我强调，Bernstein多项式模型与Brinch et al.（2017）提出的简单多项式模型之间的唯一区别在于，更容易对前一个模型施加可行性限制。回到方程（38）给出的参数模型，我定义了参数θAx，0，θAx，1aspseudo真参数，即方程（38）中的参数模型是通过任意D的矩E[A | X=X，P（W）=pn，D=D]近似于真实数据生成过程∈ {0，1}和n∈ {1，…，N}。正式地，我定义θAx，0，θAx，1:= argminθAx，0，￠θAx，1∈ΘAxNXn=1E[A | X=X，P（W）=pn，D=0]-RpnMAu、 θAx，0du1- pn编号+E[A | X=X，P（W）=pn，D=1]-RpnMAu、 θAx，1dupn公司.（39）注意，要估计参数θAx，0，θAx，1, 我可以简单地使用公式（39）的样本模拟，也就是说，我只需要估计一个约束OLS回归，其约束由集合ΘAx给出。如果通过一组可行参数Θax施加的模型限制有效且L=N，那么我的参数模型将崩溃为Brinch et al.（2017）提出的模型，并且我发现，对于任何pn∈ Px，E【A | X=X，P（W）=pn，D=0】=RpnMAu、 θAx，0du1- pn（40）E【A | X=X，P（W）=pn，D=1】=RpnMAu、 θAx，1杜邦。（41）然后我可以将推论11和14以及方程式（38）和（39）组合到界OOY公司*（x，u）。附录A.9包含该索赔的证明。6实证应用：职业团体培训计划我重点分析职业团体培训计划（JCTP）对总就业人口（M T EOO）工资的边际待遇效应。该计划为16至24岁的美国合法居民以及来自低收入家庭的个人提供免费教育和职业培训（Schochet et al.（2001）和Lee（2009））。

除了接受教育和职业培训外，受训人员还住在就业服务中心，提供膳食和少量现金补贴。20世纪90年代中期，美国劳工部聘请Mathematica Policy Research，Inc.通过随机实验评估JCTP。根据Chen&Flores（2015），1994年11月至1995年12月期间首次申请JCTP的合格人员（80833名申请人）被随机分为治疗组和对照组。对照组（5977人）被禁止参加该计划3年，而治疗组（74856人）被允许参加JC。然而，在这项随机对照试验中，存在不依从性（选择治疗），因为治疗组中的一些个体决定不参加该计划，而对照组中的一些个体即使被正式禁止也能够参加JCTP。为了评估JCTP，我首先描述了数据集，提供了汇总统计数据，最重要的是，使用Machado等人（2018）阐述的测试，正式测试了以下假设：潜在治疗状态在工具上是单调的（方程（1）），潜在就业（样本选择状态）在治疗上是正单调的（假设8）。然后，我使用Brinchet al.（2017）开发的参数化工具估计并讨论了边际待遇反应以及对就业和劳动收入的影响。

最后，我估计并讨论了平均优势假设（假设9）下无和平均优势假设下的月工资的界限，根据推论11和14.6.1描述性统计和单调性假设，可公开获得的国家就业服务队研究（NJCS）样本包含15386名个体，全部为5977名对照组个体和9409名随机选择的治疗组个体。所有受试者均在随机分配后12、30和48个月接受了访谈。继Lee（2009）之后，随机分组后，我只保留每周收入和每周工作小时数未缺失的个体（9145）。继Chen&Flores（2015）之后，我的工具（Z）是随机治疗分配，而我的治疗假人（D）是一个指标变量，如果个体在随机分配后208周内一直参加JCTP，则该指标变量等于1。由于该变量有51个缺失值，最终样本量为9094个观察值。该数据集包含有关人口协变量（性别、年龄、种族、婚姻、子女数量、受教育年限、犯罪行为、个人收入）以及治疗前后劳动力市场结果（就业和收入）的信息。继Chen&Flores（2015）之后，第208周的小时工资是通过将周收入除以该周的周工作小时数来创建的，这意味着缺失的工资等于零周工作小时数。当工资缺失时，我认为该人失业（S=0），当工资未缺失时，我认为该人就业（S=1）。与Lee（2009）和Chen&Flores（2015）不同，他们使用对数小时工资作为主要结果变量，我的利益结果（Y*) 是小时工资水平，因为假设7.1要求支持Y*有一个下限。

因此，可观察结果Y被定义为小时劳动收入。最后，我在实证分析中使用了NJCS设计权重，因为一些亚群是随机的，具有不同但已知的概率（Schochet et al.（2001））。考虑到Flores Lagunes等人（2010）的研究结果，他们专注于解释西班牙裔亚群体对就业和劳动收入的负面但不显著的影响，我分别分析了NJCS样本中的两个子样本：非西班牙裔亚样本和西班牙裔亚样本。表3显示了两个子样本的描述性统计数据。请注意，正如预期的那样，在随机治疗分配确定的各组之间，平均而言，治疗前协变量非常相似。因此，两个子样本都保持了基线变量的平衡。然而，当比较非西班牙裔和西班牙裔时，我发现女性、从未结婚、有孩子、曾经被捕、有基线工作和有工作等变量在数字上存在微小差异。表3：所选基线变量的汇总统计非西班牙裔样本西班牙裔样本Z=1 Z=0差异。

Z=1 Z=0差异。女的443 .454 -.011 .502 .473 .030（.011）（.025）基线年龄18.436 18.342。095* 18.438 18.398 .040（.049）（.109）白色。318 .318 .000——（.011）黑色。595 .592 .002——（.011）从未结婚。926 .924 .002 .875 .874 .001（.006）（.017）有孩子。186 .190 -.004 .201 .206 -.004（.009）（.020）受教育年限10.137 10.115。022 10.022 10.057 -.034（.036）（.084）曾被捕。255 .257 -.002 .216 .211 .005（.010）（.021）个人有限公司：<3000。787 .788 -.001 .789 .794 -.005（.010）（.022）在基线处有作业。204 .188 .016* .170 .211 -.041**（.009）（.020）基线前一年：有工作。642 .627 .015 .601 .630 -.029（.011）（.025）个月就业3.652 3.513。140 3.344 3.616 -.272（.098）（.214）收益2899.41 2795.62 103.79 2956.38 2885.47 70.91（103.81）（477.08）观察4554 2977总计：7531 942 621总计：1563注：Z表示随机治疗分配。括号中为稳健的标准错误。***、**和*表示差异分别在1%、5%和10%的水平上具有统计学意义。估算使用设计权重。表4显示了非西班牙裔和西班牙裔子样本的初步影响。第一行显示，许多人没有遵守他们的治疗任务。正如任何自愿治疗所预期的那样，大部分个体（两个亚样本约30%）决定不接受治疗，即使他们被分配到治疗组。也有一些人（非西班牙裔占5%，西班牙裔占3%）参加了JCTP，尽管他们被禁止参加。此外，两个子样本的工具（治疗分配）显然都很强大，这表明假设2在这种情况下是合理的。在分析治疗效果时，与之前的文献类似（例如，Schochet et al.（2008），Flores Lagunes et al。

（2010）和Chen&Flores（2015）），我们发现JCTP对非西班牙裔有积极而显著的影响，对西班牙裔有消极但不显著的影响。表4：初步效果非西班牙裔样本西班牙裔样本Z=1 Z=0差异。Z=1 Z=0差异。曾注册JCTP。737 .047 .689*** .747 .028 .719***（.008）（.016）ITT每周预估人数28.06 25.54 2.52***26.63 27.30-。670.60（1.28）周收入230.24 194.72 35.52***218.34 228.63-1.29（5.49）（12.68）就业。613 .564 .049*** .605 .607 -.002（0.011）（.025）每周延迟估算人数3.66***-。930（880）（1.78）周收入51.52***-14.31（8.00）（17.64）就业。071*** -.003（.016）（.034）注：Z表示随机治疗分配。在随机分组后第208周测量结果变量。括号中为稳健的标准错误。***、**和*表示差异分别在1%、5%和10%的水平上具有统计学意义。估算使用设计权重。最后一个结果，特别是关于就业状况的结果，对我的分析很重要。与Lee（2009）和Chen&Flores（2015）类似，我假设治疗对就业的影响（即样本选择）是单调和积极的。然而，正如Flores Lagunes et al.（2010）和Chen&Flores（2015）所讨论的，JCTP对就业的负面影响证明了这一假设。因此，我正式测试了假设8。为此，我实施了Machado et al.（2018）开发的程序，该程序同时测试了仪器的外生性（假设1）、治疗分配中治疗使用的单调性（方程（1））和治疗中使用的单调性（方程（2））。他们的程序还使用最后一项测试作为把关人，以测试治疗对就业的影响是否是积极的（假设（8））。更详细地说，马查多等人提出的测试。

（2018）有三个步骤。在第一步中，无效假设是工具不是外生的，或者治疗分配上的治疗使用不是单调的，或者治疗使用上的就业不是单调的。因此，另一种假设是假设1和方程式（1）和（2）成立。在第二步中，只有在第一步拒绝其无效假设的情况下才能实施，第二个无效假设是，待遇对就业的影响是非积极的。因此，其替代假设是假设1和8以及方程式（1）和（2）成立。最后，在第三步中，只有在第二步不拒绝其无效假设的情况下才能实施，第三个无效假设是处理对就业的影响是非负的。因此，其替代假设是，虽然假设1和方程式（1）和（2）有效，但假设8的方向相反（见假设C.1）。表5显示了上述试验的结果。在非西班牙裔子样本中，步骤1和2在1%显著水平上拒绝了其无效假设，这意味着假设1和8以及方程式（1）和（2）在给定数据的情况下是合理的。因此，使用推论11将JCTP的MT EOOof与非西班牙裔子样本内的工资绑定是合理的。对于西班牙裔子样本，步骤1在1%显著性水平上拒绝了其无效假设，而步骤2和步骤3都没有在10%显著性水平上拒绝其无效假设。因此，假设1和方程式（1）和（2）在给出数据的情况下是合理的，但似乎对就业没有影响，即对所有个人而言，S=SFO。由于西班牙裔人口没有不同的样本选择，如命题10之后立即讨论的那样，感兴趣的MTE的点识别是微不足道的。

因此，我将实证分析的重点放在非西班牙裔子样本上。表5：测试非西班牙裔子样本的识别假设西班牙裔子样本估计临界值估计临界值检验统计量10%5%1%检验统计量10%5%1%步骤1。282 .034 .039 .043 .308 .044 .047 .050步骤2。070 .033 .036 .039 -.003 .032 .036 .038步骤3-。070 .033 .036 .039 .003 .032 .036 .038注：步骤1的替代假设是假设1和方程式（1）和（2）有效。步骤2的替代假设是假设1和8以及方程式（1）和（2）有效。步骤3的替代假设是假设1和C.1以及方程式（1）和（2）有效。临界值使用10000次自举重复计算，并与10%、5%和1%的显著性水平相关。估算使用设计权重。6.2就业和劳动收入的MTR和MTE：非西班牙裔人口估计JCTP每小时工资的MT EOOO界限的初步步骤在非西班牙裔子样本中，我需要估计MTR对就业和每小时劳动收入的函数，即我需要估计函数mS、mS、mY和mY。为此，我使用了第5.2小节中描述的程序，该程序将Brinch et al.（2017）开发的方法调整为受约束的框架。具体而言，我使用带有四个参数的Bernstein多项式对Y和S的MTR函数进行建模，即MAu、 θAd= θAd，0·（1）- u） +θAd，任何A为1·u∈ {Y，S}和d∈ 可行集ΘY=R+和ΘS=n的{0，1}θS，θS∈ [0，1]：θS≥ θSo。估计θA，θA.

我运行以下受约束的OLSmodel：A=aA·（1- D） +bA·（1- D） ·P（Z）+aA·D+bA·D·P（Z）+e，（42），其中e是误差项，θA0,0=aA- bA，θA0,1=aA+bA，θA1,0=aA，θA1,1=aA+2·bA，约束条件为aA，bA，aA，bA表6报告了参数模型的点估计值和90%置信区间。当工具为二进制且无协变量时，附录A.10将OLS模型（42）与最小化问题（39）联系起来。它还使用第5.2小节中描述的参数模型提供了推论11和14中边界的显式公式。附录H实施了蒙特卡罗模拟，分析了基于OLSmodel（42）的MTE边界周围置信区间的覆盖率。对于MTR的就业和小时劳动收入功能。注意，可行性约束θS1,0≥ θS0,0具有约束力，即使根据Machado等人（2018）提出的测试，假设8是合理的。此外，对于90%置信区间的上界，可行性约束θS1,0≤ 1也具有约束力。表6：参数MTR函数：非西班牙裔子样本结果参数∈ {Y，S}变量θA0,0θA0,1θA1,0θA1,1就业0.46 0.66 0.46 0.89[0.39，0.47][0.64，0.71][0.39，0.47][0.84，1.00]劳动收入（Y）2.96 5.74 3.00 8.39[1.45，3.69][4.98，6.94][2.20，3.41][7.54，9.81]注：就业MTR由MS给出u、 θSd= θSd，0·（1- u） +θSd，1·u，可行性集由ΘS给出=θS，θS∈ [0，1]：θS≥ θS. 劳工收入的MTR由我的u、 θYd= θYd，0·（1- u） +θYd，1·u，可行性集givenbyΘY=R+。在括号中，我报告了基于5000次引导预测的90%置信区间。估算使用设计权重。使用图1更容易理解和解释这些估计。

实线是基于表6中报告的参数对MTR和MTE函数的点估计。虚线是基于5000次引导重复的估计函数周围的90%置信区间。蓝色线条与治疗后的潜在结果相关，而红色线条与未治疗的结果相关。在子图1a中，我发现，虽然最有可能参加JCTP的代理人的就业概率在接受治疗的个体和未接受治疗的个体之间相似，但接受治疗的个体与未接受治疗的个体相比，不太可能参加JCTP的代理人的就业概率要高得多。因此，非西班牙裔子样本（子图1b）中的就业MTE在潜在异质性方面正在增加。类似地，在子图1c中，我发现，虽然最有可能参加JCTP的代理人的预期小时劳动收入在接受治疗的个体和未接受治疗的个体之间相似，但接受治疗的个体较未接受治疗的个体更不可能参加JCTP的代理人的预期小时劳动收入要高得多。因此，非西班牙裔子样本（子图1d）中每小时劳动收入的MTE在潜在异质性中增加。我强调，我估计的MTE函数的形状与Chen等人的结果一致。

（2017），其估计上限也表明这些变量的ATE大于ATT。图1：参数MTR和MTE函数：非西班牙裔子样本（a）就业MTR 0.000.250.500.751.000.00 0.25 0.50 0.75 1.00就业潜在异质性MTR（b）就业MTE-1-0.50.00.51.00.00 0.25 0.50 0.75 1.00就业潜在异质性（c）劳动收入MTR 0.02.55.07.510.00.00 0.25 0.50 0.75 1.00劳动收入潜在异质性（d）劳动收入MTE-10123450.00 0.25 0.50 0.75 1.00劳动收入的潜在异质性注：实线是基于表6中报告的参数对MTR和MTE函数的点估计。虚线是基于5000次引导重复的估计函数周围的90%置信区间。蓝色线条与治疗后的潜在结果相关，而彩色线条与未治疗的结果相关。垂直虚线表示倾向得分P【D=1 | Z】的样本值。估算使用设计权重。6.3月工资的界限：非西班牙裔人口部分确定非西班牙裔子样本中JCTP的月工资界限，我可以将第6.2小节中估计的函数与推论11和14相结合。虽然第一个推论仅规定了实验设计（假设1）、技术（假设3-7）或可测试（假设2和8，以及公式1）有效的假设，但推论14还使用了平均优势假设9。

最后一个假设是，总就业人口在接受治疗时的工资边际待遇反应函数大于仅在接受治疗时的就业人口的工资边际待遇反应函数，这意味着潜在就业与潜在工资之间存在正相关关系，这得到了标准劳动力供给模型的支持。。估计感兴趣参数的界限时的另一个问题是，有两种方法可以构造置信区间。保守方法确定上部和下部MT EOObounds周围的ζ-置信区间，然后使用其最上部和最下部边界构建置信区间，该置信区间包含概率为ζ的识别区域。由于感兴趣的参数必须在确定的区域内，因此该区间包含概率至少为ζ的感兴趣参数。Imbens&Manski（2004）提出了另一种方法，他直接构建了一个包含感兴趣参数的ζ置信区间。由于他们考虑到感兴趣的参数在构造确定的区域内，因此他们的置信区间比保守方法更紧。图2显示了使用推论11（子图2a）和推论14（子图2b）的月工资的参数界限。

实线是MTE对工资的参数界限的点估计，虚线是基于5000次自举重复的确定区域周围的点方向保守90%置信区间，虚线是基于5000次自举重复的兴趣参数的点方向90%置信区间（Imbens&Manski（2004））。Chen和Flores（2015）更深入地讨论了平均优势假设9与劳动经济学文献之间的联系。为了了解影响的程度，我将估计的M T EOBOUND与分配给对照组的非西班牙裔人的平均观察小时工资7.72美元进行比较。请注意，不使用平均优势假设的下限（子图2a）是令人难以置信的负值。即使是最有可能参加JCTP的经纪人，MT Eoon工资的下限（-6.51美元）也意味着JCTP将使他们的小时工资几乎为零。这一令人难以置信的负下限是基于最坏的情况，即不切实际地规定，一直就业的亚人口所处理的潜在工资等于零。通过实施平均优势假设9，我假设就业中存在正向选择，从而排除了这种极端情况。因此，我可以将下边界从等式（9）增加到等式（21），从而缩小MT Eoon工资的边界（子图2b）。在此额外假设下，当我使用保守置信区间时，潜在异质性值在0.34和0.68之间，当我使用基于Imbens&Manski（2004）的置信区间时，在0.35和0.73之间，MT EOON工资在10%置信水平上是显著的。

最有趣的是，MT Eoon工资下限的点估计值正在降低参加JCTP的可能性。为了更好地理解这些影响的程度，并将我的结果与之前的文献进行比较，我使用四个关键参数总结了MT EOOFNCTION的界限，即AT EOO、AT TOO、AT UOOA和LAT EOO，这些参数在表1和表2中描述为MT EOOFNCTION的积分。表7报告了括号内的界限、括号内识别区域的90%保守置信区间和括号内感兴趣参数的90%置信区间（Imbens&Manski（2004））。正如预期的那样，没有平均优势假设的边界很宽且不具信息性，而当假设9时，根据两种类型的置信区间，除AT to外的所有参数都显著地为10%。我强调，我的LAT EO估计值代表分配给对照组的非西班牙裔平均观察小时工资的7.51%至24.74%之间的影响，这与Chen&Flores（2015）得出的LAT EO参数的界限相当-图2：M T EOON工资的参数界限：无平均优势假设的非西班牙裔子样本（a）-10-5050.00 0.25 0.50 0.75 1.00工资上的潜在异质性（b），平均优势假设-10-5050.00 0.25 0.50 0.75 1.00工资的潜在异质性：实线是M T eoon工资参数界限的点估计。点线是基于5000次BootstrapPrepetion确定的区域周围的点式保守90%置信区间。虚线是基于5000次引导重复的感兴趣参数（Imbens&Manski（2004））的90%置信区间。垂直虚线表示倾向得分P【D=1 | Z】的样本值。

估算使用设计权重。表7:AT-EOO、AT-TOO、AT-Uoo和LAT-Eoon工资的界限：EOOAT-UOOLAT-EOONO的非西班牙裔亚样本优势待遇效应消费9[-7.73, 2.28] [-7.11, 1.17] [-8.20, 3.14] [-7.52, 1.91](-7.88, 3.15) (-8.16, 3.09) (-8.54, 4.29) (-7.94, 2.97){-7.95, 2.75} {-8.35, 2.57} {-8.57, 3.96} {-8.01，2.51}是[0.61，2.28][0.33，0.99][0.71，3.00][0.58，1.91]（0.38，3.14）(-1.42, 3.18) (0.18, 3.69) (0.12, 3.00){0.35, 2.75} {-1.43，2.76}{0.27，3.69}{0.07，2.51}注：在括号中，我报告了感兴趣的参数的边界，这些边界是M T eof unction边界的积分。在括号中，我报告了基于5000次引导重复的已识别区域的保守90%置信区间，而在大括号中，我报告了基于5000次引导重复的相关参数的90%置信区间（Imbens&Manski（2004））。估算使用设计权重。在一组类似的假设下，约为7.7%至17.5%。他们的边界比我的边界更紧，这一发现并不令人惊讶，因为他们的方法利用了所有可用的信息来具体确定纬度，而我的工具则限制了MT EOF NCTION，然后灵活地限制了所有就业人口的其他治疗效果。由于这种灵活性，我可以部分确定其他可能与政策相关的治疗效果。例如，分配给对照组的非西班牙裔平均观察小时工资的平均EOOis介于7.90%和29.53%之间。最重要的是，AT-Too和AT-UOOare分别介于4.27%和12.82%之间，以及9.20%和38.86%之间，这表明没有参加JCT的代理可能是从中受益最多的代理。

当我们分析ATTOA和AT UOO周围的置信区间时，这一结果更加明显：虽然第一个治疗效果与零没有显著差异，但第二个参数与零有显著差异。最后，我要强调的是，尽管待遇对工资的影响上限可能非常大，下限的大小与Chen等人（2017）的结果相似，与表4.7中所示的每周收入16.70%和每周小时9.87%的ITT效应相比，下限是合理的。结论我的主要理论贡献通过施加单调性，为始终观察到的亚群中的MTE提供了逐点的锐界假设处理对每个代理的样本选择有积极影响。通过施加额外的平均优势假设，即在始终观察到的亚群体内处理时的潜在结果大于或等于仅在处理时观察到的亚群体内的相同参数，这些边界被收紧。如果仪器是连续的，可以使用LIV方法估计这两个界限，使用基于Mogstad et al.（2018）开发的方法的非参数外集，或使用基于Brinch et al.（2017）提出的策略的参数模型。这种界限有助于分析将内生自我选择纳入治疗和样本选择的任何实证问题。我的主要经验发现表明，就业公司培训计划（JCTP）对就业、小时劳动收入和小时工资的边际待遇效应随着非西班牙裔群体中潜在的异质性变量而增加。更具体地说，虽然最有可能参加JCTP的代理的MTE非常小，但最不可能参加JCTP的代理的MTE相当大。

从经济角度来看，这一结果意味着，由于一些未观察到的约束，更有可能从JCTP中受益的代理人没有注意到它。Chen等人（2017年）也发现了类似的结果，他们的经验证据表明，JCTP对从不采取行动的人的就业和劳动收入的影响是显著积极的。他们认为，由于家庭限制（缺乏托儿服务）、JCTP福利信息不完整、过度自信或个人偏好，这些代理人没有加入JCTP。对参加JCTP的代理人为何不参加JCTP进行更全面的分析超出了本文的范围，但这是未来研究的一个重要问题，因为这可能有助于决策者更好地将JCTP定位于从该计划中受益最多的人群。参考Sahn，H.&Powell，J.L.（1993），“非参数选择机制下截尾选择模型的半参数估计”，《计量经济学杂志》58，第3-29页。Altonji，J.（1993），“教育结果不确定时的教育需求和教育回报”，《劳动经济学杂志》11（1），第48-83页。Angelucci，M.、Karlan，D.和Zinman，J.（2015），“小额信贷影响：来自Comportamos Banco随机小额信贷计划安排实验的证据”，《美国经济杂志：应用经济学》第7（1）页，第151-182页。Angrist，J.、Bettinger，E.和Kremer，M.（2006），“二级教育券的长期教育后果：哥伦比亚行政记录的证据”，《美国经济评论》96（3），847–862。URL：http://www.jstor.org/stable/30034075Angrist，J.、Lang，D.&Oreopoulos，P.（2009），“大学成就的激励和服务：随机试验的证据”，《美国经济杂志：应用经济学1》（1），第1-28页。Behaghel，L.、Crepon，B.、Gurgand，M.&Barbanchon，T.L。

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A、 2等式（5）的证明首先，观察ms（x，u）：=E[S | x=x，u=u]=P[Q（0，x）≥ V | X=X，U=U]（A.1）通过方程式（2），mS（X，U）：=E[S | X=X，U=U]=P[Q（1，X）≥ V | X=X，U=U]（A.2）通过方程式（2），S（x，u）：=E[S- S | X=X，U=U]=毫秒（X，U）- mS（x，u）=P[Q（1，x）≥ V>Q（0，X）| X=X，U=U]通过方程（A.1）和（A.2）和假设（8）=P[S=0，S=1 | X=X，U=U]（A.3）通过方程（2），和NOY（x，u）：=E[Y- Y | X=X，U=U，S=0，S=1]=E[S·Y*- S·Y*|X=X，U=U，S=0，S=1]=E[Y*|X=X，U=U，S=0，S=1]。（A.4）还要注意：mY（x，u）：=E[Y | x=x，u=u]=E[S·Y*|X=X，U=U]=E[Y*|X=X，U=U，S=1，S=1]·P[S=1 | X=X，U=U]+E[Y*|X=X，U=U，S=0，S=1]·P[S=0，S=1 | X=X，U=U]根据假设8和迭代期望定律=E[Y*|X=X，U=U，S=1，S=1]·mS（X，U）+NOY（x，u）·S（x，u）（A.5）由方程式（A.1）、（A.3）和（A.4）得出，这意味着经过某种重新排列后的方程式（5）。A、 3命题证明10注意*≤ E【Y】*|X=X，U=U，S=1，S=1]≤ y*（A.6）根据y的定义*和y*. 也请注意thaty*≤ NOY（x，u）≤ y*根据方程式（A.4）和y的定义*和y*, 通过等式（5），意味着*|X=X，U=U，S=1，S=1]≤mY（x，u）- y*· 假设7.1下的S（x，u）mS（x，u）（A.7），mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）≤ E【Y】*|假设7.2下的X=X，U=U，S=1，S=1]（A.8），以及my（X，U）- y*· S（x，u）mS（x，u）≤ E【Y】*|X=X，U=U，S=1，S=1]≤mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）。（A.9）根据假设7.3（子案例（A）或（b））。结合方程式（A.6）-（A.9），很容易看出命题10成立。A、 4定理12的证明首先，我在假设7.3下证明定理12（子情形（A）和（b））。在本节末尾，我在假设7.1和7.2下证明了定理12。A、 4.1假设7.3下的证明（子案例（A）和（b））确定u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈OOY公司*（x，u），OOY公司*（x，u）任意地。

为简洁起见，定义α（x，u）：=δ（x，u）+mY（x，u）mS（x，u）和γ（x，u）：=mY（x，u）- α（x，u）·mS（x，u）S（x，u）。注意δ（x，u）∈OOY公司*（x，u），OOY公司*（x，u）<=> α（x，u）∈最大值mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u），y*,最小值（mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u），y*)!y*, y*,（A.10）和α（x，u）∈mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u），mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）！<=> γ（x，u）∈y*, y*.（A.11）该证明的策略包括确定候选随机变量Y*,Y*,U，▄V通过其联合累积分布函数FY*,Y*,~U、~V、Z、x，然后检查等式（15）、（16）和（17）是否满足。I fix（y、y、U、V、Z、x）∈ 兰德公司财务报表*,Y*,~U、~V、Z、Xin十二个步骤：步骤1。对于x/∈ X，FY*,Y*,U、~V、Z、X（y、y、U、V、Z、X）=FY*,Y*,U、 V，Z，X（y，y，U，V，Z，X）。第2步。从现在开始，考虑x∈ 十、自年月日起*,Y*,~U，~V，Z，X（y，y，U，V，Z，X）=F ~y*,Y*,U、~V、Z | X（y、y、U、V、Z | X）·FX（X），它有助于定义F | y*,Y*,U、~V、Z | X（y、y、U、V、Z | X）。此外，我认为⊥⊥Y*,Y*,U，▄VXby写入FY*,Y*,~U，~V，Z | X（y，y，U，V，Z | X）=Fy*,Y*,~U，~V | X（y，y，U，V | X）·FZ | X（z | X），表示有足够的能力定义F | y*,Y*,U，| V | X（y，y，U，V | X）。第3步。对于u/∈ [0，1]，定义为*,Y*,~U，~V | X（y，y，U，V | X）=FY*,Y*,U、 V | X（y，y，U，V | X）。第4步。从现在开始，考虑你∈ [0, 1]. 自年月日起*,Y*,U，▄V | X（y，y，U，V | X）=F▄y*,Y*,V | X，U（y，y，V | X，U）·F | U | X（U | X），需要定义Fy*,Y*,V | X、~U（y，y，V | X，U）和F | U | X（U | X）。第5步。I定义FU | X（U | X）=FU | X（U | X）=U。步骤6。对于任何u 6=u，定义FY*,Y*,V | X，~U（y，y，V | X，U）=FY*,Y*,V | X，U（y，y，V | X，U）。第7步。对于任何v/∈ [0，1]，定义为*,Y*,V | X，~U（y，y，V | X，U）=FY*,Y*,V | X，U（y，y，V | X，U）。第8步。从现在开始，考虑v∈ [0, 1].

自年月日起*,Y*,V | X，U（y，y，V | X，U）=Fy*,Y*|十、 ~U，~V（y，y | X，U，V）·F ~V | X，~U（V | X，U），有助于定义F | y*,Y*|十、 U、▄V（y，y | X，U，V）和F▄V | X、▄U（V | X，U）。步骤9。定义V | X，~U（V | X，U）=mS（x，u）·如果v≤ Q（0，x）mS（x，u）+S（x，u）·v- Q（0，x）Q（1，x）- Q（0，x）如果Q（0，x）<v≤ Q（1，x）mS（x，u）+1.- mS（x，u）v- Q（1，x）1- 如果Q（1，x）<v，则Q（1，x）。步骤10。我写FY*,Y*|十、 ~U，~V（y，y | X，U，V）=F ~y*|十、 U，V（y | X，U，V）·Fy*|十、 ~U，~V（y | X，U，V），意味着我可以单独定义Fy*|十、 U、▄V（y▄X，U，V）和F▄y*|十、 U，| V（y | X，U，V）。步骤11。当Y*是一个有界区间（假设7.3中的子情况（a）），定义为*|十、 U，V（y | X，U，V）=y≥mY（x，u）mS（x，u）如果v≤ Q（0，x）- - - - - - - - -- - - - - - - -y≥y*+ y*当y时，如果Q（0，x）<v*= 最大{y∈ Y*} 和y*= 最小{y∈ Y*} （假设7.3中的子案例（b）），同上*|十、 U，V（y | X，U，V）=如果y<y，则为0*和v≤ Q（0，x）1-mY（x，u）mS（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*和v≤ Q（0，x）1如果y*≤ 扬德五世≤ Q（0，x）- - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - --1{y≥ y*} 如果Q（0，x）<v，哪些是有效的累积分布函数，因为y（x，u）mS（x，u）∈y*, y*.步骤12。

当Y*是一个有界区间（假设7.3中的子情况（a）），定义为*|十、 U，V（y | X，U，V）=1{y≥ α（x，u）}如果v≤ Q（0，x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - -1{y≥ γ（x，u）}如果Q（0，x）<v≤ Q（1，x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - -y≥y*+ y*当y时，如果Q（1，x）<v*= 最大{y∈ Y*} 和y*= 最小{y∈ Y*} （假设7.3中的子案例（b）），同上*|十、 U，V（y | X，U，V）=如果y<y，则为0*和v≤ Q（0，x）1-α（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*和v≤ Q（0，x）1如果y*≤ 扬德五世≤ Q（0，x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - --如果y<y，则为0*Q（0，x）<v≤ Q（1，x）1-γ（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*Q（0，x）<v≤ Q（1，x）1如果y*≤ yand Q（0，x）<v≤ Q（1，x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - --1{y≥ y*} 如果Q（1，x）<v，由于方程式（A.10）和（A.11），这是有效的累积分布函数。定义了联合累积分布函数FY*,Y*,~U、~V、Z、X，注意等式（A.10）和（A.11），mY（X，U）mS（X，U）∈y*, y*步骤7-12确保等式（16）成立。现在，我用三个步骤证明，等式（15）成立。步骤13。注意这一点*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=Eh▄Y*X=X，~U=U，Q（0，X）≥Viby▄砂的定义▄S=EhnQ（0，x）≥Vo· Y*X=X，~U=uiPhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui通过条件期望的定义=EhnQ（0，X）≥~Vo·Eh~Y*X=X，~U=U，~ViX=X，~U=uiPhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui根据迭代期望定律=Q（0，X）ZEh ~Y*X=X，~U=U，~V=vidF ~V | X，~U（V | X，U）PhQ（0，X）≥~VX=X，U=U，通过定义期望值和步骤7=Q（0，X）Zα（X，U）dF | V | X，U（V | X，U）PhQ（0，X）≥~VX=X，~U=U，步骤12=α（X，U）（A.12），步骤14中的勒贝格积分线性。

与上一步类似，请注意*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=Eh▄Y*X=X，~U=U，Q（0，X）≥Vi=EhnQ（0，x）≥Vo· Y*X=X，~U=uiPhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui=EhnQ（0，X）≥~Vo·Eh~Y*X=X，~U=U，~ViX=X，~U=uiPhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui=Q（0，X）ZEh ~Y*X=X，~U=U，~V=vidF ~V | X，~U（V | X，U）PhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui=Q（0，X）ZmY（X，U）mS（X，U）dF ~V | X，~U（V | X，U）PhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui，步骤11=mY（X，U）mS（X，U）。（A.13）步骤15。请注意OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=Eh▄Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i- EhY*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=α（X，U）-mY（x，u）mS（x，u）通过方程（A.12）和（A.13）=δ（x，u）通过α（x，u）的定义，确保方程（15）成立。最后，我通过两个步骤说明等式（17）是成立的。步骤16。固定（y、d、s、z）∈ 罕见地观察到，方程式（17）可以简化为：FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）<=>F▄Y，▄D，▄S，Z▄X（Y，D，S，Z▄X）·FX（X）=FY，D，S，Z▄X（Y，D，S，Z▄X）·FX（X）<=>F▄Y，▄D，▄S，Z | X（Y，D，S，Z | X）=FY，D，S，Z | X（Y，D，S，Z | X）（A.14）步骤17。

请注意，f▄Y，▄D，▄S，Z | X（Y，D，S，Z | X）=Ehn▄Y、▄D、▄S、Z≤ （y、d、s、z）oX=xi=锌▄Y、▄D、▄S、Z≤ （y、d、s、z）odFy*,Y*,U，▄V，Z | X（y，y，U，V，Z | X），因为▄Y、▄D、▄S、Z是的功能Y*,Y*,U、▄V、Z=Zhn公司▄Y、▄D、▄S、Z≤ （y，d，s，z）o·1{u 6=u}idF▄y*,Y*,U、~V、Z | X（y、y、U、V、Z | X）+Zhn▄Y、▄D、▄S、Z≤ （y，d，s，z）o·1{u=u}idF▄y*,Y*,通过Lebesgue积分的线性度=Zhn，U，~V，Z | X（y，y，U，V，Z | X）▄Y、▄D、▄S、Z≤ （y，d，s，z）o·1{u 6=u}idF▄y*,Y*,因为PhU=U，所以U，V，Z | X（y，y，U，V，Z | X）X=xi=0，步骤5=Z[1{（Y，D，S，Z）≤ （y，d，s，z）}·1{u 6=u}]dFY*,Y*,U、 V，Z | X（y，y，U，V，Z | X），步骤2-6=Z[1{（y，D，S，Z）≤ （y，d，s，z）}·1{u 6=u}]dFY*,Y*,U、 V，Z | X（y，y，U，V，Z | X）+Z[1{（y，D，S，Z）≤ （y，d，s，z）}·1{u=u}]dFY*,Y*,U、 V，Z | X（y，y，U，V，Z | X），因为P[U=U | X=X]=0=Z1{（y，D，S，Z）≤ （y，d，s，z）}dFY*,Y*,U、 V，Z | X（y，y，U，V，Z | X）通过Lebesgue积分的线性=E[1{（y，D，S，Z）≤ （y，d，s，z）}| X=X]=FY，d，s，z | X（y，d，s，z | X），根据方程式（A.14）表示方程式（17）。然后我可以得出结论，定理12是真的。作为备注，上述构造性证明定义了随机变量Y*,Y*,U，▄V这与真实数据生成过程中的其他重要时刻相匹配，除了定理12所规定的时刻。备注1。请注意，pH▄S=1，▄S=1X=X，~U=ui=PhQ（0，X）≥~VX=X，~U=ui，通过第9步定义▄砂▄S=mS（X，U）（A.15），同样，pH▄S=0，~S=1X=X，~U=ui=PhQ（1，X）≥V>Q（0，x）X=X，~U=ui=S（x，u）。（A.16）备注2。与方程式（A.12）类似，我发现*X=X，~U=U，~S=0，~S=1i=γ（X，U）。（A.17）备注3。结合方程式（A.5），（A.12）和（A.15）-（A.17），我得到了X=X，~U=ui=mY（X，U）。备注4。