以下结果来自第2.4节的备注：推论3.4（平衡订单流量）。订单簿密度u是局部鞅（在L中），当且仅当ifu（x）=VbHb（x）1(-五十、 0）（x）+VaHa（x）1（0，L）（x），对于某些Vb≥ 0，弗吉尼亚州≥ 0和（3.22）αa=ηaπL+βa4ηs，αb=ηbπL+βb4ηb。备注3.5（高频和低频序流之间的平衡）。平衡条件（3.22）表示了定向订单的缓慢到达（以αa和αb为代表）与账簿内订单的快速替换（以βa4η带βa4ηb为代表）之间的平衡，以及最终取消账簿内的有限订单，在ηaπ/L的速率下，不同频率的订单流量之间的这种平衡可以看作是（Kirilenko等人，2017年）对日内订单流量性质所做观察的数学对应物。3.2. 订单簿的形状。上述结果的一个含义是，订单簿的平均利润率由主要特征函数Ha，Hb：（3.23）E（ut（x））=E（Vbt）Hb（x）+E（Vat）Ha（x）给出，直到一个常数。除去指数a，b，订单簿的标准化利润率的形式为：H（x）：=ce-β2ηxsin（πLx），x∈ [0，L]，其中cis使得rl | H |=1：c=ZLe-β2ηxsin（πLx）dx=4πLηLβ+π4ηe-β2ηL+1,图3显示了β：hh的不同值的函数，作为唯一的最大值（3.24）^x：=Lπarctan2ηπLβ.随着β/η的增加，最大值的位置更靠近原点。对于β=0，我们有^x=L，另一方面，^x&0为β/η→ ∞. 通常情况下，流动性较大的证券的订单价格为中间价的几倍。图4显示了QQQ的平均订单量；类似的结果也见于（Bouchaud等人，2009年；Cont等人，2010年）。

这表明^x的数量级为几个刻度，因此我们对β/η较大的参数范围感兴趣。最大值为（3.25）maxx∈[0，L]H（x）=sβ4η+πLexp-βL2ηπarctan2ηπLβe-βL2η+1-1.其线性增长为β/2η→ ∞, 如图3所示，其中我们绘制了h，用其L-范数归一化，用于L=3π和η=1的各种β值。上述结果对于校准模型参数β2η、α和σ以重现订单的平均利润（每侧）很有价值。0 2 4 6 8 10x0.00.10.20.30.40.50.60.7h（x）/| h | L1图3。归一化主特征函数H的形状，对应于归一化订单的平均值，对于L：=3π，η：=1和不同的β值∈ {0, 0.5, ...3.5}.可以使用（3.24）从最大值的位置^x估计β2η。注意，当L较大时，则^x≈2ηβ.该最大值的高度使用（3.25）进一步限制参数。我们将在第3.6.3.3节中使用该结果进行参数估计。订单量动态。如推论3.3所述，Vat和Vbtma可被识别为卖出（或买入）限价订单的数量：它们遵循（相关的）几何布朗运动：Vat=ZL | ut（x）| dx=Vaexp（σaWat- νat-σat）Vbt=Z-L | ut（x）| dx=Vbep（σbWbt- νbt-σbt）式中，[Wa，Wb]t=ρa，bt.订单的平均数量Vt=增值税+增值税（Vt）=V-ZtVaνae-νas- Vbνbe-νbsds=V+Vae-νat+Vbe-νbt。对订单量的日内研究表明，远离开盘和收盘时，订单量是稳定的。这里EVt=Va+Vbif，并且仅当V是鞅，即νa=νb=0.3.4。价格和市场深度的动态。

回想一下第1.3节中的讨论，订单动态生成价格过程dst=θdDbtDbt-dDatDat公司,式中，θ是影响系数，Dbtand Dat表示订单顶部的深度（Cont等人，2014）：（3.26）Dat：=Zδut（x）dx≈δut（0+），Dbt：=Z-δ| ut（x）| dx≈δut（0-).利用推论3.3中的结果，我们得出以下价格动态：（3.27）dSt=θdVbtVbt-dVatVat公司,其中（3.28）dVbt=-νbVbtdt+σbVbtdWbt，dVat=-νaVatdt+σaVatdWat。因此，价格动态可以写成asSt=S- θt（νb- νa）+θσbWbt- θσaWat=S- θt（νb- νa）+σsbt其中B是布朗运动，σ是中间价格波动率，可以用描述订单流量的参数表示：（3.29）σS：=θqσB+σa- 2σaσba、 b.因此，隐含价格动态对应于Bachelier模型： 漂移项νa- νbonly取决于买卖深度的相对增加率，而不是实际深度dband Dat。 中间价的二次变化σSt随买卖订单流量之间的相关性而减小。这种由做市商产生的相关性降低了价格波动。备注3.6。将σawa和σbwbb替换为任意半鞅xa和xb，并使用以下跳跃-1，得出以下价格动态：（3.30）St=S- θt（νb- νa）+θ（Xbt- Xat）。特别是，这种关系将价格跳跃与大幅度变化（“跳跃”）联系在一起，从而导致流动不平衡：（3.31）St=θ（Xbt）- Xat）。3.5. 绝对价格坐标：随机移动边界问题。上述模型在相对价格坐标中描述了订单的动态，即作为与中间价格的（缩放）距离x的函数。由（绝对）价格水平p参数化的限制订单簿的密度∈ R（在线性缩放的情况下）由（3.32）vt（p）=ut（p）给出- St），x∈ R、 其中，我们通过设置ut（y）=0表示y来扩展utto R∈ R\\[-五十、 L）]。

如第3.4节所述，中间价格动态由（3.33）dSt=-θ（νb- νa）dt+θσbdWbt- θσadWat。然后，通过应用It^o-Wentzell公式，可以将v的动力学描述为随机移动边界问题的解（Mueller，2018）：定理3.7（随机移动边界问题）。订单密度vt（p）作为价格水平p的函数，在分布意义上是随机移动边界问题（3.34）dvt（p）的解=（ηa+σs）vt（p）+（νb- νa+βa- θ(a、 bσbσa- σa）vt（p）+αavt（p）dt+（σavt（p）+θσavt（p））dWat- θσbvt（p）dWbt，用于p∈ （St，St+L）和（3.35）dvt（p）=（ηb+σs）vt（p）+（νb- νa- βb- θ（σb- a、 bσbσa））vt（x）+αbvt（p）dt+θσavt（p）dWat+（σbvt（p）- θσbx的vt（p））dwbt∈ （St- 五十、 St）移动边界条件（3.36）vt（St）=0，vt（y）=0，y∈ R \\（St- 五十、 St+L），在以下意义上：（vt）t≥0是一个连续的L（R）值随机过程∈ C∞（R） 和t≥ 0，（3.37）hvt，Дi- hv，Дi=Zthm（x- 圣，vr，vr，vr），Дi dr+Zt(vr（Sr-) - vr（Sr+）Д（Sr）- vr（Sr- L+℃（Sr- 五十） +vr（Sr+L-)^1（Sr+L））dhSir+Zth1（S，Sr+L）σavr，Дi dWar+Zth1（Sr-五十、 Sr）σbvr，Дi dWbr+θσaZthvr，^1i矮人- θσbZthvr，Дi dWbr，其中我们表示，S∈ R、 五∈ H类((-五十、 L）\\{0}）∩ H类((-五十、 L）\\{0}），m（x，y，y，y）=（ηa+σs）y+（νb- νa+βa- θ(a、 bσbσa- σa）y+αay，x∈ （0，L），（ηb+θσs）y+（νb- νa- βb- θ（σb- a、 bσbσa）））y+αby，x∈ (-五十、 0）0，否则，对于x，y，y，y∈ R、 备注3.8。注意，（3.36）是St的随机边界条件。附录a中给出的证明基于Krylov的扩展It^o-Wentzellformula（Krylov，2011，定理1.1）。3.6. 参数估计。现在，我们描述一种估计模型参数的方法。

我们使用LOBSTER数据库中纳斯达克股票和ETF的订单时间序列。鉴于我们没有单独观察（3.1）中订单的各个组成部分，我们使用了第节中讨论的关系。3.2校准参数σ、ν和形状参数（3.38）γ：=β2η。订单的每一面。我们将L设置为数据集中的最大值，（L：=1000）。可以通过（a）最小二乘法（3.23）对平均订单文件进行校准，或（b）校准参数以再现订单文件最大值的位置^x和高度。备注3.9。基于峰值最大位置的估计器是快速计算的，但数据中的固定价格水平网格限制了γ估计的可能值集。特别是，估计值对最大值的位置（即订单文件的模式）敏感。02500500075010000Data-bidmodel-Bid02500500075010000Data-askmodel-askFigure 4。2016年11月17日QQQ订单的平均利润（前20级）（顶部：出价，底部：询问）。10： 00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00时间0.260.280.300.320.340.360.380.40bidaskFigure 5。参数γa、γ值根据2016年11月17日QQQ订单（前20级）的30分钟平均值进行估算。我们展示了一组纳斯达克股票和ETF的结果。图4显示了该模型如何再现2017年11月17日纳斯达克QQQ的平均图书收益。在图5中，我们可以看到交易日内不同30分钟窗口的估计系数γ。基于主特征函数的单因素模型得出了平均订单量的合理近似值，这正好符合第1.2节中关于动态的假设。对于低价/大盘股，平均订单量可能不同于指数正弦形状。

对于此类股票，我们使用第1.1节中描述的非线性比例，得出平均订单比例：（3.39）U（p）=V exp(-γ（（p- St）/δ）a）sin（（p-St）/δ）aπ/L），其中Sti是最佳价格。图6显示了SIRI平均订单量的非线性函数。0500010000150000Data-bidmodel-BID0500010000150000Data-askmodel-askFigure 6。SIRI订单的平均利润（前20级，2016年11月17日）（顶部：bid，底部：ask）γb=0.95，γa=0.86，ab=0.52，aa=0.56.4。均值回复模型4.1。一类均值回归模型。现在，我们回到完整模型（1.2），其中非零源项fa（x），fb（x）表示新限额订单到达率，距离最佳价格x:dut（x）=[ηaut（x）+βaut（x）+αaut（x）+fa（x）]dt+σaut（x）dWat，x∈ （0，L），dut（x）=ηbut（x）- βbut（x）+α，但（x）+fb（x）dt+σ，但（x）dWbt，x∈ (-五十、 0），ut（0+）=ut（0-) = 0，ut(-五十） =ut（L）=0，t>0，带符号条件ut（x）≤ 0，x∈ (-五十、 0）和ut（x）≥ 0，x∈ （0，L），t≥ 0，其中，如上ηa，ηb，σa，σb>0，βa，βb≥ 0，αa，αb∈ R是常数和U∈ L((-五十、 L））。如上所述，我们表示ub：=u|[-五十、 0]和ua：=u |[0，L]。

我们将表明，当αa和α为负且fa（x）>0时，fb(-x） <0表示allx∈ （0，L），这类模型导致订单量的均值回复动力学，这与观察到的结果一致，即订单量和队列大小在中间时间尺度（小时，天）上的日内动力学通常表现为均值回复，而不是趋势。将方程投影到本征函数hak，hbk上，如第3节所示，我们看到，由于本征值（3.4）的快速增加，从ageneric初始条件开始的解可以通过其在主函数ha上的投影来近似，hb（我们将在下面的命题4.2中证明这一点），异质订单到达的主要贡献来自fa（分别为fb）对ha（分别为hb）的预测。这激发了以下规范，从而产生了一类易于处理的模型：（4.1）fa（x）：=\'VaHa（x），fb（x）：=\'VbHb（x），\'Va>0，\'Vb>0。OREM 2.10然后给出了（1.2）的明确解决方案。回顾符号（3.10）和（3.9），定义Vbtand Vatby（4.2）dVat=\'弗吉尼亚州- νaVatdt+σaVatdWat，dVbt=(R)Vb- νbVbtdt+σbvbtdwbt其中νi：=ηiπL+βi4ηi- αi，i∈ {a，b}。SPDE的解可以如下所示：命题4.1。（i） （1.2）–（4.1）对于一般初始条件Ui的唯一L-连续解由UT（x）给出=VbtHb（x）+Et（σbWb）P∞k=1e-νbkt乌兰巴托- VbHb，hbk(-βb2ηb）hbk（x），x∈ (-五十、 0），VatHa（x）+Et（σaWa）P∞k=1e-νakthua- VaHa，hakiβa2ηahak（x），x∈ （0，L），0，x/∈ (-五十、 0）∪ （0，L）。（ii）对于公式（x）=VaHa（x）1【0，L】+VbHb（x）1的初始条件[-五十、 （1.2）–（4.1）的唯一L-连续解由（4.3）ut（x）给出=VatHa（x）1（0，L）（x）+VbtHb（x）1(-五十、 0）（x）, x个∈ [-五十、 L）]。证据我们从命题3.2中得到了线性齐次方程的通解。u的级数表示是谱分解、命题3.1和定理2.10的结果。

4.2. 长时间渐近解和平稳解。为了推导“平均”订单文件的属性，我们现在检查订单文件是否为遍历行为，并描述平稳解。下面的结果描述了长期动力学，并表明通过将初始条件投影到（4.3）：命题4.2中所述的主特征函数上，这种动力学非常接近。设Ut为一般初始条件u的（1.2）–（4.1）的唯一解∈ L(-五十、 L）和定义：（4.4）ˇut（x）：=VbtHb（x）1(-五十、 0）（x）+VatHa（x）1（0，L）（x），t>0。如果νb>0且νa>0，则：（i）订单的长期动力学可通过沿主特征函数投影的动力学（4.4）很好地近似：（4.5）P限制→∞库特- ˇutk∞= 0= 1.（ii）uthas唯一的平稳分布和（4.6）ut（x）==>t型→∞fb（x）Zb，x<0，ut（x）==>t型→∞fa（x）Za，x>0，其中fa，fb由（4.1）给出，而Za（分别为Zb）是一个反Gammarandom变量，形状参数为1+2νaσa（分别为1+2νbσb）和比例参数σa'Va（分别为σb'Vb）。（iii）如果此外νb>σbandνa>σa，则（4.7）limt→∞Ehkut公司- ˇutkL(-五十、 L）i=0。证据对于t>0，letKt：=vuut∞Xk=1e-2（νak-νa）t<∞.这个术语实际上是由级数的积分标准定义的，参见命题3.2的证明。表示uot（.；h）初始条件h下线性齐次方程（3.1）的唯一解。回想定理2.10 thatut（x）- ˇut（x）=uot（x；u- ˇu）。现在需要证明ask方的结果，并注意计算结果将与投标方类似。使用u的表示ot从命题3.2我们得到所有t>和所有h∈ L（0，L），uot（；h）|（0，L）∞≤ e-νatEt（σaWa）vuut∞Xk=1e-2（νak-νa）tvuut∞Xk=1hh，hakiβa2ηa= Ktkhkβa2ηaexpσaWat-νa+σat型,其中，作为t→ ∞, 收敛到0，前提是νa>0。

这证明了（i）。为了显示（iii），一个类似的计算，但使用命题3.2 yieldsEh中分解的正交性uot（；h）|（0，L）βa2ηai=∞Xk=1e-2νakthh，hakiβa2ηaEh | Et（σaWa）| i≤ e-2νatkhkβa2ηaE经验值2σaWat- σat= e类(-2νa+σa）tkhkβa2ηa。如果σa<2νa，则当t→ ∞. 由于k.kβa2η在L（0，L）上定义了一个等价形式，这就完成了（iii）的证明。主张（ii）源自命题2.13。的确，回想一下，Vi，i∈ {a，b}是遍历过程，其唯一不变分布由形状参数1+2νiσi和尺度参数σi（(R)Vi），i∈ {a，b}。用Zband Zarandom变量表示，其分布为任意x∈ [-五十、 L]，我们有分布（4.8）的收敛性|(-五十、 0）==> Zbfb（.），ˇut |（0，L）==> Zafa（.）。由于几乎可以肯定的是，收敛会产生分布上的收敛，因此（i）部分得出的结果（4.8）也适用于任意初始数据u的UT∈ L(-五十、 L）。4.3. 订单量动态。现在考虑命题4.1中的“预测”动态。（二）。订单量Vt的动态由（4.9）Vt得出：=ZL-L | ut（x）| dx=Vbt+Vat，t≥ 0，其中（4.2）中定义的Vb和Va表示订单簿中的买入（或卖出）订单量。自【Wa，Wb】t=a、 bt我们可以写WA=：W，Wb：=a、 bW+q1- a、 bcW，对于某些布朗运动cw，与W无关。然后，（4.10）dVt=（\'Va+\'Vb- （νaVat+νbVbt）dt+σaVat+a、 bσbVbtdWt+q1- a、 bσbVbtdcWt。尤其是订单量的二次变化（“已实现变化”）由（4.11）dhV it给出=σa（增值税）+2a、 bσbσaVatVbt+σb（Vbt）dt对于对称和完全相关的情况，V本身就是一个相互的伽马函数：推论4.3。假设命题4.1的设置。（ii）此外，νa=νb=：ν，σa=σb=：σa、 b=1。

那么，V是（4.12）dVt的唯一解决方案=（\'Vb+\'Va）- νVtdt+σVtdWt，V=Vb+Va。在所有情况下，我们从（2.22）得到i∈ {a，b}，t≥ 0，（4.13）EVit=不及物动词-νi？Vie-νit+νi'Viand（4.14）EVit=Vb-(R)Vbνbe-νbt+弗吉尼亚州-(R)Vaνae-νat+？Vbνb+？Vaνa.4.4。中等价格和市场深度的联合动态。我们现在考虑命题4.1中的中间价格和市场深度动态。（二）。如第1.3节和第3.4节所述，对于线性齐次模型，中间价格的动力学由dst=θ给出dDbtDbt-dDatDat公司,其中θ是一个影响系数，而买卖深度如下：=Zδut（x）dx≈δut（0+）=π2LδVat，Dbt：=-Z-δut（x）dx≈δut（0-) =π2LδVat。因此，市场深度的动态由DDBT=νb给出数据库- Dbt公司dt+σbDbtdWbt，dDat=νaDa公司- Dat公司dt+σaDatdWat。对于某些平均回复水平Db，Da>0。因此，我们获得了价格和市场深度的联合动力学：（4.15）dDbtDatSt=νb（Db- Dbt）νa（Da- Dat）θνbDbDbt-νaDaDat- （νb- νa）dt公司+σbDbta、 bσaDatq1- a、 bσaDatθ（σb- a、 bσa）-θq1- a、 bσadWTWTWT,其中Wand Ware是独立的布朗运动。中间价本身具有二次变化hSit=σSt，其中（4.16）σS：=θqσb+σa- 2σaσba、 b.在小时间间隔内t、 St=S+θZtνb（Db- Dbs）Dbs-νa（Da- Das）2Da（s）ds+θσbWbt型- θσaWat型≈ S+tθνb（Db- Db）Db-νa（Da- Da）Da+ σS√t N0,1其中N0,1是标准高斯变量。特别是，规模为y的中位价格上涨的条件概率由（4.17）P[S]给出t型≥ S+y]\'Nθ√tσSνb（Db- Db）Db-νa（Da- Da）Da-yσS√t！，其中N表示标准正态分布的累积分布函数。备注4.4。使用（2.22），书的每一面在一个小时间间隔[0，t]内的预期订单流量由以下公式给出： ∈ {a，b}，（4.18）E[D？t- D？]=tν？（D？- D？+o（t）。备注4.5（平均回复订单簿不平衡）。

买卖深度之间的不平衡是预测短期价格变动的常用指标（Carteaet al.，2018；Cont and de Larrard，2013；Lipton et al.，2014））。在此模型中，深度不平衡具有以下动力学：d（Dbt- Dat）=νbDb- νaDa- （νbDbt- νaDat）dt+σbDbtdWbt- σaDatdWat。在对称情况下，当D=Da=Db，ν=νa=νb时，（4.17）变为νDθ√tσSDa公司- 数据库DaDb-yσS√t！。（4.19）该数量在深度不平衡Db中减少-Da：这是订单深度均值回归的结果。在对称情况下（4.20）d（Dbt- Dat）=-νDbt公司- Dat）dt+σbDbtdWbt- σaDatdWat，因此该模型再现了订单簿不平衡是平均回复的经验观察结果（Cartea et al.，2018）。请注意，该模型预测市场深度的平均反转为1/ν，对应于ETF QQQ和SPY的秒数，以及MSFT和INTC等大型股票的约10秒（见表1）。如股票市场的实证研究所示，对于小于1/ν的时间尺度，价格变动的方向与订单流量不平衡高度相关（Cont等人，2014）。4.5. 参数估计。我们现在讨论从一组离散观测值（Van，Vbn）n=0，…，估计模型参数，。。。，Nof买卖量增值税，Vbton统一时间网格{kt:k=0，N} 。让我们将Vatand和Vbtin的动力学改写为相互的伽马扩散形式：（4.21）dV？t=ν？D- 五、+rν？c（V？t）dW？t、 t型≥ 0，V？∈ (0, ∞),  ∈ {a，b}带ν？，Dc？>0

我们使用矩估计法，如（LeonenkoandˇSuvak，2010）中的D？c呢？以及自相关参数ν？的鞅估计函数（Bibby andSorensen，1995）？， ∈ {a，b}：我们需要：=NNXk=1^Vk和^c？：=PNn=1（^Vn）PNn=1（^Vn）-cD？=1+cD？PNn=1 |^Vn|-cD？。将命题2.13和备注2.16与（Leonenko和ˇSuvak，2010，定理6.3）相结合，我们得出如果D？>0和c？>5，那么V？具有有限的第四矩，估计量一致且渐近正态。对于自相关参数νaA和νbW，我们使用鞅估计函数（Bibby和Sorensen，1995年，第2节）：（4.22）G？（ν；D，c）：=cνNXn=1（D？-^V？n-1） （^Vn-1)^Vn- F（^Vn）-1.ν、 D）,式中（4.23）F（z；ν，D）：=（z- D） e类-νt+D。给定D？，这就产生了估计量（4.24）^ν？：=tlog-PNn=1（D？-^Vn-1） （^Vn-1） PNn=1（D？-^Vn-1） （^Vn-1） （Vn- D？）,  ∈ {a，b}。（Bibby和Sorensen，1995，Theorem3.2）讨论了该估计量的收敛性。我们将这些估计器应用于纳斯达克股票和ETF的高频极限指令簿时间序列，这些时间序列是从LOBSTER数据库中获得的，在大小的时间间隔内排列成等距观测值t=10ms，dt=50ms。对于每次观察，我们使用前两个价格水平的平均订单量作为市场深度，分别为买入和卖出。下面我们展示了ETF（SPY和QQQ）和流动股票（MSFT和INTC）的抽样结果。图1显示了INTC、MSFT、QQQ和SPY在不同日期的估计参数值。我们观察到负相关值a、 bacross bidand询问订单流量，这与中的观察结果一致（Carmona和Webster，2013）。图7和图8显示了νa、νb、σa、σ带估计量的日内变化a、 B超过15分钟的计算时间。该模型中存在多种日内价格波动的估计量，需要对模型进行检验。

回想一下，在（4.16）中，我们通过描述订单流量的参数来表示价格波动：（4.25）^σS：=θqσb+σa- 2σbσaa、 b.其中θ是冲击系数。我们称之为RV估计器。通过使用鞅估计函数（4.22）首先估计σ带σ，然后使用方程（4.25）计算价格波动，得到另一个估计量。我们将其标记为RCG估计量。最后，可以使用10毫秒间隔内的价格变化计算30分钟时间窗口内价格的已实现方差。比较这些不同的测试者是对模型的定性测试。图9比较了这些在30分钟时间窗口内计算的估计器：我们观察到，基于模型的估计器具有相同的阶数，并密切跟踪日内实现的价格波动，这表明模型准确地捕捉到了订单流量和波动之间的定性关系。实现的源代码可在线获取（Cont和Mueller，2018）。05101520自相关ticker:QQQ日期：2016-11-16νbνa0.00.51.01.52.0波动率σbσa10:00:0011:00:0012:00:0013:00:0014:00:0015:00:00时间1.00.80.60.40.20.00.2Bid-AskCorrelation%a，B01234567自相关ticker:SPY日期：2016-11-16νbνa0.20.40.60.81.21.41.6波动率σbσa10:00:0011:00:0012:00:0013:00:0014:00:0015:00:00Time1.00.80.60.40.20.00.2Bid-ASK相关性%a，b图7。

自相关（νa/b）、标准差（σa/b）和买卖相关(a、 b）两个流动ETF（QQQ和SPY）的前2级订单深度。0.00.10.20.30.40.50.6自动相关股票代码：INTC日期：2016-11-16νbνa0.00.10.20.30.40.5波动率σbσa10:00:0011:00:0012:00:0013:00:0014:00:0015:00:00:00时间1.00.80.60.40.20.00.2Bid-AskCorrelation%a，b0.00.51.01.52.02.5自相关检测器：MSFT日期：2016-11-16νbνa0.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8波动性σbσa10:00:0011:00:0012:00:0013:00:0014:00:0015:00:00Time1.00.80.60.20.00.2Bid-AskCorrelation%a，图8。自相关（νa/b）、标准差（σa/b）和买卖相关(a、 b）两种流动库存（INTC和MSFT）的前2级订单深度。0.10%0.20%0.30%0.40%0.50%0.60%s，单位：国际日期：2016-11-17价格，单位：RVfrom depth:RCG0.20%0.40%0.60%0.80%1.00%s，单位：MSFT日期：2016-11-170.40%0.60%0.80%1.00%s，单位：SPY日期：2016-11-1710:0011:0012:0013:0014:0015:0016:00Time0.40%0.60%0.80%1.00%1.20%1.40%s，单位：QQQ日期：2016-11-17图9。

比较日内价格波动率σS的各种估计值：价格变化的标准偏差（蓝色），基于买卖深度的已实现方差/协方差的估计值（红色），以及基于鞅估计函数的估计值（橙色）。股票代码ubuaνbνaσbσa一bINTC 2016-11-15 5179.0 5641.7 0.151 0.156 0.133 0.134-0.0772016-11-16 5565.0 5672.5 0.082 0.118 0.111 0.124-0.0702016-11-17 5776.5 7363.2 0.144 0.109 0.118 0.116-0.019MSFT 2016-11-15 3035.6 3855.9 0.522 0.426 0.292-0.0922016-11-16 2839.9 3562.1 0.409 0.395 0.239 0.240-0.0712016-11-17 4149.0 5762.5 0.300 0.239 0.202 0.208-0.146QQQ 2016-11-15 4686.9 5489.2 2 2.467 1.972 0.724 0.639-0.1772016-11-16 4801.0 5142.6 2.041 1.845 0.632 0.677-0.1772016-11-17 6414.0 6226.4 1.428 1.281 0.510 0.506-0.224SPY 2016-11-15 3903.4 4877.9 1.949 1.689 0.737 0.666-0.1762016-11-16 3773.4 4486.4 1.324 1.763 0.578 0.657-0.1562016-11 3693.0 4115.4 1.355 1.405 0.597 0.543-0.181表1。模型参数的平均估计量；每秒给出ν和σ。附录A.绝对价格协调中的动力学我们现在更详细地讨论了分配值过程的广义It^o-Wentzell公式，该公式在第3.5节中用于推导（非中心）订单簿密度vt（p）的动力学。让C∞:= C∞（R） 是R，D上的光滑紧支函数空间，其对偶是广义函数空间。我们表示为X和X分布意义上的前两个导数And by h。i D×C上的对偶积∞.一个D值随机过程u=（ut）t≥0在过滤概率空间上(Ohm, F、 F，P）称为F-可预测if for allφ∈ C∞（R） 实值过程（hut，φi）t≥0可预测。让N∈ N和（bt）t≥0和（ckt）t≥0，k∈ {1，…，N}是可预测的D值进程。我们假设对于所有的T，R∈ (0, ∞) 和所有φ∈ C∞（R） ，几乎可以肯定（A.1）ZTsup | x|≤R | hbt，φ（。

- x） i |+NXk=1ckt，φ（。- x）dt<∞.Let（Wkt，k=1，…，N）t≥0be独立的标量布朗运动。我们考虑形式为（A.2）dut=btdt+NXk=1cktdWkt的方程，定义A.1。一个D值随机过程（ut）t≥0称为（a.2）在初始条件为t的分布意义下的解∈ (0, ∞) 和φ∈ C∞（A.3）小屋，φi- hu，φi=Zthbs，φi dt+NXk=1Ztcks，φdWks。几乎可以肯定。变量公式的以下变化是Krylov结果的特例（Krylov，2011，定理1.1）：定理a.2（广义It^o-Wentzell公式）。让（ut）t≥0是（a.2）在分布意义下的解，且let（xt）t≥0be表示为dxt=utdt+NXk=1σktdWkt，t的局部可积过程≥ 0.其中（ut）t≥0和（σkt，k=1..N）t≥0是实值可预测流程。定义D值过程（vt）t≥0按vt（x）：=ut（x+xt），对于x∈ R、 t型∈ [0, ∞). 然后（vt）t≥0是VT=“bt（.+xt）+NXk=1的解决方案σkt!xvt+utxvt+NXk=1σktxckt（.+xt）#dt+NXk=1ckt（.+xt）+σktxvt公司分布意义上的DWK。备注A.3。值得注意的是，（ut）和（xt）的相关性导致termNXk=1σktxckt（.+xt）.现在，我们应用上述It^o-Wentzell公式，以便在第3节和第4节中考虑的设置中，在非中心坐标下推导订单簿密度v的动态。让我∈ (0, ∞] 而我：=(-五十、 0）∪（0，L）。对于h，f∈ H（一）∩H（I）。然后，（1.2）在初始条件u=h时，允许一个由（ut）t表示的唯一（解析）强解≥设▄ut是utto R的平凡扩展，即（A.4）▄ut（x）：=（ut（x），x∈ 一、 0，否则。请注意，u∈ H（R\\{-五十、 0，L}）∩ H（R）。

回想一下 和 在前面的讨论中，表示R上的弱导数\\{-五十、 0，L}，我们明白了xu=u和（A.5）xu- u=x个u-u=(u(-L+）-u(-L-))δ-L+(u（0+）- u（0-))δ+ (u（L+）- u（L-))δL，其中δxdenotes是x处的点质量∈ R、 定义（x）：=ηaut（x）+βaut（x）+αaut（x）+fa（x），x∈ （0，L），ηbut（x）- βbut（x）+α，但（x）- fb（x），x∈ (-五十、 0），否则为0，（A.6）ct（x）：=σaa、 但是（x），x∈ （0，L），σ，但（x），x∈ (-五十、 0），否则为0，（A.7）ct（x）：=（σaq1- a、 但是（x），x∈ （0，L），0，否则，（A.8），使（A.9）dut=btdt+ctdWt+ctdWt。Cauchy-Schwartz不等式表明（A.1）是令人满意的。现在假设中间价格（St）t≥0遵循动力学（A.10）dSt=csθutdt+csθ（σb- σaa、 b）载重吨- csθσaq1- a、 bdWt。对于某些可积可预测过程u。定义（A.11）σs：=csθqσb+σA- 2.a、 bσbσa。然后，定理a.2得出vt（x）：=~ut（x- St）我们得到（A.12）dvt=hbt（。- St）+σsxvt公司- csθutxvt公司-csθ（σb- a、 bσa）xct（。- St）+csθq1- a、 bσaxct（。- St）idt公司+ct（。- St）- csθ（σb）- a、 bσa）xvt公司载重吨+ct（。- St）+csθq1- a、 bσaxvt公司dWti。e、 v是随机移动边界问题的解，（a.13）dvt=ηa+σsvt公司+βa- csθut- csθa、 bσbσa- σavt+αavt+fa（。- St）dt+（σaa、 bvt公司- csθ（σb- a、 bσa）vt）dWt+σaq1- a、 b（vt+csθvt）dWt，on（St，St+L），dvt=ηb+σs及物动词-βb+csθut+csθσb- a、 bσbσavt+αbvt- fb（。

- St）dt+（σbvt- csθ（σb- a、 bσa）vt）dWt+csθq1- a、 bσavtdWton（圣- 五十、 St），否则vt=0；dSt=csθutdt+csθ（σb- a、 bσa）dWt- csθq1- a、 bσadWt，为了明确我们在本文中所指的解决方案，我们引入了映射SL:[x∈RH（R \\{x- 五十、 x，x+L}）∩ H（R \\{x- 五十、 x，x+L}）×{x}→ D、 （五、六）7→ (（五）- L+）- v（s）-L-)))δs-L+(（v（s+）- v（s）-)))δs+(（v（s+L+）- v（s+L-)))δs+L。现在定义函数u：R→ R、 \'\'σ，\'\'σ：R→ R为u（x，y，y，y，s）：=（ηa+σs）y+（βa- csθ(a、 bσbσa- σa）y+αay+fa（x），x∈ （0，L）（ηb+σs）y- （βa+csθ（σb- a、 bσbσa）y+αby- fb（x），x∈ (-五十、 0），否则，(R)σ（x，y，y，s）：=σaa、 由，x∈ （0，L），σby，x∈ (-五十、 0），否则，\'（x，y，y，s）：=（σaq1- a、 由，x∈ （0，L）0，否则为x，y，y，y，s∈ R、 根据（Mueller，2018，定义1.11），（a.13）的解是一个L（R）×R连续随机过程（vt，St），取[x]中的值∈RH（R \\{x- 五十、 x，x+L}）∩ H（R \\{x- 五十、 x，x+L}）×{x},（St）由（A.10）给出，并且在分布意义上，（A.14）dvt=（(R)u（。-圣，及物动词，vt，vt，St）dt- vtdSt+L（vt，St）dhSit+(R)σ（。- 圣，vt，vt，St）dWt+(R)σ（。- 圣，vt、vt、St）载重吨。参考Bibby，B.M.、Skovgaard，I.M.和Sorensen，M.（2005）。具有给定边缘分布和自相关函数的扩散型模型。伯努利，11（2）：191–220。Bibby，B.M.和Sorensen，M.（1995年）。离散观测扩散过程的鞅估计函数。伯努利，1（1-2）：17-39。Borodin，A.N.和Salminen，P.（2012年）。布朗运动事实和公式手册。Birkh–auser。Bouchaud，J.-P.，Farmer，J.，和Lillo，F.（2009）。市场如何慢慢消化供求变化。Hens，T.和Schenk Hoppe，K.R.，编辑，《金融市场手册：动态和演变》，第57-160页。爱思唯尔。Burger，M.、Caffarelli，L.、Markowich，P.A.和Wolfram，M.-T.（2013）。

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