因此，模型状态的完整向量是Xt=（at，wt，AIMEt，uet，t），下面我详细介绍了它们如何影响模型。效用暖辉光遗赠动机创造了一个在概率为1的时期内发生的终端条件T（at）- s（k）t-1： T（at）=θ（at+K）ν（1-γ)1 - γ在活着时和k型家庭中有一个流量效用函数，该函数采用平衡增长路径形式：其中u（k）（ct，lt）=n（k）（（ct/n（k））νl1-νt）1-γ1 - γ，其中n（k）是一个消费当量量表，如果家庭代表一对夫妇，则取值2，反之则取值1。劳动力市场女性原木工资wt是特定类型的确定性成分（二次平均）和随机成分的总和：log（wt）=δk0+δk1t+δk2t+t（2）式中t遵循具有持续性ρ和创新误差σ的AR1具有正态误差项和初始分布~ N（0，σ,55).工资可以被概念化为等于女性在失业期间保持的某种潜在生产力。因此，妇女的失业状况取决于条件马尔科夫过程，其中失业的可能性取决于当前的生产率和类型。配偶收入在年龄上遵循一个灵活的多项式：log（y（k）（t））=uk0+uk1t+uk2t+uk3t+uk4t（3）这一特定值平均并从特殊配偶收入和死亡风险中提取出来。结果，当女性死亡时，家庭就会死亡，而丈夫的死亡风险只会影响平均收入；好像丈夫是已婚女性的共同资源。这让我认识到已婚和单身之间的过渡，虽然这对于了解老年人更广泛的行为很重要（例如Casanova，2010），但似乎与SPA的劳动力供应反应完全正交。因为有时状态变量中包含类型。

在这里，我排除了它们，因为它们不会改变，因此不需要捕获模型的状态。因此，它们被更准确地描述为参数。配偶养老金福利不单独建模。y（k）（t）将其劳动和非劳动收入合并为一个变量。女性工资和配偶收入都是税后收入。社会保险失业状况被认为是可以核实的，因此只有失业女性，uet=1，才能领取失业津贴b。妻子一旦达到SP A，就会领取国家养老金，一旦达到法定年龄P P A（k），就会领取私人养老金。这偏离了利益主张的决定，原因有两个，brie fly在前面提到过。首先，超过95%的人在SPA领取国家养老金，因此，就准确性而言，这种简化几乎没有损失。第二，尽管在所考虑的大部分时间内，推迟领取国家养老金在精算上是有利的，但这一小部分推迟领取国家养老金。这种行为给完整信息的标准模型带来了另一个困惑，因为它们通常意味着接受实际有利的结果。第8节将讨论这一利益主张之谜，但将其推迟到第10节，这为该基线模型提供了解决过度敏感性之谜的公平机会。平均收入一直在演变，直到女性达到其私人养老金年龄P P A（k），在这一点上，它被冻结。国家和私人养老金在目标上都是二次的，直到达到最高限额为止。在设定养老金上限之前，养老金函数的形式如下（k）（AIMEt）=spk0+spk1AIMEt- spk2AIMEt（4）P（k）（AIMEt）=ppk0+ppk1AIMEt- ppk2AIMEt（5）这些养老金职能从国家和私人养老金制度的细节中抽象出来，但以一种易于处理的形式抓住了一些关键激励因素。

国家养老金是一个复杂的路径依赖函数，依赖于过去和当前的监管，如果没有详细的行政数据，就无法准确捕捉到这一点（详情请参见Bozio等人，2010）。这种功能形式反映了国家养老金对工作历史的依赖性，而不涉及这些困难。特定类型允许S（k）（.）例如，为了获取教育和婚姻状况对国家养老金的间接影响，作为一名全职妈妈，对样本中的一些女性来说，她们的国家养老金权利将增加到两倍。每个私人养老金计划都是不同的，但P（k）（）的依赖性不同on AIMEtre反映了大多数既定福利计划对终身收益的依赖性。这种功能形式不太准确地反映了固定缴款系统的结构，基本上是储蓄账户，但退休储蓄是在模型中用无风险资产捕捉的。此外，该模型在确定的收益节省可以无惩罚地访问后开始。确定性总收入将配偶收入、福利、私人和国家养老金福利合并为一个单一的确定性收入函数得出：Y（k）（t，uet，AIMEt）=Y（k）（t）+b（uet=1）+t≥ SP A]S（k）（目标）+[t≥ P P A（k）]P（k）（AIMEt）（6）家庭最大化问题和值函数封装k型家庭模型的Bellman方程为：V（k）t（Xt）=maxct，lt，at+1{u（k）（ct，lt）+β（s（k）t（E[V（k）t+1（Xt+1）| Xt]+（1- s（k）t）t（at+1））}（7）受预算约束、借款约束和劳动力供应约束：ct+（1+r）-1at+1=at+wt（1- lt）+Y（k）（t、uet、AIMEt）（8）在+1处≥ 0（9）uet（1- lt）=0（10）初始和最终条件模型从55岁的女性开始。

到目前为止，开始进入生命周期的原因首先是，ELSA数据集只开始采访50岁以上的人，其次，我感兴趣的时期是退休前后，因此对早期生命周期行为进行建模将是非常费时的。从55岁而不是50岁开始的原因是，这是一个年龄最小的年龄，有大量的水疗知识数据，一些人的水疗等于60岁，另一些人的水疗严格高于60岁。如果达到100岁，那女人肯定会死。从80岁起，女性不再有工作的选择；这是为了模拟健康下降带来的一些限制。4.2对基线的两个补充：政策不确定性和昂贵的关注本节介绍了对上述完整信息的基线模型的两个补充。首先，第4.2.1节以随机SPA的形式介绍了客观政策不确定性。其次，第4.2.2节引入了对随机SPA的高成本关注，根据理性疏忽文献，用无用性成本建模，以获得更精确的信息。这使得该模型能够以对SPA错误信念的形式捕捉政府政策的个人不确定性，以及这些信念对行为的影响。由于通过明确的政策不确定性和信息摩擦对个人错误信念进行建模，因此第4.2.3节提出了一种新方法，并进行了讨论。4.2.1政策不确定性：随机SPAPolicy不确定性是通过使SPA随机引入的，本节详细介绍了如何做到这一点。此添加的动机是SPA发生变化。

对于我的样本中的女性，她们的SPA在工作期间增加了6年，这是她们首次进入劳动力市场时无法预见的变化。虽然SPA确实发生了变化，引入了一个重要的不确定性维度，但变化并不频繁，无法估计灵活的随机SPA过程。因此，我对随机SPA施加了一个简约的函数形式：SP At+1=min（SP At+et，68）（11），其中et∈ {0，1}和et~ 伯尔尼（ρ）。因此，每个时期的SPA可能保持不变或增加一年，因为冲击是伯努利，上限为68。这抓住了养老金不确定性的一个关键方面，即近年来，各国政府已将养老金年龄向上改革，但一般不会向下改革，同时保持了一种简单易处理的形式。我不认为水疗会低于改革前的60岁。因此，由于运动定律只允许增加，因此SP Atis的下限为60，上限为68。由于以这种方式对政策不确定性进行建模代表了创新，因此关于解释的一句话是谨慎的。在该模型中，变量SP A代表关于女性将达到SPA年龄的当前最佳可用信息，因此，不应将其解释为当前退休队列的SPA。相反，类似的数据是政府目前为女性群体宣布的SPA。一次只模拟一个水疗中心。因此，单一变量的SP at没有任何冲突，而实际上，在给定的时间点上，不同的出生队列有不同的政府公布的SPA。4.2.2代价高昂的注意力（理性疏忽）引入的第二个新特性是随机SPA的信息获取成本。这使得模型能够捕捉到人们对SPA的误解这一事实。

此外，它允许模型捕捉到这样一个事实，即这些错误的信念是内生学习过程的结果。因此，该模型有可能复制这些错误信念与退休行为之间观察到的关系。为了尽可能清楚地阐述模型的这一新特征，理性地忽视SPA，我引入了两种符号简化。我将决策分组为单个变量dt=（ct、lt、at+1），将SPA以外的所有状态分组为单个状态变量Xt=（at、wt、AIMEt、uet、t）。与其他状态变量不同，随机SPA SP Atis是分开的，因为它不是住户直接观察到的。相反，这是在基线模型中定义时Xtas中变量的相同集合。我强调这是一个符号变化，因为我想明确指出，XT尚未吸收新的州SP Athousehold必须支付公用事业成本，才能获得关于SPA的更准确信息，如下所述。其他随机状态变量WT和uet是直接观测到的，可以解释为这些变量更加显著。我关注的是与国家养老金政策相关的代价高昂的关注，而不是人们关注的任何其他无数负担，因为这是在达成SPA后解决的不确定性。因此，这可能有助于解释为什么人们会像对待SPA一样做出反应，这是本文的重点。由于住户不再直接观察SP，这是一种隐藏状态。它仍然是一个与支付相关的状态，但由于家庭不遵守它，它无法进入决策规则。这引入了一个新的状态变量πt家庭对SP At的信念分布。

由于住户选择获取SPA的信息量，其选择可被视为两个步骤：首先选择一个信号，然后根据信号绘制选择动作。只要他们支付信息的效用成本，信号的选择就完全不受约束；家庭可以随意了解SP。更准确地说，具有非隐藏状态Xt和π的家庭可以自由选择任何条件分布函数ft（z | SP At，Xt，πt）作为其信号zt~ zt给定了隐藏状态SP At的值。家庭成员是理性的，因此π通过贝叶斯更新其初始信念分布π而形成，给定信号的完整历史绘制观察到的zt。将其组合在一起，模型的全套状态为（Xt，SP At，πt）=（At，wt，AIMEt，uet，t，SP At，πt），模型的Bellman方程为：V（k）t（Xt，SP At，πt）=maxdt，ftEhu（k）（dt，ft，πt）+βs（k）tV（k）t+1（Xt+1，SP At+1，πt+1）+（1- s（k）t）t（at+1）i（12）受与基线模型相同的约束条件8-10的约束，其中效用函数现在采用以下形式：u（k）（dt，ft，πt）=n（k）（（ct/n（k））νl1-νt）1-γ1 - γ- λI（ft；πt）I（ft；πt）表示所选信号fta与住户当前对SPAπt的知识状态之间的互信息，λ是注意力成本参数。互信息是信息论中的一个概念。通过学习信号zt，可以预期降低SP At的不确定性~ ZTA由熵测量。因此，它具有以下函数形式：I（ft；πt）=Xzft（z）XspaP r（spa | z）log（P r（spa | z））-Xspaπt（spa）log（πt（spa））（13）这不是一个实质性的建模假设，但简化了说明。

由于住户在理性上是漫不经心的，如果住户同时选择其信号和有条件的行动，那么只要有机会，它就不会偏离这些选择。这类似于代理商在完全市场或某些合同设置下承诺采取行动。如果对数是根据基数2计算的，则熵给出了完全通信所有不确定性所需的最少位数。然而，对数的底并不重要，因为更改baseformula可以保证更改底只会更改度量单位。到达SP ATT后，女性了解了自己的真实SP ATA，并开始领取国家养老金。这意味着，家庭总是知道，如果他们没有收到女性的国家养老金福利，她就低于她的SPA。这避免了预算约束中的任何问题，因为家庭不知道他们可以花多少钱。模型得出的结果提供了积极的信息冲击，反映了英国养老金体系的真实性；样本中所有队列收到的唯一通信是在SPA前六个月的某个时候收到的一封信。这种不确定性在到达SPA后得到解决，这是一个关键的模型机制，解释了为什么女性在到达SPA后会有劳动力供应反应。4.2.3对随机西班牙的昂贵关注讨论本节，我将讨论模型新特征的原因和解释。首先，我讨论了建立注意力成本模型的原因。其次，我讨论了对新选择的解释：信号函数。预期熵减少注意成本：希望很清楚为什么信息获取成本包括在内：以适应预测劳动力供应对SPA反应的错误信念。注意力的成本为何会以这种形式出现，可能还不太清楚。

由于信息获取的效用成本代表了生命周期文献中未广泛使用的功能形式假设，因此概述选择此功能的动机可能具有指导意义。因此，我提出了三个激励性论点，来选择这种函数形式来模拟代价高昂的信息获取。首先，应该注意的是，虽然这种函数形式在生命周期模型中没有广泛使用，但这是因为大多数生命周期模型忽略了昂贵的信息获取，而不是因为本文献中广泛使用了任何其他函数形式。事实上，与交互信息成正比的信息获取成本是论文中最常见的功能形式之一，其中包括信息获取成本，与研究较少的功能形式相比，信息获取成本具有两个重要优势。它是易于处理的，因为对于这种函数形式有许多有用的结果，并且它遵循了文献中的惯例。可跟踪性在成本高昂的信息模型中非常重要，因为这些信息可能过于复杂而难以解决，遵循一项新技术有其优点，因为它限制了数据的可用自由度。并非所有使用这种功能形式的原因都直接源于辅助文献的存在。这种功能形式的第二个主要可取特征是，它可以内生产生一些观察到的Caplin et al.（2017）和Fosgerau et al.（2020）是使用其他功能形式的昂贵注意文献中的论文的例子。这两种方法都可以被视为在注意力成本功能中引入了更多灵活性，而不是完全放弃注意力方法。启发式。

一个例子是，K~oszegi和Matějka（2020）表明，与相互信息直接成比例的信息获取成本可以导致心理预算和天真的多元化，这是个人投资者采用的两种启发式方法。另一个例子是Caplin等人（2019年），他们表明，它可以导致考虑集，这是一种观察到的启发式方法，用于许多具有大型选择集的离散选择集。观察到的启发式的内生生成是一个非常理想的特性；一个好的模型应该复制观察到的行为。然而，可以理解的是，许多研究人员不愿意将行为案例硬编码到他们的模型中，因为尽管人们确实使用启发式，但无论环境如何变化，没有人总是遵循相同的启发式。此外，带有硬编码行为偏差的模型抑制了经济学的一个核心观点：人们对激励做出反应。一个内生复制观察到的启发式的信息成本函数可以避免这些陷阱，因为它允许家庭在最佳情况下遵循启发式，但无论发生什么变化，都不受其约束。在这样做的过程中，当昂贵的认知被忽视时，它可以复制那些似乎次优的启发式。第三，也是最后一点，有很强的先验理由认为认知成本应该取决于熵的减少。信息论中的熵概念用来解释计算机如何处理信息，熵给出了信息有效传输和存储的下限。思维的计算理论麦卡洛赫和皮特（1943）认为人类的思维是一台计算机。

这是有争议的，远远超出了本文的范围，但即使是最严格的思维计算理论的反对者也会同意，大脑执行一些任务，比如计算机，而信息处理是首要的候选者。因此，如果大脑能够有效地处理信息，那么我们希望将互信息纳入理想的注意力成本功能。这并不是说理想的注意力成本函数是互信息的线性函数，但如果它进入理想状态，那么当信息处理是我们关注的焦点时，沿着这个维度的一阶近似值是合理的近似值。解释信号的选择：作者的意图并不决定解释，因此读者可以随意解释模型。也就是说，由于许多读者可能不熟悉昂贵的信息，我建议对注意力成本进行一些解释，并对信号函数的选择提出一些想法。第一种解释很宽泛，第二种解释更字面。在更广泛的解释中，对SPA的了解可以作为对州养老金制度总体了解的例证。养老金制度是多方面的，人们对其大部分方面感到困惑。该模型将信息获取的所有成本集中于跟踪养老金福利系统的一个方面，即SPA。因此，该模型还可以捕获对这些其他方面的了解以及对其不确定性的解决。因此，有可能将学习SPA的成本视为学习SPA的成本。如果上述论点正确，人们预计熵会在神经科学和心理学中得到应用，这就是事实（例如Frank（2013）或Carhart Harris et al。

(2014).更普遍的养老金政策，我相信读者从这个角度同样可以从这个模型中吸取有趣的教训。这是对我的模型和所有模型一样，都是误判的默认承认。为了解决第8节中的一些模型误判问题，我看了一个扩展，在该扩展中，家庭还了解到不确定的精算调整延迟索赔。对注意力成本的更字面的解释是，它是专门学习你的SPA的成本。这应该包括学习SPA的所有成本：麻烦成本，以及信息处理、存储和召回。因此，它捕获的不仅仅是麻烦成本。举例来说，作者支付了查找SPA的麻烦成本，但没有支付记住这些信息的认知成本。因此，我会在调查数据中表现为有错误信念的人，也可能不会在决策中使用我的SPA。这表明，包括记忆和吸收信息的全部认知成本以及任何麻烦成本，是与数据和模型一致的信息获取成本的最小概念化。最后介绍了信号函数的选择。由于我们的SPA只是一个我们可以查找的数字，所以这种信号函数的选择可能很难概念化。首先要注意的是，查找、完美记忆和融入行动并不是一种信息获取策略，信号函数概念的选择将其排除在外。这对应于选择一个完全信息丰富的信号函数。事实上，仔细阅读相关法规并不是人们了解ZF政策，尤其是国家养老金的唯一途径。例如，人们可以从其他人或新闻媒体了解养老金改革对他们的影响。

在这两个例子中，都有一个随机的部分，无论是报纸上的报道，还是你的同事谈论他们的SPA是如何变化的，还有一个是选择的部分，无论你是继续阅读还是问后续问题。这类似于选择一个有噪声的信号函数，因为它部分是一个选择，部分是随机的，因此这个选择捕获了有关messyreal世界学习过程的很多信息。5模型解通过引入高维状态π和高维选择ft，理性的疏忽使模型变得复杂，以至于解决它代表了一种新的贡献。为了实现这一点，我将最新的理论结果编织成一个具有内生异质信念的动态理性注意力不集中模型的一致解决方法，如上文所述。第5.1节解释了如何做到这一点，既传达了方法创新，又给出了一些关于如何解决模型的直觉。首先，我提供了一些关于解决本文特定模型的更一般的细节。并非模型中理性注意力不集中的每个周期都会因πtand ft的存在而变得复杂；只有在实现SPA之前，它们才有意义。到达SPA后，真正的价值就会显现出来，因此关于SPA的信念（πt）和学习（ft）并不相关。之后的时期可以用标准的解决方法来解决，比如基线和只有政策不确定性的模型。这是使用动态规划，特别是反向归纳法，其中期内效用最大化问题通过搜索找到最佳行动作为离散问题来解决。从简单的SPA后阶段过渡到复杂的SPA前阶段是有指导意义的。在66岁之前，我们可以通过标准的反向归纳法来解决理性注意力不集中的模型。

我们可以以这种方式提前到68岁，因为国家养老金年龄过程是有界的，从那时起，女性以概率1领取国家养老金。67岁时，因为她知道潜在的数据生成过程，而不是SP At的当前价值，如果她没有收到国家养老金，那么她的SPA肯定是68。因此，67岁时，SP-at成为一个状态变量，因为女性是否领取国家养老金会影响效用，但π仍然不相关，因为信念会随着她完全知情而退化。在66岁时，π是否是一种状态取决于SP At的值，在60-66岁的所有时期也是如此。如果t≥ 当女性领取国家养老金福利时；她知道SP At的值，所以π是退化的，不是一种状态，她不需要做出信息获取的选择。因此，如果t≥ SP A和周期可以通过简单地搜索最优选择来解决。对于55-59岁的人来说，理性的注意力不集中是不相关的，因为SP总在60岁以上，这是众所周知的。由于66岁是第一个时期，当t<SP At时，无法简单推断SP At的真实值（可能是67或68），因此66岁是第一个信息获取选择非常重要且信念很重要的时期。当t<SP At时，合理疏忽很重要时，这些期限内问题的解决方案在第5.1节中列示如下。在这里，我忽略了这里介绍的关于女性如何通过随机SPA的细节，使得理性的疏忽变得无关紧要。我对此进行了抽象，因为它对如何解决具有内生异质信念的动态理性注意力不集中模型没有明显的影响。

更详尽的计算可以在附录D.5.1中找到具有内生性异质信念的动态代价注意模型具有内生性异质信念的动态理性疏忽模型由于高维状态π和高维选择ft的存在而变得复杂。本节介绍了我的解决方法。我将使用前面介绍的退休决策模型来解释该方法，但它具有广泛的应用，因为它可以用于任何具有内生异质信念的动态理性注意力不集中模型。为了解决理性疏忽的相关时期，我利用了最近三篇理论论文的结果。最重要的是，我依赖Steiner等人（2017）的结果，他们将Matějka和McKay（2015）的静态logit-like结果扩展到动态设置，显示动态问题简化为静态问题的集合。因此，它给出的分析结果大大简化了对高维选择ft的处理。与Steiner et al.（2017）的结果相比，该模型在理论上是可解的，但高维状态πt意味着发现该解几乎是不可能的。Caplin等人（2019）的结果有助于找到可行的解决方案。他们提供了充足的条件，以补充必要的条件inMatějka和McKay（2015）。此外，如前所述，它们显示出理性的疏忽，一般包括考虑集。也就是说，有许多家庭将忽视和永远不会采取的行动。这意味着求解条件选择概率或随机决策规则将是稀疏的。

他们论文中的有效条件允许我事先检查稀疏性，这大大减少了计算负担。最后，当稀疏性不能为周期内优化问题提供快捷的解决方案时，我使用序列二次规划来解决最优性条件。Arcenter等人（2021）建议将此算法用于静态理性注意力问题，与之前用于解决理性注意力不集中问题的算法相比，它在准确性和效率方面都具有优势。本节的其余部分如下。首先，第5.1.1节概述了Steiner et al.（2017）的主要结果证明，因为需要对这些结果的细节有一些了解，才能理解解决方案方法，也可以让读者对模型结果的来源有更好的直觉。然后，第5.1.2节将采用第5.1.1节的结果，并给出我的解决方法。5.1.1求解方法的分析基础大多数读者可能不熟悉解方程，如理性漫不经心的Bellman（方程12）。Steiner等人（2017年）表明，一大类类似模型具有类似logit的解决方案。仅仅引用他们的结果并不能提供任何直觉，而且会让大多数读者对解决方案的来源一无所知。出于这些原因，在本节中，我将概述他们的证明，对细节感兴趣的读者应参考附录C或原始文件。如上所述，Steiner et al.（2017）的主要贡献是将Matějka和McKay（2015）扩展到动态环境。因此，这里解释的大部分内容来自Matějka和McKay（2015），同样适用于静态问题。我将解释Steiner et al.（2017）与我的模型相关的内容，并将我的模型用作镜头。

throughMy框架并不是Steiner et al.（2017）的直接应用，而是一个轻微的扩展。他们的论文不允许内生状态，而我的模型有内生状态；然而，由于这些内生状态是在没有信息摩擦的情况下观察到的，并且与SP无关，因此这并不违反他们的关键假设，即行为不会影响未来未观察状态的分布。为完整起见，我在附录C中介绍了我对Steiner et al.（2017）的扩展细节，并在我的框架中复制了他们论文中我所依赖的所有证据。该扩展提供了一个嵌套原始工作的框架，并涵盖了本文中的模型。这是一个更复杂的步骤，为了证明这一点，他们必须克服信息获取过程中产生的各种棘手问题。虽然我将提及其中一些复杂性，但我将主要忽略它们，以给读者提供类似于动态逻辑的结果的直觉。这可以解释他们的结果。如果我将有效条件连续值定义为“V（k）t+1（dt，Xt，SP At，πt）=es（k）tV（k）t+1（Xt+1，SP At+1，πt+1）+（1- s（k）t）t（at+1）dt，Xt，SP At，πt（14） 然后，Bellman方程12简化为：V（k）t（Xt，SP At，πt）=maxdt，ftEhu（k）（dt，ft，πt）+β′V（k）t+1（dt，Xt，SP At，πt）i（15）住户不观察SP At，但同时解决了（Xt，πt）的观察值和SP At的所有可能值的问题。他们通过选择一个信号函数ft（z | SP At，Xt，πt）来实现这一点，该函数给出了未观测到的SP At的噪声信号，并根据信号d（z）的实现来做出决定。解决这个问题的第一步是要注意，由于信号封装了内部认知过程，因此它本质上是不可观察的。

因此，将随机信号函数fta的选择和以信号d（z）为条件的确定性决策组合为随机决策dt的单个选择不会有任何损失~ pt（dt | Xt，SP At，πt）。SP At上的随机决策条件，住户不会直接观察到，因为他们观察到的信号是以SP At为条件的。事实上，这是随机性的来源，因为决定d（z）是确定性的信号是有条件的。下一步是启示主体类型的参数。由于家庭是理性的，并且为信息支付了公用事业成本，因此他们不会选择任何无关的信息。所有信息都有一个成本λI（ft；πt），但只有导致更好选择的信息才有回报，因此家庭将选择一个完美揭示其行为的信号函数，即信号和行为是一对一的对应关系。因此，thept（dt | Xt，SP At，πt）只是ft（zt | Xt，SP At，πt）的重新标记。函数ft告诉您所看到的信号的名称，用他们应该选择的名称重新标记为ft。由此得出I（ft；πt）=I（pt；πt），因为互信息是分布中概率的属性，而不是相关随机变量的值。由此，我们可以将代理的决策问题重写为：V（k）t（Xt，SP At，πt）=maxptenhn（k）（（c/n（k））νl1-ν)1-γλ(1 - γ)- I（pt；πt）+β′V（k）t+1（d，Xt，SP At，πt）I（16）当问题被视为离散选择时，存在一些可用于代理C的有限预算集 R、 C={d=（C，l），…，dN=（cN，lN）}。

然后问题变成：maxptXspaπt（spa）NXi=1n（k）（（ci/n（k））νl1-νi）1-γλ(1 - γ)- I（pt；πt）+β′V（k）t+1（di，Xt，SP At，πt）（17） 从互信息的对称性来看：I（pt；πt）=Xspaπt（spa）Xdpt（d | spa）log（pt（d | spa））！-Xdqt（d）log（qt（d））（18）和qt是d的结果边际分布：qt（d）=Xspaπt（spa）pt（d | spa）将18替换为17，重新排列并折叠重复和，得到：maxptXspaπt（spa）NXi=1n（k）（（ci/n（k））νl1-νi）1-γλ(1 - γ） +对数（qt（di））- 对数（pt（di | spai））+β′V（k）t+1（di，Xt，SP At，πt）（19） 考虑到给定的qt，关于任何pt（d | spa）的最优性要求以下FOC（源自微分19）满足u（spa）=n（k）（（c/n（k））νl1-ν)1-γλ(1 - γ） +对数（qt（d））- （log（pt（d | spa））+1）+β′V（k）t+1（d，Xt，SP At，πt），其中u（spa）是与pt（.| spa）是有效概率分布Pd的约束相关的拉格朗日倍数∈Cpt（d | spa）=1。重新排列给出：pt（d | spa）=expn（k）（（c/n（k））νl1-ν)1-γλ(1 - γ） +对数（qt（d））+β′V（k）t+1（d，Xt，SP At，πt）- u（spa）+1！然后是asPd∈Cpt（d | spa）=1我们可以将右侧除以该总和，而无需更改值以消除干扰项spt（d | spa）=expn（k）（（c/n（k））νl1-ν)1-γλ(1-γ） +对数（qt（d））+β′V（k）t+1（d，Xt，SP At，πt））Pd公司∈Cexpn（k）（（c/n（k））νl01-ν)1-γλ(1-γ） +对数（qt（d））+β′V（k）t+1（d，Xt，SP At，πt））（20） 这是Matějka和McKay（2015）最初得出的类似logit的结果，并扩展到动态案例bySteiner et al.（2017）。我们一直认为，互信息是通过学习信号，或等效地，采取什么行动来减少关于世界状态的熵。然而，这在数学上相当于从学习世界状态的行动中预期的熵减少，这就是上面所表达的。目光敏锐的读者可能已经注意到，这将连续值视为固定值。

Steineret al.（2017）的一项重大成就表明，“人们可以忽略延续值对信仰的依赖，而将其简单地视为历史的函数”，我从这里提取了这一成果，以解释结果背后的直觉。我将在第5.1.2节中再次提及这一点，但有关适当的处理方法，请参考原始文件。为了讨论其相对于效用冲击产生的传统逻辑的优势，再加上严格的证明，我指导读者阅读Matějka和McKay（2015）的原始论文。该推导假设QT已给出，但由于QT是条件ptit的边缘，因此也选择了。qt的形式可以从将20代入19中找到，注意到20中分子的对数抵消了19中的分配项，只留下分母的和。所以可以通过求解：maxqtXspaπt（spa）logXd来找到qt∈Cqt（d）表达式（k）（（c/n（k））νl1-ν)1-γλ(1 - γ） +β′V（k）t+1（d，Xt，SP At，πt）！！（21）这就完成了问题的解决，基本的解决方法是为QT解21，并将解替换为为为pt解20。这个基本的大纲忽略了两个主要的复杂性。第5.1.2节讨论了这些复杂性，概述了实际使用的求解算法。5.1.2解决方法作为第一个解决具有内生异质信念的动态理性注意力不集中模型的方法，本文需要一种新的解决方法。本节将解释此解决方案方法，进而描述所使用的算法。正如上一节末尾提到的，开发此算法克服了两个主要障碍。在第5.1.1节中被忽略的第一个主要困难是，在已知行动的全部概率分布之前，无法知道下一阶段的行动信念。

这是因为我们不知道某个特定SPA的行动信号有多强，除非我们知道他们在其他可能的SPA下采取该行动的可能性有多大。因此，即使下一阶段的价值函数Vt+1已知，下一阶段的有效条件价值函数Vt+1也不知道，因为我们不知道今天的行动将导致明天的信念。要看到这一点，请记住，代理是贝叶斯的，因此他们在周期t结束时对SP Athaving的后验信念采取了行动dt为每个可能的值spa分配以下概率：P r（spa | dt）=pt（dt | spa）πt（spa）qt（dt）=πt（spa）expn（k）（（c/n（k））νl1-ν)1-γλ(1-γ） +β′V（k）t+1（d，Xt，spa，πt））Pd公司∈Cqt（d）经验n（k）（（c/n（k））νl01-ν)1-γλ(1-γ） +β′V（k）t+1（d，Xt，spa，πt））（22）然后，在下一个周期开始时，通过将SP at的运动定律（方程式11）应用于该后验值，形成先验值qt。由于后验值不仅取决于指数化的支付效果，而且还取决于qt，因此需要对模型进行求解，以便了解给定所选动作的下一阶段的信念，从而了解有效的条件连续值：(R)V（k）t+1（dt，Xt，SP At，πt）=Es（k）tV（k）t+1（Xt+1，SP At+1，πt+1）+（1- s（k）t）t（at+1）dt，Xt，SP At，πt（23）Steiner等人（2017年）通过将信念从状态空间中移除，并用行动的完整历史取代它们，来回避这一难题。他们之所以能够做到这一点，是因为，给定初始信念、信号的完整历史或等效的行动，完美地预测了t期的信念。这是一篇理论论文的灵感之举，也是将Matějka和McKay（2015）扩展到动态情况的关键一步。对于应用性工作，基本上不需要启动。

它涉及到在状态空间中引入冗余信息，因为如果两个动作历史导致相同的信念，它们并不真正代表不同的状态。状态空间中的冗余信息是有问题的，因为维度诅咒意味着这通常是producingrich模型中的绑定约束之一。将这一点从有问题转变为无起点的原因是，这些冗余信息会随着周期数的增加而显著增加。因此，我依赖于Steiner et al.（2017）的理论结果，该结果使用了动作状态间隔表示的历史，但在实践中，我在实际计算工作中使用了更紧凑的信念状态空间表示。为了解决我需要了解的问题，我使用一个简单的猜测和验证定点策略。首先，我猜测一个值qt，并通过将22替换为23来求解有效条件连续值的定点迭代。然后给出“Vt+1I解21”表示qt。如果得到的qt非常接近▄qt，我接受此解决方案，否则我用qt替换▄qt并重复。然而，通过增加状态空间中每个点所需的计算量，第一个主要难题的解决方案加剧了第二个高维状态πt导致的高计算需求。Caplin等人（2019年）的研究结果表明，一般性的理性疏忽意味着考虑集，这一点可以得到缓解。因此，求解条件选择概率（CCPs）是可行的。也就是说，永远不会采取各种行动。我可以事先在过程中的各个点检查这种稀疏性，并删除任何永远不会执行的操作。

这降低了优化不等式21的维数，但此外，如果在删除了永远不会采取的措施后，我们只剩下一个措施，那么我们就解决了问题，无需进一步计算。剔除行动的最简单标准是去除严格支配的备选方案。代理人理性专注，因此不会选择在所有可能的SPA实现中受到严格控制的行动。因此，所有在SP AT的所有实现过程中受到严格控制的行动都可以取消。这是在猜测“qt”和求解“Vt+1”之前完成的，方法是删除在所有可能的点实现和πt+1中严格控制的任何动作。在求解“Vt+1”之前，这样做可以减少查找该对象所需的定点迭代中不必要的计算负担。在解决了“Vt+1”之后，并因此对下一阶段的信念πt+1进行了预测，从而推动了任何行动，我删除了在所有实现SP时严格控制的行动。这让他们表明，我们可以忽略连续值对信念的依赖，因为“解决方案可以解释为多个参与者共同利益博弈的均衡。每个时期的参与者都遵守历史，但不遵守过去使用的选择规则。在均衡中，每个参与者根据其他参与者的均衡策略形成信念。”在最初的论文中，过去的行为之所以重要，不仅因为它们影响了信念，而且作者也允许过去的行为影响当前效用的可能性。这就产生了一个潜在的原因，为什么导致相同信念的两段历史可能在原始论文中代表不同的状态。

这在本文中是不可能的。去除严格支配的行为只考虑效用的顺序特征，而不是个人间预期效用的主要方面。利用Caplin等人（2019）的必要和有效条件，很容易证明如果a存在决策d？=（c？，l？）其中满足XSPAπt（spa）经验n（k）（（c？/n（k））νl？1.-ν)1-γλ(1-γ） +β′V（k）t+1（d？，Xt，spa，πt））经验值n（k）（（c/n（k））νl1-ν)1-γλ(1-γ） +β′V（k）t+1（d，Xt，spa，πt））≥ 1（24）对于所有其他决定d=（c，l），则这是采取的唯一行动q（d？）=1、与放弃严格控制的备选方案不同，该备选方案降低了维度，从而使方程21的求解变得更容易，只有当最优行为是在所有实现的SP At中采取相同的行动时，检查方程24才是有利的。因此，检查条件24的好处取决于所面临的问题以及它显示最佳解决方案的频率，而无需解决优化问题。对于本文中的退休模型，它是有用的。最后，当稀疏性不能提供解决方案的捷径时，我使用序列二次规划来解决21，这是Arcenter等人（2019）提出的静态理性注意力不集中问题的一种方法。

因此，将这一点结合在一起，解决方案算法的一个高级总结是：从C中删除d，这是在所有可能的SP和πt+1组合中严格控制的，如果| C |=1，则将QT设置为d处的退化分布∈ |C | elseet | qt的初始值和误差>公差，而误差>Vt+1的公差剂量从C中移除，在给定的πt+1条件下，C严格控制所有可能的SP，如果| C |=1，则设置误差=0<公差，并在d处退化分布∈ |C | elseSolve 21使用顺序二次规划结束ifend，同时将QT替换为20以求解pt。读者不想参考Caplin et al.（2019），可从边界条件不等式21推导出方程式24，这在附录D中完成。这隐藏了对数和指数形式最大化产生的许多其他计算复杂关系。这些可在附录D.6估算中找到。使用模拟力矩的两阶段法估算模型。在第一阶段，驱动模型的异源过程的参数和状态变量的初始分布在模型之外进行估计，并根据文献设置少量模型参数。利用第一阶段的结果，在第二阶段使用动量模拟方法估计剩余的偏好参数（β、γ、ν、κ、λ）。6.1第一阶段估计工资过程、国家和私人养老金制度以及失业转移矩阵的参数在模型之外进行估计。温热遗赠的曲率和利率取自文献。初始条件：要设置模型的初始条件，我需要at、wt、AIMEt、uet的值。初始工资WT设置为从估计的初始工资分配（见下文）中抽取，所有代理开始雇佣（uet=1）。

资产和初始平均收益目标根据经验联合分布进行初始化。对于资产，使用的经验对应物是家庭非住房非商业财富。ELSA的第5波与英国税务局的行政数据相关联，允许我观察这些个人的完整工作历史，从而构建AIMEt的衡量标准，但是，由于这是从第5波开始的，只有80%的人同意，这仅适用于个人的子样本。为了避免丢失数据，并使模型能够匹配初期资产，我用五分之一的财富和一组丰富的观察特征来估算目标。为了最大限度地降低这一过程中所固有的风险，即夸大这两个关键状态变量之间的相关性，我在目标的估算值上添加了噪音，以复制观察到的资产方面的异质性（更多详细信息，请参见附录E）。工资方程：我假设工资数据受到连续不相关测量误差（uj，t）的污染，导致以下数据生成过程：log（wj，t）=δk0+δk1t+δk2t+t+uk，t（25），对于k类个体j，在时间段t内。工资过程的年龄相关确定性成分（δk0、δk1、δk2）的参数通过特定类型回归进行估计。工资方程随机分量的参数（ρw，σ, σ,55，σu，）使用标准方法（如Guvenen，2009；Low et al.，2010）进行估计，该方法选择的值使估计残差的经验协方差矩阵和养老金制度：两种养老金制度都是平均终身收入的特定类型函数。这些是根据上述管理数据构建的目标度量进行估计的。

然而，研究发现，国家养老金对教育相对不敏感，而私人养老金对婚姻国家相对不敏感。因此，我简化了程序，以获得更好的权力，并让国家养老金职能仅因婚姻状况而变化，而私人养老金仅因教育而变化。失业转移矩阵I使用自行申报的就业状态估计失业内外的特定类型转移概率：特别是失业和就业状态之间的转移概率。随机国家养老金年龄：我根据受改革影响的女性最终国家养老金年龄的变化，估计国家养老金ρ增加的可能性。由于每个人在开始工作时的SPA为60，并且每年每个人的SPA都会受到伯努利误差项SP的影响，每个t都是一个无因次分布。我估计ρ最符合这种二项分布的混合，为了获得ρ=0.102参数的最终估计值，在模型之外设置了暖辉光遗赠的曲率来自De Nardi et al.（2010），利率来自O\'Dea（2018）。使用RPI将所有价格降低至2013年的值。生存概率取自英国国家统计生命表办公室，并与ELSA数据相结合，以估计French（2005）之后的特定类型生存概率。关于这些第一阶段估计的详细信息，请参见附录E.6.2第二阶段估计在第二步中，匹配矩来估计偏好参数γ、ν、β和θ，以及版本中的λ，代价高昂。使用的时间是改革前的42个平均劳动力市场参与率和资产持有率介于55和75之间的时间。这些数据是用SP A=60个改革前数据队列估计的。

为了避免队列效应或宏观经济环境的污染，估计了固定效应年龄回归，其中还包括：出生年份固定效应，总失业率四舍五入至表4的一半：参数估计值ν：消费权重0.4647（-）β：贴现系数0.9692（-）γ：相对风险规避2.0659（-）θ：温热遗赠权重20394（-）注：针对改革前劳动力供应和资产负债的模拟时刻法估计参数。百分比和低于SPA的指标。然后使用改革前队列的平均值，从回归中预测所使用的数据。为了在版本中识别λ，我额外的目标是减少55到58之间的SPAknowledge差异。附录E还包含了这些目标项目的建设细节。为了找到最终目标函数的最小值，我首先使用Sobolsequencing对参数空间进行采样，然后在有希望的初始条件下使用BOBYQA例程搜索最小值。7结果在本节中，我介绍了第二阶段模拟方法矩练习的模型，并给出了参数估计，研究了模型复制SPA劳动力供应响应的能力。对于理性注意力不集中的家庭的模型版本，我调查了注意力成本的一系列值的模型属性，发现不同的值更好地匹配数据的不同特征。第一阶段估算结果见附录F。图6和图7显示了基准模型的改革前参与和资产负债与SP A=60的匹配情况。表4包含相应的参数估计。

这些是模型基线版本的拟合优度；附录E中给出了具有政策不确定性、政策不确定性和理性注意力不集中的版本的对应图，但实际上无法相互区分。模型的不同版本清晰可辨之处在于，它们是如何将动态作用复制到SPA的，因为SPA是不同的，如下所示。估计这些参数后，为了研究对SPA的响应，我重新运行模型，以生成SP A=60、SP A=61和SP A=62的模拟数据，并重新运行第3.3节中对该模拟数据的回归分析。表5第1列（包含基线模型结果）和第4列（包含经验对应结果）之间的比较表明，基线模型难以匹配对SPA的总体反应以及该反应与财富的相关性。图6：参与计划：针对劳动力供应计划的模型。实证结果适用于改革前的SPA队列，SPA为60。该模型用60个不变的SPA模拟该队列所面临的条件。图7：资产负债表：目标资产负债表的模型。实证结果适用于改革前的SPA队列，SPA为60。该模型用60个不变的SPA模拟该队列所面临的条件。表5：模拟数据库政策UNCRT的回归分析。

昂贵的注意力昂贵的注意力数据λ≈ lb100 λ ≈ 10低于SPA的人群治疗对参与者的影响整体人口0.0118 0.0142 0.0386 0.0214 0.109资产>中位数（lb34869）0.0363 0.0403 0.0827 0.0527 0.089注：对于高于经验中位数的整体人口和亚群体，在低于SPA的工作概率增加的模拟数据上的不同治疗效果估计SPA资产。基线是具有确定性SPA的模型。政策不确定性指的是具有随机SPA的模型，而对具有随机SPA的昂贵信息获取的模型的昂贵关注。通过考虑中等消费家庭的消费当量变化，将信息的效用成本转换为货币价值，使其等于从完全不知情（统一先验）到完全信息（真实SPA上退化的后验）的成本。这促使引入政策不确定性和代价高昂的关注。为了分别查看每个的结果，我按顺序介绍了它们。第2列介绍了政策的不确定性。可以看出，单是政策不确定性就没有什么差别。这是因为固有的政策不确定性水平很低；我们观察到SPA的变化很少出现。第3列引入了对第2列中引入的随机SPA的昂贵关注。要做到这一点，需要λ的值，而λ不是一个容易解释的参数，它具有每比特UTIL的自然单位。在第3列中，我从λ=5×10的相对任意值开始-使公用事业单位具有可解释性的一个常见解决方案是将其转换为所需的等效边际消费，以增加代表性个人的公用事业。我使用中等消费全职工作家庭作为代表性家庭。