鞅最优输运和弱最优输运的稳定性

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收藏 2022-06-14

英文标题：
《Stability of martingale optimal transport and weak optimal transport》
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作者：
Julio Backhoff-Veraguas, Gudmund Pammer
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
Under mild regularity assumptions, the transport problem is stable in the following sense: if a sequence of optimal transport plans $\\pi_1, \\pi_2, \\ldots$ converges weakly to a transport plan $\\pi$, then $\\pi$ is also optimal (between its marginals). Alfonsi, Corbetta and Jourdain asked whether the same property is true for the martingale transport problem. This question seems particularly pressing since martingale transport is motivated by robust finance where data is naturally noisy. On a technical level, stability in the martingale case appears more intricate than for classical transport since optimal transport plans $\\pi$ are not characterized by a `monotonicity\'-property of their support. In this paper we give a positive answer and establish stability of the martingale transport problem. As a particular case, this recovers the stability of the left curtain coupling established by Juillet. An important auxiliary tool is an unconventional topology which takes the temporal structure of martingales into account. Our techniques also apply to the the weak transport problem introduced by Gozlan, Roberto, Samson and Tetali.
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中文摘要：
在轻度正则性假设下，运输问题在以下意义上是稳定的：如果一系列最优运输计划$\\pi\\u 1、\\pi\\u 2、\\ldots$弱收敛于运输计划$\\pi$，则$\\pi$也是最优的（在其边缘之间）。Alfonsi、Corbetta和Jourdain询问鞅输运问题是否也存在相同的性质。这个问题似乎特别紧迫，因为鞅运输是由稳健的金融推动的，而金融中的数据自然是嘈杂的。在技术层面上，鞅情形下的稳定性似乎比经典运输情形下的稳定性更复杂，因为最优运输计划$\\pi$的特征不是其支持的“单调性”。本文给出了一个肯定的答案，并建立了鞅输运问题的稳定性。作为一种特殊情况，这恢复了Juillet建立的左侧窗帘耦合的稳定性。一个重要的辅助工具是考虑鞅的时间结构的非常规拓扑。我们的技术也适用于Gozlan、Roberto、Samson和Tetali提出的弱传输问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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能者818

2022-6-14 10:23:19

鞅最优运输和弱最优运输的稳定性。BACKHOFF-VERAGUAS和G.PAMMERAbstract。在温和的正则性假设下，运输问题在以下意义上是稳定的：如果一系列最优运输计划π，π。弱收敛于转移计划π，则π也是最优的（在其边缘之间）。Alfonsi、Corbetta和Jourdain【3】询问相同的属性是否适用于马丁格尔运输问题。这个问题似乎特别紧迫，因为鞅传输的动机是稳健的金融，而数据自然是有噪声的。在技术层面上，鞅情形下的稳定性似乎比经典运输情形下的稳定性更为复杂，因为鞅最优运输计划并不是以其支持的“单调性”为特征的。本文给出了一个肯定的答案，并建立了鞅运输问题的稳定性。作为一种特殊情况，这恢复了Juillet[35]建立的左侧窗帘耦合的稳定性。一个重要的辅助工具是考虑鞅的时间结构的非常规拓扑。我们的技术也适用于Gozlan、Roberto、Samson和Tetali提出的弱传输问题。关键词：稳定性、鞅运输、弱运输、因果运输、弱适应拓扑、稳健金融。1、导言和主要结果设X和Y为波兰空间，考虑连续函数c:X×Y→ [0, ∞).给定概率度量u∈ P（X）和ν∈ P（Y），经典输运问题isinfπ∈π（u，ν）ZX×Yc（x，y）π（dx，dy），（OT），其中∏（u，ν）表示具有x-边际u和y-边际ν的耦合集。最优传输中的一个经典结果断言π∈ π（u，ν）对于（OT）i ff是最优的，它的支持suppπ是c-循环单调的[42，43]。

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能者818

2022-6-14 10:23:29

这种最优性特征的一个有用结果是（OT）相对于边缘u、ν以及代价函数c的稳定性。事实上，一旦人们意识到单调性的概念本身是稳定的，单调性和稳定性之间的联系就变得明显了。本文从单调性和稳定性的角度考虑鞅最优运输问题。事实上，由于该问题是弱最优运输问题的一个实例（其中成本是单数的，即也取价值+∞), 同样，我们将从这个角度研究正则代价函数的后一类问题。1.1. 鞅最优运输的稳定性。鞅最优运输问题是（OT）的一个变体，源自稳健的数学金融（参见[32、13、41、23、20、17、11、7、34、35、38、19、33、24、30]等）。为了确定这个问题，我们取X=Y=R，假设u，ν有有限的一阶矩，并引入带边缘u，ν的鞅耦合集∏M（u，ν）。精确地说，传输计划π是amartingale耦合效应πx（dy）=xu-a.s.，其中{πx}x∈RDE注意到第二个坐标有规律地分解为第一个坐标。根据Strassen的一个著名结果，集合∏M（u，ν）是非空的，i ffu小于νin2 J.BACKHOFF-VERAGUAS和G.Pammer凸序。由infπ给出的鞅最优输运问题∈πM（u，ν）ZR×Rc（x，y）π（dx，dy），（MOT），在空集上的最大值为+∞.本文的主要结果是（MOT）的稳定性。在d=1的情况下，这对阿方西、科尔贝塔和乔尔丹在【3，第5.3节】中提出的问题给出了肯定的答案。让r≥ 1、我们用Pr（R）表示具有有限动量的概率测度集，并用wr表示Pr（R）上R-Wasserstein收敛的拓扑，参见[42]。定理1.1（MOT稳定性）。

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mingdashike22

2022-6-14 10:23:37

设c，ck:R×R→ [0, ∞), k∈ N、是连续的代价函数，使得ck一致收敛于c.Let{uk}k∈N、 {νk}k∈P（R）中的Nbe序列分别在Wtou和ν中收敛。对于每个k∈ N letπk∈ πM（uk，νk）是（MOT）的最佳值，成本在uk和νk之间。如果c（x，y）≤ a（x）+b（y）带a∈ L（u），b∈ L（ν），andlim supk→∞ZR×Rck（x，y）πk（dx，dy）<∞,那么{πk}k的任何弱积累点∈Nis是成本函数C的（MOT）优化器。特别是如果后者有唯一的优化器π，那么πk→ π弱。推论1.2。设c，ck:R×R→ [0, ∞), k∈ N、是连续的代价函数，使得ck一致收敛于c。Let{uk}k∈N、 {νk}k∈Pr（R）中的Nbe序列分别以Wrtou和ν收敛，且ukis在凸序上小于νk，k∈ N、假设C（x，y）≤ K（1+| x | r+| y | r），对于某些K>0。那么我们有Limk→∞infπ∈πM（uk，νk）ZR×Rck（x，y）π（dx，dy）=infπ∈πM（u，ν）ZR×Rc（x，y）π（dx，dy）。我们注意到，Juillet在[35]中获得了左帘耦合的稳定性，从而获得了特定成本下鞅传输的稳定性。这些结果是在我们的主要结果的特定情况下恢复的。Guo和Obl'oj在[28]中介绍并研究了鞅输运计算方法的收敛性，其中，边缘是离散近似的，并且允许鞅约束因消失误差而失效。在独立工作中，Wiesel[44]通过估计任意耦合与其投影w.r.t之间的距离，证明了一维鞅最优运输问题的值函数的稳定性。有关调整后的Wasserstein距离的更多详细信息，请参阅[5]。1.2. 最优弱输运的稳定性。

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大多数88

2022-6-14 10:23:50

Gozlan、Roberto、Samson和Tetali【26】提出了（OT）的以下非线性推广：给定成本函数C:X×P（Y）→ R最优弱输运问题isinfπ∈π（u，ν）ZXC（x，πx）u（dx）。（WOT）鞅运输问题的多维版本是类似定义的，尽管数学金融应用不太清楚。请注意，更新版本【29】（2019年4月8日在arxiv.org上列出）在命题4.7中显示，MOT的最佳值为连续w.r.t.（u，ν）∈ P（R）×P（R），前提是P（R）×P（R）具有w收敛性，并且c假定为Lipschitz连续。本文作者决定将本文发布在arxiv上。同时强调我们工作的独立性。我们还注意到，【28】/【29】的主要焦点在于鞅输运的数值。与定理1.1相反，【29，命题4.7】的证明基于对偶问题，而不是最优耦合的稳定性。鞅最优输运和弱最优输运3的稳定性观察到，可以考虑formCM（x，p）的成本函数：=RRdc（x，y）p（dy）RRdy p（dy）=x+∞ 否则，（1.1）这样（MOT）就是（WOT）的特例。虽然（WOT）的最初动机主要源于对几何质量的应用（参见Marton[37，36]和Talagrand[39，40]），弱输运问题也出现在许多进一步的主题中，包括鞅输运[2，4，15，7，9]、因果输运问题[8，1]和数学金融稳定性[5]。事实上，最近一些工作已经考虑了成本函数的非线性鞅运输问题→ R、也就是说，成本也取决于内核，如（WOT）所示，参见[7，31，18]。

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能者818

2022-6-14 10:23:54

对于弱输运问题在分析和概率中的一些意外应用，我们也参考了文献[25，21]。本文的第二个主要贡献是最优弱输运的稳定性。在整篇文章中，我们在Y上定义了一个兼容的度量，对于实数r≥ 1用Pr（Y）表示一组概率测度，这些测度对函数dY（Y，·）r或某些Y进行积分∈ Y、其中Dy表示Y上的度量。我们赋予Pr（Y）以Wr表示的r-Wassersteintopology，并用C（X）表示X上的连续函数空间。定理1.3（WOT稳定性）。设C，Ck:X×Pr（Y）→ [0, ∞), k∈ N、是连续的代价函数，使得ck一致收敛于C，并且以下任一项保持（a）{C（x，·）：x∈ X} C（Pr（Y））是一个等连续的凸函数族，（b）u∈ Pr（X），有一个常数K>0，X∈ 十、 y型∈ Y使得c（x，p）≤ K1+dX（x，x）r+RYdY（y，y）rp（dy）.设{uk}k∈N、 {νk}k∈P（X）和Pr（Y）中的Nbe序列分别弱收敛于u和inWrtoν。对于每个k∈ N letπk∈ ∏（uk，νk）是（WOT）的优化器，成本函数ck介于uk和νk之间。Iflim supk→∞ZXCk（x，πkx）uk（dx）<∞,那么{πk}k的任何弱积累点∈Nis是成本函数C的（WOT）优化器。特别是如果后者有唯一的优化器π，那么πk→ π弱。现在，我们描述定理1.1和1.3.1.3的证明中使用的主要思想。耦合集的单调性和正确拓扑。文[9]通过将原始状态空间X×Y扩展到X×P（Y），研究了最优弱传输问题。

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何人来此

2022-6-14 10:23:57

我们简要回顾了这一观点，因为它指出了单音性的正确概念，这将有助于证明上述稳定性结果。首先介绍了嵌入映射：P（X×Y）→ P（X×P（Y）），π7→ projX（π）（dx）Δπx（dp），（1.2）大写，if（x，Y）~ πthen（X，πX）~ J（π）及其左逆，X×Y-强度图^I，^I:P（X×P（Y））→ P（X×Y），P 7→Zp公司∈P（Y）P（dy）P（dx，dp）。（1.3）尽管J很少连续，但它确实具有一个关键性质：它保持了集合的相对紧性。因此，只要C是下半连续的，就可以很容易地获得（WOT）的以下适当扩展的优化器：infP∈∧（u，ν）ZX×P（Y）C（x，P）P（dx，dp），（WOT’）4 J.BACKHOFF-VERAGUAS和G.Pammer，其中∧（u，ν）是耦合P的集合∈ P（X×P（Y）），带^I（P）∈ Π(u, ν). 当C（x，·）进一步凸时，扩展问题（WOT’）等价于原始问题，此外，（WOT）可以显示为通过自然投影算子^I从P（x×P（Y））到P（x×Y）接纳优化器。使用嵌入（保持相对紧性）到更大空间的思想可以用以下术语来理解：在原始空间P（X×Y）上，当目标空间被赋予弱拓扑时，我们考虑J的初始拓扑。这种初始拓扑已经在[6，5]中进行了研究，并命名为自适应弱拓扑。一个直接的观察结果是，如果C也是下半连续的，则（WOT）的代价泛函在此拓扑中是下半连续的。由于在规定的条件下，使用（WOT）或（WOT’）没有区别，因此考虑后一个更简单的线性问题有助于告知我们的直觉。通过类比最优运输，我们定义了1.4（C-单调性）。A耦合π∈ π（u，ν）是C-单调的，但存在一个u全集对于任意数量的点X，xN公司∈ Γ和q。

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nandehutu2022

2022-6-14 10:24:01

，qN∈ P（Y）当PNi=1πxi=PNi=1qi时，我们有Nxi=1C（xi，πxi）≤NXi=1C（xi，qi）。文献[9]中的温和假设表明，πfor（WOT）的最优性意味着上述定义1.4意义上的C单调性。在第二个论证中，在成本函数C是统一的Lipschitz的附加假设下，反向蕴涵（效率）被证明是正确的。在本文中，我们将在定理2.2中推广这个结果（并在很大程度上简化参数）。一旦我们具备了这一必要且有效的最优性标准，稳定性结果定理1.3就成为了C-单调性概念本身稳定这一事实的结果。虽然鞅最优输运是最优弱输运的一个特例，但在这项工作中，我们将这两个问题分开处理。原因在于，我们的最佳弱运输方法需要成本的规律性，而“嵌入成本”CM（见（1.1）不再提供这种规律性。为了处理奇异成本CM，当涉及到鞅耦合时，我们定义了C-单调性的概念，并额外使用了目前仅适用于维1的技术。我们定义了1.5（鞅C-单调性）。耦合∏M（u，ν）是鞅C-单调的，但存在一个u-全集Γ Rd使得对于任意数量的点x，xN公司∈Γ和q，qN公司∈ P（Rd），PNi=1πxi=PNi=1πqi（dy）=xi，我们有Nxi=1C（xi，πxi）≤NXi=1C（xi，qi）。然后，证明定理1.1的关键归结为两个论点：鞅单调性对于最优性是有效的，而一元论的概念是它自身稳定的。关于鞅最优传输的单调性观点必须基于耦合的分解，或者换句话说，最优性不能从鞅耦合的支持下读取，这一观点被引向了朱伊勒（Juillet）[35]。

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能者818

2022-6-14 10:24:05

作者事实上表明，对于左帘耦合（c.f.[14]），优化器的支持可能包含次优路径；请参见图1中的图示。这与经典的最优运输形成了鲜明的对比，在经典运输中，对于连续有界成本函数c，已知支撑的c循环单调性等价于最优性。这一失败最终导致我们需要定义1.5.1.4。概述本文的写作使得关于最优弱输运和鞅最优输运的部分在很大程度上是独立的。第2节讨论最优弱运输的稳定性，而第3节探讨鞅最优的稳定性鞅最优运输和弱最优运输的稳定性5-11- εε-ε0 1 0 1-1图1。左：间隔上均匀分布之间左帘耦合的六条可能路径[-1，1]和测量值1/4（δ-1+δ+2δ），c.f.【35，示例2.11】。右：此耦合支持中包含的三条路径（从发送ε后的左图可以看出→ 0). 这些违反了“左帘”条件。运输第四节研究了经典最优输运与最优弱输运之间的关系。最后，第5节用一些备注来结束文章，然后是一个包含辅助结果的附录。2、关于弱传输问题，让我们用更完整的单调性属性列表补充定义1.4：关于这些定义的比较，请参见备注2.4（a）。定义2.1。（1）我们称之为Γ X×P（Y）C-单调效应，对于任意数量的点（X，P），（xN，pN）∈ Γ和q。

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kedemingshi

2022-6-14 10:24:08

，qN∈ P（Y）当NXi=1pi=NXi=1qi时，我们有NXi=1C（xi，pi）≤NXi=1C（xi，qi）。（2）概率测度P∈ P（X×P（Y））集中在C-单调集上，称为C-单调集。下一个定理极大地扩展了[9，定理5.5]中首次获得的C-单调性的效率。我们记得，Pr（Y）表示Y上具有有限r阶矩r的概率测度空间≥ 1，即p∈ 公共关系（Y）i FF p∈ P（Y）和zydy（Y，Y）rp（dy）<∞对于一些y∈ Y、因此，所有∈ Y、众所周知，带有Wasserstein度量Wr拓扑的Pr（Y）变成了波兰空间，其中Wr（p，q）表示p，q∈Pr（Y）通过WR（p，q）r=infπ定义∈π（p，q）ZY×YdY（y，y）rπ（dy，dy）。此外，我们确定x×Pr（Y）度量d（（x，p），（x，p））r：=dX（x，x）r+Wr（p，p）rfor（x，p），（x，p）∈ X×Pr（Y），并用Pr（X×Pr（Y））表示X×Pr（Y）上的概率度量空间，其对（X，p）7进行完全积分→ 给定（x，p）的d（（x，p），（x，p））R∈ X×Pr（Y），配备与度量d相关的Wr度量。同样，我们将Pr（Y）定义为Wasserstein度量Wr，并用Pr（Pr（Y））表示，Pr（Y）上的概率度量空间，它将p 7完全积分→ 给定p的Wr（p，p）R∈ Pr（Y），配备r-th Wasserstein拓扑。请注意，这些定义独立于（x，p）的选择∈ X×Pr（Y）和p∈ Pr（Y）分别为。6 J.BACKHOFF-VERAGUAS和G.Pammer回顾了在（WOT’）之后给出的集合∧（u，ν）的定义，即∧（u，ν）：=nP∈ P（X×P（Y））：^I（P）∈ π（u，ν）o.（2.1）定理2.2。Letu∈ P（X），ν∈ Pr（Y），C:X×Pr（Y）→ R可测量。假设下列任一条件：（a）{C（x，·）：x∈ X} C（Pr（Y））是等连续的，即θ（δ）：=supn | C（x，p）- C（x，q）|：x∈ 十、（p，q）∈ Pr（Y）s.t.Wr（p，q）r≤ δo，δ&0为零。（b） u∈ Pr（X），C是联合连续的，有K∈ R、 x个∈ 十、 y型∈ Y s.t。

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大多数88

2022-6-14 10:24:11

对于allx∈ 十： C（X，p）≤ K1+dX（x，x）r+RdY（y，y）rp（dy）.然后是P∈ ∧（u，ν）是（WOT’）的最佳值，P是C-单调的。同样，如果p 7→ C（x，p）是凸的，然后是π∈ π（u，ν）是（WOT）的最佳值，π是C-单调的。备注2.3。注意，在定理2.2的假设下，π的C-单调性∈π（u，ν）产生J（π）的C-单调性∈ ∧（u，ν），因此，J（π）对于（WOT’）是最优的，尤其是π对于（WOT）是最优的。我们将在备注2.4中完成此讨论。同时，我们在第5节示例5.1中看到，p 7的凸性→ C（x，p）对于最优耦合是C单调的是必要的。示例5.2表明，为了使Cmonotonic成为一个有效的最优性标准，需要成本C的额外正则性（下半连续性和有界性）。证据设P是集中在C-单调集Γ上的C-单调。修复P∈ Λ(u, ν). Weargue如【10】中所述，用于经典（线性）最优运输。取任意iid序列（Xn）n∈NofX值随机变量和任何iid序列（Yn）n∈N、（Zn）N∈概率空间上的Nof P（Y）值随机变量(Ohm, P），带（Xn，Yn）~ P、（Xn，Zn）~ P、特别是根据大数定律，我们发现P-几乎可以肯定zx×Pr（Y）C（x，P）P（dx，dp）-ZX×Pr（Y）C（x，p）p（dx，dp）=limN→∞NNXn=1C（Xn，Zn）- C（Xn，Yn）。（2.2）注意，对于任何函数g∈ C（Y），以Y 7为主→ 1+dY（y，y）r，我们有e[Yn（g）]=ν（g），其中p（g）表示p∈ P（Y）表示积分g（Y）P（dy）。那么，大数定律几乎肯定是有限的→∞NNXn=1Yn（g）=ν（g）=limN→∞NNXn=1Zn（g）。通过标准的可分性参数，我们发现P-几乎确定limn→∞NNXn=1Yn=ν=limN→∞NNXn=1ZnP-a.s.（2.3），其中在Wr中保持收敛。Letω∈ Ohm 处于P-全套s.t.limN→∞Wr公司NNXn=1Yn（ω），NNXn=1Zn（ω）= 0，鞅最优输运和弱最优输运的稳定性7and（Xn，Yn）（ω）∈ Γ对于所有n∈ N、从现在起，我们省略ω参数。

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mingdashike22

2022-6-14 10:24:14

对于每个N∈ N、我们用χN表示∏（NPNn=1Zn，NPNn=1Yn）中的Wr最佳耦合，即WrNNXn=1Zn，NNXn=1Ynr=ZY×YdY（z，y）rχN（dz，dy）。我们用{χNz}z表示∈aχNgiven在第一个坐标（边缘）的投影的规则分解。定义χNZn（dy）：=Rz∈YZn（dz）χNz（dy），我们发现NNXN=1Wr（Zn，χNZn）r≤NNXn=1ZYdY（z，y）rχNz（dy）Zn（dz）=WrNNXn=1Zn，NNXn=1Ynr、（2.4）此外，PNn=1χNZn=PNn=1Yn，因此通过C-单调性nnxn=1C（Xn，χNZn）- C（Xn，Yn）≥ 0。（2.5）在（a）的情况下，我们应用引理6.2，得到|θ：R+→ R+，它是连续的，凹的，在0处消失，为了简单起见，我们将其重命名为θ。因此，根据Jensen不等式，NNXn=1θWr（Zn，χNZn）r≤ θNNXn=1Wr（Zn，χNZn）r≤ θWr公司NNXn=1Zn，NNXn=1Ynr,以N的形式消失→ +∞. 利用P的C-单调性和一致连续性，我们得到了P几乎可以确定的nxn=1C（Xn，Zn）- C（Xn，Yn）=NNXn=1C（Xn，Zn）- C（Xn，χNZn）+NNXn=1C（Xn，χNZn）- C（Xn，Yn）≥ -NNXn=1θ（Wr（Zn，χNZn））≥ -θWrNNXn=1Yn（ω），NNXn=1Zn（ω）！→ 0。（2.6）在（b）的情况下，我们通过pn定义随机变量pn取X×P（Y）的值：=NNXn=1δXn，χNZn。通过（2.4），我们发现P-几乎可以肯定的WR（PN，P）r≤NNXn=1Wr（Zn，χNZn）≤ Wr公司NNXi=1Zn，NNXn=1Ynr、如（2.3）所示，其右侧的a.s.收敛为零。然后，C yieldsZX×Pr（Y）C（x，p）p（dx，dp）的连续性和生长-ZX×Pr（Y）C（x，p）PN（dx，d p）→ 0。（2.7）这里，方程左侧的瓦瑟斯坦距离是在空间X×Pr（Y）w.r.t上取的。度量d（（X，p），（X，p））r=dX（X，X）r+Wr（p，p）r.8 J。BACKHOFF-VERAGUAS和G.Pammer因此，在这两种情况下，我们都有p-几乎确定的zx×Pr（Y）C（X，p）p（dX，p）-ZX×Pr（Y）C（x，p）p（dx，dp）≥ lim信息→∞NNXn=1C（Xn，Zn）- C（Xn，Yn）≥ 0，我们使用了（2.2）、（2.5）、（2.6）和（2.7）。2.1. C-单调性的稳定性。

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kedemingshi

2022-6-14 10:24:18

回忆（1.2）J:P（X×Y）的嵌入→ P（X×P（Y）），π7→ projX（π）（dx）Δπx（dp）。某些测度Q的强度I（Q）∈ P（P（Y））唯一定义为概率测度I（Q）∈ P（Y）with i（Q）（f）=ZP（Y）ZYf（Y）P（dy）Q（dp） f∈ Cb（Y），即I（Q）（dy）=Rp∈P（Y）P（dy）Q（dp）。备注2.4。鉴于这种嵌入，在增强空间X×P（Y）上考虑C-单调性似乎是很自然的。（a） π∈ π（u，ν）是C-单调的，而π（π）是C-单调的：一方面，如果π是Cmonotone，则有可能找到一个可测集Γ X使得u（Γ）=1，其中通过Γ=n（X，p）定义∈Γ×P（Y）：P=πxo，一个C-单调集。因此，等价于定义2.1，我们可以要求存在一个C-单调集Γ X×P（Y）使得（X，πX）∈ Γ对于u-AlmosteryX∈ 十、另一方面，如果J（π）是C-montone，则存在一个C-montone集，其中1=J（π）（Γ）=u（{X∈ X：（X，πX）∈ Γ}).考虑u-全解析可测集{x∈ X：（X，πX）∈ Γ}. 由于分析可测集是普遍可测的，它允许一个Borel可测子集|Γ，u（|Γ）=1。因此，π在定义1.4的意义上是C-单调的（onΓ）。（b）如果Γ X×P（Y）是C-单调的，C:X×P（Y）→ R在第二个参数中是凸的，即对于所有x∈ 十、（p，q）∈ P（Y）和α∈ [0，1]C（x，αp+（1- α） q）≤ αC（x，p）+（1- α） C（x，q），然后放大集Γ：=x、 kkXi=1pi！：x个∈ 十、（X，pi）∈ Γ，i=1，k∈ N也是C-单调的。

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可人4

2022-6-14 10:24:21

同样，如果C（x，·）对于所有x都是连续的∈ 十、那么^Γ：=n（X，p）∈ X×P（Y）：X∈ 十、 p∈ co（Γx）o是C-单调的，其中co表示闭凸包，而Γx表示Γ的x-fibre，即{p∈ P（Y）：（x，P）∈ Γ}.（c）我们观察到，集合∧（u，ν）（见（2.1））可以用一系列连续函数F来表征 C（X×Pr（Y））：P∈ ∧（u，ν）当且仅当ifZX×P（Y）f（x）P（dx，dp）=ZXf（x）u（dx） f∈ Cb（X），ZX×P（Y）ZYg（Y）P（dy）P（dx，dp）=ZYg（Y）ν（dy）g级∈ Cb（Y）。鞅最优输运和弱最优输运的稳定性9作为进一步观察，我们在定义2.1中具有C单调性的等价性，并且在线性约束FF=nf下具有C有限最优性∈ Cb（X×P（Y））：g级∈ Cb（X），h∈ Cb（Y）s.t.f（x，p）≡ g（x）或f（x，p）=RYh（y）p（dy）o，这是在[12，定义1.2]中引入的。定理2.5。设C:X×Pr（Y）→ [0, ∞] 可测量且P*∈ Pr（X×Pr（Y））（WOT’）的最佳值，具有有限值。然后是P*是C-单调的。特别是，如果allx满足C要求∈ X和Q∈ P（P（Y））C（x，I（Q））≤ZP（Y）C（x，p）Q（dp），（2.8）然后是任何优化器π*具有有限值的of（WOT）是C-单调的。证据第一个断言是备注2.4的结果。（c）和【12，定理1.4】。Toshow the second assertion，let P∈ Λ(u, ν). 然后I（Px）u（dx）∈ π（u，ν）和by（2.8）ZX×P（Y）C（x，P）P（dx，dp）≥ZXC（x，I（Px））u（dx）。因此，J（π*) 是（WOT）的最佳选择。我们从证明的第一部分结合备注2.4（a）推导出π的C-单调性。在经典的最优弱传输环境中，C是下界的假设实际上没有必要推导C的单调性，参见【9，定理5.2】。注意，当C（x，·）是下半连续且凸的时，（2.8）成立。

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