因此，对于i=1，···，n，每个（一维）过程序列νiη·LiZε·ε> 0还满足大偏差原则，因为ε趋于零，速度ε-β和速率函数∧∑i（y）：=infn∧m（x）：x∈ Hm，y=νiη·Lixo。与定理3.3类似，每个过程序列νiη·LiZε·ε> 0和νiη·LiZε·-νi∑iνi（ε·）βε> 0是i=1···n的指数等价物；因此，它们在相同的速度ε下满足相同的大偏差原则-β和相同的速率函数∧∑i。我们现在定义算子gγ：C（T，Rn）→ C（T）asgγ（x）（·）：=vnXi=1γiexpνiη·x（·）,多因子粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性，25x：=（x，···，xn）。对于小扰动δ，···，δn∈ C（T）δ：=（δ，···，δn），我们有thatsupt∈T | gγ（x+δ）（T）- gγ（x）（t）|=支持∈TvnXi=1γiexp（νiη·（x（t）+δ（t）））- exp（νiη·x（t））≤ 支持∈T | v | nXi=1exp（νiη·x（t））（exp（δ（t））- 1)右侧趋于零，因为δ、···、δ等于零；因此，算子gγ相对于sup范数k·k是连续的∞在C（T）上。使用v（γ，ν，∑，ε）t=gγ（νiη·LiZε·-νi∑iνi（ε·）β）（t）对于每个ε>0和t∈ T，我们可以应用收缩原理，然后得出过程序列（v（γ，ν，∑，ε））ε>0满足C（T）上的大偏差原理，因为ε趋于零，速度ε-β和速率函数7→ inf∧∑i（x）：y=vnXi=1γiexpνiη·x)= inf（λm（x）：x∈ Hm，y=vnXi=1γiexpνiη·Lix).与前两个模型一样，对于所有ε>0和t∈ T，v（γ，ν，∑，ε）和v（γ，ν，∑）ε皮重相等定律，因此结果直接遵循。B、 5。命题5.2的证明。证据

我们知道内积hIg，Tf，Ig，TfiHg，T：=hf，f，iL[0，T]，其中Ig，Tf（·）=ZTg（·，s）f（s）ds，Hg，T={Ig，Tf:f∈ L[0，T]}。命题5.2的证明类似于[JPS18]中给出的证明，它由三部分组成。第一部分是为了证明Hg，T，h·，·iHg，T是一个可分的希尔伯特空间。很明显Ig，这是满射Hg，T。现在取f，f∈ L[0，T]使得Ig，Tf=Ig，Tf。对于任何t∈ [T，T+] 下面是RTG（t，s）[f（s）- f（s）]ds=0；应用Titchmarsh卷积定理，则意味着f=falmest everywhere，so Ig，T:L[0，T]→ Hg，这是一个双射。Ig是一个线性算子，因此·、·iHg实际上是一个内积；因此Hg，T，h·，·iHg，T是一个真正的内积空间。由于L[0，T]是一个完整的（希尔伯特）空间，对于函数{fn}n的每个柯西序列∈N∈ L[0，T]，存在一个functionef∈ L[0，T]使得{fn}n∈Nconverges toef∈ L[0，T]；还要注意{Ig，Tfn}n∈Nconvergesto Ig，Tef in Hg，T.假设存在f∈ L[0，T]使得f 6=ef和{Ig，Tfn}n∈n在Hg，T中收敛到Ig，Tf，然后，由于Ig是一个双射，三角形不等式yields0<Ig、Tf- Ig、TefHg，T≤Ig、Tf- Ig，TfnHg，T+Ig、Tef- Ig，TfnHg，T，当n趋于完整时收敛到零。因此f=ef、Ig、Tf∈ Hg，Tand Hg，是完整的，因此是一个真正的希尔伯特空间。由于L[0，T]可与可数正交基{φn}n分离∈N、 然后{Ig，TφN}N∈Nis是Hg，T的正交基，然后Hg，T是可分离的。证明的第二部分是证明存在稠密嵌入：Hg，T→ C[T，T+].

因为存在h∈ L[0，T]使得rε| h（s）| ds对于所有ε>0且g（T，·）=h（T- ·) 对于任何t∈ [T，T+],我们可以应用[Che08，引理2.1]，它告诉我们Hg，在C[T，T+] 所以我们选择嵌入作为包含映射。最后，我们必须证明每个f*∈ C[T，T+]*, 其中f*定义见【JPS18，定义3.1】，C上的isGaussian【T，T+], 方差kι*f*kHg，T*, 其中ι*是ι的对偶。取f*∈ C[T，T+]*,26克洛伊·拉孔贝（CHLOE LACOMBE）、艾托·穆古鲁扎（AITOR MUGURUZA）和亨利·斯通（HENRY Stone）根据以下事实（C[T，T+], Hg，T，u）是一个RKHS三元组，其参数与[FZ17，引理3.1]相似，我们使用[JPS18，备注3.6]得出：*允许等距嵌入ι*这样的话*f*kHg，T*= kf公司*kL（C[T，T+],u）=ZC[T，T+]（f）*)du=VAR（f*),其中u是由（C[T，T+], B（C[T，T+])) .B、 6。定理5.6的证明。证据首先我们重新调用Vg，T，εT：=Vg，T，εT-εγRtg（t，u）du+εγ/2。我们首先证明过程序列（Vg，T，ε）ε∈[0,1]和（eVg，T，ε）ε∈[0,1]是指数等效的[DZ10，定义4.2.10]。作为g（t，·）∈ L[0，T]表示所有T∈ [T，T+], 对于每个δ>0，存在ε*> 0这样的支持∈[T，T+]εγ/2*-εγ*RTg（t，u）du≤ δ. 因此，对于C[T，T+] 标准k·k∞我们有所有的ε*> ε>0，PVg，T，ε-eVg，T，ε∞> δ= Psupt公司∈[T，T+]εγ/2-εγZTg（t，u）du> δ!= 0.因此lim supε↓0εγlog PVg，T，ε-eVg，T，ε∞> δ= -∞, 所以这两个过程序列（Vg，T，ε）ε∈[0,1]和（eVg，T，ε）ε∈[0,1]是指数等价的；应用[DZ10，定理4.2.13]得出（eVg，T，ε）ε∈[0,1]满足C[T，T+] 速度ε-γ和速率函数∧V。我们现在证明了算子Д1、ξ和Д相对于C是连续的（[T，T+] ×[0，1]）和C[0，1]k·k∞分别为标准。这些证明非常简单，包括在内是为了完整性。

首先，我们取一个小扰动δf∈ C（[T，T+] × [0, 1]):Д1，ξ（f+δf）- Д1，ξ（f）∞= supε∈[0,1]s∈[T，T+]ξ（s）ef（s，ε）eδf（s，ε）- 1.≤ supε∈[0,1]s∈[T，T+]|ξ（s）| supε∈[0,1]s∈[T，T+]|ef（s，ε）| supε∈[0,1]s∈[T，T+]|eδf（s，ε）- 1|.因为ξ在[T，T+] f在[T，T+] ×[0，1]，它们都是有界的。明确eδf（s，ε）- 当δf趋于零时，1趋向于零，因此运算符Д1，ξ是连续的。现在取一个小扰动δf∈ C（[T，T+] × [0, 1]):Д（f+δf）- ^1（f）∞= supε∈[0,1]ZT公司+Tδf（s，ε）ds≤ M、 其中M：=supε∈[0,1]δf（s，ε）。很明显，当δf趋于零时，M趋向于零，因此运算符Д也是连续的。对于每个s∈ [T，T+] 我们得到如下结果：通过应用收缩原理[DZ10，定理4.2.1]，并使用ε7→ （Д1，ξf）（s，ε）是所有f的双射∈ C[T，T+] 因此，随机过程序列Д1，ξeVg，T，εs（s，ε）ε∈[0,1]满足大偏差原则C[0,1]，因为ε随速度ε趋于零-γ和速率函数∧∧Vs（y）：=λV（Д1，ξy）-1（s，·）= ∧V日志y（s，·）ξ（s）.多因素粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性27第二次应用收缩原理，则得出随机过程序列（（1，ξeVg，T，εs））（ε）ε∈[0,1]满足速度ε为C[0,1]的大偏差原则-γandrate函数∧VIX（x）=infs∈[T，T+]{∧V（Д1，ξy）-1（s，·）: x（·）=（Иy）（·）}。根据定义，流程的顺序（Д（Д1，ξeVg，T，εs））（ε）ε∈[0,1]几乎肯定等于重标度的VIX过程（eεγ/2VIXT，εγ/2）ε∈[0,1]因此满足相同的大偏差原则。附录C.数值公式为了简单起见，我们首先考虑简单的粗糙Bergomi（2.4）模型，并进一步发展附录C.3中的混合多因素粗糙Bergomi（2.6）模型（其中还包括（2.5））。

因此，我们处理了速率函数∧∧v（y）：=inf{∧v（x）：y=RV（x）（1）}的数值计算。反过来，该问题相当于以下优化：（C.1）^∧v（y）：=inff∈L[0,1]||f | |：y=RV经验值Z·Kα（u，·）f（u）du(1).一种自然的方法是考虑L[0，1]中稠密的一类函数。Stone-Weierstrass定理指出，闭区间上的任何连续函数都可以用多项式函数一致逼近。因此，我们考虑多项式基{f（n）（s）=nXi=0aisisuch，即{f（n）}ai∈当n趋于+∞. 问题（C.1）可通过∧vn（y）：=infa近似∈注册护士+1||^f（n）| |：y=RV经验值Z·Kα（u，·）f（n）du（u）(1),其中a=（a，…，an）。为了获得解决方案，首先需要约束y=RV经验值R·Kα（u，·）f（n）（u）du（1） 需要满足。为了实现这一点，我们考虑将其中一个系数固定在^f（n）中，以便（C.2）a*i=argminai∈R(y- RV经验值Z·Kα（u，·）f（n）（u）du(1))对于向量a的所有组合，约束将得到满足*= （a，…，ai-1，a*i、 ai+1。。。，an）。在数值上，（C.2）很容易用牛顿-拉斐逊算法的几次迭代来求解。那么我们可以很容易地解决*∈注册护士+1||^f（n）||这将收敛到原始问题（C.1）为n→ +∞. 多项式基特别方便，因为我们有（C.3）RV经验值Z·Kα（u，·）f（n）（u）du（1） =Zexpη√2α+1nXi=0aisα+1+iF（i+1，-α、 我+2，1）我+1！ds、28 CHLOE LACOMBE、AITOR MUGURUZA和HENRY STONEwhereFdenotes提出了高斯超几何函数。具体地，可以存储值{F（i+1），-α、 i+2，1））}ni=0，并通过不同的迭代重用它们。

此外，使用高斯-勒让德求积（即RV）有效计算（C.3）中的外积分Z·Kα（u，·）f（n）（u）du(1) ≈mXk=1expη√2α+1nXi=1ai（1+pk）α+1+iF（i+1，-α、 我+2，1）我+1！wk，其中{pk，wk}mk=1分别是m阶勒让德点和权重。C、 1。数值格式的收敛性分析。在图10中，我们报告了绝对差异|^∧vn+1（y）-^∧vn（y）|，我们观察到距离随着近似多项式次数n的增加而减小。我们必须逐步确定执行最小化步骤的两个数值例程的默认公差为10-8，因此，我们不能期望获得比公差更高的精度，这就是为什么一旦获得该精度，图10就会变得嘈杂。我们注意到，在图10中，我们观察到一个快速收敛，并且仅在n=5时，我们通常获得10的精度-图10。后续近似多项式的绝对差|^∧vn+1（y）-^∧vn（y）| C.2。为粗波动率量身定制的多项式基础。我们可以通过考虑定制的多项式基来改进之前方法的计算时间。特别是，回想以下关系zskα（u，s）ukdu=uα+1+kF（k+1，-α、 k+2）k+1，多因素粗糙波动率模型中波动率导数的渐近性29然后，对于k=-α - 1我们得到zskα（u，s）u-α-1du=F(-α, -α, 1 - α, 1)-α、 这又是一个常数，它不依赖于积分上界s.命题C.1。考虑基础^g（n）（s）=cs-α-1+Pni=0aisi，其中c∈ R、 那么，对于c=c*withc*=-αη√2α+1F(-α, -α, 1 - α、 1）日志年有效期η√2α+1（Pni=0aisα+1+iF（i+1，-α、 i+2,1）i+1ds公司,^g（n）（s）解（C.2）。证据我们有那辆RVZ·Kα（u，·）^g（n）（u）du（1） =经验值η√2α + 1-αF(-α, -α, 1 - α, 1)×Zexpη√2α+1nXi=0aisα+1+iF（i+1，-α、 我+2，1）我+1！Ds，然后通过解y=RV来证明R·Kα（u，·）^g（n）（u）du(1). 备注C.2。

注意，命题C.1给出了（C.2）的半闭形式解。然后，我们只需要解inf（a，…，an）∈注册护士+1||^g（n）| |：c=c*以恢复（C.1）的解决方案。备注C.3。请注意，u-α-1/∈ L[0，1]，但u-α-1{u>ε}∈ L[0，1]表示所有ε>0。此外，ZsKα（s，u）u-α-1{u>ε}du=F(-α, -α, 1 - α, 1)-α-ε-αsαF(-α, -α, 1 - α、 εt）-α=F(-α, -α, 1 - α, 1)-α+O（ε-α） 因此，对于ε非常小的情况，只要α6=0，误差就有界。在我们的应用中，我们发现该方法对α表现良好∈ (-0.5, -0.05]. 在图11中，我们提供了精确的误差，我们观察到，对于小α（这是相当令人惊讶的行为，因为当波动轨迹变得更加粗糙时，其他近似方案的情况正好相反）以及货币周围的罢工，收敛性更好。此外，在数值试验中，截断基方法将速度提高了30倍。作为基准，我们考虑（C.2）中介绍的标准数值算法，其精度由绝对误差衡量。C、 3。多因素情况。相关的混合多因素粗糙Bergomi（2.6）模型需要更为复杂的设置。根据推论3.15，我们针对的速率函数由以下多维优化问题给出：（C.4）^∧（v，∑）（y）：=inf（f，…，fn）∈L[0,1]（nXi=1 | | fi | |：y=RVmXi=1γiexpνiη∑ifKα。u（1） 、30克洛伊·拉孔贝、艾托·穆古鲁扎和亨利·斯通图11。速率函数的绝对误差。我们考虑了基于η=1.5、v=0.04和α不同值的标准多项式基的截断基方法。其中fKα=R·Kα（u，·）f（u）du。。。，R·Kα（u，·）fn（u）du. 解决此问题的方法与（C.1）类似。

然而，为了求解（C.4），我们将使用多维多项式基^f（p）（s）。。。，^f（p）n（s）=pXi=0aisi。。。，pXi=0anisi！每个^f（p）i（s）表示i∈ {1，…，n}是稠密的，因为p趋于+∞ 在L[0，1]中，Stone-WeierstrassThermore。然后我们可以等价地求解（C.5）inf（a，…，ap，…，an，…，anp）∈R（p+1）n（nXi=1 | |^f（p）i | |：y=RVmXi=1γiexpνiη∑i^f（Kα，p）。u（1） ，其中^f（Kα，p）=R·Kα（u，·）f（p）（u）du。。。，R·Kα（u，·）f（p）n（u）du. 然后当p趋于+∞, （C.5）将收敛到原始问题（C.4）。为了从数值上加速（C.5）中的优化问题，我们确定了系数（a，…，an），以满足约束y=RV（·）（1）（与一维情况下的方法相同），即*:= inf（a，…，an）∈注册护士y- RVmXi=1γiexpνiη∑ifKα。u(1)!其中a*= （a1*, ..., 一*) 可以使用（C.3）和高斯-勒让德求积来有效地计算v（·）（1）。然后，该约束将始终通过构造得到满足，相反，我们可以求解（C.6）inf（a1*,一ap，。。。，一*,一anp）∈R（p+1）n（nXi=1 | |^f（p）| |）。附录D.指数等效和收缩原则定义D.1。在度量空间（Y，d）上，如果存在概率空间，则两个Y值序列（Xε）ε>0和（eXε）ε>0称为负等价（速度为hε）(Ohm, Bε，Pε）ε>0，因此，对于多因素粗糙波动率模型中的波动率导数，如果ε>0，Pε是（eXε，Xε），ε>0的联合定律，对于每个δ>0，setnω：（eXε，Xε）∈ ΓδoisBε-可测量，和LIM supε↓0hεlog Pε（Γδ）=-∞,式中，Γδ：={（y，y）：d（y，y）>δ} Y×Y。定理D.2。设X和Y是拓扑空间，f:X→ Y连续函数。考虑一个好的速率函数I:X→ [0, ∞]. 对于每个y∈ Y、 定义I（Y）：=inf{I（x）：x∈ 十、 y=f（X）}。

然后，ifI控制与X上的一系列概率测度{uε}相关联的LDP，ICO控制与概率测度{uε}相关联的LDPo f-1} 关于Y和Iis，Y上的一个好的速率函数。附录E.vφ（d（x））=xφ（d（x））的证明为了证明vφ（d（x））=xφ（d（x）），我们将证明以下等价结果（d（x））- （d（x））=2对数vx公司.证据回想一下，φ（·）是标准高斯概率密度函数。将其用于x≥ 0，d（x）=对数（v）-对数（x）^σ（x，T）√T+σ（x，T）√T和d（x）=d（x）- ^σ（x，T）√T，我们得到（d（x））- （d（x））=（d（x））-d（x）- ^σ（x，T）√T,= 2d（x）^σ（x，T）√T- T^σ（x，T），=2日志（v）- 对数（x）+σ（x，T）T- T^σ（x，T），=2对数vx公司.参考文献[AGM18]E.Al\'os、D.Garc'a-Lorite和a.Muguruza。关于波动性衍生品和奇异产品的微笑特性：理解波动率偏差。arXiv:1808.03610，2018年。[ALV07]E.Al\'os、J.Le\'on和J.Vives。关于具有随机波动率的跳变扩散模型的隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（4），571-5892007。【AP18】M.Avellaneda和A.Papanicolau。波动率指数期货的统计及其在交易波动率交易所交易产品中的应用。《投资策略杂志》，第7卷，第2期，1-332018年。M.Abramowitz和I.A.Stegun。数学函数手册，包括公式、图形和数学表格。纽约多佛，1972年。【AT07】R.J.阿德勒和J.E.泰勒。随机场和几何体。Springer Verlag，纽约，2007年。【2008年10月】L.Bergomi。《微笑动力学III.风险》，2008年10月90-96日。【16】L.Bergomi。随机波动率建模。查普曼和霍尔/CRC金融数学系列，2016年。【BFG16】C.拜耳、P.K.弗里兹和J.Gatherel。粗略波动下的定价。《定量金融》，16（6）：887-9042016。【BFGHS17】C.拜耳、P.弗里兹、A.古利萨什维利、B.霍瓦思和B.斯坦珀。

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