本节的证明见附录A.4。定义o一个正随机变量A，尾部分布p[A>t]=S（t）（1- 对数S（t）），（11），其中生存函数S（t）=P[τ>t]=exp(-t的Rtλ（s）ds）≥ 0.oτ的指数矩- t以τ>t为条件，即Mτ（p，t）=e[ep（τ-t） τ>t]S（t），其中表示集合D的零一指示函数 Ohm.o 函数κA，τ：R→ RκA，τ（p）=MA（p）Mτ（p，0）- MA（p），（12），其中MA（p）：=E【epA】是A的指数矩母函数。接下来，我们给出了在对数效用下的最优策略。证据见附录。tontine结构中的最优策略是退休人员投资固定比例ω*（t） =w*=u - 风险股票中养老金储蓄的rσ（13），该比例仅取决于市场参数。避免了风险股票的卖空，即由于u>r的假设，该比例永远不会为负。然而，r，u，σ的合理值可以导致风险股票的投资组合超过100%。如果禁止借入无风险债券，那么在这些情况下，最优投资策略是100%投资风险股票，最优消费和tontine分配不变。在对数效用下，养老金储蓄的最优消费率为确定性利率C*（t） =ρ1- (1 - bρ）Mτ(-ρ、 t），（14）时间t≥ 0，这仅取决于退休人员的特征，即他们的遗赠动机相对于自身消费的强度，他们的时间偏好率ρ和他们的死亡函数力（通过函数Mτ(-ρ、 t））。指出了最优消费率的以下界限和限制特征。最佳消费比例c*满足不等式min（ρ，1/b）≤ c*≤ 最大值（ρ，1/b），其中约定1/0=∞ 用于b=0。

特别是，如果ρ=1/b，则ρ=c*= 1/b是恒定的。此外，如果限制↑∞λ（t）=λ(∞) < ∞, 然后是c*（t）→ (ρ + λ(∞))/（1+bλ(∞)). 同样，如果限制↑∞λ（t）=λ(∞) > 0，然后是c*（t）→ (ρ/λ(∞) + 1)/(1/λ(∞) + b） 。分配恒定比例α是最优的*=1.- bρ1+bρκA，τ(-ρ） （15）将退休人员的养老金储蓄存入tontine账户。这个最佳比例仅取决于退休人员的特征。一般来说，α*≤ 1成立，这是因为AHA的尾巴比τ重。然而，存在b和ρ的值，使得α*为负。确保最优α的非负性*, 上面的表达式意味着我们必须选择ρ<1/b。否则，养老金储蓄分配给tontine的最佳比例是α*= 如果没有遗赠动机，即b=0，则所有财产都分配给tontine账户α*= 1、遵循上述最优策略产生的养老金总储蓄过程为x*（t） =xexpr+u - rσt+Zt（α*λ（u）- c*（u） ）du+u- rσW（t）,这是一个几何布朗运动。6.1. 显式结果在对数效用下在本节中，我们研究托尼账户中的最佳常数比例如何随遗赠动机的强度而变化。我们计算了在不同的遗赠动机强度下，随着退休人员年龄的增长，最优消费率是如何变化的。我们发现，随着遗赠动机的增强，对在线账户的投资减少。此外，最优消费率作为养老金储蓄账户总价值的一部分，随着退休人员的年龄增长而增加。对于市场参数r=0.05、u=0.085和σ=0.2，对数效用下的最佳投资策略（由等式13给出）是将87.5%的养老金储蓄投资于风险股票，其余部分始终投资于无风险债券。

随着遗赠动机的增强，我们计算退休人员应向tontine账户分配多少（图B.2.8）。由于没有遗赠动机（b=0），退休人员将其所有财富分配给托丁人，即托丁人是纯托丁人的成员。一旦存在遗赠动机（b>0），托尼账户中的百分比就会下降，在b=5时达到50%。然而，从图B.2.8中线条的曲率可以看出，摔倒率随着遗赠动机的增强而降低。利用对数效用函数，我们可以计算每个年龄段的最佳消费率，即剩余养老金储蓄的消费率。它是由等式（14）给出的确定率。我们在不同年龄段（退休人员65岁至0岁）评估其遗赠动机的不同强度（图B.2.9）。最高消费率出现在遗赠动机较低的情况下（b=1）。退休人员有更多的动机去消费他们的财富，而不是把财富留给他们的财产。随着遗赠动机的增强，退休人员为了把钱留给他们的遗产而减少了消费。然而，随着退休人员年龄的增长，消费率随着遗赠动机的强度而不同。65岁时，各种遗赠动机的消费率接近7%（b∈ {1, 2, . . . , 7}). 90岁时，遗赠动机相对强烈（b=7）的比例为8%，而遗赠动机相对较弱（b=1）的比例为18%。重要的是要注意，随着时间的推移，养老金储蓄可能会贬值，因为退休人员会通过消费耗尽他们的资金。结论：我们推出了一种新的诽谤产品，称为现代遗赠托汀，它使退休人员有机会获得终身收入，并将遗赠留给他们的遗产。

每个退休人员的养老金储蓄分为两个账户，一个叫做托丁账户，另一个叫做遗赠账户。tontine账户是更广泛的tontine池的一部分，这对退休人员来说意味着两件事。一个是tontine账户吸引了长寿积分，这是tontine池中死亡释放的资金份额。只要退休人员还活着，这些长寿积分在最坏的情况下是零——相当于没有人在tontine池中死亡——否则它们是绝对积极的。tontine账户的第二个含义是，退休人员的tontineaccount价值在其死亡后会损失到该退休人员的遗产中。这是生前获得长寿积分所付出的代价。tontine账户和遗赠账户由于投资回报而以相同的速度增长，由于消费而以相同的速度收缩。然而，只有tontine账户获得长寿积分。因此，它的增长速度将超过遗产账户。该产品的一个关键特征是账户价值不断重新平衡，以保持其在固定比率下的相对价值。重新平衡的结果是，一些长寿积分有效地从tontine账户转移到了遗赠账户。将长寿积分转入遗赠账户价值意味着，尽管其价值可能会在几年内下降（取决于获得的投资回报和消费率），但最终其价值开始上升。这是由于随着退休人员年龄的增长，LongevityCredit的规模不断增加，其本身与退休人员的死亡率及其账户总价值的乘积成正比。现代遗产托丁机制基于托丁机制，该机制在精算上是公平的，超出了时间段。

这对于重新平衡这两个账户以及直接将长寿积分从tontine账户转移到遗赠账户至关重要。长寿积分是给予退休人员的“积极”奖励，因为退休人员在短时间内冒着巨大的账户价值风险而没有死亡。退休人员在短时间内死亡后，tontine账户的损失是“负”回报。在精算公平机制中，考虑到退休人员在每个短期内存活或死亡的事件以及每个事件的奖励价值，奖励的预期价值为零。长寿积分属于退休人员，更广泛的tontine池对他们没有要求，除非他们保持在tontineaccount范围内。呈现的产品具有风险和不确定性。它不能保证退休收入的合理水平将终身支付，也不能保证他们遗产的一定水平。然而，当退休人员决定从他们的养老金储蓄中提取多少来维持生活，并且没有统筹安排时，收入下降既不能保证合理的退休收入，也不能保证一定水平的遗产。传统的终身年金确实保证了终身退休收入，但它不支付遗产。然而，该产品可能对退休人员非常有吸引力。在对大约180名精算师进行的民意调查中，50%的精算师在向他们描述了拟议的产品后选择了该产品。另有25%的人选择了一种纯正的tontine产品，其余的人在传统的终身年金合同和收入下降之间平均分配。在介绍了我们新的创新产品之后，我们的主要研究问题是，退休人员应该向tontine账户分配多少资金。

我们将其定义为效用最大化问题，其中退休人员希望最大化贴现的预期消费效用和遗产金额之和。应用于遗产金额贴现预期效用的权重允许我们改变遗产动机的强度。使用幂效用函数，我们发现了两个有趣的结果。首先，随着风险规避水平的提高，退休人员将其养老金储蓄的一部分存入tontine账户，无论遗赠动机的强度如何，该账户都是相当稳定的。随着TheRetrie变得不那么规避风险，这一比例开始下降。对于最强烈的遗赠动机来说，下降的速度最大。然而，我们的第二个有趣的结果是，对于风险厌恶程度非常低的退休人员，分配给tontine账户的比例会增加。原因是，遗赠账户在老年时可能非常大。风险厌恶程度最低的退休人员押注于长寿，他们不仅从消费中获得效用，还从巨额遗产账户价值中获得效用。我们的结果基于强有力的假设。我们假设寿命是完全混合的，退休人员未来的死亡率分布没有不确定性。这两种假设在实践中都不太可能成立。新提议的结构，即现代遗产托汀（tontine with bequest）在实践中的运作情况如何，以及托汀成员的有限性和未来死亡率分布的不确定性，仍有待证明。致谢本研究由精算师协会和精算师学院精算研究中心资助，“最小化寿命和投资风险，同时优化未来养老金计划”。作者对这笔资金表示感谢。作者感谢一位匿名裁判对提交的手稿发表了非常有益的评论。参考Babbel，D.和Merrill，C.（2006）。

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（16） 此外，我们用^fn表示所有局部n-可积（Ft）-可预测过程的集合。引理A.1。无论（Ft）和τ是否独立，对于（Gt）-可预测过程ω，存在一个（Ft）-可预测过程ν，使得ω（t）τ≥t=ν（t）τ≥t对于所有t≥ 0。（17）在（Ft）和τ独立的情况下，使得（16）为真，对于ω∈^Gn，存在ν∈^Fnsuchthat（17）成立。证据如Protter（2005，第370页）所述，第一个陈述源自单调类定理的应用。对于第二条语句，考虑setDt=n u≤ t:Zu |ν（x）| ndx=∞ofor t≥ 0。（18）根据（17），ω的局部可积性确保了ν的局部可积性，直到时间τ，henceDt {τ<t}对于所有t≥ 0。（19）根据Dellacherie和Meyer（1978，第43页，定理13和第58页，定理33），可测投影定理确保dt是一个可测集，属于F∞. 特别是，假设（16）意味着1>所有t≥ 现在，我们通过矛盾论证v是一个局部可积过程。因此，我们假设v/∈^Gnand反过来假设存在s≥ 0，使得P[Ds]>0。从（20）来看，1>P[Ds]>0。（21）对于（19）和（21），P[τ<s]>0。将其与（16）相结合，表明1>P[τ<s]>0。将这两个最后的结果与（19）一起使用，我们发现P[Ds∩ {τ ≤ s} ]=P[τ≤ s] >P[Ds]P[τ≤ s] ，与（Ft）和τ之间的独立性相矛盾。备注A.2。在引理A.1中，像（16）这样的假设是必要的，以确保ω的局部可积性意味着ν的局部可积性，如下例所示。让Ft={Ohm, }, letτ~ U（0，1）为独立随机变量，设ω（t）=（1-τ ∧t）-1对于所有t≥ 0。则ν（t）=（1-t）-1对于所有1>t≥ 0和ν不是局部可积的，而ω是局部可积的。下一个引理表明，第6节中对数情况的问题公式定义得很好。引理A.3。

Letω∈^和0≤ c∈^G，α≤ 那么在对数情况下，问题（10）中目标函数期望值内的被积函数是拟可积的，且为Hzτe-ρslogc（s）X（s）ds+be-ρτ对数(1 - α） X（τ）i<∞. （22）更精确地说，上述积分中的两个求和都是拟可积的，并且其期望值小于∞.证据根据Protter（2005年，第84页，定理37），方程（1）有一个唯一的解，可以用以下方式表示，X（t）=xexpZt（1- ω（s））r+ω（s）u+αλ（s）- c（s）-σω（s）ds+Ztσω（s）dW（s）.取对数yieldslog X（t）=log X+Zt（1- ω（s））r+ω（s）u+αλ（s）- c（s）ds+Ztσω（s）dW（s）-Ztσω（s）ds。（23）现在，我们估计（22）中出现的项。由于xis是一个常数，以下估计值成立。EhZ公司∞e-ρt日志x+t型≤τdti≤日志x+Z∞e-ρtdt=（对数x）+p<∞, （24）Ehe-ρτ日志(1 - α） x个+我≤日志(1 - α） x个+< ∞. （25）以下函数在上面有界，因为它是二次函数和凹函数，f（u）=（1- u） r+uu-uσ表示u∈ R、 因此，以下估计是正确的。EhZ公司∞e-ρtZt（1- ω（s））r+ω（s）u-ω（s）σds+t型≤τdti≤ ||f级+||∞Z∞e-ρtts（t）dt≤||f级+||∞p<∞, （26）Ehe-ρτZτ（1- ω（s））r+ω（s）u-ω（s）σds+我≤ ||f级+||∞E【E】-ρττ]≤ ||f级+||∞pMτ(-p/2）<∞. （27）设Z是Z（0）=0的连续局部鞅。利用离散指数E、Fatou引理和exp（u）的超鞅性质≥ u代表所有u≥ 0，我们观察到1≥ lim信息→∞EhE公司Z（t∧ τ)我≥ EhE公司Z（τ）我≥ EhE公司Z（τ）E（Z（τ））>1i≥ 呃Z（τ）-[Z] （τ）+i其中[Z]是Z的二次变化。特别是，我们观察到2≥ 呃Z（τ）-[Z] （τ）+i、 （28）现在，由于引理A.1，我们可以假定ω与τ无关，而不丧失一般性。特别地，ω和τ的正独立泛函的乘积与期望值交换。

将（28）应用于预期的结果，得出以下估计值，EhZ∞e-ρtZtσω（s）dW（s）-Ztσω（s）ds+t型≤τdti=Z∞e-ρtEhZtσω（s）dW（s）-Ztσω（s）ds+iS（t）dt≤ 2Z∞e-ρtdt=p<∞, （29）Ehe-ρτZτσω（s）dW（s）-Zτσω（s）ds+我≤ 呃Zτσω（s）dW（s）-Zτσω（s）ds+我≤ 2、（30）鉴于（11），我们认为∞e-ρtZtαλ（s）ds+t型≤τdti=α+Z∞e-ρt(-1） S（t）log S（t）dt≤ α+Z∞e-ρtdt=α+p<∞, （31）Ehe-ρτZταλ（s）ds+i=α+Z∞e-ρtS（t）log S（t）dt=α+MA(-p） <∞. （32）使用exp（u）≥ u+代表所有u≥ 0和c≥ 0，我们发现zτe-ρt日志c（t）-Ztc（s）ds+dt公司≤Z∞c（t）膨胀-Ztc（s）dsdt=Z∞t型- 经验值-Ztc（s）dsdt=1- 经验值-Ztc（s）ds≤ 1.（33）鉴于b≥ 0，将上述估计数（24）–（25）、（26）–（27）和（29）–（33）相加得出该报表。如前所述，下面的引理A.4似乎在相关文献中被用来为养老金储户提供最佳投资策略。由于我们找不到任何证明该声明的参考文献，为了完整起见，我们将其显示在下面。引理A.4。supω∈^Gc∈(R)GEhZτe-ρsUc（s）X（s）ds+be-ρτB(1 - α） X（τ）i=supω∈^Fc∈\'FEhZτe-ρsUc（s）X（s）ds+be-ρτB(1 - α） X（τ）i（34）=supω∈^Fc∈？FEhZ∞e-ρsS（s）Uc（s）X（s）+ bλ（s）b(1 - α） X（s）dsi。（35）更准确地说，对于任何给定的ω，c，从^F，^F来看，即使没有上述积分中两个求和的上确界，直线（34）到（35）之间的等式仍然成立。证据根据引理A.1，对于给定ω∈^和0≤ c∈^G，letν∈^Fand 0≤ ε ∈（17）分别成立。设Y是一个随机过程，其动力学由（1）给出，其中X：=Y，ω：=ν，c：=.由于ν和ε与τ无关，因此过程Y与τ无关。

由于所涉及的过程是拟可积的（对数情况见引理A.3），我们可以应用Fubini定理，它揭示了EHZτe-ρsUc（s）X（s）ds+be-ρτB(1 - α） X（τ）i=EhZ∞e-ρsUc（s）Y（s）τ≥tds+be-ρτB(1 - α） Y（τ）i=Z∞e-ρsEUc（s）Y（s）Eτ≥t型ds+EhZ∞是-ρsB(1 - α） Y（τ）λ（s）s（s）dsi=EhZ∞e-ρsUc（s）X（s）S（S）+be-ρsB(1 - α） X（s）λ（s）s（s）dsi。这与^Fn一起一个简单的不等式参数显示了该语句。A、 2。电力公用事业：固定消费率的最优策略建议a.5证明了第5.1节和第6节中分别针对电力公用事业和对数公用事业所述投资策略的最优性。命题A.6完成了第5.1节要求的证明。提案A.5。如果c是确定性控制，则最优投资策略ω*∈^f对于U和B的问题（2），两个电力公用设施由（4）给出。当U和B都是对数效用形式时，最优投资策略由（13）给出。证据我们给出了对数效用的证明，幂效用的证明遵循类似的方式。Letω∈^Fand t≥ 根据Protter（2005，p.84，定理37），方程（1）有一个唯一的解，可以用随机指数E表示，X（t）=xexpZt（1- ω（s））r+ω（s）u+αλ（s）- c（s）dsEZtσω（s）dW（s）.将功率转换为γ∈ （0，1）屈服强度x（t）γ=xγexpγZtfγ（ω（s））+αλ（s）- c（s）dsEZtγσω（s）dW（s）fγ（u）=（1- u） r+uu- (1 - γ） uσ/2表示u∈ R、 fγ相对于u的一阶和二阶条件为ufγ（u）=（u- r）- (1 - γ） uσ=0，uufγ（u）=- (1 - γ） σ<0，γ<1。特别是，u*(γ) = (u - r） /（σ（1- γ） ）是严格凹函数fγ全局最大值的唯一点。

当γ>0时，这意味着x（t）γ≤ xγ膨胀γZtfγ（u*（γ） ）+αλ（s）- c（s）dsEZtγσω（s）dW（s）.考虑双方的期望，并使用c确定性应用E的超鞅性质，得到X（t）γ≤ xγ膨胀γZtfγ（u*（γ） ）+αλ（s）- c（s）ds. （36）取两边的对数，应用Jensen不等式除以γ，第二步取极限为γ↓ 0，然后与（13）yieldsE进行比较对数X（t）≤ 日志EX（t）γ/γ≤ 对数x+Ztfγ（u*（γ） ）+αλ（s）- c（s）ds，E对数X（t）≤ 对数x+Ztf（w*) + αλ（s）- c（s）ds。（37）当ω，X替换为ω时，不等式（37）变为等式*, 十、*. 在这种情况下，E是一个真鞅，从Novikov条件和ω可以看出*具有确定性。由于B（x）=U（x）=log（x），因此（35）中的被积函数在log x中是线性的。将（37）应用于（35）yieldssupω∈^FEhZ∞e-ρtS（t）Uc（t）X（t）+ bB型(1 - α） X（t）λ（t）dti公司≤ EhZ公司∞e-ρtS（t）Uc（t）X*（t）+ bB型(1 - α） X个*（t）λ（t）dti。实际上，作为ω*∈^F，上述不等式产生等式。这意味着，根据引理A.4，（2）的上限与（35）的上限重合。提案A.6。在电力设施问题（3）中，语句（6）和（7）是正确的。证据我们继续验证命题A.5。当ω，X替换为ω时，不等式（36）变为等式*, 十、*, 分别地见方程式（4）。所有γ都是这样∈ (-∞, 1) \\ {0}.因此，使用（5）、（11）和（36），我们可以按以下方式计算（35）。EhZ公司∞S（t）e-ρtcγX（t）γ/γ+b（1- α） γX（t）γ/γλ（t）dti=X（0）γγZ∞S（t）e-ρtcγ+b（1- α） γλ（t）经验值γZtfγ（u*（γ） ）dsdt=X（0）γγZ∞e-kte公司-(1-γα）Rtλ（s）dscγ+e-kte公司-(1-γα）Rtλ（s）dsb（1- α） γλ（t）dt=X（0）γγZ∞e-ktP[A>t]cγ+e-千吨级tP【A】≤ t] 1个- γαb（1- α） γdt。（38）注意γ<1和α≤ 1，因此为1- γα>0，因此为1/（1- γα）定义明确。在k 6=0的情况下，使用分部积分，我们可以看到-ktP[A>t]dt=1-R[0，u]e-ktPA（dt）k-e-kuP[A>u]k，代表u≥ 0

（39）如果MA(-k） =∞, 当A为正时，k<0是正确的。特别是，（1- 文学硕士(-k） ）/k=∞和-e-对于所有u，kuP[A>u]/k>0≥ 0、亨切斯∞e-ktP[A>t]dt=1- 文学硕士(-k） k，如果MA(-k） =∞. （40）接下来我们考虑MA的情况(-k） <∞. 当k>0时，e始终保持不变-库普[A>u]→ 0对于u↑ ∞. 此外，在k<0的情况下，以下估计值成立，MA(-k）≥Z[0，u]e-ktPA（dt）+e-库普【A>u】。特别是，重新安排条款和限制表明Limu→∞e-kuP[A>u]=0，如果MA(-k） <∞ k 6=0。（41）将（41）应用于（39）并将其与（40）相结合，则表明Z∞e-ktP[A>t]dt=1- 文学硕士(-k） k对于k 6=0。（42）另一方面，利用Fubini定理，我们可以显示∞e-k=0时，ktP[A>t]dt=E[A]。（43）此外，Z总是正确的∞e-千吨级tP【A】≤ t] 1个- γαdt=MA(-k） 1个- γα表示k∈ R、 （44）该陈述由（38）与（42）–（44）组合而成。A、 3。电力公用事业：可变消费率的候选人在本节中，我们勾勒出汉密尔顿-雅各比-贝尔曼方法，以在电力公用事业函数下找到最佳投资和消费策略的候选人，假设储蓄的最大比例α始终分配给tontine账户。我们希望最大化Zτe-ρsU（c（s）X（s））ds+be-ρτB（（1- α） X（τ））对于DX（t）X（t）给出的财富动态，在一系列投资和消费策略中=r+（u- r） ω（t）+αλ（t）- c（t）dt+σω（t）dW（t）。（45）我们首先定义值函数v（t，x，ω，c）=EZτte-ρ（s-t） U（c（s）X（s））ds+be-ρ(τ-t） B（（1- α） X（τ））X（t）=X，τ>t.要积分出τ，即随机死亡时间，请注意，生存到时间t>0的个体的概率密度函数条件为fτ|τ>t（s）：=λ（s）exp(-s的Rstλ（u）du）≥ t。

使用单MMA A.4可以将值函数重写为v（t，x，ω，c）=EZ∞tfτ|τ>t（t）ZTte-ρ（s-t） U（c（s）X（s））ds dT+bZ∞tfτ|τ>t（t）e-ρ（T-t） B（（1- α） X（T））X（t）=X.改变积分顺序并用Et，X表示期望值，条件是X（t）=X，V（t，X，ω，c）=Et，XZ∞te公司-ρ（s-t） U（c（s）X（s））Z∞sfτ|τ>t（t）dT ds+bZ∞tfτ|τ>t（t）e-ρ（T-t） B（（1- α） X（T））dT=Et，xZ∞te公司-Rst（λ（u）+ρ）duU（c（s）X（s））ds+bZ∞tλ（t）e-RTt（λ（u）+ρ）duB（（1- α） X（T））dT.因此，在定义函数^U（s）：=U（c（s）X（s））+bλ（s）b（（1- α） X（s）），（46）值函数可以重新表示为v（t，X，ω，c）=Et，XZ∞te公司-Rst（λ（u）+ρ）du^u（s）ds我们首先根据Jork（2009年，第19章）的技术推导相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程。假设从时间t到时间t+h，参与者遵循任意的投资和消费策略（ω（s），c（s）），对于s∈ （t，t+h）。时间t+h后，参与者遵循最佳消费和投资策略。然后V（t，x）≥ Et，x“Zt+hte-Rst（λ（u）+ρ）du^u（s）ds#+Et，xe-Rt+ht（λ（u）+ρ）duV（t+h，X（t+h））. （47）定义运算符ω，cth（t，x）=th（t，x）+xxh（t，x）[r+ω（u- r） +αλ（t）- c（t）]+xxxh（t，x）σω。假设有足够的可微性，这样我们就可以将伊藤引理应用于产品-Rt+ht（λ（u）+ρ）duV（t+h，X（t+h）），我们使用（45）中的财富动态来确定-Rt+ht（λ（u）+ρ）duV（t+h，X（t+h））=V（t，X（t））+Zt+htLω，cse-Rst（λ（u）+ρ）duV（s，X（s））ds+Zt+hte-Rst（λ（u）+ρ）duX（s）Vx（s，X（s））σω（s）dW（s）。（48）将（48）代入（47），随机积分的期望值消失，剩下v（t，x）≥ Et，x“Zt+hte-Rst（λ（u）+ρ）du^u（s）ds#+Et，x“V（t，x（t））+Zt+htLω，cse-Rst（λ（u）+ρ）duV（s，X（s））ds#。重新排列最后一个不等式并取消V（t，x）项，我们得到0≥ Et，x“Zt+hte-Rst（λ（u）+ρ）du^u（s）ds#+Et，x“Zt+htLω，cse-Rst（λ（u）+ρ）duV（s，X（s））ds#。

（49）除以h>0，让h变为0，并假设足够的正则性，以便我们可以在期望值内取极限，得到0≥^U（t）-（λ（t）+ρ）V（t，x）+电视（t，x）+xxV（t，x）[r+ω（u- r） +αλ（t）- c（t）]+xxxV（t，x）σω。如果我们选择最优的消费和投资策略，并用公式（46）中的^U（t）替换回来，那么我们得到等式：（λ（t）+ρ）V（t，x）=sup（ω，c）U（cx）+bλ（t）b（（1- α） x）+电视（t，x）+xxV（t，x）[r+ω（u- r） +αλ（t）- c] +x个xxV（t，x）σω.（50）猜测价值函数v（t，x）=h（t）xγ的形式，（51）一阶条件表明候选最优投资策略为^ω（t）：=^ω：=1- γu - rσ，候选最佳消耗率为^c（t）：=（γh（t））1-γ.在等式（50）中设置ω：=^ω和c：=^c（t），并使用候选值函数（51）结果0=th（t）+h（t）γ（r+αλ（t））+γ1- γu - rσ- λ（t）- ρ!+bγλ（t）（1- α)γ+ (1 - γ)γγ-1h（t）γγ-1，准确地说是（9）。A、 4。对数效用：可变消耗率的最优策略在本节中，我们给出了与问题（10）相关的大多数证明。首先，我们使用启发式参数推导出解决方案，然后验证此解决方案。所需的另一个证据是证明投资策略的合理性（13）；命题A.5证明了这一点。我们首先定义x>0和t的对应值函数≥ 0 asV（x，t）=supω，c，αEhZτte-ρslogc（s）X（s）ds+be-ρτ对数(1 - α） X（τ）t<τX（t）=xi。我们观察到，对于x，y>0，V（x，t）和V（y，t）仅通过一个独立于≥ 特别是，无论t处的x是多少，优化问题都会导致相同的控制ω*, c*, α*.

特别是，这表明最优控制独立于最优财富过程，因此这表明最优控制是确定性的。如果c是确定性控制，那么命题a.5意味着最优投资策略ω*由（13）给出。此外，如果c，ω是确定性控制，则最优α*可以编写为相关确定性优化问题的解决方案。提案A.7。如果c是确定性控制，则最佳百分比α*≤ 问题（10）的1由（15）给出。证据在最优投资策略下，等式（37）相等。因此，supω∈^FEhZ∞e-ρtS（t）日志c（t）X（t）+ 日志(1 - α） X（t）bλ（t）dti=Z∞S（t）e-ρtbλ（t）对数（1- α） +（1+bλ（t））Ztαλ（s）ds+ S（t）e-ρt日志c（t）- （1+bλ（t））Ztc（s）ds+ S（t）e-ρt（1+bλ（t））对数X（0）+f（w*) t型dt。（52）尤其是最佳百分比α*≤ 1和下列函数的全局最大值点重合，g（α）=Z∞S（t）e-ρtbλ（t）对数（1- α） +（1+bλ（t））Ztαλ（s）dsdt=b对数（1- α） Mτ(-ρ) + αMτ(-ρ) - 文学硕士(-ρ） ρ+bMA(-ρ)对于α≤ 1，带Mτ(-ρ） =E【E】-ρτ]和MA(-ρ） =E【E】-ρA]。g areg（α）=-bMτ(-ρ)1 - α+Mτ(-ρ) - 文学硕士(-ρ） ρ+bMA(-ρ)= 0，g（α）=-bMτ(-ρ)(1 - α)< 0.尤其是α*from（15）是α的严格凹函数的全局最大值的唯一点∈ R、 根据（11），不等式P[τ≤ t]≥ P【A】≤ t] 适用于所有t≥ 因此，我们可以看到thatMτ(-p） =Z∞P[τ≤ 对数（t）/(-p） ]dt≥Z∞P【A】≤ 对数（t）/(-p） ]dt=MA(-p） 。鉴于b，p≥ 0和方程（12）和（15），不等式α*≤ 1适用。

因此，α*from（15）是α的全局最大值g的唯一点≤ 1，因此它是对数情况下的最佳百分比，问题（10）。根据（52），如果c是确定性的，那么最优c*因为问题（10）与UPC给出的变分法问题的解一致∈^FZ∞S（t）e-ρt日志c（t）- （1+bλ（t））Ztc（s）dsdt。使用Euler-Lagrange方程和适当的横截性条件，可以显示出（14）给出的备选解。为w的验证做准备*, c*, α*分别由（13）–（15）定义为问题（10）的最佳解决方案，我们引入了两个新函数。其中一个我们称之为Vand，它将证明这是潜在问题的值函数。定义A.8。V（t，x）=ψ（t）log（x）+ψ（t），对于t≥ 0和x>0，（53），其中Д（t）=Z∞te公司-ρsS（s）1+bλ（t）ds，（54）ψ（t）=Z∞te公司-ρsS（s）日志c*（s） +b日志（1- α） λ（s）+ ^1（s）r+（u- r） w*+ αλ（s）- c*（s）- （w）*)σ/2ds。（55）引理A.9（HJB方程的解）。如果α<1，则（53）中的V（t，x）在x中是两次连续可微分的，在t中是绝对连续的，并且在几乎每个t中，对于所有x>0的情况，完全满足以下部分微分方程≥ 0,0=最大值，whe-ρtS（t）日志（cx）+b日志(1 - α） x个λ（t）+ 电视（t，x）+xxV（t，x）r+（u- r） w+αλ（t）- c+ x个xxV（t，x）wσ/2i。（56）此外，c*, ω*分别由（13）、（14）定义，对应于（56）中最大化问题的解决方案。证据首先，我们确定ψ，ψ是有限函数，这意味着V具有claimedregularity，因为Lebesgue的微积分基本定理。利用分部积分和Sλ是随机变量τ的概率密度函数这一事实，我们可以看到z∞te公司-ρsS（s）e-ρtS（t）ds=p-pMτ(-p、 t）andZ∞te公司-ρsS（s）e-ρtS（t）bλ（s）ds=bMτ(-p、 t）。

（57）因此，比较c*,分别用（57）表示C*（t） =p1- (1 - bp）Mτ(-p、 t）=e-ρtS（t）Д（t），（58），这意味着Д是有限的。ρ>0和1时≥ Mτ(-p、 t）≥ 0，应用于（58）的一位代数表明，Д（t）=e-ρtS（t）1- (1 - bρ）Mτ(-ρ、 t）ρ≤ e-ρtS（t）1+bρ。（59）尤其是Д（t）≤ e-ρt1+bρρ，Д（t）λ（t）≤ S（t）λ（t）1+bρρ和Д（t）c*（t）≤ e-ρt.（60）（54），（58）和Дfinite（如前所示）以及bλ≥ 0，我们发现足够大的te-ρtS（t）log c*（t）≤ （1+ρt）e-ρt+e-ρtS（t）logД（t）= （1+ρt）e-ρt- e-ρtS（t）logД（t）≤ （1+ρt）e-ρt+Д（t）logД（t）=（1+ρt）e-ρt+t型^1（t）对数Д（t）- 1..（61）当α<1时，对数项（1- α） 现在是最后一天。特别地，e-ρtS（t）b对数（1- α） λ（t）≤ S（t）λ（t）b日志（1- α)< ∞. （62）函数Sλ和t 7→ （1+pt）e-ρtand t 7→ t（Д（t）（对数Д（t）-1） ）是可积的。尤其是，（60）–（62）是有限且可积的，而ψ、ψ又是有限的，因此V具有所声称的正则性。接下来，我们定义了两个函数，它们对应于两个基本的最大化问题（56）。h（c）=e-ρtS（t）log（c）- cx公司xV（t，x）=S（t）对数（c）- cД（t）andi（w）=xxV（t，x）（u- r） w+xxxV（t，x）wσ/2=Д（t）（u- r） w- И（t）wσ/2。这两个函数的一阶和二阶条件为ch（c）=e-ρtS（t）/c- Д（t）=0和cch（c）=-e-ρtS（t）/c<0，wi（w）=Д（t）（u- r）- Д（t）wσ=0和第一次世界大战（w）=-Д（t）σ<0。特别地，h和i是全局最大值为c的严格凹函数*和w*分别如（58）和（13）所示。很容易检查V ful fills（56）。引理A.10（横截条件）。设α<1。设c，ω分别为^F，^F中的元素。

如果相应的财富过程X，其动力学满足（1），则ful fillsehz∞e-ρtS（t）日志c（t）X（t）+ bλ（t）对数(1 - α） X（t）dti>-∞, （63）则存在实数序列tn↑ ∞, 取决于c和ω，例如limn→∞E[V（tn，X（tn））]=0。证据根据引理A.3、引理A.4和假设（63），我们可以看到ehz∞e-ρtS（t）日志c（t）X（t）+ bλ（t）对数(1 - α） X（t）dti公司∈ R、 此外，由于积分中的两个求和都在期望和积分下有界-参见引理A.3和引理A.4-我们发现Ehz∞e-ρtS（t）对数c（t）X（t）dti公司∈ R、 （64）根据Protter（2005，p.84，定理37），方程（1）有唯一解；参见（23）。特别是，我们可以重写（64）asEhZ∞e-ρtS（t）对数c（t）X（t）dti=EhZ∞e-ρtS（t）对数X（0）+Ztαλ（s）ds+对数c（t）-Ztc（s）ds-Ztc（s）ds+Zt（1- ω（s））r+ω（s）u-σω（s）ds-Ztσω（s）ds+Ztσω（s）dW（s）-Ztσω（s）dsdti。（65）我们使用与之前相同的论点：由于上述所有术语在期望和积分上都有界-参见（24），（26），（29），（31），（33）-我们可以证明（64）的一致性意味着EHZ∞e-ρtS（t）对数X（0）+Ztαλ（s）dsdti公司∈ R、 （66）EhZ∞e-ρtS（t）Ztc（s）dsdti公司∈ R、 （67）EhZ∞e-ρtS（t）Ztσω（s）dsdti公司∈ R、 （68）从（68）中，我们推导出E[Rtσω（s）ds]<∞ 对于所有t≥ 0，反过来t 7→Rtσω（s）dW（s）是真鞅。因此，再次使用（65），EhZ∞e-ρtS（t）Zt（1- ω（s））r+ω（s）u-σω（s）dsdti公司∈ R、 （69）结果（66）、（67）、（69）和t 7的鞅性质→Rtσω（s）dW（s）表示EHZ∞e-ρtS（t）log X（t）dti∈ R、 因此，存在一个实数序列tn↑ ∞ 这样，Limn→∞e-ρtnS（tn）E[对数X（tn）]=0。最后，将其与（55）、（53）、（59）进行比较，确定结果。注意ψ（t）→ 0作为t↑∞.提案A.11（验证）。Letα≤ 1和X是（1）中相应的财富过程。此外，让c*, ω*分别由（13）、（14）和X定义*是相应的财富过程。

ThenV（0，X）≥ EhZ公司∞S（t）e-ρt日志c（t）X（t）+ b日志(1 - α） X（t）λ（t）dti（70）和V（0，X）=EhZ∞S（t）e-ρt日志c*（t） X个*（t）+ b日志(1 - α） X个*（t）λ（t）dti。证据对于α=1，（70）的右侧等于-∞. 因此，我们可以假设α<1。如果（63）中的期望值等于-∞, 那么不等式（70）就微不足道了。因此，我们可以假设（63）中的预期是有限的。此外，在这种情况下，（68）成立，因此[Rtσω（s）Д（s）ds]<∞ 对于所有t≥ 0，因为Д是一个连续的确定性函数。亨塞特7→Rtσω（s）Д（s）dW（s）是鞅。现在，该语句来自It^o公式对C1,1,2-函数（ψ，log（x），ψ）7的应用→ νlog（x）+ψ在引理A.10的特殊序列上计算，对于给定的c，ω与引理A.9一起对应于x。特别是，将引理A.4和命题A.11结合起来，表明w*, c*, α*（13）–（15）是对数问题（10）的最优解。B、 表格、图表和图表B。1、重新平衡前的DiagramsTontine accountBequest accountInvestment returns Investment returns Investment returnsLongevity creditsAmount（a）。Tontine accountBequest accountAmount（b）消耗50个单位并重新平衡后。图B.1.1:tontine账户和遗赠账户在重新平衡（图B.1.1a）之前和重新平衡（图B.1.1b）之后按照选定的固定比例对账户价值进行说明，此处假设为50%。在重新平衡之前和扣除消费之前，tontine账户的价值为520个单位，遗赠账户的价值为500个单位，总养老金储蓄价值为1020。消费50个单位（每个账户25个单位）后，养老金储蓄的总价值为970个单位。将托丁账户重新平衡至选定的养老金储蓄总额的50%，每个账户的价值为485个单位。B、 2。

图70 80 90 100 110 1200.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0死亡率（年）年龄死亡率（a）年龄死亡率。70 80 90 100 110 1200.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 65岁存活概率（岁）65岁存活概率（b）65岁存活概率。图B.2.1：第4.3.0 1 2 3 4节中详述的马克汉定律的死亡率和65岁以后的生存概率恒定相对风险规避1- tontine0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7图b.2.2:tontine账户总养老金储蓄的最佳固定百分比100α风险规避1- 在动力效用下，对于遗赠动机b的各种强度，γ增加。65 70 75 80 85 90 95 100 15 20 25 30 35 40消费率=0.09和α=0.8年龄（年）遗赠账户年龄价值（a）遗赠账户年龄100.70 80 90 100 110 1200.0e+00 5.0e+09 1.0e+10 1.5e+10消费率=0.09和α=0.8年龄（年）遗赠账户年龄价值（b）遗赠账户年龄120。图B.2.3：不同年龄段的遗赠账户价值，用于第5.1.1节中的数值分析。。0 1 2 3恒定相对风险规避1- tontine0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7图b.2.4:tontine账户总养老金储蓄的最佳固定百分比100α风险规避1- 在动力效用下，对于遗赠动机b的各种强度，γ增加。优化仅考虑65岁至100岁的前35年。

因此，参与者不会从100岁后可能发生的事情中获得效用。1 2 3 4持续相对风险规避1- γ对于消费0%2%4%6%8%10%12%b=1b=2b=3b=6b=7，而不是Tont图b.2.5：对于各种遗赠动机强度，在电力效用下，随着风险厌恶程度的增加，最优消费率占养老金储蓄总额的百分比。当退休人员可以将养老金储蓄总额的固定比例分配到一个临时账户时，结果用实线表示。虚线显示了退休人员只能将钱分配给遗产账户（经典的收入提取问题）的结果。0 1 2 3恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（a）（r，u，σ）=（1%，3%，15%）0恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（b）（r，u，σ）=（1%，3%，25%）0 1恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（c）（r，u，σ）=（1%，10%，15%）0恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（d）（r，u，σ）=（1%，10%，25%）0恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（e）（r，u，σ）=（7%，10%，15%）0恒定相对风险规避1- tontine0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（f）（r，u，σ）=（7%，10%，25%）图b.2.6：当65岁以后的预期寿命增加5年时，tontine账户分配的最佳百分比的敏感性分析。这是第5.1.2节讨论的第一次分析，相关金融市场模型参数值显示在每个图的下方。

表中的死亡率模型参数C=1.134，与C=1.124.0时的原始预期寿命相比，该参数对应于从65岁到5岁的预期寿命增加1相对恒定的风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（a）（r，u，σ）=（1%，3%，15%）0恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（b）（r，u，σ）=（1%，3%，25%）0 1恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（c）（r，u，σ）=（1%，10%，15%）0恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（d）（r，u，σ）=（1%，10%，25%）0恒定相对风险规避1- 音调中的γ0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（e）（r，u，σ）=（7%，10%，15%）0恒定相对风险规避1- tontine0%20%40%60%80%100%b=1b=2b=3b=6b=7（f）（r，u，σ）=（7%，10%，25%）图b.2.7：65岁以后的预期寿命减少5年时分配给tontine账户的百分比的敏感性分析。这是第5.1.2节中讨论的第二次分析，相关金融市场模型参数值显示在每个图的下方。

表中的人口模型参数C=1.116，对应于从65岁到5岁的预期寿命下降，与C=1.124.0时的原始预期寿命相比，当C=1.124.0时，托汀账户中的最佳百分比100α为0%20%40%60%80%100%图B.2.8：在对数效用下，随着遗赠动机B的强度变化。65 70 75 80 85 90 95 100消费年龄0%5%10%15%20%25%30%b=1b=2b=3b=6b=7图b.2.9：最佳消费率c（y- 65）占养老金储蓄总额的百分比x（y- 65）随着退休人员的年龄y从65岁增加到100岁，对于不同的遗赠动机强度b，在对数效用下。