为了避免有太多的参数变化，我们将把市场偏差固定到默认值（θ，θ-1） =（0.3,0.7），除非另有说明。A、 决定性和非决定性交易者群体的转变。如前几节所示，选择强度β是决定系统中稳定状态是分散还是整合的关键参数。在此，我们通过研究稳态的性质如何随着β的增加而变化，以此分析为基础。我们从具有“决定性”交易者（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.2）以及具有基本“犹豫不决”交易者（p（1）B，p（2）B）=（0.55，0.45）的总体稳态的示例开始本节。然后，我们将这些结果推广到r→ 0极限，给出稳态的数量和类型，作为选择强度β和购买偏好pB的函数。1、果断的交易者。在图9中，我们显示了对于一系列不同的β，市场订单参数空间（D，D-1） 对于（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.2）的两组种群，标记弱破碎区和强破碎线。还显示了订单参数自一致性行。在图9的面板（a）中，我们显示了低β区（β=1/0.31），刚好在碎片开始之前。请注意，对于该β，在所示的整个市场订单参数范围内，两组的稳态都是不分段的。Dm=DmLocals的唯一交集确定了类型（U，U）的单一稳态。面板（b）显示，β=1/0.29略有增加，其中大多数市场订单参数设置仍给出未分段的状态，但现在有三个自一致性轨迹的交点，给出尽可能多的（U，U）稳态。

在稳定状态下，即低β解决方案的延续，代理商在市场中只表现出轻微的偏好，买方略微倾向于为买方和卖方提供更高回报的市场。另外两个未分割的解决方案对应于两个市场之一的协调，因此总体情况与我们看到的N=2和N=4的情况相似。进一步增加β（图9（c））一个穿过阈值（βc≈ 此处为1/0.28），其中一个非碎片化溶液的第一个碎片–低β状态的延续现在位于两组的强碎片化域中，而其他两个稳态保持非碎片化。请注意，由于两个试剂组的强裂解线周围都是弱裂解区域，因此实际上，在裂解较弱的地方，一定有一个较小的β值范围：随着β的增加，低β溶液必须从（U，U）到（W，W）变为（S，S）。在图9（d，e）中，我们观察到，随着β的增加，分裂区域不断增长。这导致两个未破碎的（U，U）溶液首先变为（U，W），最后变为（W，W）。我们注意到，从图9这样的图中对稳定性的推断通常是没有根据的；e、 g.初始Pitchfork分叉从一个状态到三个（U，U）状态。9（a，b）并不一定意味着中间溶液是不稳定的。在从DMD到Dm的重复更新下，它将是不稳定的。然而，等式（20）表明，这不是真正的动态，而是对应于一种场景，即顺序参数的动态会被人为地减慢，因此代理总是有时间平衡其吸引力差异分布(|p（g）B，Tγ）到当前顺序参数图9。具有决定性买卖偏好的交易员的稳态：订单参数图。

对于（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.2）的两组系统，每个图显示顺序参数自洽线（黑色虚线），每个组显示弱碎片区域和强碎片线；整个r=0.001。（a） β=1/0.31的单个（U，U）溶液，（b）β=1/0.29的三个（U，U）溶液，（c）β=1/0.265的一个（S，S）和两个（U，U）溶液，（d）（U，W），（S，S）和（W，U）β=1/0.245的（e）（W，W），（S，S），和（W，W）β=1/0.2的溶液。我们使用以下缩写来表示每组的稳态：U，unfragmented；W、 弱碎片化；和S，非常分散。价值观我们强调了图9的另一个特征：对于图中测量的小r，序参量自洽线倾向于沿着强分离线的段，然后在任何一侧出现在弱分离区域。这可以通过注意函数D（D，D）的自一致性线来理解-1)-Din顺序参数平面。当强离析线交叉时，该函数变化剧烈，形成看起来像r的边缘的不连续性→ 到达这样一个悬崖的等高线必须沿着悬崖线，然后才能返回到风景的平滑部分，这就是我们在图9中看到的效果。边缘本身的出现是因为在分离线上，自由能函数f() 式（16）中有两个高度相等的最小值。O（r）inDor D的一个小变化-1将导致这些最小值的高度发生类似的微小变化，但从公式（16）来看，这足以导致P中两个峰值之间的重量比()按秩序统一的因素改变。大于此值的变化会将所有重量从一个峰值转移到另一个峰值，并相应地修改一定量的DBA。

Forr公司→ 0所需的订单参数更改变得非常小，导致D的边缘结构-D类似于D-1.- D-1.2. 犹豫不决的交易员。现在，我们将上述结果与由两个代理群体组成的人群进行比较，这两个群体对买卖的偏好都很弱，（p（1）B，p（2）B）=（0.55，0.45）。这样做的动机来自这样一个事实，即只有轻微买卖偏好的代理商应该对那些对买家或卖家有更高回报的市场形成较弱的偏好。他们也不会受到处罚图10。主要犹豫不决交易者的稳定状态：订单参数图。我们展示了在大内存限制中，对于不同强度的选择β，在r=0.00001的数值计算中，很大程度上不确定的RADERS（p（1）B，p（2）B）=（0.55，0.45）的行为：（a）β=1/0.31，一个未破碎的溶液（U，U）；（b） β=1/0.285，一个弱碎片态（W，W）和四个部分碎片态（U，S）；（c） β=1/0.27一个弱（W，W）和四个部分碎片（W，S）状态；（d） β=1/0.1，一个强碎片态（S，S）和两个部分碎片态（W，S）；（e）β=1/0.05，一个强碎片态（S，S）和两个弱碎片态（W，W）。如果只有一个群体进入一个市场，这种安排仍将维持大量交易。在图10中，我们观察到与图9中的情况相比，决定性交易者的一些差异，主要是在解决方案的数量方面。具体而言，如图10所示，当超过碎片阈值时，会出现四个新状态。这些状态在本质上也是不同的：它们在某种意义上是部分支离破碎的，即一组主体是强烈支离破碎的，因此保留了吸引力差异的双峰分布→ 0，而另一个是弱碎片或未碎片。

我们在有四个代理的系统中看到了类似的状态，尽管它不稳定，因为它减少了可能的交易数量。在庞大的人口限制下，拥有一个分散的和一个不分散的代理人群体仍有许多交易的可能性，尤其是对于犹豫不决的代理人，每组代理人中大约有一半的人可能会在每一轮交易中担任买方或卖方的角色。在上述讨论的一般基础上，部分碎片化（U，S）状态的出现预计将通过（U，W）状态进行，尽管后者出现的β范围是数值模拟的。当选择β的强度增加超过图10（a）中的强度时，低β溶液从（U，U）转变为（W，W）（图（b））并最终转变为（S，S）（图（d）），即两个试剂组首先是弱片段，然后是强片段。比较面板（b）和（c）中部分分散的解决方案，我们发现它们从（U，S）变为（W，S）；最后，其中两个与不协调（W，W）状态合并为（S，S）状态。另外两个部分分裂的态最终转变为（W，W）态；与果断交易者的情况一样，这些代表了单一市场中代理的协调。B、 （β，pB）相位图我们观察到，当一个群体面临两个对称市场的选择时，市场整合和分裂都会发生，这取决于系统参数的不同选择（pB，β）。接下来，我们系统地改变这些参数，以构建详细的相位图，并研究发现上述各种状态的区域。这些区域的大小也表明了不同情景的典型程度。我们继续关注对称市场（θ，θ-1） =（0.3，0.7），但请注意，其他（对称）市场设置的计算结果在质量上相似。

在图11中，我们展示了购买pB的选择强度β和群体偏好空间的相图≡ p（1）B。该图是图中所示四个代理（N=4）的大量人口模拟图。5、在那里，我们确定了一些地区，这些地区的国家没有分裂和犹豫不决（低β）、没有分裂和协调、支离破碎和部分支离破碎。大体上，这些类型的状态持续存在于人口众多的限制中，但它们有额外的结构，使相图更加丰富。为了帮助可视化相图的结构，我们将另一个版本显示为插入，该插入已被还原以保留拓扑，但使相图中的小区域也可见。此外，为了避免有太多的独立区域，我们在图中没有区分未分段（U）和弱分段（W）状态，这两种状态的市场偏好分布对于r来说都是单峰的→ 0、我们将这些国家统称为V，以将它们与具有双峰市场偏好分布的强分散国家分开。两条垂直虚线标出了上述决定性和犹豫不决交易的两种情况（见图9和图10）。现在我们更详细地查看图11的结构。穿过相图中的任何一条线，都会改变一个或两个试剂组的总体解数量或稳态性质。我们注意到，由于我们所考虑的系统的对称性，两组的许多变化同时发生。在插入部分中，参数空间的区域根据解决方案的数量进行布局–左侧有五个解决方案，右侧有三个，顶部的小β区域有一个单独的解决方案。图11中的深紫色线是状态多样性从1变为3或5的线。

观察序参量自洽线表明，在前一种情况下，这种转变通过一个干草叉分叉发生，在后一种情况下通过两个对称addle节点分叉发生。暗紫罗兰线与N=4层的系统相图（图5）中以相同颜色显示的线类似。多解区域随着N的增大而增大，但选择1的逆临界强度/βcis仍然是pB的递增函数。如图5所示，图11中带圆圈的粉红色线标志着稳定状态的出现，其中两个组都是强碎片。我们观察到，发生这种情况的临界选择强度发散（1/β→ 0）作为pB→ 0.5，也就是说，随着群体购买偏好的差异减小，强碎片化区域缩小。phasediagram中的其他线条显示了溶液多重性从3直接变为5（黄线）的位置，以及当单个溶液从（V，V）过渡到（V，S）时发生部分破碎（绿色和橙色线）的位置。请注意，在大人口限制下，这种部分碎片状态仅出现在具有中等购买偏好的人群中，而与所有pB都存在N=4个代理的系统（图5）相反。我们在图11的主图中标记了另一条线（粉红色虚线），显示了小β（V，V）溶液中从未破碎（U，U）到弱破碎（W，W）状态的转变。通过这一点，我们与之前报告的结果（图7，见[27]）建立了明确的联系，在这些结果中，我们研究了（弱）碎片的出现以及选择强度的增加。

我们注意到，对于我们的Firstcase研究系统，pB=0.8，弱碎片和强碎片的阈值几乎重叠——对于这个参数选择，弱碎片的不确定状态区域非常狭窄，对于上述pB，通常情况下，弱碎片的不确定状态区域非常狭窄≈ 0.7，而对于犹豫不决的交易者，它会变得更大。y轴上的粉红色圆圈标志着弱破碎线的结束。结果表明，这是同质人群的强碎片化阈值，他们甚至有购买和出售的偏好（pB=0.5），由弱碎片化转变为强碎片化是由两组之间pB值的额外对称性引起的。有趣的是，在图11的相图中有两个不同的区域，我们观察到三个（V，V）和两个（V，S）状态，即三个未破碎和两个部分破碎的溶液。事实证明，在β较低（1/β较高）的地区，只要两组试剂对同一市场有总体偏好，部分碎片化的解决方案是协调的。对于高β，情况正好相反，当pBis增加时，非协调（V，S）解与非分段（V，V）解合并成单一（S，S）状态。我们注意到，图11中所示的各种线是通过溶液跟踪检测到的，例如通过仔细改变pB、β并跟踪溶液的数量和类型；更多详细信息见附录B。选择跟踪方法是因为它在数值上比我们在之前的图中使用的有限程序更快、更可靠，避免了图10中两个轨迹中可见的数值噪声。重要的是要记住，结果只提供了关于稳定状态存在的信息，而不是它们的稳定性；后者可以如图11所示。（β，pB）空间中显示的两个对称剂群的稳态类型。

每一条线的交叉都会改变稳态的数量或类型。插入显示扭曲但拓扑等效的图，以更清楚地显示相图区域。深紫色和黄色线表示溶液多重性的变化，带圆圈的粉红色实线表示强破碎线，粉红色虚线表示不协调低β溶液的弱破碎，橙色和绿色线表示部分破碎。这里V表示代理市场偏好在r中的单峰分布→ 0极限，即未碎裂（U）或弱碎裂（W）稳态，S表示天体碎裂稳态。仅使用下面讨论的实际动力学。图11还涉及固定的市场偏差，因此无法看到这些偏差的变化趋势；然而，我们已经检查过，只要市场偏差是对称的，相图的整体结构仍然是有联系的。我们在之前的研究中探索了定量趋势【27】，我们发现随着市场差异越来越大，碎片区域缩小。总之，图11中的图表显示，对于具有两个对称市场和两组具有对称购买偏好的交易者的系统，在选择强度β的大量值范围内，既分散又协调（或整合）稳定的国家性别歧视。单一市场支配地位发生在稳定状态未被分割或弱/部分分割但协调的情况下：大多数交易发生在单一市场。另一方面，当稳定状态是高度分散或弱/部分分散但不协调时，市场可以共存，获得大致相等的交易份额。在前一种情况下，两个集团都会访问两个市场，而在后一种情况下，会出现有效的市场/集团忠诚度。

在以下章节中，我们进一步分析了这些不同的稳态，关于它们产生的平均总体收益及其在具有有限N和r.C.平均总体收益的模拟系统中的稳定性。图11中的相图揭示了两个市场和大量贸易商的系统中过多的可能稳态，取决于交易者的学习参数β和他们作为买家的倾向。现在，我们研究这些稳态是否会像我们在小型系统中看到的那样，在平均人口回报方面产生差异，如图2和图4。我们关注每轮交易的平均总体回报率，其中我们还计算了因订单无效或没有可用的贸易伙伴而产生的零回报。在图12中，我们展示了决定性（（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.2），面板（a））和犹豫不决（（p（1）B，p（2）B）=（0.55，0.45），面板（B））交易者这两种情况下的平均人口回报。β依赖性反映了我们之前看到的溶液类型之间的转换（图9、10和相图图11）。总体趋势与FINITE N的趋势相似。首先，我们注意到，一旦存在多个解决方案，不协调的低β溶液（在图12中标记为黄色）的回报率在备选方案中是最低的。其次，协调态（darkviolet）的平均回报率最高。有趣的是，这并不受碎片类型的影响，即弱碎片和部分碎片图12都是如此。r中不同稳态的平均总体收益→ 0限制。黄线显示了代表不协调总体的低β稳态（在不再是一个良好稳态的情况下虚线）。深紫色虚线表示溶液多样性变化时的β值（见图。

11); 在粉红色虚线处，首先出现了强烈的零散稳态。（a） 决定性人口（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.2）。深紫色线显示了协调的非碎片或弱碎片稳态的平均总体回报，粉红色线显示了强碎片态的类似情况。（b） 不确定人群（p（1）b，p（2）b）=（0.55，0.45）。深紫色线给出了部分碎片稳定状态（顶部协调，底部不协调）的平均种群回报，粉红色线给出了强碎片状态的类似结果。只要大多数人对单一市场有偏好，mented就表示。相比之下，强碎片化状态（粉红色）总是导致较低的平均人口回报。决定性和犹豫不决交易者群体所获得的回报差异，主要是因为犹豫不决的群体可以维持更多的交易，而不需要其他群体出现在市场上。这在低β的较高人口平均回报中尤为明显；在这一范围内，决定性的人群受到集团特定市场偏好的影响，这些偏好倾向于将交易者与不同市场分开，从而导致交易数量减少。此外，对于优柔寡断的群体来说，低β解的延续对于更广泛的强度选择范围来说是一种可行的稳态。灰黄线表示β区域，对于该区域，该固定点不再是真正的稳态，因为自由能在该固定点计算的有序参数下具有多重极小值。沿着这条线，优柔寡断的人口回归率不会像更具决定性的人口那样下降。在图的右侧面板中。

12我们注意到，在优柔寡断群体的转变过程中，出现了鞍结分岔，同时出现了四个新的（V，S）-解决方案（两对出现，回报相同）。顶部分支对应于协调部分碎片状态下的平均总体收益；对于较大的β值（超出所示范围），这些状态平稳过渡到弱碎片、配位状态。底部分支与未协调的部分碎片状态有关，这些状态合并为强碎片（S，S）状态以获得更大的β。有趣的是，当所有交易者随机选择时（即β=0），协调状态的高β极限下的平均总体回报也对应于平均总体回报。这是真的，因为在这两个限制条件下，每个市场上交易的代理的平均数量是相等的。有趣的是，这意味着，当引入学习时，对于低强度的选择，一个根据以前的历史做出决策的代理可能比随意玩游戏的管理者效果更差。这种影响仅在弱碎片态的大β极限下消失，但注意到在后一种情况下，一组的收入高于另一组。返回到强碎片状态，尽管有迹象表明，对于给定的β，这在长期不区分组的状态中是最好的（参见[27]中的图6），但就平均总体回报而言，这种状态优于随机交易者（β=0）。D、 动态我们现在要问的是，正如有限种群理论所预测的那样，多个稳定状态的存在对动力学有什么影响。我们以数值方式模拟了动态，对于有限N和学习率r>0，即有限记忆长度1/r。在之前的工作中，我们已经表明，该理论可以很好地预测有限种群的稳态特性（例如，参见[27]中的图4]）。

r的作用更为重要，因为它可以改变相界[27]。（从概念上讲，r→ 弱碎片状态和强碎片状态之间的0也会因r>0而丢失，并变为Acrosover。）图13：。相位边界的记忆长度依赖性。粉色线（带圆圈和虚线的实线）显示了碎片阈值，其中至少有一个稳态是碎片（弱或强）。深紫色线（深色实线和虚线）显示了存在多个稳态的区域边界。实线代表犹豫不决交易者（p（1）B，p（2）B）=（0.55，0.45），虚线代表决定性交易者（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.2）。对于足够小的r，即足够长的内存1/r，存在多个稳态。市场参数为（θ，θ-1) = (0.3, 0.7).在图13中，我们说明了迄今为止我们主要考虑的两个种群的两个关键相边界的r依赖性（决定性pB=0.8和不确定性pB=0.55）。我们注意到，两个种群的多重态区域都随着r的增加而缩小，而碎片线只是弱r依赖。这些线与图11中（β，pB）相图中相同颜色的线相关，图11中标记的灰线对应于→ 图13中（r，β）相图的0极限。总的来说，图13告诉我们，我们需要使用合理的小r，当pB=0.8时，一定要低于0.05，才能在数值模拟中看到多个稳态。

随着越来越慢的发展，我们在实践中选择了尽可能大的r值，同时在多个国家的制度中保持良好。在图14中，我们显示了在我们的标准市场参数（θ，θ）=（0.3，0.7）下，决定性交易人系统（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.2）的实际动力学的数值数据，这些数据来自于使用学习率和反向决策强度（r，1/β）=（0.05，0.16）的2000名交易员的群体的单次运行（模拟详细信息请参见[37]）。对于这些参数，图13的相位图预测了三种稳定状态的存在，两种弱碎片状态（大多数两组在同一市场协调，m=-1 orm=1）和强碎片状态（该状态在【27】中进行了研究，见图3；这是【27】中使用的较大r=0.1的唯一稳定状态）。作为两组药剂吸引分布形状的全局汇总统计，我们使用Bindercumulant[39]B=1-h类iP()3小时iP()并绘制出随时间变化的曲线图（见[27，37]中的进一步讨论）。远离强碎裂状态，这两个群的吸引子分布没有对称性，因此我们分别绘制了它们的粘合剂累积量。图14显示，系统迅速达到强烈碎片状态，粘合剂累积量接近理论预测值；微小的偏差可归因于有限的人口规模。然后，动力学从t的理论预测分支出来≈ 50，表明对于有限N，强碎裂状态仅为亚稳状态。该分离由一个代理组领导，并达到理论上预期的弱碎片状态之一≈ 500，如图14所示，根据相关粘合剂累积量和全部吸引子分布（b）的协议。我们在图中继续。

15（a）更详细地分析强碎片稳态的寿命。该图显示了在相同学习参数（r，1/β）=（0.05，0.15）下不同种群规模的粘合剂累积量时间序列，并显示寿命随系统规模的增加而增加（我们没有详细分析N依赖性；在所示范围内，它近似线性）。我们可以将其与吸引力差异的时间相关性进行比较 对于单个代理：图15（b）显示了该相关函数，从第一次达到强碎片状态的时间点开始测量。我们可以清楚地看到，单主体关联时间基本上与N无关，而强碎片状态的寿命随着系统大小N显著增长。结论是，强碎片化是大N群体的一种长寿状态，在这种状态下，单个主体通过失去其初始偏好的所有记忆有效地“平衡”。在图16中，我们转向强碎片状态寿命的r依赖性，显示了不同r值固定为1/β=0.15时，小系统N=200的粘合剂累积量。对于r的所有值，观察到快速初始收敛到强碎片状态。在这种状态下，粘结累积量取决于弱粒子r，正如前面所述[27]），反映了吸引力分布的其他依赖性。由decayFigure 14设置的强碎片状态的生存期。强碎片化状态的亚稳定性和向弱碎片化状态的过渡：使用（r，1/β）=（0.05，0.16）、购买偏好（p（1）B，p（2）B）=（0.8，0.2）和市场参数（θ，θ）=（0.3，0.7）的N=2000个代理的系统的动态演化。（a） 两个代理群体[买方（绿色）和卖方（橙色）]的两个吸引力分布的粘合剂累积量的演变。

虚线是对强碎片稳态（darkviolet，两组相等）和弱碎片态（两组分别为绿色和橙色）的理论预测。（b） 与t=500时的模拟数据（柱状图）相比，根据弱碎片稳态（实线）理论预测的吸引力分布。粘合剂累积量的值越低，则随R增加。这与图13的结果一致，图13表明，在R的某些β依赖阈值以上，强碎片状态是唯一的稳态，因此必须是稳定的，对应于有限的寿命。对于图16中的值β=1/0.15，理论预测该阈值为r≈ 0.055. 从数字上我们可以看出，强碎片态的寿命上限为tor=0.07，这可能是由于图中使用的相对较小的N=200的有限人口效应。我们在对决定性交易者系统动力学的数值模拟中也发现了与上述定性相同的特征，种群首先达到长寿命（对于大N）强碎片状态，最终衰变为部分碎片状态。这是我们的理论预测的多个稳态时的行为，即对于小r；对于较大的r（高于RC≈ 0.02，见图13）强碎片是唯一的稳定状态。从数量上讲，我们发现，在强碎片化是亚稳的情况下，其寿命明显长于决定性交易者，超过了最大r<rc的10个交易轮（t=20000）的最大模拟时间。我们最后对初始条件的作用进行了评论。在迄今为止的动力学模拟中，我们使用了(|pB）=δ(), 对应于代理人对其市场没有初始偏好的合理假设。

我们还探讨了吸引力差异的高斯初始分布，P(|pB）=N（u，σ）。当只有一个稳态时，我们发现，正如预期的那样，无论初始条件如何，都会达到该稳态。另一方面，当理论预测多个稳态时，初始条件确实很重要。我们观察到，无论标准偏差σ如何，只要平均初始吸引差u足够小，就会继续达到亚稳强碎片状态。随着|u|的增加，我们看到动力学“遗漏”了亚稳态的强碎片化状态，并迅速移动到完全弱碎片化或部分碎片化状态。这符合这样一种直觉，即这些国家打破了市场之间的对称性，因此，当人口已经开始对其中一个市场产生总体初始偏好时，这些国家就会受到青睐。六、 讨论与结论在本文中，我们的目的是研究在两个市场之间进行自适应选择的代理系统中协调和分段稳态的存在性。我们主要关注的是长内存限制，即向碎片化的过渡非常明显。我们首先研究了两名交易员，他们学习如何在市场上进行协调，并使平均回报最大化，即使其中一人的收入必然会减少。移动到一个四玩家系统，我们观察到除了协调之外，还有碎片。有趣的是，我们发现，尽管存在图15所示的情况，但协调和分散的状态导致高强度选择β的平均人口回报率相同。不同系统尺寸的强碎片态寿命N。（a） 粘合剂累积量时间序列（两个试剂组上的平均紧致度）以及N→ ∞ 对强碎裂态的理论预测（虚线），显示寿命随N的增加而增加。

1/β=0.15，其他参数如图14所示。（b） 单主体吸引差异的自相关函数C（t）=h(i（τ）- (τ))(i（τ+t）- （τ+t））i：单agent自相关时间本质上是N独立的。图16：。在选择的固定强度1/β=0.15时，不同学习率r的粘合剂累积量时间序列。所有参数如图14所示，除了较小的总体尺寸en=200和r，如图所示。强碎片态的寿命随着r的增加而增加，当该状态是唯一的稳态解时，最终成为有限的。两种不同类型代理（买方和卖方）的差异。在协调状态下，其中一种代理类型的收入总是较低，而在分散状态下，两种类型的平均收入相同，但每组中的一个代理满意度较低。因此，在分散状态下，平均回报率不会区分不同类型的代理。然后，我们介绍了一种在具有长记忆的大种群极限下确定稳态类型和数目的一般方法。这可以在我们的设置中完成，每个市场只有一个订单参数。在对外源决定的序参数进行初步分析后，我们发现在一般情况下，自洽准则决定了稳态下的序参数。通过分析一个类似于自由能的量，我们可以判断一个种群（或其一个群体）是否支离破碎，这种支离破碎是强还是弱。对于小型系统，我们已经注意到代理的购买偏好pB是一个重要的系统参数。它不仅影响到pB上选择β的临界强度，而且影响到N≥ 4它还从质量上影响稳定状态的性质。

对于N→ ∞极限，我们在（β，pB）图中发现了丰富的稳态，尽管我们的市场和交易者模型的性质很简单。其中包括：市场共存——两个市场都吸引两种类型的交易员，以及市场/交易员专业化（W，W）（对于中度犹豫不决的交易员而言，是不协调的弱分散状态）；单一市场支配地位（W，W）（协调的弱分散状态）；市场差异（U，U）（例如低β）；一般市场与专业市场（例如（美国），其中一个市场吸引了两组代理商，而另一个市场可以被视为只针对一组代理商）。有趣的是，所有这些不同的稳态都不会对代理施加任何异质性（与其他地方的假设相反[23]），即使市场具有相同的属性（与[2，18]中表达的观点相反），分裂也是首选状态。为了更广泛地解释我们关于碎片化流行率的结果，我们可以借鉴Cheung等人的工作[40]，他们利用行为博弈论的证据表明，β值在游戏中是一致的，但在信息量更大的环境中会增加。作者还认为，与R非常相似的参数会增加系统中信息的可信度。考虑到图13所示的结果，对于大r和大β，唯一的稳定状态是分裂状态，这表明信息量更大的环境，或信息更可靠的环境，例如，由于长时间尺度的稳定性，可能会自然导致分裂状态。

图11也清楚地显示了这种严重分散状态的普遍性，这表明这种状态存在于所有群体中，这些群体分别对称地倾向于购买和出售。我们的理论中有一个非常重要的预测，即部分分散状态的存在，其中一组代理（例如，有购买偏好的代理）分散，而另一组代理（代理更倾向于出售）不分散。我们看到，在phasediagram中，这种状态出现的区域对于犹豫不决的交易者来说随着N的增加而增加，而对于果断的交易者来说则缩小（比较图5中的N=4和图11中的N→ ∞).我们还研究了在各种稳态下代理所获得的平均人口回报。对于庞大的人口，我们看到，协调的弱势群体稳定状态导致了最高的人口平均回报，即使一个代理群体在该状态下的收入较低。我们还注意到，这种稳态本质上代表了单一市场的协调，当r→ 0，则大β的平均报酬与随机药物相同（β=0）。这是因为在单个市场上进行协调，就像随机市场选择一样，会导致单个市场上相同数量的买家和卖家，从而导致相同数量的成功交易和平均回报。有趣的是，这表明弱学习（有限β）会导致较低的回报，例如，对于代理而言，不选择严格最佳的交易场所（就回报而言）可能比随机猜测更糟糕。

这种行为与[41，42]中研究的“J曲线”效应非常相似，在不同信息水平的交易代理人的情况下，中度知情代理人从较高知情代理人那里获得的收入较少，但也从未知情的随机交易代理人那里获得的收入较少。最后，我们通过数值模拟研究了理论预测的稳态是如何出现在有限试剂种群的动力学中的。如果代理以“空白画布”（没有最初的市场偏好）开始，我们发现适应过程总是首先进入强烈碎片化的状态。这种状态是亚稳态的，其寿命随着种群规模的增大而增大，系统最终会进入一种弱碎片状态。即使代理人的初始偏好分散，这仍然是事实，而系统性的初始偏好可能会导致动力学“错过”亚稳的强分散状态。为了将这一结果转化为更直观的事实，两个进入竞争以吸引平均不同交易者的市场将始终在一个高度分散的状态下表现出一段共存的时期（如果这种共存将持续下去），如果人口最初不是独立的，那么市场垄断将很快出现。确认。作者感谢Peter McBurney和Robin Nicole进行了有益的讨论。PS承认EPSRC博士培训中心为非平衡系统跨学科方法提供的激励性研究环境（CANES，EP/L015854/1）。AA承认塞尔维亚共和国教育、科学和技术发展部对171017项目的支持。[1] H.Mendelson，《金融和定量分析杂志》第22189页（1987年）。[2] B.Chowdhry和V。

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市场偏差设置为标准值（θ，θ-1) = (0.7, 0.3). 所有函数在选择强度β=1/0.265时进行评估。K级(|, pB）=ZdSXm=-1hpBP（S | m，B）+（1- pB）P（S | m，S）iP（m|)δ(- 夫人- (1 - r）). （A2）【37】详细讨论了小r产生的漂移和扩散项，这里（图17）我们提供了与方程对应的图。（12,13），在三组不同的市场订单参数下进行评估，以进行说明。我们考虑选择强度的值β=1/0.265，以匹配图9（c）。三组市场订单参数均位于水平线上（D-1= -1） 而Dis发生了变化，使得序参数分别位于未碎裂区、弱碎裂区或强碎裂区。左面板中的图（a）说明了导致无分割分布的市场条件–有一种独特的M解决方案(|pB，Tγ）=0，对应于唯一的最小自由能（根据公式15计算，如图第三行所示）。两者都用圆圈标记。中间的面板（b）说明了弱碎片情况，其中漂移项有三个零（两个稳定固定点和一个不稳定点），对应于自由能的两个最小值；由于最小值处于不同的高度，因此 将集中在r的最低值附近→ 0，如正文中所述。最后，图（c）中所示的情况有两个相等的最小自由能，所以代表了一个非常零碎的情况。

注意，扩散项M() 在所有三种有序统一的情况下都是，并且不影响自由能极小值的数量；它只对自由能作出定量贡献，从而对P(|pB，Tγ）。附录B：算法注释通过识别自洽市场秩序参数的轨迹来找到所有稳态解的方法是耗尽市场秩序参数空间，从而找到有限r的所有解的最佳方法。通过识别这些解所在的域，我们可以充分刻画非零r下的解，获取有关限制r的信息→ 外推为0。然而，这种方法在数值上要求很高，因为在序参数空间中，我们需要找到一个平稳的状态分布（它的归一化通常占用大部分的处理时间），并重新计算相应的序参数。检查r出现的更正→ 0需要额外的时间。我们在下面描述了数字上要求较低的备选方案。具有同质市场偏好的人群。我们已经看到，根据系统参数，一组代理的吸引力分布在r中可能是单峰的→ 0限制（“U”和“W”状态）。这些州代表的是一个群体中的市场偏好是同质的。这一实现为查找任何系统参数的所有此类状态提供了一种简单的方法。供需订单参数简化了toDm=p（1）BRdσβ（m)P(|p（1）B）+p（2）BRdσβ（m)P(|p（2）B）（1- p（1）B）路σβ（m)P(|p（1）B）+（1- p（2）B）路σβ（m)P(|p（2）B）=p（1）Bσβ（m（1） ）+p（2）Bσβ（m(2))(1 - p（1）B）σβ（m(1)) + (1 - p（2）B）σβ（m（2） ），（B1）其中，在第二行中，我们使用了hσβ()i=σβ（hi） ，一个在r中精确的关系→ 0极限，其中稳态分布为以（g） 。

为了确定这些峰值位置，我们找到了方程式（12）中定义的第一个跳跃力矩的零点，同时考虑到dM对吸引力差异的依赖性（g） 在每组中。这意味着，在寻找两组贸易商具有同质市场偏好的稳态时，我们需要同时求解两组的峰值位置方程：M（1）(（1） | p（1）B，Dm((1), （2） ））=0，M（2）(（2） | p（2）B，Dm((1), (2))) = 0 . （B2）每个解决方案((1)*, (2)*) 需要检查以这种方式发现的结果是否与同质市场偏好的初始假设一致。e、 对应于每个解决方案对的市场订单参数需要指向未分段或弱分段的解决方案域。这是通过计算公式（B1）中对应的序参数Dm，并找到对应于这些序参数的“自由能”来实现的。如果全局自由能最小值集中在（g）*该解与我们的初始假设一致，我们发现了一个（齐次）种群稳态。取决于*我们将此类稳定状态进一步分类为(1)*(2)*> 0或不协调(1)*(2)*< 0.对于任何有限的选择强度β，单个代理当然可以选择另一个市场，即使该州被归类为市场1的协调市场，但β的分类是准确的→ ∞ 限度在第二个案例研究（pB=0.55）中，低β固定点的延续是一个解决方案，我们可以通过这种方法在广泛的选择强度范围内一致找到，比群体有更明显的购买/出售偏好时要宽得多。穿过相图中的暗紫色线（图11），出现的新固定点与同质总体假设不一致，直到选择非常高的强度。

这就是为什么我们需要使用不同的技术来找到图10中所示的其他解决方案。只有当选择的强度进一步增加时，部分碎片态才不再存在，与同质人口假设一致的解才会返回。强共碎片状态。为了发现这些状态是否存在，我们对由单个群体组成的人群应用了基于第四节a和[37]中概述的Maxwell构造参数的程序。对于每个组，我们在序参数空间（D，D）中定义一个轨迹，对于该轨迹，满足强碎片条件（8）。如果存在交点（D*, D*) 在这两个地方之间，存在着市场需求与供给的比率，在这种比率中，两个群体都倾向于一种高度分散的状态。我们最终需要确认，如果只有两个分散的集团在市场上进行交易，就可以创建两个订单参数。如果我们假设高度分散的分布是(|p（g）B）=ω（g）δ( - （g） ）+（1- ω（g））δ( - （g） ）则相应的序参数为：Dm=NBmNSmDm=p（1）Bhω（1）σβ（m(1)) + (1 - ω（1））σβ（m（1） ）i+p（2）Bhω（2）σβ（m(2)) + (1 - ω（2））σβ（m（2） ）i（1）- p（1）B）hω（1）σβ（m(1)) + (1 - ω（1））σβ（m（1） ）i+（1- p（2）B）hω（2）σβ（m(2)) + (1 - ω（2））σβ（m（2） ）i（B3）如果有权ω（g）∈ [0，1]对应于交点（D*, D*) 那么就存在了强碎片状态。这些州让这两个市场都同样活跃，正如我们在第五节的讨论中所显示的那样，这些州对整个人口都有好处，而不支持任何对称群体。部分碎片化状态。最后，我们概述了一个确定种群稳态的程序，该稳态是一组双峰态和另一组单峰态（U或W）的组合，对于r→ 此搜索的起点可通过求解齐次总体方程（B2）获得。

当其中一组与齐次总体假设一致而另一组与齐次总体假设不一致时，我们可以研究另一组是否存在强碎片解。为了发现这些状态，我们假设与给定同质人口解决方案不一致的群体处于碎片状态。因此，该状态的可能顺序参数位于Maxwell构造定义的焦点上。对于碎片态轨迹中的每一个空气（D，D），我们研究了第二组的“自由能”（无论是未碎片态还是弱碎片态）。我们找到了峰值位置，并将吸引力分布表示为以（全球）自由能最小值为中心的非线性分布。我们只需要检查通过强碎片群的峰值重分布是否可以检索到初始序参数（D，D）。如果可能，则存在部分碎片状态。在图10所示的示例中，由于mildbuy/sell偏好，当其中一个组被分割时，第二个组有两个未分割的选项，对应于两个市场中的任何一个的专业化。