实物期权估价中的模型风险

2022-6-14 02:19:47

实物期权估价中的模型风险Carol Alexandera和Xi Chenbabstracts我们引入了一个通用决策树框架来对项目中的投资/剥离期权进行估价，重点关注标准实物期权估价方法所作假设中固有的模型风险。我们研究了实物期权价值如何取决于项目价值和投资成本的动态、行使机会的频率、项目相对于初始财富的规模、投资者的风险承受能力（以及风险承受能力如何随财富变化）以及其他一些关于模型结构的选择。例如，与以往文献中的程式化事实相反，实际期权价值实际上可以随着基础项目价值的波动而降低，而随着投资成本的增加而增加。大型项目可能比小型项目更具吸引力，也可能比小型项目更具吸引力，这取决于投资者的风险承受能力、这种风险如何随财富变化以及投资项目的成本结构。关键词：CARA、CRRA、某些等价物、决策树、撤资、双曲线绝对风险规避、投资、均值回归、风险规避、风险容忍JEL分类：C44、D81、G13、G30aProfessor of Finance，University of Sussex，UK。电子邮件：c。alexander@sussex.ac.ukbResearch和伦敦牛津风险公司发展分析师。1简介Myers（1977）首次提出的实物期权的原始定义是公司或个人的决策机会。这是一项权利，而非义务，其价值取决于某些基础资产的不确定价格和行使期权所产生的成本。“投资”实物期权一词涉及买卖一个项目（如房地产、公司、专利等）或生产过程（如能源工厂或制药研发）的机会。

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2022-6-14 02:19:50

继Kasanen和Trigeorgis（1995）之后，我们确定了项目价值和市场价格，即“盈亏平衡”价格，代表性决策者将区分购买或不购买项目。任何更高的价格都将超过她的价值，她不会购买该项目；任何更低的价格都会诱使她买下这个项目。同样，我们将期权行使与项目的投资成本联系起来，在下文中，我们将同义使用这两个术语。实物期权价值（ROV）是购买或出售项目的决策机会的价值；这是特定于决策者（即投资者）的，取决于她对风险的态度。ROV代表决策者为获得与项目（风险）投资相同的效用而应获得的一定金额（扣除融资成本）。因此，与金融期权的溢价不同，ROV没有绝对会计价值。在这种情况下，ROV只允许对投资替代项目的机会进行主观排序。分析投资实物期权的基本模型假设，在有限的投资期限内，项目价值遵循年龄计量布朗运动（GBM），具有固定或预先确定的投资成本（即期权行使），所有风险都可以对冲，从而适用风险中性估值（RNV），投资或剥离（即行使期权）的决定可在投资期内的任何时间执行。最近许多关于投资实物期权分析的文献都试图以各种方式扩充这一基本模型，以添加解决特定实际问题的特殊功能。然而，我们的论文解决了一个更为根本的问题。

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2022-6-14 02:19:53

我们将深入研究实物期权模型本身，以检查所做假设中固有的模型风险，而不是遵循实物期权文献的主流，即调整和扩展数学模型，以更紧密地反映特定投资机会的现实世界特征，关注文献中最常用的实物期权模型。我们分析模型风险的方法是首先建立一个非常普遍的模型，其中包括我们使用的术语“市场价格”，因为决策者的价值代表整个市场。例如，正如金融投资使用风险调整绩效指标进行排名一样，制药公司可以比较开发替代产品的价值，或者勘探公司可以比较不同地点的钻井价值，或者房地产开发公司可以比较不同地点购买土地的价值。

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2022-6-14 02:19:56

同样的效用函数应该应用于评估每个投资机会（这是决策者的特点），但决策者对未来不确定性演变的主观观点（如项目价值和相关投资成本）是每个项目特有的。例如，在可再生能源行业，技术发展现在有助于小规模生产项目获得竞争优势，特别是各种支持计划鼓励其采用，最近的几篇论文使用实物期权方法分析这些发展的价值。Dahlgren和Leung（2015）在考虑临时暂停的情况下，对小型生产项目投资期权的价值进行建模；Boomsma、Meade和Fleten（2012）对不同支持方案下生产可再生能源的最佳容量选择进行了建模；Farzan、Mahani、Gharieh和Jafari（2015年）评估了投资微电网资产的期权，考虑到各种风险以及暂时停产的可能性。标准假设，如风险中性估值，作为特殊情况。事实上，我们做出了非常灵活的假设：项目的市场价格；投资成本；锻炼机会的频率；与决策者财富相关的项目规模；决策者能力函数；以及她的风险承受能力如何随着财富的变化而变化。据我们所知，这是对与这些因素相关的模型风险的首次研究，其中一些因素以前从未考虑过。我们不认为风险可以通过交易证券对冲，但风险中性估值技术仍然适用于线性效用函数的特殊情况。

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2022-6-14 02:19:59

在这种情况下，格拉塞利（Grasselli）（2011）证明，投资项目的机会的时间灵活性对于风险厌恶的决策者来说仍然具有积极的期权价值，因此实物期权范式仍然可以应用于没有任何风险可以对冲的价值决策。我们还假设市场价格是唯一的随机因素，期权行使可能（但不一定）与项目的市场价格相关。在未来的工作中，我们的总体框架可能会扩展到多个相关的不确定性来源，其中部分对冲是可能的。但是，建立一个足够广泛的模型，以涵盖与上述项目特征和投资者偏好的特定选择相对应的特殊情况，已经是一个相当大的挑战。事实上，我们已经分析了关于模型风险的广泛问题，即使没有这样的模型扩展。例如：如果市场价格的漂移是均值回复，ROV会受到什么影响？练习机会的频率如何影响ROV？随着我们提高风险承受能力或对财富的敏感性，不同机会的排名如何变化？相对于初始财富的投资规模是否会影响ROV，如果会，如何影响？与成本是随机的更一般假设相比，固定或预先确定的成本假设有什么影响？以下内容：第2节通过对投资实物期权模型文献的简要概述来激励我们的框架；第3节从数学上详细说明了模型；第4节回答了以上提出的问题，假设项目市场价格采用GBM过程，第5节检查了遥控潜水器对改变价格过程假设的敏感性；第6节总结和总结。

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2022-6-14 02:20:02

附录通过一些示例帮助理解我们的框架。2投资项目的实物期权关于投资实物期权的早期文献大多侧重于在一个完整的市场中通过预先确定的行权签订可交易合同的机会。关于包括随机罢工在内的早期模型，请参见McDonald和Siegel（1986）、Quigg（1993）和Kulatilaka（1998）。也就是说，实物期权的效用可以使用可交易资产进行复制，这样所有风险都可以对冲。此外，decisionopportunity可以在决策范围内的任何时间连续行使，例如inKogut（1991）、Grinadier（1996）、Smith和McCardle（1998）以及Patel、Paxson和Sing（2005）。在这种情况下，期权对所有投资者都具有相同的价值，因此使用美式期权的标准RNV技术进行定价，就好像投资者是风险中性的一样。基本实物期权模型还假设远期价格遵循几何布朗运动（GBM），总回报率等于无风险利率，ROV来自线性效用，其中可以在任何时间点进行预定的行权。Capozza和Sick（1991年）、Trigeorgis（1993年）、Benaroch和Kau ff man（2000年）、Boer（2000年）、Yeo和Qiu（2002年）以及许多其他人都采用了这一基本框架。然而，在实践中，迈尔斯（1977）最初定义中包含的许多投资机会都不是标准化的可交易证券；他们的风险只有部分可对冲，如果atall；投资者通常规避风险；投资成本也不太可能预先确定。因此，对于许多实物期权，特别是房地产、研发或公司并购中的实物期权来说，NV假设显然是不合适的。

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2022-6-14 02:20:05

在许多应用中，基础市场是不完整的，项目不是可以在市场上买卖的东西，事实上，交易价格可以在个人买家和卖家之间协商。在这种情况下，实物期权没有独特的价值——它将特定于决策者，取决于她对项目投资成本和收益的主观看法，以及她的风险偏好。例如，如果一家石油勘探公司必须决定是否在位置A或位置B进行钻探，那么他们对每个位置的钻探效益的看法将取决于他们对未来石油市场价格的主观信念以及他们的风险承受能力。因此，实物期权文献中对驱动项目价值的随机价格过程没有唯一公认的定义。例如，Slade（2001）；Moel和Tufano（2002）；Adkins和Paxson（2011）；Chronopoulos、De Reyck和Siddiqui（2011年）；Alexander、Mo和Stent（2012）；Jaimungal、de Souza和Zubelli（2013）将项目的市场价格与项目产出的价值相关联；Alvarez和Stenbacka（2004）；Bockman、Fleten、Juliussen、Langhammer和Revdal（2008年）；Fontes（2008）；Franklin Jr（2015）；Mac Cawley、Cubillos和Pascual（2018）对需求/生产能力进行建模，其市场价格是产生项目利润流的产品的价值；穆诺兹、孔特雷拉斯、卡马诺和科雷亚（2011年）；Luo、Wang和Yang（2016）使用项目未来现金流的净现值。有几篇论文考虑了不完全或部分完全市场中的风险厌恶型决策者，通常针对具有效用函数的决策者，该函数通过期望效用的最大化来允许闭式解。

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2022-6-14 02:20:08

Henderson（2007）、Miao和Wang（2007）、Grasselli（2011）、Adkins和Paxson（2013）以及Hagspiel、Huisman、Kort和Nunes（2016）都调查了连续时间，deterministicstrike实物期权采用双因素GBM框架，其中项目对投资者的价值是随机的，可能与可用于对冲投资风险的流动交易资产的价格相关。与我们的方法（将在下一节中详细描述）一样，价格过程被贴现为现值条件，因此可以应用单变量时间0效用函数来最大化到期支付的预期效用。实物期权估价的过程也决定了一种最佳的行使，假设这种情况在未来的任何时候都会发生。在实践中，这些机会可能只在固定的离散时间点才可能出现，例如在投资委员会的每周会议或董事会的每月会议上，但迄今为止，没有关于ROV上不频繁行使机会的影响的研究。我们的框架允许决策者量化这种影响。例如，在时间0时，最佳决策可能是在市场价格下跌一定量的情况下进行投资。但是，如果董事会控制行使期权的决定，并且董事会每月只召开一次会议，甚至更不频繁，那么ROV可能会低于任何时候行使期权的水平。要低多少？这个问题可以通过在我们的通用模型中指定一个适当的节点子集作为决策节点来解决。Trigeorgis（1996）、Smit（1996）、Brand▄ao和Dyer（2005）、Brand▄ao、Dyer和Hahn（2005、2008）以及Smith（2005）都采用决策树，但与我们不同的是，他们承担市场定价风险，因此选择RNV框架，避免明确使用效用。

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2022-6-14 02:20:11

Mason和Merton（1985年）、Trigeorgisand Mason（1987年）、De Reyck、Degraeve和Vanderborre（2008年）以及Mu▄noz、Contreras、Caama▄no和Correia（2011年）也使用决策树，但具有恒定的风险调整贴现率。只有Graselli（2011）在决策树中应用效用函数进行实物期权估值，而他应用的指数（CARA）效用有很大的局限性——详情见第3.4节。3投资实物期权估价的一般框架我们采用Mossin（1968）和Merton（1971）提出的一般双曲绝对风险规避（HARA）效用。这种普遍性的缺点是，解析解仅在特殊情况下可用（例如，指数效用和GBM）。我们不依赖展开近似，因为展开近似可能不可靠。因此，本文的所有结果都是数值生成的。然而，它们可以使用可下载的代码进行验证，并通过更改（许多）模型参数进行扩展。当风险不可规避时，远期市场价格衡量对决策者来说是主观的，风险中性衡量作为线性效用和无风险预期回报的特例出现。决策者不仅对市场价格的演变持有主观观点，而且对如果她进入investmentor开始项目将实现的现金流（如果有）持有主观观点。在大多数应用中，现金流会反映决策者的个人管理风格，例如积极、扩张、隐性等。

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2022-6-14 02:20:14

我们的投资成本可能具有预定和/或随机成分。行权机会是离散的，使用二项价格树建模，决策节点对应于行权的可能性，每k个步骤放置一个决策节点，直到确定决策范围T。决策的结果（在时间0时作出）在某个有限的投资期限T>T进行估值。此外，决策者的特征是她的初始财富，w代表其所有资产的当前净值，以及反映其风险承受能力λ的HARA效用函数U（w），以及该函数如何随财富变化。3.1市场价格和现金流所有未来市场价格和现金流均以时间0表示，按照决策者的借款利率r进行贴现。因此，投资者以利率r借入资金进行投资，而不是从其初始财富中筹集资金，因为其初始财富不可用于投资本项目。我们假设R是一个恒定的无风险利率。首先，我们允许项目的市场价格遵循GBM，因为我们不将这些期限等同于投资的到期日，即项目的现金流可能会持续，因此市场价格不受现金流贴现预期值的限制。该比率取决于财务人员感知的项目商业风险，而不是决策者感知的风险。

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2022-6-14 02:20:17

这也可能取决于决策者的信用评级，但这种假设在实物期权文献中并不常见。为了避免额外的复杂性，我们不认为项目可以从财富中融资，即使如果财富是流动的，并且r大于财富回报率，这是合理的，通常情况下，因此贴现的远期市场价格P为：dptpt=（u- r） dt+σdWt，对于0<t≤ T、（1）其中u和σ是决策者与PTA和Wtis Aviener过程相关的主观漂移和波动性。那么pt有一个对数正态分布，pt~ 日志N(u - r） t，σt.可以方便地使用（1）的二叉树离散化，其中价格可以通过因子u和d向上或向下移动，因此pt+1=概率为π的ptu，否则pt+1=ptd。偶然审查了至少十一种不同的GBM二项式参数（2008年）。Smith（2005年）、Brand▄ao和Dyer（2005年）、Brand▄ao、Dyer和Hahn（2005年、2008年）、Smit和Ankum（1993年）以及其他人采用了Cox、Ross和Rubinstein（1979年）的“CRR”参数化。然而，Jarrow和Rudd（1982）的参数化，这是期权交易者常用的，对于低水平的波动性和树中只有几个步骤时更稳定。因此，我们设定=u - r- 0.5σt、 u=em+σ√t、 d=em-σ√tandπ=0.5。（2）其次，我们采用了（1）的修正，通过区域依赖过程表示“繁荣-萧条”情景，该过程在一个持续的时期内呈上升趋势，波动率较低，在另一个持续的时期呈下降趋势，波动率较高。因此我们设置：dptpt=(u- r） dt+σdWt，对于0<t≤ T、（u- r） dt+σdWt，对于T<T≤ T、（3）最后，我们考虑决策者认为市场价格将意味着在相对较短的时间范围内恢复的情况。

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2022-6-14 02:20:20

为了说明这一点，我们假设预期回报在价格上涨后减少，但在价格下跌后增加，如在Ornstein-Uhlenbeck过程中：d ln pt=-ψlnpt'pdt+σdWt（4），其中ψ表示长期价格水平p的平均回归率。继Nelson和Ramaswamy（1990）（NR）之后，我们对离散化的奥尔斯坦-乌伦贝克过程采用以下二叉树参数化：u=eσ√t、 d=u-1（5a）πs（t）=1，0.5+νs（t）√t/2σ>10.5+νs（t）√t/2σ，0≤ 0.5+νs（t）√t/2σ≤ 10，0.5+νs（t）√t/2σ<0（5b），其中νs（t）=-ψlnps（t）u'p（5c）是对数价格过程的局部漂移，因此价格过程具有局部漂移：us（t）=-ψlnps（t）u'p+ 0.5σ+r.（5d）注意，当ψ=0时，有一个0.5的常数跃迁概率，NR参数化等于m=0的参数化（2）。现金流可能取决于项目的市场价格（例如，医药销售收入或物业租金）。为了捕捉这一特征，我们让s（t）表示时间t的市场状态，即从时间0到时间t的市场价格路径，写为一个U和d的字符串，带有t元素，例如s（3）=uud。让CFs（t）表示时间t时s（t）状态的现金流。关于现金流作为股息，我们将不包括时间t之前和时间t的所有现金流的价格称为“除息”价格，表示p-s（t）。在现金流CFs（t）时，市场价格遵循从p-s（t）至p+s（t）=p-s（t）+CFs（t）。如果投资者在时间t投资项目，则不会收到CFs（t），但如果投资者在时间t投资项目，则会收到CFs（t）。分割收益率定义为δs（t）=p+s（t）- p-s（t）p+s（t）。（6）我们假设股息收益率具有确定性和时间依赖性，但不依赖于状态，使用简单旋转δt。

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2022-6-14 02:20:23

那么，现金流取决于时间和状态。3.2投资和撤资的成本和收益关于成本的假设是实物期权价值的关键决定因素。例如，如果成本是随机的，并且与鞅贴现项目价格完全相关，那么RNV价格将为零，但风险厌恶型投资者仍然可以对此类决策机会给予正价值。我们应考虑可能与市场价格相关的固定、确定性或随机投资成本，因为这与许多实际情况有关（例如购买土地用于开发或投资于药物研究）。因此，时间t的投资成本，按时间0计算，为：Kt=αK+（1- α） g（p-t），0≤ α ≤ 1，（7）其中K是时间0项中的常数，g:R→ R是一个将投资成本与市场价格联系起来的实值函数。此功能控制项目成本和市场价格之间的相关性。例如，当g是线性的且在增加时，成本与价格是完全相关的。当α=1时，我们有一个带有预定走向K的标准实物期权，例如可能用于石油勘探决策的期权。当α=0时，只有一个可变成本，这是一个确定性函数。另一种假设是，她只有在投资时才能在时间t收到现金流。subscript s（t）表示携带下标t的随机变量的特定实现，例如p+uu和p-uU当t=3时，实现Pt的左右极限。从现在起，我们只在需要指定市场状态时使用下标s（t），否则我们将使用下标t简化表示法。

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2022-6-14 02:20:26

此外，假设在时间t，p剥离时未收到现金流-这是一个从右到右的极限，而不是从左到右的极限。如果现金流不依赖于国家，那么股息收益率必须依赖于国家。由于市场价格是自相关的，因此现金流的状态依赖性在它们中产生了自相关。因此，如Smith和Nau（1995）和Smith和McCardle（1998）所述，确定未来现金流的可加分离多元效用可能会有问题。市场价格p的-t、这可能用于房地产、研发或mergerand收购选项。0<α<1的中间情况具有固定和可变成分的投资成本。我们假设初始财富具有恒定的无风险贷款利率r，支付的任何未再投资的现金流也是如此。支付给项目的任何现金（如开发成本）均按照借款利率r进行融资。在时间t时，投资决策者的财务收益（行动I）是任何已支付且未再投资的现金流加上项目的终端市场价格之和。因此，T时决策者的财富，按时间0计算，在T时投资后，T=e（~r-r） Tw+TXs=t+1e（▄r-r）（T-s） CFs+p-T- 千吨级。（8）一些项目不支付现金流，或者支付的任何现金流都会重新投资于该项目。在时间t投资的财务收益，以时间0表示，就是从时间t开始的项目的累计股息价格ept。如果在时间t作出投资决定，则0≤ t型≤ T，然后是ept，T=pt，但ept的演变，对于T<s≤ t与PSE不同，因为ept将从t开始逐渐累积所有未来现金流。在这种情况下，当决策者选择在时间T投资其财富时，时间T为0，T=e（~r-r） Tw+ept，T- 千吨级。

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2022-6-14 02:20:30

（9）请注意，如果▄r=r，则也选择=t+1e（▄r-r）（T-s） CFs+p-T=~pt，Tin（8）。类似地，如果决策者在时间0时已经拥有项目，并选择在时间t时剥离（行动），则其财富在时间t时的时间0价值t=e（~r-r） Tw+t-1Xs=1e（￠r-r）（T-s） CFs+p+t- p、（10）请注意，这里减去了pis，因为我们假设投资者已借入资金投资该项目。或者，如果没有现金流，或进行了再投资，ewSt，T=e（~r-r） Tw+ep0，t- p、（11）最后，时间t的延期决定产生的财富wDt取决于她以后是否投资（或投资）。因此，必须使用下一节中所述的反向归纳法计算。3.3最优决策和实物期权价值通过U:R表示决策者的效用函数→ R、与任何决策问题一样，我们应将投资产生的结果的预期效用与基本情况替代方案的效用进行比较，在这种情况下，基本情况替代方案是什么都不做（因此，最终财富仍然处于赢时0条件）。为简洁起见，我们仅描述了投资决策的后向归纳步骤，但对于资产剥离决策，这一步骤类似。也就是说，对于撤资决策，我们将重新投资产生的结果的预期效用与撤资备选方案的效用进行比较。在时间t投资的期权具有时间0效用值UIt，t=U智慧，T, 但由于wIt是随机的，所以我们使用预期效用hui（T），Ti=EhUwIs（t），ti、作为点估计。然后，给定时间t的特定决策节点，例如当市场处于状态（t）时，潜在投资者选择投资当且仅当指数（t），指数>指数（t），指数，我们设定美国（t），t= maxnEhUIs（t）、Ti、EhUDs（t）、Tio。

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2022-6-14 02:20:33

（12）由于在作出投资决定后没有进一步的决定，因此可以使用从s（t）州获得的最终财富价值及其相关概率的效用，直接对EhUIs（t）进行评估。然而，EhUDs（t）并不确定在时间t+1的决策节点上投资还是延期是最优的。因此，每个决策节点的预期效用必须通过Backardinduction计算。首先，我们评估树中最后一个决策节点的（12），即optionexpires所在的时间T。只有投资者在每个节点推迟到此时，这些节点才可用。我们将每个最终决策节点与最大值（12）关联，并选择相应的最优动作I或D。现在选择倒数第二个决策节点；假设是在时间T-kt、如果我们使用组合二叉树来模拟市场价格的演化，它在同一时刻有2个后续决策节点。各市场状态s（T- kt）具有关联的决策节点。其每一个成功节点都处于市场状态*（T）可从s（T）国获得- kt），并具有关联概率πs*（T）由状态转移概率0.5确定，假设我们采用参数化（2）。使用与每个可达到的后继节点相关联的预期效用及其相关概率，我们计算在时间t延迟决策的预期效用- kt、更一般地，假设决策节点以固定的时间间隔出现，则后向引导步骤为：EhUDs（t-kt），Ti=Xs*（t） πs*（t） E类我们*（t），t, t=kt、 2公里t、，T- kt、 t.（13）在每个决策节点上，我们计算（13），并将节点与最优动作及其对应的最大期望效用相关联。我们重复反向归纳，直到我们在时间0处获得与节点关联的单一预期效用值。

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2022-6-14 02:20:36

最后，期权价值是确定的。重组假设简化了反向归纳步骤中预期效用的计算。然而，我们不需要二叉树进行重组，这样决策节点的数量就可以随着树的前进而增加。请注意，如果现金流是由时间变化而非状态变化的股息收益率决定的，则状态价格树将重新组合。所以如果树重组，这些概率是0.5k，k0.5k，k/（2！（k-2)!)0.5k。。。。，k0.5k，JR参数化下的0.5k（2）。如果采用CRR参数化，则重组树的转移概率将是更一般的二项概率。该预期效用的当量（CE），减去基本情况备选方案产生的财富，即w，其中CE（w）=U-1（E[U（w）]）对于任何单调递增效用U。当项目无论其未来市场价格如何都不会有吸引力时，最小值0适用。3.4风险偏好在第2节中回顾的以往关于实物期权决策分析的研究中，采用了eitherrisk中性或指数效用函数，可以用公式（w）=-λexp-wλ, （14）其中，w表示决策者的最终（时间T）财富，用时间0表示，λ>0表示其风险承受能力，γ=λ-1是她的风险厌恶。请注意，w是一个随机变量，取值由决策者对市场价格演变的（主观）观点以及她在时间T之前做出的决定决定决定。根据（14），我们有CE（w）=-λ对数-E[U（w）]λ. （15）经常使用此函数，因为它具有特殊的属性，使其具有特殊的可拆分性（参见Davis、Kabanov、Lipster和Stoyanov，2006年，第6章）。指数函数（14）是唯一具有独立于决策者初始财富w.2的CE的效用。

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2022-6-14 02:20:39

风险规避的Arrow-Pratt系数是恒定的，如-U（w）/U（w）=γ。因此，指数效用（14）代表具有恒定绝对风险厌恶（CARA）的决策者，（14）中的λ是绝对风险容忍度。指数效用的CE是独立风险的加性。当xt~NID（u，σ）和WT=x+…+xTthen CE（wT）=uT- (2λ)-1σT。不幸的是，属性1和2非常有限。一个主要的批评是，当初始财富发生变化时，CARA决策者将分配给风险投资的美元金额保持不变；事实上，决策者的财富对其期权估值没有影响。属性3意味着，当现金流为正态且独立分布（NID）时，决策者在t时现金流总和的风险溢价为（2λ）-1σt，因此它以（2λ）的速率随时间变化-1σ.这可用于推导通常适用于DCF模型的风险调整术语，并在Copeland、Koller和Murrin（1990）的畅销书中给出。经济分析通常基于跨时期消费框架，例如Smith and Nau（1995）和Smith and McCardle（1998）中的instanceas。这里，决策标记有一个多变量效用，由连续独立未来上的时间齐次指数效用之和给出。换句话说，在w上加一个常数只会导致a ffne转换，而该转换不会改变效用的形式。这也称为“delta”属性。这意味着无论w表示损益还是净财富，我们都会获得相同的期权价值和相同的临时决策。设置uexp[ra]=u- (2λ)-1σ给出-ra=对数[1- (2λu)-1σ]，所以ra≈ (2λu)-1σ.现金流。这些特殊的假设是必要的，因为只有这样CE加性才是过独立的随机变量，ROV是通过CE上的反向归纳获得的。

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2022-6-14 02:20:42

但在金融领域，所有公用事业都以最终财富为基础，并将未来价值折现为时间0，这是一个标准，亨德森（2007）、苗和王（2007）、格拉塞利（2011）以及此后的许多其他公司都是如此。这种贴现是我们方法的一个基本要素，因为它允许在相对于任何HARA效用的预期效用上定义反向归纳步骤，而HARA效用只是终端财富的一个单变量函数。需要注意的是，在此框架中使用指数偏好过度独立现金流将在树中的每个节点上产生相同的决策（投资或延期），因为任何时候面临的不确定性只是初始不确定性的缩放版本。因此，为了超越限制和平凡的指数效用解，我们应该假设决策者被赋予了一个HARA效用，即使这是以分析可处理性为代价的，它可以写成：U（w）=-(1 - η)-1[1+ηλw（w- w） ]1-η-1，对于w>（1- η-1λ）w.（16），其中λ表示当地相对风险承受能力，其以η的速率随财富线性增加。在这里，绝对和相对风险厌恶都会随着财富的增加而增加，这取决于η的值。我们考虑四种特殊情况：当η→ 0我们收敛到指数效用；η=1对应位移对数效用；η=0.5表示双曲线效用；η=λ表示功率效用。4 GBM投资实物期权价值下的模型风险以及备选方案的排名受到大量变量的影响：（i）投资的固定/可变成本结构；（ii）锻炼机会的安排；（iii）投资者的风险承受能力及其对财富的敏感性；（iv）项目相对于初始财富的规模；（v）决策者对市场价格演变的看法。

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2022-6-14 02:20:45

在本节中，我们首先研究当决策者具有指数效用且市场价格遵循给定的GBM（1）时，ROV如何依赖于假设（i）和（ii）。然后，我们通过确定风险容忍度λ并观察我们关于λ随财富增长率（指数情况下为零）的假设如何影响ROV来研究（iii）。然后，对于房地产（iv），我们采用指数和对数效用进行说明，说明ROV如何随项目收入相对于初始财富的大小而变化。第5节讨论了ROV对预期回报和波动性的敏感性调查，以及ROV在GBM以外的市场价格过程中的行为。请注意，投资者的风险承受能力及其对财富的敏感性可以使用Keeney和Reiffa（1993）介绍的技术来确定。相对风险承受能力表示为财富的百分比，而不是美元。因此，如果λ=0.4，决策者愿意以大约相等的概率进行赌博，赢得40%或损失20%的财富，但如果x>0.4，她不会赌赢x%或输x%/2的概率（大约）为50:50。从现在起，我们设定r=r。在前一节中，重要的是在所有通用性方面指定模型，但基于使用不同借贷利率的风险建模是一个不太重要的问题，因此留待未来研究。为此，本文附带的可下载代码允许您设置▄r 6=r.4.1投资成本。文献中提出了各种投资成本假设。在某些应用中，例如，当购买了石油开采许可证，并且决定石油的市场价格是否足以保证勘探时，固定罢工或预先确定的成本假设可能有效。

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2022-6-14 02:20:48

然而，在许多情况下，投资成本与市场价格挂钩。关于投资成本的假设不仅对实物期权的价值及其最佳行使策略有着至关重要的影响，而且对其对输入参数变化的敏感性也有着至关重要的影响。正如Slade（2001）所指出的，大多数论文都没有质疑成本假设对结论的影响，忽略了成本假设引入的潜在模型风险。她证明了在固定成本假设和随机成本假设下建模的实物期权价值有很大的不同。同样，GBM中的恒定漂移假设不允许建模者分析成本下降/上升趋势的影响。显然，如果GBM漂移减小，从而使未来的预期成本降低，期权价值应该增加。Fontes（2008）分析了GBM可变成本假设对ROV的影响，并得出结论，更合适的可变成本处理方法是均值回复。固定成本（其中α=1 in（7））可被视为美式看涨期权的行使，该价值来自看涨期权薪酬的预期效用，对于该效用，行使上方的最终财富分布的上半部分至关重要。相反的极端（α=0）集中在当前价格p以下的终端财富分布的较低部分，其中投资成本最低。尽管在GBM假设（1）下，整个谱中的对数收益率相似，但财富的变化是绝对值，且分布的上部大于下部。因此，与按市价投资的假设相比，按货币固定行使的假设产生了更大的实际期权价值。我们通过购买一个没有相关现金流的项目来说明这些房地产。

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2022-6-14 02:20:52

假设该项目的当前市场价格为100万美元，投资者认为这将根据表1中规定的u和σ（1）进行演变。无风险借贷利率均为5%。投资期限为T=5年，投资者具有指数效用，风险承受能力λ，初始财富为100万美元。Asλ→ ∞ 我们有一个线性效用，为风险中性决策者提供选项值，并进一步设置u=r给出RNV解决方案。每年做一次决定，所以我们t=k=1。使用（2）我们得到m=0.03，u=1.259，d=0.844和π=0.5。投资成本采用一般形式（7），K=100万美元。我们设定g（x）=x，并将投资成本按市场价格（α=0）与固定时间0成本（α=1）以及固定和可变成本（α=0.5）进行比较。我们还考虑了g（x）=x/2作为市场价格的一部分（在这种情况下为一半）的可变成本，如果α>0，则加上固定成本，并设置g（x）=√x表示可变成本，该成本与市场价格呈非线性增长，因此价格与成本并非完全相关。

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2022-6-14 02:20:55

当g（x）时=√X可变成本小于（大于）当前市场价格p-tif p-t> 100万美元（p-t<100万美元）。其中包括：Chronopoulos、De Reyck和Siddiqui（2011年）以及Alvarez和Stenbacka（2004年）使用固定投资成本；Mac Cawley、Cubillos和Pascual（2018）、Dahlgren和Leung（2015）和Franklin Jr（2015）采用了确定性成本；Choi、Kwak和Shim（2017年）以及Munoz、Contreras、Caamano和Correia（2011年）具有随机投资成本；Fontes（2008）假设了固定成本和随机成本的混合。然而，该物业仅在GBM市场价格观点下有效，不同价格过程下的反例见第5.2节。表1：与风险中性值（线性效用，即λ=∞, u=r）。此处T=5年，t=k=1，k=p=100万美元，r=5%。

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2022-6-14 02:20:58

当α=1（第3列）时，期权走向为K；当α=0.5时，各节第1行规定的功能g的期权行使形式为（7）。u=10%克（x）-x√x x/2σ=20%α1 0.5 0 0.5 0 0.5 0λ0.1值47387 29349 0 36260 32222 115185 390296年/州3/uu 4/uu-4/uu 4/uu 4/uu 4/u 4/0.5值199103 117936 43008 166906 129091 323672 561529年/州2/uu 4/uu 4/u 2/ddValue 261839 1572214249 218048 170077 393401 641249年/州3/uu 3/uud 0 4/uu 4/uu 2/ud 0∞值363789 283179 283179 306855 283179 533179 783179年/状态2/uu 0 1/u 0 0 RNV值160122 80030 0 124891 89661 270281 499604年/状态3/uu 4/uu 4/uu 4/uu 4/u=15%g（x）-x√x x/2σ=50%α1 0.5 0 0.5 0 0.5 0λ0.1值37277 5374 0 34229 6454 36865 148551年/州3/uuu 4/uuu-4/uuu 4/uuu 4/uuu 4/uuu 4/0.5值151743 36014 3023 125942 82806 181581 341763年/州3/uuuu 4/uu 3/ddd 4/uuu 4/ddd值254963 112602 17221766 166120 312741 461455年份/州4/UU4/UU2/dd 4/UU4/UU4/uu 2/dd∞值823324 608935 608935 720471 624340 879799 1108935年/状态3/uuu 0 2/uu 1/u 1/u 0RNV值376412 186519 0 306003 235593 359591 485545年/状态3/uuu 4/uuu 4/uuu 4/uuu 4/表1比较了λ=0.1、0.5和1的不同决策者在每个成本假设下的ROV，ROV与风险中性决策者的线性效用相对应（λ=∞u=r）。在期权价值下，我们报告了最优行使策略，以年和任何市场状态表示，这是有条件的。例如，如果市场价格在时间0和1之间下移，则1/d表示在时间1进行投资；如果市场价格在时间0和1之间上移，则4/uu表示在时间4进行投资；如果市场价格在时间0和1之间上移，则4/uu表示在时间1和2之间进行投资，而不考虑以后的市场价格变动。

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2022-6-14 02:21:02

0时的投资没有市场状态，4/- 表示在第4年投资，不考虑价格状态，并且从不简单标记投资-.正如亨德森（2007）所述，期权价值随着λ的增加而增加，因为决策者的风险承受能力越强，投资所需的风险溢价越低。Asλ→ ∞ 该值收敛于风险中性（线性效用）值，该值大于标准RNV期权价格，因为在这种情况下，u>r。很明显，风险规避ROV可以远小于RNV下的ROV，尤其是在风险承受能力较低时，或者远大于RNV下的ROV，尤其是在风险承受能力较高时。事实上，当α=0且g（x）=x时，即投资成本为市场价格，RNV价格始终为零：线性效用的CE是终端财富的预期值，由于贴现价格在风险中性度量下始终是鞅，CE=w；所以，以市场价格投资的机会的RNV价格总是为零。相反，在这种情况下，厌恶风险的决策者会在期权上放置正值，除非λ=0.1，此时她会选择不以任何市场价格进行投资。成本结构也会影响执行策略。如亨德森（2007）所示，对于有限λ，最佳投资时间永远不会比风险中性决策者短。此外，当α=0且g（x）=x时，最优投资绝不以价格上涨为条件，尽管它可能以价格下跌为条件。当α=0且g（x）=kx时，当0<k<1时，投资也以价格下跌而非上涨为条件，但“从不投资”是不可能的，因为最后一个周期的薪酬是x- kx>0，因此最优策略总是在期权的最后一个周期或之前进行投资。但当g（x）时=√x上期薪酬x-√只有当x>1时，即价格上涨后，x>0，最优投资取决于上涨。

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2022-6-14 02:21:06

虽然我们只显示k=0.5的结果，但对于其他k，类似的结论也适用于0<k<1的情况。当α=0.5或1时，存在固定成本成分，且只有当价格上涨时，现金看涨期权的支付效果才为正。因此，在表1中，任何关于最优行使的条件都是价格上涨。最后，RNV方法通常（但并非总是）给出的最佳投资时间晚于风险中性决策者的最佳投资时间。4.2锻炼机会我们发现之前没有研究过引入不频繁锻炼机会的影响。无论时间是离散的还是连续的，实物期权模型以前总是假设在时间0做出的决策在某个时间t的最优投资≥ 0始终可以在t时实现。在本节中，我们将通过在树中指定特殊节点的子集作为进行投资的唯一机会，展示我们的通用框架如何对该功能进行建模。当投资时机更加灵活时，ROV不应降低。如果决策从未因包含更多或更少的决策节点而改变，则选项值将保持不变。否则，ROV会随着更多决策的允许而增加。拥有较少的锻炼机会节点会对投资机会造成更多限制，因此项目对任何决策者的吸引力都会降低。表2中的结果量化了这种影响。我们再次考虑投资一个没有相关现金流且当前市价为100万美元的项目。决策者具有指数效用，实物期权的特征是表中图例中给出的参数值。

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2022-6-14 02:21:09

因此，市场价格的二叉树中有60个月步骤，我们在反向归纳算法（13）中每隔k个步骤放置决策节点，最后的执行机会为T=T- kt、例如，如果k=12，则节点每年仅出现一次，并且最后一次练习时，这些观察结果与表1中选择的参数不一致。质量相似的属性证明了其他实物期权参数，这可以通过更改可下载代码的参数来验证。树是嵌套的，即当数量减少时，不会插入新的决策节点，这一点很重要，因为通过这种方式，减少节点的数量可以捕获对决策机会施加额外约束的效果。表2：行使机会频率对实物期权价值的影响。w=p=100万美元，T=5年，t=1/12，t=t- kt、 r=5%，u=15%，σ=50%。指数效用，不同λ和k。α=0：按市场价格投资λ0.2 0.4 0.6 0.8 1∞k12 109.5 1132 3712 8197 14480 6451676 142.2 1344 4309 9212 16089 6451673 163.9 1471 4618 9803 17022 6451671 176.9 1553 4828 10185 17624 645167α=1：现值为100万美元的固定走向λ0.2 0.4 0.6 0.8 1∞k12 49385 115086 174731 223201 263614 8814196 71365 144638 204078 252243 292632 9083333 86062 157289 214375 263019 303834 9193221 93115 166450 225568 273619 313888 926058第四年抓住机会。因此，四个决策树是嵌套的，k的值是12、6、3和1，表示每年一次、每6个月一次、每3个月一次和每1个月一次的决策评估。对于风险承受能力λ不同的决策者，表2报告了两种极端成本情况的结果：上半部分显示了以市场价格投资的期权价值，下半部分显示了以固定成本K=100万美元投资的期权价值。

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2022-6-14 02:21:12

在这两种情况下，当树中出现更多决策节点时，即当k减小时，选项值增加。4.3风险承受能力风险厌恶决策者的风险承受能力总是随着风险承受能力的增加而增加，但它们可以大于或小于RNV期权价格，这取决于决策者的风险承受能力及其对投资的预期回报。最近的两篇论文研究了风险容忍度变化对实物期权价值的影响。Chronopoulos、De Reyck和Siddiqui（2011）采用了一种单因素设置，其中投资成本完全由风险现金流组成，因此投资的边际成本将随着风险规避而增加。假设一个GBM项目的价值为具有HARA效用的决策者提供了持续的投资机会，作者表明，随着风险规避情绪的增加，等待投资的边际收益相对减少的幅度大于成本。因此，PAY-o FF的边际效用增加，从而增加了推迟投资的动机，并且ROV随着风险规避的增加而降低。使用CRRA实用程序，但在双因素GBM设置中，Choi、Kwak和Shim（2017）证实了这一结果。他们引入了一个模型，其中决策者的风险态度取决于她对期权薪酬预期效用的主观贴现率，较低的贴现率与更多的风险规避行为相关。随着投资者风险承受能力的提高，ROV也会随之提高，而ROV越晚，投资的最佳时机也会随之提高。本节将上述结果归纳到哈拉公用事业公司案例中，询问关于财富风险承受能力变化率的假设如何影响ROV。为此，我们假设局部相对风险容限系数在时间0时为λ，并且随着财富的增加而线性增加，η。

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