基于径向基函数的金融衍生品定价

2022-6-14 02:00:30

使用径向基函数对金融衍生工具进行定价，使用Pol-yharmonic Splineson Smoot hl y可变节点布局生成有限差分。卢波丹·米洛瓦诺维奇（Lobodan Milovanovi）华盛顿大学信息技术系在本文中，我们研究了使用具有平滑变化密度的多谐样条曲线和节点布局来开发稳健有效的径向基函数生成有限差分（RBF-FD）方法来定价金融衍生品的好处。我们提出了一个显著改进的EDRBF FD方案，并成功地将其应用于两类多维偏微分方程：Black-Scholes-Merton模型下的双资产欧洲看涨期权和Heston模型下的欧洲看涨期权。我们还表明，当涉及美式期权定价时，改进方法的性能同样高。通过研究离散系统的收敛性、计算性能和条件，我们展示了引入的方法在金融应用中优于先前使用的RBF-FD方法。关键词：金融衍生品定价；径向基函数产生有限差分；多谐样条；节点放置。1简介金融衍生品的定价是金融市场的核心流程之一。就受欢迎程度而言，期权在持续资产的这一阶段发挥着主要作用之一，因为与其他类似工具相比，期权对其持有人的需求更大。与期货不同，期权是授予权利的合同，但没有义务在特定日期或之前以设定价格买卖标的资产。期权定价通常是做出投资决策、管理风险和校准财务模型的必要过程。

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2022-6-14 02:00:34

这些金融工具的价格由世界各地的个人和机构使用多种方法每天多次计算。其中一些衍生工具可以进行分析定价，例如，在著名的美国布莱克-斯科尔斯-默顿模型假设下的欧元期权【3，30】。然而，如果我们考虑其他类型的期权，例如美式期权或篮子期权，或者我们可能想要使用不同的定价模型（例如，本地随机波动率模型），一般来说，我们无法得出分析解。在这些情况下，我们需要使用不同的数值方法来近似这些期权的价格。B ENCHOP项目[39，40]对期权定价的数值方案有不同的概述。这项工作的结果说明了不同方法的定价问题是多么具有挑战性，以及仔细选择和适当开发数值方法以构建高效的定价工具是多么重要。在本文中，我们重点研究了径向基函数生成有限差分（RBF-FD）方法在多因素模型下对多资产和期权定价的改进和适应性。这两个定价问题都可以表述为与时间相关的多维偏微分方程（PDE）。RBF-FD作为RBF家族中的一种高阶、无网格、稀疏的数值方法，与径向基函数单位分割（RBF-PU）方法【35、36、33】一起，在求解多维偏微分方程时显示出强大的潜力。我们在先前将RBF-FD用于金融工程的结果基础上进行开发【31、14、24、27、23、22】，并利用其他学科中RBF-FD近似的重要最新进展【1、8】，为多维PDEsin金融构建稳定、准确和快速的解算器。

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2022-6-14 02:00:37

所开发的解算器的主要特点解决了以前使用多谐样条函数（PHS）选择RBF形状参数的问题，以及使用平滑变化密度的节点布局来解决由微分矩阵的高条件数引起的不稳定性。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们建立了RBF-FD方法来解决期权定价问题，并使用PHSS和无de布局，以平滑变化的密度进行激励。然后，在第3节中，我们展示了在Black–Scholes–Merton模型下的两套欧洲看涨期权和美国看跌期权以及在Heston模型下的欧洲看涨期权的引入方法的益处。最后，在第四部分中，我们得出了结论并提出了一些未来的研究方向。2径向基函数生成的有限差分方法RBF-FD方法属于RBF方法家族。使用RBF方法逼近偏微分方程的解可以追溯到上个世纪的细线初【26，25】。自那以后，这些方法已在不同领域使用，包括计算金融[6、18、32]。尽管clas-sic RBF方法（也称为全局RBF方法）具有高阶收敛性和无网格域离散化等理想特性，但它们的特点是具有稠密系统矩阵，在许多情况下，这些矩阵具有非常大的条件数。

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2022-6-14 02:00:40

为了克服这些缺点，引入了几种具有高级特性的局部化RBF方法，其中最流行的是CBF FD[37，42]和RBF-PU[41]，目前仍在积极开发中。为了应用该方法，我们在计算域上观察期权定价问题Ohm R在以下PDE表格中tu（t，x）+Lu（t，x）=0，x∈ Ohm, (1)tu（t，x）+Bu（t，x）=f（t，x），x∈ Ohm, (2)tu（t，x）+u（t，x）=g（x），x∈ Ohm, （3）其中u（t，x）是期权价格；L是模型的不同操作器；B是边界微分算子，用f（t，x）定义定价表m的边界条件；g（x）是支付函数；x是代表基础资产或随机因素的空间变量，t是时间变量。为了构造RBF-FD近似，我们将N个节点分散在计算域上Ohm. 对于每个节点xj，我们定义了一个节点数组xjconsisting of nj-1邻居ing节点和xjitself，并将其视为以xj为中心的NJ大小的s tencil。（1）中定义的微分算子L在每个节点xjasLu（xj）中近似≈njXi=1wijuij≡ wju（xj），j=1，N、（4）其中uij≡ u（xij）和xijis是xj中的局部索引节点，而wjis是以xj为中心的模具的差异权重数组。在标准的RBF FD方法中，通过强制（4）对XJF中每个节点处的RBF进行xact计算权重φ（kxj- xjk）。φ（kxj- xnjjk）。。。。。。。。。φ（kxnjj- xjk）。φ（kxnjj- xnjjk）wj。。。wnjj公司=Lφ（kxj- xjk）。。。Lφ（kxj- xnjjk）.（5）在RBF插值理论中，已知（5）形成了一个非正则方程组。因此，可以为每个节点计算一组唯一的权重。我们将这些权重安排在微分矩阵L中，以构建近似于L的离散空间算子。

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2022-6-14 02:00:43

自nj以来<< N、结果差异矩阵是稀疏的。2.1平滑变化的节点布局尽管RBF-FD方法是无网格的，但我们在实践中发现，数值模式的条件对节点布局的选择非常敏感。也就是说，如果离散化的计算域包含节点布局密度的非平滑变化，则很可能在这些区域上构建的tencil将具有非常大的条件数，从而使整个近似不稳定。使用带RBF-FD的笛卡尔网格是一种安全的方法，但在逼近精度方面远远不是最优的，这严重限制了该方法的自适应潜力。在【31】中，已经做出了一些努力来为定价篮子选项构建自定义节点布局，但这种方法很难推广到其他问题。为了成功实现RBF-FD方法，我们需要能够快速生成密度平滑变化的节点布局。根据文献[11]，当前的节点散射方法可以看作是迭代方法或推进前沿方法。迭代类型最著名的例子是最小能量分布，其中节点之间的排斥力被公式化，从而将节点集中在需要增加精确度的区域【9】。虽然这些方法可以生成出色的节点布局，但在许多情况下，通过操作构建节点布局在计算上是非常有效的。另一方面，推进前沿方法，从边界开始构建节点布局，直到它们填满域，这通常更有效。在这项工作中，我们介绍了[11]中介绍的节点放置算法。该算法是一种前进的前沿类型，添加了节点排斥迭代，进一步提高了靠近边界的节点布局质量。

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2022-6-14 02:00:46

使用该算法所需的第一个要素是计算do main的边界Ohm 半径函数R（x），控制该域上节点布局的密度。接下来，我们定义一个比我们的计算域稍大的矩形，并使用一种先进的前端型基本节点放置方案进行填充，该方案可在【11】中找到。现在，根据半径函数r（x）对r e C角中的节点进行了划分。然后，我们将矩形中的节点集与计算域的边界节点进行匹配。在这一步中，我们可以利用这个机会将特别感兴趣的节点与边界节点一起放置，因为这些节点将保持在其在最终节点布局中的位置。当我们有兴趣知道计算域中某个特定点的解时，这是非常有用的。然后，我们丢弃domainboundary之外的所有节点，也丢弃domainboundary内部的节点，但这些节点与边界y节点的距离在r（x）fr之内。最后，我们运行∈ N节点排斥靠近边界的节点，即b∈ N个最近邻到每个边界节点，以平滑这些区域中的不规则。这是通过使用与r成比例的排斥力来实现的-3，其中r∈ r表示节点之间的距离。将力设置为作用于B相邻节点之间，并在迭代中使用该力将节点推向局部势阱的最优点。这种千变万化的节点布局的最大优点之一是，我们可以将节点精确地放置在我们想要知道可选价格的点上，而不会影响布局的平滑度。这对于给定标的资产定价的准确期权定价非常有用。

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2022-6-14 02:00:49

对于传统的节点布局，我们需要使用插值来估计所需点的选项价格，这会带来额外的误差和计算量，或者我们必须通过将节点放置在感兴趣的坐标来干扰节点布局平滑。2.2多谐样条在文献中，许多RBF（例如，高斯、多二次、反二次）都被用于逼近微分算子。虽然这种近似具有很好的性质，但为了获得权重，需要求解的线性方程组往往是病态的。过去的几项工作【4、12、10、29、13、7】通过将低阶多项式与RBF一起添加到所提出的插值中，解决了这个问题。此外，大多数RBF中存在的形状参数需要仔细选择，以获得稳定的近似值。对于期权定价问题，基于高斯的RBF-FD格式的形状参数选择问题在[31]中进行了彻底的研究，但在一般应用中仍然没有解决。然而，最近的发展【1，8】表明，在插值中使用高阶多项式和PHSS作为RBF，可以大大改善RBF-FD近似。通过这种方法，似乎多项式次数起到了控制收敛速度的作用。这使得我们可以使用分段平滑PHS作为RBF，而无需形状参数，因为近似精度不再由RBF的平滑控制。尽管如此，径向基函数确实有助于减少逼近误差，并且它们对于具有稳定和准确的逼近是必要的。我们在（6）中定义了PHS函数，并在图1φ（r）中显示了一些示例=rq，q∈ {2k-1} ，rqln（r），q∈ {2k}，（6）其中k∈ N

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2022-6-14 02:00:52

[8]中的结果表明，在RB FFD的实际应用中，使用奇数和偶数PHS之间没有显著差异。因此，我们使用奇数度，因为它们的形式稍微简单一些。0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.8rPHSq=1q=3q=5q=7q=9图1：不同奇数阶s的多谐样条。考虑到所有因素，我们需要求解的线性系统，以获得问题中每个节点的差异权重是“A PTP 0#”wjγj#=Lφ（kxj- xjk）。。。Lφ（kxj- xnjjk）Lp（xj）。。。Lpmj（xj）, （7）其中A是RBF矩阵，wjis是微分权重的数组，两者都显示在（5）的左侧；P是大小为mj×nj的矩阵，其中包含所有达到P度的单项式（与mj单项式项相关），这些单项式在模板xjan的每个节点xijo中进行评估，0是大小为mj×mj的零平方矩阵；γjis是应丢弃的虚拟权重数组，{p，p，…，pmj}是单项式函数的数组，该数组根据其相对于单项式项mj总数的位置进行索引，因此它包含所有达到p阶的单项式l项组合。与标准FD离散化相比，在FD离散化中，差异运算符仅在一维笛卡尔网格上近似，这意味着高维算子需要在每个方向上分别离散，在RBF-FD近似中，维数并不会使问题更加困难。当它与边界节点和靠近边界的节点同时出现时，基于最近邻的s-tencil会根据边界的形状自动形成，并且不需要计算差异权重的特殊处理。近似微分算子所需的唯一数据是节点之间的欧几里德距离。

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2022-6-14 02:00:55

这意味着（5）代表了一种在任意维上近似微分算子的方法。虽然FD权重可以直接推导，RBFFD权重需要通过求解每个节点的一个小型线性系统来获得，但该任务是完全可并行的，并且该方法的理想特性可以很好地调整额外成本。计算权重并将其存储在微分矩阵中后，（1）的近似值可以以下列半微分方程形式表示（t）=Lu（t），（8）u（t）=g（x），（9），其中u（t）≡ u（t，x）是定价方程的半离散数值解，而x是计算域中所有节点的数组。为了计算期权价格u（t），我们需要在时间上向后积分（8）。2.3时间积分对于时间离散化，我们使用二阶后向微分公式（BDF2）[16，第401页]。BDF2方案涉及三个时间级别。为了启动该方法，第一步通常使用BDF1（Euler backward）格式。因此，需要对两个不同的矩阵进行因式分解。为了避免这种情况，我们使用BDF2和BDF1，如【28】所述，这样我们就得到了一个微分矩阵。我们将时间间隔[0，T]拆分为M个长度为τl=tM的非均匀步长-l- tM公司-l+1，l=1，M并将BDF2权重定义为βl=τl1+ωl1+2ωl，βl=（1+ωl）1+2ωl，βl=ωl1+2ωl，（10），其中ωl=τl/τl-1，l=2，M、在[28]中，我们展示了如何选择时间步长，以使βl≡ β.

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2022-6-14 02:00:58

因此，系数矩阵在所有时间步中都是相同的，只需要一个矩阵分解。将BDF2格式应用于（8），我们得到了一个完全离散的方程组（e- βL{z}C）ul=βlul-1.- βlul-2（11），其中E是适当大小的单位矩阵。为了解决这个系统，我们采用了不完全LU分解作为预条件的迭代GMRES方法。3数值实验。我们证明了改进的RBF-FD方法和PHSS在平滑变化的节点布局上的优势，与之前用于期权定价的经典RBF-FD设置相比，如在[31，39]中。我们考虑三个定价问题。我们从Black-Scholes-Merton模型下的二维欧式看涨期权开始，作为一个简单的例子。然后，我们证明了该方法在同一模型下用于更具挑战性的美国Puttbasket期权时同样有效。最后，作为一个高级案例，我们展示了在局部随机波动率Hestonmodel下欧洲看涨期权的结果。对于所考虑的所有pr问题，我们对运算符L进行缩放，以便在单位域上执行RBF-FD近似，然后重新缩放结果，以获得实际的期权价格。我们考虑三种不同的节点布局第一种是等距笛卡尔网格，我们称之为笛卡尔网格第二种布局是【31】中使用的基于【21，15】的自适应非均匀节点布局，我们称之为自适应。从概念上讲，在一维单位域上，我们从N eq u远处的节点zi=arcinh构造此节点布局-^KH！+（一）- 1)z、 i=1。

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2022-6-14 02:01:01

，N，其中^K是标度走向位置，H是密度参数，andz=Narcsinh1-^KH！- arc sinh公司-^KH！.然后，最终布局将由节点xi=^K+H·sinh（zi）组成。在我们的实验中，我们使用这个一维概念来构建适当的节点布局，H=0.1。我们根据几次计算实验，根据经验选择参数H第三种是新引入的平滑变化的节点布局，它是由我们在第2.1节中介绍的并在这里表示为平滑的[11]中的节点放置算法构建的。We用户（x）=√N（x（1）- 十） cos（G）+（X（2）- 十） sin（G）P+（x（1）- 十） sin（G）- （x（2）- 十） cos（G）Q！+1.作为半径函数，其中x（1）和x（2）是向量x的分量，而x、x、P、Q和G是用于控制节点散射的实参数。对于局部节点调整，我们考虑B=32个边界邻居，a=4个重复迭代。我们根据经验选择这些参数。通过仔细选择密度控制参数，我们对前两种节点布局进行了调整，以在终端条件的不连续性周围具有更高的节点密度，同时保持所需的调节和精度。作为RBF，我们使用度为q=5的PHS，并用单项式将其扩充到度为p=4。这应符合fourthorder的RBF-FD方法。然而，由于我们正在求解的方程的终端条件不是光滑的（即Payoff函数的一阶导数在执行价格下是不连续的），我们只能期望二阶收敛。我们不使用p=2阶单项式的原因是，p=4时的近似精度和效率仍然较高，即使两种近似都以二阶收敛。

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2022-6-14 02:01:04

由于问题的维数为D=2，因此给出了一个大小为m的多项式空间=p+Dp= 15，根据[1，8]中的经验准则，我们使用它将RBF-FD模具的尺寸设置为n=5m=75。为了有效地识别模板构造的最近邻居，我们采用k-D树算法[2]。为了演示计算性能，我们在配备2.3GHz Intel Core i7 CPU和16 GB RAM的笔记本电脑上使用所述方法的Matlab实现。此外，RBF-FD权重计算是使用parforwith 4 workers并行工具箱命令并行执行的。对于不完全LU分解，我们使用nofill设置实现时间积分，以生成GMRESsolver的预条件。我们将GMRES中的tol参数设置为10-8对于所有实验。为了加快收敛速度，我们使用前一时间步的值作为下一时间步的初始值。对于所有实验，时间离散为M=100步。在所有考虑的情况下，这足以使时间离散化误差小于空间离散化误差。3.1多资产期权取决于D基础风险资产Sd（t），D=1，…，的多资产期权，D在假设无风险债券B（t）的Black-Scholes-Merton模型下，遵循动态Cdb（t）=rB（t）dt，dS（t）=uS（t）dt+σS（t）dW（t），dS（t）=uS（t）dt+σS（t）dW（t），。。。dSD（t）=udSD（t）dt+σdSD（t）dWD（t），（12）其中t是时间，r是无风险利率，udare是漂移，σdare是Sd的波动率，wd是维纳过程。维纳过程相互关联，使得dWi（t）dWj（t）=ρi，jdt。在该多维设置中，带有Payoff函数g（S（T），…）的选项，SD（T）），其中T是期权的成熟时间，可根据风险中性度量Q asu（S（T）进行定价。

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2022-6-14 02:01:07

，SD（t），t）=e-r（T-t） EQt[g（S（t），…，SD（t））]。（13）传统上，蒙特卡罗方法用于估计（13）中多资产期权的预期价值。为了应用RBF-FD，我们研究了校正多维B-lack–Scholes–Merto n方程ut+Lu=0，（14）u（s，s，…，sD，t）=g（s，s，…，sD），（15）其中Lu≡ rDXisi公司usi+DXi，jρi，jσiσjsisju硅sj公司- ru，（16）和对于算术调用，optiong（s，s，…，sD）=maxDDXd=1sd- K、 0个,而对于算术put optiong（s，s，…，sD）=maxK-DDXd=1sd，0,以K为执行价。3.1.1 Black–Scholes–Mertonmodel下的欧洲看涨期权我们使用双资产欧洲看涨期权进行了一项实验，其中r=0.03，σ=σ=0.15，ρ=0.5，T=1，K=100。在三个点SKB处测量误差=90 90100 100110 110,这些点在标度域上的相对位置可以在图2最右边的用黄色五边形表示的图中看到。对于笛卡尔坐标系和自适应节点布局，我们使用三次插值来近似所需点的值。然后使用这三个点的最大误差umaxto度量收敛性。我们设置计算域，使每个轴上的远场边界smaxd=8K，并利用无网格框架的优势，通过将远场边界y沿对角线设置在通常为标准张量积域的区域上，来消除域右上半部分中不必要的计算。所有基础资产等于smind=0的节点，我们将其视为闭合场边界。在这里，我们设置Adichlet边界条件u（xCF，t）=0，在远场边界y处，我们设置u（xFF，t）=DPDi=1si- K经验值(-rt）。

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2022-6-14 02:01:10

此问题的节点布局示例，其中N≈ 1000如图2.0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.8^scartesian0 0.2 0.4 0.6 0.8 1^sadapted0 0.2 0.4 0.6 0.8 1^ssmooth图2：数值实验中使用的缩放计算域上的节点布局。蓝色三角形表示应用近场边界条件的节点，红色正方形表示应用远场边界条件的节点，黄色五边形表示测量误差的节点。在绘图中，点X用蓝色三角形标记，而XFF点用红色正方形标记。用于获得平滑节点的参数为P=0.25，Q=0.75，G=π，而X=X=^K=。通过进行数值实验，我们观察到RBF-FD方法在节点布局确定后的二阶收敛性，如图3所示。从图中可以看出，在计算时间相同的情况下，光滑节点布局上的RBF-FD方法比其他两种方法准确得多。调整后的布局也优于标准笛卡尔布局，这与[31]中的先前发现一致。在图3的左侧图中，我们看到所有RBF-FD方法比标准FD方法更精确（相对于节点计数）。这是因为平滑布局在测量误差的区域具有更高的节点度。图3右侧的plo t显示，笛卡尔节点布局c上的RBF-FD方法与标准FD方法完全一致，这是合理的，因为计算差异权重会减慢其速度。

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2022-6-14 02:01:13

然而，RBF-FD方法在剩余的两节点布局上明显优于FD方法。-2.2-2.-1.8-1.6-4.-3.-2.-11/√NConvergence0 10 20 30TimePerformanceCartesianadaptedSmooth图3：不同节点上Black–Scholes–Merton模型下双资产欧洲看涨期权的RBF-FD方法与PHSs的性能。左侧图显示了相对于平均节点布局密度的误差，右侧图显示了相对于以秒为单位测量的计算时间的误差。实心黑线表示二阶标准FD方法的性能。根据以往使用RBF-FD方法的经验，我们还观察微分矩阵的条件数，以便能够预测潜在的数值不稳定性。三种设置的条件编号如图4所示。该图还显示了使用平滑布局相对于其他布局的好处，尽管与Cartesia相比，随着节点密度的增加，调整后的布局的条件数增长也显著降低。-2.2-2.-1.8-1.61/√ConditioningCartesianadaptedSmoothFigure 4:Differentiation matrix C的条件数，作为对双资产ropean看涨期权进行定价时不同节点布局的平均节点密度的函数。3.1.2 Black–Scholes–Mertonmodel下的美式看跌期权当涉及美式期权时，这些金融衍生品可以在任何≤ T，而欧洲期权只能在T=T时行使。我没有使用偏微分方程作为模型，对于美式期权，我们需要将定价任务模拟为线性互补问题（LCP）ut+Lu≥ 0，u（s，s，…，sD，t）≥ g（s，s，…，sD），（17）ut+Luu（s，s，…，sD，t）-g（s，s，…，sD）= 0，初始数据为g（s，s，…，sD）。

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2022-6-14 02:01:16

为了求解（1-7），我们使用了算子分裂法【19、20、34】，结合了RBF-FD和BDF2方法，其方法与【31】中使用的方法相同。我们使用与Europea ncall篮子选项相同的参数进行此实验。唯一的区别是边界条件，因为现在我们处理的是看跌期权。远场边界节点的边界条件设置为u（xFF，t）=0。由于该节点落后于美式期权的自由边界特征，因此封闭边界处的期权价格保持在该点的支付函数值。-2.2-2.-1.8-1.6-4.-3.-2.-11/√NConvergence0 10 20 30 TimePerformanceCartesianadaptedSmooth图5：不同节点上Black–Scholes–Merton模型下，RBF-FD方法与P HSs对双资产美国看跌期权的性能。左侧图显示了相对于平均节点布局密度的误差，右侧图显示了相对于以秒为单位测量的计算时间的误差。实心黑线表示二阶标准FD方法的性能。图5中的性能结果与欧洲的情况非常相似。数值实验表明，对于条件作用，情况也是如此。3.2引入具有多个随机因素的多因素模型，以更好地捕捉市场特征，优于标准的Black–Scholes–Merton模型。众所周知，Black-Scholes-Merton框架未能对收益率分布和波动率偏斜的厚尾进行建模。例如，人们对本地挥发性模型的兴趣始于杜皮尔的工作[5]，自那时起，它们越来越受欢迎。

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2022-6-14 02:01:20

在本节中，我们使用一种最流行的随机局部波动率模型，称为赫斯顿模型【17】。Heston模型的动力学isdS（t）=rS（t）dt+pV（t）S（t）dWs（t），（18）dV（t）=κ（η- V（t））dt+σpV（t）dWv（t），（19）其中S（t）是标的资产价格，V（t）是其S到随机波动率，σ是波动率的常数波动率，κ是波动率过程的平均重变速度，η是平均回归水平，r是无风险利率，Ws（t）和Wv（t）是具有常数相关ρ的维纳过程，即dWs（t）dWv（t）=ρdt。通过应用It^o引理和Feynman–K ac定理，theHeston模型的偏微分方程如下所示：ut+Lu=0，（20）u（s，v，t）=最大（s- K、 0），（21），其中lu≡vs公司us+ρσvsusv+σvuv+rsus+κ（η- 五）uv- ru，（22）K是执行价格，s和v分别是随机资产价格和波动过程的确定性表示。3.2.1欧洲看涨期权在赫斯顿模型下，我们对欧洲看涨期权进行了一次实验，其中r=0.03，κ=2，η=0.022 5，σ=0.25，ρ=-0.5，而K=100。我们选择三个接近执行价格K的评估点，在该点计算期权价值结果xhst=90 0.0225100 0.0225110 0.0225,这些点在缩放域上的相对位置可以在图6最右侧的图中看到，图中用黄色五边形表示。对于笛卡尔和自适应节点布局，我们使用三次插值来近似所需点的值。然后，我们使用这三个点的最大误差umaxto度量收敛性。我们设置计算域，使远场边界为atsmax=4K，vmax=0.5。

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2022-6-14 02:01:23

在s=0的点，我们设置一个简单的Dirichletboundary条件u（xCF，t）=0，在远场u（xFF，t）=s-K经验值(-rt）。在图6的plo ts中，p点X用蓝色三角形标记，而XFF点用byred正方形标记。我们在不考虑任何条件的情况下保留波动率边界，并通过RBF-FD近似计算这些点的期权值，方法与在内域中相同。与前面的示例类似，我们考虑了此问题的三种不同的节点布局，并对它们进行了相应的命名。在这种情况下，adaptednode布局不是对角构造的，因为该问题的终端条件中的不连续性与s轴正交。该节点布局已适用于聚集靠近走向的点。在平滑节点的情况下，节点被推到更靠近走向并朝向较低的volatilityboundary。通过将节点布局参数选择为P=0.75、Q=0.25和G=0，而X=^K=和X=0.0225来实现。节点布局示例，其中N≈ 1000如图6.0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.8^scartesian0 0.2 0.4 0.6 0.8 1^sadapted0 0.2 0.4 0.6 0.8 1^ssmooth所示。图6：数值实验中使用的缩放计算域上的节点布局。蓝色三角形表示应用近场边界条件的节点，红色正方形表示应用远场边界条件的节点，黄色五边形表示测量误差的节点。当谈到Hesto nmodel下RBF-FD方法的性能时，图7显示了平稳变化密度的重要性。该图清楚地表明了RBF-FD方法在精度和计算时间方面对光滑布局的优势。

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2022-6-14 02:01:26

在这张图中，我们还可以看到，最初为篮子选项问题设计的自适应布局，一开始比笛卡尔布局好一点，但最终遇到了数值不稳定，因为布局密度不够大，无法支持赫斯顿算子下的模板。图8显示了与其他两种方案相比，平滑节点布局是一种条件非常好的方案。-2.-1.5-4.-3.-2.-11/√NConvergence0 20 40 60timePerformancecartesianadaptedsmoothFigure 7：在不同节点布局的Hes-ton模型下，RBF-FD方法与欧洲调用选项的PHSs的性能。左侧图显示了与平均节点布局密度的误差，右侧图显示了与以秒为单位的计算时间的误差。-2.-1.51/√ConditioningCartesianadaptedSmooth图8：作为不同节点布局的平均节点密度函数的差异矩阵的条件数。4结论在本文中，我们研究了使用平滑变化密度的PHS和节点布局来开发鲁棒有效的RBF-FD期权定价方法的好处。我们提出了改进的RBF-FD方案，并成功地将其应用于两种多维融资：Black-Scholes-Merton模型下的二维欧式c all和美式看跌期权，以及Heston模型下的欧式pean看涨期权。我们的数值结果表明，与欧洲期权相比，该方法在美国期权定价方面的性能同样高。通过研究离散系统的收敛性、计算性能和条件，我们证明了所引入方法的理想性质。实现的RBF-FD方法在数值实验中显著优于标准FD方法，尽管不同权重的计算开销较大。

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2022-6-14 02:01:29

由于差异权重的计算是可并行的，当使用核数更多的机器时，性能优势应该更大。在RBF-FD近似中，使用PHSs作为RBF，再加上多项式，由于没有形状参数，因此无需麻烦。PHS控制模板的稳定，因为近似中的增广多项式的阶数表示方法的形式阶数。尽管所使用的平滑变密度节点布局算法仅适用于二维域，但最近的一些工作已经完成，以找到更稳健、更有效的方法来构建更高维度的自适应平滑节点布局【38】。高效生成高维节点布局的研究有望显著改善高维RBF-FD方法的性能，并提高这些方法在不同金融应用中的竞争力。感谢作者感谢Natasha Flyer就这个主题进行了精彩的讨论，并分享了生成节点布局的代码。此外，感谢Lina von Sydow对结果的持续建设性反馈以及对手稿的校对。参考文献[1]Bayona，V.、Flyer，N.、Fornberg，B.和Barnett，G.A.关于RBF–FD近似中多项式的作用：II。椭圆偏微分方程的数值解。《计算物理杂志》332（2017），257–273。[2] Bentl ey，J.L.《用于关联搜索的多维二进制搜索树》。ACM通信18、9（197 5）、509–517。[3] Black，F.和Scholes，M.《期权定价与公司责任》。J、政治。经济。81 (1973), 637–654.[4] Davydov，O.，和Oanh，D.T.。泊松方程的自适应无网格中心和RBF模板。计算物理杂志230，2（2011），287–304。[5] Du pire，B.等人。

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2022-6-14 02:01:32

微笑定价。风险7，1（1994），18–20。[6] Fassh auer，G.E.、Khaliq，A.Q.M.、and d Voss，d.A.使用多资产美式期权的meshfreeapproximation。《中国工程师学会学报》27，4（2004），563-571。[7] Flyer，N.、Barnett，G.A.和Wicker，L.J.《用径向基函数增强有限差：Navier–StokeSequetions实验》。计算物理杂志316（2016），39–62。[8] Flyer，N.、Fornberg，B.、Bayona，V.和Barnett，G.A.关于多项式在RBF–FD近似中的作用：I.插值和精度。计算物理杂志321（2016），21–38。[9] Flyer，N.，和Lehto，E.《球体上的旋转传输：径向基函数的局部节点》。《计算物理杂志》229，6（2010），1954-1969年。[10] Flyer，N.、Lehto，E.、Blaise，S.、Wright，G.B.和St Cyr，A.Aguide对RBF生成的非线性输运有限差分：球体上的浅水模拟。计算物理杂志231，11（2012），4078–4095。[11] Fo rnberg，B.和Flyer，N.无网格PDE分解的二维节点分布的快速生成。《计算机与数学与应用》69，7（2015），531–544。[12] Fornberg，B.和Lehto，E.对流型偏微分方程RBF生成的微分方法的稳定性。《计算物理杂志》230，6（2011），2270–2285。[13] Fornberg，B.、Lehto，E.和Powell，C.基于高斯的RBF–FD模板的稳定计算。计算机。数学应用程序。65、4（2013年2月），627–637。[14] Golbabai，A.和Mohebianfa r，E.一种新的用于期权定价的稳定局部径向基函数方法。计算经济学（2016），1-18。[15] Haentjens，T.，a n d in’T Hout，K.J.ADI的Heston模型下美国期权定价方案。应用数学金融22，3（2015），207–237。[16] Haier，E.、Norsett，S.和Wanner，G。

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可人4

2022-6-14 02:01:35

求解普通微分方程I.《非微分问题》，第二版。斯普林格·维拉格，柏林，2000年。[17] Heston，S.L.一个随机波动期权的封闭形式解，应用于债券和货币期权。财务研究回顾6、2（1993）、327–343。[18] 尊敬的Y-C、，和Mao，X.-Z。求解期权定价模型的径向基函数方法。金融工程8，1（1999），31–49。[19] Ikonen，S.，和Toivanen，J.《美国期权定价的分割方法》。应用数学字母17，7（200 4），809–814。[20] Ikonen，S.，和Toivanen，J.随机波动下pricingAmerican期权的算子分裂方法。Numerische Mathematik 113,2（2009），299–324。[21]In’t Hout，K.和Foulon，S.在Heston模型中提出了具有相关性的期权定价差别方案。内景J.数字。肛门。型号7，2（2010），30 3–320。[22]Kadalbajoo，M.K.，Kumar，A.，和Tripathi，L.P.径向基函数和L-稳定Pad'e时间推进方案在定价期权中的应用。计算机与数学应用66，4（2013），500–511。【23】Kadalbajoo，M.K.，Kumar，A。，Tripathi，L.P.基于局部径向基函数的有限差分方法在pricingAmerican期权中的应用。《国际计算机数学杂志》92，8（2015），1608–1624。【24】Kadalbajoo，M.K.，Kumar，A。，和Tripath i，L.P.《跳跃扩散模型下期权定价的有效数值方法》。《国际工程科学和应用数学进展杂志》7，3（2015），114–123。[25]Kansa，E.J.多重二次曲面-一种散乱数据近似模式，用于计算流体动力学-I曲面近似和偏导数估计。计算机与数学应用19，8-9（1990），127-145。[26]堪萨斯州，E.J。

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