将分布与风险价值和预期短缺相匹配

2022-5-8 06:21:32

将分布拟合为风险价值和预期短缺，并将其应用于Overed bondsDirk Tasche*担保债券是优先担保债务的一个具体例子。如果债券发行人违约，担保池中资产的收益将用于偿还债务。如果在这种情况下，覆盖池收益不足以偿还债务，债券的债权人对发行人的资产有追索权，他们的债权与优先无担保债务的债权人的债权是平等的。历史上，备兑债券一直是非常安全的投资。在其两百多年的历史中，投资者从未因担保债券的拖欠而蒙受损失。从风险管理的角度来看，对备兑债券损失进行预先建模，主要是为了评估备兑池资产对发行人高级未备兑债券损失特征的影响。我们分别探讨了一个和两个资产价值变量的有担保债券和高级无担保债务损失的单期结构建模方法。显然，两个资产模型分别具有覆盖池和发行人剩余投资组合的价值，因此可以进行更真实的建模。然而，我们证明了这种模型的精确校准可能是不可能的。我们还研究了一个单一资产模型，其中，通过基于风险的发行人资产的产权负担比率调整来反映担保池的风险。关键词：备兑债券，预期损失，资产价值分布，分位数，预期短缺，矩量法，双参数分布族。1.介绍担保债券是通常由发行人提供服务的特殊债务工具。

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2022-5-8 06:21:35

但是，如果发行人违约并且无法再支付应付给担保债券持有人的款项，则债务服务将以担保债券池中资产的收益为基础继续进行。如果在债券发行人违约的情况下，覆盖池资产的收益不足以偿还债务，并且债券持有人的索赔不能通过资产清算得到满足，债券持有人仍然可以对发行人的剩余资产进行追索。然后，他们的债权与发行人优先无担保债务持有人的债权平等。*电子邮件：德克。tasche@gmx.netThe作者目前在英国审慎监管局（英国银行的一个部门）工作。他还是伦敦帝国理工学院的热心教授。本文中表达的观点是作者的观点，并不一定反映英格兰银行的观点。欧洲担保债券委员会在其网站上http://ecbc.hypo.org/提供与担保债券相关的定义和财产的详细信息。因此，与发行人的大多数其他债权人相比，担保债券持有人享有特权地位。事实上，从未观察到欧洲担保债券因未付款而出现损失（EPRS，2015年）。虽然这对备兑债券投资者来说是个好消息，但这使得估计备兑债券的预期损失变得困难。长期以来，备兑债券一直是受欢迎的投资，尤其是在欧洲。由于最近的金融危机，担保债券成为银行更重要的融资工具，取代了证券化产品等工具。因此，由于抵押品需求增加，银行资产负债表中的资产负担正在增加。这导致人们担心，优先无担保债务债权人的预期损失也在增加（CGFS，2013）。

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2022-5-8 06:21:39

但目前尚不清楚如何有效量化这种影响，以便进行损失准备金或压力测试。本文借鉴了最近关于将对数正态资产价值分布拟合为给定违约概率（PD）和给定违约损失（LGD）估计值（Yang，2015）和关于资产产权负担（ChanLau和Oura，2014）的工作，为担保债券提出了简单直观的模型，允许对预期损失和资产产权负担的影响进行量化评估。我们发现，即使考虑到债券发行人和担保债券持有人的不同时间期限，在某些情况下，单期对数正态双资产模型也无法精确校准。建议的调整对数正态一资产模型代表了校准问题的可接受解决方案，但前提是覆盖池的信用质量仅略好于债券发行人的信用质量。论文组织如下：o在第2节中，我们回顾了Yang（2015）的PD和LGD fitting观察，证明两个模型参数存在唯一的解决方案，并将该方法置于矩量法的一般背景下在第3节中，我们将Chan Lau和Oura（2014）的对数正态一资产模型扩展为对数正态二资产模型，并提供了利用该模型对担保债券、高级无担保债务和初级债务的预期损失进行有效数值计算的公式当模型参数已知时，双资产模型的计算非常简单。然而，我们在第4节中表明，参数的校准会导致非线性方程系统，可能根本没有精确解在第5节中，我们回顾了Chan Lau和Oura（2014）提出的单一资产模型。

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2022-5-8 06:21:42

我们根据风险调整投资组合异质性模型，方法是修改与覆盖债券相关的资产负担比率，以反映覆盖池的预期损失。我们证明了在同质投资组合的情况下，调整后的对数正态单资产模型等价于第3节讨论的双资产模型的一个共单调特例。因此，毫不奇怪，模型的精确校准并不总是可能的在第6节中，我们提供了一些数字示例，说明资产依赖性、资产产权负担以及用调整后的单资产模型近似两资产模型的影响本文在第7节中总结了一些评论附录A提供了均值-方差匹配的背景信息。2.分位数预期短缺匹配矩量法可能是将分布拟合到一组给定特征的最常用方法。但这并不是唯一可行的方法。例如，Hosking（1992年）指出，与所谓的L-矩匹配可能会提供与标准拟合优度测试结果更一致的结果。在与财务相关的背景下，Tasche（2009）建议对评级或评分模型的违约概率曲线进行准动量匹配，以适当反映评级模型的歧视性力量。在最近的一篇论文中，Yang（2015）观察到对数正态分布可能由特定的PD（违约概率）和恢复率（或等效的LGD）唯一确定。假设X是一个可积的实值随机变量，它被解释为显示金融资产在未来某个时间点的价值，比如未来一年。当然，只有当X是非负随机变量时，资产价值解释才成立。

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2022-5-8 06:21:45

尽管如此，以下概念适用于任何实随机变量X：o设D∈ R（解释为到期偿还的债务）。然后，与D isP相关的PD（违约概率）D=P[X<D]。（2.1a）o让D∈ R\\{0}使得pd>0。然后与D isRR=E[X | X<D]D=E[x1{X<D}]dp[X<D]相关的RR（恢复率）。（2.1b）说明回收率等同于说明LGD（违约损失），定义为LGD=100%- RR。备注2.1如果X具有正密度分布，则由（2.1a）得出的阈值D是X的P D级分位数，即D=qP D（X），qα一般由qα（Z）=min{Z:P[Z]定义≤ z]≥ α} 对于0<α<1和任何实值随机变量Z。在金融界，与损失变量相关的分位数通常被称为风险价值（VaR）。类似地，对于具有正密度分布的X，与D相关的回收率与P D级X的预期短缺密切相关：RR=ESP D（X）D，而ESα通常定义为Yα（Z）=α-1Zαqu（Z）du=E[Z | Z≤ qα（Z）]- （qα（Z）- E[Z | Z≤ qα（Z）]）P[Z≤ qα（Z）]- 1..对于0<α<1和任意实值随机变量Z.如果P[Z≤ qα（Z）]=a，由此可知esα（Z）=E[Z | Z≤ qα（Z）]，参见附录A，了解其最简单版本的简要说明，即均值-方差匹配。事件E的指示函数1E由1E（ω）=1定义为ω∈ E和1E（ω）=0表示ω/∈ 而通常我们只有ESα（Z）≤ E[Z | Z≤ qα（Z）]。在金融界，ES通常与损失变量相关，因此被定义为与分布的上（右）尾相关的条件预期（Acerbi和Tasche，2002）。

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2022-5-8 06:21:47

在文献中，ES也被称为条件VaR（Rockafellar和Uryasev，2002）或平均VaR（F¨ollmer和Schied，2011）。在下文中，我们将研究如何将分布拟合到给定的PD和RR（或等效于给定的分位数和ES）的问题。因此，我们将有两个方程来确定分布。这就是为什么考虑两个参数的位置-规模分布族是很自然的，定义如下。定义2.2设X为给定分布的实值随机变量。然后是随机变量m+sx，m的分布集∈ R、 s>0被称为与生成变量X相关的位置-尺度分布族。根据备注2.1，我们在下文中对两个参数分布族的分位数ES匹配进行的所有观察也立即适用于PD-LGD匹配。2.1. 与位置-规模分布家族匹配的分位数E假设分位数置信水平q的值为0<α<1∈ 给出了分位数R，ES的t<q，以及生成随机变量X的位置-尺度分布族。此外，我们假设X是可积的，因此ESα（X）是定义明确的。我们还假设ESα（X）<qα（X）成立。如果Y=m+sx和m∈ R和s>0表示位置标度族的任何元素，其α分位数和ESα分别由qα（Y）=m+sqα（X），ESα（Y）=m+s ESα（X）给出。（2.2a）因此，对于m和s givess=q，求q=qα（Y）和t=ESα（Y）- tqα（X）- ESα（X），m=q-Q- tqα（X）- ESα（X）qα（X）。（2.2b）在特殊情况下，X是分位数Φ的标准正态分布-1（α）=qα（X），我们有α（X）=-φ(Φ-1(α))α< Φ-1(α).一方面，这提供了著名不等式Φ的证明(-a） <~n（a）a，表示a>0。

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能者818

2022-5-8 06:21:50

（2.3）另一方面，在标准正常情况下（2.2b）如下所示：s=α（q- t） αΦ-1(α) + φ(Φ-1（α）），m=αtΦ-1（α）+q~n（Φ-1(α))α Φ-1(α) + φ(Φ-1(α)).（2.4）Φ表示标准正态分布函数。ν表示标准正常密度。由于位置尺度分布族的位置参数可以是任意实数，因此该族中的一些或所有分布的支持集中可能包含负枚举数。因此，一般位置-尺度分布族不能用于拟合正实轴或单位区间上的分布。2.2. 分位数ES与对数正态分布匹配在正实半轴上生成两个参数分布族的简单方法是采用定义2.2意义上的位置尺度族的指数。因此，我们研究了shapeY=exp（m+sx），（2.5）的分布，其中X表示生成位置尺度族的随机变量，我们假设m∈ R大于0。我们希望将对数正态分布的随机变量Y（如（2.5）所示，X为标准正态分布，将置信水平的给定值0<α<1，α分位数的给定值q，ESα的给定值t<q。既然y是正的，我们也必须要求0<t<q。然后我们必须解m和s的以下非线性方程组：q=qα经验（m+s X）= 经验（m+s）-1（α），t=ESα经验（m+s X）= α-1exp（m+s/2）Φ对数（q）-太太- s.（2.6a）关于第二行（2.6a）的推导，请参见，例如Yang（2015，附录A）。将（2.6a）中的第一行重新排列为m，并将第二行中的m替换为结果项givesm=log（q）- sΦ-1（α），0=qΦΦ-1(α) - s- αt试验sΦ-1(α) - s/2.（2.6b）a、b的提案2.3∈ 固定定义函数f:R→ R byf（s）=Φ（a）-（s）- b exp（a）s- （s/2）。如果0<b<Φ（a），那么只有一个s∈ R使得f（s）=0。

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2022-5-8 06:21:54

这个数字证明了他们的不合格0<s<~n（a）b+a。观察f具有以下性质：（i）f（0）=Φ（a）- b>0。（ii）lims→∞f（s）=0。（iii）f与f（s）=exp（a）s连续可微- （s/2）b.s- a b- ~n（a）.通过（iii）函数f在s=~n（a）b+a处有一个唯一的全局最小值。通过（ii）它必须保持f（s）<0。通过f和（i）的连续性，有s∈ （0，s）使得f（s）=0。f的这个零点是唯一的，因为f只有一个极值。2根据命题2.3，对于0<a<1和0<t<q的每一个三元组（α，q，t），只有一个解（m，s）∈ R×（0，∞) 是（2.6b），因此也是（2.6a）。该溶液的组分s满足其质量要求0<s<~nΦ-1(α)qαt+Φ-1(α). （2.7）不平等的左侧（2.7）可以通过利用这样一个事实，即通过ESα的定义和（2.6b）的第一个等式，我们没有=ESα，从而在一定程度上得到强化经验（m+s X）< E[exp（m+sx）]=em+s/2=qes/2-Φ-1（α）s.一些代数表明Φ-1(α)≥ 2对数（q/t）这意味着S>Φ-1（α）+qΦ-1(α)- 2对数（q/t）。（2.8）在以下情况下：Φ-1(α)< 2 log（q/t）s没有进一步的约束，即s>0。s的另一个更清晰的下界（在给定分位数q和ES t的条件下）可以从以下定理中得出，该定理将Das和Stein（2013）在证券化背景下所做的观察形式化。定理2.4设Z为实随机变量且q>0，使得P[Z]≤ 0]=0，P[Z≤ q] >0和Z 7→ P[Z≤ z] 对于z是凸的∈ （0，q）。那么它认为e[Z | Z≤ q]≥q、证据。注意这一点≤q} ]=qp[Z≤ q]-ZqP[Z≤ z] dz。

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2022-5-8 06:21:57

（2.9）对于任何0<r<q和r≤ Z≤ q我们通过z 7的凸性得到→ P[Z≤ z] thatP[z]≤ z]≤Q- zq- rP[Z≤ r] +z- rq- rP[Z≤ q] 。作者：r→ 这意味着0<z≤ q thatP[Z≤ z]≤zqP[Z≤ q] 。利用（2.9）中的这个不等式给出[z1{Z≤q} ]≥ q P[Z≤ q]-q P[Z≤ q] =qp[Z≤ q] 。除以P[Z]≤ q] 现在证明了这一说法。2假设在（2.6a）中我们有t<q/2。因为对数正态密度是单峰的，所以定理2.4意味着分布的模式小于q，即em-s<q.利用（2.6b）的第一个方程-Φ-1（α）s-s<q<==> s>-Φ-1(α). （2.10）对于α≤ 0.001因此，如果输入数据上的条件t<q/2成立，则s必然大于3。更一般地说，就回收率和LGD而言，定理2.4表明，对于具有单峰密度的“直观”资产价值分布，只要默认阈值D不大于资产价值密度的模式，预期回收率RR不小于50%（或者，等价地，LGD不大于50%）。3.担保债券损失的简单模型关于担保债券的数学定价或信用损失模型的文献不多Kenyon（2009）提出了一个详细的定价模型，该模型基于覆盖池中违约和违约资产替换的时间连续建模Chan Lau和Oura讨论了由一组产权负担资产和一组无产权负担资产组成的银行投资组合回收率的单期模型（2014年，第II D节）。Chan Lau和Oura通过一个随机变量对整个银行投资组合的价值进行建模。

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2022-5-8 06:22:01

这意味着担保池和非担保池之间存在同质性的假设，因此两个子投资组合都可以用一个资产价值变量建模。在缺乏适当校准数据（即担保债券的违约和损失观察）的情况下，由模型校准问题驱动，在这里，我们遵循Chan Lau andOura（2014）的简单方法，但介绍了几个要素：o我们从本节开始，使用一个具有两个资产价值变量的模型：一个用于担保池（如担保债券的担保池），另一个用于无担保池，即补充担保池的投资组合部分。o然后，我们假设银行的总债务由三部分组成：有担保（通过担保池、过度抵押）债务、高级无担保债务和初级无担保债务。担保债券通常是优先担保债务：如果担保池不足以满足担保债券的服务，担保债券债务的未担保债权与优先未担保债务是平等的，并且比初级无担保债务的级别更高此外，在第5节中，我们通过调整产权负担比率来重新定义Chan Lau和Oura（2014）的单资产模型，以考虑覆盖池的风险，并研究上述双资产案例中的三部分债务结构。3.1. 一期两资产在本文中，我们只研究担保债券发行人的投资组合中同时存在高级和初级（即次级）债务的情况。根据这种情况下的公式，无初级债务情况下的公式可通过在以下方程式中设置S=U和U=0轻松获得。在主题术语中，设置如下：oC是发行人资产负债表中优先担保（由担保池）债务的金额。S是高级无担保债务的数量。

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2022-5-8 06:22:04

U是剩余债务的金额，假设为次级担保债务v是担保债券的过度抵押水平。v=20%意味着共同债券的价值为担保债券面值的120%。对于受监管的担保债券，一般而言，存在过度抵押的最低要求。下面，参数v用于模型校准X是担保覆盖池资产（担保覆盖债券）的未来价值，Y是剩余资产的未来价值，Z=X+Y是发行人投资组合的未来总价值。作为资产值，X和Y不能为负。我们认为X、Y和Z的值是不可预测的，因此将它们视为随机变量RCI是指担保债券的回收率，RSI是指高级无担保债务的回收率，RUI是指初级无担保债务的回收率。RC、Rs和Ru是随机变量LC=1- RCis指担保债券的损失率，LS=1- RSI是无担保债务的损失率，LU=1- RUI是初级无担保债务的损失率。在简化的一个时期背景下，观察期结束时的以下事件（用数学术语描述）会给次级债务、优先未偿还债务或担保债券的债权人造成财务损失：o发行人违约，但总资产足以支付所有优先债务（担保债券和无担保优先债务）：Z<C+S+U，Z≥ C+S。不同类别债权人的损失率如下：LU=1-Z- （C+S）U，LC=LS=0。（3.1a）o发行人违约，总资产不足以支付所有优先债务（担保债券和无担保优先债务）。担保池用于支付担保债券的债务偿还。我们假设覆盖池的盈余（即。

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2022-5-8 06:22:07

不需要支付担保债券的担保池资产的金额将提供给优先无担保债务的债权人（实际上，这可能只会在多年后发生）。这种情况可以用Z<C+S+U，Z<C+S，X来描述≥ C.隐含损失率如下：LC=0，LS=1-Z- CS，LU=1。（3.1b）o发行人违约，总资产不足以支付所有优先债务（担保债券和无担保优先债务）。担保池不足以支付担保债券的还本付息：Z<C+S+U，Z<C+S，X<C.（3.1c）在这种情况下，债权人会经历这些损失率（Chan Lau和Oura，2014，见图1）：LC=（C）- 十）（S+C）- Z）（S+C）- 十） C，LS=S+C- ZS+C- 十、 LU=1。（3.1d）乍一看，发行人资产的总价值足以支付所有债务，但由于担保债券的资产负担，没有足够的流动性来支付未担保债券（Z≥ C+S+U，X≥ C、 Y<S+U）也可能被视为损失事件。然而，就本文而言，我们不将该事件视为损失事件，因为从长远来看，无担保债务的债权人应从担保池的盈余中全额偿付。类似地，事件Z≥ C+S+U，X<C也不是损失事件，因为担保债券持有人的目标是针对有偿付能力的债券发行人，尽管担保池（尽管过度抵押）将不足以支付担保债券。备注3.1损失假设（3.1a）、（3.1b）和（3.1d）的一个重要结果是，当且仅当Z=X+Y<C+S+U时，债券发行人才承担损失（即发行人违约）。因此，对于债券发行人的PD P[Z<C+S+U]，它认为P[Z<C+S+U]≤ P[X<C+S+U]。

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能者818

2022-5-8 06:22:10

（3.2）图1：方程式（3.1d）的说明：陈刘和欧拉（2014）的图10。如果覆盖池资产的信用质量比债券发行人的剩余资产的信用质量好得多，（3.2）可能是双资产模型的主要限制，因为这意味着发行人的PD不能任意变差（参见第4.1节的示例）。更准确地说：请注意，根据（3.1c），coverpool的独立（即没有债券发行人的支持）损失概率为P[X<C]。因此，如果担保池的信贷质量良好（即P[X<C]较小），且S+UI与C相比较小（即大多数公司的投资组合被抵押为担保债券的抵押品），那么（3.2）意味着债券发行人的PD也较小，即使其他资产风险很高。在任何情况下，重要的是要记住，（3.2）中的概率可能指的是不同的时间范围，这取决于模型部署的目的：o如果模型用于计算（比如）债券发行人的一年PD和LGD，P[Z<C+S+U]指发行人的一年期PD，而P[X<C+S+U]应与覆盖资产作为抵押品的覆盖债券的到期日有关。因为只有在覆盖池资产不再抵押后，发行人的无担保债权人才能在多大程度上追索覆盖池资产以满足其债权如果该模型用于计算（比如）受保债券的一年预期损失，则P[Z<C+S+U]和P[X<C+S+U]必须指一年的时间范围。因为在这种情况下，只有在债券发行人违约的情况下，才可能发生承保债券损失事件。一年后，担保债券的违约由担保池的价值触发。

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2022-5-8 06:22:13

一年后的备兑债券回收价值由备兑池资产和剩余资产的一年价值确定。3.2. 双资产对数正态分布模型中的备兑债券预期损失自从默顿（1974）发表开创性论文以来，用对数正态分布对公司资产价值分布进行建模一直非常流行。这样做是方便的，如果不是总是真实的。在这里，我们之所以采用这种方法，主要是因为它允许将模型设置为稀疏的给定数据。假设第3.1节中的X和Y都是对数正态变量，由正态copula连接。HenceX=exp（u+σξ），Y=exp（ν+τη），（3.3）带u，ν∈ R、 σ，τ>0和（ξ，η）~ N,1 %% 1大约%∈ [0, 1]. 由于两个对数正态随机变量之和通常不是对数正态分布，因此第3.1节中列出的变量的大多数概率和预期只能通过数值计算。为了便于数值计算，在下文中，我们提供了评估损失概率和预期损失的公式，这些损失不需要比一维积分更多的数值效果。我们需要区分%<1和%=1这两种情况（当X和Y是共单调的）。例%<1。我们利用了这样一个事实，即通过（3.3）中连接ξ和η的正态copula假设，ξ=x条件下η的分布是正态的，平均值为%x，标准偏差为p1- %.

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2022-5-8 06:22:17

通过应用分解定理，我们得到了第3.1节中列出的损失事件概率的以下方程式：P[Z<C+S+U，Z≥ C+S]=EP[Y<C+S+U- 十、 Y≥ C+S- X | X]=日志（C+S+U）-σZ-∞ν（x）Φ日志（C+S+U）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx-日志（C+S）-σZ-∞ν（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx，（3.4a）P[Z<C+S+U，Z<C+S，X≥ C] =对数（C+S）-Zlog（C）-*σ*（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx，（3.4b）P[Z<C+S+U，Z<C+S，X<C]=log（C）-σZ-∞ν（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx。（3.4c）我们通过将方程（3.1a）、（3.1b）和（3.1d）中的损失变量积分到各自的损失事件中，然后将结果相加，从而获得预期损失率的公式。在推导（3.5a）和（3.5b）时，我们使用了（2.6a）中的第二个等式。ce[LC]=log（C）-σZ-∞C- eu+σxν（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx- eν+τ（1）-%)/2log（C）-σZ-∞（C）- eu+σx）eτ%xC+S- eu+σx~n（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%- τp1- %dx，（3.5a）se[LS]=（C+S）P[Z<C+S，X≥ C]-日志（C+S）-Zlog（C）-uσeu+σx~n（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx-日志-ντZ-∞eν+τx~n（x）Φ对数（C+S）-eν+τx）-（u+σ%x）σ√1.-%- Φ日志（C）-（u+σ%x）σ√1.-%dx- seν+τ（1）-%)/2log（C）-σZ-∞eτ%xC+S- eu+σx~n（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%- τp1- %dx+sp[Z<C+S，X<C]，（3.5b）ue[LU]=up[Z<C+S]+（C+S+U）P[C+S≤ Z<C+S+U]+对数（C+S）-σZ-∞eu+σx~n（x）Φ对数（C+S）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx-日志（C+S+U）-σZ-∞eu+σx~n（x）Φ日志（C+S+U）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx+log（C+S）-ντZ-∞eν+τxν（x）Φ对数（C+S）-eν+τx）-（u+σ%x）σ√1.-%dx-日志（C+S+U）-ντZ-∞eν+τxν（x）Φ日志（C+S+U）-eν+τx）-（u+σ%x）σ√1.-%dx。（3.5c）病例%=1。在这种情况下，资产价值变量X和Y是共单调的，即如果其中一个已知，另一个的值也已知。这是两个随机变量之间最强烈的依赖类型。

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2022-5-8 06:22:21

它定义了一种最坏的情况，因为在发行人剩余资产的损失较高的同时，覆盖债券的覆盖池也出现了高损失。用x（a）表示a>0时方程a=eu+σx+eν+τx的唯一解。（3.6）第3.1节中损失事件的概率可计算如下p[Z<C+S+U，Z≥ C+S]=Φx（C+S+U）- Φx（C+S）, （3.7a）P[Z<C+S+U，Z<C+S，X≥ C] =最大值Φx（C+S）- Φ日志（C）-uσ, 0, （3.7b）P[Z<C+S+U，Z<C+S，X<C]=Φ闵x（C+S），对数（C）-uσ. （3.7c）尽管在这种情况下，该模型基本上是一维的，但由于（3.1d）中损失变量的非线性结构，在评估以下等式（3.8a）和（3.8b）时，无法避免数值积分，以计算担保债券和高级无担保债务持有人的预期损失。相反，初级债务持有人的预期损失不需要太多计算功能，如图所示（3.8c）。C E[LC]=min（对数C）-μσ，x（C+S））Z-∞~n（x）C- eu+σxC+S- eu+σx- eν+τxC+S- eu+σxdx，（3.8a）se[LS]=sp[Z<C+S，X<C]- Smin（日志（C）-μσ，x（C+S））Z-∞ν（x）eν+τxC+S- eu+σxdx+（C+S）P[Z<C+S，X≥ C]- eu+σ/2maxΦx（C+S）- σ- Φ日志（C）-uσ- σ, 0- eν+τ/2maxΦx（C+S）- τ- Φ日志（C）-uσ- τ, 0, （3.8b）UE[LU]=U P[Z<C+S]+（C+S+U）P[Z<C+S+U，Z≥ C+S]- eu+σ/2Φx（C+S+U）-σ- Φx（C+S）- σ- eν+τ/2Φx（C+S+U）-τ- Φx（C+S）- τ. （3.8c）4。两种资产模型的校准金融机构的信用风险通常以机构的PD和LGD表示。如第2节所述，通常可以通过改变矩量法来确定机构资产价值的分布，从而匹配给定的PD和LGD（见（2.1a）和（2.1b））。

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2022-5-8 06:22:24

然而，为了实现第3.1节和第3.2节所述的双资产模型，我们需要分别对覆盖池和剩余资产的价值对（X，Y）进行联合分配。4.1. 对数正态情况在（3.3）规定的双资产对数正态模型的情况下，我们必须确定五个参数的值u、σ、ν、τ和%。如果有一种方法可以将与发行担保债券的金融机构相关的PD和LGD（或相当于PD和预期损失）拆分，分别对担保池和剩余资产池进行PD和LGD估计，那就太好了。然后，我们可以使用第2.2节中的方法，分别拟合覆盖池资产和其他资产的对数正态边际分布（即参数u、σ、ν、τ），并尝试以某种方式估计相关性%或仅为%选择适当的值。由于存在明显的最坏情况（共单调边际分布的情况%=1），选择%可能比估计更好，因为这样模型很容易在保守的一面出错。在没有进一步限制的情况下，很可能有许多方法可以将发行人的PD和LGD拆分为子投资组合的PD和LGD参数，从经济角度来看，其中一些方法甚至可能是合理的。但有些限制实际上是有道理的。

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2022-5-8 06:22:28

鉴于如果打算免除债券投资者的资本要求，则需要获得担保债券发行的监管批准，那么担保池可能会受到有关其组成和风险的若干规则的约束。因此，似乎可以安全地假设覆盖池的损失概率和预期损失估计Pcover和ELcover=PcoverggdCover是可用的。有许多不同的方法来校准覆盖池资产价值参数，以提供NPcoverage和ELcoverage。在这里，我们建议根据覆盖池资产价值低于“覆盖债券的面值乘以（100%加上过度抵押水平）”阈值的事件概率和低于阈值的短缺预期值进行校准。用C>0表示担保债券的面值，用v>0表示担保债券的过度抵押水平，如第3.1节所示。因此，我们有担保债券的面值×（100%加上过度抵押水平）=C（1+v）。为了确定覆盖池资产价值的对数正态表示（3.3）参数，我们利用备注2.1中关于PD、阈值和回收率与PD、分位数和ES之间关系的观察结果。一旦我们用阈值C（1+v）和ELcover=pcover（1）表示了资产价值的分位数安第斯- RRcover），我们可以使用第2.2节的结果来推断u和σ的值。X表示覆盖池的资产价值。

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2022-5-8 06:22:30

如备注2.1所示，我们有C（1+v）=qpcover（X）和spcover（X）C（1+v）=RRcover<==> ESpcover（X）=C（1+v）pcover- Elpcover。（2.6a）和（2.6b）现在表示u和σ的以下方程系统：u=对数（（1+v）C）- σ Φ-1（pcover），0=ΦΦ-1（pcover）- σ-pcover- ELcover经验σ Φ-1（pcover）- σ/2.（4.1）第（4.1）行中的系数1+v反映了这样一个事实，即风险特征是针对整个覆盖池提供的，而不仅仅是针对具有覆盖债券价值的部分。回想一下，根据命题2.3，（4.1）有一个唯一的解决方案（u，σ）∈ R×（0，∞). 因此，可以假设覆盖池资产价值的参数u和σ是已知的。债券发行人投资组合中剩余资产的价值分布参数ν和τ的情况并非如此，因为除非这些资产被抵押为借款抵押品，否则通常不会公开有关银行投资组合的结构和风险的详细信息。尽管如此，我们仍可以尝试确定ν和τ的隐含值，如下所示。由发行人的违约概率、发行人的违约概率和发行人的未偿债务总额（包括已发行的担保债券）表示。在第3.1节的设置中，Dissuer=C+S+U。如第3.2节所述，我们将Pissuer和Lgdisuer表示为参数u、σ、ν、τ和%的函数。在%<1的情况下，X和Y如（3.3）所示，我们得到的第一个方程为pisuer=P[X+Y<Dissuer]=log（Dissuer）-σZ-∞ν（x）Φ日志（Dissuer）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx。（4.2a）对于第二个方程，我们得到了dissuer（1）- LGDissuer）=E（X+Y）1{X+Y<Dissuer}=日志（Dissuer）-σZ-∞eu+σx~n（x）Φ日志（Dissuer）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%dx+eν+τ（1）-%)/2log（Dissuer）-σZ-∞eτ%xа（x）Φ日志（Dissuer）-eu+σx）-（ν+τ%x）τ√1.-%- τp1- %dx。

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能者818

2022-5-8 06:22:34

（4.2b）在%=1的情况下，第一个方程为φx（迪苏尔）, （4.3a）为了简单起见，我们假设我们获得了发行人全部债务的LGD。在实践中，发行人的优先无担保债务更可能有LGD。如果%<1，则将（4.2b）的右侧替换为（3.5b），如果%=1，则将（4.3b）的右侧替换为（3.8b）。其中，对于a>0，函数x（a）定义为（3.6）的解。第二个方程式由Dissuer（1）给出- LGDissuer）=eu+σ/2Φx（迪苏尔）- σ+ eν+τ/2Φx（迪苏尔）- τ. （4.3b）假设参数u、σ和%已知，我们必须求解方程组（4.2a）和（4.2b）（或分别为（4.3a）和（4.3b））以对第3.2节中的对数正态双资产模型进行完全参数化。不幸的是，没有明显的方法来转换方程组（4.2a）和（4.2b），从而分离变量ν和τ。这对于方程组（4.3a）和（4.3b）在共单调情况下是不同的%=1。因此，我们可以对系统的解决方案陈述以下结果。该命题表明，存在输入数据pcover、ELcover、C、v、pisuer、LGDissuer和dissuer的组合，使得方程组（4.3a）和（4.3b）对于ν和τ根本没有解。命题4.1假设Dissuer>0，0<pissuer<1，0<LGDissuer<1，u∈ R和σ>0已知并保持为x。然后存在一个解（ν，τ）∈ R×（0，∞) 方程组（4.3a）和（4.3b）的当且仅当它保持0<Pisuer<Φ日志（Dissuer）- uσ和（4.4a）Pisuereu+σΦ-1（皮苏尔）- eu+σ/2ΦΦ-1（皮苏尔）- σPissuerdisuer<lgdisuer<1-eu+σ/2ΦΦ-1（皮苏尔）- σ皮苏尔·迪苏尔。（4.4b）如果有解（ν，τ）∈ R×（0，∞) 在（4.3a）和（4.3b）中，它是独一无二的。证据

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2022-5-8 06:22:38

为了更简洁的表示法，在这个证明中，我们删除了索引“issuer”。注意，对于任何有限元（ν，τ），方程D=eu+σx（D）+eν+τx（D）（4.5）的解x（D）必须满足yx（D）<log（D）- uσ.共单调性（%=1）意味着（3.3）中的随机变量X和Y可以表示为某些标准正态变量ξ的X=eu+σξ，Y=eν+τξ。因此，P=P[eu+σξ+eν+τξ<D]=P[ξ<x（D）]<Pξ<log（D）- uσ= Φ日志（D）- uσ.这表明（4.4a）对于解的存在是必要的。现在假设p满足（4.4a）和（ν，τ）是（4.3a）和（4.3b）的解。然后（4.5）就可以解出ν：ν=logD- eu+σx（D）- τx（D）。将其替换为术语eν+τ/2Φ中的νx（D）- τ取（4.3b），以获得termg（τ）def=D- eu+σx（D）eτ/2-τx（D）Φx（D）- τ.g对τisg（τ）的导数=D- eu+σx（D）eτ/2-τx（D）Φ（x（D）- τ) (τ - x（D））- φ(τ - x（D））.图2：命题4.1的说明。担保池两组参数的债券发行人PD和LGD范围。较小的范围（双阴影）与覆盖池PD和LGD为0有关。分别为05%和30%。较大的范围（单阴影）与覆盖池PD和LGD分别为0.5%和50%有关。更多解释请参见示例4.2。0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.0120.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0组合PDDBY（2.3），如果在所有τ>0的情况下遵循g（τ）<0，则g是一个严格的递减函数。因此g是从（0）映射到，∞) 到limτ→∞g（τ），limτ→0g（τ）. 很容易看出（再次使用（2.3））thatlimτ→0g（τ）=D- eu+σx（D）p、 limτ→∞g（τ）=0。通过重新排列（4.3b），使得LGD是方程一侧的唯一项，因此（4.4b）对于（4.3a）和（4.3b）的解的存在是必要的。效率源于g是“on”这一事实。

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2022-5-8 06:22:42

解的唯一性是g严格递减的结果。2示例4.2为了说明命题4.1的后果，在图2中，我们绘制了债券发行人在覆盖池的两组参数下可能的PD LGD范围（有关参数含义的信息，请参见第3.1节）：oC=0.3，S=0.6，U=0.1，v=0.2，o（pcover，LGDcover）∈ {（0.0005,0.3），（0.005,0.5）}，o%=1（共单调病例）。阅读图2的示例：债券发行人的PD=2%无法通过覆盖池的两个参数集实现。债券发行人的PD=0.8%，LGD=40%可通过（pcover，LGDcover）=（0.005，0.5）实现，但不能通过（pcover，LGDcover）=（0.0005，0.3）实现。直观地说，命题4.1和示例4.2中债券发行人的PD-LGD范围受限是由以下现象引起的：覆盖池资产价值X分布的输入参数pcover、ELcover、C和v可能会迫使X具有较大的方差，而同时输入参数PISUER、LGDissuer、，发行人资产价值的分布Z=X+Y可能会迫使Z有一个小的方差。因此，模型（3.3）可能无法满足给定的风险特征。但回想一下备注3.1中关于风险特征时间范围的适当选择的评论。在一定程度上，在正确的时间范围内，没有一个精确匹配的两资产模型的问题可能会得到缓解。由于方程组（4.2a）和（4.2b）的复杂结构，当系统完全没有解时，很难尝试和分析问题的细节。为了更好地说明问题的原因，在本节的其余部分，我们将分析一个基于两个联合正态分布资产价值变量的玩具模型。4.2.

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2022-5-8 06:22:45

模型存在在两个共同正常资产价值的情况下，在本例中，我们保留第3.2节和第4节中的所有假设不变，但将（3.3）替换为x=u+σξ，Y=ν+τη，（4.6），其中我们有u，ν∈ R、 σ，τ>0和（ξ，η）~ N,1 %% 1大约%∈ [0, 1]. 这不是资产价值建模的假设，因为X和Y可能取负值。但这有助于说明潜在的校准问题，因为两个联合正态随机变量之和也是正态的。因此，在这种情况下，与方程（4.2a）和（4.2b）（或（4.3a）和（4.3b））的对数正态情形相反，我们得到了标定方程的封闭形式解。在（4.6）项下，参数u和σ的方程式由（参见第2.1节）u=（1+v）C给出- σ Φ-1（pcover），σ=（1+v）C Elcover pcoverΦ-1（pcover）+~nΦ-1（pcover）.（4.7）ν和τ的方程组（4.2a）和（4.2b）替换为ν=Dissuer- u - ψ Φ-1（皮苏尔），τ=pψ- (1 - %) σ- σ%，ψ=dissuer-pissuerlgdisuer-pissuerΦ-1（皮苏尔）+~nΦ-1（皮苏尔）.（4.8）关于（4.8），很容易看出τ>0<==> ψ > σ. （4.9）参数ψ实际上是债券发行人总资产价值的隐含标准差。如上所述，条件（4.9）是存在一个双资产模型的自然条件，该模型包含覆盖池和发行人整个投资组合的PD和LGD约束。然而，尽管在假设（4.6）的情况下，该条件对于基于联合正态分布的模型的存在确实是必要且充分的，但不清楚类似的陈述在假设（3.3）的情况下是否成立。请注意，即使（4.9）是令人满意的，结果模型仍然可能没有经济意义，因为它可能发生≤ 0.5.

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2022-5-8 06:22:48

对数正态单资产模型如第4节所示，可能不可能精确地为涵盖债券计算建立双资产模型。因此，在本节中，我们将考虑如何实施对数正态单资产模型，并探索如何使其对覆盖池和剩余资产的风险差异敏感。对数正态单资产模型。担保债券发行人总资产（包括担保池资产）的不确定未来价值A由A=exp（κ+ψξ），（5.1）给出，其中ξ是标准正态随机变量。对于常数ε，覆盖池资产的价值为εA∈ （0，1）。ε的数字称为资产产权负担比率。在本节中，我们基本上再次假设第3.1节的设置，X=εA，Y=（1）- ε）答：如果发行人的PD和LGD LGDISSUERARE已知，那么对数正态单资产模型的参数κ和ψ的校准是简单的（见对（4.1）推导的评论）：κ=log（C+s+U）- ψ Φ-1（皮苏尔），0=ΦΦ-1（皮苏尔）- ψ-皮苏尔- 埃利苏尔经验ψ Φ-1（皮萨）- ψ/2,（5.2）使用ELissuer=Pissuerlgdisuer。根据命题2.3，方程组（5.2）有唯一的解（κ，ψ）原则上，产权负担比率ε可以确定为ε=（1+v）CA，（5.3），其中A>C+S+U是发行人在时间0（今天）的总资产，v是担保债券的过度抵押水平，C是担保债券的面值。在实践中，由于一些可能的原因，Amight的价值无法准确地知道。特别是，在摊销成本会计制度下，资产价值的总和可能被认为是对其真实总价值的过于不可靠且可能过于保守的估计。这就是为什么在本节中，我们探索如何从过度抵押v的水平和覆盖池的预期损失中隐含地推断ε。5.1.

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2022-5-8 06:22:51

调整资产产权负担比率假设，除了第3.1节中的债务金额C、S和U以及过度抵押水平v和参数κ、ψ（根据（5.2）进行校准）之外，还提供了覆盖池的预期损失覆盖值。其想法是找到ε，使得（1+v）C ELcover=E（1+v）C- εA{εA<（1+v）C}. （5.4）实际上，（5.4）相当于（4.1）的第二个等式。回想一下，我们用一个标准正态随机变量ξ将Portfolio的值表示为A=eκ+ψξ。由于θ=κ+对数（ε），因此我们可以将（5.4）改写为（1+v）C ELcover=E（1+v）C- eθ+ψξ{eθ+ψξ<（1+v）C}= （1+v）CΦ对数（1+v）C- θψ!- eθ+ψ/2Φlog（1+v）C- θψ- ψ!def=f（θ）。（5.5）基于（5.5），可以证明（5.4）总是有唯一解ε：命题5.1正好有一个θ∈ R使得f（θ）=（1+v）C ELcover，其中f（θ）由（5.5）定义。证据显然，我们有limθ→-∞f（θ）=（1+v）C.极限行为limθ→∞f（θ）=0不那么明显，但从（2.3）中得出。由于0<ELcover<1，因此通过f的连续性，f（θ）=（1+v）C ELcover有一个解。因为θ<θ意味着eθ+ψξ<（1+v）Ceθ+ψξ<（1+v）C我们获得了θ<θE（1+v）C- eθ+ψξ{eθ+ψξ<（1+v）C}≥ E（1+v）C- eθ+ψξ{eθ+ψξ<（1+v）C}> E（1+v）C- eθ+ψξ{eθ+ψξ<（1+v）C}.这意味着f（θ）=（1+v）C的解的唯一性。2根据命题5.1，我们可以以下列方式定义备兑债券预期损失的对数正态单资产模型：定义5.2假设发行人的PD Pisuer、发行人的预期损失ELissuer、备兑池预期损失ELcover、备兑债券的债务面值C、高级无担保债务的s、初级无担保债务的UF、，并给出了担保债券的过度抵押水平v。

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2022-5-8 06:22:54

然后，通过以下两个校准步骤指定调整后的对数正态单资产模型：o用ξ参数化资产值A=eκ+ψξ~ N（0，1），κ∈ 通过求解（对于κ和ψ）方程组（5.2），R和ψ>0通过求解唯一解θ的（5.5）并设置ε=min（1，eθ），确定调整后的产权负担比率ε-κ).定义5.2的第二个校准步骤中需要ε的100%上限，因为尽管ε始终是正的，但不能保证它小于1，特别是如果Elcoverage和Elissuer的值非常不同。ε大于100%的值在经济上是没有意义的，因为这样一来，发行人投资组合中的非覆盖池资产的价值将为负值。实际上，以类似于Proposition 4.1的方式，我们可以说明对于发行人投资组合的给定特征，哪些值可以准确实现。以下观察结果是（5.5）中的函数f（θ）是参数θ的递减函数（如命题5.1的证明所示）。备注5.3在定义5.2的设置中，可与调整后的对数正态单资产模型匹配的覆盖池的最小预期损失为lCOVER，min=Φlog（1+v）C- κψ!-eκ+ψ/2（1+v）CΦlog（1+v）C- κψ- ψ!.如第3.2节和第4.1节所述，调整后的对数正态单资产模型与对数正态双资产模型有多大区别？以下命题有助于解释这一点。命题5.4考虑以下两个二元随机向量：o（εA，（1- ε） A）0<ε<1，A=eκ+ψζ，ζ~ N（0，1），κ∈ R、 ψ>0。

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2022-5-8 06:22:57

将这种模式称为1.o（X，Y）X=eu+σξ，Y=eν+τη，ξη~ N,1 %% 1, u, ν ∈ R、 σ，τ>0，%∈ [-1, 1].把这个叫做模型2。模型1和模型2在如下意义上是等价的：当且仅当ψ=τ=σ，%=1，ε=eueu+eν，κ=log（eu+eν）时，各自的随机向量具有相同的分布。（5.6）证据。首先假设（5.6）满足%=1和σ=τ，我们几乎可以确定（X，Y）=eu+σξ，eν+σξ.利用ψ=σ以及（5.6）中ε和κ的表示，我们得到了u+σξ=εeκ+ψξ，eν+σξ=（1）- ε） eκ+ψξ。自ξ~ N（0，1），这意味着命题5.4的“如果”部分。现在假设模型1和模型2分别隐含的二元分布相等。然后，特别是对数（εA）=log的分布() + κ+ψζ和log（X）=u+σξ相等。由于ζ和ξ均为标准正态，因此u=对数() + κ和σ=ψ。同样的道理也适用于（1）- ε） A和Y给出了ν=log（1- ) + κ和τ=ψ。因此我们有ψ=τ=σ和u-日志() = ν -日志（1）-) 给出ε=eueu+eν。这意味着κ=u-日志() = 对数（eu+eν）。通过ψ>0（εA，（1）的成分-ε） A）是共单调的。因此X和Y也是共单调的，这意味着log（X）=u+σξ和log（Y）=ν+τη是共单调的。然而，如果两个联合正态随机变量的相关性为1，则它们仅为共单调变量。这就完成了“仅当”的证明。2根据命题5.4，对于同质投资组合，定义5.2的调整后对数正态单资产模型是第3.2节对数正态双资产模型的一个共单调特例。

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2022-5-8 06:23:00

为了正式证明这一点，我们考虑以下类型的对数正态双资产模型。定义5.5（3.3）中规定的对数正态双资产模型，如果按照以下方式进行校准，则称为保证金校准：o担保债券的债务面值C，高级无担保债务的债务面值S，初级债务的债务面值U给出了v级过度抵押相关参数%是根据专家判断或单独的校准练习选择的通过求解方程组（4.1）确定参数u和σ通过求解方程组ν=log（S+U）确定参数ν和τ- v C）- τ Φ-1（波特），0=ΦΦ-1（波特）- τ-波特- 埃洛瑟经验τ Φ-1（波特）- τ/2,（5.7）其中Pother和Elother分别表示发行人的投资组合（不包括覆盖池）的独立损失概率和预期损失。术语-Vc是（4.1）中术语1+v的结果，以反映覆盖池的过度抵押。该术语是确保总债务为C+S+U所需的修正。定义5.5中的校准方法在计算上比第4.1节中的校准方法要求低，且始终可行。但如第4.1节所述，通常没有对potherandELothermight的估计值可作为（5.7）的输入。尽管如此，为了与调整后的对数正态单资产模型进行比较和说明，如以下注释和第6节所示，经利润率校准的双资产模型是有用的。备注5.6在定义5.5的共单调情况下（%=1），如果另外pother=pcoverandELother=ELcover（即发行人的投资组合在风险方面是同质的），则根据命题2.3if，σ=τ。因此，根据命题5.4，双资产模型可以表示为对数正态单资产模型。

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