随机波动下外汇期权的定价

2022-6-14 06:00:04

基于RBF-FDMETHODFAZLOLLAH SOLEYMANI的随机波动率和利率下外汇期权定价*和ANDREY ITKIN+摘要。本文提出了一种外汇期权定价的数值方法，该方法考虑了随机利率和外汇利率的随机波动性。该模型考虑了四个随机驱动因素，每个驱动因素由一个It^o与时间相关裂谷的差异表示，并具有完整的相关矩阵。众所周知，通过求解相关的后向偏微分方程（PDE），可以找到该模型中外汇期权的价格。然而，它包含无条件项，因此很难通过分析来解决它。此外，通过使用传统的有限差分法（FD）或有限元法（FE）进行数值求解的标准方法也会带来较高的计算负担。因此，本文提出了一种局部径向基函数（RBF）方法，即RBF–FD，它以相对较低的计算成本实现了良好的精度。数值模拟的结果表明，这种方法在外汇期权定价和相关希腊人计算的性能和准确性方面都是有效的。关键词。外汇期权；随机波动率；多维偏微分方程；RBF–FD方法；随机利率管理科目分类。91G30；65M20；91G201简介。根据纳斯达克的数据，外汇市场是世界上交易最活跃的市场。每天平均交易额超过5万亿美元。相比之下，这一交易量超过全球股票交易量25倍。相应地，外汇期权市场是各种期权中最深、规模最大、流动性最强的市场。因此，外汇期权的数学建模是现代数学金融的一个重要领域。

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2022-6-14 06:00:07

关于这一领域有大量文献，参见，例如[7,32]及其参考文献。从风险管理的角度来看，外汇模型很有用，因为它们可以帮助我们调查严重市场崩溃对外汇利率的影响。这对于具有流行的提前行权合约特征的长期（20年或更长期限）外汇衍生品而言非常重要，请参见[15，2，9]和其中的参考文献。考虑到大多数外汇期权都是异国情调的，如今，外汇模型的一种常见方法是将基础国内和国外利率（IRs）视为随机的，以及外汇利率本身的波动性[23,34,43]。然而，由于这种复杂性，这种模型下的期权定价需要使用数值方法，更多详细信息请参见[26,3 8,47]和其中的参考文献。虽然蒙特卡罗方法传统上速度较慢，但FD方法受维度过程的影响，而FE方法需要广泛的三角化。因此，文献中已采取各种尝试，以提出一个简单但足够复杂的模型，从而能够捕捉期权价格的市场动态。例如，[21]的作者在国内外利率不变的假设下，改进了外汇环境中的赫斯顿随机波动率（SV）模型[22]。尽管恒定IRs的假设因其简单性而极具吸引力，但实证结果证明，此类模型并不能反映市场现实，尤其是在新一代长期混合外汇产品的情况下。

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2022-6-14 06:00:10

对于这些产品，汇率和IRs的影响都是至关重要的，因此恒定的IRs假设对于可靠的估值和对冲来说显然是不合适的。*伊朗基础科学高级研究所（IASB）数学系，Zanjan45137–66731（电子邮件：fazlollah）。soleymani@gmail.com & soleymani@iasbs.ac.ir).+纽约大学坦顿工程学院金融与风险工程系，12 Metro技术中心，RH 517E，Brooklyn NY 11201，USA（电子邮件：aitkin@nyu.edu).2 Soleymani和ItkinIn【45】提出了对Heston SV模型的另一个改进。然后，在[19，39]中，通过考虑账户随机IRs并假设所有随机因素都是相关的，进一步扩展了货币衍生品的该模型。[8]中引入了赫斯顿型多因素SV模型。他们的模型在货币之间的三角关系方面是一致的，并允许同时校准三角（如欧元/美元/日元）中涉及的外汇汇率的波动面。尽管进行了这些尝试，但人们认识到，更复杂的模式可能有助于外汇衍生品的建模。特别是，人们对使用四因素跳差模型对外汇衍生品进行建模非常感兴趣，请参见[1]及其参考文献。通常，在这些模型中，即期外汇汇率及其波动率遵循赫斯顿模型的跳跃式扩展[17]，而国内外IRs遵循单因素赫尔-怀特或考克斯-英格索尔-罗斯（CIR）动力学[3，25]。因此，基于这一简短的调查，在本文中，我们考虑了[18]中提出的一个模型。

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2022-6-14 06:00:13

然而，尽管该论文的作者试图使用一些额外的近似方法使其在分析上易于处理（通过特征函数的闭式解），但在本文中，我们考虑整个模型，也假设所有随机因素之间存在非零相关关系。尽管该模型失去了可分析性，但可以使用一种新的二阶RB F–FD数值模式有效地处理该问题。本文的主要贡献如下：o为了有效解决4D时间相关PDE问题，我们提出了一种自适应（非均匀）离散化方法，以便在保持固定精度的同时尽可能少地使用离散点。我们的本地化DRBF–FD方法将出现在稀疏的材料中通过使用具有三个和四个节点的非等距模板分别逼近函数的一阶和二阶导数，我们证明了ourRBF–FD方法在内部点中获得了二阶收敛提出了一种新的形状参数选择策略。

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2022-6-14 06:00:16

特别是，形状参数在每个空间变量（每个维度）中都有所不同，并且也是相应维度中离散化点数量的函数建议对偏微分方程的边界条件进行近似，以加快计算速度如果模型的参数已知，并且不需要校准，例如交换选项的项结构，则引入一个简单但有效的想法，通过常量值近似时间独立系数，从而允许离散化的普通微分方程组（ODE）具有常数系统矩阵。例如，与最近的一篇论文【36】（进一步MS）相比，MS使用高阶RBF–FD方法以及非均匀节点布局来处理金融衍生品的数字定价，其区别如下：oMS考虑的是二维问题，而这里我们讨论的是4D问题。o没有以MS为单位给出权重的闭合形式公式，而在这里，我们提供了二阶近似的权重闭合形式表达式MS方法试图在一个点的邻域中计算尽可能多的节点。在这里，我们不这样做。o在我们的方法中，我们以闭合形式导出微分矩阵的诊断元素。因此，当（均匀或非均匀）节点的数量增加时，无需每次构建MS pape r的系统（7）。随机波动和利率下的外汇期权定价3这项工作的剩余部分组织如下。在第2节中，我们描述了该模型并提供了一个偏微分方程，因此外汇普通期权的价格可以在适当的边界和初始条件下进行求解。在第3节中，提出了高斯RBF–FD方法对一阶和二阶导数的特殊权重。

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能者818

2022-6-14 06:00:19

结果表明，利用这些新的权值，该方案达到了二阶收敛。然后，第4节详细讨论了偏微分方程的数值解。分析了该解的收敛性和稳定性。第5节介绍了数值讨论和报告。通过计算，我们描述了SV和IRs下定价的新数值程序的准确性，并研究了特定模型参数的影响。文中还讨论了一些渐近解。第6节总结并概述了未来可能的工作。2型号。如前所述，在本节中，我们将讨论一个四因素r模型，其中所有过程都由It^o的漂移差表示。例如，可以在[2]中找到关于四因素模型及其在实践中的有用性的扩展讨论。我们考虑了国内和国外IR过程，rt、dand和rt，F遵循赫尔-白（短速率）动力学，分别根据其相应的现场测量（Q-国内和Z-fo统治）确定：drt，d=λd（θd（t）- rt，d）dt+ηddWQt，d，drt，f=λf（θf（t）- rt，f）dt+ηfdWZt，f，（2.1），其中WQt，dand，WZt，分别是Q和Z下的布朗运动。参数λd，λf确定平均回归到平均回归水平θd（t），θf（t）的概率，参数ηd，η表示波动率的波动率，或vol–of–vol。考虑即期外汇汇率率，st，单位为本币，单位为外币。

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2022-6-14 06:00:22

我们遵循[18]，其中（2.1）中利率的动力学与st的Heston模型相结合（因此整个模型都是c alledFX–HHW），假设所有随机因素之间存在非零相关性dstst=（rt，d- rt，f）dt+√vtdWQt，s，（2.2）dvt=κ（(R)v- vt）dt+γ√vtdWQt，v，drt，d=λd（θd（t）- rt，d）dt+ηddWQt，d，drt，f=[λf（θf（t））- rt，f）- ηfρs，f√vt]dt+ηfdWQt，f，st∈ [0, ∞), rt，d∈ (-∞, ∞), rt，f∈ (-∞, ∞), v∈ [0, ∞), t型∈ [0, ∞).在这里，所有随机过程都是在国内风险-非均衡测度下定义的，Q和γ是过程vt的波动性-非波动性参数。在国内-现货测度下，rt的漂移，F包含一个附加项-ηfρs，f√vt，见【18】。与动力学相关的全相关矩阵（2.2）readshdWtdWti公司=1ρs，vρs，dρs，fρs，v1ρv，dρv，fρs，dρv，d1ρd，fρs，fρv，fρd，fdt，（2.3），其中Wt=【WQt，s，WQt，v，WQt，d，WQt，f】*, 和所有元素ρi，j，i，j∈ 相关矩阵的[s，d，f，v]是常数。（2.2）中所有过程的初始值：s、r0、d≡rd、0、r0、f≡ rf、0、v是模型的参数。

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2022-6-14 06:00:25

为了保证瞬时方差的非负性，假设满足标准伐木条件，即2κθ/γ>1，[31]。4 Soleymani和Itkin根据标准的无套利论证，可以为FX–HHW模型推导定价PDE，并读取[1 8，26]：五、τ=LV，（2.4）LV=sv五、s+γv五、v+ηd五、rd+ηf五、rf+ρs，vγsv五、sv+ρs，dηds√v五、srd+ρs，fηfs√v五、srf+ρv，dγηd√v五、vrd+ρv，fγηf√v五、vrf+ρd，fηdηf五、研发部射频+（rd- rf）s五、s+κ（(R)v- 五）五、v+λd（θd（τ）- rd）五、研发部+λf（θf（τ）- 射频）- ρs，fηf√v五、射频- rdV，其中V=V（τ，s，V，rd，rf），τ=T- t是反向时间，L是二阶线性微分算子。（2.4）中的偏微分方程应根据初始和边界条件求解。普通看涨期权的初始条件为：V（0，s，V，rd，rf）=（s- E） +，（2.5），普通普通认沽期权为：V（0，s，V，rd，rf）=（E- s） +，（2.6），其中E为期权行使。第4.1.3节（2.4）的数值解更详细地讨论了边界条件。多维4D PDE（2.4）包括非有效项，即平方根和乘积。因此，求解它需要一些数值方法（参见[20，46]），如FD或meshfr e RBF方法。同时，这个时间相关问题存在四个空间变量以及六个混合导数项，这意味着任何数值方法都是昂贵的。例如，可以考虑使用FD方法（尽管文献中尚未研究）或FEmethod（例如，55）对（2.4）进行空间离散化。

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2022-6-14 06:00:28

但对于四维问题，这些方法已经摆脱了高计算负担（例如，由于维数诅咒）。去年，RBF方案在计算金融领域获得了很大的兴趣，[24，40]，因为使用RBF，只需使用很少的离散化节点即可构建高分辨率方案。这在解决各种多维问题时尤其有用，例如，对于设置了多个随机因素的模型。对于一个或多个空间维度的期权定价问题，基于RBF近似构建的无网格方法（特别是局部方法）的性能优于标准FD方法，参见例如[9]和其中的参考文献。当使用RBF配置方法时，主要的困难是必须反转由于全局RBF支持而产生的病态矩阵。作者[53]讨论了另一种使用RBF求解偏微分方程的方法，即以与传统FD格式相同的方式构造局部支持的近似导数的算子。他们的方法被称为RBF–FD方法。该方法是一种局部方法，导致spa rse线性s系统，与全局RBF–方案相反，全局RBF–方案导致病态稠密矩阵系统[37]。因此，局部化方法不仅可以提供从RBF函数中继承的高精度，而且可以提供稀疏结构，使其能够有效地解决高维问题。随机波动和利率下的外汇期权定价53.1本地化。我们要记住，（2.4）定义在无界域上[τ，s，v，rd，rf]∈ （0，T）×[0，∞)× (-∞, +∞)根据初始条件g（·）asit在（2.5）–（2.6）中定义。

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可人4

2022-6-14 06:00:31

为了数值求解（2.4），我们将这个无界域截断为一个有限域，如下所示：[τ，s，v，rd，rf]∈ （0，T）×0，smax）×0，vmax）×[-rdmin，rdmax]×[-rfmin，rfmax]≡ （0，T）×Ohm, （3.1）如果子指数s min，max标记适当选择的最小值和最大值。文献[30]表明，欧式普通期权的价格（例如，通过求解（2.4）计算得出）是通过与障碍期权相关联的价格（在对数H中，H是障碍）以指数形式进行估计的，因此，截断域上定义的问题的解仍然存在。更准确地说，【30】中的建议n 3.1表明，持续监控的障碍期权价格可以通过扩展对数障碍来任意调整欧洲期权之一。由于需要一个trunca-ted域来计算障碍期权价格，因此在目前的欧式期权情况下，一旦截断边界距离兴趣点足够远，则截断该域是有效的。我们强调，选择上截断边界smax、vmax、rdmax=-rdmin，rfmax=-距离较远的rfmin有效地减少了将边界条件从原始边界移动到艺术边界的错误。然而，相反，更大的计算域需要更大的离散化宽度。因此，这增加了导数近似的误差，或者需要大量离散点才能获得所需的精度。计算节点的非等距分布可以克服这个问题，同时使离散化和计算机编码更加困难。这将在第4.3.2节高斯RBF–FD权重的数值分析中详细讨论。虽然存在各种常用的基函数选择，如[11]，但在本文中，我们仅使用高斯径向基函数。

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kedemingshi

2022-6-14 06:00:34

其他选择的调查可以以类似的方式进行。选择高斯径向基函数的动机部分是因为在模型（2.2）中，利率具有边际正态分布。然而，这对于RBF方法的本地化版本来说并不重要。高斯径向基函数定义为[5]：φ（kx- xik）=exp“-kx公司- xikc公司#, i=1，2，m、（3.2）其中c是形状参数，x是表示（四维）空间中一点的坐标向量，k·kis是该空间中的Lnorm，xi，i∈ [1，m]是一组离散化（或所谓的集合）节点。根据RBF–FD方法，我们需要在给定模板上近似（2.4）中的导数，该模板可以使用离散化节点的子集来构造。为此，将为模具中的每个节点指定一定的权重。反过来，为了确定RBF–FD公式（对于一阶导数）的权重，我们在一维中考虑三个点模板，x是相应的坐标：{xi- h、 xi，xi+ωi+1h}，ωi+1>0，h>0，（3.3），其中ωiis是对应的第i个权重，h是一个常数步。显然，（3.3）只是表示非均匀网格的另一种方式。对于标准FD方法使用的多项式函数，该网格上的一阶和二阶导数以及混合导数的近似值是众所周知的[5，27]。6 Soleymani和ItkinAs应用于RBF–FD方法，三点非统一m模板【xi】-hi，xi，xi+hi+1]可以首先表示为（3.3）。然后，根据确定权重ωionce h的theRBF的显式形式，可以导出具有必要阶数的导数的近似值<< c下面我们以明确的形式提供这些表达式。定理3.1。

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2022-6-14 06:00:37

考虑一阶导数f′（xi）的三点近似值 αi-1f（xi-1） +αif（xi）+αi+1f（xi+1）=^f′（xi），2≤ 我≤ m级- 1，（3.4）其中m是该维度中的节点总数，i穿过所有内部节点（因此不包括边界节点）。对于（3.2）中的充分光滑函数f和高斯RBF，如果权重定义为αi，则该近似值具有二次收敛速度-1=ωi+1h（2ωi+1- 5) - 3c3ch（ωi+1+1），（3.5）αi=ωi+1- 1hωi+1-2h（ωi+1- 1） 3c，（3.6）αi+1=h（5ωi+1- 2） c+ωi+1[3h（ωi+1+1）]-1.（3.7）证明见附录A。（3.4）中的三点近似值在给定节点s上产生一阶导数的稀疏矩阵。这类似于标准FD方法，但另一个优点是RBF–FD方法可以自然处理分散的节点布局。不幸的是，对于二阶导数，三点模板只能得到一个Firstorder近似值。然而，如果我们在模具中加入更多的点，这个问题就可以解决。其想法是考虑四个相邻点（对于内部节点），以解决上述问题。定理3.2。考虑以下节点集：{xi-2、xi-1，xi，xi+1}={xi- wi公司-2h，xi- h、 xi，xi+wi+1h}，wi-2，wi+1，h>0。（3.8）还考虑一些函数f（x）f′′（xi）=βi的二阶导数的以下近似值-2f（xi-2） +βi-1f（xi-1） +βif（xi）+βi+1f（xi+1），3≤ 我≤ m级-1.

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kedemingshi

2022-6-14 06:00:40

（3.9）当权重定义为βi时，充分光滑函数f的近似为二次收敛-2=n（wi+1- 1)2c- hwi+1+ 3hwi-2（wi+1- 1) (3.10)- hwi公司-2（（wi+1- 3） wi+1+1）onch（wi-2.- 1） wi公司-2（wi-2+wi+1）o-1，βi-1=uch（wi-2.- 1）（wi+1+1），（3.11）βi=uchwi-2wi+1，（3.12）βi+1=n（wi-2+ 1)2c+hwi-2.+ 3h（wi-2+1）wi+1（3.13）- h（wi-2（wi-2+3+1）wi+1 NCHWI+1（wi+1+1）（wi-2+wi+1）o-1，随机波动率和利率下的外汇期权定价7，其中u=-wi+12c+hwi-2（wi-2+3+3小时+ wi公司-2.2c+hwi-2+3小时+ h（wi-2+1）wi+1u=-wi公司-2.2c+h（wi+1- 1） wi+1+小时+ （wi+1- 1)2c- hwi+1+ h（wi+1- 1） wi公司-附录B.3.3形状参数给出了该定理的结果。对于局部RBF–FD格式，形状参数的值所起的作用不如全局RBF方法那么重要。然而，它的精确选择可能有助于获得更好的近似精度。这里，我们建议以自适应方式选择定理3.1、3.2中用于计算重量的形状参数。这意味着形状参数适用于每个空间变量（每个维度），也是相应维度中离散化点数量的函数。这种依赖关系的具体形式如下：cs=2 max{s} ，cv=3最大值{v} ，crd=3最大值{rd}，crf=3最大值{rf}，（3.14）其中svrdand公司rf分别是沿s、v、Rd和rf的增量向量。与经典方法相比，这种选择形状参数的方法具有优势，其中s形状参数要么是固定的，要么是基于插值矩阵的条件数选择的。选择cs、cc、crd、crfin（3.14）的值，以满足定理3.1–3.2的条件。同时，我们不希望它们太大，以消除精度损失。

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2022-6-14 06:00:43

还记得，当（3.14）中的形状参数较高时，例如，一旦c与h显著不同，则BF–FD近似值（3.5）–（3.7）&（3.10）–（3.13）趋向于非均匀网格上定义的FD公式[27]。4离散化。为了数值求解（2.4），我们需要在时间域和空间域对其进行离散化。对于时间离散化，我们采用直线法（MOL），[44]。第3节中高斯RBF–FD方案引入的权重可用于（2.4）的空间离散化。我们的自适应离散化思想，即通过关注解的重要区域，不仅要在解的某些问题区域具有理想的精度，而且要减少必要的离散化节点的数量，以便后续处理中等规模的离散化方程系统。（2.4）中每个微分算子的离散化产生稀疏微分矩阵（DM）。对于对流项（一阶导数），该矩阵取矩量m=（αi，j）m×m=αi，jfrom（3.5）i=j，αi，jfrom（3.6）i- j=1，αi，jfrom（3.7）j- i=1,0，否则。（4.1）对于4D问题，这种离散化是使用自然法则以系统的方式进行的，以便获得更快的速度。4D网格的每个点对应于DM的一行。通过这种方式，所有权重系数重新聚集到一个Spar e（带状）矩阵中。重量（3.5）–（3.7）可用于第2、3、…、，m级-1、如果边界条件以Dirichlet形式提供，则不需要第一行和最后一行。然而，如果我们有一个Neumann边界条件（这是利率的合理选择），那么对于DM（4.1）的第一行和最后一行，应重建8个Soleymani和Itkinweights，因为在这种情况下，模板将包括所选计算节点集外侧的重影点。

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kedemingshi

2022-6-14 06:00:46

例如，这里使用RBFFD方法时，只使用两个节点，而不是三个节点。在这样的amanner中，我们得到α1，1=αm，m-1=hc-h、 α1,2=αm，m=h。（4.2）这种方法预测了DM的三对角结构，但严格地说，打破了边界处近似的第二阶。或者，可以用单侧三点近似代替边界处的中心近似，因为这样矩阵仍然保持稀疏（而不是三对角）。利用定理3.2中关于微分项（第二阶导数）的结果，我们得到以下DMMss=（βi，j）m×m=βi，jfrom（3.10）i=j，βi，jfrom（3.11）i- j=1，βi，jfrom（3.12）j- i=1，βi，jfrom（3.13）i- 否则，j=2,0。（4.3）同样，如果是Neumann边界条件，第一行和最后一行的方案应该改变。为此，在本文中，我们再次使用RBF–FD近似值β1,1=βm，m-1=-4c，β1,2=βm，m=c.（4.4）此外，对于DM的第二行，也应更改（4.4）中的离散化，因为四点模具现在包括一个重影点。例如，我们可以使用三个节点而不是四个节点来保持DM的对角线结构，但要放松二阶近似，或者使用单边近似。前一种基于模板{x-wh，x，x+h}产生以下表达式β2,1=22(ω- 2） ω+5c+h[3(ω+ 1)]-1,β2,2= 2-2ω+ ω- 2c-h类[3ω]-1，β2,3=[6c+2h（ω（5ω- 4） [3chω（ω+1）]-1.（4.5）基于（4.3）–（4.5）生成的DMs也是稀疏的（带状的）。（2.4）中交叉导数项的空间离散化可以通过使用DMs的Kronecker积来完成，[33]。

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能者818

2022-6-14 06:00:49

因此，通过这种方式，可以使用（4.1）作为构建块来找到校正近似值的权重。将（2.4）中算子L的对流、扩散和源项的权重集合在一起，得到以下ODEV′（τ）=a（τ）V（τ），（4.6）系统，其中a（τ）是包含所有空间维度生成的行和列的整个矩阵（spar se）。权重使用d构造该矩阵，使得该方法的精度与全局RBF方法的精度相似。同时，A（τ）的解析结构显著降低了求解的计算成本（4.6）。此外，值得一提的是，对于本文考虑的欧式期权，（2.5）、（2.6）中的支付函数在一阶导数中具有不连续性，这阻碍了高阶收敛。在[36]中，这些函数使用笛卡尔网格的一种稳定技术进行平滑，即使用通过傅立叶变换定义的四阶平滑算子。然而，这里我们不使用smo othing。随机波动和利率94.1边界条件下的外汇期权定价。对于欧洲香草选项，s空间域中的常见边界条件为v（τ，s，v，rd，rf）=0，s=0，Vs，s（τ，s，v，rd，rf）=0，s=smax。（4.7）此外，由于利息率边界处的期权价格通常未知，标准做法是在下限和上限处设置恒定流量，即使用齐次纽曼边界条件Vri，ri（τ，s，v，rd，rf）=0，ri={ri，min，ri，max}，i∈ [d，f]。（4.8）众所周知，如果Felle r条件满足，则v=0时无需边界条件，应使用值v=0代入的PDE本身作为边界条件，参见例如[28]和其中的参考文献。

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2022-6-14 06:00:52

但是，如果不满足填充条件，则必须将边界条件设置为v=0。这通常是一种反射或死亡状态[6]。在v=Vmax时，有多种方法来设置边界条件。一种方法是继续类似于（4.8）和setVv，v（τ，s，v，rd，rf）=0，v=vmax。（4.9）或者，在【20】中，作者建议使用v（τ，s，v，rd，rf）=s，v=vmax，（4.10），这意味着在v=vmax时，Vv（τ，s，v，rd，rf）=0。根据我们的经验，（4.9）与（4.10）相比，提供了更准确的结果，例如，对于Hesto n模型。这是因为要达到足够的准确度（4.10）需要截断边界以保持完整性，而（4.9）放宽了这一要求。通过按[49]中的方法引入边界，我们得到了以下线性正交（耦合）常微分方程组˙V（τ）=A（τ）V（τ），（4.11），应根据（2.5）或（2.6）中非光滑Payoff函数给出的初始条件来求解。这里，A（τ）是系数矩阵，它包括边界，并且与时间相关。请注意，它是奇异的，因为边界条件直接施加到此矩阵中。显然，（4.11）满足Lipschitz条件，因此，（4.11）的唯一解存在并扩展到整个工作间隔。下面的引理声称（4.11）的解是条件一致稳定的。引理4.1。假设（4.11）中的时间相关矩阵“A（τ）”的大小为N×N，其中N=m×m×m×m。让我们表示“A”的最大和最小逐点特征值*（τ） +(R)A（τ），（4.12）乘以λmax（τ）和λmin（τ）。

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2022-6-14 06:00:55

如果存在有限常数δ，则（4.11）的解一致稳定，使得（4.12）的最大逐点特征值满足：Zττλmax（χ）dχ≤ δ、（4.13）对于所有τ，τ，使得0≤ τ≤ τ.该证明的逻辑精神与[42，第133页]中的相似。10 Soleymani和Itkin4.2 Krylov算法用于时间无关的情况。指数时间积分（ETI）方案涉及矩阵指数和相关矩阵函数。这些积分器的一个吸引人的特点是结合了卓越的稳定性和精度特性，后者通常优于标准的显式/隐式时间积分器，请参见[13]。对ETI的兴趣源于Kry-lov子空间技术的高效编程，以计算大型矩阵的矩阵函数。只要耦合系统（4.1-1）与时间无关，就可以通过形式积分（4.11），[41]：V（τ）=eτ′AV（0）来构造解。（4.14）由于“A”非常大且稀疏，计算该解的一种快速方法是依赖Krylov子空间方法。此外，在不丧失一般性的情况下，设τ=1。让我们通过构造Krylov spaceKY=span{V（0），\'AV（0），…，\'AY的正交基来近似（4.14）中的V（τ）-1V（0）}，（4.15），并考虑到Gram–Schmidt的正交化（即Arnoldi算法），[50]。如果V是N×Y矩阵，列为V，V，vY（KY的正交基向量），可以写“AV=V HY+HY+1，YvY+1e*Y、（4.16）这里hY+1，Y=kVY+1k，Y是相应s步的维数，标量积的数量与Y成正比。e*Y=（1，1，…，1）1×Y。HenceHY=V*\'\'AV。（4.17）事实上，这里的HYis是“A”对KY的限制。应用Krylov方法可以将主要的大规模问题投影到KY子空间上并在其中解决。

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2022-6-14 06:00:58

当v=βv e，β=kV（0）k时，我们有[52]：v*w=V*e'AV（0）=βV*e'AV e βeHYe。（4.18）考虑到wY=βV eHYe，我们得到wY 五、五*w、（4.19）其中V V*w是w=e'AV（0）在KY上的投影。事实上，Y远小于n（A的大小），因此，计算e'AV（0）所需的时间是有限的。注意，对于时间步进法，我们需要系统矩阵的最大特征值来选择最佳的时间步长，而在所描述的Krylov模式中，这是不必要的。此外，所描述的算法可以被视为计算某个矩阵函数对表示初始条件的向量的作用。算法1中详细介绍了该算法。使用Krylov近似法，对于大型中等stiff常微分方程组（4.11），可以预期会有相当大的节约，尽管步长的稳定性限制，通常通过显式时间步进法进行求解，或者当隐式方法需要昂贵的雅可比矩阵和线性代数时。对于没有（严格的）稳定性限制的任何步长，它都不需要，例如参见[12]。4.3整合时间相关案例。显式时间积分方法通常需要非常小的时间步长，例如，如果ODE系统是stiff或空间网格在某些点上局部定义，[16]。然而，当系统矩阵的规模非常大时，这种方法消除了随机波动率和利率下外汇期权定价固有的高计算负担11算法1 Krylov计算矩阵指数函数对支付向量作用的方法β=kV（0）k，V=βV（0）o对于j=1:YoVj+1=(R)AVjo对于i=1:johi，j=V*iVj+1oVj+1=Vj+1- hi，jVioendohj+1，j=kVj+1ko如果hj+1，j==0oY=j breakoendoVj+1=hj+1，jVj+1oendoHY=h（1:Y，1:Y）oY=βeHYeowY=V（：，1:Y）Y.隐式方法。

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2022-6-14 06:01:01

此外，ex-plic it方法易于实现。因此，我们在时间相关的情况下应用这类最有效的方法之一，如下所述。让我们注意到Vι是问题的近似解，与精确值V（τι）相反。让我们也考虑具有时间步长的+1个相等的时间节点τ=T/>0，因此τ=ιτ, 0 ≤ ι ≤ . 为了近似时间相关问题（4.11）的解决方案，我们使用了一种显式修改的中点方法，首先应用中点方案[5 1]：Z=V（0），（4.20）Z=V+τ′A（τ）V，Zι+1=Zι-1+ 2τ′A（τι）Zι，ι=1，2， - 1、Vι=Zι+Zι-1+ τ′A（τι）Vι.这里Z是中间近似值，以τ、 Vι是V（τι）的最终近似值。除第一点和最后一点外，该方法基本上是一种中心差分或中点法，因此提供了时间上的秒近似值。在[49，第119-123页]中可以找到该方案在其改进稳定性区域的简单而有效的实现。选择此解算器的动机是在spa ce和时间上都有一个一致的二阶方案，这是目前实践中的标准要求。（4.20）也是许多标准数学软件的一部分，例如，在Wolfra mMathematica中，这可以通过以下调用完成：方法->{“FixedStep”，“StepSize”->\\Delta\\tau，方法->{“ExplicitModifiedMidpoint”}}4.4时间相关函数的选择。我们将（2.4）中的函数θd（τ）和θf（τ）定义为θd（τ）=- e类(-τ），θf（τ）=- e类(-τ），（4.21），其中, , 和, , 是通过校准市场数据可以找到的六个常数。然而，为此目的使用不同到期日的掉期期权12 Soleymani和Itkin可能会导致校准不良。

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2022-6-14 06:01:04

因此，另一种方法是用与可用到期日相对应的饼图常量结构替换（4.21）。值得一提的是，我们的模型有16个参数，因此模型的校准可能很耗时，甚至不稳定。然而，如果模型的参数已知，并且不需要校准（例如，交换选项的术语结构），则可以替代（4.22），假设θd（τ）和θf（τ）在时间上是常数。我们的想法是将这些常数的值取为τ=1附近泰勒级数展开式（4.21）的第一项，并获得θd（τ） - e-, （4.22）θf（τ） - e-.这种方法并不实用，因为以这种形式存在的ag模型无法预测掉期期权的期限结构。因此，在本文中，这种简化仅用于测试所提出的方法，并研究其收敛性和性能。希望在时间相关参数θd（τ）和θf（τ）的一般情况下，假设该方法的特性与本工作中发现的特性接近。5个数值实验。在本节中，我们提供了通过使用建议的s模式（进一步称为PM）获得的计算结果。该代码在Wolfram Mathematica 11.0[14]中实现，并使用插值在空间/时域的任何点查找所需的选项值。在下文中，我们报告了以下仪器的（2.4）解决方案1。表5.1中给出的模型参数的欧洲普通看涨期权，T=1年。参考溶液Vref（T、E、v、0.024、0.024） 8.420安ndVref（T、E、v、0.1、0.1） 7.888公顷是通过使用一个非常固定的网格获得的。表5.1中给出了模型参数的欧洲香草看跌期权，但T=2年。

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2022-6-14 06:01:06

此处参考值为：Vref（T，E，v，0.024,0.024） 12.528和Vref（T、E、v、0.1、0.1） 10.594.3. 表5.2中给出了g型iven参数的欧洲普通看涨期权。这里的参考原则是：Vref（T，e，v，0.024，0.024） 3.999和Vref（T、E、v、0.1、0.1） 3.929.在所有这些数值实验中，模型的相关结构定义为asR=1.-0.4-零点一五-0.15-0.4 1 0.3 0.3-0.15 0.3 1 0.25-0.15 0.3 0.25 1. （5.1）T，yr E，$γκ'vηdηfrd，0rf，01,2 100 0.3 0.5 0.1 0.007 0.012 0.1 0.1vλdλf0.04 0.01 0.05 0.05 0 0 0.05 0 0表5.1：用于数值试验1和2的模型参数。随机波动率和利率下的外汇期权定价13T，yer E，$γκ'vηdηfrd，0rf，00.25 100 0.3 0.5 0.1 0.007 0.012 0.1 0.1vλdλf0.04 0.01 0.05 0.074 0.014 2.10 1.0 0.5 0.5表5.2：用于数值试验3的模型参数。在每一个数值实验中，除了期权价格，我们还计算了他们的希腊人。提醒一下，它们是各种模型参数下期权价格的衍生品，是对冲与这些参数的市场变化相关的期权组合风险的一个非常重要的工具[54]。希腊人的计算对于任何数值方法来说都是一个挑战，因为期权价格本身的良好近似值并不能保证希腊人的良好近似值。请注意，我们没有将我们的结果与[56]中的结果进行比较，因为后者只包括两个和三个因素模型。如第2节所述，我们还不了解文献中提出的任何数值方法来求解（2.4）。因此，为了进行比较，我们还实现了FD方法。该方法使用三点模板和一阶和二阶导数的中心近似，九点模板用于混合d阶导数的近似。

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2022-6-14 06:01:09

众所周知，侧向近似可能是不稳定的，并且不保持解的积极性，请参见[27]和其中的参考文献，我们将在下文给出结果时对此进行更详细的讨论。我们使用统一的网格和与我们的RBF-FD方案相同的时间步进解算器。边界条件也与P M施加DF的条件完全相同。总的来说，该方案提供了每个空间维度的二阶近似，而时间近似的阶数取决于使用的时间解。我们不使用任何交替方向隐式（ADI）方法，因此所有空间节点都被组合成一个一维向量。选择这种方法是为了准确地模拟我们使用RBF–FD方法所做的工作。此实施进一步称为FDKM。我们还设定了“精准目标”- > 5，精度高- > 5“在我们的代码中，尽可能加快进程。为了研究我们方案的收敛性，我们计算了标准相对误差（RE）和收敛速度（ROC）ROC对数V（4m）- V（2m）V（2m）- V（m）, （5.2）式中，V（m）是通过使用多节点得到的问题的解。该表达式假设ROC是针对每个空间维度单独研究的。所有计算均在Windows 7 Ultimate、Intel（R）Core（TM）i5–2430M CPU 2.40GHz处理器、HDD内存和16.00 GB RAM下完成。失效时间以秒为单位报告，并且在整个表格中使用符号aE- B平均值a·10-b、 s、v、Rd和Rf的非等距节点定义如【4，20】si=ξssinh西辛-1（ξs（smax- E）（）- (1 - xi）新罕布什尔州-1（ξsE）+ E、（5.3）vj=ξvsinh{yjsinh-1（ξv（vmax- v）（）- (1 - yj）新罕布什尔州-1（ξvv）}+v，rd，k=rd，0+rd，maxξrdsinh（sinh-1.rd，最小值- rd，0d+ （k）- 1)ζd），rf，l=rf，0+rf，最大ξrfsinh（sinh-1.rf，最小值- rf，0d+ （l）- 1)ζf），14 Soleymani和ItkinFig。

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2022-6-14 06:01:12

5.1：实验1中的数值解通过使用PM获得，m=34，m=24，m=m=20。此处，第一行左图为子集V的V（T、s、V、rd0、rf 0）∈ [0，1]，第一行-右图为V（T，s，V，rd0，rf 0），表示更大的域V∈ [0, 10]. 其他曲线图表示：V（T，s，V，rd，rf 0）-第二行-左，V（T，E，V，rd，rf 0）-第二行-右，V（T，E，V，rd，rf）-第三行-左，V的增量（T，s，V，rd0，rf 0）-第三行-右，V的织女星（T，s，V，rd0，rf 0）-第四行-左，V的瓦纳（T，s，V，rd0，rf 0）-四投-右。哪里ζd=m- 1.新罕布什尔州-1.rd，最大值- rd，0d- 新罕布什尔州-1.rd，最小值- rd，0d, （5.4）随机波动和利率下的外汇期权定价15ζf=m- 1.新罕布什尔州-1.rf，最大值- rf，0d- 新罕布什尔州-1.rf，最小值- rf，0d, （5.5）米，米，米，米>> 1, 1 ≤ 我≤ m、 1个≤ j≤ m、 1个≤ k≤ m、 1个≤ l≤ m、和[0，1]上的xi，yjare一致点，参见[48]了解此类非一致鸟的收敛性质。这种网格生成的目的是使尽可能多的计算节点接近最重要（或有问题）的节点。特别是，它们包括接近执行价格的点（其中支付函数不平滑）；或者在下边界，方差是否消失；或在与国内外利率初始值相对应的点。在我们的实验中，我们选择将计算边界设置为smin=vmin=0，smax=14E，vmax=10，rd，min=rf，min=-1，rd，max=rf，max=1。当根据（5.3）生成节点时，我们使用ξs=0.01，ξv=50，ξrd=ξrf=500。当使用RBF–FD方法时，计算节点的放置有一定的自由度。此外，在靠近边界的区域中，基于最近邻居的模板会自动变形，因此无需特殊处理来计算这些区域中的差异权重。

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2022-6-14 06:01:15

然而，从计算效率的角度来看，存在一个共同的直觉，即在RDR和rfdirections中使用的离散化节点比v方向少，在v方向上使用的离散化节点比在s方向上使用的离散化节点少。正如sugg在[35]中所述，为了节省计算时间，另一种施加（4.7）–（4.9）的方法如下。可以考虑位于边界处的配置节点的原始PDE，并使用Ga-ussian RBF–FD方法将其离散化。然后，这些离散化方程可以用作偏微分方程的近似边界条件。在下文中，我们将此方法称为ABC条件。下面，在我们处理欧式普通看涨期权（1和3）的数值实验中，我们只考虑Dirichlet边界条件。相反，对于2中的欧式普通看跌期权，出于比较的原因，所有节点在边界处的位置，我们使用ABC条件。如表5.5-5.6和图所示。5.1–5.2，从性能的角度来看，这种方法在计算上是有效的，同时提供几乎相同的解决方案精度。mhmincsVROC VROC8 13.02 1834.59 8.25786-7.73678 16 5.84 1130.55 8.45893-7.92453 32 2.78 627.29 8.42466 2.55 7.89247 2.5564 1.36 330.29 8.41957 2.75 7.88750 2.68128 0.67 169.45 8.42030 2.79 7.88808 3.09 ROC 2.7的平均值表5.3：使用PM在数值实验（1）中观察到的s方向ROC。5.1结果。这里，我们讨论了数值实验1-3中得到的结果。表5.5中给出了计算的RE与OFFDKM和PM方法的参考值。这里V=V（T，E，V，0.024，0.024），V=V（T，E，V，rd0，rf0），和，是相应的REs。

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2022-6-14 06:01:19

在表5.3中，给出了PM方法的ROC，这些测试与s维度中常见的节点数不同。可以观察到二阶收敛（实际上是2.7）。PM方法不包括任何特殊考虑，以保持溶液的正性，如在[26]中所做的那样。因此，为了验证这一点，我们的结果是16 Soleymani和ItkinFig。5.2：实验2中的数值解，通过使用m=28、m=20、m=m=16的PM获得。此处，第一行左图为V（T、s、V、rd0、rf 0），表示asubset V∈ [0，1]，第一行-右图为V（T，s，V，rd0，rf 0），表示更大的域V∈ [0, 10]. 其他曲线图表示：V（T，s，V，rd，rf 0）-第二行-左，V（T，E，V，rd，rf 0）-第二行-右，V（T，E，V，rd，rf）-第三行-左，V的增量（T，s，V，rd0，rf 0）-第三行-右，V的织女星（T，s，V，rd0，rf 0）-第四行-左，V的瓦纳（T，s，V，rd0，rf 0）-四投-右。图5.1中还显示了Delta、Vega和Va nna的图形，它们都显示了数值解的稳定行为。随机波动和利率下的外汇期权定价17Fig。5.3：基于FDKM的FX选项2不稳定数值解，m=28，m=20，m=16。V（T，s，V，rd0，rf0）（左）和V（T，E，V，rd，rf0）（右）。嗯，嗯τVVEl。时间8 6 6 6 0.01 4.120 4.048 3.04E-2 3.05E-2 3.2110 8 8 0.005 3.746 3.681 6.30E-2 6.28E-2 19.1112 10 10 0 0.0025 3.805 3.738 4.84E-2 4.83E-2 88.7716 14 10 0.002 3.975 3.906 5.88E-3 5 5 5.82E-3 256.3020 14 10 0 0.000625 4.006 3.936 1.75E-3 1.80E-3 3 647.73表5.4：实验3中获得的RE是不同方向节点数和经过时间的函数。时间（年）0.0450.0500.0550.0600.0650.0700.075时间依赖时间独立图。

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2022-6-14 06:01:21

5.4：实验3参数的时间依赖函数（4.21）及其常数近似值（4.22）。对于欧洲香草认沽期权2，结果如表5.7所示。在这种情况下，期权到期时间较长，这显然会影响系统矩阵的la rgestiegen值。注意，在实验1-2中，我们处理的是（4.11）中的常数系统矩阵，因此可以应用算法1中描述的Krylov格式来计算解。本实验中获得的数值结果也如图5.2所示，以证明PMA的有用性以及我们的模型的人工边界的施加方式。图5.3提供了试验2的结果与使用FDKM获得的结果的比较。对于这两种方法，使用Krylov子空间方法作为时间步进解算器。可以看出，FDKM表现出一些不稳定性，甚至在vmax附近出现振荡，而RBF–FD方法在该区域提供了稳定的解决方案。产生这些振荡的一个可能原因是混合导数项的九点近似值，它不表示期权价格的正性。18 Soleymani和Itkin最后一个实验3很重要，因为它给出了与时间相关的系统矩阵，这使得获得数值解的整个过程更加困难。快速Krylov子空间方法不再适用于这里，我们依赖于显式改进的中点格式来随时间推进。由于OFFDKM速度非常慢，因此我们仅使用PM，并在表5.4中报告结果。该方法的收敛行为与之前的实验相似，但对于非常精确的解，需要耗费大量的CPU时间。我们还提供了一个测试，其中恒定平均回归水平在asin（4.22）中获得。

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2022-6-14 06:01:24

该近似值与时间相关水平的比较如下图所示。5.4. 在恒定水平的情况下，不需要时间步进解算器，可以利用Krylov子空间方法在实际合理的时间间隔内快速收敛。表5.6显示了这种情况下方法的收敛性，与表5.4相比，可以观察到更快的收敛性。由于Krylov方法“无步长”，即对步长没有限制，因此即使在一个时间步长内也可以获得解。然而，对于marchingalong，我们在每种情况下都使用了表5.4中给出的时间步长（4.20）。一旦τ非常小，可以达到预期的二阶近似值。6最后备注。在本文中，我们使用一个包含随机波动率和随机利率的四因素模型来考虑外汇期权的定价。由于该模型是马尔可夫模型，期权价格可以通过解一个抛物线型四维偏微分方程得到。由于模型的复杂性，该偏微分方程应进行数值求解。本文的主要思想是提出一种无网格方法，可以有效地解决这个问题，提供空间和时间上的二阶近似。利用高斯径向基函数构造空间离散化。这是因为对于全局RBF方法，它们提供了与所考虑ed模型中利率边际分布的相似性。然而，我们专注于局部高斯RBF–FD方法，以提供更好的性能。特别地，我们明确地推导了该方法的权值，该方法对于非等距节点具有二次收敛性。时间离散采用直线法。

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