报告标量输出变量的模型平均值才有意义。根据美国国家经济研究局（NBER）的数据，得出了美国从高峰到低谷的衰退指标fromhttps://fred.stlouisfed.org/series/USRECM.state变量并不总是一致的，这表明它们反映了不同的宏观经济风险。G、 SDF结构我们研究SDF权重和beta的结构作为特征的函数。我们的主要发现有两个方面：令人惊讶的是，个体特征对定价核心和风险负荷的影响几乎是线性的，即非线性对个体特征的影响小于预期。其次，GAN的更好性能是由非线性相互作用效应解释的，即我们模型的一般功能形式对于捕捉多个特征之间的依赖关系是必要的。图14:GAN0.4 0.2 0.0 0.2 0.4ST\\U版本0.060.040.020.000.020.04weightr12\\u 2 10%r12\\u 2 25%r12\\u 2 50%r12\\u 2 75%r12\\u 2 90%0.4 0.2 0.4r12\\u 20.060.040.020.000.020.04weightST\\u版本10%ST\\u版本25%ST\\u版本50%ST\\u版本75%ST\\u版本90（a）短期反转（ST REV）和动量（r12 2）之间的相互作用0.4 0.2 0.0 0.20.4LME0.0150.0100.0050.0000.0050.0100.015权重BEME 10%BEME 25%BEME 50%BEME 75%BEME 90%0.4 0.2 0.0 0 0.2 0.4BEME0.0100.0050.0000.0050.010WEIGHT LME 10%LME 25%LME 50%LME 75%LME 90%（b）规模（LME）和账面市盈率（BEME）之间的相互作用这些图表显示了SDF权重ω作为短期反转、动量、，第二个变量的规模和账面市盈率或不同分位数，同时将其余变量保持在其平均水平。图A.9绘制了SDF权重ω和一个特定特征之间的一维关系。

其他变量固定在其平均值上。对于线性模型，这些曲线图仅显示线性回归系数的斜率。由于我们在线性模型中包含单独的长短腿，因此我们允许在中值处出现扭结。否则，linearmodel将只是一条直线。对于非线性GAN和FFN，一维关系可以采用任何函数形式。我们在图A.9中显示了三个最相关特征的单变量函数形式，而互联网附录收集了这些特征的结果，因为这些特征被归一化为分位数，它们的平均值等于它们的中值。其他特征。令人惊讶的是，GAN和FFN的SDF函数形式与线性函数非常接近。这解释了为什么线性模型在解释单排序特征方面如此成功。对于少数特征，例如短期反转，GAN在中值附近具有一些非线性。这些正是GAN比FFN和EN表现更好的十分位数排序的组合。然而，对于大多数特征，只要我们考虑一维关系，pricingkernel几乎与特征呈线性关系。然而，允许低分位数和高分位数具有不同的线性斜率似乎是相关的。没有正则化的线性模型获得的某些特性的关系与其他模型完全不一致。

考虑到LS整体表现较差，这表明LS会受到严重过度匹配的影响。图15:GAN0.4 0.2 0.0 0.2 0.4ST\\U REV0.40.20.00.20.4r12\\U 20.06990.05610.04230.02850.01470.00090.01290.02670.0406weight（a）短期反转（ST REV）和动量（r12）之间的相互作用0.4 0.2 0.0.4LME0.40.20.20.4BEME0.010230.006730.003230.000270.003760.007260.010760.01426重量（b）尺寸（LME）和市场预订之间的相互作用比率（BEME）ST\\U REV0.40.20.00.20.4r12\\U 20.40.20.00.20.4SUV0.40.20.00.20.40.09440.07520.05610.03690.01780.00130.02050.03960.0588重量.051910.039170.026430.013690.000950.011800.024540.03728重量（d）尺寸之间的相互作用（LME），账面市盈率（BEME）和短期反转率（ST REV）这些图显示，SDF权重ω是二维和三维特征函数，保持其余变量处于其平均水平。图14和15显示了本节的关键结论：非线性对相互作用至关重要。图14绘制了一个特征的SDF权重，条件是第二个特征的分位数可能不同于中位数。在没有相互作用的加性模型中，所有直线都是平行位移。这正是我们看到的两个线性模型。有趣的是，对于大小和值，FFN模型在SDF权重中也有几乎平行的偏移，这意味着它不能捕捉相互作用。然而，对于赣而言，小盘股的价值敞口与大盘股非常不同。GAN的线图显示了比其他模型更复杂的相互作用模式。

一般来说，当将第二个特征限定在一个极端分位数上时，形状似乎变得更加非线性。我们在图15中绘制了GAN的二维定价核，而不是将第二个特征限定为五个分位数。它证实，合并规模和账面市值特征对GAN定价核心具有高度非线性影响。图15中的三重相互作用表明，低短期反转、高动量和高解释量在内核中具有最高的正权重，而高反转、低动量和低未解释量在内核中具有最大的负权重。低反转和低动量或高反转和高动量的影响几乎是中性的，与无法解释的体积无关。规模、账面市值和短期反转的相互影响更为复杂。H、 稳健性结果我们的发现对小盘股、调整参数的选择、考虑的时间段都是稳健性的，并且没有利用套利的限制。在本小节中，我们评估并确定不含小盘股的模型，比较SDF在不同调整参数和时间段的性能和结构，并控制用于构建测试资产的信息。定性结果对小盘股表现强劲。众所周知，低价股的夏普比率很高，很难用传统的资产定价模型来定价。然而，由于低流动性和高利差，这些小盘股的交易受到限制。因此，小盘股的高夏普比率或大阿尔法可能无法利用。在此，我们比较了仅限于中型股和大盘股的模型表现。我们在测试数据中的股票横截面由每月2000至3000只股票组成。

互联网附录显示，对市值超过总市值0.001%的股票的限制使我们平均拥有1500只最大的股票。将样本限制为市值超过总市值0.01%的股票，平均收益率最大的550只股票，即样本接近标准普尔500指数。表IV报告了这两个数据子集的模型性能。SDF权重是针对所有个股获得的，但夏普比率以及解释的时间序列和横截面变化是针对市值分别大于总市值0.001%和0.01%的股票计算的。

正如预期的那样，夏普比下降了，但GAN仍然实现了当正则化的线性模型移除变量时，一个特征的SDF权重可能会根据第二个特征的不同分位数塌陷为一行。表四：根据大市值股票评估的不同SDF模型SSR EV横截面RModel Train有效测试Train有效测试Train有效测试Train有效测试Train有效测试大小评估≥ 总市场资本的0.001%1.44 0.31 0.13 0.07 0.05 0.03 0.14 0.03 0.10EN 0.93 0.56 0.15 0.11 0.09 0.06 0.17 0.05 0.14FFN 0.42 0.20 0.30 0.11 0.10 0.05 0.19 0.08 0.18GAN 2.32 1.09 0.41 0.23 0.22 0.14 0.20 0.13 0.26评估≥ 总市场资本的0.01%0.32-0.11-0.06 0.05 0.07 0.04 0.13 0.05 0.09EN 0.37 0.26 0.23 0.09 0.12 0.07 0.17 0.08 0.14FFN 0.32 0.17 0.24 0.13 0.22 0.09 0.22 0.15 0.26GAN 0.97 0.54 0.26 0.28 0.34 0.18 0.27 0.23 0.32估算和评估的规模≥ 总市场资本的0.001%1.91 0.40 0.19 0.08 0.06 0.04 0.18 0.05 0.12EN 1.34 0.92 0.42 0.13 0.13 0.07 0.23 0.09 0.19FFN 0.37 0.19 0.28 0.13 0.13 0.07 0.21 0.10 0.21GAN 3.57 1.18 0.42 0.24 0.23 0.14 0.23 0.13 0.26该表显示了SDF因素的月度夏普比率（SR），解释了时间序列变化（EV）和横断面Rfor GAN、FFN、EN和LS型号。在前两个子表中，模型对所有股票进行了估计，但对市值大于总市值0.01%或0.001%的股票进行了评估。在最后一个子表中，该模型在资本化率大于0.001%的股票市场上进行了估计和评估。仅使用1500只最大的股票，年度样本外夏普比率为1.4。相反，线性模型会崩溃。根据550只最大的股票计算，GAN的年度夏普比率降至0.9，但仍高于其他车型。

最重要的是，GAN的解释变化比线性或深度学习预测模型高出两到三倍。类似地，较大股票上的缺口比整个样本上的缺口大得多。这表明FFN和线性模型主要适用于小型股，而GAN也适用于大型股的系统结构。表四还对市值大于总市值0.001%的股票的不同模型进行了估计和评估。GAN的表现至关重要，这表明我们的方法在大盘股上找到了相同的SDF结构，前提是它对所有股票或仅对大盘股进行了训练。从这个意义上说，我们的模式与公司的规模相适应。相比之下，当根据该样本进行估计时，弹性净值法在大盘股中的表现明显更好。这表明，与我们的方法相比，当应用于全样本时，它会超过小型股票。当根据该子集或完整数据集进行估计时，预测方法在大盘股上的表现非常相似。这表明它无法捕获大盘股的结构。即使在最佳情况下，我们也会估计出仅限于大盘股的模型的最佳调整参数。对总样本使用sametuning参数可以得到相同的结果。线性和预测方法以大盘股的子集为训练对象，解释的时间序列和横截面变化比GAN少。我们独立于我们的基准fit重新估计了GAN模型，并在验证数据中列出了四个最佳模型的调谐参数，表A.IX中标记为GAN 1、2、3和4。

所有模型都有四种宏观经济状态，但在网络深度和构建测试资产的工具数量方面有所不同。我们的基准模型的调整参数仅是该独立模型中的第二个最佳模型。表V报告了不同模型和调整参数的性能。资产定价性能对于所有模型都至关重要。此外，表A.V显示，各种模型的SDF都具有高于80%的相关性。互联网附录收集了备选方案的SDF权重ω的可变重要性结果和函数形式。总之，我们得出结论，不仅定价性能对调整参数非常稳健，而且我们实际上发现了不同调整参数的相同经济模型，我们的结果是可复制的。表V：替代GAN模型的性能SSR EV横截面RModel列车有效测试列车有效测试GAN 1 2.78 1.47 0.72 0.18 0.08 0.07 0.12 0.01 0.21GAN 2 3.02 1.39 0.77 0.18 0.08 0.07 0.12 0.00 0.22GAN 3 2.55 1.38 0.74 0.22 0.11 0.09 0.17 0.04 0.25GAN 4 2.44 1.38 0.77 0.19 0.08 0.07 0.11 0.01 0.22GAN滚动不适用0.88不适用不适用0.08不适用不适用0.24GAN无摩擦2.94 1.370.77 0.20 0.10 0.08 0.14 0.01 0.23此表显示了SDF的月度夏普比（SR），解释了替代GAN模型的时间序列变化（EV）和横截面R。GAN 1、2、3和4是四个最佳的GAN模型，通过对模型的独立重新估计得到验证数据。

每年在240个月的滚动窗口上重新估计赣轧制。GAN无摩擦是在没有交易摩擦和条件函数g过去收益的情况下估计的。作为另一个稳健性测试，我们在240个月的滚动窗口上估计GAN模型。更详细地说，每年我们都会将训练数据窗口移动一年，以重新估计DF的权重和负荷。毫不奇怪，我们获得了略好的资产定价结果，特别是夏普比率，如表五所示。总体而言，结果非常接近，滚动窗口GAN SDF与我们的基准SDF的相关性为70%。图A.10和A。11显示共享相同一般模式的滚动窗口SDF的可变重要性和功能形式。我们的结论是，对GAN的时变估计不会带来重大改善，也不会形成类似的经济结构。特别是，这证实了我们的结果对选择用于估计的时间窗口具有鲁棒性。我们的GAN并不是简单地获取受套利限制的定价信息。一个潜在的担忧是，GAN构建的测试资产不代表无法利用的非流动性股票的风险溢价。在这种情况下，GAN SDF不能代表GAN模型的估计在计算上非常昂贵，因此我们没有每月重新估计。我们希望为资产定价捕获的经济风险。我们希望避免GAN明确针对交易摩擦较大的股票。我们从条件网络中排除了交易摩擦和过去收益类别的特征，并重新估计了标记为GANNo摩擦的模型。图A.8显示了g的结果变量重要性。该SDF具有相同的定价性能，与我们的基准SDF的相关性为78%，表明我们的结果对这种变化具有鲁棒性。我

机器学习投资GAN SDF是一种可交易的投资组合，具有诱人的风险回报交易效果。表A.V报告了四个基准模型以及Fama-French 3和5因子模型的月度夏普比率、最大1个月损失和最大提款。GAN模型通过水位下降和最大损失测量的连续速度数与其他模型相当，而夏普比是迄今为止最高的。图16绘制了通过标准偏差归一化的每个模型的累积回报率。正如风险度量所表明的那样，GANreturn超越了其他模型，同时避免了波动和巨大损失。表A.VII列出了不同方法的转换。与其他SDF投资组合相比，GAN因素的回报率相当，甚至更低。这表明所有方法都面临类似的交易成本，直接比较其风险调整后的回报是有效的。Avramov、Cheng和Metzker（2020）提出了这样的担忧，即由于高营业额或极端位置，在存在交易成本的情况下，机器学习组合的性能可能会恶化。在构建机器学习投资组合时，可以考虑这一重要见解。图17显示了在构建投资组合时，对于市值、买卖价差或营业额低于规定横截面分位数的股票，我们将SDF权重ω设置为零后，SDF投资组合的样本外夏普比率。他们的想法是剔除那些更容易发生交易摩擦的股票。在主导摩擦和可实现的夏普比率之间存在着明显的权衡。然而，这表明机器学习投资组合可以被估计为最佳的交易摩擦和高风险调整回报。

例如，如果没有最小股票的40%，GAN的年SR仍为1.73，如果没有最高买卖价差的40%，则SR仍为2.07，如果没有以成交量衡量的交易活动最少的股票的40%，则SR为1.87。请注意，这些都是下限，因为在没有这些股票的情况下，GAN没有被重新估计，但我们刚刚设置了投资组合权重。最大提取被定义为连续几个月出现负回报的最大数量。最大1个月损失通过资产的标准差标准化。Gu、Kelly和Xiu（2020）根据FFN预测的收益极值，报告了长短组合的高样本外夏普比率。互联网附录比较了具有FFN的等额和价值加权长短组合的不同极值的夏普比率。当使用10%或更少的极端十分位数和同等权重的投资组合时，我们可以复制样本外的高比率。然而，对于价值加权投资组合，夏普比率下降了50%左右。这清楚地表明，这些投资组合的表现严重依赖于小型股。在他们的比较研究中，Avramov、Cheng和Metzker（2020）还包括了一个来自GAN的投资组合。然而，他们没有考虑我们基于ω的SDF投资组合，而是使用SDF载荷β来构建基于预测分位数的多空投资组合。图16:SDF的累计超额收益图显示了GAN、FFN、EN和LS的SDF的累计超额收益。每个因素通过其所考虑时间间隔的标准偏差进行归一化。低于零下限的股票。到目前为止，大多数论文已经将可定制机器学习组合的构建分为两个步骤。

在第一步中，机器学习方法提取信号以预测未来回报。在第二步中，这些信号用于形成有利的投资组合，通常是基于预测的长短期投资。然而，我们认为这两个步骤应该合并在一起，即机器学习技术应该提取与总体投资组合设计最相关的信号。这正是我们在目标是SDF估计时所实现的，SDF是条件均值方差有效投资组合。进一步的一步是将摩擦直接包含在这个估计中，也就是说，机器学习技术应该提取与约束下的投资组合设计最相关的信号。Bryzgalova、Pelger和Zhu（2020）提出了朝着这一方向迈出的有希望的一步，他们使用能够轻松纳入约束的决策树来估计均值-方差效率，Cong、Tang、Wang和Zhang（2020）提出了强化学习方法，Guijarro Ordonez、Pelger、，和Zanotti（2021），他利用专门处理时间序列数据的神经网络，估计了交易摩擦约束下的最优统计套利策略。J、 多因素模型的SDF SOUR GAN框架是对条件和无条件多因素模型的补充。多因素模型基于SDF是多因素线性组合的假设。在具有恒定因子负荷和优先级误差的无条件多因子模型中，SDF可以很容易地构造为因子的无条件均值-方差有效组合。这种多因素模型中的时间序列回归定价误差与SDF上的单因素回归相同。

然而这种关系不适用于样本图17：交易摩擦系数0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6LME0.00.10.20.30.40.50.60.70.8SRGANFFNLSEN（a）规模系数0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6展布0.10.20.30.50.60.70.8SRGANFFNLSEN（b）展布系数0.0.1 0.2 0.3 0.5 0.6.10.20.30.40.50.60.70.8SRGANFFNLSEN（c）营业额削减该图显示了样本外夏普比率如果投资时的市值（LME）、买卖价差（价差）或营业额（LTover）低于规定的横截面分位数，则在我们将投资组合权重ω设置为零后，GAN、FFN、EN和LS的SDF。对于无条件模型和条件多因素模型的样本内和样本外细分。到目前为止，因子文献主要集中于提取因子及其载荷，但对于基于条件因子结构的连贯条件SDF框架的构建基本上保持沉默。我们的GAN框架可以帮助缩小这一差距。公式3是构建SDF的基本条件，可以包含SDF是多个因素线性组合的限制。我们使用一个最重要的条件多因素模型，并将其与GANframework相结合来估计其SDF。Kelly、Pruitt和Su（2019）开发的仪器化主成分分析（IPCA）考虑了潜在因素和时变载荷。这两个要素都很关键，因为我们需要一个具有时变负荷的条件因子模型来解释单个股票回报，并希望在不事先确定因子是什么的情况下估计最佳表现因子。

请注意，作为特例，此模型包括简单的无条件因子模型。正如大多数文献Kelly、Pruitt和Su（2019）使用多因素框架来计算定价误差，并报告因子无条件均值方差有效组合的夏普比率，但他们没有估计SDF同一单因素模型的定价误差和夏普比率。在此，我们表明，使用额外的经济结构，即跨越SDFW和IPCA因素，并将其与GAN框架相结合，可以产生更好的资产定价模型。我们仅以公司特征为条件，以使结果与原始IPCA框架更具可比性。IPCA假设K因子模型，其中载荷是特性的线性函数：Ret+1，i=at，i+b>t，ifIPCAt+1+t+1、ibt、i=i>i、tΓb.Kelly、Pruitt和Su（2019）也考虑了荷载方程中的误差项。然而，这并不影响估计程序和我们的讨论，只影响置信区间。为了简化符号，我们省略了它。任何多因素模型都假设SDF由这些因素跨越，即F=KXk=1ωF（Ik，t，It）fIPCAt+1，k。（5）附录C提供了更多详细信息。在弱假设下，SDF权重由基于因子ωf（Ik，t，It）=Covt的条件相切组合给出fIPCAt+1，fIPCA>t+1-1台fIPCAt+1.然而，大多数论文中常用的方法是使用固定权重，将其设置为无条件均值-方差系数投资组合权重，即ωI-SR=CovfIPCAt+1，fIPCA>t+1-1E级fIPCAt+1.获得具有恒定权重的单因素表示法的另一种方法是找到IPCA因素和荷载的线性组合，以最小化横截面定价误差或无法解释的变化量。

这意味着我们得到了SDFweightsωI-XS∈Rk和相应的装载重量vI XS∈RKsuch使得剩余剩余时间+1，i-b> t，ivI XSωI-XS>fIPCAt+1=^eI XSt+1，最大化XS-R。同样，我们得到ωI-EVand vI EV以最大化EV。如果正确的单因素表示法对IPCA因素及其负荷具有恒定的权重，则所有三个标准都将代表恢复这些权重的有效识别条件。请注意，与Kelly、Pruitt和Su（2019）相比，我们估计的是总的价格误差，而不仅仅是由特征跨越的组件。在ωI-evall的情况下，权重将放在第一个IPCA因子上，该因子通过构造最大化了说明的变化量。使夏普比率最大化的单因素组合的SDF荷载并非简单的IPCA荷载的相同组合，即在上述符号中，ωI-SR不需要与vI-SR相等。估算FI-SR=ωI-SRfIPCAis荷载的内部一致方法，以运行IPCA荷载回归：Γβ=T-1Xt=1ti>tFI SRt+1!-1吨-1Xt=1它 FI SRt+1>Ret+1！，βI-SRt，I=I>I，tΓβ，其中通过滥用符号∈Rq×Nt在此表示公司特定特征。这个IPCAregression将简单地返回多因素模型中的IPCA加载。为了评估特性和负荷之间的线性效应，我们还使用前馈神经网络估计IPCA SDF负荷βI-FFNi，即估计EThret+1，iFI SRt+1i。

GAN和IPCA的组合使用公式3估计ωI-GAN，但将SDF限制为基于方程式a.5的IPCA因子的线性组合，然后使用预测βI-GANi中的FFN估计负荷，t=EthRet+1，iFI GANt+1i。表六总结了样本外资产定价结果。我们可以通过形成IPCA因子的无条件均值-方差有效组合来复制Kelly、Pruitt和Su（2019）的高清晰度。请注意，IPCA因子使用的信息比正文中的模型更多，这可能解释了夏普比率高的原因。IPCA回归使用依赖性。其他结果见互联网附录。表六：不同SDFsModel基准的IPCA资产定价3 4 5 6 7 8 9 10SR 0.61 0.71 0.77 0.70 0.79 0.82 0.72 0.81IPCA GAN EV 0.05 0.04 0.04 0.05 0.05 0.04 0.05（ωI-GAN，βI-GAN）XS-R0.20 0.19 0.17 0.20 0.18 0.20 0.17 0.21SR 0.69 0.79 0.82 0.84 0.83 0.86 0.94IPCA最大SR FFNβEV 0.04 0.03 0.03 0.04 0.04 0.04 0.06 0.03（ωI-SR，βI-FFN）XS-R0.14 0.13 0.11 0.14 0.14 0.15 0.190.14SR 0.69 0.79 0.82 0.84 0.83 0.86 0.94IPCA最大SR EV 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01（ωI-SR，βI-SR）XS-R-0.05-0.04-0.04-0.04-0.04-0.04-0.04SR 0.11 0.15 0.17 0.15 0.14 0.16IPCA最大EV 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 0.04 04 0.04 0.04 0.04（ωI-EV，βI-EV）XS-R-0.02-0.03-0.03-0.03-0.03-0.03-0.03SR-0.06 0.15 0.12 0.41 0.33 0.37 0.34 0.41IPCA最大XS-REV-0.02-0.01-0.02-0.02-0.02-0.01-0.02-0.02（ωI-XS，βI-XS）XS-R-0.03 0.07 0.06 0.12 0.12 0.13 0.13 0.14SR 0.69 0.79 0.82 0.84 0.83 0.86 0.86 0.94IPCA多因子EV 0.05 0.05 0.06 0.06 0.06 0.07（bt，I∈RK）XS-R-0.04-0.03-0.02-0.01-0.02-0.01-0.02-0.02此表显示了基于IPCA的不同SDF的样本外资产定价结果。我们考虑K=3到10个IPCA因素。

（ωI-GAN，βI-GAN）使用GAN框架估计IPCA因子的SDF权重和SDF负荷。（ωI-SR，βI-FFN）是IPCA因子与可变SDF权重的无条件平均方差有效组合。（ωI-SR，βI-SR）将这些权重限制为线性。（ωI-XS，βI-EV）结合IPCA因子使EV最大化，而（ωI-XS，βI-XS）使XS-R最大化。多因子表示法通过对多个载荷的横截面回归获得残差。根据训练数据估计SDF权重和载荷，并在验证数据集上优化选择调谐参数。特征变量随时间变化的结构，使每个时间点的因子权重和载荷成为所有过去特征的函数。最后一个子表显示了多因素框架下的IPCA结果，也就是说，我们使用具有多重负荷的横截面回归来获得残差。和PCA方法类似，IPCA捕获了大量的回报变化，但并没有捕获它们的平均值。事实上，横截面Rcan变为负值。如果我们构建一个使夏普比率最大化的单因素模型，IPCA的解释变化将下降到大约1%，而不解释更多的平均回报。解释变量最多的一个因素就是第一个IPCA因素。与PCA方法类似，第一个因素不能解释平均回报。请注意，IPCA因素不一定相互正交，因此，当包含更多因素时，估计EV最大化的因素可能会导致略有不同的结果。预计，解释平均回报的最佳组合会导致显著更高的XS-R，但以SR和EV为代价。估计非线性负荷βI-ffn会带来更多的变化，并导致较小的定价误差。然而，在所有三个维度中表现最好的模型是IPCA与GAN的结合。

夏普比率接近平均方差组合的比率，实际上高于K的基准GAN≥ 7，而XS Ralmost达到了我们的基准GAN水平。所解释的变化是所有模型中最高的，并且对于我们的完全灵活的基准GAN来说更好。总之，GAN框架是对多因素模型的补充，可以最佳地利用SDF上的附加结构和纳入因素中的附加信息。四、 结论我们提出了一种新的方法来估计单个股票收益的资产定价模型，该方法可以利用大量的条件信息，同时保持充分的灵活性并考虑时间变化。为此，我们以一种新颖的方式将三种不同的深层神经网络结构结合起来：一种用于捕捉非线性的前馈网络，一种用于发现一小部分经济状态过程的递归（LSTM）网络，以及一种用于识别具有最无法解释的定价信息的投资组合策略的生成性对抗网络。我们的关键创新是使用无套利条件作为神经网络算法的一部分。我们估计随机贴现因子，该因子解释了无套利隐含的条件动量约束下的所有股票回报。我们的SDF是一个包含所有交易资产的投资组合，具有随时间变化的投资组合权重，这些权重是可观察特定企业和宏观经济变量的一般函数。我们的模型使我们能够了解驱动资产价格的关键因素，识别股票的错误定价，并生成条件均值方差有效的投资组合。我们的主要结论有四个方面。首先，我们展示了机器学习方法在资产定价中的潜力。

我们能够确定驱动资产价格的关键因素以及这种关系的函数形式，其一般性和准确性是传统计量经济学方法所无法达到的。其次，我们展示并量化了在机器学习资产定价模型估计中包含无套利条件的重要性。深度学习的“厨房水槽”预测方法并不优于无轨道约束的线性模型。这说明，在金融领域成功使用机器学习方法既需要特定学科领域的知识，也需要最先进的技术实现。第三，财务数据有一个时间维度，必须相应地加以考虑。即使最灵活的模型无法弥补这样一个问题，即如果仅使用最后的增量作为输入，宏观经济数据似乎对资产定价没有信息。我们表明，宏观经济条件对资产定价很重要，可以用少量的经济状态变量来概括，这些变量依赖于所有时间序列的完整动态。第四，资产定价实际上惊人地“线性”。只要我们孤立地考虑异常，线性因子模型就能提供很好的近似值。然而，资产定价的多维挑战无法用线性模型解决，需要一套不同的工具。我们的结果为资产定价研究人员带来了直接的实际益处，超出了我们的经验发现。首先，我们提供了一组新的基准测试资产。可以测试新的资产定价模型，以分别解释我们的SDF投资组合——根据我们模型中的风险敞口分类的投资组合。这些测试资产将所有特征的信息和宏观经济信息合并到少量资产中。

解释按单一特征分类的投资组合并不是一个很难通过的障碍。其次，我们提供了一组隐藏状态的宏观经济时间序列，封装了资产定价的相关宏观经济信息。这些时间序列还可以用作新资产定价模型的输入。最后但并非最不重要的一点是，我们的模型对投资者和投资组合经理具有直接价值。我们模型的主要输出是作为特征和宏观经济变量函数的风险度量β和SDF权重ω。根据我们的估计，我们模型的用户可以将风险度量及其投资组合权重分配给资产，即使资产没有长时间序列可用。参考文献Arjosvky，M.、S.Chintala和B.Leon（2017）：“Wasserstein GAN”，第34届机器学习国际会议记录。Avramov，D.、S.Cheng和L.Metzker（2020）：“机器学习与经济限制：来自股票回报可预测性的证据”，工作论文。Bakshi，G.S.和Z.Chen（1997）：“资本主义精神与股市价格”，《美国经济评论》，86（1），133–157。Bansal，R.、D.A.Hsieh和S.Viswanathan（1993）：“国际套利定价的新方法”，《金融杂志》，48（5），1719-1747。Bansal，R.和S.Viswanathan（1993）：“无套利和套利定价：一种新方法”，《金融杂志》，48（4），1231-1262。Bianchi，D.、M.B¨uchner和A.Tamoni（2019）：“机器学习的债券风险溢价”，工作论文。Blanchet，J.、Y.Kang和K.Murthy（2019）：“稳健的Wasserstein专家推理和机器学习应用”，《应用概率杂志》，56（3），830–857。Bryzgalova，S.、M.Pelger和J.Zhu（2020）：“穿过树木的森林：构建股票回报的横截面”，工作文件。张伯伦，G。

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Goyal（2007）：“全面审视股票溢价预测的实证表现”，《金融研究评论》，21（4），1455–1508。附录A.估计方法附录A.前馈网络（FFN）深度神经网络考虑L层，如图A.1所示。每个隐藏层生成前一层的输出，并将其转换为输出asx（l）=ReLUW（l-1） >x（l-1） +宽（l-1)= 雷鲁w（l-1） +K（l-1） Xk=1w（长）-1） kx（l-1） k级y=W（L）>x（L）+W（L），隐层输出x（L）=（x（L）。。。，x（l）K（l））∈RK（l）和参数W（l）=（W（l）。。。，w（l）K（l））∈RK（l）×K（l）-1） 对于l=0。。。，L- 1和W（L）∈RK（L）。图A.1。具有3个隐藏层的前馈网络附录B。递归神经网络（RNN）LSTM由一个单元（LSTM单元的存储部分）和三个“调节器”（称为门）组成，它们是LSTM单元内信息流的三个“调节器”：一个输入门、一个遗忘门和一个输出门。直观地说，单元负责跟踪输入序列中元素之间的依赖关系。输入门控制新值流入单元格的程度，忘记门控制值留在单元格中的程度，输出门控制单元格中的值用于计算STM单元的输出激活的程度。我们将xt=It作为宏观经济信息的输入序列，输出为状态过程ht。在每个步骤中，使用当前输入XT和以前的隐藏状态ht创建一个新的存储单元CTI-1ct=tanh（W（c）hht-1+W（c）xxt+W（c））。输入和遗忘门控制存储单元，而输出门控制隐藏状态下存储的信息量：输入=σ（W（i）hht-1+W（i）xxt+W（i））遗忘=σ（W（f）hht-1+W（f）xxt+W（f））outt=σ（W（o）hht-1+W（o）xxt+W（o））。sigmoid函数σ是一种元素非线性变换。

用wiseproduct表示元素o, 最终存储单元和隐藏状态由ct=遗忘给出o 计算机断层扫描-1+输入o ct，ht=outto tanh（ct）。我们使用状态过程HTT代替宏观经济变量ITA作为SDF网络的输入。附录C.训练深层神经网络的实施一般的随机梯度下降法不是一种有效的方法。更好的方法是使用引入自适应学习率的优化方法。我们使用基于梯度的随机目标函数优化算法Adam，基于低阶矩的自适应估计来持续调整学习速率。它更容易逃逸鞍点，因此更精确，同时提供更快的收敛速度。正则化非常重要，可以防止模型过度拟合训练样本。虽然l/l规则化也可以用于训练其他神经网络，但退出更可取，通常会产生更好的性能。术语“辍学”是指神经网络中的辍学单元。通过放弃一个单元，我们的意思是暂时将其从网络中删除，以及以一定的概率将其所有传入和传出连接一起删除。辍学可以显示为脊线正则化的一种形式，仅在训练期间应用。在进行样本测试时，我们保留所有单元及其连接。总之，超参数选择工作如下：（1）首先，对于每种可能的超参数组合（384个模型），我们定义GAN模型。（2） 其次，我们在验证数据集上选择四个最佳超参数组合。（3） 第三，对于四种组合中的每一种，我们将9个模型划分为具有相同超参数但不同初始化的模型。（4） 最后，我们在验证数据集上选择性能最好的集成模型。

表A.VIII报告了性能最佳模型的调整参数。估计SDF权重的前馈网络有2个隐藏层（HL），每个隐藏层有64个节点（HU）。有四个隐藏状态（SMV）总结了LSTM网络中的宏观经济动态。conditionaladversarial网络在0层（CHL）网络中生成8个矩（CHU）。条件矩的宏观经济动力学总结为32个隐藏状态（CSMV）。这种条件网络本质上对特征和隐藏的宏观经济状态应用非线性变换，然后将它们线性组合。例如，由此产生的时刻可以根据特征信息或仅在特定宏观经济条件下有效的投资组合捕捉长短组合的定价错误。预测的FFN采用顾、凯利和秀（2020）选择的最佳超参数，这是一个三层神经网络，例如Ruder（2016）和Kingma and Ba（2014）。我们使用领先算法Adam。其他自适应梯度下降方法包括Adagrad或Adadelta。关于辍学和赌博的更好表现结果，参见Srivastava、Hinton、Krizhevsky、Sutskever和Salakhutdinov（2014），关于与ridge的联系，参见Wang和Liang（2013）。具有[32，16，8]个隐藏单元的网络，辍学保留概率为0.95，学习率为0.001。我们的GAN网络受到Goodfello等人（2014）提出的机器学习GAN的启发，但实施方式不同，专门针对我们的问题设计。机器学习通常用更深层次的神经网络和同步优化来实现，即每个网络只做一些优化步骤，而没有完成优化，然后再与另一个网络进行迭代。

这通常是必要的，因为机器学习GANs被应用于hugedata集，在那里，要完全解决每个优化问题，计算成本太高。相反，我们运行每个优化步骤直到收敛。对于我们的基准模型，这意味着在第一步中，我们将找到一个SDF，对所有10000只股票进行定价，而不使用工具。然后，我们完全解决了对抗性问题，生成了一个8维的仪器向量。在第三步中，我们完全估计了可为所有80000个工具化股票回报定价的SDF。结果表明，该程序非常稳定，在我们的实证分析的前三个步骤后已经收敛，如图IA所示。1在互联网附录中。相比之下，传统的机器学习GAN通常会为计算原因创建较小的对抗性数据集，这也会导致更多的迭代以耗尽信息集。附录B.模拟示例我们通过模拟说明：（1）GAN中的无套利条件对于在低信噪比设置中找到DF是必要的，（2）GAN的灵活形式对于正确捕获特征之间的相互作用是必要的，以及（3）RNN和LSTM对于将宏观经济动态正确纳入定价核心是必要的。为此，我们设计了尽可能简单的模拟装置来表达这些观点，并表明预测方法或简单的线性模型公式无法实现这些目标。超额收益遵循无套利模型Ret+1，i=βt，iFt+1+在我们的简单模型中，DF遵循Fti。i、 d。~ N（uF，σF）和特质成分t、 二。i、 d。~ N（0，σe）。我们考虑两种不同的风险负荷公式：1。两个特征：载荷是两个特征βt的乘法相互作用，i=C（1）t，i·C（2）t，i与C（1）t，i，C（2）t，ii。i、 d。~ N（0，1）。2.

一个特征和一个宏观经济状态过程：负载取决于一个字符我们在两个GPU群集上估计了我们的模型，其中每个群集有两个Intel Xeon E5-2698 v3 CPU、1TB内存和8个Nvidia Titan V GPU。我们将TensorFlow与Python 3.6一起用于模型拟合。用超参数调谐完成GAN模型的估计大约需要3天。我们已经证实，我们的估计结果对于使用更大的超参数空间是稳健的。即使在我们的快速GPU集群上，在更大的超参数空间上进行完整的超参数搜索也可能需要数周或数月的时间，因此我们有选择地测试了更多的超参数。我们对各种不同的模型公式进行了大量模拟，得出了相同的结论。其他模拟结果可根据要求提供。特征和循环状态过程ht：βt，i=Ct，i·b（ht），ht=sin（π* 电话/24）+ht，b（h）=（如果h>0，则为1-1否则。我们只观察到趋势Zt=uMt+ht的宏观经济时间序列。所有创新都是独立且正态分布的：Ct，ii。i、 d。~ N（0，1）和hti。i、 d。~ N（0，0.25）。参数的选择以我们的经验结果为指导，并在表A.I中进行了总结。面板数据集为N=500，T=600，其中第一个Ttrain=250用于培训，下一个ttvalid=100个观察值是验证，最后一个ttset=250个观察值构成测试数据集。具有两个特征的第一个模型具有两个显著的经验特征：（1）荷载对这两个特征具有非线性相互作用效应；（2） 对于许多资产来说，信号噪声比很低。由于乘法形式，当两个值接近零的特性相乘时，载荷将取较小的值。图A.2显示了人口负荷的形式。

中心负载的资产主要由特质（idiosynctionoise）驱动，这使得提取其系统组件变得更加困难。表A.I报告了第一个模型的结果。GAN模型在所有类别中都优于forecastingapproach和线性模型。注意，没有必要包括弹性净方法，因为协变量的数量只有两个，因此正则化没有任何帮助。估计的GAN SDF的Sharpe比率达到与生成数据的人口SDFused相同的值。根据估计的负荷量和总体负荷量，我们投影出特质分量，以获得解释的变化和横截面定价误差。正如预期的那样，该设置的线性模型规格错误，既没有捕获DF，也没有捕获正确的加载结构。注意，简单的预测方法可以产生较高的夏普比率，但无法解释系统成分。图A.2解释了我们观察上述性能结果的原因。注意，SDF在特征的极端角点组合上具有较大的正权重和负权重。中间的组合接近于零。GAN网络捕获该模式，并在高/高和低/低的组合上分配正权重，在高/低和低/高的组合上分配负权重。另一方面，FFN生成的图片更具差异性。它为低/低组合指定负权重。FFN SDF仍主要集中在极端投资组合上，这些投资组合的夏普比率较高。然而，FFN未能正确捕获装载量，这导致了大量无法解释的变化和定价错误。线性模型显然不能捕捉非线性相互作用。第二个带有宏观经济状态变量的模型设置旨在模拟aboom和衰退周期对定价模型的影响。

在我们的模型中，SDF在繁荣和衰退周期中对资产产生不同的影响。请注意，在我们的示例中，宏观经济变量canby construction仅对SDF因子的荷载具有缩放效应，但不会改变其横截面分布，而横截面分布仅取决于具体信息。图A.3说明了观察到的宏观经济变量的路径，该变量具有可区分的表A.I：两个模拟设置中不同SDF模型的性能夏比EV横截面RModel Train有效测试Train有效测试Train有效测试Train两个特征和无宏观经济状态变量总体0.96 1.09 0.94 0.16 0.15 0.17 0.17 0.15 0.17GAN 0.98 1.11 0.94 0.12 0.11 0.130.10 0.09 0.07FFN 0.94 1.04 0.89 0.05 0.04 0.05-0.30-0.09-0.33LS 0.07-0.10 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.01 0.01一个特征和一个宏观经济状态变量人口0.89 0.92 0.86 0.18 0.18 0.17 0.19 0.20 0.15GAN 0.79 0.77 0.64 0.18 0.17 0.19 0.20 0.15 FFN 0.05-0.06 0.02 0.01 0.02 0.01 0.01 0.02LS 0.12-0.05 0.10 0.16 0.16 0.15 0.15 0.18 0.14此表报告了夏普SDF的比率（SR），解释了GAN、FFN和LS模型的时间序列变化（EV）和横截面平均值。由于只有很少的协变量，因此在这种设置中不考虑EN。数据由Sharpe比率SR=1和σF=0.1的SDF生成，特殊噪声σe=1。宏观经济时间序列的趋势uM=0.05。观测次数为N=500，T=600，Ttrain=250，Tvalid=100，Ttest=250。我们在数据集中观察到的大多数宏观经济变量的ing特征：（1）宏观经济过程是非平稳的，即有趋势；（2） 该流程具有周期性动态结构，即受商业周期的影响。