半参数实现的联合风险价值和预期短缺

2022-6-10 06:22:03

一个半参数实现的联合风险值和预期短缺回归框架深圳科技大学悉尼商学院商业分析专业王超、理查德·格拉赫、钱晨摘要提出了一个新的实现条件自回归风险值（VaR）框架，通过将测量方程合并到原始量化回归模型中。该框架通过采用各种预期缺口（ES）组件进一步扩展，以联合估计和预测VaR和ES。测量方程对实际测量值（即已实现方差和已实现方差）与潜在条件ES之间的同期相关性进行建模。采用自适应贝叶斯马尔可夫链蒙特卡罗方法进行估计和预测，通过仿真研究，对其性质进行了评估，并与最大似然法进行了比较。在1%和2.5%分位数水平的综合预测研究中，基于7个市场指数和7个单项资产，将提出的模型与一系列参数、非参数和s-emi参数模型进行了比较。提前一天的VaR和ES预测结果有利于所提出的模型，尤其是当在模型中加入次抽样实现方差和次抽样实现范围时。关键词：分位数回归、已实现测度、马尔可夫链蒙特卡罗、风险价值、预期短缺。1简介自J.P.Morgan于1993年9月19日将其引入风险度量模型以来，世界各地的金融机构和公司已广泛采用价值风险（VaR）度量，以协助其在资本配置和风险管理方面的决策。

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2022-6-10 06:22:06

Va R是衡量和控制金融风险的量化工具，将市场风险表示为一个数字，并已成为资本配置和风险管理的标准衡量标准。让它成为时间t和ft（r）=P r（rt）时可用的信息≤ r | It-1）是其上return rtcondition的累积分布函数（CD F）-1、我们假设在实线上严格递增且连续R. 在此假设下，时间t的一步α水平值-at-R isk可定义为：Qt=F-1t（α）0<α<1。然而，Va R一直受到批评，因为它无法衡量违规的预期损失，并且在数学上不一致，因为它有利于非分散。Artzner et al.（1997、1999）提出的预期Shor-tfall（ES）给出了预期损失，前提是回报率超过VaR阈值，是一个一致性度量；因此，近年来，它已被更广泛地用于尾部风险度量，目前受到巴塞尔银行监管委员会的青睐。在上述相同的框架内，可以显示提前一步的α水平预期短缺（参见Acerbi和Tasche，2002等）等于rt的尾部条件预期：ESt=E（rt | rt≤ Qt，It-1).2019年实施的《巴塞尔协议III》将新的重点放在了ES上。2019年文件《市场风险最低资本要求》中阐述了其对市场风险管理的建议，其中指出：“全行内部模型必须每天计算ES，以确定市场风险资本要求。对于使用内部模型法（IMA）的每个交易台，也必须每天计算ES。”；“在计算ES时，银行必须使用97.5%的单尾置信水平”（巴塞尔银行监管委员会201 9，第89页）。

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2022-6-10 06:22:09

因此，在本文的实证应用中，我们侧重于2.5%分位数水平上的单步骤a头尾风险预测。为了研究尾部r ISK模型的性能，我们还测试了更极端的1%分位数水平。波动性估计和预测在形成准确的VaR或ESPredictions方面起着关键作用。自从Engle（1982）的自回归条件异方差（ARCH）模型和Bollerslev（198 6）的广义（G）ARCH模型引入以来，两者都将平方收益作为模型输入，许多不同的波动率度量和模型已经开发出来。Parkinson（1980）和Garman and Klass（1980）提出，dailyhigh–low区间是比每日平方收益更有效的波动率估计器。高频日内数据的可用性产生了几种流行且有效的测量方法，包括实现方差（RV）（Andersen and Bollerslev，1998，Andersen et al.2003）和实现范围（RR）（Martens and van Dijk，2007；Christensenand Podo lskij，2007）。为了处理众所周知的固有微观结构噪声和高频波动性测量，Zhang et al.（200 5）和Martens and van Dijk（2007）分别设计了子采样和缩放过程，旨在提供更平滑和更有效的实现测量。Hansen等人（2012年）通过提出已实现的GARCH，扩展了准度量GARCH模型框架，增加了一个测量方程，同时将观测到的波动率与已实现的测量联系起来。Gerlach和Wang（2016）通过采用RR作为已实现测度对已实现GARCH模型进行了扩展，并说明与传统GARCH和RealizedGARCH模型相比，所提出的已实现GARCH RR fr模型可以生成更准确、更有效的可用性以及VaR和ES预测。

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2022-6-10 06:22:12

Hansen和Huang（2016）最近扩展了parametricRealized GARCH框架，以包括多个已实现的度量。参数波动率模型的尾部风险预测性能在很大程度上取决于误差分布的选择。Engle和Manganelli（2004）提出的非参数条件自回归VaR（CAViaR）模型可以直接估计分位数（VaR），无需收益分布假设。Gerlach et al.（2011）在半参数框架下将鱼子酱模型推广到一个完全非线性的族，并将非对称拉普拉斯（al）分布用于似然构造。然而，鱼子酱型模型不能直接估计ES。Taylor（2019）提出了一种直接估计VaR和ES的联合半参数模型，这里称为ES鱼子酱模型。通过将AL分布与时间尺度相结合，可以建立可能性，以便在此框架中联合估计条件变量和条件ES。Fissler和Ziegel（20 16）为相关VaR和ES系列开发了一系列jo intloss函数（或“评分规则”），这些函数与真实VaR和ES系列严格一致，也就是说，它们被真实VaR和ES系列唯一最小化。应用Fissler和Ziegel（2016）的连接损失函数的特定函数选择，可以证明这种损失函数与Taylor（2019）提出的对数似然函数的负值完全相同。Patton等人（2019年）通过采用广义累积分数（GAS）框架（Creal等人，201 3；Harvey，2013），并利用Fissler和Ziegel（2016）中的损失函数，提出了VaR和ES的新动力学模型。

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2022-6-10 06:22:15

Gerlach和Wang（2 020a）扩展了theES-CAViaR模型，将已实现的度量作为外生变量，以提高VaR和ES预测精度。本文的主要贡献如下。首先，我们提出了一个新的非参数实现的条件自回归VaR框架（realized CAViaR）。我们表明，就VaR估计和预测而言，所提出的已实现鱼子酱将已实现GARCH作为一个特例。其次，在Hansen et al.（2012）、Taylor（2019）和Gerlachand Wang（2020a）的推动下，他认识到鱼子酱框架通过合并各种ES组件进行了扩展，以便联合估计和预测VaR和ES。这个新的框架被称为已实现的ES CAViaR，其中包括一个测量方程，用于建模已实现的测量与最近的ES系列之间的依赖关系。此外，还采用了缩放和亚采样实现措施，以解决微结构噪声和潜在效率问题。此外，采用自适应贝叶斯MCMC算法对提出的模型进行估计，扩展了Gerlach和Wang（2016）的算法。在实证研究中，通过var和预测性能，评估了采用各种已实现度量作为输入的已实现鱼子酱模型。在2008年至2016年的预测期内，实证结果表明，已实现ES鱼子酱模型的表现优于现有ES鱼子酱模型和一系列竞争模型和方法，如标准GARCH、已实现GARCH模型和条件自回归期望值（CARE）（Taylor，2008）。本文的组织结构如下。第2节brie Fly回顾了现有的ES鱼子酱和Realized-G ARCH模型。第3节提出了已实现的CAViaR和已实现的ESCAViaR类模型。第4节介绍了用于参数估计的相关似然和自适应贝叶斯McMcMcCal算法。

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2022-6-10 06:22:18

第5节回顾了员工实现的措施，并给出了预测研究和回溯测试结果。第6节总结了本文并讨论了未来的工作。2 ES-CAVIAR和REALIZED-GARCH模型2.1 ES CAViaRKoenker和Machado（1999）注意到，当假设数据与分位数处的模式有条件相关时，通常的分位数回归估计量等效于最大似然估计量，也就是说，如果RTI是第t天和第r天的返回数据（rt<Qt | It-1） =α然后可以使用基于：p（rt | It）的alikelihood估计QT模型中的参数-1) =α(1 - α） σtexp-（rt- Qt）（α-I（rt≤ Qt））σt,对于t=1，其中σ是比例参数。Taylor（2019）扩展了这一结果，将相关ES量纳入条件密度。通过注意esta和动态σt之间的联系，扩展到允许异方差的条件密度函数变成：p（rt | It-1) =(α - 1） EStexp（rt- Qt）（α-I（rt≤ Qt））αESt, （1）允许建立一个似然函数，给定QT和Est的模型表达式和零平均回报。

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2022-6-10 06:22:21

Taylor（2019）指出，结果似然函数的负对数与联合考虑的QT和EST严格一致，也就是说，它属于Fisslerand Zeigel（2016）开发的VaR和ES的严格一致联合函数类。Taylor（2019）针对VaR-andES之间的动力学提出了两种不同的公式，这也避免了ES估计值与相应的VaR估计值交叉，如（2）（ES鱼子酱添加：ES鱼子酱添加到ES组分的VaR中）和（3）（ES鱼子酱添加：ES鱼子酱添加到ES组分的VaR中）所示：Qt=β+β| rt-1 |+βQt-1，（2）ESt=Qt- 重量，重量=γ+γ（Qt-1.- rt公司-1） +γwt-1如果rt-1.≤ Qt-1.wt公司-1另一方面，其中γ≥ 0, γ≥ 0, γ≥ 0以确保VaR和ES估计值不交叉。Qt=β+β| rt-1 |+βQt-1，（3）ESt=（1+exp（γ））Qt，其中γ是无约束的。2.2已实现GARCH已实现GARCH框架是Hansen等人（2012）提出的，他们在模型中使用已实现变量和已实现核作为已实现度量。与传统的GARCH模型相比，已实现GARCH引入了一个度量方程，该方程捕获了未观察到的波动率与已实现度量之间的同期关系。例如，Hansen等人（2012）、Wata na be（201 2）、Gerlach和Wang（201 6）的研究表明，与GARCH和GARCH-X相比，已实现的GARCH具有优越性。计量方程的主要优点是，可以将更多关于潜在波动性的信息纳入可能性中。此外，还考虑了正回报和负回报冲击对波动性的不对称影响。实现的绝对值GARCH（Abs实现的GARCH）规格可以写为：Abs实现的GARCHRT=σtzt，（4）σt=β+βXt-1+βσt-1，Xt=ξ+Дσt+τzt+τ（zt- 1） +ut，其中XT是波动率σt标度的实际度量，即实际方差的平方根。

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2022-6-10 06:22:24

第三个方程称为测量方程。这里是zti。i、 d。~ D（0，1）和UTI。i、 d。~ Hansen等人（2012）选择D（0，σu）和D作为高斯分布。3提出的模型3.1实现的鱼子酱模型在Abs实现的GARCH框架中，返回误差分布为高斯分布，wehave Qt=Φ-1（α）σt，其中Φ-1（α）是标准高斯逆cdf。因此，为了将Abs实现的GARCH框架推广到任何常数条件返回分布，我们将Qt=aασt，其中aα是常数比例因子，等于给定分布的逆CDF。将σt=Qtaα代入Abs实现的GARCHframework（4）中，去掉返回方程，提出非参数实现鱼子酱框架：实现鱼子酱：Qt=β+βXt-1+βQt-1，（5）Xt=ξ+ДQt+τt+τ（t- E（））+超声波探伤。就VaR估计和预测而言，已实现鱼子酱以非参数方式将AbsRealized GARCH框架（4）作为特例包括在内，注意到回报率没有参数分布假设。测量方程中的乘法误差t=rtqt用于捕捉众所周知的杠杆效应，这将在下一节中详细讨论。3.2已实现的ES鱼子酱模型拟议的已实现鱼子酱框架（5）无法直接估计和预测ES，因此在本节中，我们进一步将已实现鱼子酱扩展到联合已实现VaR和ES回归框架，该框架可以同时估计和预测va R和ES。给定任何均值为零的常数条件收益分布：Qt=aασt；ESt=bασt，EStQt=bαaα=cα（即常数），其中aα、bα和cα≥ 1是取决于分布的常数比例因子。在ES CAViaR Mult框架（3）中，Taylor（201 9）使用cα=（1+exp（γ））。

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2022-6-10 06:22:27

在选择cα之后，我们进一步将已实现的鱼子酱框架扩展到可联合估计和预测VaR和ES的RealizedES CAViaR-Mult。通过将潜在ES与已实现的测量联系起来，更新测量方程：已实现ES鱼子酱Mult:Qt=β+βXt-1+βQt-1，（6）ESt=（1+exp（γ））Qt，Xt=ξ+φ| ESt |+τt+τ（t- E（））+超声波探伤。此外，根据ES CAViaR Add框架（2），建议实现的ES CAViaRAdd框架为：实现的ES CAViaR Add：Qt=β+βXt-1+βQt-1，（7）重量=γ+γ（Qt-1.- rt公司-1） +γwt-1，rt-1.≤ Qt-1.wt公司-1，否则，ESt=Qt- wt，Xt=ξ+φ| ESt |+τt+τ（t- E（））+ut，其中XT表示波动率尺度上的已实现度量。除了模型中的ES成分外，（6）和（7）中的方程是：分位数方程（Qt）和测量方程（Xt）。Contino和Gerlach（2017）考虑了测量方程误差ut的不同分布，即Student-t。他们发现，这种分布的变化对模型的性能没有实际影响。因此，在我们的论文中，我们使用uti。i、 d。~ N（0，σu）。测量方程中的乘性误差t=rtqt用于捕捉众所周知的杠杆效应。如第3.1节所述，在参数设置中，我们有Qt=aασt，其中aα是常数比例因子，等于给定回报分布zt的逆CDF。因此，E（t）=ErtQt= Ertaασt= Eσtztaασt= Eztaα=E（zt）aα=0。此外，为了保持零平均不对称项- E（）），我们需要知道E（）=ErtQt.已实现的ES鱼子酱模型不包含此二阶矩信息。相反，通过E（）提出了经验估计≈\'，是平方乘法误差的样本平均值，因此E（t-“）=0被保留（因为“”是无偏的）。因此，术语τt+τ（t-“（）仍然会在数量序列中产生不对称响应，以返回冲击。

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2022-6-10 06:22:30

此外，预计τ的符号与区域化GARCH模型的符号相反，因为较低分位数水平的分位数QT为负值，例如，α=1%；2.5%，本文考虑。最后，如Taylor（2019）所述，结果似然表达式由：p（rt | It-1) =(α - 1） EStexp（rt- Qt）（α- I（rt≤ Qt））αESt,暗示That rt- QT服从时变尺度的AL分布。然而，我们想强调的是，该框架并不依赖于AL或任何分配假设f或回报。这只是一个假设，它会导致在相同的参数值下优化psuedo可能性，从而最小化相关的联合VaR和ESloss函数。3.3 Gerlach和Wang（2020a）中讨论的已实现-ES-X-CAViaR-X模型，上述两个规范限制了已实现度量影响ES的通道，即X仅直接出现在分位数回归方程中。因此，在本文中，我们通过引入一个加法模型，进一步扩展了RealizedES鱼子酱，通过r e-指定wt=Qt上的动态，实现的度量可以影响VaR和ES，并分别影响VaR和ES- EST将直接由已实现的措施驱动，紧随Gerlach和Wang（2020a）之后。然而，对于任何零平均常数条件回报分布：Qt=aασt；ESt=bασtwt=Qt- ESt=（aα- bα）σt其中aα和bα是依赖于分布的常数标度因子。然后，对于绝对值GARCH-X模型：σt=β+βXt-1+βσt-1、由此得出：wt=（aα- bα）β+（aα- bα）βXt-1+βwt-1，=γ+γXt-1+βwt-最后，通过进一步放宽β参数，使其成为一个新的参数γ，使时变wtcomponent具有更灵活的自身自动整合（AR）动力学，我们得到：wt=γ+γXt-1+γwt-1.（8）因此，我们提出以下实现的-ES-X-CAViaR-X框架。

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2022-6-10 06:22:33

模型名称中的两个“X”强调VaR和ES分别受到已实现度量的影响，通过QT和wt的两个AR规范。最后一个度量方程通过重新评估ES上的已实现度量来“完成”模型，以建模其关系。已实现-ES-X-CAViaR-X：Qt=β+βXt-1+βQt-1，（9）wt=γ+γXt-1+γwt-1，ESt=Qt- wt，Xt=ξ+φ| ESt |+τt+τ（t- E（））+ut，其中γ≥ 0, γ≥ 0, γ≥ 0以确保VaR和ES估计值不交叉。和UTA的定义与已实现的ES CAViaR Mult和已实现的ES CAViaR Add中的定义相同。在本文中，当需要时，我们使用Realized ES（-X）-CAViaR（-X）作为通用名称，其中包括拟议的Realized ES CAViaR Mult、Realized ES CAViaR-Add和Realized-ES-X-CAViaR-X框架。已实现的ES（-X）-CAViaR（-X）框架可以扩展到其他非线性模型中，例如，通过选择Gerlach et al.（2011）中的量子动力学，这在本文中没有探讨。4似然和贝叶斯估计4.1 ES鱼子酱对数似然函数，但实现的ESCAViaR模型的分位数和ES方程的伪似然表达式与Taylor（2019）中ES鱼子酱模型的伪似然表达式相同，即：l（r；θ）=nXt=1对数（α- 1） ESt+（rt- Qt）（α-I（rt≤ Qt））αESt. （10）然而，已实现的ES-CAViaR模型中的测量方程意味着在该框架中，联合伪似然函数需要添加组件。4.2实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）对数可能性，因为实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）框架有一个测量方程，即UTI。i、 d。~ N（0，σu），实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）（如（7）和（6）所示）的全伪对数似然函数包括两部分，即：l（r，X；θ）=l（r；θ）+l（X | r；θ）=（11）nXt=1对数（α- 1） ESt+（rt- Qt）（α- I（rt≤ Qt））αESt|{z}l（r；θ）-nXt=1对数（2π）+对数（σu）+ut/σu|{z}l（X | r；θ），其中ut=Xt- ξ - φ| ESt |- τt- τ（t-\'t），t=1。

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2022-6-10 06:22:36

，n.在已实现的GARCH框架中，测量方程变量XT有助于波动率估计，因此与经典GARCH相比，样本内和预测的对数似然度都有所提高。我们预计，与ES鱼子酱模型相比，已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）中的测量方程也有助于改进对ESt（和Qt）的估计，从而实现更准确的VaR和ES预测。4.3最大似然估计Taylor（2019）中的伪最大似然（ML）方法适用于拟议的已实现ES鱼子酱模型。总的来说，ML方法包括一个四步过程，为ro-bust“MultiStart”优化方案精心选择起始值。在第一步中，通过优化基于分位数损失的分位数回归伪似然，分别估计分位数方程参数（β、β、β）。在第二步中，测量方程参数（ξ、φ、τ、τ、σu）和ES分量参数γ的多个起始值用于实现ES鱼子酱Mult，或（γ、γ、γ）用于实现ES鱼子酱Add和实现ES-X-CAViaR-X，随机抽样：50,00 0个随机候选起始向量用于已实现的ES CAViaRMult，10个用于已实现的ES CAVia R-Add和已实现的ES-X-CAViaR-X，因为涉及的参数较多。在第三步中，第一步中β、β、β的估计值与第二步中随机抽样的候选值相结合，生成局部最优参数集，使对数似然函数最大化（11）。在第四步中，该局部最优imum参数集被用作Matla b“MultiStart”优化的起始值，这是一种稳健的优化方法。

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2022-6-10 06:22:39

在我们的论文中，所使用的“MultiStart”函数使用50个单独的起点，生成50个局部解，然后最终选择其中的全局o pt imum作为ML参数估计。如Matlab文档中所述：“MultiStart”对象包含的属性（选项）影响“run”如何重复运行局部解算器以生成GlobalOptimSolution对象。运行时，解算器尝试从不同的分歧点开始，找到问题的多个局部解决方案。4.4贝叶斯估计在Gerlach和Wang（2016）的推动下，我们还采用了贝叶斯方法来估计拟议模型。给定一个似然函数和aprior分布的规格，可以使用贝叶斯方法来估计所提出的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型的参数。采用了一种自适应MCMC方法，该方法是Gerlach和Wang（2016）中的方法的扩展。使用三个块：θ=（β，β，β，φ），θ=（ξ，τ，τ，σu），θ=（γ，γ，γ），用于实现ES鱼子酱添加和实现-ES-X-CAViaR-X；θ=（γ）对于已实现的ES鱼子酱Mult，其动机是同一块内的参数在后验（似然）方面比块间的参数更密切相关。先验被选择为对正性有效且对平稳性必要的区域无信息，例如π（θ）∝ I（A），是区域A上θ的一个优先值。对于已实现的ES CAViaR Add和已实现的ES-X-CAVia R-X模型，区域A限制γ≥ 0, γ≥ 0, γ≥ 0，以确保每个wt的正性，并且γ<1，这对于平稳性是必要的。限制γ≥ 0, γ≥ 0, γ≥ 0对于每个wtterm的积极性并不是严格必要的，在贝叶斯方法中，这些限制可以放宽。

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2022-6-10 06:22:42

然而，由于本文将直接比较贝叶斯估计和最大似然估计，因此此处保留了限制条件。在“磨合”期间，采用了Chen等人（2017）提出的“划时代”方法。对于磨合期的初始“纪元”，对每个参数块使用Metropolis算法（Metropolis et al.，1953），该算法采用3个高斯建议分布与随机游走平均向量的混合。每个混合元素中每个块的建议方差协方差矩阵为Ci∑，其中C=1；C=100；C=0.01，∑初始设置为2.38√（di）Idi，其中dii是参数块（i）的维数，dii是维数di的单位矩阵。随后对该协方差矩阵进行了调整，目标是使tar的接受率达到23.4%（如果di>4，则为35%），如果di>2≤ di公司≤ 4，如果di=1，则为44%），作为标准，通过Roberts等人（1997）的算法。为了增强链的收敛性，在第一个历元结束时，例如20000次迭代，在丢弃（比如）前2000次迭代后，计算每个参数块的协方差矩阵。然后在下一个历元（20000次迭代）的概率分布中使用协方差矩阵。在每个历元之后，计算该历元中每个参数链的标准偏差，并与前一历元的标准偏差进行比较。如果标准偏差的平均绝对百分比变化低于预先规定的阈值，例如10%，则继续此过程。在实证研究中，平均需要3-4个时期才能观察到这种绝对百分比变化达到低于10%；因此，链作为一个磨合期总共运行60000–80000次迭代。最后运行一个epoch，比如10000次迭代，使用“独立”的Metropolis Hastings算法，每个块混合使用三个高斯建议分布。

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2022-6-10 06:22:46

将每个块的平均向量设置为磨合期内最后一次ep och迭代（丢弃前2000次迭代后）的样本平均向量。每个元素中的建议方差协方差矩阵为Ci∑，其中c=1；C=100；C=0.01，∑是该区块在老化期内最后一种环氧化合物的样本协方差矩阵（在丢弃前2000次迭代后）。然后，使用所有独立的Metropo-lis-Hasting（IMH）迭代（在丢弃2000次迭代后）计算预测的总风险，并将其后验平均值用作最终预测。Gelman-Rubin诊断（G elman et al.，2014）用于诊断自适应MCMC方法的收敛性。此外，还结合了有效的样本量测量来评估MCMC链的效率（Gelman等人，201 4）。为了节省空间，我们在本文中不详细介绍这些效率结果。一般来说，在不同的块设置下，每个参数的Gelman-Rubin统计量都非常接近1（例如<1.1），这表明使用adaptiveMCMC的每个参数都有足够的收敛性。通过更仔细地检查链间和链内方差，我们观察到每个参数的链内方差都很小，这导致了接近1的GelmanRubin统计量，并显示出良好的收敛性。此外，所有参数的有效样本量远大于Gelman等人（2014）提出的基准，这也突出了自适应MCMC算法的效率。在附录A中，针对已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）类型模型，进行了一项模拟研究，以比较贝叶斯方法和ML在参数估计、一步超前VaR和ES预测准确性方面的特性和性能。

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2022-6-10 06:22:49

结果证明了采用MCMC估计的优点。5数据和实证研究5.1已实现测度在拟议的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）型模型中纳入了各种已实现测度，包括已实现方差（RV）和已实现范围（RR）。为了减少已实现测量的微观结构噪声的影响，Martens和vanDijk（2007）提出了一种缩放过程，其灵感来自这样一个事实，即与高频对应物相比，每日平方返回和范围受微观结构噪声的影响较小。因此，该过程可用于smoo th和缩放RV和RR，从而创建较小的微观结构敏感措施。此外，Zhang等人（2005年）提出了一个次级抽样过程，以处理微观结构对已实现方差的影响（SSRV）。次抽样过程适用于R Rin Gerla ch和Wang（2020b）。在Gerlachand Wang（2020b）的三种场景下，通过模拟评估了次采样RR与其他已实现度量的特性。App endix B中给出了所采用的实现措施的详细信息。在拟议的框架中，还采用并测试了标度RV（ScRV）、标度RR（ScRR）、亚采样RV（SSRV）和亚采样DRR（SSRV）。例如，Realized ES CAViaR Add RV表示使用RV的Realized ES CAViaR Add框架，Realized ES CAVia R-Mult-RR表示使用RR的Realized ES CAViaR Mult框架。Realized ES SSRR-CAViaR SSRR代表使用SSRR的Realized-ES-X-CAVia RX框架。5.2数据说明2000年1月至2016年6月期间，以1分钟和5分钟为频率的每日和高频数据，包括开盘价、高价、低价和收盘价，可从汤森路透交易记录（TRTH）下载。

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2022-6-10 06:22:52

收集了七个市场指数的数据：标准普尔500指数、纳斯达克指数（均为美国）、恒生指数（香港）、富时100指数（英国）、DAX指数（德国）、SMI指数（瑞士）和ASX200指数（澳大利亚）；此外，道琼斯指数的七项个人资产包括：卡特彼勒公司（CAT）、可口可乐公司卡夫食品公司（KO）、通用电气公司（GE）、IBM（International BusinessMachines）、摩根大通公司（JPMorgan Chase&Company）、MMM公司（3M Company）和埃克森美孚公司（XOM）。每日价格数据用于计算每日收益率、每日范围和每日范围加上隔夜价格上涨。此外，5分钟的价格用于计算每日RV、RR、标度RV和标度RR测量值，而5分钟和1分钟的数据用于产生每日次抽样RV和RR测量值，如附录B所示；q=66用于缩放过程，约为3个月的每日数据。图1显示了每日回报绝对值的时间序列图，√RV和√标准普尔500的RR。从图表上看，绝对收益率是一个有噪声的波动率估值器，而两者√RV和√RR是噪声较小且更有效的估计器。因此，合并√RV和√已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）型模型中的RR可能会提高VaRand ES估计和预测精度。2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 20160.020.040.060.080.10.12标准普尔500指数绝对收益率，√RV和√RR图。5.3尾部风险预测在分位数水平α=1%、2.5%的情况下，对14个收益序列的每日VaR和ES预测进行了提前估计。采用固定样本数据量（n）的滚动窗口进行估计，以在预测期内对每个系列的VaR和ES进行α=2.5%、1%的预测。不同数据集的样本内大小n和样本外大小m可能略有不同，例如，由于阅读天数不同。

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2022-6-10 06:22:55

表1给出了指数和资产上的样本大小n和ecast样本大小m的平均值。为了评估全球金融危机（GFC）期间的模型绩效，预测期从2008年初开始。平均而言，为每个收益系列f r om51模型生成了约为2110个提前一步的VaR和ES预测。这些模型包括拟议实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型，具有不同的容量输入度量：RV&RR、缩放RV&RR和亚采样RV&RR。还包括采用相同实现度量的参数实现GARCH，以进行比较，并测试高斯（实现GARCH GG）和Student-t（实现GARCH tG）返回误差。还包括具有对称绝对值和不对称斜率规格的ES-CAViaR Taylor模型（2019），以及CARE-SAV模型（Taylor，2008）。本文还评估了采用相同realizedmeasures的CARE-AS-X framewo r k（Gerlach et al.，2017）。

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2022-6-10 06:22:58

此外，还测试了CARE-AS-X框架，该框架包含每日高-低范围和范围，包括隔夜价格上涨（定义见附录B中的方程式（17）和（18））。此外，其他竞争模型包括：传统GARCH（Bollerslev，1986）、EGARCH（Nelson，1991）和GJR-GARCH（Glosten等人，1993），以及学生错误；GARCH采用Hansen的偏态t分布（Hansen，1994），三种过滤历史模拟（GARCH-HS）类型模型，分别采用GARCHt、EGARCH-t和GJR-GARCH-t作为波动过程。已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）和ES鱼子酱模型使用自适应MCMC进行估计，其余模型使用Matlab中的计量经济学工具箱（G ARCH-t、EGARCH-t、GJR-GARCH-t）或作者开发的代码（GARCH-t-HS、EGARCH-t-HS、GJR-GARCH-t-HS、GARCH-SKEK-t、CARE-SAV、CARE-AS-X和已实现的GARCH）通过MLE进行估计。5.3.1风险价值采用VaR违约率（VRate）初步评估VaR预测准确性。VRate只是预测期内超过预测VaR的回报比例，如（12）所示。首选VRate最接近标称分位数水平α=1%、2.5%的模型。VRate=mn+mXt=n+1I（rt<VaRt），（12），其中n是样本内尺寸，m是样本外尺寸。此外，还使用标准分位数损失函数来比较模型的VaR预测精度：最准确的VaR预测应使分位数损失函数最小化，如下所示：mn+mXt=n+1（α- I（rt<Qt））（rt- Qt），（13），其中Qn+1，Qn+mis一系列分位数预测t水平α，用于观测rn+1，rn+m。

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2022-6-10 06:23:01

该定量损失函数由样本外大小m平均，因此不同数据集的预测结果具有可比性。表1总结了51款车型中每款车型在7项指标和7项资产中2.5%和1%分位数的VRATE。“MAD”列显示了七个指数和七个资产的平均绝对偏差，分别采用1%或2.5%作为目标VRate。“排名”列是七项指标和七项资产的排名平均值，基于每个VRate从1%到r2.5%的偏差的绝对值。根据这些度量，框表示最佳模型，而虚线框表示第二个最佳模型，蓝色底纹表示第三个最佳模型。在所有实证结果中，采用了相同的突出显示规则。水平线用于区分有无已实现测量的模型。此外，我们将相似类型的模型放在彼此相近的位置，即GARCH型、CARE型、ES CAViaRtype等，以明确表示和比较。总的来说，表1显示，与竞争模型相比，拟议的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型产生了具有竞争力的VRATE，并且其性能明显优于已实现的GARCH类型模型。根据各指数或资产的MAD或（2.5%或1%）VRates排名，除了1%指数研究外，至少有一个拟议的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型被列为3个最佳模型之一。然而，可以看出，对于不同分位数水平的指数和资产，没有实现度量的模型，如GARCHtype模型、ES CAViaR as模型和CARE-as模型，可以产生非常好的VRATE结果。

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2022-6-10 06:23:04

现在，我们将这些模型与我们提出的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型进行更详细的比较，以利用分位数损失提高经济效率，并提供证据说明为什么在VaR预测中首选已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）型模型。表2显示了每个模型的VaR预测的平均数量损失，指数和资产在单独的列中。更好的模型具有更低的分位数损失。此外，还包括平均等级，该等级基于51个模型中七个指数和七项资产的分位数损失等级。结果清楚地表明，所提出的实现ES（-X）-鱼子酱（-X）型模型和实现GARCH-tG-ssrv模型在总体上排名更好，损失更低。特别是，首选带有SSRV和SSRR的理想ES（-X）-鱼子酱（-X）模型。最后，具有精确VRATE的模型（即GARCH型模型）的分位数损失明显高于拟议的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型。图2和图3提供了进一步的证据，说明为什么与那些也产生接近标称1%的VRATE的模型相比，propo-sed实现的ES鱼子酱模型产生的分位数损失明显更低。具体而言，对于标准普尔500指数回报，GJR-GARCH-t-HS、ES CAViaR SAV Mult和Realized ES CAViaR Mult RR模型的VRATE分别为1.041%、1.278%和1.088%：这三种模型的表现相当接近，GJR-GARCH-t-HS排名最佳。然而，它们的QuantileLoss为0。0370、0.0387和0.0347，支持实现的ES CAViaR MultRR模型。通过仔细检查图3，可以清楚地看出，与实现的ES鱼子酱多RR相比，ES鱼子酱SAVMult和GJR-GARCH-t-HS在第一天产生的Va R预测水平明显更极端（在负方向）。

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2022-6-10 06:23:07

这意味着，根据上述预测，金融机构为弥补极端损失而预留的资本在GJR-GARCH-t-HS或ES CAViaR-SAV多模型中的水平高于已实现的ES CAViaR多RR模型。换言之，已实现的ES CAVia R-Mult-RR模型产生的VaR预测相对准确，损失较低，表明在巴塞尔协议框架内，需要较低的资本额来防范市场风险，同时产生适当的违约率。对于标准普尔500指数的2113个预测日，已实现的ES CAViaR Mult RR预测的极端程度低于ESCAViaR SAV Mult 1397天的预测（66.2%）。这表明，与ES CAViaR SAV Mult和GJR-GARCH-t-HS模型相比，实现的ES CAViaR Mult RR模型在风险水平方面具有更高的信息（和成本）效率，这可能是由于平方收益范围序列的统计效率提高所致。由于经济资本由金融机构自身的模型决定，并应与VaR预测成正比，因此，Realized-ES-CAViaR-Mult-R R模型可以通过将部分监管资本l从风险覆盖中解放出来，用于投资，从而减少成本资本分配，提高这些机构的可盈利性，同时将提供足够的保护，防止违规行为。

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2022-6-10 06:23:11

已实现的ES CAViaR MultRR得出的更准确且通常不太极端的VaR预测对金融部门的决策者具有特别重要的战略意义。与本研究中的其他市场/资产相比，拟议的已实现ES-CAViaR-Add和已实现ES-X-CAViaR-X模型也经常观察到这种额外的效率。此外，在高波动期间，包括GFC，当极端回报持续存在时，已实现的ES CAViaR Mult RR VaR预测“恢复”了3个模型中最快的，如图3所示，在生成再次加入并跟随回报序列尾部的预测方面，速度最快。正如Harvey和Chakravarty（2009）所讨论的那样，传统的GARCH模型往往对极端事件反应过度，随后恢复非常缓慢，因为它们经常被估计为非常高的持续性水平。已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型明显改善了这方面的性能。通常，与传统的ARCH和原始ES鱼子酱模型相比，已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型更能描述波动性和尾部区域的动态，从而大大提高了风险水平预测的响应性和准确性，尤其是在高波动期之后。2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016-20-15-10-5S&P 500 ReturnGJR-GARCH-t-HSES-CAViaR-SAV-MultRealized-ES-CAViaR-Mult-RR图2：标准普尔500 VaR预测与GJR-GARCH-t-HS、ES CAViaR SAV Mult和ES CAViaR Mult RR。VRates：1.041%、1.278%和1.088%。分位数损失：0.0370、0.0387和0.0347。2011年7月2012年1月2012年7月2013年1月2013年7月2014年7月2014-10-8-6-4-2S&P 500 ReturnGJR-GARCH-t-HSES-CAViaR-SAV-MultRealized-ES-CAViaR-Mult-RR图3:GJR-GARCH-t-HS、ES CAViaRSAV Mult和实现ES CAViaR Mult RR的标准普尔500 VaR预测（放大）。

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2022-6-10 06:23:14

VRates：1.041%、1.278%和1.088%。分位数损失：0.0370、0.0387和0.0347。由于VRate接近预期水平是保证准确预测模型的必要条件，但并非有效条件，因此还采用了几个分位数精度和独立性测试。这些测试包括：Kupiec（1995）和Christo Offersen（1998）分别进行的无条件覆盖（UC）和条件覆盖（CC）测试，以及Engle和Manganelli（2004）的动态分位数（DQ使用滞后分别等于1和4）测试和Gaglianone等人（2011）的VQR测试。表3显示了指数或资产系列的总数（分别为七个），其中2.5%或1%的VaR预测模型均被拒绝，在5%的显著水平上进行。总的来说，与其他模型相比，已实现的ES鱼子酱模型一般不太可能受到背部测试的影响。大多数已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）型模型在每一列中排名前三。

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2022-6-10 06:23:17

第三部分，指数结果清楚地表明，与已实现的GARCH型模型相比，已实现的ES（-X）-CAViaR（-X）型模型被拒绝的可能性较小。5.3.2预期空头在预测期内，使用同一组51个模型对所有14个系列的1%和2.5%ES进行一步预测。为了评估ES预测，纳入了几个正式的后验测试，包括VA R＆ES联合损失（Fissler和Zeigel，2016；Taylor，2017）、ES回归后验测试（Bayerand Dimitriadis，2018）和模型置信集（MCS）后验测试（Hansen et al.，2011）。5.3.3 Taylor（2019）在第2.1节中讨论的VaR&ES联合损失函数表明，对于联合考虑的QT和EST，似然函数（10）的负对数是严格一致的，并且属于Fissler和Zeigel（2016）开发的VaR和ES的严格一致联合函数类别。方程（1-4）中的损失函数也称为AL log score inTaylor（201-9）。我们使用平均j点损失S=mPn+mt=n+1Stto正式和联合评估，并比较所有模型的VaR和ES预测。St（rt，V aRt，ESt）=-日志α - 1测试-（rt- Qt）（α-I（rt≤ Qt）αESt，（14）表4显示了预测期内的平均联合损失S，分别针对指数和资产。还包括基于每个模型的jo int VaR和损失s在指数和资产中的排名的平均排名。一般来说，在这一措施下，使用已实现的ES（-X）CAViaR（-X）框架的优势得到了明确的证明。就指数而言，按平均损失或平均排名，排名前三的模型均来自已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）家族。就资产而言，已实现的GARCH tG SSRV具有良好的性能，在两个数量级别上都是排名前3的模型，而最优秀的模型都来自已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）。

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2022-6-10 06:23:20

同样，使用SSRVand SSRV的已实现ES（-X）-CAVia R（-X）尤其优选关节损失值低且等级好的。此外，拜耳和Dimitriadis（2018）提出了一种基于回归的后验预测：它对ES预测和收益的截距项进行回归，并测试截距和斜率的系数是否分别为（0,1），并在5%的显著水平上进行。表5给出了该回溯测试的结果，显示了7个指数和7个资产的每个测试中每个模型的拒绝计数。可以看出，除了RealizedGARCH GG模型之外，该测试的功耗明显较低，产生的拒绝率也很低，该模型是唯一使用高斯条件回报分布的参数框架。然而，一般来说，与其他模型相比，拟议实现的ES（-X）-CaViaR-X类模型被测试拒绝的可能性仍然较小（或同等）。为了进一步证明，通过使用拟议的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型，可以提高额外的预测效率，图4显示了CARE、ES CAViaR-AR和已实现ES SSRRCAViaR SSR R R模型对S&P500的ES预测（放大）。这三种模型的VaR和ES联合Los分别为2.2890、2.2716和2.1191。图4显示了从RealizedES（-X）-CAViaR（-X）模型中获得的成本效率收益与VA R预测中的模式相似，甚至更清晰。CARE模型在预测期内1687天（79.8%）生成的ES预测比实际的ES SSRR CAVia R-SSRR模型更极端。此外，ES CAViaR AS Add模型比在1363天内实现ES SSRRCAViaR SSR R更极端（64.5%）。因此，与CARE和ES CAViaRAS Add相比，采用子采样实现范围的实现-ES-X-CAViaR-X明显提高了预测效率。

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2022-6-10 06:23:23

同样，对于具有其他资产回报序列的已实现ES（-X）鱼子酱（-X）模型，也经常观察到这种额外的效率。2011年1月-2011年7月-2012年1月-2012年7月-2013年1月-2013年7月-2014年7月-2014年12-10-8-6-4-2S&P 500 ReturnCAREES CAViaR AS AddRealized ES SSRR CAViaR SSRRFigure 4:S&P 500 ES Forecast（Zomed in）with CARE，ES CAViaR AS Adds and Realized ES SSRR CAVia R-SSRR。VaR和ES联合损失：2.2890、2.2716和2.1191.5.3.4模型置信度集Hansen et al.（2011）引入的MCS可以通过损失函数对一组预测模型进行统计比较。应用MCS进一步比较了27个预测模型。MCS是一组模型，其构造使其包含具有更高置信度的最佳模型，在本文中选择为90%。MCS测试的Matlab代码从“www.kevinsheppard.com/MFEToolbox”下载，适用于合并VaR和ES联合损失函数（14）。theMCS中使用了两种方法R和SQ来计算测试统计量。具体而言，R方法在计算中使用求和的a B绝对值，而SQ使用求和的平方；inHansen等人（2011年，第465页）提供了更多详细信息。在表6中，每列统计了一个模型包含在90%MCS中的系列数，包括七个指数和七个资产，以及1%和2.5%的量化水平。框表示最佳模型，虚线框表示第二个最佳模型，蓝色阴影表示第三个最佳模型。综上所述，与其他模型相比，拟议实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型更多或同等可能包含在MCS中。

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2022-6-10 06:23:26

表现最好的模型是利用SSRV和SSRR实现的ES（-X）-鱼子酱（-X），这两种模型在资产和指数以及1%和2.5%的水平上被纳入主题分类系统至少6次。关于指数的性能，所提出的已实现ES（-X）-鱼子酱（-X）模型明显优于其他具有已实现度量的模型，如CARE as X和已实现GARCH。关于资产的绩效，拟议的RealizedES（-X）-CAViaR（-X）模型、CARE-AS-X和Realized GARCH的绩效结果相近，其中大多数模型在不同的列中被排除在MCS之外。总的来说，当预测14个财务收益序列中1%和2.5%的VaR和ES时，通过预测准确性和模型比较的多个度量和测试，建议实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型的性能，尤其是采用次抽样RV和次抽样RR的模型，通常非常有利。6结论在本文中，我们首先提出了一种新的半参数实现条件自回归函数，称为实现鱼子酱。我们表明，在VaR估计和预测方面，所提出的已实现鱼子酱包括作为特例的已实现GARCH。其次，通过合并名为Realized ES（-X）-CAViaR（-X）的各种EScomponents，扩展了已实现的CAViaR框架。通过合并日内和高频波动率度量，在一系列竞争模型上观察到尾风险度量的样本外预测的改进。具体而言，在对14个财务回报序列的实证研究中，采用SSRV和SSRR的Realizedes（-X）-鱼子酱（-X）模型生成了最理想的Varandes预测。就VaR和ES预测的回溯测试而言，已实现的ES（-X）-鱼子酱（-X）模型也通常不太可能被拒绝。

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