此外，容量σ可以通过使用样本路径Yt的合适二次函数来估计最后，了解福利计划表（应通过保险单的条款和条件提供），原则上可以计算或至少测试β值。总之，需要在对样本路径（Xt）进行在线观察的同时执行某些估计程序。在接下来的两小节中提供了更多的细节（大部分都是标准的）。5.2. 估算漂移和vo纬度注：短a：=u-σ. 根据几何布朗运动模型（2.2），我们有：=ln Xt=ln x+σBt+at，Y=ln x。假设在时间间隔t上观察到过程Xt∈ [0，T]在离散时间网格上ti=iT/n（i=0，…，n），并考虑连续增量szi：=Yti-Yti公司-1=σ（Bti-Bti公司-1） +a（ti-ti公司-1） （i=1，…，n）。（5.1）注意，（5.1）中布朗运动的增量是相互独立的，具有零均值和方差的正态分布-ti公司-1=分别为吨/吨。因此，（Zi）是一个具有正态边际分布的独立随机样本，Zi~ NaTn，σTn（i=1，…，n）。然后，通过样本均值和样本方差来估计参数是标准的，^an：=nT·'Z=Z+····+ZnT=YT-YT，（5.2）^σn：=nT·n- 1nXi=1（Zi-\'\'Z）。

（5.3）这些估计量是无偏的，E（^an）=a=u-σ、 E（σn）=σ，均方误差Var（σan）=σT，Var（σn）=2σn- 1、反过来，参数u由^un=^an+^σn估计，平均值E（^un）=E（^an）+E（^σn）=a+σ=u，均方误差Var（^un）=Var（^an）+Var（^σn）=σT+σ2（n- 1） （由于估计量和σn的独立性）。注意，估计量^anin（5.2）仅使用最后的观测值YT；特别是，其均方误差对网格大小不敏感ti=T/n，且仅随着观测视界T的增加趋于零→ ∞. 这使得漂移参数的估计变得困难，因为需要在y上进行很长时间的观测才能达到可接受的精度（参见，例如，【10，示例2.1，第3页】）。例如，让u=0.004，σ=0.02（每周），然后a=0.0038；如果T=25（周），则a的95%置信区间由^a±1.96σ给出/√T=^a±0。所以误差幅度是a本身值的两倍。要将其降低到0.5a，需要T≈ 425（周），这意味着收敛缓慢。相反，估计量σnin（5.3）的均方误差趋于零，为n→ ∞,具有固定的。因此，可以使参数σ的估计渐近精确。第5.4节末尾将给出一个数值示例，说明使用模拟数据估算u和σ。第6.3.5.3节末尾简要讨论了基于敏感性分析的u的实际选择。

从最优停车问题通解中停车时间τb的缺陷看假设检验*可能是有限的，即Px（τb*= ∞) > 0（当a=u时发生-σ<0，见第4.1节），在我们的模型中，合理的务实决策方法可能基于检验无效假设H:a≥ 0与备选值h:a<0（在某种直观上可接受的显著水平，例如α=0.05）。也就是说，只要Hremains成立，就一直等待hi-tting timeτb*但一旦被拒绝，就有理由终止等待并立即购买保单。相应的测试规定如下。同样，假设进程Ytisobserved在离散时间网格ti=iT/n上，并设置Zi=Yti- Yti公司-1（i=1，…，n）。设z（α）为标准正态分布N（0，1）的上α分位数，即1- Φ（z（α））=α，其中Φ（x）=√2πRx-∞e-u/2du。然后空次命题H:a≥ 当Z+···+Zn时，0将在显著的α级被拒绝≤ infa公司≥0naT- z（α）σ√到，也就是说，YT- Y≤ -z（α）σ√T（5.4）在I类错误概率不超过α的所有试验中，该试验的效力最强，即P（拒绝H | Htrue）≤ α.正态检验（5.4）假设v变量σ已知。如前所述，如果过程Ytis是连续可观察的（即，如果网格（ti）可以不确定），则这不会带来真正的限制。如果情况并非如此（例如，因为工资过程只能每周观察一次），那么测试（5.4）将替换为t测试，YT- Y≤ -田纳西州-1(α) ^σ√T，其中^σ是样本方差（见（5.3）），tn-1（α）是具有n的t分布的上α分位数- 1自由度。在实践中，随着观测视界T的增加，假设检验按顺序（例如每周）进行。

这种方法的优点是，生成的存储时间与概率1（即Px-a.s.）是有限的；实际上，它是最佳停止时间τb之间的最小值*（这是在空次命题H:a下的有限Px-a.s.）≥ 0）和第一次拒绝H（如果H为假，则为最终Px-a.s.）。5.4. 数字示例为具体起见，我们使用欧元作为货币单位。首先，常数β的值被选择为β=30，该值封装了有关福利计划的信息以及找到新工作的比率λ（见（2.5））。因此，在保单有效期内（以及预计失业开始时）应付的总预期收益等于30周工资；也就是说，如果最终工资为400欧元（每周），那么将收到的总工资为400.00×30=12000欧元。00（欧元）。此外，我们设定λ=0.01，r=0.0004。这意味着，预计工作时间为1/λ=100（周），即约1年11个月，而年通货膨胀率为（365/7）·0.0004- 1 = 0.0210761 7 ≈ 2.11%，这很现实。接下来，我们需要指定保费P和工资过程Xt的参数，首先，选择初始值x=Xasx=346.00（欧元）。这是由法国劳动法推动的，根据该法，当前的最低工资率设定为每小时9.88欧元[42]，每周工作35小时[11，16]，即9.88×35=345.80欧元（每周）。至于保险费，其设定值为P=9 000.00（欧元），这相当于大约26个最低每周wag（即大约半年的收入）。为简单起见，我们也选择u=r=0.00 04，（5.5），以便工资增长率与通货膨胀率相同（实际上，可能略低）。然后从（2.9）中，使用（5.5），我们得到β=λβИr- u= β = 30.对于波动率σ，我们将说明两种相反的情况，u<σ和u>σ。示例5。1、设置σ=0.04，然后设置u-σ= -0.0004 < 0.

从（2.24）开始，我们计算*= 3.864208，则（3.13）yieldsb*= 404.7410=404.74（欧元）。使用（4.8）计算命中概率asPx（τb*< ∞) = 0.9245906.最后，使用（3.14），我们得到该合同的价值，v（346）=1714.2780=1714.2 8（欧元）。示例5.2。现在，设置σ=0.0 2，然后设置u-σ= 0.0002 > 0. 此外，使用（2.24）计算q*= 6.728416和（3.13）b*= 352.3705=352.37（欧元）。因此，使用（4.9），预计命中时间为beE（τb*) = 91.22197 = 91 .2（周）。最后，根据公式（2.25），本合同的价值计算为asv（346）=1389.6190=1389.6 2（欧元）。在图3所示的过程XT的模拟中，漂移a=u-σ为公式（5.2）估计值，为^a.=0.0005994。根据公式（5.3）（在每周时间网格上）估计方差σ得出^σ0.0003723，而真实值为σ=0.0004。因此，参数u通过^u进行估计0.0007855; 回想一下，真实值为u=0.0004.6。参数c依赖性在本节中，我们的目的是探讨Ourinsure pro bl em解决方案的参数依赖性，即最佳阈值b的参数依赖性*由（2.23）给出，值函数v=v（x）由（2.25）给出。特别是，有助于分析不同的渐近区域以及适当的偏导数（符号），以确定小扰动下的方向变化，并理解其经济意义。这是敏感性分析和所谓的比较静力学的关键要素【30，第七节】。接下来，我们将讨论两个最重要的外部参数——工资漂移u和失业率λ。约束条件（2.11）意味着参数u和λ的范围规定如下：，-∞ < u<r=r+λ，0∨ (u - r） <λ<∞.备注6.1。

接下来的两个技术小节是基本的，但相当乏味，希望快速掌握结果的读者可能只需查看图中的图。4和5.6.1。单调性由于二次方程（3.11），公式（2.23）可以方便地重写为B*=P（σq*+ r）βλ。（6.1）首先，fixλ并考虑函数u7→ b*. 对方程（3.11）进行微分，然后再次使用（3.11）去除u，我们得到q*u= -q*σ（2q*- 1) + u= -q*σq*+ r<0。（6.2）因此，使用（6.1）和（6.2），db*du=b*u+b*q*·q*u= -P（σq*)βλ（σq*+ r）<0，（6.3），因此，b*是u的递减函数（见图4（a））。同样，方程式（3.11）得出q*λ=σ（2q*-1） +u=q*σq*+ r+λ>0。（6.4）从（6.1）和（6.4）中，经过一些重新排列，我们得到了Db*dλ=b*λ+b*q*·q*λ= -P（σq*+ r） βλ+P（σq*)βλ（σq*+ r+λ）=-P（σq*+ r） （σq*+ r） +λrβλ（σq*+ r+λ）<0，（6.5），因此函数λ7→ b*正在减少（见图4（b））。现在让我们来看看值函数v=v（x）。首先，将v视为u的函数，从而保持λ固定。使用表达式（2.2 3），我们可以重写公式（2.25）的第一行（即x≤ b*) asv=Pq*- 1.xb公司*q*. （6.6）差异（6.6），我们得到vq*= -P（q*- 1)xb公司*q*1+（q*-1） ln公司b*x个< 0, (6.7)vb*= -P q*（q）*- 1） b类*xb公司*q*< 0。（6.8）因此，根据不等式（6.2）、（6.4）、（6.7）和（6.8），dvdu=vu+vq*·q*u+vb*·数据库*du>0。(6.9)-0.002 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004300 320 340 360 380 400 440工资漂移u最佳阈值b*（欧元）rxIIIIIIIVVI：λ=0.007II：λ=0.01III：λ=0.015IV：λ=0.025V：λ=0.055（a）u7→ b*0.00 0.01 0.02 0.03 0.04300 320 340 360 380 400 420 440失业率λ0最佳阈值b*（欧元）xP/βVIVIIIIIIII：u=-0.001II：u=0.0004（=r）III：u=0.002IV：u=0。005V：u=0.012（b）λ7→ b*无花果

4： 图表说明了最佳阈值（2.23）的参数依赖关系：（a）工资漂移u<r，（b）失业率λ>0∨(u - r） ，分别用于λ和u的选定值。示例5.2中整个区域使用的其他模型参数值：r=0.0004，P=9 000，β=30，σ=0.02。两个图中的虚线水平线表示初始工资x=346。（a）中的垂直虚线表示u=r。（b）中较低的水平虚线表示渐近线P/β=300（见（6.19））。如果x≥ b*, 然后从（2.25）的第二行，我们很容易得到dvdu=βλx（~r- u)> 0. （6.10）因此，在所有情况下，dv/du>0，这意味着函数u7→ v增大（见图5（a））。最后，fixu并考虑函数λ7→ v、 如果x≥ b*那么v由（2.25）的第二行给出，即v=βλxλ+r- u-P、 （6.11）特别是，如果u=r，则（6.11）降低至v≡ v*:= βx- P从（6.11）可以看出，dvdλ=βx（r- u）（λ+r- u)< 0，u>r，=0，u=r，>0，u<r。由于函数λ7的单调性→ b*（见（6.5）），v由（6.11）给出，长度为λ≥ λ*, 对于某些临界值λ*≡ λ*(u) ≤ ∞. 如下所示（见（6.19）），即limλ→∞b*= P/β，soλ*< ∞ i f，只有x>P/β。很明显，λ*由条件b确定*= x（见（2.23））以及方程式（3.11）。在特殊情况下，u=r（假设x>P/β），可以求解这些方程以得到λ*=Pβxσβxβx- P+r. (6.12)-0.002 0.000 0.001 0.002 0.003 0.0040 1000 2000 3000 4000工资漂移u值函数v（x）（欧元）（a）u7→ v（x）v*RIIIIIVVI：λ=0.005II：λ=0.01III：λ=0.016IV：λ=0.025V：λ=0.0550.000 0.005 0.010 0.015 0.0200 1000 2000 3000 4000失业率λ0值函数v（x）（欧元）（b）λ7→ v（x）v*λ*IIIIIII VVVII：u=0.0006II：u=0.0004（=r）III：u=0.0003IV：u=0。00022V：u=0.0001VI：u=- 0.0001图。

5： 说明价值函数（2.25）参数依赖关系的图表：（a）工资漂移u<r，（b）失业率λ>0∨(u - r） ，分别针对λ和u的选定v值。示例5.2中使用的其他模型参数值为：r=0.0004，P=9 000，β=30，σ=0.02，x=346。两个图中的虚线水平线对应于值v*:= βx- P=1380。（a）中的虚线垂直线表示u=r；在这种情况下，如图（b）中的曲线ii所示，v（x）≡ v*对于所有λ≥ λ*.= 0.012420（见（6.12））。这就是为什么图（a）中曲线iii、iv和v在u=r时的所有相交。特别是，在示例5.2中，该g为λ*.= 0.012420. 根据上述考虑，如果x>P/β，则（见（6.11））limλ→∞v=v*= βx- P、 （6.13）在x的情况下≤ b*, 我们使用公式（6.6）。与（6.9）类似，dvdλ=vλ+vq*·q*λ+vb*·数据库*dλ。（6.14）将表达式（6.2）、（6.4）、（6.7）和（6.8）替换为（6.14），取消内禀因子并调用公式（6.1），条件dv/dλ<0减少为σq*+ rσq*+ r+ λr<q*- 1+lnb*x个σq*+ r+λ. （6.15）可以证明，如果u≥ r则不等式（6.15）适用于所有λ<λ*, 但u<r的分析变得困难。数值图（见图5（b））表明，在后一种情况下，函数λ7→ v可以是非单数的ni c，导数e dv/dλ可能在多达两点处消失，前提是r- ε<u<r，ε>0足够小。更具体地说，图5（b）中的曲线图说明了x>P/β的情况，以及常见的渐近线（6.13）。对于x≤ P/β，曲线图看起来相似（此处未显示），但具有limλ→∞v=0（见下文（6.22）），因此导数dv/dλ最多可在一点内消失。6.2. 极限值让我们调查功能b*和v在限值（i）u内→ -∞ 或u↑ r和（ii）λ→ ∞ 或λ↓ 0（u<r），λ↓ u -r（u≥ r） 。

首先，使用方程式（3.11）观察thatlimu→-∞q*= ∞, limu↑rq*= 1、（6.16）和q*- 1.~r- uσ+~r（u↑ r）。（6.17）类似地，limλ→∞q*= ∞; 另一方面，如果u<r，则limλ↓0季度*= q*|λ=0>1，而如果u≥ r然后Q*- 1.~λ-(u - r） σ+u（λ↓ u - r） 。（6.18）因此，从（6.1）和（6.16）可以很容易地得出*→ ∞ (u → -∞) andb*→P（σ+~r）βλ（u↑ r）。此外，使用该q*→ ∞ (λ→ ∞), 从（2.23）我们得到*→Pβ（λ→ ∞). （6.19）在相反极限下，如果u>r，则根据（6.1）和（6.18），b*→P（σ+u）β（u- r） （λ↓ u -r） ，（6.20），而ifu≤ r然后limλ↓0b*= ∞; 特别是，对于u=rb*~P（σ+r）βλ（λ↓ 0). （6.21）对于值函数v=v（x），从公式（6.6）中，我们使用（6.16）和（6.17）得到limu→-∞v=0，limu↑rv=∞.此外，根据（6.13），如果x>P/β，则v→ v*= βx- P为λ→ ∞.在相反的情况下，由于b的单调性*（见（6.5））和我们的极限（6.19）b*> P/β≥ x、 所以使用公式（6.6）并回顾q*→ ∞, we getv公司≤Pq*- 1.→ 0 (λ→ ∞). （6.22）现在，当λ接近其范围的下边缘时，考虑v的极限。如果u<r，则（6.6）表示limλ↓0v=0，自b起*→ ∞ 和q*→ q*|λ=0> 1. 如果u=r，则使用（6.18）和（6.21）（u=r），我们得到V~ βxλq*-1=βx exp（q）*-1） lnλ→ βx（λ↓ 0). （6.23）最后，如果u>r，则根据（6.18）和（6.20），从（6.6）可以很容易地得出v~βx（u- r） λ- (u - r）→ ∞ (λ↓ u - r） 。(6.24)0.000 0.010 0.020 0.030-0.002 0.000 0.002 0.004 0.006失业率λ0工资漂移u（a）b等值线*IIIIIII VI:b*= 330II：b*= 340III：b*= 355IV：b*= 3850.000 0.010 0.020 0.030-0.0005 0.0005 0.0015失业率λ0工资漂移u（b）v=v（x）rλ的等值线*ViviIIIIIII:v=1510II:v=1380III:v=1250IV:v=1100V:v=900图。6： （λ，u）平面上最优停止问题解的等值线（水平曲线）：（a）b*（λ，u）=常数（最佳阈值（2.2 3））；（b） v（λ，u）=常数（值函数（2.25））。

整个过程中使用的其他参数的v值如例5.2所示：r=0.0004，P=9 000，β=30，σ=0.02，x=34 6。两个图中的斜虚线表示边界u=λ+r（见（2.11））。在图（b）中，水平虚线表示u=r，垂直虚线表示λ*.= 0.012420（见图5（b））。6.3. 比较静力学和敏感性分析比较静力学的目标是了解外生参数的不同值如何影响目标函数。例如，考虑最佳阈值b*作为失业率λ和工资漂移u的函数。而不是筛选其中一个参数，然后绘制b*根据剩余参数（如图4（a）和4（b）所示），绘制一系列比较静力学图非常有用，这些图显示了函数不同值（水平）的等值线（或水平曲线），即b*（λ，u）=常数（见图6（a））。如图所示。4（a）和4（b），函数λ=λ（u）（由水平条件隐式确定）的图表现为单调递减图。数值函数的类似图如图6（b）所示；对于足够大的v，曲线图变得非常单调。如果λ固定，则v值随u增长，与（6.9）和（6.10）一致。类似地，如果u>r固定，则v随λ减小，收敛到极限v*= βx- P为λ→ ∞ （见（6.13）），由图5（b）中的曲线II表示。如果v>v*然后，λ（和公共u）有两个不同的值，产生相同的值v，而对于v，则小于但足够接近v*, 此类根的数量可能会增加到三个（见第6.4节的讨论）。让我们也评论一下第5.4节中给出的数值例子的敏感性。

这里的问题是，输出值（例如，最佳阈值B）是多少*值v）将在一个背景参数的小v变化下发生变化。在线性近似中，变化因子由相应的偏导数给出。如前几节所述，我们讨论了工资漂移u（在设定值ueu=0.0004附近）和失业率λ（在λ=0.01附近）的敏感性。其他模型参数如第5.4节所述固定，即r=0.0004，P=9 000，β=30，a和x=346。至于波动率参数σ，如例5.1所示，它被设置为σ=0.04，或如例5.2所示，它被设置为σ=0.02。b的必要偏导数*可使用第6.1节推导的公式计算andv；结果见表1（a）。表1：函数b数值结果的灵敏度检查*和例5.1和5中的v。2： （a）参数导数；（b） 背景参数变化1%时的增量。（a） 导数导数示例5.1示例5.2db*/du-16 037.5 7 -13 962.43dv/du842 062.30 993 991.20db*/dλ-6 323.813 -3161.906dv/dλ-46 485.530 -8 76 8.435（b）增量（欧元）增量示例5.1示例5.2b*(u) -0.06415-0.05585v（u）3.36825 3.97597b*(λ) -0.63238-0.31619v（λ）-四点六四八五五-0.87684表1（a）中的数值可能很大，但它们应该由参数的小背景值设置，u=0.0004，λ=0.01。如果我们把它们增加一小部分，比如说1%，那么绝对增量就是u = 0.0004/100 = 4 ·10-6.λ= 0.01/100 = 10-因此，使用表1（a），我们获得了目标函数b的相应近似增量*和v（见表1（b）），看起来更美味。

一个有趣的观察结果是，当波动率σ达到2倍bigger时，v值对失业率λ变化的反应大约强5倍（从示例5.2中的σ=0.02到示例5.1中的σ=0.04）；相比之下，随着工资漂移的增加，v的变化不太明显。这突出了失业率的主要意义，这当然是很自然的。考虑到根据第5.2节中提到的数据估算u的难度，关于wag e漂移u的敏感性分析也很有用。表1（b）中的结果表明，选择u时的合理小误差对确定最佳阈值b的影响很小*和值v；例如，高估Git 1%将减少b*仅增加0.01欧元，而v值将增加约0.60欧元。因此，如果个人工资率的价值适度膨胀，则会对加入保险计划的时机及其预期收益持略为乐观的观点。另一方面，风险厌恶型个人可能会采取更保守的观点，倾向于低估自己的工资漂移u，这将提高阈值b*导致等待时间更长。然而，对于保险公司来说，尝试并避免低估潜在客户的工资漂移可能是合理的，以减少超额支付福利的风险。6.4。经济解释最优阈值b的单调衰减*随着失业率的增加，λ（参见（6.5）和图4（b））具有明显的经济吸引力：失业率越高，意味着失去工作的风险越高，这就需要更低的目标阈值b*为了加快加入保险计划。B单调性的经济学原理*作为u的函数（参见（6.3）和图。

4（a））是不同的-更大的工资漂移u使SIT更有可能在失业时达到更高的最终工资Xτ，因此降低阈值b*为较早的条目添加激励。作为工资漂移u的函数，v值的单调增长（见（6.9）、（6.10）和图5（a））也是有意义的——事实上，当工资漂移u越大，在失业时，有更多的可能性达到更高的最终工资Xτ，这增加了预期收益β（见（2.9）），因此，v值=保险单的v（X）。如图5（b）中的曲线图所示，值函数v=v（x）响应于变化的失业率λ的行为更有趣。在u<r的情况下，可以满意地看到v值v，在λ的极限内消失↓ 0时，随着λ开始增长，从而反映出保险单对不断增加的失业风险的有效性。另一方面，这可能会给保险公司带来越来越大的风险，保险公司将不得不为越来越多的索赔提供资金。但随着失业率λ越来越大，v值应该保持有界，因此必须收敛到λ的极限→ ∞, giv en by v*= βx- 如果x>P/β（见（6.13））或v*= 0否则（见（6.2 2））。具体而言，图5（b）显示，对于u的特定范围，值v在λ处达到最大值。然而，这些图表还显示，如果ukeepsincresing，那么价值图可能具有更复杂的非单对nic行为，这在经济上更难解释。另一方面，如图5（b）所示，在u的情况下≥ r当λ接近其范围的左边缘时，我们的模型产生了反直觉的v值增加，很难相信该值会随着失业风险的下降而增加。

此外，正如（6.24）中计算的，对于u>r，v的相应限值是有限的！但也许最显著的例子出现在临界情况下u=r，根据（6.21），正式设置λ=0，我们将得到阈值b*是有限的（与u>r的情况不同，见（6.21）），因此工资过程（Xt）永远达不到它；因此，我们从未购买过保险单（可以理解的是，没有失去工作的风险），尽管如此，它的价值在这个限度内是正的（见（6.13））。对这一悖论的解释在于，对于小λ>0，如何执行最佳停止：这里，阈值b*很高，只有很小的概率可以达到；在此之前，我们保持闲置，但如果达到阈值，则预期收益相当大，这对预期净现值的贡献足以将其保持在λ限值内的正值↓ 0（见（6.23））。因此，上述模型中的人工制品是由于没有对等待时间施加任何约束造成的。如第2.3节所述，这可以通过引入死亡率来纠正；特别是，这种正则化应该在λ的下边缘恢复v的零极限。包括公用设施考虑7.1。永久美式看涨期权我们的模型（及其解决方案）类似于（永久）美式看涨期权的最优停止问题（见[39，Ch.VIII，§2a]中的详细讨论）。更具体地说，看涨期权持有人可以在任何时候行使购买资产（例如，一单位股票）的权利，购买价格为预先确定的执行价格K，其中决策基于对股票价格随机过程（St）的观察，假设遵循几何布朗运动模型。

“永续”一词用于表示没有到期日，因此购买权会无限延伸。最佳时刻τ=τ*购买时，考虑到一个纯粹的财务目标，即最大化利润Sτ-K、 是以下最优停止问题的解，V（x）=supτExe-rτ（Sτ-K）+, （7.1）如果STI是一个几何布朗运动，参数u<r，σ>0，则在与（St）相关的过滤的所有停止时间τada上取上限。正交易（·）+对应于期权持有人无法以高于当前现货价格St的价格K购买的约束条件。众所周知（7.1）的解决方案（参见[39，Ch.VIII，§2a]）由命中时间τ给出*= τb*, 使用最佳阈值B*=Kq公司*q*-1，其中q*由公式（2.24）给出，但用r代替∧r=r+λ。相应的值函数由v（x）给出=（b）*-K）xb公司*q*, x个∈ [0，b*],x个- K，x∈ [b]*, ∞).观察到我们的最优停止问题（2.17）可以重写为asv（x）=βsupτExe-rτ（Xτ-K）,~K：=P/β，（7.2），这使得它看起来非常类似于永久美式看涨期权问题（7.1）。然而，有几个重要的区别。

首先，与美国看涨期权问题（7.1）中的收益函数不同，（7.2）中没有应用截断，因为在这种情况下，财务收益不是唯一的优先事项，因此个人准备容忍βXτ的负v值- P（尽管在最优策略下，va值函数v（x）总是非负的，见引理2.2（i）和公式（2.25））。此外，如备注4.1和第5.3节所述，命中时间τb*可能具有正概率（即，当u<σ），这在保险上下文中可能被视为不切实际，但在行使美式看涨期权时被认为是可以接受的。这一简单的观察有助于实现问题（7.1）和（7.2）之间的基本概念差异。我们直接建立的问题（7.1）和（7.2）的等价性并非巧合：已知[41，命题3.1，p.18 5]，在m ild a假设中，基因的解为最优stoppin g问题v（x）=supτEx（e-rτg（Xτ））不随g（·）的正截断而变化。两个问题；事实上，保险最佳止损不仅关注财务收益，还将最终优先考虑获得保险范围本身。因此，UI模型中最优停止问题的非现实公式应该包含一定的效用，它规定了个人对满意度的加权偏好，例如，不耐烦等待太久才加入UI方案。7.2. 带效用的启发式最优停止模型在这里，我们给出了一些关于在最优分析中可能包含效用的非正式想法。

如前所述，在u<σ的情况下，临界阈值d b*小于1，因此，如果严格遵守最优停止规则，则个人可能永远不会加入保险计划。这当然是不可取的，因为个人在某个时间点（希望是在失业之前）优先考虑投保。考虑这些额外要求的一个简单方法是将最佳停车问题（2.17）扩展如下：v+（x）=supτκPx（τ<∞) + eNPV（x；τ）= supτExκ{τ<∞}+ e-rτg（Xτ）, （7.3）当上确界再次被接管时，所有与过程（Xt）相适应的停止时间τ，以及系数κ≥ 0是一个预先确定的权重，代表个人对这两个贡献术语的个人态度（偏好）。如果Px（τ<∞) = 1然后将（7.3）中的倒数减少到一个常数（κ），从而产生之前的纯最优停止问题；然而，如果Px（τ<∞ ) < 1然后，第一项提高了不太可能确定的候选试验终止时间τ的回报率。问题（7.3）可以用更标准的形式重写，方法是拉出预期下的公共贴现因子v+（x）=supτExe-~rτG（τ，Xτ）, （7.4）带g（t，x）：=κert+g（x），（t，x）∈ [0, ∞] × [0, ∞).

（7.5）不幸的是，最优停止问题（7.4）不像以前那样适用于精确解，因为增益函数（7.5）也取决于时间变量（见[35，Ch.IV]）。在这种情况下，问题（7.4）可以再次简化为合适的（但更复杂的）自由边界问题，但碰撞边界（在（t，x）平面上的某一集合）不再是直线。更一般地，我们的最优停止问题可以通过用表达式e替换指示符（7.3）来修正-ρτ（ρ>0），v+（x）=supτExκe-ρτ+e-rτg（Xτ）, （7.6）保留了逐步惩罚较大τ值的倾向，包括τ=∞.这里，增益函数（7.5）的形式为g（t，x）=κe（~r-ρ） t+g（x）。特别是，通过选择ρ=~r，问题（7.6）转化为v+=supτExe-rτ（βXτ+κ- P）,这是与（2.17）相同的问题，但将保费P替换为P- κ.修正标准最优停车问题（2.17）的另一种更为激进的方法来自以下观察结果，即即使τ<∞ （Px-a.s.），等待τ发生可能需要很长时间-例如，如果Ex（τ）=∞. 换言之，考虑τ的期望值是合理的，从而导致组合最优停止问题v+（x）=supτκPx（τ<∞) + κexp{-Ex（τ）}+eNPV（x；τ）. （7.7）如果Px（τ<∞) < 1则Ex（τ）=∞ 将问题（7.7）简化为（7.3），其中f Px（τ<∞ ) = 1那么，实际上，只有（7.7）中保留了预期的术语。然而，公式（7.7）的一个缺点是它不能以形式（7.4）表示。试图修改这一点将使我们回到版本（7.6）。有趣的是，看看值函数如何依赖于偏好参数κ。下一个特性是显而易见的。提案7.1。对于每个x>0，最优停止问题（7.6）的值函数v+（x）是κ的严格递增函数。

问题（7.7）也是如此。证据我们使用符号v+（x；κ）表示值函数对参数κ的依赖性。对于κ<κ和任何停止时间τ6≡ ∞, 我们有κe-ρτ+e-rτg（Xτ）< 前任κe-ρτ+e-rτg（Xτ）≤ v+（x；κ）。（7.8）假设τ*是κ=κ的最优停止问题（7.6）的最大化子。然后，根据（7.8），v+（x；κ）=Exκe-ρτ*+ e-rτ*g（Xτ*)< v+（x；κ），即v+（x；κ）<v+（x；κ）a s索赔。类似的论点也适用于这个问题（7.7）。7.3. 次优解决方案如前所述，第6.2节所述的最优停车问题很难完全通用地解决。为了对可加性类型项的质量影响有所了解，我们可以将注意力限制在命中时间τb子类中的解决方案上。尽管此类解决方案仅为次优，但其优点是，可以使用所有明确可用的成分来解决减少的问题（见第4.1节）。例如，原始pro bl em（7.3）替换为U+（x）=supb≥0κPx（τb<∞) + eNPV（x；τb）. （7.9）与第4.3节类似，我们只需将（7.9）中的函数最大化为b≥ x、 确实，如果b≤ x然后τb=0（Px-a.s.），根据（2.7）和（2.16），supb≤x个κPx（τb<∞) + eNPV（x；τb）= κ+eNPV（x；0）=κ+βx- P、 何处SUSPB≥x个κPx（τb<∞) + eNPV（x；τb）≥κPx（τb<∞) + eNPV（x；τb）b=x=κ+βx- P、 假设u-σ<0（否则Px（τb<∞) = 1，从而导致相同的临时停止问题）。然后，根据（4.8），概率Px（τb<∞)成为b的严格递减函数∈ [x，∞), 因此，（7.9）中的最大值是通过不同的策略实现的，具有较低的最佳阈值b+。

更准确地说，根据公式（4.8）和（4.15），问题（7.9）被明确重写为asu+（x）=supb≥x个κxb公司1.-2u/σ+（βb- P）xb公司q*, （7.10）其中q*> 1在（2.24）中定义。与b不同的是，很容易检查问题（7.10）的最大值是否由b+=min（b）给出≥ x： aκbx公司q*-a+（q*- 1） βb≥ P q*),其中a：=1- 2u/σ<1<q*.以下（略微艺术化）版本的实用程序保留了（7.9）的精神，但可以进行精确分析：u+（x）=supb≥0κPx（τb<∞)q*/(1-2u/σ）+eNPV（x；τb）. （7.11）事实上，使用与之前相同的替换（4.8）和（4.15），（7.11）减少到（cf.（7.10））u+（x）=supb≥xh（βb+κ- P）xb公司q*i、 （7.12）与（4.14）的问题相同，但P替换为P-κ（参见（4.15））。因此，从（4.16）中，我们立即得到最大化b+=（P- κ） q*β（q*-1） =b*-κq*β（q*-1)≤ b*. （7.13）这是κ的严格递减（线性）函数；特别是，b+=b*如果κ=0和b+=0，如果κ=P。相应的值函数由（cf.（4.17））u+（x）=（（βb++κ）给出- P）xb+q*, x个∈ [0，b+]，βx+κ- P、 x个∈ [b+，∞),（7.14）或更明确地（参见（4.18））u+（x）=P- κq*- 1.β（q*- 1） x（P- κ） q*q*, 0≤ x个≤（P- κ） q*β（q*- 1） ，βx+κ- P、 x个≥（P- κ） q*β（q*- 1).（7.15）0 100 200 300 400 335 340 345 350重量κ（欧元）阈值b（欧元）κ+x（a）κ7→ b+0 100 200 300 400 1400 1500 1600 1700 1800Weightκ（euro）值函数u（x）（euro）κ+u+（x）|κ=κ+（b）κ7→ u+（x）图7：在简化的最优停止问题（7.11）中，函数对偏好权重κ的依赖性：（a）最优阈值b+（见（7.13））；（b） 值函数u+（x）（见（7.15））。所用参数的数值如例5.2所示：r=u=0.0004，P=9 000，β=30，σ=0.02，x=346。特别是，如果κ=0，则b+与b一致*.= 352.3705 a和u+（x）与v（x）重合。=1389.6190.

两个plo ts上的虚线垂直线表示值κ+162.7108（见（7.16））根据（7.15）分离u+（x）的不同体系。当κ=κ+时，b+=x=346，如图（a）中的虚线水平直线所示；相应的值函数由u+（x）=βx+κ+给出- P、 =1542.7110（见（7.14）），如图（b）中的水平虚线所示。请注意，曲线图（b）中的u+（x）曲线图对于κ几乎呈线性∈ [0，κ+]，因为κ/P比值非常小，0≤ κ/磷≤ κ+/P.=0.01 808；此处的斜率约为yv（x）（q*-1） /P.=0.88448，与κ线性图的斜率1相比≥ κ+.如果x固定，则问题值u+作为κ的函数，由（7.15）中的第一行或第二行根据κ给出∈ [0，κ+]或κ∈ [κ+, ∞), 其中κ+：=P-β（q*-1） xq公司*. （7.16）b+和u+（x）对效用参数κ的依赖性∈ [0，P]如图7所示，而图8显示了命中概率x（τb<∞) 以及可变阈值b上的平均命中时间Ex（τb）≥ 0，以及预期净现值eNPV（x；τb）的对应图。备注7.1。注意，u+（x）是κ的严格递增函数∈ [0，P]，符合提案7.1。特别是，u+（x）与函数u（x）的原始值givenby（4.18）一致，但溢价P被P取代- κ. 这可以解释为个人同意将通过追求最佳停车问题（7.11）而非（2.17）获得的额外满意度转换为更高的溢价，P+=P+κ。这种影响是在预期效用理论下使用风险效用函数的特征【23】（另见下文第6.4节的讨论）。在u>σ的情况下，我们可以考虑简化问题u+（x）=supb，而不是（7.7）≥0κexp{-Ex（τb）}+eNPV（x；τb）.

（7.17）0 200 400 600 800 1000 12000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2保留b（欧元）Px（τb<∞)xb公司*（a） b 7→ Px（τb<∞)u <σ300 350 400 450 5000 500 1500阈值b（欧元）Ex（τb）（欧元）xb*（b） b 7→ Ex（τb）u >σ0 200 400 600 800 1000 12000 500 1000 1500阈值b（欧元）eNPV（x；τb）（欧元）xb*（c） b 7→ eNPV（x；τb）u <σ300 350 400 450 5000 500 1500阈值b（欧元）eNPV（x；τb）（欧元）xb*（d） b 7→ eNPV（x；τb）u >σ图8：命中时间τbversus阈值b泛函的理论图≥ 上排：（a）命中概率Px（τb<∞) （见（4.8））；（b） 平均命中时间ex（τb）（见（4.9））。底行：u<σ（c）或u>σ（d）的预期净现值eNPV（x；τb）（见（4.15））。整个过程中使用的参数值如第5.4节所示：x=346，P=9 000，β=30，u=0.0004，σ=0.04（左）或σ=0.02（右）。每个图上的垂直虚线表示x和最佳阈值b*,分别地具体而言，b*.= 404.741左侧0（参见示例5.1）和b*.= 352.3705位于右侧（参见示例5.2）。替换公式（4.9）和（4.15）后，将其改写为（cf.（7.10））u+（x）=supb形式≥x个κln（b/x）u-σ+（βb- P）xb公司q*. （7.18）同样，可以解决最大化问题（7.18）（至少在数值上）。对于分析解决方案，可以方便地将问题（7.17）修改为fo l l ows，u+（x）=supb≥0κexp-q*u -σEx（τb）+ eNPV（x；τb）.与（7.18）类似，这导致了与（7.12）一致的最大化问题，因此，具有相同的解决方案（7.13）和（7.14）（或者，等效地，（7.15））。7.4. 与预期效用理论的联系上述考虑可以与标准预期效用理论联系起来[23]。在通常情况下，假设个人使用（可能是潜意识）某种效用U（w），作为金融财富w的函数，来评估损失、收益和结果满意度。

一般而言，给定当前财富w和一些随机未来损失Y，预期损失（v i a效用U（·））可表示为EU（w-Y）. 个人倾向于支付保费P并购买保单，只要无保险的预期效用不超过U（w-P），EU（w- Y）≤ U（w-P）。（7.19）余额条件U（w- Y）= U（w- P）（7.20）确定客户准备支付的最大保费P（事实上，在这一点上，无论是否购买保险都没有区别）。在U（w）的基线情况下≡ w、 条件（7.19）和（7.20）在顶部减少≤ Pmax=E（Y）。（7.21）然而，选择不同的效用函数可能会改变这一阈值。例如，如果随机损失Y具有指数分布，参数θ=0.001，那么根据（7.21），我们得到Pmax=E（Y）=1/θ=1000。相反，将效用函数设为U（w）=1-经验值-θw. 这里，如果财富为正，效用在0到1之间，但如果财富为负，效用会变得越来越负；也就是说，对负财富的重视程度很高，这可能是风险厌恶型个人的特征。在这种情况下，很容易检查Pmax=2 ln 2θ=1386.2 94>1000。因此，个人很乐意支付比以前更多的费用，以保护自己免受重大损失的风险。也就是说，额外的满意度可以转化为额外的溢价。在我们的例子中，如果要在时间t=0时立即输入UI，那么该决策的值将是eNPV（x；0）=βx- P（见（2.8）和（2.16））。

显然，为了使其非负，保费P必须满足条件P≤ Pmax=βx。对于恒量，在第5.4节中的数值示例设置中，我们得到Pmax=30×346=10 380，而设置的溢价为P=9 000。类似地，如果在停车时间τ作出决定，则以wag eXτ为条件，应支付的最大保费将由Pmax=βXτ给出。因此，最大值随当前工资一起上升或下降。然而，在我们的设置中，入口时间不是预先决定的，而是受基于observationsover（Xt）的停止规则的约束。因此，对于任何溢价P，最优停车问题的值函数v（x）（x>0）始终为正，无论溢价P有多高（见公式（2.26））。显然，这是通过选择阈值b来实现的*足够高，这保证了在（罕见的）命中事件中，此策略的平均值将为正值。从预期效用理论的标准来看，这可能并不令人满意；然而，这并不矛盾，因为在其标准版本中，该理论不允许选择停止。按照第6.2节和第6.3节的精神，在增益函数中添加效用项有助于修正这种情况（见备注7.1），但最大可承受的前提仍然不确定。对这一悖论的解释在于一个简单的事实，即迄今为止所考虑的最优停止问题中的增益函数不包括任何损失。解释此类损失的一种简单方法是将消费纳入模型。也就是说，假设消费率c为常数；例如，中兴通讯给出了一段时间间隔[0，t]内的消费净现值-rsc ds=c（1- e-rt）r。很自然地，我们会假设工资Xt足以为消费提供资金，因此Ex（Xt）=xeut≥ c代表所有t≥ 0（见（2.3））。

反过来，要使其保持不变，必须假设X=X≥ c和u≥ 因此，我们只需考虑失业期间的消费[τ，τ+τ]，其中工资由UI福利代替。该消费的预期净现值由γ给出：=Ee-rτZτe-rsc ds= Ee-rτ·Ec（1- e-rτ）r=λc（r+λ）（r+*λ） ，使用τ和τ及其指数分布的独立性（分别使用参数λ和λ）。因此，我们的基本最优停止问题（2.1 7）被修改为v（x）=supτExe-rτg（Xτ）-γ,其解与之前的解相同（参见第2.5节），但具有新的值函数v（x）=v（x）- γ、 即（cf.（2.25）），v（x）=（（βb*-P）xb公司*q*-γ、 x个∈ [0，b*],βx- P- γ、 x个∈ [b]*, ∞).现在，不等式v（x）≥ 对于P到yieldP，0可以很容易地求解≤ P最大值：=βb*- γb*x个q*, x个∈ [0，b*],βx- γ、 x个∈ [b]*, ∞).（7.22）请注意，Pmaxin（7.22）是γ的递减函数，但是x的递增函数。因此，正如可以预见的那样，最大有效保费随着消费的增加而降低，但随着工资的增加而升高。备注7.2。当然，消耗也可以纳入涉及公用事业的最佳停止模型（见第6.2节和第6.3节），但我们省略了技术细节。8、结论性意见在本文中，我们在一个风格化的UI模型中建立并解决了一个最优停止问题。该模型及其解通过说明个人寻求保险的最优策略的方法非常有用。通过在模型中包含消费，我们还演示了如何计算公平保费，这使得我们的UI模型也可以从保险公司的角度使用。由于一些简化的假设，特别是失业时间τ的指数分布和恒定的通货膨胀率，相应的最优停止问题的显式闭合形式解决方案是可能的。

分析还强烈依赖于工资过程（Xt）的最简单模型，即具有常数漂移u和波动率σ的几何布朗运动。让我们指出几个使UI模型更真实的方向。首先，UI保险的定义可以被受益计划的有限到期期限（类似于具有有限水平的美式看涨期权）所取代，这将导致更难的（时间相关的）最优停止问题（参见[35，§25.2]）。此外，τ的指数分布假设需要在实际失业数据的基础上进行检验。然而，请注意，设定τ的不同分布将使预期净现值eNPV（x；τ）的表达式（2.13）无效，因此将改变最优停止问题（2.17）中的增益函数，使其更难解决。模型的参数也可能需要具有时间依赖性，从而导致模型明显复杂化。另一方面，在失业期间被动等待新工作的隐含假设可能不现实，或者至少不可取，因为人们希望个人更积极地寻找工作。因此，将我们的UI模型与求职模型相结合可能很有趣，如[4]。在这种情况下，将效用术语纳入最佳设置是一种新颖的做法，并说明了在效用考虑的驱动下，个人行为的重大变化。特别是，最优停止问题（7.6）的值是偏好系数κ的递增函数（见命题7.1）。这个结果在直觉上很有吸引力，asit符合效用函数的通常影响（在预期效用理论下），允许人们将额外的满意度转化为额外的溢价。我们在第6.3节（见图7）中对次优解的分析证实了这一点。

最后，更详细地研究最优停车问题（7.6）是很有意思的。确认TsJ。S、 A.得到利兹大学利兹周年研究奖学金（LARS）的支持。两位作者都从与Tiziano De Angelis的许多有益讨论中受益匪浅，Tiziano De Angelis也为本研究的设计做出了贡献。J、 S.A.是格拉·特弗托·埃琳娜·伊索格利奥，请发表有益的评论。我们感谢三位匿名评论者提供的有用反馈。特别是，评审员#1提出了我们的保险模型的扩展，将死亡率恒力纳入其中，并指出了文献[31]中的经典论文；评审员#2评论了最佳停止中的正截断，并由[41]提请我们注意；评审员基于敏感性分析和经济解释。参考文献【1】Acemoglu，D.和Shimer，R.《失业保险带来的生产力收益》。《欧洲经济评论》，44（2000），1195-1224。（内政部：10.1016/S0014-2921（0 0）00035-0）[2]贝尔y，M.N.最佳失业保险的一些方面。《公共经济学杂志》，第10期（1978），379-402页。（doi:10.1016/0047-2727（78）90053-1）[3]Borch，K.应用于保险理论的效用概念。《ASTI N公报》，1（1961），245–2 55。（doi:10.1017/S051503610009685）[4]Boshuizen，F.A.和Gouweleeuw，J.M.连续时间求职模型：一般更新过程。统计通信。随机模型，11（1995），349–369。（doi:10.1080/15326349508807349，MR1323959）[5]Chen，X.，Li，X.和Yi，F.在有限时间范围内具有非平稳效用的最优停止投资。《工业与管理优化杂志》，15（2019），81–96。（内政部：1 0.3934/即墨，2018033）[6]Choi，K.J.和Shim，G.非效用、最优退休和投资组合选择。《数学金融》，16（2006），443–467。

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