债务抵押债券期限结构模型的单调性

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收藏 2022-06-13

英文标题：
《Monotonicity of the collateralized debt obligations term structure model》
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作者：
Micha{\\l} Barski
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
The problem of existence of arbitrage free and monotone CDO term structure models is studied. Conditions for positivity and monotonicity of the corresponding Heath-Jarrow-Morton-Musiela equation for the $x$-forward rates with the use of the Milian type result are formulated. Two state spaces are taken into account - of square integrable functions and a Sobolev space. For the first the regularity results concerning pointwise monotonicity are proven. Arbitrage free and monotone models are characterized in terms of the volatility of the model and characteristics of the driving L\\\'evy process.
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中文摘要：
研究了无套利单调CDO期限结构模型的存在性问题。利用Milian型结果，给出了相应的Heath-Jarrow-Morton-Musiela方程对于$x$远期利率的正性和单调性条件。考虑了两个状态空间——平方可积函数和Sobolev空间。首先证明了关于点态单调性的正则性结果。无套利和单调模型的特征是模型的波动性和驱动L挈evy过程的特征。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Monotonicity_of_the_collateralized_debt_obligations_term_structure_model.pdf
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kedemingshi

2022-6-13 20:44:31

债务抵押债券的单调性期限结构模型莱比锡大学数学与计算机科学学院、德国数学学院、波兰首都华沙卡迪纳·l·斯特凡·怀兹基大学。Barski@math.uni-莱比锡。2018年6月26日摘要研究了无套利单调CDO期限结构模型的存在性问题。利用米利安型结果，给出了相应的x-远期利率Heath-Jarrowmoton-Musiela方程的正性和单调性条件。考虑了两个状态空间——平方可积函数和Sobolev空间。首先，证明了关于逐点单调性的正则性结果。无套利和单调模型的特征是模式l的波动性和驱动l’evy过程的特征。关键词：CDO模型，债券市场，HJM条件，HJMM方程，单调性。AMS科目分类：91B28、91B70、91B24。JEL分类编号：G10，G111简介A可违约（T，x）-到期日T>0且信用评级为x的债券∈ 我【0，1】，简称（T，x）-债券，是一种金融合同，在时间T向持有人支付1欧元，前提是债券的发行人在时间T之前没有破产。以上I组代表所有可能的信用评级。Bank破裂是用所谓的损失过程{L（t），t≥ 0}从零开始，递增并取区间[0，1]中的值。如果损失超过信用评级，债券就一文不值。因此，（T，x）-债券的支付形式为{LT≤x} 。（t，x）-债券的价格P（t，t，x）是由P（t，t，x）=1{Lt≤x} e类-RTtf（t，u，x）du，t∈ [0，T]，（1.1），其中f（·，·，x）表示x远期利率。

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可人4

2022-6-13 20:44:34

值x=1对应于无风险债券，f（t，t，1）确定短期利率过程viaf（t，t，1），t≥ 因此，（T，x）-债券市场完全由x-远期利率族和损失过程L决定。该模型是经典不可违约债券市场的扩展，可以在I为单态时，即I={1}时识别。上述（T，x）-债券模型与在真实市场上直接交易的可违约债券不对应。例如，在这种情况下，（T，x）-债券的禁令k破产自动意味着（T，x）-债券在x<x时破产。然而，实际上，信用评级较高的债券可能比信用评级较低的债券更早违约。（T，x）-债券在[3]中被介绍为与称为债务抵押债券（CDO）的可违约资产池相关的基本工具，这些资产实际上在市场上广泛交易。在CDO市场模型中，损失过程L（t）描述了池中在t>0之前违约的部分，而F（LT），其中F是一些函数，指定了t>0时的CDO支付。特别是，（T，x）-债券可与数字型CDO支付确定，其函数为f（z）=Fx（z）：=1[0，x]（z），x∈ 一、 z∈ [0, 1].然后，在t时，在支付点（Fx（LT））的th价格≤ T等于P（T，T，x）。此外，如[3]所示，每个常规CDO债权都可以通过（T，x）-债券的特定组合组合组合进行复制，从而也可以进行定价。因此，（T，x）债券的模型决定了CDO支付的结构。价格的诱导家族sp（T，T，x），T≥ 0，x∈ 一、将被称为CDO期限结构模型或brie FLY CDO模型。在实际市场上，支付更多的索赔的价格总是更高。

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kedemingshi

2022-6-13 20:44:38

这意味着p（t，t，x）=pt（Fx（LT））≤ pt（Fx（LT））=P（t，t，x），t∈ [0，T]，x<x，x，x∈ 一、（1.2）这意味着（T，x）-债券的价格在x中增加。类似地，如果索赔金额更高，则其价值更高，henceP（T，T，x）=pt（Fx（LT））≥ pt（Fx（LT））=P（t，t，x），t∈ [0，T]，T<T，x∈ 一、（1.3）这意味着（T，x）-债券价格在T中下降。如果两个条件（1.2）、（1.3）都满足，则CDO期限结构模型称为单调模型。令人惊讶的是，（T，x）-债券价格的单调性在数学模型中并不总是保持不变，即使它们满足严重的套利条件，参见[3]p.60。本文的目的是研究无套利单调的CDO期限结构模型。该问题也在【14】中进行了研究，但模型设置和使用的方法与本文中提出的不同。我们考虑Musiela参数化器（t，z，xi）中的x-远期利率的有限族：=f（t，t+z，xi），t，z≥ 0，xi∈ 一、 I={0≤ x<x<…<xn=1}并研究由pricesP（t，t，xi）=1{Lt≤xi}e-RT公司-tr（t，u，xi）du，t，t≥ 0，xi∈ 一、远期利率动态由MDR（t）的随机偏微分方程（SPDE）给出=Ar（t）+F（t，r（t））dt+G（t，r（t-))dZ（t），t≥ 0，（1.4）其中A是微分运算符：Ah（z，xi）=zh（z，xi）和z是一维L'evyprocess。漂移F由过程z的波动率G和拉普拉斯指数确定，通过希思-杰罗-莫顿条件的广义版本。方程（1.4）的解被称为Heath-Jarrow Morton-Musiela方程，假设取Hilbertspaces L2，γnor H1，γn中的值，这意味着r（t，·，xi），对于每个xi∈ 一、是平方可积函数，分别为。

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mingdashike22

2022-6-13 20:44:41

属于具有平方可积一阶导数的函数的Sobolev空间。从[15]中的结果，也可参见[3]，可以推断出无套利CDO模型的存在性等价于（1.4）解的零点处的d点态单调性的可解性，即r（t，0，xi）≥ r（t，0，xi+1），i=1，2。。。，n-1，几乎所有t≥ 0。（1.5）我们的方法基于检查xi中的正性和单调性∈ （1.4）溶液的I。推广Milian的结果，见[8]，该结果最初处理维纳过程驱动的S-PD，我们推导了L'evy过程的波动率G和跳跃的条件，这些条件等价于L2，γn值正演算法的正性和单调性（1.4）。这些是条件（P 1），（P 2），（M1），（M2），请参见第4节，以获取精确公式，其中表明G必须满足某些增长和Lipschitz型条件，常数取决于过程Z的可能跳跃。L2中r的单调性，γndoes并不意味着（1.5），因为rdoes不必逐点定义。然而，我们表明，在Z的平方可积条件下，（1.4）的解实际上满足（1.5），从而自动生成无套利CDO模型。其单调性源于x-远期利率的正性和单调性。这些结果表示为定理4.1和命题4.3。定理4.2给出了由（1.4）的H1，γn值解生成的无套利单调CDO模型的条件。在这种情况下，正如我们在命题4.4中所示，H1，γ元素的正则性证明了正条件（p1），（p2）对于CDO模型是无套利单调的是有效的。我们不需要（M1）或（M2）。上述结果需要（1.4）中的变换F和G具有线性增长并满足线性增长条件。

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kedemingshi

2022-6-13 20:44:44

根据Gin L2，γn，resp的正则性给出了相应的条件。位置4.5和命题4.6规定了L’evy过程的H1、γ和特性。本文的结构如下。在第2节中，我们给出了[3]和[15]关于CDO模型中无套利的初步结果。在这里，我们遵循原始文件，并使用x远期利率的标准参数化。第3节给出了涉及Heath-Jarrow-Morton-Musiela方程的单调性问题的精确公式。第4节包含主要结果的公式，即定理4.1和定理4.2，以及两个辅助结果——关于单调性和逐点单调性问题的命题4.3和命题4.4。在第4.1小节中，我们给出了主要结果所需的线性增长条件和局部Lipschitz条件。第4.2小节给出了关于积极性和非积极性的进一步评论。证据推迟到第5节。确认。作者要感谢A.Rusinek、T.Schmidt、S.Tappe和J。感谢Zabczyk进行的鼓舞人心的讨论和提出的有益建议。2无套利条件为了解释本文的模型框架，我们收集了文献[3]和文献[15]的初步结果。他们关注的是远期利率确定的CDO市场无套利条件，采用标准参数化，动态如下：df（t，t，xi）=a（t，t，xi）dt+b（t，t，xi）dZ（t），t>0，t>0，xi∈ 一、（2.6）其中Z是一维L'evy过程，I={x，x，…，xn}，0≤ x<x<<xn=1。方程（2.6）可被视为一个随机方程系统，其参数为到期日T>0和信用评级xi∈ 一、上述模型在[15]和[3]中研究过，当Z是维纳过程时。在非默认上下文中，即。

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kedemingshi

2022-6-13 20:44:49

当I={1}时，one得到了文献[6]中介绍的经典债券市场模型设置。L'evy过程Z允许以下L'evy It^o分解Z（t）=at+qW（t）+ZtZ{'y|≤1} yπ（ds，dy）+ZtZ{y |>1}yπ（ds，dy），t≥ 0，（2.7），其中∈ R、 q≥ 0，W是维纳过程，（π），π是Z的（补偿）泊松跳跃测度。上面的ν代表Z的L'evy测度，因此满足|∧ 1） ν（dy）<+∞.特征三重态（a，q，ν）以独特的方式决定了L'evy过程。无套利条件的中心作用是Z的拉普拉斯变换形式J，由（e）定义-zZ（t））=etJ（z），t≥ 0。（2.8）众所周知，J的域的形式为：={z∈ R:Z{| y |>1}e-zyν（dy）<+∞},即| J（z）|<+∞ 当且仅当z∈ B、参见【13】、【10】。因此，如果B 6= 然后，存在L'evy过程的一些指数矩。制定等价于CDO市场无套利的条件，即确保贴现债券价格^P（t，t，xi）：=e-Rtf（s，s，1）dsP（t，t，xi）=e-Rtf（s，s，1）ds{Lt≤x} e类-RTtf（t，u，x）du，t>0，xi∈ 一、是局部鞅，我们需要以下一组假设（A1）-（A3）。（A1）损失过程L是一个c\'adl\'ag，形式为Lt=Ps的非递减、自适应、纯跳跃过程≤t型△Ls，t≥ 0，绝对连续补偿器v（t，dx）dt满足RTV（s，I）ds<+∞.在（A1）过程1{Lt≤xi}是每个xi的c\'adl\'ag∈ I的强度为λ（t，xi）：=v（t，（xi- Lt，1]），即进程{Lt≤xi}-Zt{Ls≤xi}λ（s，xi）ds，是鞅。

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能者818

2022-6-13 20:44:53

此外，λ（t，xi）在xi是递增和递减的∈ 一、（A2）对于每个（T，xi），系数a（T，T，xi）、b（T，T，xi）是可预测的，并且具有有界的轨迹。（A3）对于每个r>0，功能U→Z{| y |>1}e-uyν（dy）在集{u上有界∈ R：| u|≤ r}∩ B、以下结果来自【15】。定理2.1假设（A1）-（A3）成立。a） If^P（t，t，xi），xi∈ 一、 T>0是局部鞅，然后是ztsb（s，u，xi）du∈ B（2.9）表示任何0≤ t型≤ 集合{Lt上的s≤ xi，dP×dt a.s。。b）如果（2.9）成立，则^P（t，t，xi），xi∈ 一、当且仅当ifZsta（T，u，xi）du=J时，T>0是局部鞅Zstb（t、u、xi）du, （2.10）f（t，t，xi）=f（t，t，1）+λ（t，xi），（2.11）对于任何0≤ t型≤ 集合{Lt上的s≤ xi，dP×dt a.s。。如果I是单态，即I={1}，W是维纳过程，则J（z）=zand方程（2.10）从[6]简化为众所周知的Heath-jarrow-Morton条件。微分（2.10）在syields中，漂移a（t，t，xi）=J′的显式公式ZTtb（t、u、xi）dub（t，t，xi），（2.12）就模型的波动性而言。方程（2.11）反映了转发速率和损失过程L的分布之间的关系。因此，损失过程L可能不会以任意方式产生先验。事实上，损失过程由条件（2.10）、（2.11）唯一确定。为了了解这一点，我们直接遵循[3]中提出的论点。在不失去普遍性的情况下，我们假设概率空间具有以下结构e（A4）Ohm = Ohm× Ohm, F=G H、 Ft=Gt Ht，P（dω）=P（dω）P（ω，dω），ω=（ω，ω）∈ Ohm,在哪里(Ohm, G、（Gt），P）支持L'evy流程Z和Ohm是递增的I值标记点函数的正则空间，赋予filtrationht：=σ{ω（s）：s≤ t、 ω∈ Ohm}, H：=H∞.现在，我们可以确定损失过程ω（t）=Lt（ω）的路径，并将（2.6）和满意的（2.12）作为(Ohm, G、 Gt，P）。

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能者818

2022-6-13 20:44:56

如果该方程有解，则条件（2.11）可以写成v（ω，t，dx）=-f（ω，t，t，ω（t）+dx），这意味着损耗过程的补偿器由f决定。确定过程L的分布的问题等价于找到概率核P（ω，dω），从而-f（ω，t，t，ω（t）+dx）实际上形成一个补偿器。如果f（t，t，xi）在xi中减少，则这是成立的。这导致以下结果，这是进一步分析的起点。定理2.2假设（A1）-（a4）满足。如果（2.10）成立且（2.6）对损失过程Lt的每条路径都有解，则函数xi-→ f（t，t，xi），xi∈ 一、（2.13）是降低dP×dt a.s，过程f（t，t，xi）是渐进的，然后是族{f（t，t，xi）；t，t≥0，xi∈ 一} 形成无套利CDO模型。3问题的表述在这里，我们通过将标准参数化转换为Musiela参数化（首次在[9]中使用），重新表述了x远期利率（2.6）的动力学。对于运行时间t和成熟度t，定义了一个新参数z=t-t称为成熟期。然后，Musiela参数化中的前进速率由r（t，z，xi）：=f（t，t+z，xi），t给出≥ 0，z≥ 0，xi∈ 一、诱导债券价格byP（t，t，xi）=1{Lt≤xi}e-RT公司-tr（t，u，xi）du，xi∈ 一、 T型≥ 0。（3.14）从（2.6）开始，使用g（t，z，xi）：=b（t，t+z，xi），F（t，z，xi）：=a（t，t+z，xi）。我们得到（t）（z，xi）=St（r）（z，xi）+ZtSt-sF（s）（z，xi）ds+ZtSt-sG（s）（z，xi）dZ（s），（3.15），其中s表示移位半群St（h）（z，xi）：=h（t+z，xi）。

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nandehutu2022

2022-6-13 20:44:59

这意味着r是方程dr（t，z，xi）的弱解=Ar（t，z，xi）+F（t，z，xi）dt+G（t，z，xi）dZ（t），t，t≥ 0，xi∈ 一、（3.16）对于由ar（t，z，xi）给出的半群S的生成器a：=r（t，z，xi）z、假设（3.16）中的波动率G为G（t，r（t））形式的变换-)) 其中g（t，Д）（z，xi）=g（t，z，xi，Lt，Д（z）），t≥ 0，z≥ 0，Д=Д（z），（3.17），其中LTI是一个损失过程，G（·，·，xi，·，·）=：gi（·，·，·，·：·）：R+×R+×I×Rn→ R、 i=1，2。。。，n、（3.18）是一系列功能。由于我们只对无套利模型感兴趣，因此从（2.12）可以看出，（3.16）中的漂移系数F=F（t，r（t）），由F（t，ν）（z，xi）：=J′确定ZzG（t，Д）（u，xi）duG（t，Д）（z，xi），t≥ 0，z≥ 0，Д=Д（z）；xi∈ 一、（3.19）SPDE（3.16），其中波动率G由（3.17）给出，漂移F的形式为（3.19），将在续集a Heath Jarrow Morton-Musiela（HJMM）方程中调用。因此，HJMM方程由G和函数J′确定，而函数J′又由L′evy过程的特征三重态决定。例如，在[1]、[2]、[4]、[5]、[7]中研究了不可违约上下文中的HJMM方程。需要指定（3.16）解的状态空间。为此，让我们介绍两个定义在R+上的可测量实值函数的希尔伯特空间。第一个由平方可积函数L2组成，γ：=nh:k h kL2，γ：=Z+∞| h（u）| eγudu<+∞o、第二个是Sobolev空间-L2的子空间，γ由H1定义，γ：=nh:k h kH1，γ：=Z+∞（| h（u）|+| h′（u）|）eγudu<+∞o、其中γ>0。HJMM方程的状态空间为L2，γnand H1，γn，包含函数h:R+×I-→ R使得h（·，xi）∈ L2，γ，分别为。

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nandehutu2022

2022-6-13 20:45:03

h（·，xi）∈ 每个xi的H1、γ∈ 一、赋予标准sk h kL2，γ：=nXi=1k h（·，xi）kL2，γ，k h kH1，γ：=nXi=1k h（·，xi）kH1，γ。它们成为希尔伯特空间。根据定理2.2，如果损失过程的每条路径{Lt，t存在HJMM方程的解，则CDO模型是无套利的≥ 0}并且它在0处是点态单调的，即r（t，0，xi）≥ r（t，0，xi+1），i=1，2。。。，n- 1，几乎所有t≥ 0.（3.20）我们还要求（3.14）给出的（T，xi）-债券价格在T≥ 0并在xi增加∈ 一、 4主要结果的表述表征无套利单调CDO期限结构模型的四个条件要求（3.17）和（3.19）给出的变换G，F为局部Lipschitz，并满足H中的线性增长条件（LGC），其中H代表状态空间，即它等于L2，γnor H1，γn。精确地说，F，G是局部Lipschitz（LC），如果任何R>0存在≥ 0使得k F（t，x）- F（t，y）kH≤ CRk x公司- y kH，k G（t，x）- G（t，y）kH≤ CRk x公司- y kH（4.21）对于任何x，y∈ H使得k x kH，k y kH≤ R、如果存在，则满足线性增长条件≥ 0使得K F（t，x）kH≤ C k x kH，k G（t，x）kH≤ C k x kH（4.22），对于任何x，y∈ H、第一个结果与sp ace L2，γn有关。回想起来，sup{ν}代表L'evy度量的支持。定理4.1 Let（A1）- （A4）满足。假设F和G是局部Lipschitz变换，在L2，γn中线性增长。那么以下陈述成立。a）对于损失过程的任何路径，空间L2，γn.b）中HJMM方程存在唯一的弱解，如果r=（r，r，…，rn），r≥ r≥ ...

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kedemingshi

2022-6-13 20:45:06

≥ rn、t、z≥ 0，l∈ 一、 u型∈ supp{ν}，i=1，2。。。，n- 1保持（M1）gi（t，z，l，r）=gi+1（t，z，l，r），如果ri=ri+1，（M2）gi+1（t、z、l、r）- gi（t、z、l、r）u≤ 国际扶轮社- ri+1。andZ{| y|≥1} | y |ν（dy）<+∞, （4.23）那么HJMM方程的解在零处是逐点单调的。因此，由此产生的CDO模型是无套利的。c）如果r=（r，r，…，rn），r≥ 0，t，z≥ 0，l∈ 一、 u型∈ sup p{ν}，i=1，2。。。，n保持（P1）gi（t，z，l，r）=0，如果ri=0，（P2）ri+gi（t，z，l，r）u≥ 0.再加上（M1），（m2）和（4.23），则得到的CDO模型是单调的。第二个结果与H1，γn值远期利率有关。定理4.2 Let（A1）- （A4）满足。假设F和G是局部Lipschitz变换，在H1，γn中线性增长。那么以下陈述成立。a）对于损失过程的任何路径，HJMM方程在空间H1中存在唯一的弱解，γn.b）如果（P 1）和（P 2）保持不变，则HJMM方程的解在零处是逐点单调的，因此得到的CD O模型是无套利的。此外，该模型是单调的。定理4.1和定理4.2中的两点（a）都直接来自于最近的结果，即在局部Lipschitz条件和线性增长下一般SPDE解的存在性，参见文献[2]中的定理4.1。第4.1节致力于直接说明HJMM方程的波动率G，以及（4.21）和（4.22）保持的L'evy过程的特征三元组，见命题4.5和命题4.6。这对条件（P 1）、（P 2）和（M 1）、（M2）对应于L2，γn中HJMM方程解的正性和耳蜗性。它们源自Milian结果的广义版本，参见[8]，该结果涉及由维纳过程驱动的一般SPDE。在HJMM方程的情况下，我们将介绍如何传递到L'evy过程。

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大多数88

2022-6-13 20:45:09

更精确地说，我们在第5.2节的定理5.3中证明，（M1），（m2）等价于r的单调性，即对于每个t≥ 0r（t、z、xi）≥ r（t，z，xi+1），i=1，2。。。，n- 1、（4.24）适用于几乎所有z≥ 0，而（P 1），（P 2）对r的正性，则每个t≥ 0r（t、z、xi）≥ 0，xi∈ 一、（4.25）适用于几乎所有z≥ 这里的一个微妙之处是CDO模型无套利所需的零解的逐点单调性。实际上（3.20）并不遵循（4.24）。我们称之为L2，γ中解的点态单调性问题，并通过提供以下条件来解决。命题4.3假设变换F，G:L2，γn→ （3.19），（3.17）的L2，γngiven为局部Lipschitz，满足线性增长条件。设Z满足Z{| y |>1}| y |ν（dy）<+∞. （4.26）和解r（t），t≥ （3.16）中的0取L2，γnbe单调值。然后对于每个z≥ 0，i=1，2。。。，n- 1 holdsr（t、z、xi）≥ r（t，z，xi+1），几乎所有t≥ 这个结果清楚地暗示了r在0处的单调性，因此定理4.1中的陈述（b）如下。很明显，（4.24）和（4.25）暗示了债券价格的单调性，所以（c）在定理4.1中成立。注意，在定理4.2中，我们不需要（M1）或（m2）。当然，从定理4.1（b）可以看出，如果（m1）和（M2）保持不变，那么H1，γn值解在零处也是单调的，因为r（t，·，xi）是连续的。然而，从H1中元素的连续性来看，γn证明了条件（p1）和（p2）意味着r在0处的单调性，而m在相应的CDO模型的耳蜗上同时是单调的。

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大多数88

2022-6-13 20:45:11

更准确地说，我们证明了下面的命题4.4让r（t），t≥ 0是HJMM方程在h1，γn空间中的正解。那么债券价格P（t，t，xi）在t中递减，在xind中递增r（t，0，xi）在xion集合{xi：Lt≤ xi}。这意味着定理4.2的断言（b）。在第4.2节中，我们进一步评论了条件（p1）、（p2）、（M1）、（M1），并给出了满足这些条件的函数系统的一个例子。第5.2节详细介绍了HJM方程解的单调性、正性和逐点单调性问题。在这里，我们从米利安定理开始，并将其用于HJMM方程，证明了定理5.3中条件（p1），（p2），（M1），（M1）的有效性。然后，我们证明了一系列辅助结果，从而证明了命题4.3和命题4.4.4.1的局部Lipschitz条件和线性增长。在这里，我们给出了（4.21）和（4.22）在L2，γnand H1，γn中保持的充分条件。对于空间L2，γnw我们需要以下正则性条件来满足GLipschitz条件存在一个常数C>0，使得（LC）| gi（t，z，l，r）- gi（t、z、l、r）|≤ C k r- r k、t、z≥ 0，l∈ 一、 r，’r∈ 注册护士。有界条件存在'g:R+-→ R+使得（B1）| gi（t，z，l，R）|≤ \'g（z），t，z≥ 0，xi，l∈ 一、 r∈ Rn，K：=K？g kL2，γ<+∞.线性增长条件存在一个常数C>0，使得（LGC）| gi（t，z，l，r）|≤ C k r k，t，z≥ 0，xi，l∈ 一、 r∈ 注册护士。对于空间L2，γnwe有以下结果。命题4.5假设波动率G满足（LC）和a）（B1）以及其中一个条件a）gi≥ 0，i=1，2。。。，n、支持{ν} [-1, +∞) 安德烈+∞| y |ν（dy）<+∞,b） Z{| y|≥1} 是的√γyν（dy）<+∞,其中K在（B1）中定义。B）（LGC），gi≥ 0，i=1，2。。。，n和Z是这样的，q=0，supp{ν} [0, +∞), andZ公司+∞（| y |∨ | y |）ν（dy）<+∞.

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