对于这些情况，在0.1和0.3之间可能有一个断点，将艾森伯格-诺伊系统性风险度量从非凸形状转换为凸形状，这意味着，每当概率qcon1,2小于该断点时，大银行就不太可能对小银行负责，并且比其他情况下有更多的资本配置选项。接下来，对于qcon2,1的灵敏度分析，我们在表3中给出了qcon2,1算法的计算性能∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}. 图2包括相应的内部近似。与前面的敏感性分析一样，从表3中观察到，每个问题的平均时间随着qcon2,1的增加而增加。因此，这是对发生这种情况的假设的另一种证明。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）0.1 257 258 257 233.243 59943 16.6510.3 294 295 294 319.511 93936 26.0930.5 328 329 328 377.398 123787 34.3850.7 394 394 492.597 194083 53.9120.9 435 436 512 487.547 249624 69.340表3:qcon2算法的计算性能∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.由于连通概率越高，网络的连通性就越强，相应的PPR问题的MILP公式需要更多的时间来解决。请注意，随着qcon2,1的增加，图2中相应的Eisenb er g-Noe系统风险度量的内部近似值从右下角向左上角移动。与之前的敏感性分析相反，它可以解释为：随着qcon2,1的增加，第一组获得了更广泛的资本配置选项，而第二组失去了资本配置选项。

从图2中还可以观察到，生成qcon2,1=0.9的网络会导致非凸艾森伯格Noe系统风险度量。但是，对于值SQCON2,1∈ {0.1，0.3，0.5，0.7}，相应的Eisenberg-Noe系统风险度量似乎是凸集。与之前的敏感性分析一样，可以推测，在这些情况下，在0.7和0.9之间存在一个断点，用于切换这些Eisenberg-Noe系统风险度量。图2：Eisenberg-Noe系统风险度量的内部近似值2,1∈{0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.KInnerapprox。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）10 376 377 376 3.088 1 161 0.32320 380 381 380 11.977 4 551 1 1.26430 389 390 389 28.134 10 944 3.04040 381 382 381 56.685 21 597 5.9950 373 373 96.488 35 990 9.99760 381 382 381 151.635 57 773 16.04870 386 385 385 206.924 79 666 22.12980 390 293.155 330 31.75890 381 382 381 378.346 144 150 40.042100 394 395 394492.597 194 083 53.912表4:K的算法计算性能∈ {10, 20, . . . , 100}.从凸形状到非凸形状，这意味着，当概率qcon2,1高于该断点时，小银行更有可能对大银行负责，而大银行比其他情况下有更多的资本配置选择。4.2.2场景数量下一步，我们分析计算时间和相应的系统风险度量是如何随场景数量K而变化的。由于网络结构始终保持不变，因此预计艾森伯格无系统风险度量中不会有重大变化。

然而，由于每个场景将n个连续变量和n个二进制变量添加到相应的PPR问题及其MILP公式ZEN（推论3.11），因此预计计算时间将发生重大变化。表4显示了K的算法的计算性能∈ {10, 20, . . . , 100}. 图3中的图表明，每个PPR问题的平均时间和总算法时间的增长速度超过了与K的线性关系。因此，得到的结果与预期不符。4.3具有70个节点的两组签名Eisenberg Noe网络在本节中，我们考虑具有N=70、N=10、N=60、K=50、σ=100的Eisenberg Noe网络（N，π，’p，X）， = 0.05和qcon=0.7 0.10.5 0.5, lgr公司=10 58 5, ν =-50-100.10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100图3：50家银行的艾森伯格Noe签名网络的每个问题的场景平均时间和场景总算法时间图。在相应的Eisenberg-Noe系统风险度量中，我们取γp=0.9。算法中的ap proximationerror取=1。在该网络上，我们对阈值γp、组间节点分布和场景数量进行敏感性分析。γpInnerapprox。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）0.01 376 377 376 3.088 1 161 0.3230.1 210 437 305.389 133 455 37.0710.2 145 146 727 492.418 357 988 99.4410.3 90 91 893 560.268 500 138.9780.4 87 1037 494.65 512 952 142.4870.5 91 1099 448.063 492 421 136.7840.6 94 10695 5 240.982 256 646 71.2910.7 96 97 927 97.501 90 383 25.1060.8 141 142 719 45.546 32 748 9.0970.9234 235 461 15.285 7 047 1.9570.95 217 218 217 11.622 2 522 0.7010.99 136 137 136 2.504 341 0.0951.00 1 1 0.203 0.204 0表5：γp算法的计算性能∈ {0.01, 0.1, . . .

, 0.9, 0.95, 0.99, 1}.4.3.1阈值水平我们研究了当平均应满足网络负债总额的某一部分的要求变得更加严格时，艾森伯格Noe系统性风险度量及其计算时间是如何变化的。表5说明了γp算法的计算性能∈ {0.01，0.1，0.2，…，0.9，0.95，0.99，1}图4表示相应的图4：γp的艾森伯格-诺伊系统风险度量的内部近似值∈{0.01, 0.1, . . . , 0.9, 0.95, 0.99, 1}.艾森伯格Noe系统风险度量的内部评估。从表5可以看出，对于γ环0.3的值，每个问题的平均次数较高，对于γ环0.5的值，每个问题的数量较高。这两个因素导致γ值在0.4附近的总算法次数较高。此外，可以观察到，当γ值为0.5时，内近似顶点和外近似顶点的数量以及PPR问题的数量之间的差异急剧增加。发生这种情况是因为图4中相应的艾森伯格Noe系统风险度量的边界包含“fl at”区域，这使得算法在不实际改进近似值的情况下解决了更多的问题。从图4中可以看出，作为γpincreases，每个后续的Eisenberg-Noe系统性风险度量都包含在前一个度量中。该结果与相应的Eisenberg-Noe系统风险度量完全一致，因为在特定γ水平上可行的资本分配在任何低于γp的水平上都是可行的。4.3.2组间节点分布在这一部分中，我们对固定总节点数n=70的组间节点分布进行了敏感性分析。我们取集合中的大银行数量{5，10，20，…，60，65}。

那么，小银行的数量是n=n- n、 生成的随机经营现金流始终保持不变，而网络结构在每次运行时都会发生变化。因此，相应的Eisenberg Noe系统性风险指标预计会有显著变化。表6显示了n的算法的计算性能∈ {5，10，20，…，60，65}图5表示艾森伯格-诺埃系统风险度量的相应内部近似值。请注意，表6中每个问题的平均时间往往会随着大型银行数量的增加而增加。之所以会出现这种情况，是因为最大的连通概率qcon1,1=0.7，就是一家大银行对另一家大银行负责的可能性。因此，随着大银行数量的增加，网络中的节点与负债的联系变得更加紧密，解决PPR问题需要更多的时间，因为PPR问题的MILP公式在内部近似方面变得更加复杂。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）5 93 94 1096 16.88 18 501 5.13910 234 235 461 15.285 7 047 1.95720 209 210 209 38.512 8 049 2.23630 201 202 45.225 9 090 2.52540 213 214 213 55.444 11 809 3.28050 250 61.329 15 332 4.25960 403 404 639 79.577 50 850 14.12565 205 206 1092 131.431 143 523 39.867表6：计算性能n的算法性能∈ {5, 10, 20, . . . , 60, 65}.图5:n的Eisenberg-Noe系统风险度量的内部近似值∈{5, 10, 20, . . . , 60, 65}.约束条件。此外，可以观察到，随着节点分布向两种极端情况（5个大银行和65个大银行）的变化，内部和外部近似顶点的数量以及问题数量之间的差异增大。

与之前的敏感性分析一样，之所以会出现这种情况，是因为图5中这些极端情况下的艾森伯格Noe系统风险度量的边界包含“fl at”区域，这使得算法在不实际改进近似的情况下解决了更多问题。我们从图5中观察到，随着大银行数量的增加和小银行数量的减少，与大银行相比，小银行获得了更广泛的资本配置选项。之所以会出现这种情况，是因为银行总数是固定的，银行数量较少的集团拥有更广泛的资本配置选项，因为它对其他集团的银行拥有更多的债权。当各集团的银行数量平均分布时，大型银行集团拥有更广泛的资本配置选项。原因在于连接概率。重新调用，对于该设置，假设从大银行到小银行的连接概率为qcon=0.1，而从小银行到大银行的连接概率为qcon=0.5。这意味着小银行更有可能对大银行负责，而且由于大银行比小银行拥有更多的债权，它们有更广泛的资本配置选择。4.4具有45个节点的两组Rogers-Veraart网络在本节中，我们考虑由以下参数生成的Rogers-Veraart网络（N，π，(R)p，X，α，β）：N=45，N=15，N=30，K=50， = 0.05和qcon=0.5 0.10.3 0.5, lgr公司=200 10050 50.此外，可用于违约节点的随机经营现金流的流动部分被固定为α=0.7，可用于违约节点的已实现债权的流动部分被固定为β=0.9。随机操作现金流γ分布的形状和尺度参数Xi，i∈ Nl, l ∈ G、 选择κ=[100 64]，θ=[1 1.25]。

然后，相应组中随机经营现金流的平均值为ν=【100 80】，共同标准偏差为σ=10。在相应的Rogers-Veraart系统风险度量中，我们采用αInnerapprox。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）0.1 273 274 333 12.165 4 051 1.1250.3 461 462 484 10.572 5 117 1.4210.5 592 593 602 5.231 3 149 0.8750.7 583 584 584 3.876 2 264 0.6290.9 589 590 589 3.395 2000 0.555表7：α的算法计算性能∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.γp=0.9。算法中的近似误差取为=1.4.4.1 Rogers-Veraartα参数。在这一部分中，我们对α进行了敏感性分析，α是操作现金流的流动部分，可供违约节点用于履行其义务。生成的网络（N，π，(R)p，X，α，β）在所有情况下都保持不变。表7说明了α算法的计算性能∈ {0.1、0.3、0.5、0.7、0.9}和图6包含相应Rogers-Veraart系统风险度量的内部近似值。从表7中可以看出，每个问题的平均时间随α而减少。可以推测，这是因为以下观察结果：随着α参数的增加，（2.11）中Rogers-Veraart模型中清除向量的x点特征的不连续性降低了图6：α的Rogers-Veraart系统风险度量的内部近似值∈{0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.β内近似值。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。

每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）0.1 187 189 214 5.014 1 073 0.2980.3 223 225 270 5.561 1 1 502 0.4170.5 323 324 350 3.733 1 307 0.3630.7 394 395 401 3.710 1 488 0.4130.9 583 584 3.876 2 264 0.629表8：β算法的计算性能∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.由于包含定理2.15中问题的约束条件，即清除向量的MILP特征，因此解决PPR问题的相应MILP公式变得更容易。从图6可以看出，随着α的增加，罗杰斯的平均系统风险指标显著增加。这意味着，随着违约成本的降低，大银行和小银行对资本金的要求都降低了。人们还可以观察到，在每种情况下，为集团分配零资本要求都不是一个可行的选择。此外，考虑到小型银行的资本要求足够高，在每种情况下，大银行都可以获得负数额的资本要求。另一方面，小银行没有这种特权。4.4.2 Rogers-Veraartβ参数在这一部分中，我们对β进行了敏感性分析，β是来自其他节点的已实现权利要求的液体部分，默认节点可以使用该部分来满足其ob连接。生成的网络（N，π，(R)p，X，α，β）在所有情况下都保持不变。表8显示了β算法的计算性能∈ {0.1、0.3、0.5、0.7、0.9}图7提供了相应Rogers-Veraart系统风险度量的内部近似值。从表8可以看出，PPR问题的总数随着β的增加而增加。对于β值较高的问题，我们可以观察每个问题的平均时间。

与α参数的情况一样，可以认为这是因为以下观察结果：随着β参数的增加，罗杰斯-维拉特模型（2.11）中清除向量定点特征的不连续性减少，这使得解决问题的MILP公式变得更容易。从图7中可以看出，随着β的增加，罗杰斯-维拉特系统风险指标显著扩大。这意味着，如果违约银行能够使用更大比例的已实现债权，那么无论是大银行还是小银行都可以获得更严格的资本要求。还可以观察到，在每种情况下，图7:Rogers-Veraartβ系统风险度量的内部近似值∈{0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.向集团分配零资本要求不是一个可行的选择。此外，如果β=0.9，那么考虑到小银行的资本要求足够高，大银行可以分配负资本要求。另一方面，小银行没有这种特权。γpInnerapprox。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）0.1 1 1 0.384 0.384 00.2 13 13 13.809 180 0.0500.3 51 52 51 30.273 1 544 0.4290.4 94 94 36.645 3 445 0.9570.5 165 166 98.625 16 273 4.5200.6 223 138.532 30 893 8.5810.7 389 390 389 204.288 79 468 22.0750.8 395 395 91.600 36 182 10.0510.9 583 584 584 3.876 2 264 0.6290.95 418 419 431 2.946 1 270 0.3530.99 6667 74 1.639 121 0.0341.00 1 1 0.132 0.132 0表9：γp算法的计算性能∈ {0.1, 0.2, . . . , 0.9, 0.95, 0.99, 1}.4.4.3阈值水平本部分比较了不同的γ水平。表9显示了γp算法的计算性能∈ {0.1, 0.2, . . .

，0.9，0.95，0.99，1}和图8包含相应的丁-罗杰斯-维拉特系统风险度量的内部近似值。图8：Rogers-Veraartγp系统风险度量的内部近似值∈{0.1, 0.2, . . . , 0.9, 0.95, 0.99, 1}.从表9可以看出，对于γp值约为0.7的情况，每个问题的平均时间和总算法时间都很高。此外，PPR问题的数量增加到γp=0.9，然后减少。与图4中的结构类似，我们在图8中观察到，具有较小γpV值的平均系统风险度量包含具有较高γpV值的系统风险度量，这与这些风险度量的定义一致。4.4.4节点在组间的分布在这一部分中，我们通过改变节点在组间的分布，对固定的总节点数n=45进行敏感性分析，其中大银行的数量具有{5、10、15、20、25、30、35、40}的值。那么，小银行的数量是n=n- n、 表10显示了算法的计算性能，图9提供了相应的ding Rogers-Veraart系统风险度量的内部近似值。请注意，对于值n，表10中每个问题的平均时间相对较高∈图9:n的Rogers-Veraart系统风险度量的内部近似值∈{5, 10, 15, 25, 30, 35, 40}.{20, 25, 30, 35, 40}. 此外，P问题的数量大于f或n=20左右的值。从图9可以看出，随着大银行数量的增加和小银行数量的减少，与大银行相比，小银行获得了更广泛的资本配置选项。

之所以会出现这种情况，是因为银行总数是固定的，而银行数量较少的集团拥有更广泛的资本配置选项，因为它在这种设置范围内对其他集团的银行拥有更多的债权。nInnerapprox。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）5 6 7 6 1.006 6 0.00210 436 437 436 3.994 1 742 0.48415 583 584 584 3.876 2 264 0.62920 516 517 517 7 7.887 4 078 1.13325 557 558 557 6.118 3 408 0.94730 371 372 371 5.786 2 147 0.59635 187 188 187 6.100 1 141 0.31740 106 108 5.196 561 0.1566表10:n的算法计算性能∈ {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40}.内部近似值。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）Total algorithmtime（秒）Total algorithmtime（小时）413 516 1250 2.904 3631 1.009表11：具有10个大银行、20个中银行和30个小银行、50个场景和近似误差=20.4.5具有60个节点的三组签名Eisenberg Noe网络的算法计算性能在本节中，我们考虑了一个由N=60，N=10，N=20，N=30，K=50，σ=100生成的三组有符号Eisenberg-Noe网络（N，π，p，X）， = 0.05和qcon=0.4 0.2 0.10.3 0.4 0.10.2 0.3 0.4, lgr公司=20 15 815 10 68 6 5, ν =-50-100-150.在相应的Eisenberg-Noe系统风险度量中，我们取γp=0.95。表11显示了=20时算法的计算性能。图10代表了相应的三组艾森伯格Noe系统风险度量的内部近似值。

可以假定此Eisenberg-Noe s y系统风险度量值是凸的。图10：三组Eisenberg-Noe系统风险度量的内部近似值，60个节点，50个场景，近似误差=20.4.6三组Rogers-Veraart网络，60个节点。在本节中，我们考虑一个Rogers-Veraart网络（N，π，(R)p，X，α，β），生成N=60，N=10，N=20，N=30，K=50， = 0.05和qcon=0.4 0.2 0.10.2 0.3 0.20.1 0.2 0.2, lgr公司=200 190 180190 190 180180 180 170.内部近似值。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）Total algorithmtime（秒）Total algorithmtime（小时）975 1323 19382 0.427 8284 2.301Table 12：Rogers-Veraart网络的算法计算性能，其中有10个大银行、20个中银行和30个小银行，50个场景，近似误差=40。此外，违约银行可用的随机经营现金流的流动部分和已实现债权的流动部分固定为α=β=0.9。Xi，iγ分布的sh ape和scaleparameters∈ Nl, l ∈ G、 选择为κ=[100 81 64]，θ=11.25]。在相应的Rogers-Veraart系统风险度量中，我们取γp=0.99。近似值中的上边界点取zUB=^zideal+k'pk∞.表12显示了算法f或=40的计算性能。图11提供了相应的三组罗杰斯-维拉特系统风险度量的内部近似值。可以看出，罗杰斯-维拉特系统风险测度的值不是凸的。A第2A节中结果的证明。1命题证明2.6为了证明“仅当”部分，设p=（p，…，pn）T∈ [0，\'p]是清除向量。为了证明p是ΦEN的固定点，让i∈ N、 IfPnj=1πjipj+xi≤ 0，则pi=0，立即默认，ΦENi（p）=0，乘以（2.4）。

因此，ΦENi（p）=pi。如果Pnj=1πjipj+xi>0，则根据绝对优先级，pi=(R)pi或pi=Pnj=1πjipj+xi。图11:Rogers-Veraart三组系统风险度量的内部近似值，60个节点，50个场景，近似误差=40。如果pi=\'pi，则有限责任公司，\'pi≤Pnj=1πjipj+xind，因此，通过（2.4），ΦENi（p）=π。因此，ΦENi（p）=pi。另一方面，如果pi=Pnj=1πjipj+xi<pi，则通过（2.4），ΦENi（p）=Pnj=1πjipj+xi。因此，ΦENi（p）=pi。Thu s，p是ΦEN的固定点。为了证明“if”部分，让p=（p，…，pn）t为ΦEN的x点。换句话说，对于everyi∈ N、 ΦENi（p）=π。为了证明p是一个清除向量，让我∈ N、 IfPnj=1πjipj+xi≤ 0，则ΦENi（p）=pi=0，乘以（2.4）。因此，立即违约成立。如果Pnj=1πjipj+xi>0，则ΦENi（p）=pi≤Pnj=1πjipj+xi，乘以（2.4）。因此，责任有限。现在假设pnj=1πjipj+xi>0。IfPnj=1πjipj+xi≤ π，然后ΦEN（p）=π=Pnj=1πjipj+xi。如果Pnj=1πjipj+xi>π，那么ΦEN（p）=π=π，乘以（2.4）。因此，绝对优先权也同样适用。因此，p是一个清除向量。A、 定理2.7的证明定理2.7的证明基于以下引理。引理A.1。设（p，s）为∧EN（x）的MILP的最优解。让我∈ N使得0<Pnj=1πjipj+xi。然后，pi=min{Pnj=1πjipj+xi，\'pi}。证据如果si=0，则假设约束（2.9）不可行。因此，si=1，且该yieldspi≤Pnj=1πjipj+xind pi≤ ？pi，分别由约束条件（2.7）和（2.8）决定。因此，pi≤ minnnXj=1πjipj+xi，(R)pio。为了与引理的说法相矛盾，假设pi<min{Pnj=1πjipj+xi，\'pi}。

Nowlet p∈ Rn+在除ithone以外的所有分量中均等于p，且设pi=pi+，其中：=minminnnXj=1πjipj+xi，\'pio-pi，M- 最大值∈NnXj=1πjlpj+xl, ′> 0，且′：=minnnXj=1πjlpj+xl|nXj=1πjlpj+xl<0，l∈ 否。（此处，我们假设′=+∞ 如果没有资格∈ N在上述定义中。）这一选择确保了≤ \'计划pi≤nXj=1πjipj+xi，并将在本证明后面的其他技术细节中进行调整。让我们∈ {0，1}nbe一个二进制向量，其中sl=0 ifPnj=1πjlpj+xl<0，sl=1 ifPnj=1πjlpj+xl≥ 0，对于每个l∈ N、 我们证明了（p，s）是∧EN（x）的一个可行解，证明了（2.6）中的所有约束都得到了满足。首先，对于固定k∈ 对于（p，s），我们验证了（2.6）中的kthconstraint。我们考虑三种情况：1。假设Pnj=1πjkpj+xk<0。如果sk=1，则根据约束（2.7），pk≤nXj=1πjkpj+xk+M（1- 1） =nXj=1πjkpj+xk<0，这与约束（2.10）中（p，s）的可行性相矛盾。因此，sk=0，inits turn表示pk=0乘以（2.8）和（2.10）。根据p和s的定义，它认为pk=pk=0，因为k 6=i，sk=0。约束（2.7）保持aspk=pk=0≤nXj=1πjkpj+xk+M（1- sk）=nXj=1πjkpj+xk+M+πikby pk=0和sk=0的可行性，以及由于>0和πik≥ 约束（2.9）保持asnXj=1πjkpj+xk=nXj=1πjkpj+xk+πik≤nXj=1πjkpj+xk+≤ 0=MsksincePnj=1πjkpj+xk<0，πik≤ 1，因为取一个足够小的>0，以确保Repnj=1πjkpj+xk+≤ 节点k的约束条件（2.8）和（2.10）由pk=0和sk=0的可行性决定。因此，pk=0和sk=0满足（2.6）中的相应约束。2、假设Pnj=1πjkpj+xk=0。现在，sk=0或sk=1保持不变。如果sk=0，则通过约束条件（2.8）和（2.10），pk=0。

如果sk=1，则根据这种情况的假设和（2.7），pk≤Pnj=1πjkpj+xk+M（1- 1） =0，与（2.10）一起表示pk=0。此外，根据p和s的定义，pk=pk=0和sk=1。约束（2.7）保持aspk=pk=0≤nXj=1πjkpj+xk+M（1- sk）=nXj=1πjkpj+xk+M（1- 1） +πik=πik，sincePnj=1πjkpj+xk=0，>0和πik≥ 约束（2.9）保持asnXj=1πjkpj+xk=nXj=1πjkpj+xk+πik=πik≤ Msk=MsincePnj=1πjkpj+xk=0，≤ minl公司∈N{M- （Pnj=1πjlpj+xl）}≤ M定义为，0≤ πik≤ 1、很容易观察到，节点k的（2.6）中的所有其他约束条件主要通过pk=0和sk=1.3得到满足。假设0<Pnj=1πjkpj+xk。如果sk=0，则通过约束（2.9），nXj=1πjkpj+xk≤ Msk=0，这与假设相矛盾。因此，sk=1。此外，根据s的定义，sk=1。由于k=1，（2.8）和（2.10）由pk的可行性决定，因为k 6=i的pk=pk。此外，（2.9）由于>0被认为足够小，以确保xj=1πjkpj+xk=nXj=1πjkpj+xk+πik≤ M、 （A.1）事实上，回想一下假设Pnj=1πjl<n，对于每个l∈ N、 因此，f或每个l∈ N和forevery p∈ [0，\'p]，Pnj=1πjlpj+xl<M，其中M=n k'pk∞+ kxk公司∞. 因此，（A.1）由的选择来保证。（这是包含术语M的原因- 最大值∈N（Pnj=1πjlpj+xl），定义为。）注意，由于sk=1，pk≤Pnj=1πjkpj+xkholds。然后满足约束条件（2.7），因为cepk=pk≤nXj=1πjkpj+xk≤nXj=1πjkpj+xk+πik=Xj∈Nj6=iπjkpj+πik（pi+）+xk=nXj=1πjkpj+xk。基本满足约束条件（2.10）。因此，pkand sk满足（2.6）中的相应约束。接下来，我们证明pian和s满足（2.6）f或i中的约束。根据引理A.1的假设，它保持si=1，sincePnj=1πjipj+xi>0。然后，由于pi=pi+>0且pi=pi+，约束条件（2.8）和（2.10）成立≤ pi+(R)pi- 圆周率≤ \'\'pi，其中≤ “”pi- piholds s ince≤ min{Pnj=1πjipj+xi，\'pi}- ？pi。

Cons培训（2.7）持有aspi=pi+≤ pi+nXj=1πjipj+xi- pi=nXj=1πjipj+xi≤nXj=1πjkpj+xk+πik=Xj∈Nj6=iπjkpj+πik（pi+）+xk=nXj=1πjkpj+xk，其中≤Pnj=1πjipj+xi-piholds自起≤ min{Pnj=1πjipj+xi，\'pi}- ？pi。约束（2.9）保持nXj=1πjipj+xi=nXj=1πjipj+xi+πii=nXj=1πjipj+xi≤ Mby p的可行性，因为πll=0，对于每个l∈ N、 基本满足约束条件（2.10）。因此，pian和s满足（2.6）中相应的约束条件。因此，（p，s）是∧EN（x）的可行解。然而，自p≥ 当p6=p且f是严格递增函数时，它认为f（p）>f（p），这与p的最优性相矛盾。因此，pi=min{Pnj=1πjipj+xi，\'-pi}。定理2.7的证明。设（p，s）为∧EN（x）的MILP的最优解。为了证明p是一个清除向量，通过命题2.6，我们等价地证明ΦEN（p）=p∈ N、 回顾（2.5），我们考虑三种情况：1。假设Pnj=1πjipj+xi≤ 0。那么，通过（2.4），ΦENi（p）=0。根据引理A.1的顶点，对于这种情况，pi=0。因此，pi=0=ΦENi（p）。2、假设0<Pnj=1πjipj+xi≤ ？pi。然后，通过（2.4），ΦENi（p）=Pnj=1πjipj+xi。由于0<Pnj=1πjipj+xi，引理A.1，pi=minnnXj=1πjipj+xi，(R)pio=nXj=1πjipj+xi。因此，pi=Pnj=1πjipj+xi=ΦENi（p）。3、假设Pnj=1πjipj+xi＞pi。然后，通过（2.4），ΦENi（p）=π。当πjipj=1πjipj+xi>π>0时，同样通过引理A.1，π=minnnXj=1πjipj+xi，\'pio=\'pi。因此，pi=(R)pi=ΦENi（p）。因此，p是（N，π，(R)p，x）的清除向量。备注A.2。在定理2.7中，M=n k'pk∞+ kxk公司∞以确保合同（2.9）的可行性。换言之，选择M，使得pnj=1πjipj+xi就足够了≤ M、 foreach i公司∈ N和每p∈ [0，\'p]。此外，对于每个i∈ N和每p∈ [0，\'p]，因为Cpnj=1πji<n，它保持Ppnj=1πjipj<n k'pk∞. 因此，Pnj=1πjipj+xi≤ n k？pk∞+ kxk公司∞= M、 命题2.13的证明设p=（p，…）。

，pn）TbeΦRV+的固定点。为了证明p是（N，π，’p，x，α，β）的清除向量，让i∈ N、 如果'pi≤ xi+Pnj=1πjipj，然后ΦRV+i（p）=π=π≤ xi+Pnj=1πjipj，如果'pi>xi+Pnj=1πjipj，则ΦRV+i（p）=αxi+βPnj=1πjipj=pi≤ xi+Pnj=1πjipj，根据（2.11）中ΦRV+的定义，并且由于p是ΦRV+的一个固定点。因此，定义2.12中的有限责任和绝对优先权均成立。因此，p是（N，π，(R)p，x，α，β）的清除向量。A、 定理2.15的证明定理2.15的证明依赖于以下三个引理。引理A.3。设（p，s）为∧RV+（x）的MILP的最优解。让我∈ N使得αxi+βnXj=1πjipj<πpi≤ xi+nXj=1πjipj。那么，si=1。证据要得到一个矛盾，假设si=0。然后是pi≤ αxi+βPnj=1πjipj<piby约束（2.13）和假设。设p′∈ Rn+在除ithone以外的所有分量中都等于p，并设p′i=(R)pi。还有，让我们∈ Rn+在除ithone以外的所有分量中都等于s，且设s′i=1。通过检查（2.12）中的所有约束是否满足，我们证明（p′，s′）是∧RV+（x）的可行解。首先，对于固定k∈ N{i}，我们验证了（2.12）中（p′，s′）的kthconstraint。约束（2.13），（2.14）保持asp′k=pk≤ αxk+βnXj=1πjkpj+(R)pksk≤ αxk+βnXj=1πjkpj+(R)pksk+πik（(R)pi- pi）=αxk+βnXj=1πjkp′j+’pks′k，’pks′k=’pksk≤ xk+nXj=1πjkpj≤ xk+nXj=1πjkpj+πik（(R)pi- pi）=xk+nXj=1πjkp′j，因为每k的p′k=pk，s′k=sk∈ K使得K 6=i，(R)pi- pi>0，πik≥ 0和（p，s）的可行性。Cons traint（2.15）通过（p，s）的可行性微不足道。接下来，我们验证（2.12）中关于p′i=’pi，s′i=1的ITH约束。约束条件（2.13），（2.14）保持ASP′i=’pi≤ αxi+βnXj=1πjipj+’pis′i=αxi+βnXj=1πjipj+’pi+πii（’pi- pi）=αxi+βnXj=1πjip′j+’pi，’pis′i=’pi≤ xi+nXj=1πjipj=xi+nXj=1πjipj+πii（(R)pi- pi）=xi+nXj=1πjip′j，因为αxi+βPnj=1πjip′j≥ 0，πii=0，根据引理A.3的假设。

约束（2.15）微不足道。因此，（p′，s′）是∧RV+（x）的可行解。然而，由于p′≥ p′6=p，f是一个严格的增函数，它保持f（p′）>f（p），这与p的最优性相矛盾。因此，si=1。引理A.4。设（p，s）为∧RV+（x）的MILP的最优解。让我∈ N带'pi≤ xi+Pnj=1πjipj。然后，pi=(R)pi。证据要得到一个矛盾，假设pi<\'pi。设p′∈ Rn+在除ithone外的所有成分中均等于p，并设p′i=’Pi我们通过证明（2.12）中的所有约束均满足，证明（p′，s）是∧RV+（x）的可行解。首先，对于固定k∈ N{i}，我们验证（2.12）中（p′，s）的kthconstraint。约束条件（2.13）和（2.14）保持asp′k=pk≤ αxk+βnXj=1πjkpj+(R)pksk≤ αxk+βnXj=1πjkpj+(R)pksk+πik（(R)pi- pi）=αxk+βnXj=1πjkp′j+’pksk和‘pksk≤ xk+nXj=1πjkpj≤ xk+nXj=1πjkpj+πik（(R)pi-pi）=xk+nXj=1πjkp′j，因为每k的p′k=pk∈ K使得K 6=i，(R)pi- pi>0，πik≥ 0和（p，s）的可行性。（p，s）的可行性对约束（2.15）的适用性影响不大。接下来，我们验证（2.12）中关于p′i=’pi，si的ITH约束。我们考虑两种情况：1。假设“pi”≤ αxi+βPnj=1πjipj。然后，约束（2.13）和d（2.14）保持f或si=0和si=1 asp′i=’pi≤ αxi+βnXj=1πjipj+(R)pisi=αxi+βnXj=1πjipj+(R)pisi+πii（(R)pi- pi）=αxi+βnXj=1πjip′j+’pisi和‘pisi≤ xi+nXj=1πjipj=xi+nXj=1πjipj+πii（(R)pi- pi）=xi+nXj=1πjip′j，因为πii=0，并且根据引理A.4的假设。合同（2.15）仅适用于一般情况。2、假设αxi+βPnj=1πjipj<πpi。然后，通过引理A.3，si=1。然后约束（2.13）和（2.14）保持asp′i=’pi≤ αxi+βnXj=1πjipj+(R)pisi=αxi+βnXj=1πjipj+(R)pi+πii（(R)pi- pi）=αxi+βnXj=1πjip′j+’pi，且‘pisi=’pi≤ xi+nXj=1πjipj=xi+nXj=1πjipj+πii（(R)pi- pi）=xi+nXj=1πjip′j，因为πii=0，并且根据引理A.4的假设。

施工（2.15）令人满意。因此，（p′，s）是∧RV+（x）的可行解。然而，由于p′≥ p′6=p，f是一个严格的增函数，它保持f（p′）>f（p），这与p的最优性相矛盾。因此，pi=\'pi。引理A.5。设（p，s）为∧RV+（x）的MILP的最优解。让我∈ N，π>xi+Pnj=1πjipj。然后，pi=αxi+βPnj=1πjipj。证据为了得到一个矛盾，假设pi6=αxi+βPnj=1πjipj。如果si=1，则约束（2.14）不符合假设。因此，si=0，pi<αxi+βPnj=1πjipjby约束（2.13）。设p′∈ Rn+在除ithone以外的所有组分中均等于p，且设p′i=αxi+βPnj=1πjipj。通过检查（2.12）中的所有约束是否满足，我们证明（p′，s）是∧RV+（x）的可行解。首先，对于固定k∈ N{i}，我们验证（2.12）中（p′，s）的kthconstraint。约束条件（2.13）和（2.14）保持asp′k=pk≤ αxk+βnXj=1πjkpj+(R)pksk≤ αxk+βnXj=1πjkpj+(R)pksk+πik（(R)pi- pi）=αxk+βnXj=1πjkp′j+’pksk和‘pksk≤ xk+nXj=1πjkpj≤ xk+nXj=1πjkpj+πik（(R)pi-pi）=xk+nXj=1πjkp′j，因为每k的p′k=pk∈ K使得K 6=i，(R)pi- pi>0，πik≥ 0和（p，s）的可行性。（p，s）的可行性对约束（2.15）的适用性影响不大。接下来，我们验证（2.12）中对于p′i=αxi+βPnj=1πjipj，si=0的ITH约束。约束条件（2.13）和（2.14）h旧asp′i=αxi+βnXj=1πjipj≤ αxi+βnXj=1πjipj+(R)pisi=αxi+βnXj=1πjipj+πii（(R)pi- pi）=αxi+βnXj=1πjip′j，且'pisi=0≤ xi+nXj=1πjipj=xi+nXj=1πjipj+πii（(R)pi- pi）=xi+nXj=1πjip′j，因为πii=0，xi+Pnj=1πjip′j≥ 0、基本满足约束条件（2.15）。因此，（p′，s）是∧RV+（x）的可行解。然而，由于p′≥ p′6=p，f是一个严格的增函数，它保持f（p′）>f（p），这与p的最优性相矛盾。

因此，pi=(R)pi。我们结合上述引理的结果得出结论，并证明定理2.15。定理2.15的证明。设（p，s）为∧RV+（x）的MILP的最优解。为了证明p是一个清除向量，由于命题2.13，它需要显示ΦRV+（p）=p。让我们假设i∈ N、 回顾（2.11），我们考虑两种情况：1。假设“pi”≤ xi+Pnj=1πjipj。然后，通过（2.11），ΦRV+i（p）=π。引理A.4，pi=(R)pi。因此，pi=(R)pi=ΦRV+i（p）。2、假设'pi>xi+Pnj=1πjipj。然后，通过定义（2.11），ΦRV+i（p）=αxi+βPnj=1πjipj。根据引理A.5，pi=αxi+βPnj=1πjipj。因此，pi=αxi+βPnj=1πjipj=ΦRV+i（p）。因此，p是一个清除向量。B第3B节中结果的证明。定理3.2Let（z，（pk，sk）k的证明∈K） 是（3.9）中问题的可行解决方案。然后，对于每个k∈ K、 （pk，sk）是（3.3）中∧OPT（X（ωK）+BTz）的可行解，因为（3.9）中的优化问题包括（3.3）中的约束。因此，f对于每个k∈ K、 ∧OPT（X（ωK）+BTz）≥ f（pk），表示[λOPT（X+BTz）]≥KXk=1qkf（pk）≥ γ、 其中，第二个不等式通过（z，（pk，sk）k的可行性成立∈K） 。因此，z是（3.8）中问题的可行解决方案。So P（w）≤ Z（w）。相反，设oz为（3.8）中问题的可行解。对于每个k∈ K、 对于∧OPT（X（ωK）+BToz，存在一个非最优解（opk，osk）。那么，KXk=1qkf（opk）=E[λOPT（X+BToz）]≥ γ、 根据P（w）的定义。因此，（oz，（opk，osk）k∈K） 是（3.9）中问题的可行解决方案。So P（w）≥ Z（w）。B、 2第3.1.1节推论3.5的证明。日元：Rn→ 2Rn×Znbe是由yen（x）：=n（p，s）定义的集值函数∈ Rn×Zn | p≤∏Tp+x+M(- s）∧ （(R)p⊙ s） ，πTp+x≤ M s，p∈ [0，\'p]，s∈ {0，1}否（B.1），然后，应用定理3.2，Y=YENgives-PEN（el) = 禅宗（el).命题3.6.1的证明。Let（z，（pk，sk）k∈K） 成为问题的最佳解决方案。

要得到一个矛盾，假设zl> kXk公司∞+ k？pk∞. 设z′∈ RGbe向量，使得z′l= kXk公司∞+ k？pk∞和z′^l= z^lforeach^l ∈ G \\{l}. 我们声称（z′，（pk，sk）k∈K） 是问题的可行解决方案。的确，对于每一个我∈ N、 k级∈ K s uch那BTz′型i=kXk∞+ k？pk∞, 约束（3.15）h olds aspki≤nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTz′）i+ M（1- ski）=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+kXk∞+ k？pk∞+ M（1- ski）sincePnj=1πjipkj≥ 0，Xi（ωk）+kXk∞≥ 0，pki≤ “”pi≤ k？pk∞, M（1- 滑雪板）≥ 0.还有，对于每个人∈ N、 k级∈ K，使得（BTz′）i=kXk∞+ k？pk∞, 约束（3.17）h olds asnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTz′）i=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+kXk∞+ k？pk∞<nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+zl≤ Mski，假设kXk成立∞+ k？pk∞< zl以及（z，（pk，sk）k的可行性∈K） 。（3.13）中的所有其他约束由（z，（pk，sk）k的可行性决定∈K） ，因为它们是KXK的fr ee∞+ k？pk∞. 因此，下面的权利要求得到了zl= 禅宗el≤ z′l= kXk公司∞+ k？pk∞. 哮喘是一种矛盾，结果如下。为了得到一个矛盾，假设p问题有一个可行解，但ZEN（el) = -∞.自ZEN（el) = -∞, 存在>0和（z，（pk，sk）k∈K） ，其中z∈ RGand（pk、sk）∈Rn×Zn每k∈ K、 使elTz=zl= -2M和（z- el, （pk，sk）k∈K） 是这个问题的可行解决方案。修复i∈ N、 k级∈ K使得（BTz）i=zl= -2米。然后，约束（3.15）与约束（3.18）aspki相矛盾≤nXj=1πjipkj+（Xi（ωk）+（BT（z- el))i） +米（1- 滑雪板）≤nXj=1πjipkj+Xi（ωk）- 2米- +M=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）-  - 2 kXk∞- （n+1）k'pk∞=nXj=1πjipkj- n k？pk∞+Xi（ωk）- 2 kXk∞- k？pk∞- <0sincePnj=1πjipkj<n k？pk∞, Xi（ωk）≤ 2 kXk∞, -k？pk∞< 0, - < 0. 因此，（z-el, （pk，sk）k∈K） 是不可行的，这与假设相矛盾。因此，ZEN（el) > -∞. 此外，可行解的存在意味着ZEN（el) < +∞. 因此，ZEN（el) ∈ R、 3。假设γ≤T'p.设z=（kXk∞+ k？pk∞), pk=(R)p，sk=每k∈ K

我们证明了（z，（pk，sk）k∈K） 是解决这个问题的可行办法。自pk=每k的p∈ K、 很明显PK∈KqkTpk=T'p≥ γ. 因此，约束条件（3.14）成立。让我∈ N、 k级∈ K、 约束（3.15）保持asnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTz）i+ M（1- ski）=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（kXk∞+ k？pk∞)（BT）i+M（1- 1） =nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+kXk∞+ k？pk∞≥ (R)pi=pkisincePnj=1πjipkj≥ 0，Xi（ωk）+kXk∞≥ 0，（BT）i=1，ski=1。约束（3.17）保持asnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTz）i=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+kXk∞+ k？pk∞≤ 2 kXk∞+ （n+1）k'pk∞= M=Mski，sincePnj=1πjipkj≤ n k？pk∞. 对于每个k，通过选择z、pk和sk，（3.13）中的所有其他约束都很简单∈ K、 因此，（z，（pk，sk）K∈K） 是这个问题的可行解决方案。相反，如果γ>T'p，则约束（3.14）不可行，sincePk∈KqkTpk≤T'p<γbyconstraint（3.18）。因此，这个问题是不可行的，这就是证明。B、 3第3.1.2节推论3.8的证明。让YRV+：Rn→ 2Rn×Znbe由yrv+（x）：=n（p，s）定义的集值函数∈ Rn×Zn | p≤ αx+β∏Tp+(R)p⊙ s、 \'\'p⊙ s≤ x+πTp，p∈ [0，\'p]，s∈ 每x{0，1}个（B.2）∈ Rn+和YRV+（x）= 对于每个x∈ Rn\\Rn+。然后，应用定理3.2，y=YRV+给出PRV+el= ZRV公司+el.命题3.9.1的证明。Let（z，（pk，sk）k∈K） 是问题的最佳解决方案。为了得到一个矛盾，假设zl> kXk公司∞+αk？pk∞. 设z′∈ Rnbe是z′处的向量l= kXk公司∞+αk？pk∞andz′^l= z^l对于每个^l ∈ G \\{l}. 与命题3.6（i）证明中的论点类似，可以检查（z′，（pk，sk）k∈K） 是问题的可行解决方案。因此，zl= ZRV公司+el≤z′l= kXk公司∞+αk？pk∞. 由于这是一个矛盾，结果如下。2、为了得到一个矛盾，假设问题有一个可行的解bu t ZRV+（el) = -∞.设M=kXk∞+α（n+1）k'pk∞.

自ZRV+（el) = -∞, 存在>0和（z，（pk，sk）k∈K） ，其中z∈ Rnand（pk，sk）∈ Rn×Zn每k∈ K、 使elTz=zl= -M和（z- el, （pk，sk）k∈K） 是解决这个问题的可行办法。修复i∈ N、 k级∈ K这样BTz公司i=zl= -M、 与命题3.6（ii）证明中的论点类似，可以检查约束（3.23）与约束（3.26）相矛盾。因此，（z- el, （pk，sk）k∈K） 不可行，这与假设相矛盾。因此，ZRV+（el) > -∞. 此外，可行解的存在意味着ZRV+（el) < +∞. 因此，ZRV+（el) ∈ R、 3。假设γ≤T'p.让z=kXk公司∞+αk？pk∞, pk=(R)p，sk=每k∈ K、 在命题3.6（iii）的证明中，可以检查（z，（pk，sk）K∈K） 是解决问题的可行方案。相反，如果γ>T'p，则约束（3.22）不可行，sincePk∈KqkTpk≤T'p<γ受约束（3.26）。因此，（3.21）中的问题不可行。B、 4定理3.10Let（u，（pk，sk）k的证明∈K） 是（3.29）中问题的可行解决方案。对于每个k∈ K、 （pk，sk）是∧OPT（X）的可行解ωk+ BTv+u），因为（3.29）中的问题包括（3.3）的约束。因此，对于每个k∈ K、 ∧OPT（X（ωK）+BTv+u）≥ f（pk），表示[λOPT（X+BTv+u）]≥KXk=1qkf（pk）≥ γ、 其中，第二个不等式通过（u，（pk，sk）k的可行性成立∈K） 。那么，u是（3.28）中问题的可行解决方案。因此，P（v）≤ Z（v）。相反，让ou∈ R是（3.28）中问题的可行解决方案。然后，对于每个k∈ K、 ∧OPT（X（ωK）+BTv+ou）∈ 根据Y（X（ωk）+BTv+ou）的紧性，对于（3.3）中的∧OPT（X（ωk）+BTv+ou）问题，存在一个非最优解（opk，osk）。然后，KXk=1qkf（opk）=E[λOPT（X+BTv+ou）]≥ γ由P（v）定义。

因此，（ou，（opk，osk）k∈K） 是（3.29）中问题的可行解决方案。因此，P（v）≥ Z（v）。B、 5第3.2.1节推论3.11的证明。在推论3.5的证明中，设Y=YENas。然后，应用定理3.10得出PEN（v）=ZEN（v）。命题3.12.1的证明。Let（u，（pk，sk）k∈K） 成为问题的最佳解决方案。要得到一个矛盾，假设u>kXk∞+ kvk公司∞+ k？pk∞. 我们声称（umax，（pk，sk）k∈K） 是问题的可行解决方案。让我∈ N、 k级∈ K、 注意，CONSTRAINT（3.33）持有aspki≤nXj=1πjipkj+（Xi（ωk）+（BTv）i+umax）+M（1- ski）=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+kXk∞+ kvk公司∞+ k？pk∞+ M（1- ski）=nXj=1πjipkj+（Xi（ωk）+kXk∞) + （（BTv）i+kvk∞) + k？pk∞+ M（1- ski），sincePnj=1πjipkj≥ 0，Xi（ωk）+kXk∞≥ 0，（BTv）i+kvk∞≥ 0，pki≤ k？pk∞, M（1- 滑雪板）≥ 约束（3.35）保持asnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+kXk∞+ kvk公司∞+ k？pk∞<nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+u≤ Mski=Mby根据假设kXk∞+kvk公司∞+k？pk∞< u和（u，（pk，sk）k的可行性∈K） 。（3.31）中的所有其他约束均由（u，（pk，sk）k的可行性决定∈K） ，因为它们不含kXk∞+kvk公司∞+ k？pk∞. 因此，权利要求如下，其产生u=ZEN（v）≤ kXk公司∞+ kvk公司∞+ k？pk∞.由于这是一个矛盾，我们得到了期望的结果。为了得到一个矛盾，假设问题有一个可行的解决方案，但ZEN（v）=-∞.然后，存在>0和（pk，sk）k∈K、 其中（pk、sk）∈ Rn×Zn每k∈ K、 因此(-2米-，（pk，sk）k∈K） 是问题的可行解决方案。修复i∈ N、 k级∈ K、 那么约束（3.33）违反了约束（3.36）aspki≤nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i- 2米- + M（1-滑雪板）≤nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i- - M=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i- - 2 kXk∞- 2千伏∞- （n+1）k'pk∞=nXj=1πjipkj- （n+1）k'pk∞+Xi（ωk）- 2 kXk∞+（BTv）i- 2千伏∞-<0，sincePnj=1πjipkj<（n+1）k'pk∞, Xi（ωk）≤ 2 kXk∞, （BTv）i≤ 2千伏∞, - < 0.

因此(-2米-，（pk，sk）k∈K） 是不可行的，这与假设相矛盾。因此，ZEN（v）>-∞. 另一方面，禅（v）<+∞ 通过可行解的存在。So ZEN（五）∈ R、 3。假设γ≤T？p.L etu=kXk∞+ kvk公司∞+ k？pk∞, pk=(R)p，sk=每k∈ K、 Weshow that（u，（pk，sk）K∈K） 是解决这个问题的可行办法。自pk=每k的p∈ K、 原来是这样的∈KqkTpk=T'p≥ γ. 因此，约束（3.32）成立。现在Fix i∈ N、 k级∈ K、 约束（3.33）保持asnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+u+ M（1- ski）=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+u+M（1- 1） =nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+kXk∞+ kvk公司∞+ k？pk∞≥ (R)pi=pki，sincePnj=1πjipkj≥ 0，Xi（ωk）+kXk∞≥ 0，（BTv）i+kvk∞≥ 0，ski=1，通过选择K。约束（3.35）保持asnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+u=nXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+kXk∞+ kvk公司∞+ k？pk∞≤ 2 kXk∞+ 2千伏∞+ （n+1）k'pk∞= M=Mski，sincePnj=1πjipkj≤ n k？pk∞. 通过为每个k选择u、pkandsk，所有其他约束都很简单∈ K、 因此，（u，（pk，sk）K∈K） 是解决这个问题的可行办法。相反，如果γ>T'p，则约束（3.32）不可行，sincePk∈KqkTpk≤T'p<γ，byconstraint（3.36）。因此，该问题不可行，从而完成了证明。B、 6推论3.15第3.2.2节中结果的证明。在推论3.8的证明中，设Y=YRV+as。根据定理3.10，结果如下。命题3.16.1的证明。Let（u，（pk，sk）k∈K） 成为问题的最佳解决方案。要得到一个矛盾，假设u>kXk∞+kvk公司∞+αk？pk∞. 根据命题3.12（i）证明中的类似论点，可以证明（kXk∞+kvk公司∞+αk？pk∞, （pk，sk）k∈K） 是解决这个问题的可行办法。因此，u=ZRV+（v）≤ kXk公司∞+ kvk公司∞+αk？pk∞, 这是一个矛盾。2、为了得到一个矛盾，假设p问题有一个可行解，但ZRV+（v）=-∞.设M=kXk∞+ kvk公司∞+α（n+1）k'pk∞.

然后，存在>0和（pk，sk）k∈K、 在哪里pk，sk∈ Rn×Zn每k∈ K、 因此(-M- ，（pk，sk）k∈K） 是解决这个问题的可行办法。修复i∈ N、 k级∈ K、 在命题3.12（ii）的证明中，可以检查约束（3.41）是否违反约束（3.44）。因此(-M- ，（pk，sk）k∈K） 是不可行的，这与假设相矛盾。因此，ZRV+（v）>-∞. 结合问题的可行性，可以得出ZRV+（v）∈ R、 3。假设γ≤T'p.Letu=kXk∞+ kvk公司∞+αk？pk∞, pk=(R)p，sk=每k∈ K、 在命题3.12（iii）的证明中，可以证明（u，（pk，sk）K∈K） 是解决这个问题的可行办法。相反，如果γ>T'p，则约束（3.40）不可行，sincePk∈KqkTpk≤T'p<γ，受约束（3.44）。因此，这个问题是不可行的，这就是证明。C非凸Benson型算法在本节中，我们提出了一种近似于Eisenberg-Noe和Rogers-VeraartSystem风险度量的算法。风险度量根据用户定义的近似误差>0和上限点zUB进行近似∈ RG。该算法基于inNobakhtian和Sha fiei（2017）描述的非凸多目标规划问题的Benson型算法，借用了以下定义。让我 RG。A点v∈ 如果v的邻域N不能表示为L上两个不同点的严格凸组合，则L称为L的顶点∩ N、 L的所有顶点的集合由vertL表示。符号intL表示L的内部。给定apoint z∈ RGand L RG，我们定义L | z：={v∈ L | v≤ z} 。设R、L、U RG，z∈ RGand>0。集合L称为R相对于和z的外近似，如果R L和L | z R+B（0，），其中B（0，）是RG中的闭合球，以0为中心，半径为。

如果R是U相对于和z的外部近似值，则集合U称为R相对于和z的内部近似值。计算系统风险度量值的内部和外部近似值的算法如下所示。由于其适用于罗杰斯·维拉特系统风险度量，因此仅为艾森伯格无e系统风险度量提供了详细信息。设（N，π，’p，X）为有符号EisenbergNoe网络。设G是网络中的组数，G={1，…，G}。考虑相应的Eisenberg-Noe系统性风险度量（X）。让齐德尔∈ RGbe是（3.6）中向量优化问题的理想点，∧OPT=∧EN，其定义见备注3.4。可以计算zideal=（ZEN（e），ZEN（eG））Tby推论3.5。此外，对于v∈ RG，最小步长PEN（v）可通过求解推论3.11中的MILP问题ZEN（v）获得。该算法从初始内近似U：=zUB+RG+和初始外近似L：=zideal+RG+开始，满足U 任（X） 五十、 设ε=，初始设置← 0.在t接合处，对于顶点vt∈vertLt | zUB使vt+ε/∈ int Ut，该算法求解ZEN（vt）以获得从点vt到方向REN（X）边界的最小步长ut∈ RG。换句话说，yt=vt+u是集合REN（X）的边界点。然后该算法排除了圆锥体yt-RG+从Lt获得Lt+1：=Lt \\（yt-RG+，并将圆锥体yt+RG+添加到UTT，以获得Ut+1，如下所示：Ut+1：=Ut∪（yt+RG+）。在此之前，在算法的每一步，我们都有Ut Ut+1 任（X） Lt+1 Lt.在t操作结束时，计算vertLt+1。Gourion和Luc（2010）详细描述了vertLt+1的计算。上述过程对t重复← t+1。当vertLT | zUB+ε  int UT。

集合UTand和Lt是REN（X）关于>0和zUB的内外近似值∈ RG。请注意，zUBhas的选择应确保zUB∈ REN（X）表示非空近似。算法1中提供了Eisenber g-Noe系统风险度量算法的伪代码。算法1。REN（X）初始化的内外近似算法。（i1）让zUB∈ REN（X），L=zideal+RG+，U=zUB+RG+，且>0。（i2）放置ε=并设置t← 0，S← .迭代。（k1）If（vertLt | zUB） S、 然后设置T=T并转到（r1）。否则，选择vt∈ （vertLt | zUB）\\S.（k2）如果vt+ε∈ int Ut，然后设置S← S∪ {vt}并转到（k1）。（k3）假设ut=PEN（vt）。定义yt=vt+ut.（k4）定义Lt+1：=Lt\\年初至今- RG公司+和Ut+1：=Ut∪yt+RG+.（k5）确定vertLt+1并设置t← t+1。转到（k1）。后果（r1）LTI是REN（X）的外部近似值，UTI是REN（X）的内部近似值。参考文献C,。Ararat和B.Rudloff。系统性风险度量的双重表示。《数学与金融经济学》，14（1）：139–1742020。P、 Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。《数学金融》，9（3）：203–2281999年。H、 P.本森。一种外近似算法，用于在多目标线性规划问题的结果集中生成所有有效的极值点。《全局优化杂志》，13:1–241998年。F、 Biag ini、J.-P.Fouque、M.Fritelli和T.Meyer Brandis。通过验收集进行系统ris k测量的统一方法。《数学金融》，29（1）：329–3672019年。C、 Chen、G.Iyengar和C.C.Moallemi。系统ris的公理化方法k.管理科学，59（6）：1373–13882013。五十、 艾森伯格和T·H·诺。金融系统中的系统风险。《管理科学》，47（2）：236–2492001。P、 埃尔多斯和阿伦伊。《随机图I.数学出版》，6:290–2971959。Z、 范斯坦、B.鲁德罗夫和S.韦伯。系统风险度量k。

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