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（2017），“计算美国美元相对价值的七种方法，1774年至今”，见http://MeasuringWorth.com.Xiong，R.和Pelger，M.（2020），“缺失观测的大维潜在因素建模及其在因果推理中的应用”，arXiv:1910.08273。Xu，Y.（2017），“广义综合控制方法：交互固定效应模型的因果推理”，政治分析，25，57–76。Ziblatt，D.（2008），“土地占有不平等是否阻碍民主化？对“面包与民主”理论和普鲁士案例的检验”，《世界政治》，第60610–641页。通过公共土地处置的国家建筑在线附录？A反事实预测的矩阵完成应用Jason Poulos+哈佛医学院摘要本附录包括安慰剂测试实验中使用的每个基准估计量的模型规格和实施细节。它包括按州划分的宅地进入时间和强度的描述性图表，州政府支出数据中缺失数据的范围，并报告不同插补数据集的敏感性分析结果。它还包括对州政府收入的治疗风险矩阵完成估计的图表，以及对土地不平等与州政府财政之间关系的双变量回归估计。+通讯作者。poulos@hcp.med.harvard.edu.卫生保健政策部，马萨诸塞州波士顿朗伍德大道180号哈瓦德医学院，邮编：02115。基准估计值以下四个估计值用于安慰剂测试（第2节）和主要估计值（第4.2节）的比较。A1.1。差异中的差异（DID）DID模型由Athey和Imbens（2021）规定：Yit=ξi+ψt+τWit+Дit，（1）其中{ξi}Ni=1是单位特定效应，{ψt}Tt=1是时间特定效应。

通过最小二乘法估计模型：arg minτ，ξi，ψtNXi=1TXt=1（Yit- ξi- ψt- τWit）。（2） 我们在MCPanel R包中使用DID的实现。A1.2。矩阵完成（MC）MC模型和估计方程分别在（3）和（4）中规定。我们使用MCPanel包的扩展版本来实现带有倾向加权损失函数的MC。A1.3。广义综合控制方法（SCM）SCM（Abadie et al.，2010）将单个治疗单元与综合控制单元进行比较，综合控制单元根据干预前与治疗单元的相似性结合多个控制单元的结果。Doudchenko和Imbens（2016）以及Athey等人（2021）表明，SCM可以解释为在相同时期内，单一治疗单元的预治疗结果与对照单元的结果之间的回归。然后使用对照组上估计的参数预测单个治疗单元的反事实结果，i=0：^Y0t=NXi=1^ωiYit， t=α，T、 式中，ω=arg minωαXs=1Y0s-NXi=1ωiY0s！，s、 t.wi≥ 0，Xwi=1。（3） 随后，将为每个i、…、建立一个单独的模型，Nttreated单位。注意，等式（3）施加了原始SCM的限制，即零截距和非负回归权重之和为1。我们使用带有默认设置的MCPanel实现，但我们将梯度值限制在[-5,5]之内，以便于收敛。可用位置：https://github.com/susanathey/MCPanel.A1.4.带套索的广义SCM（SCM-L1）SCM-L1（Doudchenko和Imbens，2016；Athey等人，2021）放宽了等式（3）的零截距和重量限制。治疗单位i=0的反事实结果为：Y0t=u+NXi=1ωiYit， t=α，T、 其中（^u，^ω）=arg minu，ωαXs=1Y0s- u -NXi=1ωiY0s！，（4） 如果每个i…都有单独的模型，Nttreated单位。

直观地说，广义DSCM是控制单元i，…，的截距u和权重ωi的控制单元的凸组合，N、 该模型具有N+1预测值，包括控制单元数量和截距，以及α，T观察结果。通过套索回归（Tibshirani，1996；Tibshirani et al.，2012）估计等式（4），以减少预测集的相对大小。我们使用MCPanel实现，通过5倍交叉验证在30个可能值中选择套索惩罚的强度。表和图o图A2显示了州政府支出数据集中缺失值的程度，其中数据集中39.9%的值缺失（训练集和测试集分别缺失25.5%和49.4%），需要进行插补。在安慰剂试验和主要分析中，缺失值通过链式方程（MICE）的多变量计算（multivariateimputation）进行插补，多重插补通过完全条件规范（FCS）进行。我们使用默认设置实现了带有MICE Rpackage（Buuren和Groothuis Oudshoorn，2010）的MICE图A4绘制了处理风险对州政府收入的矩阵完成估计图A5绘制了土地不平等与州政府财政之间关系的双变量回归估计表A1使用以下四种替代插补方法对不同插补数据集的无效假设（7）进行了检验。每种插补方法都分别在训练集和测试集上执行，以避免数据污染。线性插值使用线性插值替换缺失值；使用具有默认设置的imputeTS包实现。LOCF使用上一次观测值（LOCF）来估算缺失值，剩余缺失值则向后携带。

我们使用默认设置的计算机程序包（Moritz和Bartz Beielstein，2017）实现LOCF。移动平均将丢失的值替换为指数加权移动平均中的值；使用具有默认设置的imputeTS包实现。基于随机森林的迭代插补方法；使用带有默认设置的missForest R包（Stekhoven和B¨uhlmann，2012）实现。表A1：在不同插补数据集上检验无效假设（7）。线性插值支出收益=1 q=2 q=1 q=2Sq（τt，∞ai）5.408 1.805 3.995 1.388i。i、 d.块<0.001<0.001 0.006 0.021移动块0.004 0.014 0.074 0.148LOCFExpenditure Revenueq=1 q=2 q=1 q=2 sq（τt，∞ai）5.686 1.878 4.212 1.430i。i、 d.区块<0.001<0.001 0.008 0.026移动区块0.009 0.014 0.049 0.118移动平均支出收入q=1 q=2 q=1 q=2 sq（τt，∞ai）15.131 4.746 2.39 1.12i。i、 d.区块<0.001 0.001<0.001<0.001移动区块0.004 0.014 0.019 0.024随机森林独立收益=1 q=2 q=1 q=2 SQ（τt，∞ai）8.416 2.762 7.707 2.557i。i、 d.区块0.001 0.001<0.001 0.002Moving Block<0.001 0.018 0.004 0.004图A1：各州的治疗状况和与州ZF支出数据集相对应的年份。”“控制”是指构成训练集的州和州，“处理”是指构成测试集的PLS。图A2：州ZF支出数据集中缺失和待估算的州年度观察结果。”“控制”是指构成训练集的州和州，“处理”是指构成测试集的PLS。图A3:1869-1922年第一州和第t年的人均宅基地登记。图A4:1809年至1982年州ZF收入的治疗风险矩阵完成估计：，观察治疗，观察到的对照，反实际创建，图A5：土地不平等（滞后10年）与。

记录1860-1950年的人均收入和支出。每个点都是一个州年观测值。直线表示两种结果数据的广义相加模型，阴影区域表示相应的95%置信区间。参考Sabadie，A.、Diamond，A.和Hainmueller，J.（2010），“比较案例研究的合成控制方法：评估加利福尼亚州烟草控制计划的影响”，《美国统计协会杂志》，105，493–505。Athey，S.、Bayati，M.、Doudchenko，N.、Imbens，G.和Khosravi，K.（2021），“因果面板数据模型的矩阵完成方法”，《美国统计协会杂志》，1-15。Athey，S.和Imbens，G.W.（2021），“交错采用的不同设置中基于设计的差异分析”，《计量经济学杂志》。Buuren，S.v.和Groothuis Oudshoorn，K.（2010），“小鼠：R中链方程的多元插补”，《统计软件杂志》，10，1–68。Doudchenko，N.和Imbens，G.W.（2016），“平衡、回归、差异和综合控制方法：综合”，arXiv:1610.07748。Moritz，S.和Bartz Beielstein，T.（2017），“插补：R中的时间序列缺失值插补”，《R杂志》，9207-218。Stekhoven，D.J.和B¨uhlmann，P.（2012），“MissForest–混合型数据的非参数缺失值插补”，生物信息学，28112-118。Tibshirani，R.（1996），“通过套索的回归收缩和选择”，皇家统计学会杂志。B系列（统计方法），267–288。Tibshirani，R.、Bien，J.、Friedman，J.、Hastie，T.、Simon，N.、Taylor，J.和Tibshirani，R.J.（2012），“套索型问题中丢弃预测值的强大规则”，《皇家统计学会期刊：B辑（统计方法学）》，74245–266。