使用期权对冲条件风险价值Maciej J.Capi\'nskiAGH科技大学，Al.Mickiewicza 30，30-059 Krak\'ow，Polandabstract我们提出了一种使用看跌期权对冲股票头寸条件风险价值的方法。结果导致了一个线性规划问题，可以解决这个问题来选择限制风险对冲。关键词：条件风险价值、预期缺口、风险度量、风险管理1。引言降低股票仓位风险的自然方法之一是购买看跌期权。通过这样做，一个人可以减少不受欢迎的情况，同时让自己接受积极的结果。选择看跌期权的高执行价确实会减少更多不利状态，但同时会产生更高的对冲成本。Ahn、Boudoukh、Richardson和Whitelaw[2]研究了如何平衡这两种趋势，以使风险价值（VaR）衡量的风险水平最小化的问题。风险价值（Value at Risk）是一项投资在给定信心水平下可能遭受损失的最坏情况，已确立其作为标准风险衡量标准之一的地位，并被广泛应用于整个金融风险管理领域。它的缺点之一是忽略了不太可能发生的事件的整体严重性。另一个原因是，它不是次加性的，因此不是一致的风险度量[3]。为了实现这些目标，最常见的修正是条件风险价值（CVaR）（也称为“预期缺口”），它考虑了平均损失：+48 505429347，传真：+48 126173165，电子邮件：maciej。capinski@agh.edu.plPreprint2015年4月14日提交给《欧洲运筹学杂志》。

CVaR是一个连贯的风险度量（证据可以在Acerbi和Tasche[1]的工作中找到）。在本文中，我们展示了一个镜像结果To[2]，使用CVaR代替VaR。结果表明，在这种设置下，我们可以实现用看跌期权对冲的股票CVaR的封闭式公式。这些可以通过解决线性规划问题来优化位置。我们将注意力限制在布莱克-斯科尔斯模型上，并考虑股票和看跌期权的投资。CVaR的优化可以在更一般的假设下进行，使用lso其他证券（例如见Rockafellar和Uryasev[6,7]）。人们还可以动态对冲CVa R（如梅尔尼科夫和斯米尔诺夫[5]的工作），这提供了略好的结果。然而，动态战略需要不断地重新平衡，这在实践中可能代价高昂。我们的方法的优点如下：简单；CVaR的闭式解析公式；风险防护与使用动态策略可以实现的防护非常相似。本文的组织结构如下。第2节回顾了Ahn、Boudoukh、Richardson和Whitelaw[2]利用看跌期权对冲VaR的结果。本节也是本文的预备部分。在第3节中，我们将结果归纳为使用CVaR代替VaR。定理4给出了本文的主要结果。本节以一个应用示例结束。在第4节中，我们将我们的方法与使用动态策略得出的结果进行比较。结果他们很接近。我们在第5.2节中用一个简短的结论来完成本文。

套期保值风险价值在本节中，我们设置了符号，并回顾了Ahn、Boudoukh、Richardson和Whitelaw[2]的结果。设X是一个随机变量，代表一项投资的收益。对于（0,1）中的α，我们定义了置信水平为1的X风险值- α、 作为VaRα（X）=-qα（X），其中qα（X）是X的上α-分位数。我们考虑Black-Scholes模型，其中股票价格根据dS（t）=uS（t）dt+σS（t）dW（t）演变，货币市场账户da（t）=rA（t）dt。执行价为K且到期日为T的欧式看跌期权的收益P（T）=（K- S（T））+和costsP（0）=P（r，T，K，S（0），σ）=Ke-rTN(-D-) -S（0）N(-其中d+=d+（r，T，K，S（0），σ）=lnS（0）K+r+σTσ√T、 （2）d-= D-（r，T，K，S（0），σ）=d+- σ√T，N是标准正态累积分布函数。假设我们购买x股股票和ziput期权，价格为i=1，n和t=0，t。设z，1和P（t）为向量，定义为z=Z锌, 1 =..., P（t）=P（t）。。。Pn（t）.我们在t时的投资价值为V（x，z）（t）=xS（t）+zTP（t）。以下t heorem可用于计算贴现收益x（x，z）=e的VaR-rTV（x，z）（T）- V（x，z）（0）。定理1。[2] 如果子≥ 0，对于i=1，n、 和zT1≤ x、 thenVaRαX（X，z）= V（x，z）（0）- E-rTxqα（S（T））- zTqα(-P（T））, （3） 其中qα(-P（T））=-（K）- qα（S（T））+。。。（千牛）- qα（S（T）））+. (4)3. VaR的缺点之一是它忽略了损失分布的尾部。这方面的一个改进是条件值atRisk，定义为asCVaRα（X）=αZαVaRβ（X）dβ=-αZαqβ（X）dβ，具有众所周知的等效形式CVarα（X）=-αE（X1{X≤qα（X）}）+qα（X）（α- P（X）≤ qα（X））. （5） CVaR还有一个优势，即它是一个连贯的风险度量[1,3]。我们的目标是给出定理1的一个mirr或结果，使用CVaR作为风险度量。

我们从一个简单的引理开始。引理2。任何问题∈ R、 ES（T）| W（T）≤ Q√T=N（q）S（0）euTNQ- σ√T.证据设Z=W（T）/√T自P（Z）≤ q） =N（q）>0，E（S（T）|Z≤ q） =P（Z）≤ q） Zq-∞S（0）eu-σT+σ√T x√2πe-xdx=N（q）S（0）euTZq-∞√2πe-（十）-σ√T） dx=N（q）S（0）euTNQ- σ√T,按要求。设Z为标准正态分布N（0，1）的随机变量。为了计算CVaRα（X（X，z）），我们引入了符号SDu-= D-（u，T，K，S（0），σ），du+=du-+ σ√T，du，α-= 最大（du）-, -qα（Z）），du，α+=du，α-+ σ√T，Pα（K）=Ke-uTN(-αd，ud-) - S（0）N(-du，α+。（6） 我们首先考虑的情况是，当我们投资于单次行使K=K的看跌期权时。建议3。如果z=z，对于z=z∈ [0，x]，大鱼际αX（X，z）= V（x，z）（0）-αe（u）-r） ThxS（0）Nqα（Z）- σ√T+ zPα（K）i.证明。我们首先观察到x（x，z）=e-rTxS（T）+z（K）- S（T））+- V（x，z）（0）。（7） 自从z≤ x、 我们看到了→ E-rTxs+z（K）- （s）+- V（x，z）（0）（8）是s的无n递减函数，也是ξ→ S（0）exp(u - σ/2）T+σ√Tξ越来越多。结合这两个事实，取Z=W（T）/√TX（X，z）≤ qα（X（X，z））= {S（T）≤ qα（S（T））}={Z≤ qα（Z）}。（9） 我们首先证明z<x的索赔。然后（8）严格增加，因此（x（x，z）≤ qα（X（X，z））=P（S（T）≤ qα（S（T））=α，cvarα（X（X，z））=-EX（X，z）|X（X，z）≤ qα（X（X，z））= -EX（X，z）|z≤ qα（Z）（见（9））=V（x，z）（0）- E-rTxE（S（T）|Z≤ qα（Z））（见（7））- E-rTzE（K）- S（T））+|Z≤ qα（Z）. （10） 现在我们计算（10）中的最后一项。自{S（T）≤ K} ={Z≤ -du-},E（K）- S（T））+|Z≤ qα（Z）=αZmin（qα（Z），-du-)-∞K- S（0）eu-σT+σ√T x√2πe-xdx=αZ-du，α--∞K√2πe-xdx-αZ-du，α--∞S（0）eu-σT+σ√T x√2πe-xdx=αKN(-du，α-) -αP（Z）≤ -du，α-)E（S（T）| Z≤ -du，α-)=αKN(-du，α-) -αS（0）euTN-du，α-- σ√T（通过引理2）=αeuT柯-uTN(-du，α-) - S（0）N(-du，α+）.将上述内容代入（10）并应用引理2给出了权利要求。现在我们需要考虑z=x的情况。

从那以后∈ （0，1），limzxqβ（X（X，z））=qβ（X（X，X）），我们得到了limzxCVaRαX（X，z）= limzx-1αZαqβ（X（X，Z））dβ=-1αZαqβ（X（X，X））dβ=CVaRαX（X，X）.因此，结果来自于这样一个事实，即权利要求中的CVaRα（X（X，z））的公式相对于z是连续的。我们现在可以表述我们的主要结果。定理4。如果子≥ 0表示i=1，n和z+…+锌≤ x、 thenCVaRα（x（x，z））=V（x，z）（0）-αe（u）-r） ThxS（0）Nqα（Z）- σ√T+ zTPαi，（11），其中Pα=（Pα（K），Pα（Kn））。证据这个证明遵循了命题3的镜像论证。我们展示了定理4是如何应用的。假设x是固定的。我们研究如何最大限度地降低CVaRαX（X，z）通过选择z。假设weinvest Vand花费c=V- 看跌期权上的xS（0）。通过（11），最小化CVaRαX（X，z）相当于问题：min-zTPα受制于：zTP（0）=c，zT1≤ x、 z，锌≥ 这是一个线性规划问题，很容易用数值方法求解。结果可以通过计算E来补充X（X，z）进行风险/回报类型分析。给出了一种直接计算方法X（X，z）= E-rTxS（0）euT+zTE（P（T））- V（x，z）（0），其中e（P（T））=euTP（u，T，K，S（0），σ）。。。P（u，T，Kn，S（0），σ）.例5。考虑S（0）=100，u=10%，σ=0.2和r=3%。假设我们花费V=1000，投资于行使价格为SK=80、K=90、K=100、K=110、K=120和到期日T=1的股票和看跌期权。考虑到c，对于α=0.05，Weshall so l ve（12）∈ [0, 160 ].由于x（0）+c=V，所以x（d）的选择取决于c。我们计算向量：P（0）=0.8602.7696.45812.04219.220, Pα=0.3660.8191.2711.7242.176, E（P（T））=0.4201.5744.1488.52714.686.问题（12）的解决方案是：Cx ZZZZZ CV aRαE0 10 0 0 0 0 0 0 302.24 72.5120 9.8 3.74 6.06 0 0 180.35 61.8440 9.6 0 5.96 3.64 0 126.24 53.3560 9.40 0 0.19 9.21 0 89.64 45.5280 9.20 0 5.51 3.69 0 71.42 39 39 39.41100 0 0 0 0 0 1.50 7.50 0 53.82 33.35120 8。