例如，GDP水平具有类似的定性行为。处理非平稳数据的传统方法是首先进行区分。图A.3显示，差异数据确实看起来是固定的，但丢失了有关商业周期的所有信息。GAN模型中的LSTM网络可以成功地提取出隐藏的状态过程。仅基于最新的第一个差异的模型通过构造无法推断宏观经济变量中的任何动态。表A.I报告了第二个宏观经济状态变量模型的结果。预期我们的GAN模型的性能明显优于预测模型和线性模型。注意，此处的荷载函数是线性的，宏观经济状态变量只是荷载和SDF权重的时变比例常数。由于系统组件上的投影不受比例常数的影响，线性模型实际上实现了与GAN相同的解释变化和定价错误。然而，linearmodel的Sharpe比率会崩溃，因为它在SDF权重中使用错误符号的次数大约有一半。模拟部分说明了三个发现：（1）所有三个评估指标（SR、EV和XS-R2）都是评估SDF因子质量所必需的。（2） 通过仅以最近的宏观经济观察为条件，排除了一般宏观经济动态。（3） GAN模型中的无套利条件有助于处理低信噪比。图A.2：具有2个特征的第一个模型的SDF权重ω人口模型GanffNLS该图显示了SDF权重ω作为通过不同方法估计的两个特征的函数。注意，在我们的简单模拟中，SDF权重ω与SDF载荷β一致。附录C。

条件SDF模型概述我们调查了资产定价中相关机器学习方法的最新进展，并解释了它们的差异。所有资产定价模型均由第一节A中介绍的一般框架所捕获，该框架基于基本矩方程ETHMT+1Ret+1，ii=0，其中包含因子表示Ret+1，I=βSDFt，iFt+1+t+1，i.不同的资产定价模型对SDF权重ω和SDF载荷βSDF施加了不同的结构。估计挑战来自于对条件期望集的建模[.]这可能以一种复杂的方式取决于大量特定资产和宏观经济变量。这就是机器学习工具对于以灵活的方式处理问题的大维度至关重要的地方。重要的是，我们需要一个SDF权重ω和SDF载荷βSDF的模型和估计器来解释单个股票的回报。图A.3。宏观经济状态变量的动态观察宏观经济变量宏观经济变量的一阶差异真实隐藏的宏观经济状态拟合宏观经济状态由LSTMAppendix C.A.特征投影和无条件模型最常见的方法是将问题转化为分类投资组合的无条件资产定价模型。在其他假设下，可以通过其在回报空间上的投影，获得一组资产特定特征的有效SDF Mt+1条件：Mt+1=1- ω> tRetwithωt，i=f（It，i），其中It，i是N个股票观察到的q特征向量，f（·）是一个一般的、潜在的非线性且不可分离的函数。大多数简化形式的资产定价模型通过一组（可能非常大的）简单管理投资组合fj（·）来近似此函数，例如f（It，i）≈P▄Nbasisj=1fj（It，i）▄wj。

然后，SDF成为这些管理投资组合的线性组合，权重为常数|ωj:Mt+1=1-NbasisXj=1wjRt+1，jwithRt+1，j=NXi=1fj（It，i）Ret+1，i，（A.1），其中Rt+1是Nbasismanaged投资组合的回报，对应于特征空间中的不同基函数。基础投资组合的数量随着基础函数的复杂性和特征的数量而增加。最常见的管理投资组合按特征分位数排序，也就是说，它们使用基于特征分位数的指标函数来近似f（It，i）。流行的排序是Fama和French（1992）的大小和价值双排序投资组合，也用于构建其长短因子。请注意，与我们的GAN模型相比，这些特征管理投资组合不包括非资产专用的宏观经济变量。为了简化说明，我们现在将重点关注信息集，它只对企业特定的特征进行限制。重要的是，将条件模型转换为无条件模型隐含了以下假设：首先，资产定价建模器包括所有基本函数fj（It，i），这些函数是近似SDF权重f（It，i）所必需的≈P▄Nbasisj=1fj（It，i）▄wj。如果资产定价建模师忽略了相关的基础函数，例如特征之间的相互作用，则DF将被错误指定。其次，特征管理投资组合的回报率Rt+1、jaremean和方差平稳，即，尤其是它们具有恒定的均值和方差。在这种情况下，可通过基于特征管理投资组合解决无条件均值-方差优化问题来获得SDF：~w=VarRt-1E[￠Rt]￠w∈R▄基础。

（A.2）然后通过特征的SDF权重给出单个股票的SDF权重，以使符号更接近我们在这里考虑的文献，SDF Mt+1=1-PJj=1▄wj（▄Rt+1，j-E[~Rt+1，j]），在平均方差问题中，产生协方差矩阵，而不是无中心的二阶矩矩阵。然而，这种标准化对结果来说无关紧要。tic管理的投资组合以及这些投资组合中各股票的权重，即wt，i=PNbasisj=1fj（It，i）wj。大多数资产定价模型都属于这一类。重要的是，这些模型没有为如何获得单个股票收益率βSDFt的载荷提供指导，这是一个单独的问题。这些无条件模型只能很容易地用来解释用于构建特定特征管理投资组合的预期回报，但需要一个额外的模型来获得单个股票载荷βSDFt。虽然方程A.2描述了总体解，但我们需要额外的假设来获得可行的估计量。如果特征管理投资组合的数量很大，无论是因为特征的数量很大，还是因为应该近似的函数形式很复杂，需要许多基函数，我们都不能应用简单的样本估计量，也需要正则化。~w的原始样本估计量为~wMV=^∑-1u，其中∑-1是协方差矩阵的样本估计量，^u是特征管理投资组合的平均值的估计量Rt.Kozak、Nagel和Santosh（2020）（KNS）建议对该回归问题应用修正岭惩罚和套索惩罚来估计w：wKNS=arg minw^u -^∑w>^Σ-1.^u -^∑w+ 2νИNXj=1 | wi |+νОw>| w,其中，ν是套索惩罚，ν是岭型惩罚。

Kozak、Nagel和Santosh（2020）主张在PCA空间中使用他们的估计器（这意味着^∑的对角矩阵），正如Lettau和Pelger（2020）所示，这产生了一个闭式解：^wKNS，i=^ui-νσi+νifui≥ ν0如果ui<ν，其中σi是PCA因子的方差，σi是它们的平均回报。选择lassopenalty映射为少量基础资产的稀疏表示，这些基础资产是根据其平均值选择的。重要的是，KNS模型没有提供一个框架来解释未用作基础资产的单个股票或资产的平均回报。Bryzgalova、Pelger和Zhu（2020）的资产定价树（AP树）在多个维度上概括了KNS的SDFA方法。首先，在选择基础资产的情况下，他们通过引入均值收缩和方差收缩来处理均值估计中的巨大不确定性。其次，也是更重要的一点，他们使用递归树基函数来生成具有特征的预测投资组合。这些更灵活的基函数包括作为特例的常规单变量排序，但也允许处理多个特征之间的相互作用。一个特别吸引人的元素是利用树中的重叠结构，并使用健壮的SDF恢复来选择树基函数来跨越SDF。这具有获得类似于PCA因子的低维表示的关键优势，同时可以恢复可解释性并捕获更一般的模式。Bryzgalova、Pelger和Zhu（2020）获得的基本函数的主要重点是将其用作无条件资产定价模型的信息性测试资产。附录C.B。

无条件模型的反演为了使用SDF（根据条件投资组合或预测估计为无条件模型），我们需要反演条件预测。换言之，预测回报率Rt+1的无条件DF模型需要映射回单个股票回报率Rt+1。根本的挑战是，这需要使用无条件SDF模型对单个股票的条件协方差进行建模。因此，指定一组投资组合排序并估计这些投资组合排序的无条件SDF模型是不够的。我们需要估计每个股票与SDF投资组合的条件协方差：βSDFt，i=Covt（Ret+1，i，Ft+1）Vart（Ft+1）=Covt（Ret+1，i，~w>~Rt）Vart（~w>~Rt）。显然，如果股票具有时变特征，使用无条件协方差在内部是不一致的。换句话说，投资组合排序的均值和协方差平稳模型的假设，意味着单个股票回报的条件模型。内部一致性模型将使用相同的基函数fj（It，i），用于跨越条件SDF权重wt，ito跨越条件SDF载荷βSDFt，i。这需要额外的非参数回归，以及高维设置中的相应挑战。附录C.C.无条件因素模型线性因素模型文献提出了额外的假设，即基于特征管理投资组合的少量风险因素应涵盖SDF。大多数文献研究特征管理投资组合的无条件因子模型。这需要与第C.C.A节中无条件SDF模型中相同的假设。

此外，它还规定，特征管理投资组合的超额收益遵循一个因子结构▄Rt，i=▄Ft▄β>i+et，ii=1。。。，Nbasis，t=1。。。，T（A.3）这些因素可以是观察到的基本因素，例如Fama-French factor model of Fama and French（2015），或潜在资产定价因素，这些因素是根据PCA或其改进RP-PCA（Lettau和Pelger（2020））估计的无条件时刻得出的。相切投资组合的跨度为▄Ft，其因子权重为▄ω▄F=∑-1▄Fu▄F，（A.4），其中u▄Fand∑▄表示▄Ft的均值和方差协方差矩阵。隐含的SDF由mt=1给出- Иω>~F英尺-Et[▄英尺]. 方程式A.4中因子的SDF权重遵循因子本身的定价，即因子作为获得SDF权重的基础和测试资产。重要的是，恒定载荷￠β的假设仅在特征管理投资组合上合理，但如果特征是时变的，则个别股票回报必须具有时变载荷。因此，对投资组合类别的任何因子模型进行估计并不容易意味着对单个股票回报的因子模型和SDF。单个股票回报的载荷由条件载荷βSDFt给出，i：βSDFt，i=Covt（Ret+1，i，Ft+1）Vart（Ft+1）=Covt（Ret+1，i，§ω>~FFt+1）Vart（§ω>~FFt+1）。例如，如果其中一个风险因素是“大小”因素，这是基于大小排序分位数的长-短因素，那么与只包含大型股票的投资组合相比，对于只包含小型股票的投资组合，此类风险因素应具有更大的负荷β。由于股票的市场资本化是时变的，这从机械上意味着，单个股票的规模因子负荷必须随时间变化。

更具体地说，由于构建规模因子的权重是市值的函数，它机械地意味着单个股票的负荷也必须是市值的函数。在实践中，基于对投资组合分类的特定选择构建的无条件因素，例如基于双重分类大小和按市价分类的分位数的Fama和French（1992）中的3个Fama-French因素，或根据大量单变量分位数分类估计的PCA因素，已应用于测试非基础资产的资产或单个股票回报。通常的应用程序对一组因子进行无条件时间序列回归。只有当系数的荷载和系数的力矩随时间保持不变时，这才有效，而通过构造，具有时变特性的单个股票就不可能是这种情况。一种常见的做法是运行滚动窗口回归，以获得单个股票的局部载荷。虽然这可能会解决时间变化问题，但它并不容易产生一个条件因子模型，该模型可以对样本外的不同股票进行评估。个别股票收益的极端不平衡严重限制了无条件因素局部窗回归的使用。数据第一部分中的股票数量太大，第二部分中无法获得，这限制了可用于样本外评估的股票数量。

在条件模型中，我们估计条件SDF权重ω和负荷βSDFA，这是不同股票的特征函数，用于估计和评估。因此，我们可以评估第一部分数据中不可用的股票模型。重要的是，条件模型还允许我们直接研究企业特征中的风险经济来源。附录C.D.条件因素模型条件因素模型假设SDF由条件风险因素的线性组合跨越，因此它限制了跨越SDF的基础资产。与无条件模型相比，条件风险因素的SDF权重和负荷是特征的函数，因此是时变的。我们使用Kelly、Pruitt和Su（2019）的仪器化主成分分析（IPCA）来说明这种设置。该条件因子模型将单个股票收益直接建模为Ret+1、i=b>t、ifIPCAt+1+t+1，i带bt，i=i>i，tΓb。而不是允许SDF为Mt+1=1-PNi=1ωt，iRet+1，i，限制为Mt+1=1-PKk=1wIPCAt，kfIPCAt+1，k，其中IPCA系数用IPCA估算。即使在估计了条件因子之后，我们仍然需要解决一个条件GMM问题。基本力矩方程为“1-KXk=1wIPCAt，kfIPCAt+1，k！Ret+1，i#=0。（A.5）如果我们假设没有错误说明t+1，i独立于IPCA因子，条件平均值为零，则方程A.5中SDF权重的总体解为SWIPCAT=CovtfIPCAt+1-1Et【fIPCAt+1】，需要估计条件矩。这些条件矩可以通过使用时间t的信息集预测fIPCAt+1和fIPCAt+1来估计。

给定SDF权重wIPCAt，SDF载荷是条件因子载荷βSDFt=b>t，iνipcat的线性组合，使得RET+1，i=b>t，iνipcat>fIPCAt+1+t+1，i.在其他假设下，它认为νIPCAt=wIPCAt·ctup是一个比例常数ct，但在一般情况下，这不需要成立。然而，WIPCAT的选择唯一地固定了νIPCAt，也就是说，选择条件因子的组合会导致条件加载的特定组合。一些具有条件因子的论文假设无条件SDF权重，即他们设置WIPCA=CovfIPCAt+1-1E【fIPCAt+1】。然而，SDF权重的选择也将SDF载荷限制为条件因子载荷的特定线性组合，即wIPCAdeterminesνIPCAt。当SDF权重设置为无条件相切组合权重wIPCA=Cov时，与Bt上的传统多元横截面回归相关的残差与与与SDF加载βSDFt相关的残差不同fIPCAt+1-1E【fIPCAt+1】。一致的资产定价模型需要对如何将条件因素和条件负荷组合成单因素表示施加相同的约束。在第三节J中，我们表明，对于IPCA模型，条件因素的无条件均值-方差组合不能解释股票的平均回报，而使用GAN框架估计的条件因素的条件组合可以产生更好的资产定价模型。附录C.E.对抗性估计和平均方差优化我们将对抗性估计与SDF的平均方差估计进行比较。为了提供直观性，我们从预先指定的基函数的特例开始，估计条件矩。

直观地说，我们假设预先指定的一组投资组合排序，例如基于特征的单变量排序，足以覆盖SDF。我们的起点是条件矩方程Mt+1Ret+1，ii=0，这意味着对于任何函数g（.），无条件矩se[Mt+1Ret+1，ig（It，i）]=0（A.6）。对于预先指定的基函数，我们假设SDF权重和条件函数（有助于识别SDF权重）由这些基函数跨越：w（It，i）=NbasisXj=1fj（It，i）~wj，g（Ii，t）=NtestXj=1gj（It，i）~wtestj。Nbasischaracteristic管理的投资组合Rbasist+1，j=PNi=1fj（It，i）Ret+1，可以解释为跨越SDF的基础资产。Ntestcharacteristic管理的投资组合Rtestt+1，j=PNi=1gj（It，i）Ret+1，i与测试资产相关，用于识别和估计恒定权重w。对于预先指定的基础函数，我们附加了一个假设，即基础和测试资产具有平稳的一阶矩和二阶矩。首先，我们考虑GMM问题中的精确识别。如果我们将基础资产设置为与测试资产相同，即▄Rbasist=▄Rtestt，则无条件力矩方程1.- w>▄RbasistRtestti=0（A.7）具有解决方案▄w=Eh▄Rbasist▄Rbasis>ti-1EhRbasisti。（A.8）如果我们从敌对的角度来处理这个问题，解决方案将是相同的，也就是说，问题minwmaxRtestt呃1.- w>▄RbasistRtestti（A.9）具有方程式A.8中的解。这是因为我们有一个精确识别的GMM问题，其中参数的数量与矩的数量完全相同。虽然到目前为止的讨论都是基于人口矩，但当我们根据经验进行估计时，它会变得更加复杂。

当基准和测试资产的数量Nbasis=Ntestis相对于时间序列观测值的数量T很大时，我们需要使用某种形式的正则化来正则化第二个（可能也是第一个）样本矩。可能的正则化包括在均值-方差优化问题中使用基于▄Rbasist的协方差矩阵或岭、套索或弹性惩罚的PCA因子。这些正则化的共同点是，它们要么是硬阈值（在PCA的情况下）要么是软阈值（对于岭惩罚），即解释相对任意选择的基础和测试资产集变化较小的组件。这种方法的一个问题是，它忽略了与解释平均收益率相关的薄弱因素，但会因正则化而降低权重。总的来说，我们有一个识别过度的GMM问题，SDF的基础资产和测试资产不需要相同。这意味着测试资产的空间可以大于基础资产和Ntest>Nbasis的集合。在适当的假设下，A.7中无条件力矩的解变为w=Eh▄RBASST▄Rtest>tiOhmGMMEh▄Rtestt▄Rbasis>ti-1Eh▄RBASST▄Rtest>tiOhmGMMEhRtestti，（A.10），其中OhmGMMis矩的GMM加权矩阵。在identitymatrix的特殊情况下，即OhmGMM=INtest，所有测试资产的权重相同。样本解显然需要某种形式的正则化，类似于精确识别的情况。如果测试资产的数量大于基准资产的数量，则A.9中的Adversarial GMM的解决方案更为复杂，通常无法映射到方程式A.10的形式。与传统的正规化GMM框架相比，对抗性方法有许多优点：1。如Hansen和Jagannathan（1997）所示，它对误判更为稳健。

更具体地说，如果选择的基函数集过于严格，或者形式或正则化不合适，那么对抗性方法提供了更稳健的定价内核。2、对抗性GMM可以解决资产定价因素薄弱的问题。大多数资产定价应用程序中的测试资产在某种程度上是任意选择的（通常通过使用相同的双排序投资组合集）。弱资产定价因素可能只能解释测试资产特定选择的少量变化，但对于解释与风险溢价相关的SDF的某个组成部分可能很重要。对抗性的GMM将提高该分量的权重，而基于岭或PCA的常规正则化将忽略这些薄弱因素。3、对抗性GMM将确保识别SDF的所有参数。如果SDF的某些成分基于弱因素，则常规的正则化GMM可能无法识别这些成分。本文所考虑的一般问题实质上更加困难，因为我们没有对基础和测试资产使用预先指定的基础函数，而是从数据中学习它们。考虑到所有可能的非线性相互作用，神经网络可以生成的潜在非参数基函数集非常大，达到数百万。在这种普遍性水平下，当我们考虑到这种程度的灵活性时，在传统的正则化平均方差框架中，没有任何有意义的方法来解决这个问题。在这里，对抗性gmm框架对于获得可行的解决方案至关重要。因此，除了上述好处外，对抗性方法还为其他方法无法解决的一般问题提供了可行的解决方案。

此外，非参数对抗性GMM方法基于较弱的假设，因为它不需要大量预先指定的分类投资组合的第一和第二矩的平稳性，这在A.10中进行了假设。非参数化矢量GMM只要求1.-PNi=1w（It，i）Ret+1，i从Ret+1，ig（It，i），允许时变力矩。附录D。

公司特定特征列表稳定A.II：按类别划分的公司特征快速回报值（1）r2 1短期动量（26）A2ME资产与市值之比（2）r12动量（27）BEME账面市值比（3）r12 7中期动量（28）c现金和短期投资与总资产之比（4）r36 13长期动量（29）CF自由现金流与账面价值之比（5）ST Rev短期冲销（30）CF2P现金流量价格比（6）LT Rev长期冲销（31）D2P股息收益率（32）E2P收益价格比投资（33）Q Tobin的Q（7）投资投资投资（34）S2P销售价格比（8）NOA净营运资产（35）Lev杠杆率（9）DPI2A房地产、工厂的变化，andequipment（10）NI净份额发行交易摩擦（36）总资产收益率（37）βCAPMβ（11）收益率（38）特殊波动率（12）ATO净销售额超过滞后净运营资产（39）LME规模（13）CTO资本周转率（40）LTO周转率（14）FC2比固定成本销售额（41）MktBeta市场β（15）OP运营收益率（42）与去年最高（16）PM利润率（43）残差Var残差方差（17）RNA净营运资产回报率（44）价差买卖价差（18）ROA资产回报率（45）SUV标准未解释量（19）ROE股本回报率（46）方差方差方差方差（20）SGA2S销售，一般和管理销售费用（21）D2A资本密集型无形资产（22）AC应计项目（23）OA运营应计项目（24）OL运营杠杆率（25）PCM价格与成本利润率该表显示了46个按六类分类的特定公司特征。有关施工的更多详细信息，请参阅互联网附录。附录E。

好好学习一下