此外，满足所有设备约束条件：输电线路根据其容量传输功率，每个负载接收其所需功率，发电机提供正功率。1动态能源管理27净值1 33.6美元第1行2净值2 199.6美元第3行24.0美元第3代。1根。2负载1负载2-90-10-50-50 50-60图。1.8：三总线示例，带解决方案；绿色为区位边际价格，黄色为电力价格。我们发现，在第二台发电机附近的电力最便宜，而第二台发电机附近的电力并不接近任何负荷，而在第二台发电机附近的电力最贵。还要注意的是，尽管2号发电机的发电成本比1号发电机低，但输电线路的容量限制限制了生产。这导致该发电机的工资不高。（见表1.1。）另一方面，1号发电机的工资要高得多，这正是因为它靠近负荷1。除了发电机外，输电线路还通过输送电力来赚取费用。例如，第三条输电线路因将电力从发电成本较低的网3输送至有负荷但无发电的网2而获得了大量的费用。（可通过相邻网络的价格差乘以其上的功率流来计算付款。）因此，我们看到，两台发电机的发电费用由其支付，两台负荷的发电费用由其支付，三条输电线路的输电费用由其支付。收支平衡；它们的总和为零。

附录1.7.28 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt WytockDevice Payment（$）generator 1中给出了该示例的cvxpowercode-3024发电机2-1440负载1 1680负载2 19960线路1-8300线路2-96第3行-8780表1.1：三总线示例的设备付款。1.3动态最优功率流1.3.1动态网络模型在本节中，我们将§1.2的静态功率流模型推广到T个时间段的动态优化。每个终端不仅有一个功率流（与静态情况一样），而是一个功率计划，它是T功率流的集合，每个对应于T个时间段中的一个。每个设备都有一个成本函数，该函数将标量成本与其终端的功率调度相关联。网络在每个时间段无损地交换功率。如果终端设备流入网络的功率在每T个时间段总和为零，则功率守恒保持不变。如果这个条件成立，并且与终端电源相关的成本是有限的，那么我们说这些电源是可行的。1.3.1.1注释保留了静态情况下的大部分注释。然而，在dynamiccase中，功率流现在由矩阵p描述∈ RM×T。该矩阵的第m行描述了终端m的功率计划。第tth列描述了与时间段T相对应的所有终端的功率，即它是时间段T系统功率流的快照。矩阵pd=Bdp∈ RMd×t包含设备d终端的电源计划。设备d的成本函数为fd:RMd×T→ R∪ {∞}. 系统成本为设备成本之和，即f（p）=PDd=1fd（pd）。

功率守恒表示为矩阵方程Ap=0（即MT标量方程）。请注意，在单个时间段（T=1）的情况下，动态情况（以及所有相关的表示法）将简化为静态情况。1动态能量管理291.3.2最优功率流动态最优功率流问题是使f（p）最小化，受Ap=0，（1.15）和决策变量p的影响∈ RM×T，这是所有时间段内所有终端的功率流矢量。该问题由D设备的成本函数、邻接矩阵A和全局局部矩阵BD确定，对于D=1，D、 注意，如果T=1，（1.15）将减少到静态OPF问题（1.3）。1.3.2.1最优性条件如果成本函数f是凸的和可微的，那么价格又是功率约束守恒的大倍数。也就是说，功率流矩阵p？和价格矩阵λ∈ RN×皮重（1.15）最优当且仅当满足f（p？）=λ时，Ap？=0、注意f（p）是f相对于p元素的偏导数的M×T矩阵，这意味着第一个方程由M T标度方程组成。如§1.2.2.1所述，可以修改这些最优性条件，以处理凸的、不可微的成本函数（通过子函数）或非凸的、可微的成本函数（在这种情况下，它们是局部最优性的必要条件）。1.3.2.2解决动态最优功率流问题如果所有设备成本函数都是凸的，那么（1.15）是一个凸优化问题，可以使用标准算法精确解决，即使对于多个时间段的大型网络也是如此【5，§1.3】。如果设备成本函数不具有凸性，则通常很难找到（和证明）问题的全局解决方案。

然而，即使在这种情况下，有效的启发式算法（基于凸优化方法）通常也可以获得实际有用的（如果次优）功率流，即使对于大型问题实例也是如此。30尼古拉斯·莫勒（Nicholas Moehle）、恩佐·布塞蒂（Enzo Busseti）、斯蒂芬·博伊德（Stephen Boyd）和马特·怀托克（Matt Wytock1.3.3 Prices and paymentsHere）我们探讨了动态区位边际价格的概念。扰动问题。如§1.2.3所述，这里我们考虑通过向每个网络中提取（少量）额外功率获得的扰动系统。然而，现在扰动是一个矩阵δ∈ RN×T，即扰动在终端和时间段内变化。受扰动的动态功率流问题使f（p）最小化，且受Ap+δ=0的影响。该问题的最优值，作为δ的函数，表示为F（δ）。价格。假设函数F在δ=0点可微分，则价格矩阵λ定义为λ=F（0）∈ RN×T。这意味着，如果在时间段T内将一个单位的功率提取到净n中，则问题（1.15）的最佳值预计将增加约λnt。那么，λ的任何元素都是给定时间段内agiven网络位置的边际电力成本。该矩阵的第n行是长度为T的向量，描述了T个时段内该净额的价格表。该矩阵的第tth列是长度为N的向量，描述了时间段t内所有网络的系统价格。价格矩阵λ也是拉格朗日乘子矩阵：与最优功率矩阵p？，满足最优性条件（1.3.2.1）。价格λnti是时间段t内净n的电价。如果时间段t持续h个时间单位，则λnth是该时间段内的电价。付款。在此，我们扩展了§1.2.3.3中的静态支付方案。

装置d在T个时间段内收到总额为text=1λTd，tpd，t1的动态能源管理31的付款，其中λdis是装置d附近nets的价格表矩阵，即λd=BdATλ。请注意，我们对每个时间段的付款进行合计。对于t=1，…，序列（λTd，tpd，t），T是付款计划或现金流。在动态情况下，付款在每个时间段和每个净额进行结算，即在每个时间段内，在单个净额上进行的所有付款均为零。（这是由于每个时间段、每个网络的功率都是守恒的。）1.3.4利润最大化根据上述支付方案，设备d的利润为-TXt=1λTd，tpd，t- fd（pd），如果fd是可区分的，则这将在pdif上最大化fd（pd）+λd=0。在所有设备中，这正是（1.3.2.1）的第一个最优性条件。换言之，如果相邻的净价格固定，最优功率流向量还可以最大化该设备终端功率计划中的单个设备性能。因此，可以通过最大化每个设备的性能来实现网络优化，但需要注意一些事项。（例如，参见最近的工作【24】。）1.3.5动态设备示例我们列出了动态设备及其成本函数的几个示例。每当我们在设备定义中列出设备约束时，我们的意思是，如果违反约束，则成本函数是有限的。（如果我们描述一个只有约束的设备，我们的意思是，如果满足约束，其成本为零，否则为零。）1.3.5.1静态设备所有静态设备，如§1.2.4中的示例，可概括为动态设备。设fd，t（pd，t）为t时设备的（静态）成本。其动态成本为所有单周期成本的总和32 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt Wytockfd（pd）=TXt=1fd，t（pd，t）。在这种情况下，我们说设备成本是可分的。

如果所有设备成本都具有此属性，则动态OPF问题本身会分解为静态OPF问题；在不同的时间段内，不存在将权力流动联系在一起的约束或客观条件。静态但时变的设备可用于建模，例如，可再生能源的时变可用性或时变固定负载。平滑的。动态设备目标的最简单通用示例可能是不可分离的，涉及成本术语或功率流量从一个时间段到下一个时间段的变化约束。我们通常将其称为平滑度惩罚，通常将其添加到其他可分离的设备成本函数中。平滑度惩罚的形式为-1Xt=0φ（pd，t+1- pd，t），其中φ是凸函数。（初始值pd，0是一个特定常数。）φ的可能选择为二次型（φ（x）=kxk=PMdi=1xi）、绝对值或`（φ（x）=kxk=PMdi=1 | xi |），或区间约束函数，φramp（x）=（0-rdown公司≤ x个≤ rup∞ 否则，将强制执行终端功率从一个周期到下一个周期的最大变化。（这些被称为发电机的爬坡率限制。）有关Moothing的更多详细信息，请参见【5，§6.3.2】。1.3.5.2动态发电机常规发电机。将静态模型扩展为动态模型的一个示例是常规生成器。（见§1.2.4.1。）将成本函数扩展为tofd（pd）=（PTt=1αpd，t+βpd，tpmin≤ -pd，t≤ pmax，t=1，T∞ 否则（1.16）1动态能量管理33，其中标量参数α、β、pmin和pmax与§1.2.4.1中的相同。（这些模型参数也可能在T时间段内发生变化。）如上所述，我们还可以添加平滑惩罚或渐变速率限制。固定式发电机。一些发电机无法控制，即它们产生固定的功率计划p fix∈ RT.设备约束为-pd=p fix，t=1。

T可再生能源发电机。可再生发电机可以控制，其最大功率输出取决于太阳、风或其他电源的可用性。也就是说，在每个时间段t，一台可再生发电机可以产生高达pavail，t≥ 0功率单位。设备约束是-pd，t≤ pavail，t.1.3.5.3动态载荷固定载荷。每个周期消耗固定功率的传统负载可以用简单的约束Pd来描述，t=（p fix）t，t=1，T、 其中，p轴为长度为T的固定功率表。可延迟负荷。可延迟负荷在给定的时间窗口内需要一定量的能量，但该能量的传递时间是可变的。例如，电动汽车必须在下次计划使用前充电，但充电时间表是灵活的。如果时间间隔内所需的能量为Edef≥ 0，则可延迟负载满足文本=shpd，t=Edef，其中时间段s和e限定了设备可以使用电源的时间窗口的开始和结束时间段，h是时间段之间经过的时间。我们还需要34尼古拉斯·莫勒、恩佐·布塞蒂、斯蒂芬·博伊德和马特·怀托克≤ pd，t≤ pmax时间段t=s，e、 其中Pmax是设备可以接受的最大功率。此外，对于时间段t=1，…，我们有pd，t=0，s- 1和t=e+1，T热负荷。在这里，我们对温度控制系统进行建模，例如建筑物的HVAC（加热、通风和空调）系统、服务器场的冷却系统或工业冰箱。该系统具有温度θt时间周期t和热容c。

该系统与其环境进行热交换，环境温度θamb恒定，热容有限。系统与环境之间的热导率为u>0。我们首先考虑冷却系统的情况，如冰箱或空调，其（冷却）性能系数η。系统在时间t使用的功率为pd，t。温度随时间变化，根据θt+1=θt+（u/c）（θamb- θt）- （η/c）pd，t。第二项是流入或流出环境的热流，第三项是来自冷却装置的热流。温度必须保持在一定的θmin范围内≤ θt≤ θmax，t=1，T、 功耗必须满足限制0≤ pd，t≤ pmax，t=1，T、 上述模型可用于描述η<0时的供暖系统。特别是对于电加热器，-η是效率，介于0和1之间。对于热泵，-η是性能的（加热）系数，通常超过1。其他可能的扩展包括时变环境温度和热动力学的高阶模型。1.3.5.4存储设备我们考虑单端存储设备，包括电池、超级电容器、飞轮、气动存储或抽水蓄能。我们不考虑这些技术的具体细节，而是开发一个接近其主要特征的简单模型。1动态能量管理35理想的储能装置。我们首先为理想的储能装置建模，然后专门研究更复杂的模型。让Et∈ R+是时间段t结束时设备的内能。（这是一个内部设备变量，其值完全由功率计划pd指定）。内能满足度+1=（1- α） Et+hpd，t，t=0，T- 1，其中α是（每周期）泄漏率，0<α≤ 1，h是时段之间的elapsedtime。

第一个时间段开始时的能量为E=Einit，其中Einitis给出。我们有最小和最大能量约束最小≤ Et公司≤ Emax，t=1，T、 其中Emin和Emaxa是最小和最大能量限制。此外，我们对充电和放电速率有限制：pmin≤ pd公司≤ pmax。我们可以对存储设备中的能量施加限制，例如，ET=Emax，即在最后一段时间内充满。利润最大化原则允许我们将理想的无损存储设备（即α=0）在不同时间段的价格联系起来，该设备不会达到其能量上限或下限。相邻网络不同时期的价格必须相同。（如果没有，存储设备可以通过在价格低的时候充电一点，在价格高的时候释放同样的能量来增加其利润。这类似于不在其限制范围内运行的无损传输在线，强制其两个网络的价格相等。传输线在两个网络上定价；存储设备在两个时间段内定价。Charge/排放成本。许多存储设备（如电池）会随着使用而退化。可以添加充电/放电惩罚，以避免过度使用设备（或模拟摊销或维护成本）。除了上述约束外，我们还提出了成本βTXt=1 | pd，t |，（1.17），其中β是一个正常数，并且我们隐式地将向量E视为向量pd的函数。对于资本成本为C的电池，在ncyc（充电和放电）循环的估计寿命内，合理的选择36 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt Wytockforβ是β=Ch2ncyc（Emax- Emin）。转换损失。在许多情况下，充电或放电时会损失能量。这可以通过添加有损传输线来建模。

（见§1.2.4.4。）理想存储设备与其网络之间的关系，如图1.9所示。理想的存储。有损传输。有损电池组。1.9：具有转换损耗的电池可以建模为由理想存储单元和有损耗传输线组成的复合设备。1.3.6家庭能源示例我们考虑一个有四个设备的家庭网络：常规发电机、固定负载、可延迟负载和储能设备。如图1.10所示，它们都连接到单个网络。我们在一整天内对其进行操作，将其分为1280个时间段，每个时间段为1分钟。发电机存储延迟负载图。1.10：家庭能源示例的网络拓扑。1动态能量管理37发电机成本函数由（1.10）给出，α=0.0003$/（kW），β=0$/（kW），pmin=0 kW，pmax=6 kW。（理想）储能装置的放电和充电速率为pmin=-2 kW，pmax=2 kW，最小和最大容量Emin=0，Emax=5 kWh，且初始不充电。可延迟负载的最大功率pmax=5kW，并且必须在8:00和20:00之间接收Edef=30 kWh的能量。不可控负荷具有随时间变化的电力需求曲线，如图1.11所示，以及问题解决方案。后果图1.11显示了最佳功率和价格表，以及存储设备的内部能量。我们发现，存储设备和可延迟负载在一段时间内平滑了电力需求，从而降低了总发电成本（与没有存储设备的相同系统相比，或与另一个固定负载而不是延迟负载相比）。

当电力便宜（因为需求较少）时，存储设备在初始时间段充电（即吸收能量），然后在价格更高时放电（即返回能量）。当可延迟负荷在时间段450（即8:00）内变为活动负荷时，调度能力更加灵活，价格保持不变。这是意料之中的；由于发电机的二次成本，当发电机功率计划不变时，才会产生最高效的发电，而只有当价格不变时，才会发生这种情况。表1.2显示了设备的四种付款方式。我们发现，发电机是为发电而付费的，固定负荷是为其消耗的电力而付费的，可延迟负荷也是如此（其付费低于执行负荷）。存储设备的服务是付费的，即跨时间将电力从一个时段传输到另一个时段（就像传输线在一个时段将电力从一个网络传输到另一个网络一样）。设备付款（$）生成器-6.46可延迟负载3.99固定负载2.83存储-0.36表1.2：设备付款，随时间的总和。38 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt Wytock-2024功率（kW）def。负荷存储固定负荷发电机第024天的发电时间（kWh）0.050.10价格（$/kWh）4:00 8:00 12:00 16:00 20:00-0.4-0.20.00.20.4付款率（$/小时）图1.11：顶部。四台设备的功耗（负对应生产）。中上部。蓄电池的储存能量。下米德尔。净价。底部设备付款率随时间变化。1.4模型预测控制当所有相关量事先已知或可以高精度预测时，动态最优功率流问题有助于规划功率流计划。在许多实际情况下，这一假设并不成立。

例如，虽然我们可以预测未来的负荷，但预测并不完美。可再生能源的可用性更难预测。1动态能源管理391.4.1模型预测控制在本节中，我们描述了一种标准方法，即模型预测控制（MPC），也称为滚动地平线控制（RHC），可用于制定实时策略或政策，在每个时间段选择良好的功率流，并容忍预测错误。MPC利用我们的能力解决动态潮流问题。MPC已成功应用于非常广泛的领域，包括能源设备的管理。MPC是一种反馈控制技术，它自然地结合了优化（[2，25]）。最简单的版本是确定性等效MPC，单位长度为T，如下所述。在每个时间段t中，我们考虑将一定数量的时间段延伸到未来的时间段t，t+1，t+t-1、数字T被称为MPC政策的期限或计划期限。设备成本函数取决于未来的各种数量；虽然我们知道当前时期t中的这些数量，但我们不知道未来时期t+1、t+2、，t+t-1、我们将这些未知量替换为预测或预测，并解决相关的动态潮流问题，以生成一个（暂定）潮流计划，该计划从当前时间段t延伸到我们视野的末端t+t- 在确定性等效MPC中，潮流计划基于对未来工程量的预测。然后，我们执行计划中的第一个功率流，即计划中时间段t对应的功率流。在下一个时间步骤中，我们重复此过程，将任何新信息纳入我们的预测中。为了使用MPC，我们在每个时间点t重复以下三个步骤：1。预测

对未知量进行预测，以形成对时间段t+1、t+2、…、的设备成本函数的估计，t+t- 1.2. 优化解决动态最优功率流问题（1.15），以获得时间段t、t+1、…、的功率流计划，t+t- 1.3. 处决实施本计划中与时间段t相对应的第一次功率流。然后，我们在时间t+1重复此过程，加入新信息。请注意，可以单独遵循这些步骤；MPC方法总是向前看，或者说计划，越过一个地平线，将T步延伸到未来。这使得MPC可以用来控制连续运行的电网。我们现在更详细地描述这三个步骤。预测在时间段t，我们预测与系统运行相关的任何未知量，例如不确定的需求或可再生发电机的可用性，从而可以在接下来的时间段内形成系统的近似模型。这些预测可以是粗糙的，例如，简单到40尼古拉斯·莫勒、恩佐·布塞蒂、斯蒂芬·博伊德和马特·怀托克恒量值，如数量的历史平均值或中值。这些预测也可以是基于以前的值、历史数据甚至其他相关数量的复杂预测，例如天气、经济预测或期货价格（它们本身是基于市场的预测）。附录§1.6描述了创建基本预测的方法，该方法通常适用于MPC动态能源管理。根据这些未知量的预测，可以对时间段t+1，…，形成devicecost函数的预测，t+t- 1、在时间t，我们将设备d的预测成本函数表示为^fd | t。

整个系统的成本函数是这些成本函数的总和，我们将其表示为^f | t。（f上方的帽子是一个传统标记，表示数量是估计的。）优化我们希望为系统规划时间段ST至t+t的功率流- 1、我们用p | T表示所有设备的功率流矩阵，以及从T到T+T的所有T个时间段的功率流矩阵- 1、我们表示时间段τ的计划功率流。为了确定计划功率流p | t，我们解决了动态最优功率流问题（1.15）。使用本节的符号，该问题最小化了Ap | t=0的^f | t（p | t）。（1.18）变量为计划功率流矩阵p | t∈ RM×T。第一列包含当前期间的功率流；第二列到最后一列包含基于t期可用信息的计划功率流。优化问题（1.18）有时会增加终端约束或终端成本，尤其是存储设备。存储设备的终端约束规定了其在地平线末端的能量水平；典型的约束条件是，它应为半满，或等于当前值。（后一个约束意味着在地平线上，存储设备的净总功率为零。）在没有终端约束的情况下，（1.18）的解将在地平线末端存储零能量（病理病例除外），因为任何存储的能量都可以用来降低一些发电机功率，从而降低成本。终端成本与终端约束类似，只是它基于终端能量值评估费用。1动态能量管理41执行。在此，执行计划潮流计划的第一步，即我们实施pt | t。

（这可以作为更大模拟的一部分，也可以直接在物理系统上进行。）请注意，计划功率流量| t+1，pt+T-1 |皮重未直接实施。它们仅用于规划目的；其目的只是在第一步中改进功率流的选择。1.4.2价格和付款由于动态OPF问题（1.15）与问题（1.18）相同，§1.3.2.1的最优条件和§1.3.3的扰动分析也适用于（1.18），这允许我们将价格的概念扩展到MPC。特别是，我们将（1.18）的解对应的价格表示为λ| t∈ RM×T。该矩阵可解释为时间段T+1，…，的预测价格，t+t- 1、在时间t做出预测（FirstColumn包含时间t的真实价格）付款。我们可以将§1.3.3中制定的支付方案扩展到MPC。为此，请注意§1.3.3中的支付方案涉及每个设备在T个时间段内进行一系列支付。对于MPC，仅应执行本付款计划中的首次付款；另一种解释为计划付款。正如计划功率流pτ| tforτ=t+1，t+t- 1从未实施，而是提供未来电力流量预测，从未进行计划付款，但仅提供未来付款预测。利益最大化。在§1.3.4中，我们看到，给定预测的成本函数和价格，最佳功率流可以独立地最大化每个设备的性能。（我们要求获得规划期内的价格预测，作为OPF问题解决方案的一部分。）由于MPC的每一步都解决了动态OPF问题，因此这种解释扩展到了我们的案例。

更具体地说，考虑到时间t的所有可用信息以及价格λ| t的预测，计划功率流p | t独立地最大化每个设备的性能。换言之，如果每个设备的经理（或所有者）42尼古拉斯·莫勒、恩佐·布塞蒂、斯蒂芬·博伊德和马特·怀托卡格里都对预测表示满意，那么他们也应该同意计划的电力流量是公平的。我们可以进一步理解这一点。假设在时间t，设备d预测其自身的成本函数为fd | t，从而预测未来价格为λ| t（通过解决全局OPF问题）。如果执行MPCof§1.4.1，则每个设备可以被解释为执行MPCto，使用预测价格λ| t在时间段t.1.4.3风电场示例，规划其自身的终端功率流，以最大化其收益。我们考虑一个由风力发电机、燃气发电机、制动装置和固定负载组成的网络，所有这些网络都连接到一个网络。目标是为固定负载提供约8 MW的稳定输出，这是一个月内可用风电的平均值。我们考虑该系统运行一个月，每个时间段代表15分钟。气体发生器具有§1.3.5.2中给出的成本函数，参数α=0.1$/（MW）和β=20$/（MW）。存储设备的最大充放电率为5 MW，最大容量为50 MWh。风力发电机被建模为可再生设备，如§1.3.5.2所述，即在每个时间段内，产生的功率可以是任何非负的，直到可用风力功率pwind，t。我们在图1.12中显示了pwind，tas是时间段t的函数，以及所需的输出功率。风力发电可用性数据由NREL（国家可再生能源实验室）提供，该实验室位于德克萨斯州西部。我们使用下面详述的两种不同方法来解决问题，并比较结果。

（稍后，在§1.5.6中，我们将介绍第三种方法。）2012-01-012012-01-052012-01-092012-01-132012-01-172012-01-212012-01-252012-01-29时间051015功率（MW）风电目标输出图。1.12：2012年1月可用风电。1动态能源管理43全月动态OPF解决方案。我们首先将该问题作为动态OPF问题来解决。这需要解决一个将整个月都考虑在内的单一问题，还需要充分了解可用的风能。这意味着我们的优化方案是有预见性的，即知道未来。在实践中，这是不可能的，但在这种有先见之明的情况下，性能是一个很好的比较基准，因为任何控制方案都无法实现更低的成本。MPC。然后，我们考虑实际情况，即系统规划师事先不知道可用风力。为了预测可用风力，我们使用§1.6.6中开发的自回归模型，该模型基于前一年的数据进行训练。通过将MPC的性能与上面给出的动态OPF仿真进行比较，我们得到了（完美）信息的价值，这与由于我们对可用风电的预测不完善而产生的额外成本相对应。后果通过使用动态OPF和MPC解决问题获得的功率流如图1.13所示。使用动态OPF和MPC获得的成本函数值分别为3269美元和3869美元。这种差异反映了不确定性的成本，也就是说，这种差异让我们了解了拥有完美预测的价值。在这个例子中，这种差异是不容忽视的，这表明投资于更好的风电预测可以产生更高的效率。在图1.13中，我们还显示了每台设备的价格（及时）以及支付金额。请注意，价格由燃气发生器的发电量“设定”。

（这是因为给出的价格是相邻设备成本函数的导数。）这意味着当天然气发电机发电时，价格为正；否则为零。还请注意，当价格为零时，不进行付款。在表1.3中，我们使用动态OPFand和MPC显示了每个设备的总付款。我们看到，在动态OPF方法下，存储设备的ispaid比在MPC下要多。这是因为当预测准确时，存储更为准确。（例如，如果不知道未来的风能可用性，存储设备将不会有用。）同样，在MPC下，燃气发生器的工资更高。这是有道理的；如果未来可再生能源可用性存在更多不确定性，那么可调度发电机就更有价值。44 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt Wytock-100功率（MW）发电机电池。targetwind02040Energy（MWh）050价格（$/MWh）2012-01-01 2012-01-05 2012-01-09 2012-01-13 2012-01-17 2012-01-21 2012-01-25 2012-01-29时间-100001000Pmnt。费率（美元/小时）-100功率（MW）发电机电池。targetwind02040Energy（MWh）050价格（$/MWh）2012-01-01 2012-01-05 2012-01-09 2012-01-13 2012-01-17 2012-01-21 2012-01-25 2012-01-29时间-100001000Pmnt。费率（$/小时）图1.13：顶部。全月动态OPF解决方案。底部MPC模拟。1台动态能量管理45设备动态OPF MPCwind发电机-98.4-115.3存储-54-36.0负载255.6 273.6气体发生器-103-122.3表1.3：整个月的设备付款总额，以千美元为单位。1.5不确定性下的最佳功率流在本节中，我们首先扩展§1.3的动态模型来处理不确定性。我们通过考虑不确定值的多个合理预测来实现这一点，并将优化问题扩展到处理多个预测或预测。我们将看到价格自然延伸到不确定的情况。

然后，我们讨论如何在§1.4.1.5.1不确定性模型场景的模型预测控制框架中使用不确定性最优功率流问题。我们的不确定性模型考虑了S个离散场景。每个场景都模拟了不同的意外情况，即网络中不确定性参数在T个时间段内的不同可能结果。不同的情景在不同时段的固定负荷值、可再生发电机的可用性，甚至输电线路或存储设备的容量上都有所不同。（例如，故障传输线的功率流为零。）情景概率。我们为每个场景分配实现概率，对于s=1，…，π（s），S、 例如，我们可以建模一个具有高概率的标称场景，以及各种故障场景，其中关键组件以低概率发生故障。数字π（s）在场景中形成概率分布，即π（s）≥ 0和PSS=1π（s）=1.46 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt WytockScenario power Flows。我们为每个场景建立了不同的网络功率流模型。所有终端、时段和场景的功率流形成一个（三维）阵列∈ RM×T×S。对于每个场景S，有一个功率流矩阵p（S）∈ RM×T，它规定了场景s下每个时间段M个终端上的电力流量。从systemplanner的角度来看，这些构成了一个电力流量政策，即一个完整的应急计划，包括每个终端在每个可能的情况下的电力计划。我们将设备的功率向量称为pd∈ RMd×T×S，其中MDI是设备d的终端数量。此阵列可被视为设备d的特定功率流策略。

我们用p（s）d表示∈ RMd×t场景s下设备d上终端功率流的子矩阵。与之前一样，对于每个时间段，在每个场景下，每个净和上的功率流为零：Ap（s）=0，s=1，S、 在单一情况下（S=1），p是一个M×T矩阵，与§1.3中的功率流矩阵相对应。场景设备成本函数。在每种情况下，设备成本函数可能不同。更具体地说，在场景s下，设备d的成本为f（s）d，因此f（s）d:RMd×T→R∪{∞}. 请注意，网络拓扑（包括每个设备的终端数量）并不取决于场景。我们将设备d的成本函数定义为其在所有场景下的预期成本FD（pd）=SXs=1π（s）f（s）dp（s）d.在单一情况下，设备成本的定义与§1.3中给出的定义一致。预期总系统成本是预期设备成本SF（p）=DXd=1fd（pd）之和。1动态能量管理471.5.2不确定条件下的动态最优功率流到目前为止，除了可能通过具有平滑度约束的共同起始值外，不同场景没有耦合。为了在功率守恒约束下最小化f，我们解决了与每个场景相关的S动态OPF问题。我们现在将把不同场景的功率流与信息模式约束结合起来，该约束规定在时间段t=1时，所有S场景的功率流必须一致，即p（1）=···=p（S）。不确定动态最优功率流问题是在Ap（s）=0，s=1，…，的条件下最小化f（p），Sp（1）=···=p（S），（1.19），其中变量为情景功率流p（S）∈ RM×T，对于s=1，S、 我们可以如下描述这个问题。

我们为每个场景创建一个完整的功率流计划，并限制每个场景中的第一阶段功率流必须相同。就随机控制或有追索权的优化而言，信息模式约束对应于一个非常简单的信息模式，它描述了我们在决定行动之前所知道的内容。我们有S个场景，其中一个将发生；我们必须做出第一个选择，即在我们知道哪些情况将实际发生之前，确定当前的功率流。在时间段t=2时，我们会看到所获得的情景。当然，我们不相信这个模型，因为这些情景只是实际可能发生的情况的一个（非常小的）样本，而在第二阶段，未来并没有事实上向我们完整地揭示出来。这只是一种启发式方法，可以在考虑到未来不确定性的情况下，对当前时期的潮流做出正确的选择。1.5.3价格和付款我们现在讨论我们不确定性模型下的区位边际价格。假设我们在每个场景的每个时间点向每个网络注入额外的能量。我们通过场景特定矩阵（δ（1），…）描述这些注入，δ（S））∈ RN×T×S。对于每种情况，要求功率因数（S）+δ（S）=0，S=1，S、 （1.20）即注入每个网络的额外功率，加上沿事件终端的所有功率输出，为零。如果我们解决问题（1.19），用扰动方程（1.20）代替功率守恒约束，48 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt Wytockt，最优成本将改变，以反映注入每个网络的功率量；我们定义F（δ（1），δ（S））作为扰动问题的最优值，当每种情况下注入的功率为（δ（1），δ（S））。

请注意，f（0）是原始未受干扰问题的最佳值。然后，价格矩阵（λ（1），λ（S））∈ RN×T×S，对于每种情况，满足（π（i）λ（1），π（S）λ（S））=F（0）。（1.21）这意味着价格由梯度F给出，由情景概率的倒数放大。这些矩阵表示每个场景下每个网络、每个时间点的预测电价。可以看出，价格遵守与上文讨论的信息模式约束类似的约束，即可以在所有场景中选择第一时间段的价格，即λ（1）=····=λ（S），其中λ（S）是场景下第一时间段的价格向量。此属性对于付款方案很重要。付款。我们可以将我们的支付方案从动态情况扩展到不确定情况。每个设备的预期付款isSXs=1π（s）λ（s）Tdp（s）d，其中预期在各种场景下进行，并具有预测的价格轨迹。请注意，如果我们在§1.4的模型预测控制框架中操作，则实际只执行第一步付款。在下一步的信息模式中，每个场景下的第一期价格都是一致的，因此付款不取决于场景。利益最大化。给定最佳功率流和价格，场景功率流可最大化任何设备的预期性能DSX=1π（s）λ（s）Tp（s）d- f（s）dp（s）d,1动态能量管理49受适当的信息模式约束。这可以解释如下。每个设备使用与系统规划师相同的不确定性模型（即场景成本和概率），最大化其自身的预期收益。请注意，每个设备最大化其预期性能，而不考虑其方差，这是模型预测控制中的惯例。

在经济学的语言中，每种设备都被认为是风险中性的。（一种方法是使用凹效用函数将风险规避纳入问题（1.19）的成本函数中；参见，例如，【23，§11.5】。）1.5.4鲁棒模型预测控制在这里，我们介绍了§1.4中提出的MPC框架的扩展，以处理预测不确定性。在预测阶段，我们考虑了不确定值的多重预测。然后，我们通过求解（1.19）来规划功率流，每个场景对应一个预测。我们在每个时间步骤t.1重复以下三个步骤。预测我们对未知的未来数量作出了合理的预测。每个预测都是一个场景，我们为其分配了发生概率。对于每个预测，我们形成适当的设备成本函数。2、优化。我们通过解决问题（1.19）来规划每个场景的功率流，因此第一个规划的功率流在所有场景下都是一致的。3、执行。我们执行本计划中的第一个功率流，即对应于时间段t的功率流（在所有情况下都一致）。然后，我们在时间t+1重复此过程，合并新信息。我们现在更详细地描述这三个步骤。预测在时间段t，我们对与系统运行相关的所有未知量进行S预测。通常，这些预测是使用未来变量的随机模型生成的。（例如，我们可以使用一个统计模型在一天的时间内为一台太阳能发电机生成多个真实的发电文件。）我们在附录1.6中讨论了建模的一些想法。每个预测对应一个场景；对于每个预测，我们形成一个场景设备成本函数。在场景s下，我们将设备d的成本函数表示为^f（s）d | t。

整个系统的成本函数表示为^f（s）| t.50 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt WytockoOptimize。我们为时间段t到t+t规划系统功率流- 1，在每个场景下，通过求解具有不确定性的动态最优功率流问题（1.19）。用p（s）| T表示未来T个时间段T+1，…，每个时间段的情景s下的功率流矩阵，t+t，我们求解最小^f（p | t）受Ap（s）| t=0 s=1，Sp（s）t+1 | t=pnom | ts=1，S、 （1.22）其中变量为计划功率流矩阵p（S）| t∈ RM×T、foreach scenario s和常见的第一功率流、pnom | T.Execute。执行计划功率流动计划的第一步，即实施pnom t。请注意，计划功率流动p（s）t+1 | t。p（s）t+t-1 |皮重从未直接实施。它们是出于规划目的而包括在内的，前提是规划T个步骤和S个场景可以提高该计划中第一步的质量。价格、付款和利润最大化。如§1.5.3所述，价格的选择应确保第一阶段的所有价格一致。在MPC符号中，我们称这些价格为λ| t。这些价格可以作为支付方案的基础。在时间段t，设备d表示λTd | tpd | t，其中λd |是与设备相邻的所有网络对应的价格向量。与静态和动态情况一样，此付款方案具有所有付款之和为零的属性，即付款方案为revenueneutral。此外，§1.4.2中关于（标准）MPC下利润最大化的论点延伸至稳健的MPC设置。

如果我们假设设备经理同意不同场景的成本函数和概率，那么他们应该同意计划的功率流是公平的，并且每个设备d通过实施最佳功率pnomd | t.1动态能量管理511.5.5不确定设备示例确定性设备来最大化其自身的预期收益（忽略风险）。任何（确定性）动态设备都可以扩展到不确定性设备。这种设备在每种情况下都具有相同的成本函数。可再生能源发电机。许多可再生能源发电机，如太阳能和风力发电机，其能源产量不确定。在这种情况下，发电机在每种情况下产生的功率可能不同。如果发电机在场景s下产生功率P（s）tat time t，则场景s下的发电机功率P（s）d，tat time t为0≤ p（s）d，t≤ P（s）t，t=1，T、 不确定负载。负载可能具有不确定的消耗模式。我们假设在场景s下，不确定负载消耗P（s）tat时间t。这意味着功率流满足P（s）d，t=P（s）t，t=1，T、 s=1，S、 传输线不可靠。回顾§1.2中传输线的定义。在输电线路工作的所有情况下，设备成本函数如§1.2.4.4所述。对于输电线路发生故障的情况，两个终端功率流都必须为零，即p（s）d=0.1.5.6风电场示例我们扩展了§1.4.3的示例，并对可用风力进行了不确定预测。该网络由一个风力发电机、一个燃气发电机和一个制动装置组成，全部连接到一个网络。我们考虑该系统运行一个月，每个时间段代表15分钟。§1.4.3中的不确定MPC示例使用§1.6.6中所述AR模型获得的未来可用风力的单一预测。

要应用52 Nicholas Moehle、Enzo Busseti、Stephen Boyd和Matt Wytockrobast MPC，我们需要对未知量进行多次预测。我们使用§1.6的框架获得K=20的此类预测。后果图1.14显示了使用稳健MPC获得的功率流，其中K=20个场景，每个场景对不确定的可用风电进行了不同的预测（且分配的参数相等）。costfunction的值为3291美元。这并不比使用DOPF获得的3269美元高多少。这说明了一个关键点：尽管我们对风力发电的预测相当不准确，但最终控制方案的性能与使用完美预测的控制方案相似。-100功率（MW）发电机电池。targetwind02040Energy（MWh）050价格（$/MWh）2012-01-01 2012-01-05 2012-01-09 2012-01-13 2012-01-17 2012-01-21 2012-01-25 2012-01-29时间-100001000Pmnt。速率（$/小时）图1.14：稳健的MPC模拟。在表1.4中，我们显示了根据robustMPC公式以及§1.4.3中讨论的MPC公式，每个设备的总付款。此处的模式类似于表1.3；当预测准确，而天然气发电厂的费用较低时，储存变得更有用，因此支付的费用也更高。1台动态能量管理53设备MPC鲁棒MPCwind发电机-115.3-98.1存储-36-48.9负载273.6 251.6气体发生器-122.3-104.5表1.4：整个月的设备付款总额，以千美元为单位。承认该研究部分得到了MISO energy的支持；我们特别感谢米索公司的AlanHoyt和DeWayneJohnsonbaugh进行了许多有益的讨论。参考文献1。R、 巴尔迪克。应用优化：工程系统的公式和算法。剑桥大学出版社，2006.2。A、 Bemporad。模型预测控制设计：新趋势和工具。第45届IEEEConference on Decision and Control，第6678–6683页。IEEE，2006.3。D

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类似的技术可以应用于向量时间序列，可以通过将其分离为标量分量，也可以通过将模型参数向量与适当的参数矩阵交换来实现。一般模型拟合方法。根据数据建立模型的最简单方法是使用基本最小二乘法或回归法[6]；基于凸优化的更复杂方法使用损失函数和正则化器，以提供稳健估计或稀疏参数（即回归器选择）[5，第6章]。可以使用诸如随机森林模型或神经网络等先进技术开发更为复杂的预测。我们建议从简单的预测开始（即使是上面描述的恒定预测），慢慢增加预测的复杂性和复杂性，并使用MPC或鲁棒MPC评估控制性能的改善（如果有）。同样，我们建议先从最小二乘拟合技术开始，然后再转向更复杂的方法。1.6.1基线剩余预测我们考虑时间序列xt∈ R、 其中，指数t=1，2。表示时间或时段。我们认为t是当前时间；t型-1表示上一个期间，t+2表示下一个期间之后的期间。该系列可能表示可再生发电机的功率可用性，或固定负载的功率，t表示小时或5分钟周期。在任何时候，我们假设我们可以访问当前和过去的观测xt，xt-1，xt-2.我们将对未来做出预测56尼古拉斯·莫勒、恩佐·布塞蒂、斯蒂芬·博伊德和马特·怀托克·xt+1 | t、xt+2 | t，^xt+T-1 | t，其中，通过^xt+τ| twe表示在时间t+τ的预测值，在时间t进行。