系统性风险度量的计算：混合整数线性

2022-6-14 08:07:51

系统风险度量的计算：一种混合整数线性规划方法C,agin Ararat*Nurtai Meimanjanov+2021年1月17日抽象系统性风险与金融系统的不稳定性有关，其成员依赖于少数机构的倒闭可能引发整个系统的一连串违约。最近，文献中提出了几种系统性风险度量，用于确定受联合风险考虑影响的成员的资本要求。我们解决了为具有复杂清算机制的系统计算系统风险度量的问题。特别是，我们考虑了Eisenberg-Noe网络模型和Rogers-Veraart网络模型，其中前者扩展到cas e，在cas e中，系统中的运营现金流在符号上不受限制。我们提出了新的混合整数线性规划问题，可用于计算这些模型的清除向量。由于这些问题中的二元变量，相应的（集值）系统风险度量通常不具有凸值。我们将非凸向量优化问题与这些系统性风险度量相关联，并在扩展的Eisenberg-Noe-andRogers-Ver-aart模型下提供了与这些表的加权和和和最小步长标度化相关的理论结果。

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2022-6-14 08:07:53

我们在计算示例上测试所提出的公式，并对一些模型特定参数和结构参数进行敏感性分析。关键词和短语：系统风险度量、集值风险度量、Eisenber g-Noe模型、Rogers-Veraart模型、混合整数线性规划、向量优化。数学学科分类（2010）：26E25、90C11、90C29、91B30。*土耳其安卡拉比尔肯特大学工业工程系，cararat@bilkent.edu.tr.+德勤独联体，吉尔吉斯斯坦比什凯克，nurtaimeimanjanov@gmail.com.1导言1.1动机和文献综述金融传染通常与外部相关冲击引发的金融系统故障链以及系统成员之间的直接或间接相互依赖性有关，从经济角度来看，这些因素会导致不良后果，如金融危机、紧急贷款的必要性、，经济衰退、国债上涨等等。银行挤兑就是一个很好的例子，当大量持有人因恐慌或对银行的信心下降而从银行撤回其货币，导致银行破产。反过来，该银行可能会向其他银行索取索赔，降低对它们的信心，并导致新的挤兑。由于无法偿还债务，一些银行可能会破产，从而进一步加剧危机的蔓延。与传统的机构风险不同，系统性风险与整个金融系统抵御金融传染的强度有关。在本文中，我们考虑了成员之间通过合同责任直接联系的金融系统。当成员实现其经营现金流时，通过清算程序确定当前的银行间支付。

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2022-6-14 08:07:57

作为此类系统的一个例子，Eisenberg和Noe（2001）将金融系统建模为一个静态定向的银行网络，其中银行间负债附属于ARC。假设每家银行的运营现金流为正，本文提出了两种计算清算向量的方法，即支付向量以满足银行间负债。第一种是一种简单的算法，称为“有效默认算法”（ctivious defaultalgorithm），它通过无数次更新逐步计算出一个清除向量。第二个问题是一个二次曲线数学规划问题，其线性约束由负债、经营现金流和任意增长的目标函数决定。特别是，可以选择一个线性目标函数，以便计算出一个清除向量作为线性规划问题的最优解。作为Eisenberg-Noe模型的重要扩展，Rogers和Veraart（2013）在Eisenberg和Noe（2001）中引入了违约成本模型。此外，罗杰斯和维拉特（2013）的主要关注点之一是调查教育机构纾困程序的必要性。研究表明，在严格的正违约成本下，一些有偿付能力的机构接管破产机构可能会有好处。有关清除系统的详细回顾，读者可参考Kabanov等人（2017）的调查，该调查侧重于清除向量的存在性和唯一性，以及通过Eisenberg和Noe（2001）中的实际默认算法的某些变化进行计算。然而，据我们所知，这些作品都没有建立在Eisenberg和Noe（2001）的数学规划方法之上。另一方面，由于相关风险因素，网络成员的经营现金流通常会受到不确定性的影响。

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可人4

2022-6-14 08:07:59

因此，这些现金流可以建模为具有可能相关成分的随机向量的一种可能实现。然后，结果清算向量是运营现金流随机向量的确定性函数，其中确定性函数通过非确定性清算机制定义。基于随机清算向量，可以确定各种系统性风险度量，以计算网络成员的必要资本分配，以控制某些（非线性）平均值的过度变化。这是最近从Chen等人（2013）开始的一系列研究的主要焦点。使用清算机制，可以定义与清算向量相关的随机总量，例如系统中支付的总债务或所有成员因清算而产生的总股本。该聚合量可视为经营现金流向量的一个确定性和标量函数，称为聚合函数。Chen等人（2013）将系统风险度量定义为经营现金流向量的标量函数，通过凸风险度量（F¨ollmer and Schied，2011，第4章），如负预期值、平均风险值或熵风险度量，度量随机聚集量的风险。Chen等人（2013年）的系统风险度量值可被视为系统的总资本要求，以将总量风险保持在可接受的水平。然而，由于总资本仅在冲击累计后使用，因此将总资本分配给系统成员仍然是一个需要通过附加程序解决的问题。为此，Feinstein et al.（2017）和Biagini et al.（2019）分别提出了对资本水平“敏感”的集值和标量系统性风险度量。

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2022-6-14 08:08:03

这些系统性风险指标寻找确定性的资本配置向量，这些资本配置向量直接用于增强rand om运营现金流向量。因此，新增加的现金流向量被聚合，由此产生的随机聚集量的风险由凸风险度量控制，如Chen等人（2013）所述。特别是，Feinstein et al.（2017）提出的集值系统风险度量值是所有“可行”资本配置向量的集合，它将系统风险的度量和分配作为一个联合问题来解决。当基础聚集函数足够简单时，Feinstein et al.（2017）和Biagini et al.（2019）研究的敏感系统性风险度量具有方便的理论特性。在Ararat和Rudloff（2020）中，假设一个单调和凹的聚集函数，在Hamel et al.（2011）的观点中，集值敏感系统风险度量是一个凸集值风险度量，并根据聚集函数的共轭函数获得了对偶表示。特别是，假设与Eisenberg和Noe（2001）中的原始公式一样，运营现金流为正，Eiseberg-Noe模型的聚合函数是单调和凹的，并且该模型相应的系统风险度量得到了明确的对偶表示。1.2论文的贡献在本文中，我们关注敏感系统风险度量的计算。我们将该系统风险度量的值与向量（多目标）优化问题相关联，该向量（多目标）优化问题的“有效边界”对应于系统风险度量的边界。向量优化问题有一个用聚合函数表示的风险约束。

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2022-6-14 08:08:06

解决这一问题的主要挑战是，需要针对基础概率空间的每一个场景以及作为优化问题决策变量的资本配置向量的每一个选择来评估聚合函数。对于标准的Eisenberg-Noemodel模型，由于清算向量的线性规划特性，可以根据场景和资本配置向量参数化的线性规划问题来公式化聚合函数。因此，最终的向量优化问题可以看作是嵌套优化问题。我们特别关注标准艾森伯格Noe框架之外的模型，以及积极的运营现金流。首先，我们通过放宽积极性假设来扩展艾森伯格-诺伊模型。其次，我们研究了具有违约成本的罗杰斯-维拉特模型。事实证明，这两种模型都有一种常见的奇点，可以用二进制变量来表示，这是本文研究的一种新特性。我们的主要贡献之一是发展混合整数线性规划问题（MILP），其最优解在这些模型中产生清除向量。我们选择这些优化问题的目标函数的方式是，最优值给出相应模型中清算时支付的总债务。因此，我们计算聚合函数作为这些优化问题的最优值。在相关的优化问题中，二元变量的存在导致相应的聚合函数缺乏一致性。因此，与现有关于集值和标量系统风险测度的文献相比，这两个模型的敏感系统风险测度并不具有凸性的良好理论特征。

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2022-6-14 08:08:09

特别是，Ararat和Rudloff（2020）研究的s y系统风险度量的双重表示法不适用于我们的环境。事实上，我们甚至发现，这些系统风险度量值通常都不是凸集。因此，我们的一个基本发现是，一元变量和随之而来的凹凸性缺失自然表现出来，其代价是使用标准Eisenberg-Noe f框架之外更复杂的聚合机制。虽然我们的主要兴趣是用于计算的符号Eisenberg-Noe和Rogers-Veraart模型，但我们遵循统一的方法，使用混合整数优化问题中定义的一般聚合函数进行理论发展。为了能够近似对应的系统风险度量的非凸值，我们将一个（generallynonconvex）向量优化问题与之关联。作为一种通用范例，解决向量优化问题的算法通过解决某些尺度化问题（例如，加权求和尺度化）以及其他计算过程（例如，顶点枚举子程序）进行迭代。例如，用于线性向量优化的Benson算法（Benson，1998），用于凸向量优化的L¨ohne et al.（2014）中的Benson型算法，以及用于非凸向量优化的Nobakhtian和Sha fiei（2017）中的Benson-typ算法都遵循这种模式。因此，此类算法的有效性取决于解决标量化问题的能力。我们开发了两种方法来解决s y系统风险度量向量优化问题的两个常用标度化问题：加权和标度化问题和PascolettiSera fini标度化问题，其中包括计算进入具有固定方向的集的最小步长。

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能者818

2022-6-14 08:08:12

我们证明了两个签名的Eisenberg-Noe-andRogers-Veraart模型的两个标度化问题都可以表示为MILP问题。我们还证明了与这些MILP问题的可行性和有界性有关的一些结果。利用这些方法，我们在Nobakhtian和Sha fiei（2017）中作为非凸算法的子程序解决了尺度化问题。应该注意的是，这种算法的选择根本不是任意的；事实上，由于公式中存在二元变量，两个模型对应的向量优化问题都是非凸的，因此使用一种不带凸性假设的算法至关重要。我们对这两个模型进行了详细的计算研究，并对一些模型参数进行了敏感性分析，例如罗杰斯-维拉特模型中的默认成本参数、风险约束中使用的阈值水平，以及一些确定网络互联性的参数。本文的其余部分组织如下。我们在第2节详细研究了Eisenberg-Noe和Rogers-Veraartnetwork模型以及clearingvectors的数学规划特征。在第3节中，我们将在这些模型和相关的非凸向量优化问题的背景下研究敏感的系统性风险度量。第2、3项结果的证明分别推迟到附录A、B中。我们在第4.2节中给出了清算系统的MILP问题的计算结果。在本节中，我们首先在第2.1节中回顾了原始的艾森伯格Noe模型。

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大多数88

2022-6-14 08:08:15

在这个模型中，清除向量可以通过求解一个简单的线性规划p问题（命题2.3）来计算。在第2.2节中，我们提出了一种基于资历的艾森伯格-诺伊模型的扩展，允许签名操作现金流，并提供了一种新的混合整数线性规划（MILP）澄清向量公式（定理2.7）。最后，在第2.3节中，我们考虑了罗杰斯-维拉特模型，并提供了一种新的清除向量的MILP公式（定理2.15）。让我们介绍相关的符号。让n∈ N： ={1，2，…}。给定a、b∈ R、我们写了∧ b=最小值{a，b}，a∨ b=最大{a，b}，a+=0∨ a、和a-= 0∨ (-a）。类似地，给定a=（a，…，an）T，b=（b，…，bn）T∈ Rn，我们写了∧ b=（a∧ b一∧ bn）T，a∨ b=（a∨ b一∨ bn）Tas以及a+=0∨ a、和a-= 0∨ (-a），其中0=（0，…，0）T∈ 注册护士。我们有时使用=（1，…，1）T∈ Rnas良好。向量a⊙b=（ab，…，anbn）t表示a，b的哈达玛乘积≤ b如果，d仅当ai≤ B每个i∈ {1，…，n}。在这种情况下，我们还定义了直角[a，b]=[a，b]×。×[安，bn] 注册护士。使用≤ 在Rn上，我们定义Rn+：={x∈ Rn | 0≤ x} ，其元素据说是积极的。最后，kak∞:= max{| a |，…，| an |}是l∞-a.2.1 Eisenberg Noe网络模型的规范本节提供了Eisenberg er g和Noe（2001）中的原始Eisenberg Noe网络模型及其相应的聚合函数，以确保完整性。定义2.1。如果某些N的N={1，…，N}，则称四重（N，π，\'-p，x）为Eisenberg-N oe网络∈ N、 π=（πij）i，j∈N∈ Rn×n+是一个随机矩阵，每个矩阵的πii=0，Pnj=1πji<n∈ N、 \'p=（\'p，…，\'pn）T∈ Rn++，x=（x，…，xn）T∈ Rn+。在定义2.1中，N是网络中的一组节点，代表N个机构的金融系统。每一个我∈ N、？pi>0表示节点i的负债总额。

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可人4

2022-6-14 08:08:18

我们称“P”为总义务向量。对于每个i，j∈ N使得i 6=j，πij>0表示N节点j的总负债的分数。我们称π为相对负债矩阵。每一个我∈ N、假设πii=0意味着节点i不能对自身承担责任。ByPnj=1πji<n始终为y i∈ N、我们假设没有节点拥有网络中的所有声明。注意，给定p和π，对于每个i，j∈ N、节点i对节点j的名义责任lij可计算为lij=πij'pi。对于每个i∈ N、 xi≥ 0表示节点i的营运现金流。我们称x为营运现金流向量。设（N，π，’p，x）为Eisenberg-Noe网络。对于每个i∈ N、让pi≥ 0是节点i向网络中其他节点支付的所有款项的总和。那么，p=（p，…，pn）T∈ Rn+被称为支付向量。定义2.2。A向量p∈ [0，\'p]被称为（N，π，\'p，x）的清算向量，如果它满足以下属性：o有限责任：对于每个∈ N、 pi≤Pnj=1πjipj+xi，这意味着节点i不能支付比它更多的费用绝对优先级：对于每个i∈ N、 pi=(R)pi或pi=Pnj=1πjipj+xi，这意味着节点i要么全额履行其义务，要么通过支付尽可能多的款项来实现。设ΦEN+：[0，\'p]→ [0，\'p]由ΦEN+（p）定义：=πTp+x∧ \'p.（2.1）Eisenberg和Noe（2001）表明，（N，π，\'p，x）的清除向量p是ΦEN+，即ΦEN+（p）=p的固定点。接下来，我们回顾清除向量的数学规划特征，这是我们后续推广的基础。我们用函数f:Rn表示th→ R严格递增如果a≤ b和a 6=b意味着对于每个a，b，f（a）<f（b∈ 注册护士。提案2.3。（Eisenberg和Noe，2001，引理4）Let f:Rn+→ R是严格递增函数。

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2022-6-14 08:08:20

考虑以下带有线性约束的优化问题：最大化f（p）服从p≤ πTp+x，p∈ [0，\'p]。（2.2）如果p∈ Rn+是这个优化问题的最优解，那么它就是（N，π，(R)p，x）的清除向量。网络中的每个成员都会对经济产生影响。正如最近有关系统风险度量的文献（见第1.1节）所述，我们使用聚合函数来总结这些单独的影响，并量化网络的总体影响。我们定义了聚合函数∧EN+：Rn+→ R对于Eisenberg-Noe网络（N，π，’p，x），通过∧EN+（x）：=supf（p）| p≤ πTp+x，p∈ [0，\'p]（2.3）对于每个x∈ Rn+，其中f：Rn+→ R是严格递增函数，即∧EN+（x）是（2.2）中问题的最优值。作为一种特殊情况，f可以被视为一个线性函数，在这种情况下，（2.2）中的问题是一个线性规划问题。2.2签署的Eisenberg Noe网络模型在最初的Eisenberg Noe网络模型中，假设经营现金流矢量具有正分量。然而，在现实中，可能会发生这样的情况，即一家机构对外部实体负有责任，而这些实体并没有被建模为网络的一部分，这会导致负运营现金流或正运营成本。定义2.4。如果定义2.1中的N、π和pare，且x=（x，…，xn）T∈ 注册护士。请注意，定义2.4删除了运营现金流的积极性假设。我们的目标是通过扩展定义2.2以及负运营现金流的额外资历假设，提供清算向量的新定义。基于这一定义，我们证明了清除向量的一个固定点和一个数学规划特征。最后，我们通过一个MILP问题引入了一个相关的聚合函数。设（N，π，’p，x）为有符号Eisenber g-Noe网络。

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2022-6-14 08:08:23

我们假设网络外有义务的节点，即运营现金流为负的节点必须首先履行这些义务，如果他们在“第一轮”中没有违约，那么他们应该履行对网络内其他节点的义务。在这个“第二个”节点上，就像在原始的Aleisenberg-Noe网络模型中一样，它们要么全额履行对其他节点的义务，要么支付手头和默认的尽可能多的费用。这激发了以下定义。定义2.5。A向量p∈ [0，\'p]被称为（N，π，\'p，x）的清除向量，如果它满足以下属性：o立即默认值：f或每个i∈ N、 ifPnj=1πjipj+xi≤ 0，则pi=0。o有限责任：对于每个i∈ N、如果Pnj=1πjipj+xi>0，则pi≤Pnj=1πjipj+xi，这意味着如果节点i的运营现金流严格为正，那么它支付的金额就不能超过它所支付的金额绝对优先级：对于每个i∈ N、如果Pnj=1πjipj+xi>0，则pi=(R)pi或pi=Pnj=1πjipj+xi，这意味着如果节点i的运营现金流严格为正，则它要么全额履行其义务，要么通过支付尽可能多的现金来违约。LetΦEN:[0，\'p]→ [0，\'p]由ΦEN（p）定义：=\'\'p∧ （πTp+x）+, （2.4）或更明确地说∈ N、 ΦENi（p）=0 ifPnj=1πjipj+xi≤ 0，Pnj=1πjipj+xi如果0<Pnj=1πjipj+xi≤ π，\'piifPnj=1πjipj+xi>\'pi。（2.5）如果x∈ Rn+，然后Φ包含（2.1）中为原始艾森伯格Noe网络模型定义的函数ΦEN+。接下来，我们建立清除向量的定点特征。提案2.6。A向量p∈ [0，\'p]是（N，π，\'p，x）的清除向量，当且仅当它是ΦEN的fix edpoint。下一个定理是第2.2节的主要结果。

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2022-6-14 08:08:26

它扩展了signedEisenberg-Noe网络模型的命题2.3，表明清除向量可以计算为某个MILP的最优解。因此，放松对操作现金流向量的积极性假设是以在清理向量的数学规划特征中使用二进制变量为代价的，因此，在最初的连续优化问题中添加了离散特征。定理2.7。让x∈ Rnand用∧EN（x）表示MILP问题的最佳值最大化f（p）（2.6），以pi为准≤nXj=1πjipj+xi+M（1- si），i∈ N、（2.7）pi≤ “”pisi，i“∈ N、（2.8）nXj=1πjipj+xi≤ Msi，i∈ N、（2.9）0≤ 圆周率≤ ？pi，si∈ {0，1}，i∈ N、（2.10）式中f:Rn+→ R是严格递增的线性函数，M=n k'pk∞+ kyk公司∞. 如果（p，s）是上述问题的非最优解，那么p是（N，π，(R)p，x）的清除向量。定理2.7的证明见附录A.2。备注2.8。函数∧En通常不凹。设u=（u，…，un）T∈ {0，1}nbe是一个二元向量，其中，如果xi<0，ui=0，如果xi<0，ui=1≥ 0，对于每个i∈ N、然后（p，s）=（0，u）∈ Rn×Zn是（2.6）中MILP的可行解决方案。此外，由于f是矩形[0，\'p]上的有界函数 Meyer（1974，Theorem2.1）提出的Rn+，MILP有一个最优解。注意，根据定理2.7，（2.6）中MILP最优解的存在证明了网络（N，π，(R)p，x）的清除向量的存在。备注2.9。f的线性不是保持eorem 2.7的必要条件。备注2.10。与上述基于资历的方法不同，一种天真的方法是引入一个额外的节点，并将节点的负运营现金流视为对该额外节点的负债，正如Eisenberg和Noe（2001）所建议的，该节点本身既没有义务，也没有运营现金流。

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2022-6-14 08:08:30

该方法适用于Eisenberg和Noe（2001）中描述的实际默认算法，这样可以找到原始网络的清除向量。然而，由于新网络的相对负债矩阵取决于运营现金流向量，因此修改后的网络缺乏对原始网络的可靠解释。因此，我们在这里不遵循这条路线。2.3 Rogers-Veraart网络模型在Rogers和Veraart（2013）中，原始的Eisenberg-Noe网络模型通过包含违约成本进行了扩展。假设违约节点无法使用其所有流动资产来履行其义务。与Eisenberg-Noe模型不同，数学编程公式清除向量的可能性对于罗杰斯·维拉特来说似乎是一个开放的问题。我们通过提出一个MIL P来弥补这一差距，该MIL P的最佳解决方案包括罗杰斯-维拉特网络模型的清除向量。基于这一特征，我们定义了一个聚合函数，并提供了与网络模型的关系。最后，受定义2.2的启发，我们为罗杰斯-维拉特网络模型提出了清除向量的弱定义。定义2.11。如果某些N的N={1，…，N}，则称六元组（N，π，\'-p，x，α，β）为Rogers-Veraart网络∈ N、 π=（πij）i，j∈N∈ Rn×n+是一个随机矩阵，πii=0，Pnj=1πji<n foreach i∈ N、 \'p=（\'p，…，\'pn）T∈ Rn++，x=（x，…，xn）T∈ Rn+和α，β∈ （0，1）。如定义2.1所示，N是具有N个机构的网络中的节点集，\'p是总债务向量，π是相对负债矩阵，x是经营现金流向量。

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2022-6-14 08:08:33

据推测，违约节点可能无法使用其所有流动资产来履行其义务。为此，我们使用α作为运营现金流的分数，使用β作为其他节点现金流的分数，违约节点可以使用这些节点来履行其义务。设（N，π，’p，x，α，β）为Rogers-Veraart网络。对于每个i∈ N、让pi≥ 0是节点i向网络中其他no DE支付的所有款项的总和。那么，p=（p，…，pn）T∈ Rn+被称为支付向量。受艾森伯格Noe网络清除向量定义2.2的启发，我们建议罗杰斯-维拉特网络清除向量的类似定义如下（N，π，’p，x，α，β）。定义2.12。A向量p∈ [0，\'p]被称为（N，π，\'p，x，α，β）的清算向量，如果它满足以下属性：o有限责任：对于每个∈ N、 pi≤ xi+Pnj=1πjipj，这意味着节点i不能支付比它更多的费用绝对优先级：对于每个i∈ N、 pi=(R)pi或pi=αxi+βPnj=1πjipj，这意味着N模式i要么必须全额履行其义务，要么通过尽可能多的支付违约。设ΦRV+：[0，\'p]→ 【0，’p】由ΦRV+i（p）定义：=“”piif“”pi≤ xi+Pnj=1πjipj，αxi+βPnj=1πjipjif'pi>xi+Pnj=1πjipj，（2.11）∈ N、观察到，如果α=1和β=1，那么函数ΦRV+将从最初的Eisenberg No e网络模型变成（2.1）中通常的ΦEN+。下一个命题对这项工作来说是新颖的，它在计算罗杰斯-维拉特模型中的清除向量时很有用。其证明见附录A.3。提案2.13。A固定点p∈ ΦRV+的[0，\'p]是（N，π，\'p，x，α，β）的清除向量。备注2.14。命题2.13的逆命题一般不成立。

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能者818

2022-6-14 08:08:35

这里有一个反例。考虑罗杰斯-维拉特网络（N，π，\'p，x，α，β）和支付向量p，其中N={1，2}，π=0 11 0, \'\'p=, x个=, p=,α = 0.5, β = 0.5. 根据定义2.12，p是（N，π，’p，x，α，β）的清算向量，因为它满足绝对优先权和有限责任。然而，通过（2.11），ΦRV+（p）=25>p=15。因此，p不是ΦRV+的固定点。下一个定理是第2.3节的主要结果。在定理2.7的spir it中，对于signedEisenberg-Noe网络，它为Rogersverart网络（N，π，’p，x，α，β）提供了清除向量的MILP特征。定理2.15。对于每个x∈ Rn+，表示为∧RV+（x）根据pi，MILPmaximize f（p）（2.12）的最佳值≤ αxi+βnXj=1πjipj+πpisi，i∈ N、（2.13）pisi≤ xi+nXj=1πjipj，i∈ N、（2.14）0≤ 圆周率≤ ？pi，si∈ {0，1}，i∈ N、（2.15）式中f:Rn+→ R是严格递增的线性函数；对于每个x∈ Rn\\Rn+，设置∧RV+（x）=-∞对于不确定性。如果（p，s）是上述MILP的最优解，那么p是（N，π，(R)p，x，α，β）的清除向量。附录A.4给出了定理2.15的证明。备注2.16。函数∧RV+通常不凹。备注2.17。让我们评论一下定理2.7和定理2.15中的MILP问题。虽然这两个问题都有一个通过二进制变量的离散特征，但这个特征的性质彼此非常不同。在定理2.7中，二进制变量用于量化ΦEN定义中从“第一轮”到“第二轮”的开关，定义见上述定义2.5。在这种情况下，除了二进制变量外，在问题公式中还使用了一个大的常量。另一方面，在定理2.15中使用了二元变量来模拟ΦRV+中的不连续性，当α<1或β<1时，会出现这种不连续性。在这种情况下，不使用大常数M的公式是可能的。备注2.18。

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2022-6-14 08:08:39

很容易检查（p，s）=（0，0）∈ Rn×Zn是（2.12）中MILP的可行解决方案。此外，由于f是区间[0，\'p]上的边界函数 Rn+，Meyer（1974，定理2.1），（2.12）中的MILP有一个最优解。注意，根据定理2.15，（2.12）中MILP最优解的存在证明了（N，π，(R)p，x，α，β）的clearingvector的存在。因此，定理2.15为Rogers和Veraart（2013，定理3.1）关于清除向量存在性的证明提供了另一种论证。第3节使用本节中开发的MILP聚合函数∧ENand∧RV+来定义和计算s y系统风险度量。3系统风险度量的标度化问题在本节中，我们考虑（敏感）系统风险度量的计算，这些系统风险度量是随机运营现金流向量的集值函数，并根据不完善网络模型的聚合函数定义。尽管上述文章主要关注的是聚合函数是凹的，这导致相应系统风险度量的凸值，但我们使用的聚合函数不是凹的，并且相应的系统风险度量通常没有凸值。在不指定特定网络模型的情况下，我们考虑一个具有n∈ N机构。正如在第2节中，我们写N={1，…，N}。类似地，对于someK，设K={1，…，K}∈ N、我们考虑一个有限概率点(Ohm, F、 P），其中Ohm =ω, . . . , ωK, F是功率设置Ohm, P是由基本概率qk=P确定的概率测度ωk> 0，k∈ K、我们用所有随机向量X的线性空间L（Rn）表示：Ohm → 注册护士。对于everyX∈ L（Rn），letkXk∞:= maxi公司∈N，k∈K | Xi（ωK）|。我们使用分组的概念，Feinstein et al。

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2022-6-14 08:08:42

（2017），将系统性风险度量的维度保持在合理水平，以便于计算。这个概念允许我们将网络成员分类为组，并为组中的所有成员分配相同的资本水平。为此，让G≥ 1是一个整数，表示组数，G={1，…，G}网络中的组集。对于第4节中的计算，我们将使用G=2或G=3组。Let（Nl)l∈Gbe N的一个分区，wher e Nl表示属于组的所有机构的集合l ∈ G、对于每个l ∈ G、让nl:= |Nl| 并用B表示l∈ RG×nl矩阵1在l在其他地方抛出0。让B∈ RG×nbe B定义的分组矩阵：=BB。BG公司. （3.1）我们考虑（分组）敏感系统性风险度量ROPT:L（Rn）→ 2选择定义（X）：=z∈ Rn∧OPT（X+BTz）∈ A., （3.2）式中∧OPT:Rn→ R∪{-∞} 是聚合函数和 L（Rn）是一个可接受集，即处于可接受风险水平的所有随机聚合输出的集合。我们假设∧OPTis∧OPT（x）：=sup{f（p）|（p，s）形式的一般优化聚合函数∈ Y（x），p∈ Rn，s∈ Zn}，（3.3），其中f:Rn→ R是严格递增的连续函数，Y:Rn→ 2Rn×zn是一个集值约束函数，使得Y（x）可以是空集，也可以是一个非空紧集∈ 注册护士。特别是，该一般结构涵盖了第2节中定义的聚合函数∧OPT=∧ENand∧OPT=∧RV+。另一方面，我们假设A是由A={Y定义的半空间类型接受集∈ L（Rn）| E[Y]≥ γ} ，（3.4）式中γ∈ R是一些合适的阈值。因此，相应的s y系统风险度量ROPTbecomesROPT（X）=z∈ RG | E[λOPT（X+BTz）]≥ γ.

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2022-6-14 08:08:45

（3.5）当∧OPT=∧enan时，我们写出ROPT=Ren；当∧OPT=∧RV+，我们写出ROPT=RRV+，并将其分别称为Eisenberg Noe和Rogers Veraart系统风险度量。备注3.1。对于RRV+（X），定理2.15中∧RV+的定义意味着隐含条件X+BTz≥ 接下来，我们引入一个与ROPT的每个值相关的向量优化问题。让我们fixx∈ L（Rn）并考虑向量优化问题最小化z∈ RG关于≤受限于E[λOPT（X+BTz）]≥ γ、（3.6）其中≤ 表示Rn中通常的组件顺序。请注意，ROPT（X）与该向量优化问题的所谓上图像一致，即ROPT（X）=z+RG+| E[λOPT（X+BTz）]≥ γ. （3.7）在接下来的两小节中，我们提出了通过利用优化聚合函数∧OPT的结构来解决与ROPT（X）相关的某些标量化问题的方法。3.1每个w的加权和标量化∈ RG+\\{0}，我们考虑加权和标量化问题p（w）=infz∈ROPT（X）wTz=infz∈RG公司wTz | E[λOPT（X+BTz）]≥ γ. （3.8）以下定理为P（w）提供了一个替代公式。定理3.2。让w∈ RG+\\{0}。考虑（3.8）和letZ（w）中的问题：=infz∈RGnwTz | Xk∈Kqkf（pk）≥ γ、（pk、sk）∈ Y（X（ωk）+BTz），pk∈ Rn，sk∈ 锌k∈ 击倒取胜（3.9）那么，P（w）=Z（w）。特别是，如果（3.8）和（3.9）中的一个问题有一个确定的最优值，那么另一个问题和最优值也会一致。附录B.1给出了定理3.2的证明。备注3.3。允许l ∈ G和elRG中对应的标准单位向量。观察加权和标度化问题P（el) = infz公司∈RG公司zl| E[λOPT（X+BTz）]≥ γ（3.10）是（3.6）中向量优化问题的单目标优化问题。根据定理3.2，Pel= Zel.备注3.4。

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2022-6-14 08:08:48

让齐德尔∈ RGbe是（3.6）中向量优化问题的理想点，即zideal的条目使向量优化问题的每个目标函数最小化。换言之，我们可以定义：=P（e），P（eG）T∈ RG（3.11）假设P（el) 为每个l ∈ G、定理3.2允许用紧可行集来解决G优化问题，即问题（Z（el))l∈G、获得（3.6）中向量优化问题的理想点。在以下两个部分中，我们分别将定理3.2应用于∧OPT=∧enan和∧OPT=∧RV+。对于该目的，我们确定函数f:Rn→ MILP聚合函数的objectivefunctions中的R asf（p）：=Tp。很明显，f是一个严格递增的连续线性函数，有界于区间[0，p]注册护士。此外，由于第C节中的向量优化算法只需要解决标准单位向量的加权求和标量化问题，因此我们给出了此类方向向量的结果。3.1.1 Eisenberg-Noe系统风险度量的加权和标度化t（N，π，(R)p，X）是一个有符号的Eisenberg-Noe网络。推论3.5。允许l ∈ G、考虑单目标优化问题pen（el):= infz公司∈RG公司zl| E[λEN（X+BTz）]≥ γ, （3.12）并让ZEN（el) 是MILP问题的最优值最小化zl（3.13）受试者toXk∈KqkTpk≥ γ、（3.14）pki≤nXj=1πjipkj+（Xi（ωk）+（BTz）i）+M（1- 滑雪板），我∈ N、 k级∈ K、（3.15）pki≤ ？皮斯基，我∈ N、 k级∈ K、（3.16）nXj=1πjipkj+（Xi（ωK）+（BTz）i）≤ Mski，我∈ N、 k级∈ K、（3.17）0≤ pki≤ ？pi，ski∈ {0, 1}, 我∈ N、 k级∈ K、（3.18）z∈ RG，（3.19），其中M=2 kXk∞+ （n+1）k'pk∞. 然后，PEN（el) = 禅宗（el).

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2022-6-14 08:08:50

特别是，如果（3.12）和（3.13）中的一个问题有一个确定的最优值，那么另一个问题和最优值也会一致。下一个建议给出了（3.13）中问题的一些有界性和可行性结果。提案3.6。允许l ∈ G并考虑（3.13）中的MILP问题。1、如果问题有最优解，则打开（el) = 禅宗（el) ≤ kXk公司∞+ k？pk∞.2、如果问题有可行的解决方案，那么它有一个确定的最优值，即ZENel∈ R、 3。当且仅当γ时，问题有一个可行解≤附录B.2给出了本小节结果的证明。备注3.7。允许l ∈ G、假设存在最优解（z，（pk，sk）k∈K）（3.13）中的MILPR问题。根据矩阵B的结构，对于每个i∈ N、它保持不变BTz公司i=ZT代表somet∈ G、因此，根据命题3.6（i），（BTz）i≤ kXk公司∞+ k？pk∞每个i保持∈ N、此外，对于每个i∈ N、 k级∈ K、和pk∈ [0，\'p]，它保持spnj=1πjipkj<n k'pk∞Xiωk≤ kXk公司∞.因此，选择M=2 kXk∞+ （n+1）k'pk∞在推论3.5中进行了调整，因为为了确保（3.17）中约束的可行性，选择M就足以使nxj=1πjipkj+（Xi（ωk）+（BTz）i）≤ M对于每个i∈ N、 k级∈ K和d pk∈ [0，\'p]。3.1.2 Rogers-Veraart系统风险度量的加权和标度化t（N，π，(R)p，X，α，β）是Rogers-Veraart网络。推论3.8。允许l ∈ G、考虑单目标优化问题PRV+（el):= infz公司∈RG公司zl| E[λRV+（X+BTz）]≥ γ, （3.20）并让ZRV+（el) 是MILP问题的最优值最小化zl（3.21）受试者toXk∈KqkTpk≥ γ、（3.22）pki≤ αXi（ωk）+（BTz）i+ βnXj=1πjipkj+(R)piski，我∈ N、 k级∈ K、（3.23）’皮斯基≤Xi（ωk）+（BTz）i+nXj=1πjipkj，我∈ N、 k级∈ K、（3.24）Xi（ωK）+（BTz）i≥ 0, 我∈ N、 k级∈ K、（3.25）0≤ pki≤ ？pi，ski∈ {0, 1}, 我∈ N、 k级∈ K、（3.26）z∈ RG。

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2022-6-14 08:08:54

（3.27）（此处，约束（3.25）确保X+BTz≥ 0使得∧RV+（X（ωk）+BTz）6=-∞ 每k∈ K、）然后，PRV+（el) = ZRV+（el). 特别是，如果（3.20）和（3.21）中的一个问题有一个最终的最优值，那么另一个问题和最优值也会一致。接下来的三个命题给出了问题（3.21）的一些有界性和可行性结果。提案3.9。允许l ∈ G、考虑（3.21）中的MILP问题。1、如果问题有最优解，则PRV+（el) = ZRV+（el) ≤ kXk公司∞+αk？pk∞.2、如果问题有可行的解，那么它有一个确定的最优值，即ZRV+el∈ R、 3。当且仅当γ时，问题有一个可行解≤附录B.3.3.2中给出了本小节结果的证明。Pascoletti Sera fini标度化加权和标度化用于计算系统风险度量值的支持半空间，当集为凸集时，它们可以有效地刻画整个风险集。在我们的非凸情况下，我们使用额外的标量化来计算从可能的OUT侧点进入风险集的最小步长。这种尺度化在向量优化中是众所周知的；例如，参见Pascoletti和Sera fin i（1984），Gerstewitz和Iwanow（1985），G¨opfert et al.（2003）。对于每个v∈ RG，我们考虑P（v）：=infu ∈ R | BTv+u∈ ROPT（X）= inf公司u ∈ R | E[λOPT（X+BTv+u）]≥ γ, （3.28）可解释为从点v到集合ROPT（X）边界方向上的最小步长。下面的定理为P（v）提供了一个替代公式。定理3.10。让v∈ 注册护士。考虑（3.28）和letZ（v）中的问题：=infnu∈R | Xk∈Kqkf（pk）≥ γ、（pk、sk）∈ Y（X（ωk）+BTv+u），pk∈ Rn，sk∈ 锌k∈ 击倒取胜（3.29）那么，P（v）=Z（v）。

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大多数88

2022-6-14 08:08:57

特别是，如果（3.28）和（3.29）中的一个问题有一个确定的最优值，那么另一个问题和最优值也会一致。附录B.4给出了定理3.10的证明。以下两小节分别将定理3.10应用于∧OPT=∧enan和∧OPT=∧RV+。3.2.1 Pascoletti血清对Eisenberg-N oe系统风险度量的标准化（N，π，’p，X）是一个Eisenberg Noe网络。推论3.11。让v∈ RG。Cons ider the problemPEN（v）：=infu ∈ R | E[λEN（X+BTv+u）]≥ γ, （3.30）并让ZEN（v）为MILP问题的最佳值，最小化受试者toXk的u（3.31）∈KqkTpk≥ γ、（3.32）pki≤nXj=1πjipkj+（Xi（ωk）+（BTv）i+u）+M（1- 滑雪板），我∈ N、 k级∈ K、（3.33）pki≤ ？皮斯基，我∈ N、 k级∈ K、（3.34）nXj=1πjipkj+（Xi（ωK）+（BTv）i+u）≤ Mski，我∈ N、 k级∈ K、（3.35）0≤ pki≤ ？pi，ski∈ {0, 1}, 我∈ N、 k级∈ K、（3.36）u∈ R、（3.37），其中M=2 kXk∞+ 2千伏∞+ （n+1）k'pk∞. 然后，PEN（v）=ZEN（v）。特别是，如果（3.30）和（3.31）中的一个问题有一个确定的最优值，那么另一个问题和最优值也会一致。下一个建议给出了（3.31）中问题的一些有界性和可行性结果。提案3.12。让v∈ RG。考虑（3.31）中的MILP问题。1、如果问题有最优解，则pen（v）=ZEN（v）≤ kXk公司∞+ kvk公司∞+ k？pk∞.2、如果问题有可行解，那么它有一个确定的最优值，即ZEN（v）∈ R、 3。当且仅当γ时，问题有一个可行解≤附录B.5中给出了本小节结果的证明。备注3.13。让v∈ RGand（u，（pk，sk）k∈K）（3.31）中MILP问题的最优解。根据命题（3.12），u≤ kXk公司∞+ kvk公司∞+ k？pk∞. 根据矩阵B的结构，对于每个∈ N、对于某些t，它保持（BTv）i=VT∈ G、因此，对于每个v∈ RG，（BTv）i≤ kvk公司∞.

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大多数88

2022-6-14 08:09:00

此外，对于每个i∈ N、 k级∈ K、和pk∈ [0，\'p]，它保持spnj=1πjipkj<n k'pk∞和Xi（ωk）≤ kXk公司∞.因此，选择M作为M=2 kXk∞+ 2千伏∞+ （n+1）k'pk∞在推论3.11中进行了调整，因为为了确保约束（3.35）的可行性，可以选择M s uch thatnXj=1πjipkj+Xi（ωk）+（BTv）i+u≤ M对于每个i∈ N、 k级∈ K、五∈ RGand主键∈ [0，\'p]。备注3.14。命题3.6（ii）表明，如果MILP问题el在（3.13）中，对于l ∈ G、然后理想点zideal∈ （3.6）中的向量优化问题存在∧OPT=∧EN。命题3.9（ii）为∧OPT=∧RV+的向量优化问题（3.6）提供了相同的结果。此外，命题3.6（i）、3.6（iii）、3.12（i）、3.12（iii）允许在相应的MILP问题中选择上界M的精确值，而不是假设一些启发式值。3.2.2 Rogers-Veraart系统风险度量的Pascoletti血清标准化t（N，π，(R)p，X，α，β）是Rogers-Veraart网络。推论3.15。让v∈ RG。考虑问题PRV+（v）：=infu ∈ R | E[λRV+（X+BTv+u）]≥ γ, （3.38），并让ZRV+（v）为MILP问题的最佳值，最小化受试者toXk的u（3.39）∈KqkTpk≥ γ、（3.40）pki≤ αXi（ωk）+（BTv）i+u+ βnXj=1πjipkj+(R)piski，我∈ N、 k级∈ K、（3.41）’皮斯基≤Xi（ωk）+（BTv）i+u+nXj=1πjipkj，我∈ N、 k级∈ K、（3.42）Xi（ωK）+（BTv）i+u≥ 0, 我∈ N、 k级∈ K、（3.43）0≤ pki≤ ？pi，ski∈ {0, 1}, 我∈ N、 k级∈ K、（3.44）u∈ R、（3.45）（此处，约束（3.43）确保X+BTv+u≥ 0，使∧RV+（X（ωk）+BTv+u）6=+∞ forevery k公司∈ K、）然后，PRV+（v）=ZRV+（v）。特别是，如果（3.38）和（3.39）中的一个问题有一个确定的最优值，那么另一个问题和最优值也会一致。下一个建议给出了（3.39）中问题的一些有界性和可行性结果。提案3.16。让v∈ RG。考虑（3.39）中的MILP问题。1.

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2022-6-14 08:09:03

如果问题有最优解，则PRV+（v）=ZRV+（v）≤ kXk公司∞+ kvk公司∞+αk？pk∞.2、如果问题有可行解，那么它有一个确定的最优值，即ZRV+（v）∈ R、 3。当且仅当γ时，问题有一个可行解≤附录B.6中给出了本小节结果的证明。备注3.17。对于l ∈ G和v∈ RG，REN中出现的阈值γ，RRV+可以取网络中所有节点的债务之和的一定百分比。然后，这一保留确保了预期的总付款额超过了系统中总债务的这一部分。事实上，命题3.6（iii）、3.9（iii）、3.12（iii）、3.16（iii）表明，计算ZEN的MILP问题el, ZRV公司+el, ZEN（v），ZRV+（v）是可行的当且仅当γ≤因此，γ的选择是合理的。4计算结果和分析前一节中提出的求解加权和和Pascoletti标准化的方法可以嵌入到任何利用这些标准化的元向量优化算法中。对于本节中的计算分析，我们采用了Nobakhtian和Sha fiei（2017）中的Benson-typ算法，该算法在C节中提供，以方便读者阅读。我们在Java Photon（4.8.0版）上实现了调用Gurobi Interactive Shell（7.5.2版）的算法，并在3.60 GHz和4 GBRAM的Intel（R）Core（TM）i7-4790处理器上运行了该算法。我们在两组框架内应用艾森伯格-诺伊和罗杰斯-维拉特系统风险度量，并进行详细的敏感性分析。

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2022-6-14 08:09:06

在最后一部分中，我们给出了三组网络的几个计算结果。回想一下，n是金融系统中的机构数量，这里称为银行，nl是组中的节点数l ∈ G、 K是情景数，是用户定义的近似误差，zUBis是用户定义的上限向量，限制了系统风险度量的近似区域。在整个系统性风险度量的计算过程中，除了三组框架中的罗杰斯·维拉特案例（第4.6节），zUBis采取的是aszUB=zideal+2 k'pk∞,其中，对于γ=T'p的情况，Zideal是相应系统风险度量（备注3.4）的识别点，也就是说，当要求付款的预期总价值至少与网络中的负债总额相同时。为了方便起见，让我们写出γ=γp（T'p），其中γp∈ [0, 1].4.1数据生成我们考虑由n个银行组成的网络，形成G=2或G=3组。回想一下，G={1，…，G}，n=Sl∈GN公司l= {1，…，n}，和nl= |Nl|. 当G=2时，组sl = 1和l = 2分别对应于大型银行和小型银行。当G=3时，组l = 1.l = 2和l = 3分别对应于大型、中型和小型银行。为了构建有符号的Eisenberg-Noe网络（N，π，\'p，X）和Rogers-Veraart网络（N，π，\'p，X，α，β），相应的银行间负债矩阵l：=（lij）i，j∈N∈ Rn×n+和随机经营现金流向量X按以下方式生成。对于l，我们使用Erd¨os-R'enyi ran dom图模型（Erd¨os和R'enyi，1959；Gilbert，1959）。首先，我们确定连接概率矩阵qcon：=（qconl,^l)l,^l∈G∈ RG×Gand集团间负债矩阵lgr：=（lgrl,^l)l,^l∈G∈ RG×G.对于任意两个银行i，j∈ N与i∈ Nl, j∈ N^l和l,^l ∈ G、 qcon公司l,^l被解释为银行i欠lgr的概率l,^l银行j的金额。

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能者818

2022-6-14 08:09:09

然后，责任Lijis由Bernoulli triallij产生=lgr公司l,^l, 如果Uij<qconl,^l,0，否则，其中Uijis表示在单独的概率空间上实现具有标准统一分布的连续随机变量。然后，相应地计算相对负债矩阵π和总负债向量'p。回想一下，运营现金流向量X=（X，…，Xn）∈ L（Rn）是一个多元随机向量，并且Ohm 是K个场景的有限集合。假设所有情况都同样可能发生，经营现金流有一个共同的标准偏差σ，并且有一个共同的相关性在任何两个运营现金流之间。然后，每个条目Xi，i∈ N、生成为大小为K的arandom样本，如下所述。对于Eisenb er g-Noe网络，各集团的运营现金流平均值，ν：=（νl)l∈G、是固定的，随机向量X是从高斯随机向量的K个实例生成的。对于罗杰斯-维拉特网络，首先，形状参数κ：=（κl)l∈Gand比例参数θ：=（θl)l∈根据σ的选择进行固定，然后，从一个随机向量的亲缘关系生成X，该随机向量的拟合分布函数表示为具有所选参数的gamma边际分布的Gaussiancopula。特别是，νl= κlθl和σ=√κlθl对于每个l ∈ G、 4.2具有50个节点的两组签名Eisenberg Noe网络我们认为是一个具有n=50家银行的两组Eisenberg Noe网络，由n=15家大银行，n=35家小银行组成。我们取K=100，σ=100， = 0.05，qcon=0.9 0.30.7 0.5, lgr公司=10 58 5, ν =-50-100.在相应的Eisenberg-Noe系统风险度量中，我们取γp=0.7。内部近似值。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。

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2022-6-14 08:09:12

每生产一次。（秒）Total algorithmtime（秒）Total algorithmtime（小时）20 18 19 18 663.546 11944 3.31810 35 36 35 541.419 18950 5.2645 73 74 73 512.998 37449 10.4031 394 395 394 492.597 194083 53.912表1：由15家大银行和35家小银行组成的网络的算法计算性能，100个场景和近似误差∈ {1, 5, 10, 20}.qcon1,2连接Prox。verticesOuterapprox。verticesPproblemsAvg。每生产一次。（秒）总算法时间（秒）总算法时间（小时）0.1 279 280 358 294.07 105 277 29.2440.3 394 395 394 492.597 194 083 53.9120.5 360 361 360 556.795 200 447 55.6800.7 364 365 364 633.644 230 647 64.0690.9 377 378 377 772.76 291 331 80.925表2:qcon1的算法计算性能∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9}.Benson型算法在四种不同的近似误差下运行，以演示不同的内部近似水平。表1给出了算法的计算性能∈ {1, 5, 10, 20}. 随着PPR问题数量的增加，每个PPR问题的平均计算时间减少。这可能归因于古罗比解算器的热启动功能。当一系列的MIL P问题得到解决时，解算器将先前获得的最优解构造出一个初始解。Ingrobi Optimizer Reference Manual（2018年，第10.2章，第594-595页）详细解释了该功能。在本节的其余部分，我们将对该网络进行敏感性分析，分析大小银行之间的连接概率以及场景数量。4.2.1连通性概率连通性概率在确定网络拓扑结构方面起着重要作用，因为它们确定了银行之间是否存在负债。

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