0时为零，所有s为正∈ （ε，0）对于v=e=（0，0，1）, 这意味着对于任何F∈ 当t=t（F）时，存在ε>0的情况，即dds（t+se，F）=c（t+S）S对于所有S具有与S相同的符号∈ (-ε, ε). 因此，对于所有s，c（t+s）>0∈ (-ε, ε) \\ {0}. 使用T的满射性并调用Compactness参数，cattains在任何紧区间上仅多次得出0。回想一下，int（A）′是一个开放区间。因此，它可以用紧致区间的松弛序列来逼近。因此，c-1（{0}）最多可数，因此是Lebesgue null集。通过类似的参数，可以证明对于anyx∈ int（A）′，集合{x∈ R|（z，z，z）∈ int（A），x=z，x=z，c（x，x）=0}和{x∈ [x，∞) |（z，z，z）∈ int（A），x=z，x=z，c（x，x）=0}是最可数的，因此也是Lebesgue空集。最后，利用命题1 inFissler和Ziegel（2020）（认识到V是局部有界的）可以得出S几乎是形式（3.3）的每个地方。此外，对于m，φ′′=cand，g′m=bm，它几乎都成立∈ {1, 2}. 因此，φ是严格凸的，（3.4）和（3.5）处的函数是严格递增的。结合定理3.2和3.5，我们可以证明givenat（3.3）的评分函数本质上是作用域A={（x，x，x）上三元组（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）的唯一严格一致的评分函数∈ R | cmin≤ x个≤x个≤ x个≤ cmax}。推论3.6。设A={（x，x，x）∈ R | cmin≤ x个≤ x个≤ x个≤ cmax}对于某些-∞ ≤ cmin<cmax≤ ∞.

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能者818

2022-6-11 16:21:51

在定理3.5的条件下，a评分函数：a×R→ 对于T=（VaRα，VaRβ，RVaRα，β），0<α<β<1，当且仅当其几乎处处满足条件（i），（ii），（iii），形式（3.3）时，R是严格F一致的。此外，函数φ′：[cmin，cmax]→ R必然有界。证据为了证明这一点，必须证明∈ （3.4），（3.5）中定义的{1，2}，Gr，xd不仅在A′r，xf上增加，对于任何x∈ A′但在A′r上=[cmin，cmax]。对于x∈[cmin，cmax]=A′，我们有A′1，x=[cmin，x]和A′2，x=[x，cmax]。让x∈ A′和x，x′∈ A′，x<x′。如果x，x′∈ A′1，X没有什么可展示的。然而，如果x<x′，那么x，x′∈ A′1，x′。这意味着0≤ g（x′）- g（x）- （x′）- x） φ′（x′）/（β-α)≤ g（x′）- g（x）- （x′）- x） φ′（x）/（β-α）其中，第二个不等式源自φ′增大的事实。如果函数g1，x′严格递增，则第一个不等式是严格的。G2，x的参数与此类似。备注3.7。请注意定理3.2和3.5与Frongillo和Kash（2020，定理1）、Brehmer（2017，命题4.14），尤其是Fissler和Ziegel（2016，定理5.2和推论5.5）的结构差异。我们感兴趣的函数，RVaRα，β0<α<β<1，不是预期评分函数的最小值-或Bayes风险-而是两个评分函数的最小值的差异。实际上，虽然β（F）=-β′Sβ（VaRβ（F），F），我们有thattrvarα，β（F）=-β -α\'Sβ（VaRβ（F），F）-\'Sα（VaRα（F），F）.这种结构差异反映在（3.4）中的减号中。特别是，这意味着如果我们想确保S的严格一致性，函数和G不能完全消失，而定理5.2 inFissler和Ziegel（2016）中的相应函数很可能被设置为零。

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2022-6-11 16:21:54

Frongillo和Kash（2020，Theorem2）概括了我们的结果，并给出了任何银行风险线性组合的可引出性结果。第6.4节“平移不变性和同质性”给出并讨论了（3.3）处评分函数的函数g、g和φ选择的具体示例。在（3.3）处评分函数S的公式中出现了函数g、g和φ的许多问题。通常，可以通过对S施加第二理想标准来限制这些问题。在本节中，我们展示了标准标准（Patton（2011）；Nolde和Ziegel（2017）；Fissler和Ziegel（2019）的翻译方差和正h同质性等研究结果对RVA没有多大影响。如果有人对动作域形式为A={x的评分函数感兴趣∈R | cmin≤ x个≤ x个≤ x个≤ cmax}具有变换分数差异的附加属性，唯一合理的选择是cmin=-∞, cmax=∞, 在最大作用域A中。类似地，对于具有正同质得分差异的得分函数，作用域最有趣的选择是A=A，A=A+={（x，x，x）∈ R | 0≤ x个≤ x个≤ x} 或A=A-= {（x，x，x）∈ R | x≤x个≤ x个≤ 0}.命题4.1（翻译不变性）。在定理3.5的条件下，对于（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）在具有平移不变得分差异的情况下，没有严格F一致的得分函数。证据使用定理3.5，T的任何严格F-一致的评分函数必须是形式（3.3），其中φ是严格凸的，可二次微分，φ′是有界的。假设S具有平移不变分数差。这意味着函数ψ：R×A×A×R→ R、 ψ（z，x，x′，y）=S（x+z，x+z，x+z，y+z）- S（x′+z，x′+z，x′+z，y+z）- S（x，x，x，y）+S（x′，x′，x′，y）消失。

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2022-6-11 16:21:57

然后，对于所有x∈ A和所有z，y∈ R0=ddxψ（z，x，x′，y）=φ′′（x+z）- φ′′（x）x+β- αSβ（x，y）- Sα（x，y）.因此，φ′必须是常数。因为φ是凸的，这意味着φ′（x）=dx+d′，d>0。但由于A′=R，φ′是无界的，这是一个矛盾。命题4.1的证明紧随Fissler和Ziegel（2019）中命题4.10的证明。后一个断言带来积极结果的事实有以下背景：inFissler和Ziegel（2019，命题4.10）给出的（VaRα，ESα）的严格一致评分函数仅适用于非常受限的行动领域。为了保证此类行动领域的一致性，需要符合Fissler和Ziegel的spir it（2020年，提案2）中的定理3.2。然而，由于在一个相当有限的行动领域中，这样的积极结果实际上是不相关的，因此我们将其与此类结果分开，并仅陈述相关的消极结果。命题4.2（同质性）。在定理3.5的条件下，对于A∈ {A，A+，A-}具有正同质的得分差异。证据使用定理3.5，T的任何严格F-一致的评分函数必须是形式（3.3），其中φ是严格凸的，可二次微分，φ′是有界的。假设S具有一定程度的正同质得分差异B∈ R、这意味着函数ψ：（0，∞) ×A×A×R→ R、 ψ（c，x，x′，y）=S（cx，cy）- S（cx′，cy）- cbS（x，y）+cbS（x′，y）消失。因此，对于所有x∈ A、对于所有y∈ R和所有c>00=ddxψ（z，x，x′，y）=cφ′（cx）- cbφ′（x）x+β- αSβ（x，y）- Sα（x，y）.（4.1）为简洁起见，我们只考虑情况A=A-, 其他情况类似。方程（4.1）表示φ′\'(-x） =φ′\'(-1） xb公司-2对于任何x>0。

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2022-6-11 16:22:02

由于φ的严格凸性，我们需要φ′(-1) > 0. 然而，对于b≥ 1，infx>0φ′(-x） =-∞对于b≤ 1，supx>0φ′(-x） =∞. 因此，φ′不能有界。备注4.3。命题4.2的否定结果应与定理C.3 inNolde和Ziegel（2017）的结果进行比较，定理C.3 inNolde和Ziegel（2017）的特征是对齐次严格一致的s取芯函数（VaRβ，ESβ）。由于他们对VaR和ES使用的符号约定不同于本文中的符号约定，因此他们对动作域的选择×（0，∞) 对应于我们的选择A-. 当将RVaRα、β解释为风险度量时，使用我们的signconvention，RVaR的负值更有趣、更相关。检查命题4.2和命题3.4（i）的证明时，我们会得出以下观察结果：对于b≥ 1，Nolde和Ziegel（2017）指出了他们选择行动领域的不可能结果。事实上，在我们的上下文中出现的问题是φ′不是从下面有界的。在命题3.4中，函数G2，xat（3.5）增加的事实暗示了这一性质。正是这样一个条件，也存在于对的严格一致的评分函数（VaRβ，ESβ）；参见Fissler和Ziegel（2016）中的定理5.2。另一方面，b＜1项的并发症是由于φ′不是从上面来的。这种情况与G1，xat（3.4）的单调性有关。对于成对的严格一致的评分函数（VaRβ，ESβ），不存在这样的条件。

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2022-6-11 16:22:05

相应地，对于b<1的这一对，可以有均匀且严格一致的评分函数（Nolde和Ziegel，2017），而对于三联体（VaRα，VaRβ，RVaRα，β），这是不可能的。5评分函数的混合表示当预测与一致的评分函数进行比较和排序时，必须意识到在存在非嵌套信息集、模型错误和/或有限样本的情况下，排名可能取决于所选的一致评分函数（Patton，2020）。在（VaRα、VaRβ、RVaRα、β）的特定情况下，预测排名可能取决于函数g、g和φappearingin定理3.2的特定选择。解决这一问题的一个可能方法是，根据Ehm等人（2016）提出的墨菲图，同时将预测与所有一致的评分函数进行比较。Murphy图基于这样一个事实，即所有一致性评分函数的类别可以被描述为一类依赖于低维参数的元素评分函数的混合物。下面的理论为（3.3）中的评分函数提供了这样的混合表示。第6节说明了适用性。回想一下，Sα（x，y）=（1{y≤ x}- α） x个-1{y≤ x} y.定理5.1。设0<α<β<1。任何评分函数S：[cmin，cmax]×R→ 表（3.3）中的R带有：R→ 选择S（y，y，y，y）=0的suc h可以写入asS（x，x，x，y）=ZLv（x，y）dH（v）+ZLv（x，y）dH（v）+ZLv（x，x，x，y）dH（v），（5.1），其中lv（x，y）=（1{y≤ x}- α）（1{v≤ x}- 1{v≤ y} ）Lv（x，y）=（1{y≤ x}- β）（1{v≤ x}- 1{v≤ y} ）Lv（x，x，x，y）=β-α1{v>x}（Sα（x，y）+αy）+1{v≤ x} （Sβ（x，y）+βy）+ （1{v≤ x}- 1{v≤ y} ）v和H，Hare在[cmin，cmax]上的局部有限测度和他在[cmin，cmax]上的局部有限测度。

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2022-6-11 16:22:08

如果Hputs在所有开放区间上的质量为正，则S i严格一致。相反，对于具有上述限制的度量值H、H、hw的任何选择，我们得到了形式（3.3）的评分函数。证据递增函数h:[cmin，cmax]→ R总是可以写成ash（x）=Z（1{v≤ x}- 1{v≤ z} ）dH（v）+C，x∈ [cmin，cmax]，（5.2）对于一些局部有限测度H和一些z∈ [cmin，cmax]，C∈ R、函数his严格递增当且仅当H严格为正，即它将正质量置于所有开非空区间。此外，当且仅当h（A）时，h的单侧导数的下界为λ>0≥ λL（A）对于所有Borel集A [cmin，cmax]，其中Lis是R上的Lebesgue测度。使用命题3.4中的参数，显示分数S的估计值，使得λ（β-α) = -infxφ′（x）=supxφ′（x）和g，gare的单侧导数由λ>0从下界。然后，有一个度量Hon[cmin，cmax]，使得H（[cmin，cmax]）=2λ（β- α），这是严格正的当且仅当φ是严格凸的，这样对于all x∈ [cmin，cmax]，我们有φ′（x）=Z1{v≤ x} dH（v）- λ(β - α） =Z1{v≤ x}-dH（v）。利用Fubini定理，我们发现φ（x）- φ（y）=Z（1{w≤ x}- 1{w≤ y} ）φ′（w）dw=Z（1{w≤ x}- 1{w≤ y} ）Z1{v≤ w}-dH（v）dw=Z Z（1{w≤ x}- 1{w≤ y} ）1{v≤ w} dw dH（v）-Z（x- y） dH（v）=Z1{v≤ x} （十）- 五）- 1{v≤ y} （y）- 五）-（十）- y） dH（v）。使用（3.3）、（5.2）和命题3.4，可以直接检查形式（3.3）的焦距函数是否可以写成（5.1）中的形式，其中Lv替换为▄Lv（x，x，x，y）=1{v≤ x}-x+β- α（Sβ（x，y）- Sα（x，y））-|x个- v |+| y- v |，并且局部测量H，~Hon【cmin，cmax】，而不是H，Hsuch，Hi（A）≥λL（A），对于i=1，2，以及对于所有Borel集合A R、测量H。

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2022-6-11 16:22:11

我们可以计算f函数φ′（x）S（β- α） tanh（（β- α） x）S（β- α）（2/π）arctan（（β- α） x）S（β- α)(2Φ((β - α） x）- 1） S（β- α)(-1{x<c}+1{x>c}+1{c≤ x个≤ c} 2（x- （c+c）/2）/（c- c））表1：评分函数示例。在所有情况下，我们选择g（x）=x和g（x）=x。参数c，c∈ R满足c<c。对于某些局部有限测度，写入▄Hi=Hi+λL，i=1，2。集成V 7→ 关于λL，我们得到了函数λ（Sα（x，y）+αy），类似地，对于Lv。使用H（[cmin，cmax]）=2λ（β-α）得出Lv（x，x，x，y）=2（β）的索赔-α）（Sβ（x，y）+βy+Sα（x，y）+αy）+1{v≤ x}-x+β-α（Sβ（x，y）- Sα（x，y））-|x个- v |+| y- v |，等于定理陈述中给出的公式。对于α和β水平的VaR，烧焦函数LV和LV是一致的。scoringfunction Lvis的形式为（3.3），g（x）=g（x）=x/（2β-2α）和φ（x）=x-v |/2，这使得它是（VaRα，VaRβ，RVaRα，β）的一致评分函数。谈话之后是直接计算。6模拟本模拟研究说明了在比较三元组不同预测的预测性能时，例如在比较回溯测试的背景下，tr iplet（VaRα、VaRβ、RVaRα、β）的一致评分函数的使用（Nolde和Ziegel，2017）。由于第4节中的负面结果，很难为函数φ、gand-gin（3.3）的选择提供具体的例子。在表1中，我们给出了一些初步建议。得分函数体现了Huber损失的精神（Huber，1964，第79页）。它仅在[c，c]上严格一致，但在所有R上保持一致。我们用Neiting et al.（2007）的一个模拟示例的略微扩展版本来说明建议得分函数的辨别能力，该示例也被inFissler et al.（2007）所考虑。

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2022-6-11 16:22:15

(2016).我们考虑一个数据生成过程（Yt）t=1，。。。，Ngiven by Yt=ut+ut，其中（ut）t=1，。。。，Nand（ut）t=1，。。。，Nare是i.i.d.标准正态随机变量的相互独立序列。假设我们有三位不同的预报员提供了这一点-6.-4.-2 0 2 4 60.00 0.02 0.04 0.06 0.08LV1VFIRSTSecond三分之一-6.-4.-2 0 2 4 60.00 0.02 0.04 0.06 0.08Lv2v-6.-4.-2 0 2 4 60.2 0.4 0.6 0.8Lv3vα=α，β=β）图1：α=1的墨菲图- β = 0.1. 文本中描述的三个预测者的预期基本分数Lv、Lv、Lv的曲线图。对于第二个预报员，曲线从下到上分别对应σ=0.3、0.5、0.8。预测，旨在正确区分Yt（条件）分布的（VaRα、VaRβ、RVaRα、β）。第一个预报员可以访问u并使用正确的条件分布进行预测，即他们预测Ft=（f1、t、f2、t、f3、t）=ut+Φ-1（α），ut+Φ-1（β），ut-β -αφ(Φ-1(β)) - φ(Φ-1(α))对于时间点t，其中，Д和Φ分别表示标准正态分布的密度和分位数函数。第二个预报员预测gt=（g1，t，g2，t，g3，t），其中g1，t=f1，t+εt，g2，t=f2，t+εtand g3，t=f3，t+εtand，其中（εt）t=1，。。。，具有零均值和方差σ的Nisindependent正态分布噪声。第三个预测者ht=（h1，t，h2，t，h3，t）的预测基于Yt的无条件分布，即N（0，2）。因此，预测采用formht=√2Φ-1(α),√2Φ-1(β), -√β - αφ(Φ-1(β)) - φ(Φ-1(α))!.很明显，第一位预测员在第二位和第四位ird预测员中占主导地位，也就是说，在任何一致的评分函数下，他们都是首选。

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2022-6-11 16:22:18

事实上，援引霍尔兹曼（Holzmann）和欧勒特（Eulert）（2014），就第一个和第二个预报员而言，第一个预报员相对于信息集σ（ut，εt）而言是理想的，而第二个预报员基于相同的信息集，但并不理想。对于第一个和第三个预报员，这两个预报员都是理想的，但第一个预报员的信息集σ（ut）比第三个预报员的信息集σ（ut）大，后者是平凡的σ-代数。选择第二个或第三个预报员取决于方差σ的大小。图1和图2提供了从sizeN=100′000的样本计算出的所有预测者的墨菲图，提供了人口水平的良好近似值。这与我们在上述三个预测排名方面的理论考虑是一致的。-6.-4.-2 0 2 4 60.000 0.004 0.008 0.012LV1VFIRSTSecond三分之一-6.-4.-2 0 2 4 60.00 0.01 0.02 0.03 0.04Lv2v-6.-4.-2 0 2 4 60.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5Lv3vα=α，β=β）图2：α=0.01，β=0.05的墨菲图。文本中描述的三个预测者的预期基本分数Lv、Lv、Lv的曲线图。对于第二个预报员，曲线从下到上分别对应σ=0.3、0.5、0.8。我们根据表1中的评分函数，使用Diebold-Mariano检验（Diebold和Mariano，1995）比较预测性能。我们考虑尺寸为N=250的样品，并重复我们的实验10000次。在表2的左面板中，我们考虑α=1的情况- β=0.1，其中RVaRα，β是修剪平均值。我们报告了预测者i优于预测者j，i，j的无效假设的回溯率∈ {1，2，3}，i 6=j，根据显著性水平0.05的得分S进行评估。E、 g.，对于i=1，j=2，我们考虑零假设E[S（ft，Yt）]≤ E【S（gt，Yt）】对于所有t=1，N或inshort，f g。

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