限价订单的随机偏微分方程模型

2022-6-14 10:06:43

这些PDE模型可能被视为离散点过程模型的缩放限制（Cont和De Larrard，2012；Hambly等人，2020；Horst和Kreher，2018）。虽然限额订单账簿中所有价格水平的订单流量联合建模更具吸引力，（S）PDE模型缺乏应用所需的分析和计算可伸缩性；因此，大多数分析结果都是使用最佳买卖队列的简化模型得出的（Cont and De Larrard，2012；Cont and De Larrard，2013；Chavez Casillas and Figueroa Lopez，2017；Huang et al.，2017）。我们提出了一类极限订单簿动态的随机模型，该模型代表了整个订单簿的动态，同时保留了低维马尔可夫模型的分析和计算可处理性，并为市场价格和订单簿深度的联合动态提供了现实的动力学。从通过带乘性噪声的随机偏微分方程（SPDE）描述极限指令簿的动态开始，我们表明，在许多情况下，该方程的解可能会根据低维离散过程进行参数化，从而使模型在计算上易于处理。特别是，我们能够导出模型参数和各种可观测量之间的分析关系。该特性可用于校准模型参数，以匹配订单流量的统计特征，并得出可经经验检验的预测，我们将使用电子股票市场订单流量的高频时间序列进行测试。大纲第1节介绍了通过随机偏微分方程（SPDE）对限价指令簿动力学的描述。我们描述了方程中的各种术语及其解释，并讨论了价格动力学的含义（第1.3节）。

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2022-6-14 10:06:46

这类模型是由半鞅驱动的更一般的偏微分方程族的一部分，在第。第1.5节研究。然后，我们将重点放在两个分析可处理的示例上：一个双因素模型（第3节）和一个具有平均回复深度和不平衡的模型（第4节）。对于每个模型，我们对不同参数的作用进行了详细分析，并研究了价格、订单深度、数量和订单不平衡的动态，42.11美元42.12美元42.13美元42.14美元42.15美元42.16美元42.17美元42.18美元42.19美元42.20价格水平-6000-4000-200002000040006000SharesCSCO限额订单簿日期：2018年1月1日14:00:00图1。纳斯达克CISCOshares限额订单簿快照（2018年1月30日），显示以不同价格等待执行的未完成买入订单（绿色）和卖出订单（红色）。最高买价（本例中为42.15美元）是出价，最低卖价（42.16美元）是要价。对涉及的变量提供直观的财务解释，并说明如何根据价格、数量和订单流量的财务时间序列估计模型。1、限价指令簿动态的随机PDE模型我们考虑金融资产（股票、期货合约等）的市场，在该市场中，买方和卖方可以提交限价指令，以特定价格购买或出售一定数量的资产，并根据最佳可用价格立即执行市场指令。等待执行的限价订单收集在限价订单簿中，如图1所示：在任何时间t，限价订单簿的状态由网格上价格水平p下等待执行的订单的卷V（t，p）汇总，网格大小由最小价格增量tick sizeδ给出。按照惯例，我们将负交易量与购买订单相关联，将正交易量与销售订单相关联，如图1所示。

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2022-6-14 10:06:50

然后，可接受的订单账簿配置由函数p 7表示→ V（p）使得0<sb（V）：=sup{p>0，V（p）<0}≤ sa（V）：=inf{p>0，V（p）>0}<∞.sb（V）（resp.sa（V））被称为出价（resp.ask）价格，代表与百思买（resp.sell）服务相关的价格。数量S=sa（V）+sb（V）在下文中，我们不区分市场订单和适销限价订单，即价格优于对方最佳价格的限价订单。被称为中间价格和差异sa（V）-sb（V）称为买卖价差。在图1所示的示例中，sb（V）=42.15，sa（V）=42.16，在这种情况下，投标askspread等于刻度大小，即1美分。一种建模方法是将V（t，p）的动力学表示为空间（标记）点过程（Luckock，2003；Cont等人，2010；Cont和de Larrard，2013；Kelly和Yudovina，2018）。这些模型在高频下保持了动力学的离散性，但如果试图结合真实动力学，则可能在计算上具有挑战性。特别是，在此类模型中是内生的价格动态很难研究，即使订单流量是一个离散点过程。当买卖价差和勾号大小δ远小于价格水平时，通常情况下，另一种建模方法是使用订单簿的连续近似值，通过其密度v（t，p）描述它，表示每单位价格的订单量：v（t，p）\'v（t，p）δ。然后通过偏微分方程（PDE）描述买卖订单密度的演变。（Lasry和Lions，2007）提出了通过耦合偏微分方程系统对有序密度动态的确定性描述，并由（Chayes et al.，2009；Caffarelli et al.，2011；Burger et al.，2013）进行了详细研究。

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2022-6-14 10:06:53

在Lasry Lions模型中，买卖订单密度的演化由一对通过价格动力学耦合的扩散方程描述，该方程表示买卖订单价格之间的自由边界。该模型在许多方面都很有吸引力，特别是在分析的可跟踪性方面，但它导致了一个确定性的价格过程，该过程会导致价格不变，因此无法深入了解流动性、深度、订单流量和价格波动之间的关系。（Markowich et al.，2016）探索了该模型的一些随机扩展，但本质上表明这些扩展并不能提供真实的价格动态。我们在这里采用这种连续统方法来描述限额订单，但通过随机部分微分方程来描述其动态，密切关注价格动态及其与订单流量的关系。我们提出的模型与（Lasry和Lions，2007）有一些共同的特点，但也有一些本质的区别。与Lasry-Lions模型不同，Lasry-Lions模型是一个自由边界问题，其中价格动态是隐式确定的，我们将该模型表述为相对价格坐标下的随机偏微分方程，从而导致绝对价格坐标下的随机移动边界问题。这导致了市场价格和订单深度的更现实的联合动态，这可能与经验观察有关。我们的模型也适用于（Horst和Kreher，2018；Hambly等人，2020）中研究的模型类别，作为离散排队系统的缩放限制。现在，我们详细描述我们的模型。1.1. 状态变量和缩放变换。

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2022-6-14 10:06:58

我们关注的是，与典型的价格水平相比，勾号大小δ和买卖价差较小的情况，并考虑以中间价格水平描述的限额订单簿，即每个价格水平p下的订单密度v（t，p），代表p<St的买入订单，以及p>St的卖出订单。我们使用图1所示的惯例，用负号表示买入订单，用正号表示卖出订单，sov（t，p）≤ 0表示p<标准v（t，p）≥ 0表示p>S根据价格优先级及其在队列中的位置，根据市场订单执行限制订单；只有当限价指令位于最佳（买入/卖出）价格时，才会执行限价指令。这意味着价格动态是由市场订单与由最佳价格定义的界面或界面附近的相反类型限额订单的相互作用决定的（Cont et al.，2010）。由于这一事实，大多数limitorders Flow的提交接近于最佳价格水平：limitorders提交的频率由于与最佳价格的距离而非常不均匀，并且集中在最佳价格附近。如之前的实证研究所示，在一级近似中，与最佳价格保持一定距离的订单流强度可以视为平稳变量（Bouchaud等人，2009年；Cont等人，2010年）。因此，在随机描述中，在（中间）价格St的参考框架中建模订单流的动态更为方便。我们定义（x）=v（t，St+x），其中x表示与中间价格的距离。我们将UTA称为中心订单书籍密度。最简单的居中方法是设置x（p）=p-但是，其他非线性缩放可能会引起人们的兴趣。尽管限价订单可能与买入/卖出价格保持任何距离，但价格动态主要取决于订单在中等价格以上和以下几个水平的行为（Cont和De Larrard，2012）。

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2022-6-14 10:07:01

如果勾号大小δ被简单地缩放为零，则该区域变得非常小，这表明正确的缩放限制是我们选择的坐标缩放版本（p- St），正如在PDE边界层分析中所做的那样（Schlichting和Gersten，2017），为了放大相关区域：（1.1）x（p）：=-（St- p） a，p<St，x（p）=（p- St）a、p>St、a>0分别表示投标方和买方。在第3节和第4节讨论高频数据的应用时，我们将考虑此类非线性标度的示例。这些参数还证明了将参数xto的范围限制为boundedinterval的合理性[-五十、 +L]，设置ut（x）=0表示x/∈ (-五十、 L）。这相当于假设在距离| x |的价格水平下没有提交订单≥ L中价，之前以p价提交的订单将立即取消- p |≥ L即，当中间价与p的距离超过L时。当L是日波动率的大倍数时，这是一个现实的假设。在某些市场（例如期货合约），实际上只能在中间价±1的范围内提交限价指令。1.2. 居中限制订单簿的动态。对电子市场日内订单流量的实证研究表明，两种非常不同类型的订单流量以不同的频率共存（Lehalle和Laruelle，2018）。一方面，我们观察到常规市场参与者在市场价格两侧以不同价格水平排队提交（和取消）订单。取消可能以几种方式发生：我们将直接取消与替换（“订单修改”）取消区分开来，前者是我们根据当前队列大小按比例建模的，后者是指一个订单被取消并立即被另一个相同类型的订单取代，通常是在相邻的价格限制下。

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2022-6-14 10:07:04

前者导致订单簿数量的净减少，而后者则是保守的，只是在相邻的订单簿层次之间转移订单。进一步将这种保守流分解为对称和反对称部分，会导致ut动力学中出现两个术语：一个是表示订单取消及其（对称）被相邻价格水平的订单替代的扩散项，另一个是表示订单取消及其被更接近中间价格的订单替代的对流（或运输）项。表示方式在变量x中，订单流对订单簿的净影响可以描述为术语fb（x）（分别为fa（x）），表示在距离最佳价格x的位置提交购买（分别为出售）订单的速率；一个术语αbut（x）（分别为αaut（x）），表示在距离中间价x处（αa，αb）按比例取消限价买入（分别为卖出）订单≤ 0). 对流项-βbut（x）（分别为+βaut（x）），βa，βb>0时，用更接近中间价的订单（即更接近x=0，因此这些术语中的符号）替代买入（或卖出）订单：在参考框架中，原产地是中间价，这转化为流向原产地的数量波动； a扩散项ηbut（x）（分别为ηaut（x）），表示在距离中间价x处取消和对称替换订单。订单流的另一个组成部分是高频交易员（HFT）产生的订单流。

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2022-6-14 10:07:07

这些市场参与者以非常高的频率进行买卖，库存紧张，在中间价之外提交和取消大量限价订单，导致订单流量在较长的时间间隔内平均对总订单量的净贡献为零，但其符号在较短的时间间隔内以较高的频率变化。在平均（非HF）市场参与者的粗粒度时间尺度上，这些特征可以建模为形式的多复制噪声项 σbut（x）dwb用于购买订单（x<0）和σaut（x）dwa用于销售订单（x>0），其中（Wa，Wb）是一个二维维纳过程（可能具有相关组件）。噪声的乘法性质解释了与HFT阶数相关的高频抵消。这些不同订单流量成分的影响可通过以下中心订单簿密度的随机偏微分方程来总结：dut（x）=[ηaut（x）+βaut（x）+αaut（x）+fa（x）]dt+σaut（x）dWat，x∈ （0，L），dut（x）=ηbut（x）- βbut（x）+α，但（x）- fb（x）dt+σ，但（x）dWbt，x∈ (-五十、 0）ut（x）≤ 0，x<0，ut（x）≥ 0，x>0，ut（0+）=ut（0-) = 0，ut(-五十） =ut（L）=0（1.2），这里是ηa，ηb，βb，βa，σa，σb∈ (0, ∞), αa，αb≤ 0和fa，fb:I→ [0, ∞) 尽管在没有这些符号限制的情况下，可以同等考虑该等式。请注意，与Lasry Lions模型不同，通常在x=0时没有“平滑粘贴”条件：ut（0+）6=ut（0-): 差异ut（0+）- ut（0-) 实际上是随机的，代表着买卖订单流动的不平衡，从而推动了价格动态。下文第1.3节讨论了这一重要特征。备注1.1。在最优交易执行文献中使用的简单价格影响模型中，假设价格影响与订单规模之间的关系是确定的。

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2022-6-14 10:07:11

这对应于αu+f=β=σ=η=0的情况，这导致以常数为中心的订单文件ut（.）=u（.）。因此，这些术语对应于新订单簿事件导致的中心订单簿文件的变形，并导致依赖于订单簿当前状态的交易的随机市场影响。满足边界和符号约束的解的存在性并不明显，但我们将在第2节中看到（1.2）是适定的：根据（Da Pratoand Zabczyk，2014，定理6.7）和（Milian，2002，定理3），当fa，fb∈ L（I），那么对于所有u∈ L（I）存在唯一的弱解（1.2）（见下面的定义2.2），当u |（0，L）≥ 0和u|(-五十、 0）≤ 0该溶液满足（1.3）ut |（0，L）≤ 0，ut|(-五十、 0）≥ 我们将在下面更详细地研究该解的数学性质。1.3. 价格动态。限价订单簿的动态决定了买入和卖出价格的动态，这与最佳（买入和卖出）订单的位置相对应。因此，价格动态应与订单簿中订单的到达和执行相关。为了理解价格动态和订单流量之间的关系，让我们回顾一下astep，并考虑一个具有离散价格水平、ticksizeδ倍数、投标方每级Dborders和询价方每级Daorders的订单。一段时间内的价格变化【t，t+t] 通过订单簿顶部的净订单流量或订单流量不平衡（OFI）和未结限额订单的相互作用触发（Cont等人，2014）。如图2所示，订单流量不平衡短时间间隔内ask侧的Dat>0[t，t+t] 表示超额的购买订单，然后将针对位于ask侧的限额sellorders执行，并将ask价格移动Dat/Daticks，导致价格波动δ日期/日期。

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2022-6-14 10:07:14

同样，订单流量不平衡投标方将把投标价格提高Dbt/Dbticks。使用我们的买卖量符号约定，这将产生以下动态：sbt=δDbtDbtsat=-δDatDat，因此中间价格st=（sbt+sat）/2的动态由（1.4）给出St=δDbtDbt-DatDat日期.如图2所示，对于每层深度恒定的离散订单簿（因此，没有空层），这种关系是精确的（直到四舍五入）。然而，在订单簿可能具有任意属性的动态设置中，每个时刻都会随机移动，人们只能期望（1.4）的“同质化”版本保持不变：（1.5）St=θDbtDbt-DatDat日期其中θ是一个影响系数，它将订单不平衡与价格变动联系起来。订单流量不平衡与价格变动之间的这种关系已经在股票市场中得到了实证验证（Cont等人，2014），我们将以此为基础，在我们的模型中定义价格动态与订单流量之间的关系。现在让我们看看关系（1.5）是如何根据我们模型中的变量进行转换的。通过Dbt（分别日期）表示账簿顶部的买入（或卖出）限额订单量（即前几个级别的第一个或平均值）。给出中等价格∈ R+，我们定义了缩放变换x：[S，S+L]→ [0, ∞) 如第1.1节所述，具有连续可微分逆，且x（S）=0。然后，最佳ask队列的容量由（1.6）Da=Zs+δsu（x（p））dp=Zx（s+δ）u（y）（x）给出-1）（y）dy.Db可对投标方进行类似定义。这些数量代表了书籍顶部的深度；我们将其称为“市场深度”。对于线性图2。

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2022-6-14 10:07:17

订单流量不平衡对订单簿和价格的影响。缩放x（p）=p- S、使用u（0）=0，δ>0的二阶展开式得到（1.7）Da=Zδu（x）dx≈ δu（0+）+δu（0+）=δu（0+）。同样，对于投标方（1.8）Db≈δu（0-) .将这些表达式代入（1.5）中，我们得到了以下中间价格动态：（1.9）dSt=θdDbtDbt-dDatDat公司= θdut（0-)ut（0-)-dut（0+）ut（0+）.我们观察到，价格动态完全由账簿顶部的订单流量和中间价格附近的限制订单簿深度决定。推导中使用的ticksizeδ不再出现在（1.9）中。微观结构的唯一痕迹是冲击系数θ，它将订单流量不平衡与价格变化的幅度联系起来，其幅度可能因资产而异。备注1.2。方程（1.9）要求原点处u的左右差别。只要uttakes Sobolev空间H2γ（I）中的值，对于某些γ>/4，这是可以保证的，在我们的模型中就是这样。然而，请注意，与（Lasry和Lions，2007）相比，一般而言u（0+）6=u（0-): 这两个数量之间的差异与推动价格波动的订单流量不平衡成正比。备注1.3。如备注1.1所述，在αu+f=β=σ=η=0的情况下，对应于以常数为中心的订单量ut=u。在这种情况下，方程式（1.9）意味着dSt=0，即价格是恒定的，这与零净订单流量一致。这是价格动态（1.9）和订单动态（1.2）之间一致性的结果。1.4. 绝对价格坐标中的动态。上述模型在相对价格坐标中描述了订单的动态，即作为与中间价格（按比例）距离的函数。

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2022-6-14 10:07:20

由（绝对）价格水平p参数化的限额订单簿的密度∈ R由（1.10）vt（p）=ut（p）给出- St），x∈ R、其中，我们通过设置ut（y）=0表示y来扩展utto R∈ R\\[-五十、 L）]。假设Stfollowsan（任意）It^o processdSt=θutdt+θξbtdWbt- θξatdwat其中θ>0和u是可预测和可积的，ξata和ξbt是可预测和平方可积的过程。这包括价格动态（1.9）的情况，它可以用来表示ut、ξat、ξbtin和模型参数。我们将在这里不深入讨论这些细节，但将在第3节和第4节的示例中返回到这一点。定义^ξt：=q（ξbt）+（ξat）- 2.a、 bξbtξat，t≥ 使用（广义）It^o-Wentzell公式（见附录a），我们可以证明V是随机移动边界问题的解（Mueller，2018）：（1.11）dvt（p）=h（ηa+θξt）vt（p）+βa- θut- θσa(a、 bξbt- ξat）vt（p）+αavt（p）dt+（σavt（p）+θξatvt（p））dWat- θξbtvt（p）dWbt，用于p∈ （St，St+L）和（1.12）dvt（p）=h（ηb+θξt）vt（p）+(-θut- βb- θσb（ξbt- a、 bξat））vt（x）+αbvt（p）dt+θξatvt（p）dWat+σbvt（p）- θξbtvt（p）dWbtfor x∈ （St- 五十、 St）移动边界条件（1.13）vt（St）=0，vt（y）=0，y∈ R \\（St- 五十、 St+L），我们将（1.13）称为St处的随机边界条件。为了简单起见，我们假设fa，fb=0。附录A.1.5对该结果进行了更详细的讨论。订单动态的线性演化模型。现在，我们将描述一类更一般的订单簿动态线性模型，其内容足够丰富，足以涵盖我们迄今为止讨论的示例，但也涵盖了所有一级模型，其中bestbid和ask队列由正半鞅建模。通常，bid和ask端的订单密度将分别取一些函数空间HB和Ha中的值。我们假设相对价格水平为x的订单为| x |≥ L∈ (0, ∞] 将被取消。

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能者818

2022-6-14 10:07:23

相对价格水平在投标方Ib：=(-五十、 0），并且在掩码侧Ia：=（0，L）。然后，为了保留密度的解释，有理由询问Hb Lloc（Ib）和Ha Lloc（Ia）。从数学的角度，我们将假设Ha和Hb是实可分Hilbert空间。为了方便起见，我们现在还设置I：=Ib∪ Ia。相对价格水平x和时间t下的限价订单密度由u:I×[0，∞) ×Ohm → R、这样u？：=u | I？是H吗-有价值的适应过程。初始状态由h:I描述→ R、这样h？：=h | I？是H？中的元素？。书内（平均）动态由线性运算符A？建模：dom（A？）H→ H对于 ∈ {a，b}，我们假设这是密集定义的 ∈ {a，b}H中存在弱解？方程式（1.14）tg？t（h？）=A.g？t（h？），t>0，g？（h？）=h？，对于每个初始状态h？∈ H随机订单到达和取消假设成比例，并由cadlag半鞅Xband Xa建模，我们假设跳跃大于-1几乎可以肯定。我们假设初始订单簿状态为h∈ 我们写下ha：=H | Ia，hb：=H | Ib。模型1.4（线性齐次演化）。线性齐次模型的一般形式为（1.15）（dubt=Abubt-dt+ubt-dXbt，在Ib上，duat=Aauat-dt+uat-dXat，在Ia上，用于t≥ 0，且u=h。u也可以表示为（1.16）ut=gbt（h？）Et（Xb）1Ib+gat（h？）Et（Xa）1Ia，其中gband-gaare解为（1.14），见下面的定理2.5。此外，如果t 7→ gbt（0-) 和t 7→ gat（0+）具有有界变化，然后我们得到了价格动力学（1.9）。推论1.5。假设模型1.4的设置，此外，h？是的IGenFunction-A.特征值ν？∈ R、用于 = b和 = a、然后，（1.14）可以显式求解，（1.17）ut=hbe-νbtEt（Xb）1Ib+hae-νatEt（Xa）1Ia。备注1.6。

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2022-6-14 10:07:31

如果Xband Xa是（局部）鞅，则特征值-ν波段-νa分别在出价方和询价方上显示净订单到达率的作用。模型1.7（带源项的线性模型）。更现实的设置假设除订单流入/流出外，订单流入/流出的速率为fa（x），fb（x），这取决于x到中间价格的距离（Cont等人，2010）。然后方程变为：（1.18）（dubt=Abubt+fbdt+ubtdXbt，在Ib上，duat=（Aauat+fa）dt+uatdXat，在Ia上，对于t≥ 0，初始条件u=h。正如我们将在第4节中讨论的，一个有趣的情况是当fb（分别为fa）是-Ab（分别为。-Aa）与一些特征值νb（分别为νa）相关。然后通过定理2.10，我们得到（1.19）ut=gbt（hb- fa）Et（Xb）+fbZbtIb+（gat（ha- fa）+faZat）1Ia，其中，用于 ∈ {a，b}，Z？这是（1.20）dZ的溶液吗？t=（1- ν?Zt型-) dt+Z？t型-dX？t、 t型≥ 0，Z？=1、备注1.8。如果νb，νa>0，则订单簿的状态为均值恢复到状态fb[-五十、 0）+fa（0，L）。我们将在第4节中给出这种均值回复订单账簿模型的示例。备注1.9。订单账簿动态的任何模型都意味着通过（1.9）的价格动态模型。特别是，这意味着价格波动性与描述订单流量的参数之间存在关系（Cont和de Larrard，2013）。我们将为后继中研究的示例推导这种关系，并使用它构建基于模型的日内波动率估值器。在下一节中，我们将从数学角度研究这类模型。然后，我们将继续分析第3节和第4.2节中提到的两个示例。带乘性噪声的线性随机PDE模型为了进一步研究SPDE模型（1.2）的特性，我们需要对解进行更明确的表征，以便计算各种感兴趣的数量，并根据观测值估计模型系数。

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2022-6-14 10:07:35

一种有用的方法是寻找有限维过程u的有限维实现：定义2.1（有限维实现）。A进程u=（ut）t≥0（有限维）函数空间E中的定值表示允许维度d的有限维实现∈ N如果存在一个Rd值随机过程Z=（Z，…，Zd）和一个映射φ：Rd→ E使t型≥ 0，ut=φ（Zt）。SPDE（1.2）的有限维实现的可用性使得模拟、计算和估计问题更容易处理，尤其是当processZ是低维马尔可夫过程时。对于过滤（L’evine，1991）和利率建模（Filipovic和Teichmann，2003；Gaspar，2006）中产生的SPDE，研究了随机PDE的这种有限维实现的存在性。现在，我们将证明，对于一类包含（1.2）的SPDE，确实可以构建有限维实现，并使用此表示对这些模型进行分析研究。2.1. 齐次方程。我们现在考虑一类更一般的线性非齐次发展方程，它在实可分Hilbert空间（H，H·，·iH）中具有乘性噪声取值。通常，H将是一个函数空间，如某个区间I的L（I） R、我们考虑以下一类演化方程：dut=Aut-dt+ut-dXt，t>0，u=h∈ H、（2.1）其中X是一个跳满足Xt>-1 a.s.andA：dom（a） H→ H上的一个线性算子，其伴随由a表示*. 我们假设dom（A） H是稠密的，A是闭合的。因为A是闭合的，所以我们也有dom（A*) H是稠密的**= A（Yosida，1995，定理VII.2.3）。定义2.2。自适应H值随机过程（ut）是（2.1）的（分析）弱解，初始条件为hif，对于所有∈ dom（A*), [0, ∞) 3t 7→ 小屋，^1iH∈ R是c\'adl\'ag a.s.，对于每个t≥ 0，a。

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2022-6-14 10:07:38

s、小屋，^1iH- hh，ДiH=Zthus-, A.*^1iHds+Zthus-, ^1iHdXs。案例X≡ 0对应于PDE的弱解概念：（2.2）t>0，tgt=Agtg=h。也就是说，对于所有∈ dom（A*),（2.3）hgt，ДiH- hh，ДiH=Zthgs，A*^1iHds，其中假设存在右侧的积分。特别是，这会产生[0，∞) 3吨7→ hgt，ИiH∈ R是连续的。请注意，这与偏微分方程弱解的经典公式略有不同。备注2.3。通过分别考虑买卖双方，我们可以将（1.2）转化为（2.1）的形式，其中X是布朗运动，a由a给出：=η±β+αIdon H：=L（I），I：=（0，L）或I：=(-五十、 0），域（A）：=H（I）∩ H（I），其中H（I）是在H（I）中具有紧致支撑的测试函数的闭包。用Zt=Et（X）表示X的随机指数。我们回顾了以下有用的引理（参见（Karatzas和Kardaras，2007，引理3.4））：引理2.4。Let（2.4）Yt：=-Xt+[X，X]ct+Xs≤t型(Xs）1+Xs，t≥ 0，那么，对于所有t，Et（X）Et（Y）=1几乎可以肯定≥ 此外，（2.5）[X，Y]=-[X，X]c-Xs型≤·(Xs）1+Xs。定理2.5。设Z：=E（X），h∈ H、（2.1）的每个弱解的形式为：=Ztgt，t≥ 0其中g是（2.2）的弱解。备注2.6。特别是，SPDE（2.1）允许在定义2.1的意义上实现二维实现，因子过程（t，Et（X））和φ（t，y）：=ygt。证据设置ut：=gtZt，t≥ 0，和∈ D（A*) 写入Bхt：=hgt，ДiH，Cхt：=BхtZt=hut，ДiH。自t 7起→ hgt，Иih是连续的，Z是标量，c\'adl\'ag，我们得到t 7→ 小屋，^1iHis c\'adl\'ag。请注意，BД是有限变差，Z是半鞅，因此CД也是半鞅。此外，根据It^o productrule，由于Bа是有限变化和连续的，（2.6）dCаt=BаtdZt+Zt-dBхt=Bхt-Zt公司-dXt+小屋-, A.*^1iHdt，即（2.1）。现在，让u是（2.1）的解，setY：=-X+[X，X]c+J，J：=Xs≤·(Xs）1+Xs和Zt：=Et（Y），t≥ 0

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2022-6-14 10:07:41

回想一下，通过引理2.4，我们得到了所有t的ZtEt（X）=1≥ 0.设置gt：=ZUT，如上所述，设置fixД∈ dom（A*) 并写下BДt：=hutZt，ДiH=hgt，ДiH和CДt：=hut，ДiH。根据It^o的乘积法则和引理2.4，dBхt=Cхt-dZt+Z1t- dCДt+d[CД，Z]t=CДt-Zt公司-dYt+Zt-小屋-, A.*^1iHdt+CДt-Zt公司-dXt+CДt-Zt公司-d[X，Y]t=hgt-, A.*^1iHdt+BДt-（d[X，X]ct+dJt）- Bхt-（d[X，X]ct+dJt）=hgt-, A.*^1iHdt。因此，g是（2.2）的弱解。示例2.7。设A为强连续半群（St）t的生成元≥0。那么，对于h∈ 定义：=某物，t≥ 0，这是（2.2）的弱解。根据定理2.5。ut：=Et（X）Sth，t≥ 0是（2.1）的弱解。备注2.8。如果his是A的本征函数，且本征值为ν，则gt=eνthis（2.2）的唯一局部H-可积解，且（2.1）的唯一解由ut给出：=heνtEt（X）。2.2. 非齐次方程。我们将上一节中的假设保持在A，手X上，让f∈ H、我们现在考虑非齐次线性旋转方程dUT=[Aut+αf]dt+ut-dXt，t≥ 0，u=h.（2.7）定义2.9。（2.7）的弱解是一个适应的H值随机过程，使得对于所有∈ dom（A*) 映射[0，∞) 3吨7→ 小屋，^1iHis c\'adl\'ag和小屋，ДiH-hh，ДiH=Zthus-, A.*^1iHds+Zthus-, ДiHdXs+tαhf，ДiH，t≥ 0，几乎可以肯定。我们排除了α=0或f的情况≡ 0对应于上面讨论的同质情况。让我们首先考虑A至少允许一个本征函数的情况。定理2.10。

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2022-6-14 10:07:44

假设f∈ dom（A）是A的特征值为λ的特征函数∈ R、设z>0，z是（2.8）dZt=（λZt）的解-+ α） dt+Zt-dXt，t≥ 0，Z=Z。然后：（i）由ut=Ztf，t定义的随机过程≥ 0是（2.7）的解，初始条件为h:=zf。（ii）此外，让h∈ H存在弱解g=（gt）t≥确定性方程（2.9）的0tgt=Agt，t≥ 0克=小时- 采埃孚。那么，ut：=gtEt（X）+f zt是（2.7）的解，初始条件为h.（iii）设h∈ H存在一个弱解u=（ut）t≥0of（2.7），初始条件为h。然后，g：=（u- fZ）E（X）-1是（2.9）的弱解。备注2.11。Let（Zt）t≥0和（Zt）t≥由（2.8）给出相应的初始数据z，z>0，z6=z。然后，实际上是Zt- Zt=（z- z） Et（X），这与选择zin（ii）的不同值一致。证据第（i）部分后面是直接a计算：Let^1∈ H、那么对于t≥ 0，（2.10）d hut，ДiH=hf，ДiHdZt==hf，ДiH（λZt-+ α） dt+hf，ДiHZt-dXt=[小屋-, A.*ДiH+αhf，φiH]dt+hut-, φiHdXt。同样，我们得到了（2.7）的任何解u，初始数据为h∈ H可写为asu=uo,（h）-zf）+u（zf），其中uo,（h）-zf）是具有初始数据的齐次问题（2.1）的解决方案- zf和u（zf）是具有初始数据zf的（2.7）解决方案。然后，第（i）部分和第2.5款完成了第（ii）和（iii）部分的证明。然后使用It^o公式验证（2.8）的唯一解为（2.11）Zt：=Et（X）eλtZ+α中兴通讯-λsEs-（Y）ds, t型≥ 0。其中，YT：=-Xt+[X，X]ct+Xs≤t型Xs1+Xs，t≥ 我们现在关注的是实布朗运动W和常数σ>0的情况X=σW。

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2022-6-14 10:07:48

然后，我们将考虑形式ut=Φ（t，Yt）的正则二维实现，其中（a）Y是状态空间J的一个微分过程 R、满足DYT=b（Yt）dt+a（Yt）dWt，对于可测函数b，a:J→ R、其中J具有非空内部，所有y的a（y）>0∈ J和1/a在J.（b）Φ：[0，∞) ×J→ dom（A）使得所有∈ dom（A*), 由ΦД（t，y）定义的映射：=hΦ（t，y），Дi，t≥ 0，y∈ J、位于C1,2（R≥0×J；R）。定理2.10给出了此类规则二维实现的示例。（i）。定理2.12。设Xt=σWt，t≥ 对于σ>0和实布朗运动W，假设（2.7）允许正则有限维实现ut=Φ（t，Yt），t≥ 那么f是A对于某个特征值λ的特征函数∈ R、存在可逆变换h:J→ R+使t≥ 0，几乎可以肯定zt=h（Yt），ut=Φ（t，h-1（Zt））=fZt，其中Z由（2.8）给出。证据Let^1∈ dom（A*), 和（2.12）ΦД（t，Yt）：=hΦ（t，Yt），Дi。应用It^o公式可得到（2.13）dhut，Дi=dΦД（t，Yt）==tΦИ（t，Yt）+yb（Yt）ΦИ（t，Yt）+a（Yt）yyΦИ（t，Yt）dt++a（Yt）yΦИ（t，Yt）dWt。将鞅项与（2.7）进行比较，我们发现ΦД满足ODEy豕（t，Yt）=σ豕豕（t，Yt）a（Yt），dt dP-a.e.因此，ΦД的形式必须为ΦД（t，y）=gД（t）h（y）=gД（t）expZyyσdηa（η）, t型≥ 0，y∈ J、对于一些g^1∈ C（R≥0）和J的内部。呈现的正则性保证了h是定义良好且严格单调递增的。我们强调h实际上独立于ν∈ dom（A*). 设置Zt=h（Yt），我们可以看到，对于漂移函数m=（bh），Z满足dzt=m（Zt）dt+σztdwto h类-1+（ah）o h类-1、注意，对于每个t≥ 0，映射φ7→ gИ（t）与dom（A）是线性连续的*) H到R。

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2022-6-14 10:07:51

自dom（A*) 根据Riesz表示定理，H是稠密的≥ 0存在g（t）∈ H使得（2.14）hg（t），Дi=gД（t）。由于ΦД（t，y）=gД（t）h（y），gД是可区分的，并且（2.13）变成∈ dom（A*),d小屋，Дi=（ZttgД（t）+gД（t）m（Zt））dt+gД（t）ZtdWt。将漂移项与t的（2.7）收益率进行比较≥ 0, φ ∈ dom（A*) 和z∈ h（J），（2.15）z（hg（t），A*^1i- tgД（t））+αhf，Дi=m（z）gД（t）。在两个不同的点z、z进行评估∈ h（J）减去得到（hg（t），A*^1i- thg（t），Дi）·（z）- z） =hg（t），Дi·（m（z）- m（z）），对于所有t∈ R≥0, φ ∈ dom（A*) 和z，z∈ h（J）。我们得出结论，存在常数λ∈ R使得hg（t），A*^1i- thg（t），Дi=λhg（t），Дi（2.16）和m（z）- m（z）=λ（z- z）。（2.17）因此，对于c：=m（0），m的形式必须为m（z）=λz+c。插入（2.15）中，我们得到αhf，Дi=c hg（t），Дi，φ ∈ dom（A*).自dom（A*) H是稠密的，该方程适用于所有ν∈ H、由于假设α6=0且f非零，c 6=0，我们得到g（t）=αcf。特别是，g（t）独立于t和（2.16）屈服强度，A*^1i=λcαf，Дφ ∈ dom（A*).这意味着f∈ dom（A**). 因为A=A**, 参见例如（Yosida，1995，TheoremVII.2.3），我们有f∈ dom（A）和HF，A*Дi=hAf，Дi=λhf，Дi，φ ∈ dom（A*).按dom密度（A*) 在H中，这得出Af=λf，即f必须是A的特征值为λ的特征函数。把所有的东西放在一起，我们已经证明了ut=αcfzt，其中dzt=（λZt+c）dt+σZtdWt。通过αc重新调整Z的比例包括证明。2.3. 线性SDE和皮尔逊差异。对于某些σ>0和一个真正的布朗运动W，设Xt=σwt。上述因子过程Z是线性SDE（2.18）dZt=（aZt+c）dt+（bZt+d）dWt，t的特例≥ 0，Z=Z，例如在（Kloeden and Platen，1992，第4章）或（Kallenberg，2002，Prop.21.2）中研究。众所周知的特例是几何布朗运动（c=d=0）和theOrnstein-Uhlenbeck过程（b=0）。

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2022-6-14 10:07:54

与我们的上下文相关的是不太常见的d=0，我们现在重点关注它。使用（2.11），解决方案由（2.19）Zt=Xt给出Z+cZtX-1sds, t型≥ 0，其中（2.20）Xt=exp（a）-b） t+bWt, t型≥ （2.18）的溶液也在相互伽马扩散的背景下进行了研究（例如，参见（Forman和Sorensen，2008）中的“案例4”）或PearsonDiffusions。这些是（2.18）的推广，允许在微分系数中使用平方根项。提案2.13。假设z>0，a<0，c>0。那么，Z具有唯一不变分布, 这是形状参数为1的反伽马分布-2Band scale parameterb2cand，对于任何有界可测函数φ：（0，∞) → R、限制→∞E[φ（Zt）]=极限→∞tZtφ（Zs）ds=Z∞φ（x）（dx）。证据首先，注意s（x）：=x-2abecbx，m（dx）：=x2（ab-1） e类-2cbxdx，x∈ (0, ∞)定义Z的标度密度和速度度量。然后，可以很容易地验证Z在（0，∞), 参见例如（Karatzas和Shreve，1987年，第5.5.22号提案）。此外，m（（0，∞)) < ∞ 所以Z的唯一不变分布是（2.21）（A）：=m（A）m（（0，∞)).剩下的结果来自例如（Borodin和Salminen，2012，II.35）或（Revuz和Yor，1999，X.3.12）。u（t）：=EZt，t≥ 0，表示颂歌tu（t）=au（t）+c，t>0，u（0）=Z。因此，（2.22）u（t）=Z+ca吃-ca.备注2.14。设a<0，c>0和（Zt）为Zt=（aZt+c）dt+bZtdWt的稳定解，即根据形状参数1的反伽马分布选择分布的Zis-2波段刻度参数B2C。然后，如（Bibby et al.，2005）所示，（Zt）的自相关函数由（2.23）r（t）：=Corr（Zs+t，Zs）=eat，s，t给出≥ 为了研究价格动态，检查互惠过程Y=1/Z也是有用的。

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2022-6-14 10:07:57

当d=0时，Y=1/Z是（2.24）dYt=-Yt（a- b+周期）dt- bYtdWt，Y=z-1、尤其是（2.20），（2.25）Yt=Et中给出的X(-体重。- a（.））Z+cZtX-1sds-1，t≥ 当a<b时，（2.24）称为随机logistic方程。2.4. 正性、平稳性和鞅性质。让我们首先回到线性齐次情况。平均而言，做市商不累积投资，这建议考虑平衡订单流的基线情况，其中X是（局部）鞅。如果X是局部鞅X>-1 a.s.，然后，根据随机指数的性质，我们得到：齐次方程（2.1）的弱解为局部鞅，当且仅当初始条件为-谐波：h∈ dom（A）和Ah=0。如果E（M）是鞅且Ah=0，则（ut）t≥0是鞅。在布朗运动的情况下，从上一节的讨论中我们直接得到：推论2.15。设X=σW，其中W是标准布朗运动，σ>0，u是非齐次方程（2.7）的解，其中f是具有特征值的a的奇异函数-ν和h=zf，对于某些z>0。如果ν>0且α>0，则→∞=> fZ公司∞其中Z∞具有反伽马分布，形状参数为1+2νσ，尺度参数为σ2α。备注2.16。反伽马分布有一个带有tailindex 1+2ν的帕累托（右）尾，在这种情况下：E（Zk）的第k阶矩∞) < ∞ 当且仅当k<1+2ν。到目前为止，我们已经为u留出了正性约束。通过定理2.5，这简化为确定性方程的分析。在二阶椭圆型验光器的情况下，只要初始条件为正，则正性来自比较原则：假设2.17。

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大多数88

2022-6-14 10:08:00

让我 R是一个区间，假设A是形式为（x）=η（x）的统一线性算子u（x）+β（x）u（x）+α（x）u（x），x∈ 一、使用Dirichlet边界条件，其中η、β和α是光滑的有界系数，尤其是η（x）≥ η> 0表示所有x∈ 一、此外，A，λ的主特征值具有一个与I正相关的特征函数f（Evans，2010，第6.5节）。请注意，因子进程ZT具有状态空间（0，∞) 在定理2.5和2.5中。因此，我们得到以下推论。推论2.18（积极性）。在假设2.17下，（i）如果his在i上为正，则解gtof（2.2）和解utof（2.1）在i上为a.s.正。（ii）如果f是a的主特征函数，则有限维实现ut=fZtof（2.7）在i上为a.s.正。因此，这个简单的结果保证了具有正确符号的解的存在，从而避免了求助于（Hambly等人，2020年）中的“反思”解决方案，并大大简化了我们的模型分析。3、双因素模型我们现在研究满足假设2.17的模型的最简单示例，即常数系数ηA、ηb、σA、σb>0、βA、βb的情况≥ 0，αa，αb∈ Rdut（x）=[ηaut（x）+βaut（x）+αaut（x）]dt+σaut（x）dWat，x∈ （0，L），dut（x）=[ηbut（x）- βbut（x）+αbut（x）]dt+σbut（x）dWbt，x∈ (-五十、 0），ut（x）=0，x∈ {-五十、 0，L}，u∈ L(-五十、 L）。（3.1）连同符号条件：（3.2）ut（x）≤ 0，x∈ (-五十、 0）和ut（x）≥ 0，x∈ （0，L），t≥ 0。在下面，我们将写入ub：=u|[-五十、 0]和ua：=u |[0，L]。3.1. 溶液的光谱表示。算子的谱表示可用于获得该模型的解析解。提案3.1。让我=(-五十、 0）或I=（0，L）和η>0，β，α∈ R、考虑线性算子（3.3）A：=η + β + αIdon L（I），带dom（A）：=u∈ H（I）| u|I=0= H（一）∩H（I）。

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能者818

2022-6-14 10:08:03

特征值-A为实数，由（3.4）νk=-α+ηkπL+β4η，k=1，2。。。具有相应的特征函数shk（x）：=e-β2ηxsinkπLx, x个∈ 一、特别是唯一的正本征函数是h证明。首先，我们注意到φ是A的特征值为ν的特征函数，当且仅当ifx 7→ eβ2ηxφ（x）是A的本征函数：=η + 具有零Dirichlet边界条件的αId，foreigenvalueν+β4η。计算详情见（续，2005）。具有域dom（A）的运算符dom（A）：=dom（A）是自伴的，具有紧预解（Cont，2005）和特征值（3.5）α-ηkπL，k∈ N、特征值为ν的aw的特征函数∈ R是Sturm-Liouville问题（3.6）ηg（x）+（α）的解- ν） g（x）=0，x∈ 一、在零边界条件下，产生g的形式必须为（3.7）g（x）=ce-γxsin（γx），其中γ=0，γ=ν- αη.0和±L处的零边界条件意味着某些k的γ=kLπ∈ N so（3.8）ν=α-ηkπL。将其从Ato A转换得到结果。定义以下双线性形式：（3.9）L(-五十、 0）×L(-五十、 0）3（f，g）7→ hf，gi-γ： =LZ-Lf（x）g（x）e-2γxDx和（3.10）L（0，L）×L（0，L）3（f，g）7→ hf，giγ：=LZLf（x）g（x）e2γxdx，分别定义L的等效内积(-五十、 0）和L（0，L）。对于γ>0和k∈ N、定义νak：=-αa+ηakπL+βa4ηa，νbk：=-αb+ηbkπL+βb4ηb，（3.11）hak（x）：=e-βa2ηaxsinkπLx, x个∈ （0，L），（3.12）hbk（x）：=eβb2ηbxsinkπLx, x个∈ (-五十、 0）。（3.13）设（3.14）γa：=βa2ηa，γb：=βb2ηb。然后（hbk）k∈Nis的正交基L(-五十、 0）、h·、·i-γb和（hak）k∈Nis异常基础L（0，L），h·，·iγaSPDE的解决方案可以使用沿着这些基础的扩展来构建：命题3.2。

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能者818

2022-6-14 10:08:06

让u∈ L(-五十、 L），ua：=u |[0，L]，ub：=u|[-五十、 0）。然后（ut）t≥0定义人（3.15）ut（x）：=Et（σbWb）P∞k=1e-νbktub，hbk-γbhbk（x），x∈ (-五十、 0），Et（σaWa）P∞k=1e-νakthua，hakiγahak（x），x∈ （0，L），0，x∈ {-五十、 0，L}。是定义2.2意义下（3.1）的唯一连续弱解。证据各确定性方程的唯一连续解由（Sbtub）t给出≥0和（Satua）t≥0，其中（Sbt）t≥0和（Sat）t≥0是由（3.16）Ab=ηb生成的DirichletSemigroup美国犹他州- βb + α带Aa=ηa + βa + αaon(-五十、 0）和（0，L）。因此，从定理2.5我们得到（3.17）ut（x）=（Et（σbWb）Sbtub（x），x∈ (-五十、 0），Et（σaWa）Satua（x），x∈ （0，L）。（Sat）和（Sbt）是线性连续的，因此对于每个ha∈ L（0，L），hb∈ L(-五十、 0），Satha=Xk∈Nhua、hakiγaSathbk和Sbthb=Xk∈Nub，hbk-γbSbthbk。根据命题3.1，hak（分别为hbk）是Aa（分别为Ab）的本征函数，因此也是Sa（分别为Sb）的本征函数。这产生了所需的表示，其中级数在L中收敛。为了获得逐点收敛，我们注意到对于x∈ [0，L]和t>0，byCauchy-Schwarz不等式，Parseval恒等式和序列的积分准则，对于 ∈ {a，b}，∞Xk=1e-ν?千吨级u |（0，L），h？kβ?η?h？k（x）≤h |（0，L）L（0，L）vuut∞Xk=1e-2ν?千吨级≤u |（0，L）L（0，L）et（α？-β?4η?)sZ公司∞e-2tη？πLydy。当η>0时，则权重e-对于大k，谱分解的νktof在kF中呈指数衰减。这正好通过前几项近似解。还要注意，唯一的正本征函数是主本征函数haand-hbso符号约束（3.2）仅当解沿主特征函数的投影支配展开式中的其他项时。这促使我们关注存在于第一特征空间中的解决方案。如果初始条件是Ha和hb的（正）线性组合，则会发生这种情况。我们稍后将证明这一假设得到了市场数据的支持。

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