对于风险承受能力的典型值，电力公司生产可靠的ROV，但具有极高风险承受能力的对数或双曲线效用表示可能更合适，前者提供的ROV比后者更大。请注意，这些结果还表明，我们可以使用指数和对数效用值作为其他HARA效用值的上下限，范围为0<λ<1.4.4相对大小项目相对于决策者的初始财富w越大，当前项目价格越高，并且（对于GBM中的固定u和σ），财富的最终变化越大。因此，如果决策者非常厌恶风险，ROV可能会随着项目规模的增加而减少（相对于财富）。然而，如果决策者具有很高的风险承受能力，则可能会出现相反的情况，即相对于初始财富，ROV实际上可能会随着项目规模的增加而增加。我们没有发现之前对这些问题以及答案与投资成本结构的关系进行过调查。最近的研究是Choi、Kwak和Shim（2017），他们认为，对于具有固定投资成本的CRRA公用事业，ROV将随着项目规模相对于初始财富的减少而增加。请注意，CARA公用事业也会受到类似的影响：尽管指数公用事业价值与初始财富无关，如前3.4节所述，但CARA ROV仍取决于期权报酬的波动性，这会随着项目投资规模的增加而增加。在本节中，我们使用我们的模型来量化项目规模的影响，方法是将初始财富划分为100万美元，并假设PI为100万美元、100万美元或1000万美元，将所有其他实物期权特征固定在该值（17）。

我们只描述指数和对数ROV，因为从上一节来看，这些是HARA实用程序的近似上下限。图2：指数和对数效用下的实物期权值作为风险容忍度λ的函数，T=5，t=1/12，k=3，r=~r=5%，u=15%，σ=50%，k=p=0.1美元，1美元，1000万美元，w=100万美元，0.1≤ λ ≤ 100，ROV（百万美元）。两个轴的对数刻度。10-110010110210-910-710-510-310-1101λ选项值α=0 10-110010110210-310-310-210-1100101α=1λ期权值指数（p0=0.1）对数（p0=0.1）RNV（p0=0.1）指数（p0=1）对数（p0=1）RNV（p0=1）指数（p0=10）对数（p0=10）RNV（p0=10）图2显示了0.1和100之间局部风险容忍度λ不同值的ROV，两个轴均以10为基数绘制。我们超出0<λ<1的范围，以检查遥控潜水器的会聚为λ→ ∞, 用于与RNV案例进行比较。我们在左侧描述了α=0（按市场价格投资）的ROV，在右侧描述了α=1（p固定ATM罢工）。最大投资（p=10 w）的值用红线表示，最小投资（p=0.1 w）的值用黑色表示，中等投资（p=w）的值用蓝色表示。在每种情况下均为λ→ ∞, ROV收敛于风险中性投资者获得的值，该值随p增加。在这两个图中，项目投资的相对规模决定了ROVtoλ的敏感性，较大的投资具有对风险容忍度更敏感的ROV。考虑左手图（α=0），其中选项是以市场价格投资（Kt=p-t） 因此，期权价格为零。

鉴于推动市场价格动态的GBM过程的漂移和波动性不受p的影响，所有0<λ<1的决策者都会倾向于较小的投资而不是较大的投资，但随着风险承受能力的增加，较大的投资变得比较小的投资更有吸引力。还要注意的是，参数η，即风险承受能力随财富增长的速度，对ROV的影响要小得多，因为指数和对数值始终彼此接近。随着λ的增加，ROV向风险中性主观值收敛，该值为非零（因为u6=r），并且随着项目规模的增加而增加。相比之下，在右侧图2中，成本k固定为100万美元（即α=1），由虚线水平线标记的RNV为非零。小于ROV收敛为λ的风险中性主观值→ ∞, 只是因为我们在这种情况下选择了u>r；如果我们设置u<r，无论投资规模如何，RNV都会超过图中的渐近值。当我们从可变成本结构转变为固定成本结构时，主要区别在于较大的投资总是排名最高。指数ROV（实线）现在远低于对数ROV（虚线），表明关于η的假设可能很重要，尤其是对于面临固定执行选择权的高风险决策制定者来说，投资高价项目。

一般来说，风险中性决策者将更高的级别归因于更大的投资；规避风险的决策者也倾向于参考更大的固定罢工投资；但是，当一项投资处于市场价格时，即使是价值风险厌恶程度很低的投资者，规模较小的投资的排名也会更高。5价格过程动态中的模型风险Slade（2001）介绍了一个包含三个状态变量（价格、成本和储量）的模型，发现为这些过程选择的动态模型对ROV有很大影响。特别是，与非平稳过程相关的期权值系统地大于可比较的平稳值。此外，假设价格/成本过程的GBM大大高估了相对于均值回复情况的期权价值。然而，除了两个显著的例外（下文将详细讨论），所有研究实物期权对价格过程假设敏感性的实物期权文献都采用了风险中性范式。第5.1节探讨了GBM价格过程的参数如何影响ROV。这一问题在之前的许多论文中都进行了分析，尽管是在一个特定的实际应用中，在这个应用中还做出了其他基本假设，通常是RNV。因此，我们在本研究的背景下，基于HARA实用程序，得出了更一般的结果。接下来，在第5.2节中，我们考虑了当决策者的观点被“繁荣-萧条”过程（3）捕获时，投资项目的选项，在这个过程中，长期的积极价格势头可能会随之而来崩溃。在此背景下，以前没有分析过模型风险问题。最后，在第5.3节中，我们分析了相信均值回复价格过程的决策者的实物期权（4）。

之前有一些关于这一扩展的文献，如下所述，但我们能找到的所有论文都是基于RNV的。5.1根据项目的成本结构和决策者的风险偏好，风险敏感性风险可能随波动性而降低或增加。之前的许多工作，基于对基础价格过程、成本和估价措施的各种不同假设，发现ROV随着决策者的增加而增加，对u和σ具有主观价值，但如果决策者缺乏对其观点的信心，这些可能是高度不确定的。事实上，虽然决策者可能会失去耐心等待，从而导致期权薪酬预期效用的贴现率增加，但更可能的是，她对自己的观点高度不确定，并随后调整了u和σ的主观值。在这种情况下，重要的是检查遥控潜水器对项目预期收益和风险的敏感性。波动。只有少数论文质疑这一结果，认为这种关系在某些情况下可以逆转。例如，Alvarez和Stenbacka（2004）假设固定成本和凹效用，并认为当期权的预期收益率随时间呈凸函数时，波动率的增加会降低等待期权的价值。Choi、Kwak和Shim（2017）假设GBM成本和CRRA公用设施，并证明当贴现率足够低时，ROV可以随波动性降低。在本节中，我们使用我们的一般框架来捕捉随σ增加ROV的下降或增加，从而证明ROVto波动的敏感性在很大程度上取决于模型假设。图3：λ=0.2的指数和对数效用下的期权值，作为投资者对预期回报u和波动率σ的客观观点的函数。

ROV价值（单位：百万美元），p=100万美元，w=1000万美元，r=5%，T=5，t=1/12，k=3.5%10%15%20%25%10%20%30%40%50%00.511.5uα=1σ期权值5%10%15%20%25%10%20%30%40%50%00.511.5uα=0σ期权值指数对数图3描述了作为GBM市场价格过程漂移和波动的函数进行投资的实物期权值，其他参数如图例所示。当α=0（左图）时，由于决策者的风险规避，期权价值总是随着不确定性的增加而减少。对于高不确定性（σ大于约30%），指数效用值为零：投资机会毫无价值，因为价格永远不会下跌到足以使投资产生效益的程度（决策者认为）。相比之下，当预期回报率大于10%左右时，对数效用总是为正值，但随着波动性的增加，决策者更可能推迟投资。实际上，选项值在每u处σ单调递减，在每u处随u单调递增。

然而，支持这种关系的近期文献包括：Franklin Jr（2015）、Chronopoulos、De Reyck和Siddiqui（2011）、Bockman、Fleten、Juliussen、Langhammer和Revdal（2008）以及Alvarez和Stenbacka（2004）——这些文献假设了GBM价格过程；Mac Cawley、Cubillos和Pascual（2018年）以及Mu▄noz、Contreras、Caama▄no和Correia（2011年）——这些论文设定了均值回复价格过程；关于成本，当这些成本固定时，RNV期权价格当然会随着波动性而增加，但更一般地说，Mac Cawley、Cubillos和Pascual（2018）、Franklin Jr（2015）、Chronopoulos、De Reyck和Siddiqui（2011）以及Alvarez和Stenbacka（2004）以确定的投资成本假设，而Mu noz、Contreras、Caama no和Correia（2011）和Bokman、Fleten，Juliussen、Langhammer和Revdal（2008）将投资成本设定为随机的；对于Mac Cawley、Cubillos和Pascual（2018年）、Franklin Jr（2015年）、Bockman、Fleten、Juliussen、Langhammer和Revdal（2008年）以及此处引用的大多数其他论文，在风险中性措施下对期权进行了估值——例外情况包括Chronopoulos、De Reyck和Siddiqui（2011年），他们采用了HARA效用，Alvarez和Stenbacka（2004年）考虑了凹型效用和Munoz，Contreras、Caamano和Correia（2011）采用了带有风险调整贴现率的实物计量。固定罢工方案（即α=1）的ROV波动敏感性差异很大。例如，当u较低时，对数ROV可以随着σ的增加而减小。当u=r时，对数随σ单调增加，如RNV情况。期权价值对u和σ的敏感性也随着风险承受能力的增加而降低。对于α=0和指数效用的情况，我们给出了一个简单的数值例子。假设u=20%。

如果λ=0.2，当σ=40%时，期权价值为1148美元，当σ=20%时，期权价值为241868美元（几乎大211倍）。当λ=0.8时，当σ=40%时，期权价值为167716美元；但现在当σ=20%时，它只会增加大约4倍，达到713812美元。类似地，fixingσ=20%，但现在将u从20%减少到10%，λ=0.2的值从241867美元变为109美元（2210倍），而λ=0.8的值从713812美元变为113959美元（仅约6倍）。因此，在风险承受能力较低的情况下，期权价值对u和σ的敏感性要高得多。对数和其他HARA实用程序也存在类似但不太明显的影响，可以通过可下载的代码进行验证。5.2动量任何市场都会经历繁荣和衰退，或周期性崩溃的泡沫。举几个例子：支撑相关采矿项目的黄金价格最近在2016年达到了apeak，自那时以来一直在下降；加密货币比特币（cryptocurrencyBitcoin）价格的飙升，导致基于初始货币发行（ICOs）的项目价值在过去几年中长期上涨和下跌；自第二次世界大战以来，房地产市场经历了数次繁荣与萧条。很明显，当投资期限还有很多年时，决策者可能希望在其关于预期回报的观点中考虑长期的上涨和/或下跌趋势市场。为便于说明，请考虑一个10年期内的简单繁荣-萧条情景：预期回报率为负，前n年为u<0，其余10年为正，u>0-n年。根据对房地产值的观察得出近似参数值，我们设置u=-10%，σ=50%和u=10%，σ=30%。我们假设每个季度都会做出决策在价格演变树中，t=0.25，setr=5%。

表3中给出的ROV适用于具有指数效用的决策者，风险承受能力在0.2到1之间变化，衰退被认为持续n=0、2、4、6、8或10年。当n=0或n=10时，我们有一个标准的GBM价格过程，因此对于任何给定的λ，表上部的项目，采用市场价格投资选项（α=0）的ROV低于表下部采用固定罢工选项（α=1）的项目的ROV。然而，对于中间值n，按市价投资期权的价值通常高于固定罢工期权。随着n的增加，这种排序变得更加明显，因为当α=0时，投资成本随着n的增加而减少，如果投资后价格上涨，收益将大于，根据Vanguard REIT交换交易基金（VQN）2005年1月至2006年12月的月度数据计算得出的平均年化回报率为21%，波动率为15%。然而，从2007年1月到2009年12月，房地产市场崩盘，VQN的平均年化回报率为-13%，波动率为58%。但从2010年1月到2011年6月，其平均年化回报率为22%，波动率为24%。为简洁起见，未提供剥离期权或不同公用事业下投资期权的结果，但可根据要求提供。定性结论相似。表3：市场价格随时间变化漂移的影响，第一年的下降趋势价格随后是剩余10年的上升趋势价格- n年。具有不同风险容忍度水平的指数效用，λ=∞ 对应于风险中性（线性效用）值。粗体的实物期权值是给定λ的最大值。

p=100万美元，w=100万美元，T=10，t=0.25，k=1，t=t- t、 r=5%，u=-10%，u=10%，σ=50%，σ=20%。α=0 2 4 6 8 10λ0.2 866 382918 727922 438482 174637 00.8 211457 1230035 2297909 1148695 370354 01.0 266752 1349295 2552434 1300724 406567 0∞ 648173 2234361 4777950 5308672 1045800 0α=n 0 2 4 6 8 10λ0.2 164721 391060 552578 194371 51040 50220.8 392866 961279 1704007 692529 159663 149431.0 432280 1064416 1938157 821733 186257 17191∞ 740493 1989551 4339659 4860376 841706 50787固定成本选项。无论成本结构如何，在本例中，首选投资是繁荣和萧条期大致相等的投资。5.3均值回归一些早期研究分析了基于项目价值过程中均值回归的投资实物期权，但与Slade（2001）一样，这些论文假设风险可以完全对冲，因此EmployernV:Mac Cawley、Cubillos和Pascual（2018）考虑了一个具有确定性成本的离散时间模型，其中基础商品价格是均值回归；Jaimungal、de Souza和Zubelli（2013）在一个具有均值回复项目价值和投资成本的双因素连续时间序列中表明，投资阈值取决于项目价值和成本之间的比率。在风险中性的世界中，众所周知，期权价值将随着均值反转变得更强而降低；从某种意义上说，增加均值回归的速度类似于减少波动性。当我们对风险厌恶的投资者进行效用评估时，也是这样吗？我们可以使用我们的模型来回答这个问题，通过研究风险规避决策者对价格均值反转的信念如何影响她的ROV。为此，我们假设项目价格遵循OU流程（4），即“p=p”。

我们采用NR参数化（5），允许平均回复速度ψ在0和0.1之间变化，情况ψ=0对应于GBM，ψ=0.1给出了10个时间步平均回复的最快特征时间（因此，假设这些是季度的，这代表2.5年）。其他参数是固定的，如图4的图例所示，它显示了α=0和α=1的真实选项值作为ψ的函数。增加均值回归的速度对降低波动性有类似的效果。因此，所执行的成本选项值可以随ψ而减小，如图4（α=1）右图所示，特别是当决策者具有对数效用时。相比之下，ψ的市价投资（α=0）较低的值具有较慢的平均回复，例如ψ=0.02对应于φ=0.02的特征平均回复时间-如果时间步长为季度，则1/4=12.5年。图4:HARA效用下期权价值与平均回归率ψ的比较。w=100万美元，r=5%，k=1，λ=0.4 T=10，t=1/4，K=p=100万美元，t=t-t、 σ=40%。特征时间平均恢复φ=t/ψ，以年为单位，例如t=1/4，则ψ=0.02→ φ=12.5年，ψ=0.1→ φ=2.5年。0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.511.522.533.544.55x 105κ期权值α=1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10.511.522.533.544.555.56x 104κ期权值α=0指数双曲线幂对数期权显示随ψ增加的值。注意，对于固定ψ，由于σ在局部漂移（5d）中的正效应，这些值可能随σ增加。现在考虑一位风险中性的决策者，他希望将两个投资机会排名为a和B。

两者都有均值回复价格过程，但ψ和σ不同：项目A的价格均值回复相对较快（ψ=1/10，φ=2.5年），波动率较低（σ=20%），项目B的价格均值回复相对较慢（ψ=1/40，φ=10年），波动率较高（σ=40%）。这样的投资者会对项目B有很大的偏好，因为她不在乎高价格风险，只考虑当地的漂移。考虑到均值回归的缓慢速度，她只看到了价格大幅下跌的可能性——在这一点上，她将进行投资——然后是价格的上升趋势。事实上，假设p=？p=$100万，选项B的风险中性值为797486美元，但选项A的相应值仅为98077美元。表4：项目A（ψ=1/10，σ=20%）和项目B（ψ=1/40，σ=40%）的投资期权价值比较，λ=0.4或0.8。所有其他参数值与图4中的相同。对于每个公用设施，我们以粗体突出显示首选项目。λ 0.4 0.8 ∞A B A B B B B B B指数30421 12952 52732 439478077 797486双曲线33526 17563 55230 58909幂33045 16651 56365 68051对数19890 21260 56986 73131此影响仅在ψ值低于某个界限时明显，取决于效用函数和其他实期权参数。对于图4的参数选择，一旦ψ超过约2，按市价投资期权价值通常对σ负敏感，其中平均回复的特征时间为一年的八分之一或更短。由于篇幅不足，未报告详细结果，但可根据要求向作者索取。然而，一旦我们放松风险中性假设，这两个投资机会的排名可能会发生变化，这取决于决策者的效用。

具有高风险承受能力（λ=0.8）或低风险承受能力（λ=0.4）的风险规避决策者的实物期权值如表4所示。在每种情况下，较大的选项值都用粗体表示。这表明，具有对数效用的投资者也会喜欢项目B，风险承受能力相对较高（λ=0.8）和双曲线或电力效用的投资者也会喜欢项目B。在所有其他情况下，决策者倾向于预测A.6摘要和结论投资实物期权的价值是净现值，如果确定收到该净现值，将使风险厌恶型决策者获得与不确定投资的预期效用相同的效用值。这些值使决策者能够对投资替代项目的机会进行排序，期权的估值过程也规定了最佳行使时间。当项目无论其未来价值如何都没有吸引力时，最小值零适用。RNV的特例虽然在文献中最常用，但仅适用于可在二级市场上交易的实物期权。因此，我们引入了一种通用方法，适用于范围广泛的私人投资或撤资决策，其中项目风险基于无法对冲的不确定性来源。它允许厌恶风险的私营公司、公共资助实体或个人根据非常灵活的风险偏好模型（HARA）计算完全适合决策者的实物期权价值，其中对项目价格过程动态的观点可以采取多种形式，投资成本既有固定的成分，也有可变的成分。在这种范式中，ROV可能与根据标准获得的风险中性价格非常不同，但（通常）对完全可对冲风险的假设无效。

这很重要，因为此类决策可能对决策者的经济福利产生深远影响。例如，个人对住房的投资可能是其财富的主要组成部分，不应仅以预期净现值来看待，也不应将所有不确定性都基于系统风险，因为它们在很大程度上是不可对冲的。私营公司通常会产生回报和风险，这些回报和风险具有特定于所有者前景的效用价值。同样，公共基金会的目标可能与风险中性下的财富最大化相去甚远。使用标准RNV假设获得的实物期权价格可能远远大于或小于使用不完整市场中更现实的投资成本假设得到的价值，而且RNV方法通常会指定一个更晚的投资时间。当风险无法对冲时，风险厌恶型决策者对不同实物期权的排名在很大程度上取决于其风险承受能力如何随财富变化，因此有必要使用Oya-HARA效用函数来捕捉模型风险的这一特征。我们介绍了一个非常通用的ROV模型，并将其应用于回答与实物期权模型中的模型风险相关的几个重要问题，其中许多问题之前尚未解决。我们的主要结论可以总结如下：（i）关于投资成本的假设，无论是预先确定的还是随机的，都对实物期权价值有重大影响。当更合适的假设是投资成本与市场价格正相关，或具有固定和可变成分时，预先确定的行使假设可能会大大高估实物期权的价值。

对于拥有显著市场权力的决策者来说，固定行使期权可能更现实，因为决策者可以利用这种权力影响有利于自己的投资成本。直觉上，实物期权对这些决策者来说更有价值——权力较小的决策者必须承担更多投资成本的不确定性。（ii）考虑实物期权分析中决策过程的灵活性很重要，因为实物期权价值随着决策机会的频率而增加。因此，由于运营原因（如董事会会议不频繁），在现实中，实物期权价值应远低于标准的连续时间风险中性价值。（iii）HARA类ROV的上下限为对数效用值，而（更常见的）指数效用值仅提供下限。当投资成本与项目价值完全相关（不相关）时，期权价值函数是风险承受能力的凸（凹）单调递增函数。（iv）项目的价值相对于决策者的财富非常重要。例如，当项目价格动态遵循相同的GBM过程时，决策者的风险承受能力越小（越大），她对相对低价（高价）项目的期权投资排名就越高。直觉上，风险规避程度越高，决策者越倾向于小型项目，而不是价值更高但成本更高的项目，即使两个项目面临相同的风险。（v） 在GBM假设下，固定行使实物期权对市场价格波动的敏感性可能始终为正（如RNV方法），但在某些情况下，它可能始终为负。这种敏感性随着风险厌恶的增加而增加。

我们的框架足够灵活，能够捕捉ROV的正负波动影响；（vi）与具有均值回复项目价值的项目相比，具有长期强劲趋势的项目对风险规避投资者的吸引力往往较低。当项目价值平均值恢复时，期权价值可以随风险承受能力增加或减少，具体取决于成本结构。为了有助于实物期权估价决策树分析领域的进一步研究，读者可以下载所有示例的Matlab代码，并且可以将参数更改为用户设置的任何合理值，以便计算特定实物期权的值，这些值是为模拟实际决策问题而制定的。这样，就可以生成任意数量的modelrisk特定结果。参考资料。阿德金斯和D.帕克森。收入和运营成本不确定的资产更新。《金融和定量分析杂志》，2011年。R、 阿德金斯和D.帕克森。图林霍模式：被忽视的金块或正在消退的遗迹。《欧洲金融杂志》，2013年。D、 Alexander、M.Mo和A.Stent。算术布朗运动与实物期权。《欧洲运筹学杂志》，2012年。五十、 Alvarez和R.Stenbacka。最佳风险采纳：一种实物期权方法。经济理论，2004年。M、 Benaroch和R.J.Kau Offman。利用实物期权分析证明电子银行网络扩张的合理性。MIS季刊，24:197–225，2000年。T、 Bockman、S.E.Fleten、E.Juliussen、H.Langhammer和I.Revdal。小型水电项目的投资时机和最佳容量选择。《欧洲运筹学杂志》，2008年。P、 F.波尔。使用“实物期权”对技术进行估价。《研究技术管理》，43:26–30，2000年。T、 Boomsma、N.Meade和S.E.Fleten。不同支持计划下的可再生能源投资采用实物期权方法。

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本节中的表格通过计算各种假设条件下的ROV对竞争项目进行排名：（i）决策者（主观）每个备选方案的市场价格遵循动态（1），不同的（项目规格）预期回报u和波动率σ。我们还考虑具有不同标识符δ的竞争项目；（ii）决策者的风险容忍度λ=0.4，即局部绝对风险厌恶度为2.5；（iii）她的初始财富等于该项目的当前市场价格，w=p=100万美元；风险自由利率是恒定的，r=5%，每次潜在价格变动时都会出现行权机会。在本节结束时，我们将展示现金流为负的选项，如制药研究项目或土地开发，如何在我们的总体框架中得到体现。6.1正现金流图5和图6描述了产生正现金流的项目投资和剥离期权的两个短期决策树。例如，该项目可以是购买定期现金流为正的房地产，例如买来租去的住宅或办公楼，或者停车场，在那里，业主可以收取使用费。树中表示为xs（t）的租金使用（6）定义的正、恒定股息收益率来获取，以获取仅随市场价格增加/减少的租金。我们假设现金流不会再投资，而是获得无风险利率。每次支付现金流时，市场价格都会从p+跳到p-t=p+t- xt。在付款之间，决策者预计贴现市场价格将以u的速度增长- r、 根据微分方程（2），我们得到p+t+1=up-tor p+t+1=dp-t等概率。

树的终端节点与财富w的增长相关- WW图5中给出了（8）投资选择权的最终财富w，图6中给出了（10）剥离选择权的最终财富w（设定现金流等于各州的租金）。表5应用图5和图6中的决策树对购买（图5）和出售（图6）两种不同的买房出租房地产进行排序。在每种情况下，租金每六个月支付一次，并按支付租金时市场价格的固定百分比δ设置。但投资者对每个物业的未来市场价格和租金有不同的看法，其特点是u、σ和δ的价值不同。同样，我们根据表5第二对列中规定的市场价格和租金的主观观点，对出售两个不同房产的决定（如图6所示）进行排序。资产剥离ROV是资产资本收益的预期效用价值加上资产剥离机会的预期效用价值，首选资产的价值用粗体标记。显然，效用函数的假定形式对决策具有重大影响。表5：第2列和第3列比较了2个实物期权的价值，每个实物期权都是为了购买图5所示的“买来让去”房产。第4列和第5列比较了另外两种选择的价值，每种选择都是为了出售当前拥有的“买来让”房地产，如图6所示。在每种情况下，我们的决策者的λ=0.4，w=100万美元，每个财产的hasp=100万美元，r=5%。决策者对u、σ和δ的信念取决于属性。

对于每个公用设施，我们以粗体突出显示购买（或出售）物业的首选位置。投资剥离σ40%25%30%20%u15%10%15%10%10%10%20%10%10%指数289 316 6775 6052双曲线348 339 6610 6103功率340 336 7283 6296对数358 345 4286 5330卡拉公用事业公司的决策者更倾向于购买第二处房产，而任何其他HARA公用事业公司的决策者（在时间0时具有相同的风险承受能力）更愿意购买第一处房产。对于决策者目前拥有的其他两处房产的剥离实物期权价值，除具有对数效用的决策者外，所有决策者都会倾向于出售第一处房产。6.2负现金流在购买开发案例中，在制药项目的研发开始之前，或在购买建筑地块之前，没有现金流。此后，这些负现金流应计入市场价格。设置负的、恒定的股息收益率无法捕获这些属性。相反，投资决定后的市场价格是加股息，但在此之前，它与零现金流情况下的市场价格一样。决策树中要包含的另一个重要现实是，投资期限现在取决于路径，因为它取决于购买权利的投资时间。例如，在购买了patentrights之后，开发该药物可能需要2年的时间。图7中描述了一个简单的买入开发期权，其中开发成本为ys（t）>0，且PTI为累计股息市场价格。期权到期时间T为2个周期，开发时间T为2到4个周期，这取决于项目开始的时间。为了保持树的简单，我们假设开发成本在一段时间后只支付一次，以便在购买权利后留出规划时间。

例如，考虑标记为DUT的节点，如果投资者没有在t=0时购买权利，随后市场价格在t=1时上涨，则会出现该节点。此时的投资决策会带来四种可能的结果。例如，在红色虚线之后，如果价格在t=2时再次上涨，则根据uup的市场价格，此时的开发成本为yuu。但是，如果价格随后在t=3时下移，则该房产的终值为p1，uud=d（uup+yuu），成本是为土地支付的价格和开发成本之和，即up+yuu。表6显示了图7中决策树的一些数字结果，报告了两个购买以开发项目的选项的价值，每个选项的初始市场价格为100万美元，r=5%，但选项的u、σ和开发成本δ不同。在每种情况下，开发总时间为一年，购买后六个月支付费用。通常，给定u和σ的较高开发成本会降低买入开发期权的价值，决策者更有可能放弃投资，直到市场价格下跌。但期权价值也随u增加，随σ减少。我们发现，具有指数或对数效用的决策者首选方案A，而具有双曲线或幂效用的决策者首选方案B。因此，拥有相同财富、拥有相同初始风险承受能力、对开发成本和市场价格演变持有相同看法的不同投资者，可能会再次对两种开发选项的价值进行不同的排名，因为他们的风险承受能力对财富变化的敏感性不同。表6：购买研发项目专利两种不同权利的实物期权价值比较，如图7所示。

在每种情况下，我们的决策者λ=0.4，w=100万美元，每个项目hasp=100万美元，r=5%。如表所示，决策者对每个项目的u、σ和开发成本δ差异的看法。首选选项由粗体值表示。A Bσ25%15%u10%35%δ20%40%指数289 182双曲线299 326次方315 350对数41 0图5：投资于支付租金的房地产的期权，xs（t）。T=3，T=2，k=1。标有（w）的终端节点- w） ，现金流由（8）给出，投资决定（I）后CF=x，否则为0。图6：出售支付租金的房产的期权，xs（t）。T=3，T=2，k=1。标记的终端节点（w- w） ，如果业主仍然投资（R），或如果业主出售物业，现金流为（10），CF=x，则销售价格和初始价格之间存在差异。图7：描述投资开发项目选项的决策树。如果获得开发权（I），开发需要两个阶段，开发成本仅在第一阶段之后发生。终端节点与损益表关联，w- 我们是因为这个决定。