ARIMA模型旨在根据在特定时间间隔内收集的先前值的观察结果预测时间序列。事实证明，固定时间序列有一组非常有限的属性来充分描述它们。这些属性被编码在theacronym-ARIMA中，它代表自回归积分移动平均值。自回归（AR）意味着时间序列的下一个值可以预测为其先前值的倍数（可能加上一个常数项）。整合（I）意味着时间序列应考虑（也）先前值之间的差异，而不是（仅）值本身。移动平均（MA）最终表明，时间序列的最佳预测方法不是考虑las t观测值（如无记忆的随机游动），而是考虑之前观测值的平均值。这三个属性AR、I和MA中的每一个都可以按特定顺序呈现。对于AR，这个顺序r是自回归项的数量rp，对于I，是相关差异的数量d，对于MA，是包含在平均值中的最近观测值的数量q。AnARIMA模型是通过选择这三个数字作为ARIMA（p、d、q）模型来确定的。如果可用于校准ARIMA模型的观测数量较少（因为这是我们工作的基础），考虑高于一个或两个参数的阶数通常没有意义，因为无法可靠估计高阶校正项的相应系数。注S4：LRT和VAR模型的比较向量自回归（VAR）模型可用于描述由多个其他变量的线性依赖性驱动的随机过程。

在我们的案例中，我们可以将c国的部门产出Yck（t）视为一个随机过程，它可能取决于同一国家的所有其他部门在过去时间段的产出Ycj（t- 1） 带j∈ {1，…，N}。注：tARIMA模型假设每个部门的产出变化只能根据同一部门过去的值进行预测。通过将LRT模型与aVAR模型进行基准比较，我们可以超越这一限制，并将RT框架与回归模型进行测试，回归模型以更全面的方式捕获行业间依赖ie的结构。VAR模型的缺点是，它们不能很好地随系统规模扩展。对于N=56个部门的一阶VAR模型，需要估计不少于N=3136个不同参数。因此，鉴于我们对每个扇区只有15个观测值，从数据中指定扇区ALVAR模式l是完全没有希望的。然而，我们可以使用一种策略来校准部门VAR模型，该模型与我们在LRT框架中测量响应函数的方式类似。假设经济可以用托卡斯蒂克微分方程表示，˙Y=（A- 一） Y+D+F（t），（11）我们为每个部门的产出生成了10000个合成观测值。使用超级计算资源（维也纳科学集群3，全球100台速度最快的计算机之一(http://vsc.ac.at/systems/vsc-3/，于2018年9月14日访问。）然后，我们能够使用每个国家一年（t=2000）的数据估计一阶VAR模型的参数。从结构上看，模式l没有线性趋势。仍需估计每个国家c的自回归矩阵Arc的中心s，由Yck（t+1）=ARcYck（t）+eck（eckbeingthe intercepts）给出。然后，我们将该VAR模型的预测与LRT模型的预测进行比较，与ARIMA模型的比较类似。结果如图S7所示。

几乎在所有年份和国家，LRT模型的性能都远远优于VARmodel（p<10-117). LRT模式的优势在2009年和2010年最为明显（在这两个年份，LRT的表现仍明显更好），而其他年份的可预测性在1到2之间。请注意，这些结果是基于2000年校准的VARmodel得出的，这只是因为超级计算资源的昂贵要求。对于单个国家（德国），我们评估了几个月后的VAR模型a lso，尤其是2008年的危机。然而，我们发现定性上与图中所示的结果相同。S7，可预测性增益主要在1到2之间。注S5：输入-输出经济模型y的格林-库伯关系推导≡ {yi（t）}，i=1，N是描述动力系统时间演化的随机变量。在下文中，我们假设系统是线性和时不变的。线性意味着系统的时间演化由线性算子控制。时间不变性意味着系统的响应不依赖于我们施加冲击的时间。我们用系统的概率密度函数f（y，t）来描述系统的状态。系统的时间演化由一个线性时间算子L（y）来描述，例如阿福克-普朗克算子。一般来说，L（y）可以是任何线性算子，其f（y，t）的稳态解适用于RT框架。此外，系统受到时间相关的外场X（t）的干扰，即我们允许外场随时间任意变化，但不作为随机变量y的函数。。在扰动下，f（y，t）的时间演化由扰动算子∧X（y，t）描述为∧X（y，t）=L（y）+LX（y，t），（12）LX（y，t）=LX（y）X（t），（13），从而ft=L（y，t）f（y，t）。

（14） 让我们表示Lby f（y）的平稳解，由L（y）f（y）=0给出。响应函数考虑形式为f（y，t）=f（y）+的平稳解的小扰动f（y，t）。对于时间演化，我们有˙f（y，t）=˙f（y，t）=∧X（y，t）f（y，t）（15）=（L（y）+LX（y，t））（f（y）+f（y，t））（16）=L（y）f（y，t）+LX（y，t）f（y）。（17） 可以使用拉普拉斯变换的众所周知的性质来求解Above方程，拉普拉斯变换由▄f（s）=Rtdte给出-stf（t）。对于方程的l.h.s.˙f（y，t）=l（y）f（y，t）+LX（y，t）f（y），我们得到，˙f（y，t）=˙f（y，t）=sf（s）- f（0），（18），我们可以使用它f（0）=0。r.h.s.简单地转换为L（y）f（y，t）+LX（y，t）f（y）=L（y）~f（s）+f（y）~LX。我们获得，f（s）=▄LXf（y）s- L（y）。（19） 现在我们将拉普拉斯逆变换应用于thel。h、 公式19的s.和r.h.s。因此，我们利用拉普拉斯变换的性质，即（i）对于函数的乘积，我们有▄f（s）▄g（s）=Rdτf（τ）g（t- τ） （ii）指数函数Eat转化为1/（s）-a） 。利用这些适当的关系，等式19变为f（y，t）=Zt-∞dτeL（y）·（t-τ）LX（τ）f（y）。（20） 我们现在对所考虑的扰动下任何动力变量B（t）的期望值感兴趣。形式上，我们有HB（t）i=ZdNyB（y）f（y，t）（21）=hBi+ZdNyB（y）f（y，t）。（2）通过插入溶液式20中得到的f（y，t），我们得到HB（t）i=hBi+Zt-∞RB，X（t- τ） X（τ）dτ，（23），其中RB，X（t）是响应函数RB，X（t）=ZdNy B（y）eL（y）tLX（y）f（y）t≥ 0，RB，X（t）=0表示t<0。（24）RB，X（t）描述了变量或可观测B（t）对外力X（t）的响应。相关函数响应函数可以用可观测的A（y（t））和B（y（t））之间的平衡相关函数cA，B（τ）表示，且滞后τ。

Firs t，observethatcA，B（τ）=hA（y（τ））B（y（0））i（25）=ZdNy dNyA（y）B（y）P（y，τ；q，0），其中P（y，τ；y，0）是系统在t=0时处于c配置中，在t处处于co配置中的联合概率。这可以写成asP（y，τ；y，0）=P（y，τy，0）P（y，0）。（26）这里，P（y，τ| y，0）是系统从状态yat t=0演化到状态y at t的条件概率。形式上，该条件概率等于传播子eL（y）·τδ（y- y） 。注意，P（y，0）是固定溶液f（y）。对于平衡相关函数，这意味着Ca，B（τ）=ZdNy A（y）eL（y）·τB（y）f（y）。（27）将函数A（y）定义为A（y）≡ f-1（y）LX（y）f（y），并通过关系式f（y）引入广义势φ（y）≡ 东北部-φ（y），（28），N为归一化常数。根据这些定义，我们重新编写相关函数ascB，A（τ）=ZdNy B（y）eL（y）tLX（y）f（y），（29），并得到cb，A（τ）=RB，X（τ）的结果。（30）对随机过程的应用考虑到一个作用在部件i上的外力为Xi（t）的随机动力系统，随机力为FR，i（t）i=0和hFR，i（t）·FR，j（t′）i=ijδ（t- t′）。特别地，我们考虑类型为˙yi+NXj=1γijyj=FR，i（t）+Xi（t）的线性系统。（31）很明显，我们在正文中考虑的随机IO动力学属于上述类型。为此，请注意，始终可以使用formY的变量转换→ y=y- （一）- （A）-1D将IO模型改写为齐次微分方程。从现在起，我们将使用求和转换。yi（t）和yj（t）之间在静止状态下（在没有外部冲击的情况下）的协方差用σij（t）=h（yi（t）表示- hyii）（yj（t）- hyji）i，a和σij（t→ ∞) ≡ σij。根据中心极限定理，该过程的平稳解立即由f（y）=p（2π）N |σ| exp给出-(σ-1） ijyiyj.

（32）扰动的形式为LX（y，t）=LX（yi）Xi（t）。我们可以确定时间演化算子LX（yi）和广义势φasLX（yi）=易；φyi=（σ-1） ijyj。（33）分量i对外力的响应为thenRyk，Xi（t）=（σ-1） ijhyk（t）yj（0）i·Xi（t）。（34）我们根据以下三个假设得出了这些结果，即我们的系统是（i）线性的，（ii）时间不变的，（iii）外部磁场仅在时间上结束。此外，我们只考虑了式17中的一阶修正项，因此忽略了潜在的非线性高阶效应。中心极限定理对平稳解的适用性是这些假设的另一个结果。请注意，许多经济时间序列遵循厚尾或幂律分布的事实与平稳解由多重正态分布给出的性质并不矛盾。毕竟，由于直接和间接冲击的无障碍影响，没有理由假设在数据中实际观察到的任何时间点上都可以得到稳态解f（y）；f（y）是计算的拐杖。注S6：关于敏感性矩阵和Leontief逆矩阵之间的差异，我们在注中阐明了敏感性矩阵ρ和Leontief逆矩阵之间的差异。特别是，对于LRT中的阶跃需求冲击，我们发现一个由线性关系h给出的非平衡稳态YiX=ρX，而在“标准”LeontiefIO经济体中，我们预计扰动平衡状态为Y=（I- （A）-1X。这两种表达的根本区别在哪里？为了获得输出变化的LRT解决方案，我们用随机微分方程描述Leontief IO模型，见正文中的公式（5），˙Y=（a- 一） Y+D+X（t）+F（t）。

（35）在没有冲击（X（t）=0！）在支持注释S5，等式（32）中给出；这是一个概率密度函数（我们将变量更改为具有齐次方程Y→ y=y- （一）- （A）-1D），f（y）=p（2π）N |σ| exp-（yσ-1） y型. （36）LRT预测是使用该概率密度计算的期望值，该概率密度是一个多变量正态分布，集中在未扰动Leontief IO模型的解上，（I- （A）-1D，当用变量Y表示时。对于阶跃需求冲击，我们得到方程（9）作为平稳解（t→ ∞),h类YkiX=ρkiXi，ρki=Z∞(σ-1） ijhYk（τ）Yj（0）idτ，（37），其中h·ime表示期望值是在假定fas基本概率密度函数的情况下计算的。我们强调等式（37）s如何表示非平衡期望值（hykix（对于X 6=0）可以根据已知的平衡膨胀值来定义，即ρkiin公式（37）。扰动Leontief IO模型中输出变化的计算将沿着不同的路线进行。让我们再次考虑阶跃需求冲击X（t）=Xθ（t）。我们现在对这种需求冲击下的经济均衡状态感兴趣。因此，我们引入了扰动需求，DPas DP=D+X，以及随机微分方程的平稳解，Y=（A- 一） Y+DP+F（t）。（38）形式上，Eqs。（35）和（38）相同。然而，扰动平衡观点假设了一个不同的静态解，即fp（z）=p（2π）N |σp | exp-（zσP-1） z, （39）其中z=Y- （一）- （A）-1DP6=Y- （一）- （A）-1D和（σP）ij（t）=h（zi（t）- hzii）（zj（t）- 带σP（t）的hzji）i→∞) ≡ σP。正如可以预期的那样，q的稳态。（38），即Y代表t→∞, 现在是在微扰平衡态（I）周围的多元正态分布- （A）-1DP。

很明显，该解与LRT解forDP=D一致，即在没有冲击的情况下，X=0。此外，只有当X=0时，计算磁化率矩阵和输出变化的相应膨胀值才能由分布fP（z）给出。在本注释中，我们现在遇到了三种不同类型的经验值，即（i）使用测度f的平衡期望值，h·i，（ii）fP给出的扰动平衡期望值，称为ith·iP，以及（iii）非平衡期望值h·iX。这三个期望值仅在没有冲击的情况下一致，X=0。从物理学的角度来看，他们描述了三种不同类型的系统，即系统放松到状态（i）f，（ii）fP，或（iii）f，同时响应外部驱动力X（t）（物理学家会说外力X“对系统起作用”）。在物理学中，后一类系统与“耗散结构”密切相关，即处于稳定非平衡状态的系统，由与环境的能量和/或物质交换驱动。简言之，虽然LRT和扰动IO方法都是从相同的s-tochastic微分方程开始的，但方程。（35）和（38），他们对期望值的定义存在根本差异。与扰动平衡法中Leontief IO模型中的预期值相比，LRT法假设系统的静态解在施加外部冲击后不会改变。将LRT模型的预测与扰动Leontief IO模型的预测进行比较，也可能是有益的，即预测hY（t+t） iP=（I- （A）-1▄X，其中▄Xis为式（2）中的隐含冲击。

我们必须强调，这样的比较是有问题的，因为隐含冲击的使用仅在LRT框架中得到适当定义，而对于使用per turbed IO模型的ecast，如上所述，假设了不同类型的动态系统。从这个意义上讲，这两个模型是不兼容的，不应该像我们在这里所做的那样在eq-ualfooting上处理。然而，与时间序列模型的比较一样，使用s amevaluation策略，我们发现LRT预测显著优于扰动模型的预测（p<10-90); 另请参见补充图10。经济敏感性，ρc0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06belnldsvkirlitadeuendensvnhunjpnmexfinestcanautsweczetturbandruschn经济敏感性，ρc0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06norluxtwnmltgrckorrvlvaypusaltugbrbgrndkausfrapolprtrouchespfig。5： 补充图1：根据各国对经济冲击的易感性对其进行排名，以国家各部门的易感性平均值计算。误差条表示部门合格率的标准偏差。表1：补充表1：许多现象学定律可以通过线性响应理论来理解。这些定律的形式都是J=ρX，其中X是一个引起flux J的扰动。响应J的大小与扰动X成正比。