一个简单失业保险模型的最优停止与效用

2022-6-14 04:18:19

失业保险简单模型中的最优停止与效用Jason S.Anquandah*Leonid V.Bogachev+英国利兹大学数学学院统计系，利兹LS2 9JT摘要失业管理是社会政策中的关键问题之一。失业保险计划旨在缓冲失业对经济和士气的打击，同时也鼓励失业者由于福利金的不断减少而更积极地寻找新工作。本文提出了一个简单的失业保险模型，重点讨论了个人进入该计划的最优性。解决了相应的最优停止问题，并讨论了其与永久美式看涨期权的异同。除了纯粹的财务观点外，我们认为，在精算背景下，最优决策应通过适当的效用函数考虑其他可能的偏好。文中给出了这方面的一些例子。关键词：保险；失业最优停车；几何布朗运动；鞅；自由边界问题；美式看涨期权；公用事业MSC 2010：初级97M 30；次级60G40、91B16、91B301。引言评估金融行业的风险通常旨在找到决策中的最佳选择。在保险行业，最优考虑主要对保险人来说至关重要，他们必须解决许多问题（例如，如何为保单定价，使其不致于亏损，同时保持产品的竞争力）和时间问题（例如，何时将产品投放市场）。

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2022-6-14 04:18:22

研究较少但也很重要的是代表被保险人的最佳决策，涉及货币问题（例如，如何购买保险单和正确的财富投资比例）、消费决策（例如，是否最大化或优化自己的消费）或与时间相关的决策（例如，何时最好加入或退出保险计划）。在本文中，我们关注与失业保险（unemploymentinsurance，UI）相关的特定类型的产品，通过这种产品，就业人员可以获得投资性失业风险的保障（例如，由于冗余）。各种UI系统旨在帮助缓解失业带来的财务（以及士气）打击，并鼓励失业人员在福利持续下降的情况下尽早找到新工作*通信作者。电子邮件：mmjsa@leeds.ac.uk+电子邮件：L.V。Bogachev@leeds.ac.ukprotection通常在被保险人失业后直至找到新工作之前，以定期财务福利（通常免税）的形式提供，但通常仅在最长期限内达到一定的金额，并且付款时间会相应减少。许多国家都有UI计划【19，25】，通常由政府运营和资助，由雇主和工人出资，也由私人保险公司出资【15】。例如，20世纪90年代在法国和比利时管理的政府用户界面系统按照一定的时间表提供了随着时间而减少的效益；福利金额由工人的年龄、最终工资/薪金、就业资格年数、家庭情况等决定。在这项工作中，我们介绍并分析了一个简单的UI模型，重点关注个人加入计划的最佳时间。在正式设定模型之前，让我们概括描述一下情况。

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2022-6-14 04:18:25

考虑一个目前正在工作但担心可能失业的个人，由于就业市场的流动性和就业部门的需求水平，这可能是一个真正的潜在威胁。为了缓解这一风险，雇主或社会服务机构有一个失业保险计划，可以为此人提供失业保险（可能在工作的某个合格期之后），支付一次入职保险费将保证被保险人获得与最终工资成比例的特定福利支付，并由特定的递减福利计划确定，直到找到新作业（见图1）。0时间t付款率0τττ+τXtFig。1：失业保险计划的时间表。水平轴显示（连续）时间；纵轴表示付款率（即单位时间的应收收入）。原点t=0表示开始就业。随机路径X的两部分描述了个人在就业期间的工资动态。个人在进入时间τ加入UI方案（通过支付溢价P）。当当前工作结束（时间τ>τ）时，根据预定计划（例如，见示例2.1）支付与最终工资Xτ成比例的福利，直到在失业持续时间τ后找到新工作为止。个人面临的决定是何时（而不是是否）加入该计划。在考虑做出这样的决定时，考虑了哪些因素？一方面，考虑到货币流动超时，推迟进场可能是一个好主意-由于进场溢价是固定的，其实际价值随着时间的推移而减少。此外，可以合理预计，工资可能会随着时间推移而变化（例如，由于通货膨胀，但也作为技能和经验提高的回报），这可能会增加未来的总收益（取决于最终工资）。

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2022-6-14 04:18:28

最后但并非最不重要的一点是，在支付入门级保险费成为财务可行之前，可能需要节省一些费用。另一方面，推迟加入保险计划的决定是有风险的，因为个人仍然没有受到失业的保护，这会对财务和士气产生影响。因此，有一个优化进入时间决策的空间-可能不太早，也不太迟。显然，此类决策应基于迄今为止可用的信息，其中当然包括通货膨胀率以及失业率和再就业率，所有这些原则上都应通过公布的统计数据提供。决策的另一个重要输入是个人的时间波动。我们更喜欢将其建模为rando mprocess，其v值可以上升也可以下降。这就是为什么我们不考虑工资（实际上工资是分段不变的，不太可能下降），而是讨论工资，工资更能响应供求关系，也会受到“实际工资”的调整（例如，通过消费者价格指数CPI）。此外，由于就业市场的流动性，在以工资为基础的就业中，失去b类工作的可能性更大。为了简单起见，我们使用一种称为计量布朗运动的扩散过程来模拟波动动力学。综上所述，我们模型的优化问题旨在通过选择最佳进入时间τ来最大化UI方案的预期净现值*. 我们将证明，使用成熟的最优停止理论可以准确地解决这个问题【35、36、39】。结果表明，a nswer是由合适阈值b的命中时间提供的*, 也就是说，第一次τb*当工资流程XT达到此水平时。

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2022-6-14 04:18:31

因为b的值*这将导致解决与微分过程（Xt）相关的微分算子（生成器）的自由边界问题。事实上，我们首先猜测上述解决方案的结构，并找到值b*, 然后验证这确实是最优停止问题的真实解。在保险文献中，人们对使用最优性考虑因素，包括最优停止问题非常感兴趣。从保险公司寻求最大化其预期回报的角度来看，最佳停止时间可以解释为如果情况不好，暂停当前交易的时间，以及重新计算保费的时间（例如，参见[22、24、32]和其中的进一步参考）。保险研究也从个人的角度着眼于最优化。与UI环境相关的一个重要方向是调查求职过程，尤其是从失业状态返回时[4，29，4 3]。此外，还开展了一项更为广泛的研究，探索如何优化和提高用户界面系统的效率（也包括减少ZF支出），利用诸如在失业期间减少福利等激励措施，以及制裁和工作福利（请参见[13、17、20、26、27]）。

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2022-6-14 04:18:35

一项相关的研究是在存在非自愿失业风险和借款约束的情况下研究最优退休策略[6、7、14、21、40]。据我们所知，UI环境中的最佳停止问题（如UI策略的最佳进入/退出）尚未得到足够的研究关注。这个问题很重要，因为知道最佳进入策略可能会增强技术便利性，我们选择使用连续s时间模型，但我们的想法也可以适应离散时间（这可能更自然一些，因为工资过程是由个人在每周的时间尺度上观察的）。个人加入UI计划的动机，从而通过UI政策确保更好的社会效益（见[37]中的分析和讨论）。了解被保险人的最佳入职时间，这会影响所申请福利的金额和期限，也将有助于保险公司（国家和私人）优化其财务实践（见[28]中的讨论）。因此，我们目前的工作试图通过解决加入UI方案的最佳时机问题来填补这一空白。有意思的是，我们的最优止损问题及其解决方案与金融数学中著名的美国看涨期权有很多共同点（但不完全相同），其中期权持有人有权在任何时候行使期权（即，以商定的价格购买特定股票），问题是确定最佳时间，旨在最大化预期财务收益。

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2022-6-14 04:18:37

然而，与基于纯粹财务目标的美国看涨期权设置不同，我们的UI模型中获得的最佳停止解决方案从个人角度来看并不完全令人满意，因为（最佳）等待时间τb*可能以正概率确定（至少对于某些参数值而言），即使以概率1确定，预期等待时间也可能很长。基于这一观察结果，我们认为应该在分析中加入某些效用元素，以量化个人的“不耐烦”，作为目标和满意度的衡量标准。我们建议在UI最佳停止框架中如何适应实用程序的一些简单想法。尽管这些例子很简单，但在大多数情况下，它们会导致更难的最优停止问题。我们并不试图全面地解决这些问题，我们致力于探索命中时间类别中的次优解决方案，尽管如此，这为将效用纳入最优停止环境的可能影响提供了有用的见解。沃恩·诺依曼（Von Neumann）和摩根斯特恩（Morgenstern）[33]在经典著作中大力提倡经济学中的效用的一般概念，其目的尤其是要克服市场主体严格理性行为的理想假设。这些理念很快被保险业所采用，可以追溯到Borch[3]，并很快成为保险业主流的一部分，最终形成了预期效用理论（见Kaas等人最近的一本书[23]），通常被用作保险产品定价的标准工具。特别是，在UI分析中使用实用程序的例子无处不在（例如，参见[1,2,13,17,19,20,26,27,28]）。此外，还提供了将最佳停止和效用相结合的功能【5、6、18、24、32、43】。

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2022-6-14 04:18:40

然而，所有这些例子都被限制为使用效用函数来重新计算财富，而据我们所知，其他重要目标和偏好，如购买保单的意愿或缩短等待时间，尚未得到考虑。布局论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们详细介绍了我们的保险模型，并建立了优化问题。在第3节中，通过将问题简化为合适的自由边界问题来解决最优停止问题，包括确定临界阈值b*. 第4节补充了这一点，使用了关于几何布朗运动命中时间分布的显式信息进行了元素推导。第5节讨论了各种统计问题，并提供了一个说明临界阈值b最优性的数字示例*. 在第6节中，我们对模型中的两个最重要的外部参数失业率和工资漂移进行了参数依赖性分析，并给出了经济学中个人主义（并非总是理性）认知的经济影响，金融市场是现代行为经济学的主题（参见，例如，最近的单图形[8]）。本协议的解释。在第7节中，我们将我们的问题及其解决方案与经典的美式看涨期权进行了有益的比较，从而得出了在最优停止条件下基于效用的考虑的必要性。最后，第8节对我们的结果进行了总结性讨论，包括对进一步工作的建议。符号我们使用标准符号a∧ b：=最小值{a，b}，a∨ b：=最大值{a，b}，anda+：=a∨ 0.2. 最优停止问题2.1。失业保险模型让我们更详细地描述一下我们的模型。

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2022-6-14 04:18:44

假设时间t≥ 0是连续的，从个人开始就业开始测量（以周为单位）。我们假设失业保险政策可以立即生效，但不失普遍性（尽管在实践中，通常需要一段合格的工作期才能生效）。设Xt>0表示个人工资（即每周工资、国内工资）作为时间t的函数≥ 0，这样X=X。我们处理X=（Xt，t≥ 0）作为在过滤概率空间上定义的随机过程(Ohm, F、（Ft），P），其中Ohm 是可测量的样本空间（例如，由（Xt）的所有可能路径组成），过滤比n（Ft）是σ-代数Ft的递增序列 F、 P是可测空间上的概率测度(Ohm, F）它确定模型中各种随机输入的分布，包括（Xt）。假设过程（Xt）与过滤（Ft）相适应，即Xtis Ft可测量每个t≥ 直观地说，FTI被解释为时间t之前可用的全部信息，而Xt对FTI的可测量性意味着该信息包括对过程Xt值的了解。此外，记住Xt是正值，我们使用一个简单的几何布朗运动模型，由随机微分方程dxtxt=udt+σdBt，X=X，（2.1）驱动，其中Bt是标准布朗运动（即，平均值为零，e（Bt）=0，方差var（Bt）=t，且具有连续样本路径），以及∈ R和σ>0分别是漂移率和波动率。众所周知，方程（2.1）具有显式解（参见，例如，[39，Ch.III，§3a，p.237]）Xt=x exp(u -σ） t+σBt（t≥ 0).

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2022-6-14 04:18:46

（2.2）注意ex（Xt）=xeut，Varx（Xt）=xe2uteσt-1., （2.3）其中，给定初始值X=X，Exand Varxdenote对X的分布的期望和方差。现在让我们指定失业保险计划。目前就业的个人可以通过在进入点支付固定的一次性保费P>0来加入该计划。如果当前就业结束（例如，在时间瞬间τ），则根据福利表h（s）支付最终工资Xτ的福利比例；也就是说，时间t的支付≥ τ由Xτh（t）给出- τ). 然而，在持续时间τ的失业期结束后，如果找到新工作，则停止支付。为简单起见，我们假设τ和τ都具有指数分布（分别具有参数λ和λ）；正如引言中提到的，这保证了相应的转换具有马尔可夫性质。还假设这些随机时间在统计上独立于过程（Xt）。图2显示了我们的保险模型状态空间中的可能转换，其中符号“0”和“1”分别编码了就业和失业状态，而符号“+”和“-”表示保险是否到位。注意，除了从0–到0+（受基于工资过程（Xt）观测的最优控制）外，l转换以马尔可夫方式发生；也就是说，保持时间呈指数分布（参数λif处于状态0–和0+，或λif处于状态1–和1+）。0+ 1+0– 1–（τ<τ）（Xt）τλλλ（τ≥ τ） λ图例：0（就业）1（失业）+（有保险）–（无保险）图。

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2022-6-14 04:18:49

2：失业保险计划可能过渡的示意图。这里，τ和τ是状态0和状态1的（指数）保持时间，参数分别为λ和λ，而τ是进入时间（即从状态0到状态0+），这取决于基于工资过程（Xt）观察的最优控制。个人关于加入该计划的合适时间的决定是基于目前可用的信息。在我们的模型中，过滤（Ft）中编码的信息是通过对工资过程（Xt）的持续观察提供的。因此，选择τ的可接受策略必须适应过滤（Ft）；即，在任何时刻t≥ 0应该可以确定τ是否已经发生，以Ft为单位给出所有信息。在数学术语中，这意味着τ是一个停止时间，对于任何t≥ 0事件{τ>t}属于σ-代数Ft（参见，例如，[44，Ch.1，§3，p.25]）。备注2.1。通常，允许停止时间τ取[0，∞] i包括∞,在这种情况下，等待会一直持续下去，决不会做出加入该计划的决定。在实践中，希望停车时间τ几乎可以确定（a.s.）（即Px（τ<∞) = 1），但情况可能并非总是如此（见第4.1节）。2.2. 设定最佳停止问题在导言中作了非正式解释，其中有一个优化进入时间τ选择的范围，其中通过最大化计划的预期财务收益来衡量最佳性。我们的下一个目标是获得合同下预期收益的表达式。首先，以最终工资Xτ为条件，本保险合同下预计收到的未来福利为XτEZτe-rsh（s）ds= βXτ，（2.4），其中r是膨胀率，β：=Z∞λe-λtH（t）dt，H（t）：=中兴通讯-rsh（s）ds。

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2022-6-14 04:18:52

（2.5）注意，公式（2.4）中的期望值是关于（指数）随机等待时间τ（带参数λ），并且积分内的表达式包括对时间τ处失业开始的折现。示例2.1。收益表h（s）的具体示例如下，h（s）=（h，0≤ s≤ s、他-δ（s-s），s≥ s、（2.6）其中0<h≤ 1, 0 ≤ s≤ ∞ δ>0。因此，被保险人在一个g种族周期s内获得其最终工资的一定比例（即hXτ），之后福利将随着比率δ呈指数下降。这个例子的动机是法国不断下降的失业补偿制度[25]。指定了计划函数后，所有计算都可以显式完成。具体而言，（2.4）中的常数β由（2.5）计算得出，β=h1.- e-（r+λ）sr+λ+he-（r+λ）sr+λ+δ。在极端情况下，s=0或s=∞, 此表达式简化为β=hλ1.-r+δr+λ+δ, s=0，hλ1.-rr+λ, s=∞.这里，第一个因素具有明确的含义，即每周工资（h）与福利支付平均持续时间（E（τ）=1/λ）的乘积，而第二个因素考虑了利率r和δ的折扣。回到一般情况，如果立即签订合同（以支付保费P为准），则贴现至进场时间t=0的净预期收益由收益函数g（x）：=xe-rτβXτ- P、（2.7）更具体地说，根据20世纪90年代的法国UI系统（见[25，第8页]），50岁或以上的工人，在过去12个月内有8个月的可保工作，有权享受相当于前8个月应付最终工资57.4%的全额福利，此后每四个月下降15%；然而，总的来说，付款持续时间不超过21个月。

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2022-6-14 04:18:55

这导致在（2.6）中选择以下数值：h=0.574，s=8（52/12）。=34.7（wee-ks）和δ=-（3/52）ln（1- 0.15).= 0.0094=0.94%（每周）。在我们的模型中，通过从条件E（τ）=91调整参数rλ，可以考虑21（52/12）=91周的受益期限限制，给出λ0.0110. 更保守的选择是使用尾部概率条件，例如，P（τ>91）=0.10，产生λ=-ln（0.10）/91.=0.0253（带E（τ）。=39.5).其中x=Xis为起始工资，符号Exnow表示τ和xτ的期望值。回想一下，随机时间τ与过程（Xt）无关，并且具有参数λ的先验分布。使用总期望公式（参见，例如，[38，§II.7.4，定义3，第214页和属性g*，第216页]），并替换表达式（2.3），计算（2.7）中的期望值，如下所示：e-rτXτ= 前任e-rτEx（Xτ|τ）= 前任e-rτ（xeuτ）= xZ公司∞e（u-r） tλe-λtdt=λxr+λ- u. （2.8）因此，将（2.8）替换为（2.7）并表示▄r：=r+λ，β：=βλ▄r- u，（2.9）增益函数明确表示为g（x）=βx- P、（2.10）当然，（2.8）中的计算只有在u<r+λ=~r.（2.11）假设2.1时才有意义。在下文中，我们始终假设条件（2.11）满足。备注2.2。在实际应用中，工资增长率u相当小（但可能为正或负）。不太可能超过通货膨胀率r，但即使超过了，从经济上讲，也很难超过综合通货膨胀率-失业率r=r+λ。因此，条件（2.11）是绝对现实的。为了推广表达式（2.10），考虑延迟进入时间τ>0（默认假设τ<∞).

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2022-6-14 04:18:58

首先贴现至进入时间τ，当价格P的扣除被激活时，然后再向下贴现至初始时间t=0，y将总收益的预期净现值作为初始工资x的函数，eNPV（x；τ）：=Exe-rτe-r（τ-τ） βXτ- P{τ<τ}, （2.12）此时的期望还包括关于τ的平均值，τ是路径（Xt）的函数。请注意，ExpectationSpecifies下的指标函数规定，进入时间τ必须出现在τ之前，否则将没有增益。备注2。注释（2.12）强调预期净现值取决于特定的进入时间τ。正如导言中直观地解释的那样，优化τ的选择有一个范围，其中最优性是通过最大化eNPV（x；τ）来衡量的。公式（2.12）表明决策时间τ有一个固定（随机）到期日τ（使用金融期权的术语）。然而，（2.12）InvolvesAveraging中关于τ的预期。此外，利用τ的指数分布，表达式（2.12）可以在没有任何到期日的情况下重写（即，作为永久期权）。引理2.1。由公式（2.12）确定的预期净现值可以用公式PV（x；τ）=Ex表示e-rτg（Xτ）{τ<∞}, （2.13）其中，函数g（·）在（2.7）中定义，且▄r=r+λ（见（2.9））。证据由于τ的分布是独立的，因此剩余时间|τ：=τ-条件为{τ<τ}的τ再次呈指数分布（参数λ相同），且与τ无关。因此，τ上的条件（仅限于事件{τ<∞}) 并使用[38，§II.7，属性G*，p]之前的TotalExpection公式a s。

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2022-6-14 04:19:01

21.6]），结合过程（Xt）的（强）马尔可夫性质，我们从（2.12）eNPV（x；τ）=Ex前任e-rτ（e-r（τ-τ） βXτ-P）{τ>τ}τ= 前任e-rτEx（e）-r▄τβXτ+▄τ- P）τ· 前任{τ>τ}τ= 前任e-rτEXτ（e）-r▄τβeX▄τ- P）· 二甲苯τ> τ |τ, （2.14）其中ext：=Xτ+t（t≥ 0）是从ateX=Xτ开始的转移工资过程。替代PXτ> τ |τ= e-λτ和回忆符号（2.7），公式（2.1 4）减少到（2.13）。最后，在没有损失的情况下，我们可以通过定义事件{τ=∞}. 该定义与单位的限额一致。实际上，请注意使用（2.2）和（2.8）thate-rtg（Xt）=e-rtβx e（u-σ/2）t+σBt-P= βx扩展-t型r- u+σ+σt-10吨- 体育-rt.（2.15），由于条件（2.11），r- u +σ>σ> 0. 此外，根据布朗运动的（强）大数定律f（参见，例如，[9，练习6.4，第265页]或[39，Ch.III，§3b，p.246]），limt→∞t型-1Bt=0（P-a.s.）。因此，（2.15）的极限为t→ ∞ 为零（Px-a.s.）。因此，事件{τ=∞} 对期望值（2.13）没有贡献，因此，替换（2.8），我们得到pV（x；τ）=Exe-rτg（Xτ）. （2.16）总结，确定最佳进入时间τ=τ*, 在最大化预期净现值的意义上，eNPV（x；τ）作为策略τ的函数（见（2.16）），被简化为解决以下最优停止问题，v（x）=supτExe-rτg（Xτ）, （2.17）式中，函数g（x）由（2.10）给出，且上确界取所有容许停止时间τ（即，适应过滤（Ft））。（2.17）中的上确界v（x）称为最优停车问题的值函数。2.3. 考虑到死亡率，第2.1节中列出的简单失业保险模型可以很容易地扩展到包括死亡率。以下为[31，pp。

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2022-6-14 04:19:04

39 9–401]，假设打算购买失业保险的个人可能死亡（例如，在从零开始的随机时间τ），与就业相关事件无关，并受到恒定的重要性λ的影响。也就是说，考虑到t，个体在当前年龄t时仍然活着≥ 0，剩余寿命τ- t是一个独立的随机变量，其参数λ，P（τ）呈指数分布- t>s |τ>t）=e-λs（s≥ 0).对第2.2节失业保险模型的必要修改是通过调整预期未来福利的公式开始的（见（2.4））。假设死亡不会在失去j ob的时间τ之前发生（即τ>τ，因此τ：=τ- τ与参数λ呈负相关分布），福利支付在τ停止∧ τ（即，当找到新工作或死亡时，以先发生者为准）。由于τ和τ是独立的，并且都具有指数分布，因此随机变量τ∧ ∧τ与参数λ+λ呈指数分布。因此，（2.5）中的常数β现在写为β=Z∞（λ+λ）e-（λ+λ）tH（t）dt。接下来，我们需要考虑服役期间死亡的影响，即如果τ≤ τ. 具体而言，可以合理地假设雇主在这种情况下支付的总额与最终工资成比例，例如a+Xτ。然后，将失业后或失业前发生的死亡情况分开，很容易看出收益函数的定义（2.7）（即贴现至保单进入时间的净预期收益）采用以下公式g（x）=Exe-rτβXτ{τ<τ}+ 前任e-rτa+Xτ{τ≤τ}-P、（2.18）（2.18）中的第一个期望值是使用τ上的条件和总期望公式（参见（2.8）），Exe-rτXτ{τ<τ}= 前任e-rτExXτ{τ<τ}τ= 前任e-rτEx（Xτ|τ）·Px（τ>τ|τ）= 前任e-rτxeuτe-λτ= xZ公司∞e（u-r-λ） tλe-λtdt=λxr+λ+λ- u，（2.19），其中在第二行中，我们使用了Xτ和给定τ的条件独立性。

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能者818

2022-6-14 04:19:07

类似地，通过调节τ，（2.18）中的第二个期望值表示为asExe-rτXτ{τ≤τ}= 前任XτExe-rτ{τ≥τ}τ= 前任XτZ∞τe-rtλe-λtdt=λr+λExXτe-（r+λ）τ. （2.20）再次调节τ，最后的期望值计算如下，ExXτe-（r+λ）τ= 前任e-（r+λ）τEx（Xτ|τ）= 前任e-（r+λ）τxeuτ= xZ公司∞e-（r+λ-u）tλe-λtdt=λxr+λ+λ- u. （2.21）最后，将表达式（2.19）、（2.20）和（2.21）代入定义（2.18），我们得到明确的yg（x）=λxr+λ+λ- uβ+λa+r+λ- P、该表达式的形式与（2.10）相同，但参数r和β的定义如下（参见（2.9）），r：=r+λ+λ，β：=λ- uβ+λa+r+λ.此外，假设2.1的不平等性（2.11）也相应更新。根据此重新参数化，导致最优停车问题（2.17）的所有后续计算保持不变。为清晰起见，并避免不必要的技术细节分散读者的注意力，在本文的其余部分，我们坚持模型的原始版本（即，无死亡率，λ=0）；然而，参见第6.4节末尾的讨论，说明了死亡率的重要调节作用，有助于避免低失业率λ下模型的不一致性。2.4. 值函数的先验性质下一个引理表明最优停止问题（2.17）是适定的。引理2。2、值函数x 7→ 最优停止问题（2.17）的v（x）具有以下性质：（i）v（0）=0，此外，v（x）≥ 0表示所有x≥ 0;（ii）v（x）<∞ 对于所有x≥ 0.证明。（i） i f x=0，则由于（2.2），Xt≡ 0（P-a.s.），停止问题（2.17）被简化为v（0）=supτE(-体育-rτ），其具有明显的解τ=∞ （P-a.s.），相应的最大值V（0）=0。

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2022-6-14 04:19:10

此外，考虑τ=∞ （Px-a.s.）它很容易遵循m（2.17）thatv（x）≥ 0表示所有x≥ 0.（ii）回顾u<r（见假设2.1），观察过程e-rtXtis ASUPERMATINGALE；确实，对于0≤ s≤ t我们有，使用（2.2）和（2.3），例如e-rtXt | Fs= e-rtXsEeσ（Bt-Bs）+（u-σ）（t-s）= e-rtXseu（t-s）≤ e-rsXs（Px-a.s.）。特别是Ex（e-rtXt）≤ Ex（X）=X。因此，根据Doob的非负右连续超鞅的光学采样定理（参见，例如，[44，定理8.18，pp.14 0–141]），对于任何停止时间τ，我们有Ex（e-rτXτ）≤ Ex（X）=X，因此（2.17）中的上确界是有限的。2.5. 工资过程的最优停止规则（Xt），考虑a阈值b的命中时间τbof∈ R、定义为τb：=inf{t≥ 0:Xt≥ b}∈ [0, ∞].（像往常一样，我们制定了一项公约 = ∞.) 很明显，τbis是一个停止时间，即{τ≤ t}∈ Ftfor所有t≥ 由于进程XT具有a.s-连续采样路径，因此在事件{τb<∞} 我们有Xτb=b（Px-a.s.）。正如我们将要展示的，最优停止问题（2.17）的最优策略是等待随机过程X达到某个阈值b*（见图3）。更准确地说，（2.1 7）的解由以下停止规则τ提供*=（τb*如果x∈ [0，b*],如果x，则为0∈ [b]*, ∞).（2.22）也就是说，如果x≥ b*然后必须立即停止并购买保单，否则等待到达时间τb*≥ 出现0，然后购买策略。（当然，当x=b时，这两条规则包括在内*.) 然而，如果发生τb*= ∞, 然后，根据上述规则，必须独立等待，因此永远不要购买保单。0 50 100 150 200 250 300 350 400 450时间t（周）工资Xt（欧元）b*τ*0 50 100 150 200 2505.7 5.8 5.9 6.0 6.1时间t（周）Yt=ln XtFig。

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2022-6-14 04:19:13

3：根据几何布朗运动模型（2.2），模拟工资过程Xt（左）和Yt=ln Xt（右），X=346（欧元），参数u=0.0004，σ=0.02（参见示例5.2）。左图上的da shed水平线表示最佳阈值b*.= 352.37（欧元）首次在τ获得*= 54（周）。右图上的虚线显示了对数转换数据的估计漂移（见第5.2节）。临界阈值b的特定值*由B提供*=P q*β（q*-1），（2.23），其中*=σ-u -σ+qu -σ+ 2rσ. （2.24）使用条件（2.11）可以直接检查q*> 1（另见第3.2节）。最后，相应的值函数（2.17）指定为asv（x）=（（βb*- P）xb公司*q*, x个∈ [0，b*],βx- P、 x个∈ [b]*, ∞).（2.25）等效地，替换表达式（2.23），公式（2.25）显式重写为asv（x）=Pq*- 1.β（q*- 1） xP q*q*, 0≤ x个≤P q*β（q*- 1），βx- P、 x个≥P q*β（q*- 1).（2.26）尤其是函数x 7→ v（x）对于x严格递增≥ 0，v（0）=0（参见引理2.2）。这些结果将在第3.2.6节中得到证实。确定性情况对于方向，考虑简单的基线情况σ=0是有用的，其中随机过程Xt（见（2.2））退化为确定性函数Xt=xeut（t≥ 0).因此，任何停止时间τ都是非随机的，比如τ=t，最优停止问题（2.17）被简化为v（x）=supt≥0e-rt（βxeut- P）. （2.27）问题（2.27）很容易解决，最大化器t*给定byt*= inf公司t型≥ 0:xeut≥ b*∈ [0, ∞], （2.28）其中b*=P▄rβ（▄r-u），u>0，Pβ，u≤ 0。（2.29）表达式（2.29）与通式（2.2 3）一致，注意，在极限σ↓ 0时，数量（2.24）减少为（cf.（2.11））q*=ru>1，u>0，∞, u ≤ 使用此约定，很容易检查值函数（2.27）是否由通式（2.25）给出。

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2022-6-14 04:19:16

特别是，如果u≤ 0和x<b*然后，根据（2.28），t*= ∞ 从（2.27）我们得到v（x）=0；实际上，函数t 7→ xeut不增加，因此它永远不会达到所需的阈值b*> x、相反，如果x≥ b*然后乘以（2.28）t*= 0（对于任何u）和（2.27）容易产生v（x）=βx- P解决最优停止问题最优停止问题（2.17）涉及两项任务：（i）评估值函数v（x），和（ii）确定最大化器τ=τ*. 一种标准的方法是尝试猜测解决方案，然后验证它是否正确。3.1. 猜测解决方案让我们更仔细地观察我们试图识别的值函数v（x）的本质。通过在（2.17）中选取τ=0，可以得出较低的估计值V（x）≥ g（x）。（3.1）很明显，如果v（x）>g（x），那么我们还没有达到可用的最大收益，所以我们应该继续等待。另一方面，如果v（x）=g（x），那么已经达到最大值，我们应该停止。这推动了两个区域的定义，C（延续）和S（停止），C：={x≥ 0:v（x）>g（x）}，S：={x≥ 0：v（x）≤ g（x）}。由于进程Xt的马尔可夫特性，相同的参数可以传播到任意时间t≥ 0，前提是尚未停止。即，如果Xt=x′（和τ≥ t）然后用新的（剩余）停止时间τ′=τ更新问题（2.17）- 用x′代替初始值x。因此，很自然地，我们会期望最优策略规定，只要当前工资值Xt属于C区（即v（Xt）>g（Xt）），就会继续，但当NXT第一次进入S区（即v（Xt））时就会停止≤ g（Xt））。也就是说，最佳停止时间应由τ给出*= inf{t≥ 0:Xt∈ S} =inf{t≥ 0:v（Xt）≤ g（Xt）}∈ [0, ∞].

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2022-6-14 04:19:20

（3.2）为了阐明停止集S的合理结构，回顾一下（参见引理2.2（i）的证明）停止问题（2.17）的零值是通过简单地使用策略τ来实现的≡ ∞, 也就是说，永远不要加入这个计划。因此，如果初始工资X=xis很小（例如，这样的that g（X）=βX- P<0）那么，为了获得积极的回报，我们应该等待足够高的工资Xt。这表明，对于平面{（t，x）：t上的某个集合，停止规则（3.2）减少到第一次击中时间≥ 0，x≥ 0}.此外，注意到定义（3.2）是时间同质的，因为它在时间t的过程中不会发生变化，我们还假设了最简单的情况，即区域C和S由常数阈值y=b确定*> 0，C=[0，b*), S=[b*, ∞). （3.3）换句话说，推测的撞击边界不依赖于时间。因此，我们得到了hittingtimes子类上的约化最优停止问题，u（x）=supb≥0Exe-rτbg（Xτb）. （3.4）该结论符合一般最优停车理论【35，§II.2.2】。特别是，公式（3.2）专门用于τb*= inf{t≥ 0:Xt≥ b*} = inf{t≥ 0:u（Xt）≤ g（Xt）}∈ [0, ∞]. （3.5）我们的第一项任务是确定（3.4）中的值函数u（x）和相应的最大化b=b*通过求解相应的自由边界问题（第3.2节）。在那之后，我们必须证明这个解在停车时间的一般类别中是最优的，也就是说，对于所有x，u（x）=v（x）≥ 0（第3.3节）。3.2. 自由基问题根据最优停止的一般理论（参见，例如，[35，Ch.IV]），在连续区域C=[0，b）（参见（3.3））（3.4）中的值函数u（x）必须与Xt生成的基础过程ext协调。

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2022-6-14 04:19:23

更准确地说，由于最优停止问题（3.4）中的折扣指数因子，通过独立终止（或折扣）以比率r从XT中获得ProcessExt（见[35，§§5.4，6.3]）。因此，如果b是可测量的阈值，τbis是相应的命中时间，那么对于任何x≥ 0以下条件必须保持，例如e-r（τb∧t） u（Xτb∧t）= u（x）（t≥ 0). （3.6）注意，由随机微分方程（2.1）确定的几何布朗运动Xt是一个微分过程，其中最小生成元：=uxddx+σxddx（x>0）。（3.7）然后，killed processExt的生成器由（见[35，§6.3，p.1 27]）L=L给出- rI，（3.8），其中I是标识运算符。然后，可将协调性条件（3.6）简化为微分方程Lu=0，即Lu- ru=0（见（3.8））。在集合C=[0，b]的边界x=b上，由于停止规则（3.5），我们有u（b）=g（b）。此外，根据光滑fit原理（见[35，§9.1]），我们还必须满足条件u′（b）=g′（b）。最后，考虑到等式v（0）=0（见引理2.2（i）），我们在0处添加Dirichlet边界条件，u（0+）=limx↓0u（x）=0。因此，我们得到以下自由边界问题，Lu（x）- ru（x）=0，x∈ （0，b），u（b）=g（b），u′（b）=g′（b），u（0+）=0，（3.9），其中b>0和u（x）都未知。替换（2.10）和（3.7），问题（3.9）被明确重写为uxu′（x）+σxu′（x）- ~ru（x）=0，x∈ （0，b），u（b）=βb- P、 u′（b）=β，u（0+）=0。（3.10）让我们寻找（3.10）的解，其形式为u（x）=xq（x>0），具有合适的参数q∈ R、然后（3.10）中的微分方程得出σq（q- 1） +uq- r=0。（3.11）该二次方程有两个不同的根，q1,2=σ-u -σ±qu -σ+ 2rσ,其中q<0<q=q*（见（2.24））。还要注意，由于条件（2.11），（3.1 1）的左手侧在q=1时为负值，因此q>1。

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2022-6-14 04:19:26

因此，微分方程（3.10）的一般解由u（x）=Axq+B xq，x给出∈ （0，b），（3.12）具有任意常数A和b。但由于q<0，条件u（0+）=0意味着b=0。因此，（3.12）减少到u（x）=Axq≡ Axq公司*（0<x<b）。此外，（3.10）中的边界条件屈服（Abq*= βb- P、 Aq公司*bq公司*-1=β，由此我们可以得出=βb- Pbq公司*, b=P q*β（q*- 1). （3.13）因此，（3.10）所需的解由u（x）给出=（βb- P）xb公司q*, x个∈ [0，b]，βx- P、 x个∈ [b，∞)（3.14）其中（3.13）和q中定义了阈值b*> 1是方程（3.11）的正根，由公式（2.24）明确给出。3.3. 验证找到的溶液使用（3.13）和（3.14），很容易看出u（x）=g（x），x∈ [b，∞),u（x）>g（x），x∈ [0，b），（3.15）符合第3.1节中概述的启发式（见（3.3））。但是，没有必要检查（3.14）中定义的函数u（x）是否解决了简化的最优停止问题（3.4），因为我们可以直接证明u（x）提供了原始最优停止问题（2.17）的解决方案，即u（x）=v（x）对于所有x≥ 0、备注3.1。由于根据公式（3.14）u（0）=0，根据引理2.2（i），v（0）=0，因此在接下来的内容中，必须假设x>0。上述权利要求的证明（通常称为验证定理）由两部分组成。（i）让我们首先显示u（x）≥ v（x）（x>0）。如果地图x 7→ u（x）是一个C函数（即，具有连续的二阶导数），然后经典的It^o公式（参见，例如，【34，定理4.1.2，第44页】）应用于e-由于（2.1）和（3.7），rtu（Xt）将产生e-rtu（Xt）=u（x）+中兴通讯-卢比Lu（Xs）- ru（Xs）ds+Mt（Px-a.s.），（3.16），其中Mt：=中兴通讯-rsu′（Xs）σXsdBs（t≥ 0). （3.17）然而，对于（3.14）给出的函数u（x），其C-平滑度在点x=b处分解，其中仅为C。

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2022-6-14 04:19:29

但u（x）在（0，b）上是严格凸的（即u′（x）>0），在（b）上是线性的，∞), 我们可以用单侧二阶导数，比如u′（b）来定义x=b时的作用Lu（x-) = P q*b-2.（3.18）在这种情况下，It^o公式hol ds的推广，称为It^o–Meyerformula（见[39，Ch.VIII，？a，p.757]），确保表示（3.16）仍然有效。回想一下，通过构造（见（3.9）中的微分方程），我们得到了lu（x）- ru（x）=0，x∈ （0，b）。（3.19）此外，使用（3.18）很容易检查等式（3.19）是否也扩展了tox=b。另一方面，根据条件（2.11）a和bin（3.13）的定义，对于x>b，我们得到lu（x）- ru（x）=uβx- r（βx- P）=βx（u- r）+rP<βb（u- r）+▄rP=P（uq*- r）q*- 1<0，（3.20），因为，由于方程式（3.11）和不等式q*> 1，uq*- r=-σq*（q）*-1) < 0.因此，结合（3.19）和（3.20），我们得到Lu（x）- ru（x）≤ 0（x>0）。（3.21）将不等式（3.21）代入公式（3.16），我们得出结论，对于任何x>0且所有t≥ 0，u（x）+Mt≥ e-rtu（Xt）（Px-a.s.）。（3.22）根据公式（3.17），（Mt）是一个连续的局部鞅（参见，例如，[39，Ch.II，§1c，p.10 1]）。设（τn）是有界停止时间的局部化序列，因此τn↑ ∞ （Px-a.s.）和停止的过程（Mτn∧t）是鞅，对于each n∈ N、现在，设τ为（Xt）的任意停止时间。从（3.22）我们得到u（x）+Mτn∧τ≥ e-r（τn∧τ） u（Xτn∧τ)≥ e-r（τn∧τ） g（Xτn∧τ）（Px-a.s.），（3.23）使用该u（x）≥ g（x）表示所有x≥ 0（见（3.15））。在不等式（3.23）的两边都取期望值，givesu（x）≥ 前任e-r（τn∧τ） g（Xτn∧τ), （3.24）由于Doob的可选抽样定理（参见，例如，[44，定理8.10，p.131]），Ex[Mτn∧τ] =Ex[米]=0。根据Fato u引理（参见，例如，[38，§II.6，定理2（a），第187页]），从（3.24）开始，它遵循u（x）≥ 前任lim信息→∞e-r（τn∧τ） g（Xτn∧τ)= 前任e-rτg（Xτ）.

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2022-6-14 04:19:32

（3.25）最后，取（3.25）所有停车时间τ的上确界，我们得到u（x）≥ supτExe-rτg（Xτ）= v（x）（x>0），如权利要求所述。（ii）现在让我们证明相反的不等式，u（x）≤ v（x）（x>0）。根据（3.1）和（3.15），我们很容易得到u（x）=g（x）≤ v（x）代表x∈ [b+∞). 下一步，fix∈ （0，b），并考虑用τn替换t的表示法（3.16）∧ τb，其中（τn）是之前（Mt）停止时间的局部序列。然后，根据恒等式（3.19）（如前所述，对于x=b也是如此），可以得出u（x）+Mτn∧τ=e-r（τn∧τb）u（Xτn∧τb）（Px-a.s.）。（3.26）与abov e类似，取等式（3.26）两侧的期望值，并再次将Doob的可选抽样定理应用于鞅（Mτn∧t），我们得到u（x）=Exe-r（τn∧τb）u（Xτn∧τb）. （3.27）注意，对于0<x<b，我们有0≤ u（x）≤ u（b）和0≤ Xτn∧τb≤ b（Px-a.s.），hence0≤ e-r（τn∧τb）u（Xτn∧τb）≤ u（b）（Px-a.s.）。使用τn↑ ∞, 注意，Px-a.s.，limn→∞e-r（τn∧τb）u（Xτn∧τb）=e-rτbu（Xτb）{τb<∞}+ 画→∞e-rτnu（Xτn）{τb=∞}= e-rτbu（b）{τb<∞}, （3.28）因为事件{τ<∞}, 而0≤ u（Xτn）≤ 事件{τ=∞}. 因此，让n→ ∞ 在（3.27）中，利用支配收敛定理（参见，例如，[38，§II.6，定理3，p.187]），我们根据（3.28），得到u（x）=Exe-rτbu（b）{τb<∞}= 前任e-rτbg（b）{τb<∞}= 前任e-rτbg（Xτb）{τb<∞}≤ v（x），根据（2.17）。也就是说，我们已经证明了u（x）≤ v（x）表示所有0<x<b，视需要而定。因此，验证定理的证明是完整的。4、约化问题的初等解4.1。击中时间的分布根据公式（2.2），将过程XT的击中问题归结为漂移布朗运动的击中问题，τb：=inf{t≥ 0：Xt=b}≡ inf{t≥ 0:Bt+￠ut=￠b}，（4.1），其中￠u=u-σσ，~b=σlnbx。（4.2）假设x≤ b、因此▄b≥ 0

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2022-6-14 04:19:35

击打时间（4.1）的Lapl-ace变换的显式表达式是众所周知的（参见，例如，[9，练习6.2 9和6.31，第268页]或[12，命题3.3.5，第61页]）。提案4.1。对于x≤ b和任意θ>0，设置Φx，b（θ）：=Ex（e-θτb）≡ 前任e-θτb{τb<∞}. （4.3）那么Φx，b（θ）=expn-bp￠u+2θ- ~uo、 θ>0，（4.4），其中（4.2）中定义了u和b。替换表达式（4.2），公式（4.4）重写为Φx，b（θ）=xb公司q（θ），θ>0，（4.5），其中q（θ）由（cf.（2.24））q（θ）=σ给出-u -σ+qu -σ+ 2θσ. （4.6）通常，可以直接从拉普拉斯变换（4.3）中提取一些关于命中时间τb分布的明确信息。首先，通过单调收敛定理（参见，例如，【38，§II.6，定理1（a），p.186】我们得到了limθ↓0Φx，b（θ）=Ex（{τb<∞}) = Px（τb<∞).因此，从（4.6）中注意到Q（0）=0如果u-σ≥ 0,1 -2uσifu-σ<0，（4.7）我们得到px（τb<∞) =xb公司q（0）=1, u -σ≥ 0,xb公司1.-2u/σ, u -σ< 0.（4.8）备注4.1。结果（4.8）表明，临界阈值b=b*, 正如停止规则所要求的，当工资增长率足够大时，几乎可以肯定，u≥σ.因此，“危险”情况是当u<σ时，因此仅依赖最佳停止配方可能不可行。这一观察结果可以作为将保险背景下的最优问题与效用概念联系起来的想法的萌芽（参见下文第7.1节的讨论）。通过拉普拉斯变换Φx，b（θ），我们还可以得到u情况下的平均命中时间Ex（τb）≥σ、其中τb<∞ （Px-a.s.）。也就是说，再次使用mo notone收敛定理，我们得到limθ↓0Φx，b（θ）θ= -limθ↓0Exτbe-θτb= -Ex（τb）。因此，在θ=0时区分公式（4.5），并从（4.6）中注意到q（0）=0（参见（4.7））和q′（0）=∞, u =σ,u -σ、 u>σ，我们得到ex（τb）=-自然对数xb公司xb公司q（0）q′（0）=∞, u=σ，ln（b/x）u-σ, u >σ.(4.9)4.2.

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2022-6-14 04:19:38

替代推导推导推导公式（4.8）和（4.9）的替代（更直接）方法基于马尔可夫过程的一般理论，通过解决适当的边界值问题（参见，例如，[34，§9]）。即命中概率π（x）：=Px（τb<∞) 作为x>0的函数，满足Dirichlet问题[34，§9.2]（Lπ（x）=0（0<x<b），π（b）=1）。（4.10）（4.10）中的微分方程读数为σxπ′（x）+uxπ′（x）=0（0<x<b），很容易求解得出π（x）=cx1-2u/σ+c。如果1- 2u/σ<0（即u-σ> 0）然后c=0（因为π（x）有界），由于边界条件π（b）=1，因此c=1和π（x）≡ 1.类似的论证表明π（x）≡ 1在案例1中-2u/σ= 0. 最后，i f 1-2u/σ>0然后，注意到π（0）=0，我们得出结论，c=0，并且由于边界条件，c=b-1+2u/σ.从而证明了公式（4.8）。同样，平均命中时间m（x）：=Ex（τb）（带u-σ> 0）满足泊松问题[34，§9.3]（Lm（x）=-1（0<x<b），m（b）=0。（4.11）通常，为了解决问题（4.11），通过在ε>0时添加辅助Neumann（反射）条件，可以方便地用双边边界问题来近似它，Lmε（x）=-1（ε<x<b），mε（b）=0，m′ε（ε）=0，（4.12），然后将mε（x）的极限取为ε↓ 该程序将产生自limε以来的校正溶液m（x）↓0Px（τε<∞) = Px（τ<∞) = 0（对于任何x>0）。非齐次微分方程σxm′ε（x）+uxm′ε（x）=-1（ε<x<b）可以用m（x）=cln x的形式求出，其中c=-1/(u -σ). 因此，（4.12）的通解可以表示为asmε（x）=-ln xu-σ+cx1-2u/σ+c.（4.13）现在，使用（4.12）中的边界条件，可以直接检查limε↓0c=0，limε↓0c=ln bu-σ.因此，从（4.13）我们得到m（x）=limε↓0mε（x）=ln（b/x）u-σ、检索结果（4.9）。备注4.2。

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2022-6-14 04:19:40

将相同的方法应用于带生成器的终止进程ext▄L=L-rI（见（3.8））提供了（3.14）给出的值函数u（x）的简洁解释。也就是说，将（3.4）中的期望值（即eNPV（x；τb））改写为▄Exg（eXτb）, 式中▄Ex表示对终止过程（eXt）的期望，并注意，对于b≥ 0，Exg（eXτb）=（g（b）~Px（τb<∞), x个∈ [0，b]，g（x），x∈ [b，∞).反过来，命中概率▄π（x）：=▄Px（τb<∞) 可以通过求解相应的Dirichlet问题（参见（4.10）），（▄L▄π（x）=0（0<x<b），▄π（b）=1轻松找到。实际上，根据第3.2节中的计算，很容易得到|π（x）=（x/b）q*.4.3. 直接最大化利用前几节的结果，我们可以很容易地得出最优停车问题（2.17），至少在命中时间τ=τb（见（3.4）），u（x）=supb的子类中≥0eNPV（x；τb）=supb≥0Exe-rτb（βXτb- P）. （4.14）观察如果x≥ b然后τb=0，Xτb=X（Px-a.s.），因此eNPV（X；τb）≡ βx-P对于所有b∈ [0，x]。现在让我们b∈ [x，∞). 如前所述，关于{τb<∞} 我们有xτb=b（Px-a.s.），因此，根据（2.17）和（4.5），eNPV（x；τb）=（βb- P）Exe-rτb= （βb- P）xb公司q*（b）≥ x），（4.15），其中q*= q（θ）|θ=~r（参见（2.24）和（4.6））。很容易找到函数的最大值（4.15）。事实上(/b） eNPV（x；τb）≥ 0，相当于βb-q*-q*（βb- P）b-q*-1.≥ 0，保留所有b∈ [0，b*], 其中b*=P q*β（q*- 1），（4.16），这是与之前相同的最佳阈值（参见（2.2.3））。因此，b上的NPV（x；τb）的上确界≥ x在b=b时达到*如果x≤ b*如果x，则在b=x时≥ b*.然后计算相应的值函数u（x）a s（cf.（2.25））u（x）=（（βb*- P）xb公司*q*, x个∈ [0，b*],βx- P、 x个∈ [b]*, ∞).（4.17）最后，将（4.16）代入（4.17），我们明确地得到（参见。

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