与步骤17类似，我可以显示FY*,Y*,V（y，y，V）=FY*,Y*,V（y，y，V），意味着Y*di<+∞ 和EY*d< +∞ 对于任何d∈ {0, 1}.A、 4.2假设7.1和7.2I下的证明，现在，在假设7.1和7.2下证明定理12。我特别关注案例y*> -∞ 和y*= +∞ （假设7.1），因为它在经验应用中更为常见。案例y*= -∞ 和y*< +∞ （假设7.2）是对称的。假设7.1下的证明等于假设7.3（a）下的证明。唯一的区别是δ（x，u）∈OOY公司*（x，u），OOY公司*（x，u）<=> α（x，u）∈y*,mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）！y*, +∞,（A.18）和α（x，u）∈y*,mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）！<=> γ（x，u）∈y*, +∞.（A.19）A.5命题13的证明该证明本质上与假设7.3下定理12的证明相同。（a） （附录a.4.1）。修复u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈ R任意。为简洁起见，定义α（x，u）：=δ（x，u）+mY（x，u）mS（x，u）和γ（x，u）：=mY（x，u）- α（x，u）·mS（x，u）S（x，u）。注意α（x，u）∈ R=Y*和γ（x，u）∈ R=Y*.我定义了随机变量Y*,Y*,U，▄V使用联合累积分布函数FY*,Y*,对于凸支架的情况，附录A.4.1中步骤1-12所述的U、~V、Z、x*. 注意，当Y*= R、 此外，根据附录A.4.1中步骤13-17中描述的参数，等式（18）和（20）是有效的。然后我可以得出结论，命题13是正确的。A、 6比较推论11和14为了比较推论11和14，我首先证明第二推论提供的下界略大于第一推论提供的下界。修复u∈ [0，1]和x∈ 任意取X，注意my（X，u）mS（X，u）=E[S·Y*| X=X，U=U]P[S=1 | X=X，U=U]=E[Y*| X=X，U=U，S=1]，意味着y*≤mY（x，u）mS（x，u）≤ y*.

因此，请注意my（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）≤mY（x，u）-mY（x，u）mS（x，u）·S（x，u）mS（x，u）=我的（x，u）mS（x，u）。上面的论证表明，推论14提供的边界比推论11提供的边界弱紧。如果y*<mY（x，u）mS（x，u）<y*.此外，平均优势假设9产生的改善是成比例的（x，u）mS（x，u）- y*和y*-mY（x，u）mS（x，u）因为mY（x，u）mS（x，u）-mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）=S（x，u）·y*· mS（x，u）- mY（x，u）mS（x，u）·mS（x，u）。A、 7命题15的证明该证明本质上与定理12和命题13的证明相同（附录A.4和A.5）。修复u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈OOY公司*（x，u），OOY公司*（x，u）任意地。为简洁起见，定义α（x，u）：=δ（x，u）+mY（x，u）mS（x，u）和γ（x，u）：=mY（x，u）- α（x，u）·mS（x，u）S（x，u）。与之前的证明唯一不同的是，现在*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=α（X，U），通过方程式（A.12）≥mY（x，u）mS（x，u）（A.20），因为δ（x，u）≥ OOY公司*（x，u）和thatEhY*X=X，~U=U，~S=0，~S=1i=γ（X，U），通过方程式（A.17）=mY（X，U）- α（x，u）·mS（x，u）S（x，u）≤mY（x，u）-mY（x，u）mS（x，u）·mS（x，u）通过方程式（A.20）得出的S（x，u）=mY（x，u）mS（x，u），这意味着模型限制（31）成立。A、 8等式（34）和（35）的证明首先证明等式（34）成立。

对于任何A∈ {Y，S}，通过方程（1）观察E[A | X=X，P（W）=P，D=0]=E[A | X=X，P（W）=P，D=0]=E[A | X=X，P（W）=P，P（W）<U]=E[A | X=X，P<U]，通过假设（1）=E[1{P<U}·A | X=X]P[P通过定义条件期望=E[1{P<U}·A | X=X]1- pby归一化U | X~ 均匀[0，1]=E[1{p<U}·E[A | X=X，U=U]| X=X]1- pby迭代期望定律=RpmA（x，u）du1- pby归一化U | X~ 一致[0，1]，意味着E[A | X=X，P（W）=P，D=0]p=-mA（x，p）1- p+E[1{p<U}·A | X=X]（1- p）=-mA（x，p）1- p+E[1{p<U}·A | X=X]（1- p） ·p[p<U | X=X]通过归一化U | X~ 统一[0，1]=-mA（x，p）1- p+E[A | X=X，p（W）=p，D=0]1- 预先排列最后一个表达式，我可以导出方程（34）：mA（x，p）=E[A | x=x，p（W）=p，D=0]-E[A | X=X，P（W）=P，D=0]p·（1）- p） 。方程（35）以类似的方式使用E[A | X=X，P（W）=P，D=1]及其相对于倾向得分的导数推导而来。A、 9等式（40）和（41）的证明我们首先证明等式（40）成立。对于任何A∈ {Y，S}，观察e[A | X=X，P（W）=pn，D=0]=RpnmA（X，u）du1- Pn根据附录A.8=RpnMAu、 θAx，0du1- pnby方程（38）。方程（41）以类似的方式使用E[A | X=X，P（W）=pn，D=1]导出。

A、 MTEOOA的10个参数界限。10.1将OLS模型（42）连接到最小化问题（39）注意，对于任何z∈ {0，1}，RP（z）MAu、 θAdu1- P（z）=RP（z）θA0,0·（1- u） +θA0,1·udu1- P（z）=θA0,0+θA0,1+-θA0,0+θA0,1·P（z）=aA+bA·P（z），（A.21），其中aA：=θA0,0+θA0,1和bA：=-θA0,0+θA0,1和Rp（z）MAu、 θAduP（z）=RP（z）θA1,0·（1- u） +θA1,1·uduP（z）=θA1,0+-θA1,0+θA1,1·P（z）=aA+bA·P（z），（A.22），其中aA：=θA1,0，bA：=-θA1,0+θA1,1。当我结合方程（39）、（A.21）和（A.22）时，我发现方程（42）给出了OLS模型。此外，通过求解aA=θA0,0+θA0,1，bA给出的线性系统=-θA0,0+θA0,1，aA=θA1,0和bA=-θA1,0+θA1,1，发现θA0,0=aA- bA，θA0,1=aA+bA，θA1,0=aA，θA1,1=aA+2·bA。A、 10.2推论11和14中边界的显式公式当边际处理响应函数由第6.2小节中描述的参数模型给出，且相关结果的边界小于零（例如，小时数），推论11意味着，对于任何x∈ X和u∈ [0, 1],OOY公司*（x，u）≥ -θY0,0·（1- u） +θY0,1·uθS0,0·（1- u） +θS0,1·u，（A.23）和OOY公司*（x，u）≤θY1,0·（1- u） +θY1,1·uθS0,0·（1- u） +θS0,1·u-θY0,0·（1- u） +θY0,1·uθS0,0·（1- u） +θS0,1·u.（A.24）在相同的上下文中，推论14意味着OOY公司*（x，u）≥θY1,0·（1- u） +θY1,1·uθS1,0·（1- u） +θS1,1·u-θY0,0·（1- u） +θY0,1·uθS0,0·（1- u） +θS0,1·u，（A.25）和OOY公司*（x，u）≤θY1,0·（1- u） +θY1,1·uθS0,0·（1- u） +θS0,1·u-θY0,0·（1- u） +θY0,1·uθS0,0·（1- u） +θS0,1·u.（A.26）B仅在处理亚群时观察到的MTR范围内。在这里，我使用第3节的相同符号，并且我对以下目标参数感兴趣：mNO（x，u）：=E[Y*|X=X，U=U，S=0，S=1]，等于根据方程式（A.4）不适用。

按照命题10证明的相同步骤，我可以证明：推论B.1假设mY（x，u）、mY（x，u）、mS（x，u）和S（x，u）为点识别。在假设1-6、7.1和8下，mNO（x，u）的界限由mNO（x，u）：=y给出*≤ mNO（x，u）≤mY（x，u）- y*· mS（x，u）S（x，u）=：mNO（x，u）。（B.1）在假设1-6、7.2和8下，mNO（x，u）的界限由mNO（x，u）：=mY（x，u）给出- y*· mS（x，u）S（x，u）≤ mNO（x，u）≤ y*=:mNO（x，u）。（B.2）在假设1-6、7.3（子情况（a）或（B））和8下，mNO（x，u）的界限由mNO（x，u）给出：=mY（x，u）- y*· mS（x，u）S（x，u）≤ mNO（x，u）≤mY（x，u）- y*· mS（x，u）S（x，u）=：mNO（x，u）。（B.3）根据定理12的相同证明（见附录A.4.1末尾的备注2），Ican还表明：命题B.2假设函数mY、mY、mSand每对（x，u）的Sare点识别∈ X×[0，1]。在假设1-6、7（子案例1、2、3（a）或3（b））和8下，命题b.1给出的边界mnoa和mNO是逐点尖锐的，即对于anyu∈ [0，1]，x∈ X和γ（X，u）∈mNO（x，u），mNO（x，u）, 存在随机变量Y*,Y*,U，▄V使得▄mNO（x，u）：=Eh▄Y*X=X，~U=U，~S=0，~S=1i=γ（X，U），（B.4）PhY*,Y*,~V∈ Y*×Y*× [0, 1]对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ [0，1]，（B.5）和fY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）（B.6），对于任何（Y，D，S，Z）∈ R、 式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，~S=1nQ（0，X）≥Vo，~S=nQ（1，X）≥Vo，Y=S·Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·~Y.最后，根据命题13的相同证明，我还可以证明：命题B.3假设函数mY，mY，mSand每对（x，u）的Sare点识别∈ X×[0，1]。施加假设1-6和8。

如果Y*= R、 那么，对于安宇来说∈ [0，1]，x∈ X和γ（X，u）∈ R、 存在随机变量Y*,Y*,U，▄V使得▄mNO（x，u）：=Eh▄Y*X=X，~U=U，~S=0，~S=1i=γ（X，U），（B.7）PhY*,Y*,~V∈ Y*×Y*× [0, 1]对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ [0，1]，（B.8）和fY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）（B.9），对于任何（Y，D，S，Z）∈ R、 式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，~S=1nQ（0，X）≥Vo，~S=nQ（1，X）≥Vo，Y=S·Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·Y.C消极处理对选择指标的影响当样本选择是单调的（方程式（2））时，假设8在一些经验应用中可能无效。特别是，以下假设可能成立：假设C.1治疗对所有个体的样本选择指标有负面影响，即任何x的Q（0，x）>Q（1，x）>0∈ 十、我强调，根据Machado et al.（2018），这一假设是可以检验的。通过直接修改推论11、定理12和命题13的证明（参见命题D.3和D.4的证明），我可以证明第3节中的目标参数是有界的，其界是尖锐的，并且不可能仅在假设1-6和C.1的情况下导出目标参数的界。首先，我陈述了一个类似于推论11的结果。推论C.2固定u∈ [0，1]和x∈ 任意X。假设mY（x，u）、mY（x，u）、mS（x，u）和S（x，u）为点识别。在假设1-6、7.1和C.1下OOY公司*（x，u）由OOY公司*（x，u）≥mY（x，u）mS（x，u）-mY（x，u）- y*· (-S（x，u））mS（x，u）=：∧OOY*（x，u）（C.1）和OOY公司*（x，u）≤mY（x，u）mS（x，u）- y*=:∧OOY*（x，u）。（C.2）在假设1-6、7.2和C.1下OOY公司*（x，u）由OOY公司*（x，u）≥mY（x，u）mS（x，u）- y*=:∧OOY*（x，u）（C.3）和OOY公司*（x，u）≤mY（x，u）mS（x，u）-mY（x，u）- y*· (-S（x，u））mS（x，u）=：∧OOY*（x，u）。

（C.4）在假设1-6、7.3（子案例（a）或（b））和C.1下OOY公司*（x，u）由给出OOY公司*（x，u）≥mY（x，u）mS（x，u）- 最小值（mY（x，u）- y*· (-S（x，u））mS（x，u），y*)=:∧OOY*（x，u）（C.5）和OOY公司*（x，u）≤mY（x，u）mS（x，u）- 最大值mY（x，u）- y*· (-S（x，u））mS（x，u），y*=:∧OOY*（x，u）。（C.6）其次，我陈述了一个类似于定理12的结果。命题C.3假设函数mY、mY、mSand每对（x，u）的Sare点识别∈ X×[0，1]。在假设1-6、7（子案例1、2、3（a）或3（b））和C.1下，边界∧OOY*和∧OOY*, 由命题C.2给出，是逐点尖锐的，即对于任何u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈∧OOY*（x，u），∧OOY*（x，u）, 存在随机变量Y*,Y*,U，▄V因此OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=δ（X，U），（C.7）PhY*,Y*,~V∈ Y*×Y*× [0, 1]对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ [0，1]，（C.8）和fY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）（C.9），对于任何（Y，D，S，Z）∈ R、 式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，~S=1nQ（0，X）≥Vo，~S=nQ（1，X）≥Vo，Y=S·Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·~Y.最后，我陈述了一个类似于命题13的结果。命题C.4假设函数mY、mY、mSand每对（x，u）的Sare点识别∈ X×[0，1]。施加假设1-6和C.1。如果Y*= R、 那么，对于安宇来说∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈ R、 存在随机变量Y*,Y*,U，▄V因此OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=δ（X，U），（C.10）PhY*,Y*,~V∈ Y*×Y*× [0, 1]对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ [0，1]，（C.11）和fY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）（C.12），对于任何（Y，D，S，Z）∈ R、 式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，~S=1nQ（0，X）≥Vo，~S=nQ（1，X）≥Vo，Y=S·Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·Y.D单调样本选择取决于Machado等人提出的测试结果。

（2018），一位研究人员可能想对单调选择问题的方向持不可知态度，只施加公式（2），同时排除无趣的情况。在这种情况下，可以合理地假设：假设D.1处理对所有个体的样本选择指标有单调影响，即（i）Q（1，x）>Q（0，x）>0，对于任何x∈ X或（ii）对于任何X，Q（0，X）>Q（1，X）>0∈ 十、请注意，假设D.1仅通过排除假设（8）之后提到的理论上无趣的情况来加强方程（2）。通过组合推论11和C.2，我发现：推论D.2固定u∈ [0，1]和x∈ 任意X。假设mY（x，u）、mY（x，u）、mS（x，u）和S（x，u）为点识别。在假设1-6、7和D.1下OOY公司*（x，u）由ΥOOY给出*（x，u）：=明尼苏达州OOY公司*（x，u），∧OOY*（x，u）o≤ OOY公司*（x，u）（D.1）≤ 最大值OOY公司*（x，u），∧OOY*（x，u）o=：ΥOOY*（x，u）此外，这些界限也是逐点尖锐的：命题D.3假设函数mY，mY，mSand每对（x，u）的Sare点识别∈ X×[0，1]。

在假设1-6、7（子案例1、2、3（a）或3（b））和D.1下，边界ΥOOY*和ΥOOY*, 由推论D.2给出，是逐点尖锐的，即对于任何u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈ΥOOY*（x，u），ΥOOY*（x，u）, 存在随机变量Y*,Y*,U，▄V因此OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=δ（X，U），（D.2）命题D.3和D.4的证明位于附录D的末尾。PhY*,Y*,~V∈ Y*×Y*× [0, 1]对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ [0，1]，（D.3）和fY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）（D.4），对于任何（Y，D，S，Z）∈ R、 式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，~S=1nQ（0，X）≥Vo，~S=nQ（1，X）≥Vo，Y=S·Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·~Y.最后，我陈述了一个类似于命题13的不可能结果。命题D.4假设函数mY、mY、mSand每对（x，u）的Sare点识别∈ X×[0，1]。施加假设1-6和D.1。如果Y*= R、 那么，对于安宇来说∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈ R、 存在随机变量Y*,Y*,U，▄V因此OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=δ（X，U），（D.5）PhY*,Y*,~V∈ Y*×Y*× [0, 1]对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ [0，1]，（D.6）和fY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）（D.7），对于任何（Y，D，S，Z）∈ R、 式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，~S=1nQ（0，X）≥Vo，~S=nQ（1，X）≥Vo，Y=S·Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·Y.命题D的证明。我仅在假设7.3（子类（a）和（b））下证明命题D.3。假设7.1和7.2下命题D.3的证明是对以下证明的细微修改。修复u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈ΥOOY*（x，u），ΥOOY*（x，u）任意地。

为简洁起见，定义α（x，u）：=1{Q（1，x）>Q（0，x）}·δ（x，u）+mY（x，u）mS（x，u）+ 1{Q（1，x）<Q（0，x）}·-δ（x，u）+mY（x，u）mS（x，u）,γ（x，u）：=1{Q（1，x）>Q（0，x）}·mY（x，u）- α（x，u）·mS（x，u）S（x，u）+ 1{Q（1，x）<Q（0，x）}·mY（x，u）- α（x，u）·mS（x，u）-S（x，u）,Q（x）=最小值{Q（0，x），Q（1，x）}，Q（x）=最大值{Q（0，x），Q（1，x）}，mS（x，u）=最小值mS（x，u），mS（x，u）对于任何x∈ X，andmS（X，u）=最大值mS（x，u），mS（x，u）对于任何x∈ 十、注意α（x，u）∈y*, y*, （D.8）和γ（x，u）∈y*, y*. （D.9）该证明的策略包括确定候选随机变量Y*,Y*,U，▄V通过其联合累积分布函数FY*,Y*,~U、~V、Z、x，然后检查方程式（D.2）、（D.3）和（D.4）是否满足。I fix（y、y、U、V、Z、x）∈ 兰德公司财务报表*,Y*,~U、~V、Z、Xin十二个步骤：步骤1。对于x/∈ X，FY*,Y*,U、~V、Z、X（y、y、U、V、Z、X）=FY*,Y*,U、 V，Z，X（y，y，U，V，Z，X）。第2步。从现在开始，考虑x∈ 十、自年月日起*,Y*,~U，~V，Z，X（y，y，U，V，Z，X）=F ~y*,Y*,U、~V、Z | X（y、y、U、V、Z | X）·FX（X），它有助于定义F | y*,Y*,U、~V、Z | X（y、y、U、V、Z | X）。此外，我认为⊥⊥Y*,Y*,U，▄VXby写入FY*,Y*,~U，~V，Z | X（y，y，U，V，Z | X）=Fy*,Y*,~U，~V | X（y，y，U，V | X）·FZ | X（z | X），表示有足够的能力定义F | y*,Y*,U，| V | X（y，y，U，V | X）。第3步。对于u/∈ [0，1]，定义为*,Y*,~U，~V | X（y，y，U，V | X）=FY*,Y*,U、 V | X（y，y，U，V | X）。第4步。从现在开始，考虑你∈ [0, 1]. 自年月日起*,Y*,U，▄V | X（y，y，U，V | X）=F▄y*,Y*,V | X，U（y，y，V | X，U）·F | U | X（U | X），需要定义Fy*,Y*,V | X、~U（y，y，V | X，U）和F | U | X（U | X）。第5步。I定义FU | X（U | X）=FU | X（U | X）=U。步骤6。对于任何u 6=u，定义FY*,Y*,V | X，~U（y，y，V | X，U）=FY*,Y*,V | X，U（y，y，V | X，U）。第7步。对于任何v/∈ [0，1]，定义为*,Y*,V | X，~U（y，y，V | X，U）=FY*,Y*,V | X，U（y，y，V | X，U）。第8步。从现在开始，假设v∈ [0, 1].

自年月日起*,Y*,V | X，U（y，y，V | X，U）=Fy*,Y*|十、 ~U，~V（y，y | X，U，V）·F ~V | X，~U（V | X，U），有助于定义F | y*,Y*|十、 U、▄V（y，y | X，U，V）和F▄V | X、▄U（V | X，U）。步骤9。定义V | X，~U（V | X，U）=mS（x，u）·如果v≤ Q（x）mS（x，u）+mS（x，u）- mS（x，u）·v- Q（x）Q（x）- Q（x）如果Q（x）<v≤ Q（x）mS（x，u）+1.- mS（x，u）v- Q（x）1- 如果Q（x）<v，则为Q（x）。步骤10。我写FY*,Y*|十、 ~U，~V（y，y | X，U，V）=F ~y*|十、 U，V（y | X，U，V）·Fy*|十、 ~U，~V（y | X，U，V），意味着我可以单独定义Fy*|十、 U、▄V（y▄X，U，V）和F▄y*|十、 U，| V（y | X，U，V）。步骤11。

当Q（1，x）>Q（0，x）和Y时*是一个有界区间（假设7.3中的子情况（a）），定义为*|十、 U，V（y | X，U，V）=y≥mY（x，u）mS（x，u）如果v≤ Q（x）- - - - - - - - -- - - - - - - -y≥y*+ y*如果Q（x）<v.当Q（1，x）>Q（0，x）和y*= 最大{y∈ Y*} 和y*= 最小{y∈ Y*} （假设7.3中的子案例（b），定义为*|十、 U，V（y | X，U，V）=如果y<y，则为0*和v≤ Q（x）1-mY（x，u）mS（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*和v≤ Q（x）1如果y*≤ 扬德五世≤ Q（x）- - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - --1{y≥ y*} 如果Q（x）<v，哪些是有效的累积分布函数，因为y（x，u）mS（x，u）∈y*, y*.当Q（1，x）<Q（0，x）和Y时*是一个有界区间（假设7.3中的子情况（a）），定义为*|十、 U，V（y | X，U，V）=1{y≥ α（x，u）}如果v≤ Q（x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - -1{y≥ γ（x，u）}如果Q（x）<v≤ Q（x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - -y≥y*+ y*如果Q（x）<v.当Q（1，x）<Q（0，x）和y*= 最大{y∈ Y*} 和y*= 最小{y∈ Y*} （假设7.3中的子案例（b），定义为*|十、 U，V（y | X，U，V）=如果y<y，则为0*和v≤ Q（x）1-α（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*和v≤ Q（x）1如果y*≤ 扬德五世≤ Q（x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - --如果y<y，则为0*Q（x）<v≤ Q（x）1-γ（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*Q（x）<v≤ Q（x）1如果y*≤ yand Q（x）<v≤ Q（x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - --1{y≥ y*} 如果Q（x）<v，由于方程（D.8）和（D.9），这是有效的累积分布函数。步骤12。

当Q（1，x）>Q（0，x）和Y时*是一个有界区间（假设7.3中的子情况（a）），定义为*|十、 U，V（y | X，U，V）=1{y≥ α（x，u）}如果v≤ Q（x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - -1{y≥ γ（x，u）}如果Q（x）<v≤ Q（x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - -y≥y*+ y*如果Q（x）<v.当Q（1，x）>Q（0，x）和y*= 最大{y∈ Y*} 和y*= 最小{y∈ Y*} （假设7.3中的子案例（b），定义为*|十、 U，V（y | X，U，V）=如果y<y，则为0*和v≤ Q（x）1-α（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*和v≤ Q（x）1如果y*≤ 扬德五世≤ Q（x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - --如果y<y，则为0*Q（x）<v≤ Q（x）1-γ（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*Q（x）<v≤ Q（x）1如果y*≤ yand Q（x）<v≤ Q（x）- - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - --1{y≥ y*} 如果Q（x）<v，由于方程式（A.10）和（A.11），这是有效的累积分布函数。当Q（1，x）<Q（0，x）和Y时*是一个有界区间（假设7.3中的子情况（a）），定义为*|十、 U，V（y | X，U，V）=y≥mY（x，u）mS（x，u）如果v≤ Q（x）- - - - - - - - -- - - - - - - -y≥y*+ y*如果Q（x）<v.当Q（1，x）<Q（0，x）和y*= 最大{y∈ Y*} 和y*= 最小{y∈ Y*} （假设7.3中的子案例（b），定义为*|十、 U，V（y | X，U，V）=如果y<y，则为0*和v≤ Q（x）1-mY（x，u）mS（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*和v≤ Q（x）1如果y*≤ 扬德五世≤ Q（x）- - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - --1{y≥ y*} 如果Q（x）<v，哪些是有效的累积分布函数，因为y（x，u）mS（x，u）∈y*, y*.定义了联合累积分布函数FY*,Y*,~U、~V、Z、X，注意等式（D.8）和（D.9），事实m y（X，U）mS（X，U）∈y*, y*andmY（x，u）mS（x，u）∈y*, y*, 步骤7-12确保方程式（D.3）成立。现在，我通过三个步骤证明，等式（D.2）成立。步骤13。

注意这一点*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=1{Q（1，X）>Q（0，X）}·α（X，U）+1{Q（1，X）<Q（0，X）}·mY（X，U）mS（X，U）。（D.10）步骤14。请注意*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=1{Q（1，X）>Q（0，X）}·mY（X，U）mS（X，U）+1{Q（1，X）<Q（0，X）}·α（X，U）。（D.11）步骤15。请注意，步骤13和14意味着OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=δ（X，U），确保方程（D.2）成立。最后，为了证明方程（D.4）成立，必须遵循附录A中的步骤16和17。4.1.然后我可以得出结论，命题D.3是正确的。命题D.4的证明。该证明与假设7.3下命题D.3的证明基本相同。（a） 。修复u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈ R任意。为简洁起见，定义α（x，u）：=1{Q（1，x）>Q（0，x）}·δ（x，u）+mY（x，u）mS（x，u）+ 1{Q（1，x）<Q（0，x）}·-δ（x，u）+mY（x，u）mS（x，u）,γ（x，u）：=1{Q（1，x）>Q（0，x）}·mY（x，u）- α（x，u）·mS（x，u）S（x，u）+ 1{Q（1，x）<Q（0，x）}·mY（x，u）- α（x，u）·mS（x，u）-S（x，u）.注意α（x，u）∈ R=Y*和γ（x，u）∈ R=Y*.我定义了随机变量Y*,Y*,U，▄V使用联合累积分布函数FY*,Y*,凸支撑情况的最后证明中的步骤1-12所述的▄U、▄V、Z、x*. 注意，当Y*= R、 此外，方程（D.5）和（D.7）根据最后证明中描述的参数是有效的。然后我可以得出结论，命题D.4是正确的。在正文和附录C和D中，我通过方程（2）对样本选择问题施加了一些单调性条件。然而，在一些实证应用中，这一假设可能无效。

例如，在短期内，职业培训计划可以通过增加人力资本，将一些人从失业转移到就业，或者通过减少他们的劳动力市场经验，将他们从就业转移到失业。由于这是实证经济学中的一个常见特征，因此了解当样本选择不是单调的时，边际待遇效应可以发现什么很重要。为此，我放弃方程（2）并强加方程（1），假设1-6，假设7的一个小推广假设E.1我假设y*和y*都是已知的，这是1。y*= -∞, y*= ∞ 和Y*= R、 或2。y*> -∞, y*= ∞ 和Y*是一个间隔，或3。y*= -∞, y*< ∞ 和Y*是一个间隔，或4。y*> -∞, y*< ∞ 和（a）Y*是间隔或（b）y*∈ Y*和y*∈ Y*.我还施加了温和的规则性条件，以确保所有对象都得到很好的定义：假设E.2对于任何x∈ X和u∈ [0，1]，P[S=1，S=1]>0，（E.1）P[S=1，S=0]>0，（E.2）P[S=0，S=1]>0，（E.3）y*· mSd（x，u）- 对于任何d，mYd（x，u）>0∈ {0，1}，（E.4）和MYD（x，u）- y*· 对于任何d，mSd（x，u）>0∈ {0, 1} . （E.5）观察条件（E.4）和（E.5）由每个潜在利益结果的非退化条件分布隐含。最重要的是，上述假设也有助于为IT（Horowitz&Manski（2000））和theLAT EOO（Chen&Flores 2015，第2.4节）构建短于整个治疗效果支持的界限。一、 现在，证明，与IT Too和LAT EOO不同的是，没有方程（2）的兴趣结果（方程（3））的边界是无信息的，即没有单调样本选择的边界等于y*- y*, y*- y*. 形式上，我有：命题E.3假设函数mY，mY，mSand每对（x，u）的Sare点识别∈ X×[0，1]。施加方程式（1）和假设1-6和E.1-E.2。

那么，对于任何u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈y*- y*, y*- y*, 存在随机变量Y*,Y*,U，▄S，▄S因此OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=δ（X，U），（E.6）PhY*,Y*,~S，~S∈ Y*×Y*× {0, 1} × {0, 1}对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ [0，1]，（E.7）和f▄Y，▄D，▄S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）（E.8），对于任何（Y，D，S，Z）∈ R、 式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，▄S=▄D·▄S+1.-D·S，▄Y=▄S·▄Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·Y.命题E.3的证明。我仅在假设E.1.4（子案例（a）或（b））下证明命题E.3，因为这是要求更高的案例，并且其他案例是这一案例的平凡扩展。修复u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈y*- y*, y*- y*任意地。为简洁起见，定义（α（x，u），α（x，u））∈y*, y*使得δ（x，u）=α（x，u）- α（x，u），π（x，u）：=·心智∈{0,1}（最小值（mSd（x，u），y*· mSd（x，u）- mYd（x，u）y*- αd（x，u），mYd（x，u）- y*· mSd（x，u）αd（x，u）- y*)),γ（x，u）：=我的（x，u）- α（x，u）·π（x，u）mS（x，u）- π（x，u）和γ（x，u）：=mY（x，u）- α（x，u）·π（x，u）mS（x，u）- π（x，u）。注意，按构造，最小mS（x，u）+mS（x，u），1> π（x，u）>0和（γ（x，u），γ（x，u））∈y*, y*.该证明的策略包括确定候选随机变量Y*,Y*,U，▄S，▄S通过其联合累积分布函数FY*,Y*,~U、~S、~S、Z、x，然后检查等式（E.6）、（E.7）和（E.8）是否满足。I fix（y、y、U、S、S、Z、x）∈ 兰德公司*,Y*,~U、~S、~S、Z、Xin十二个步骤：步骤1。对于x/∈ X，FY*,Y*,U、▄S、▄S、Z、X（y、y、U、S、S、Z、X）=FY*,Y*,U、 S、S、Z、X（y、y、U、S、S、Z、X）。第2步。从现在开始，考虑x∈ 十、自年月日起*,Y*,~U、~S、~S、Z、X（y、y、U、S、S、Z、X）=F ~y*,Y*,U、▄S、▄S、Z▄X（y、y、U、S、S、Z▄X）·FX（X），需要定义F▄y*,Y*,~U、~S、~S、Z、X（y、y、U、S、S、Z、X）。

此外，我认为⊥⊥Y*,Y*,U，▄S，▄SXby写入FY*,Y*,~U、~S、~S、Z、X（y、y、U、S、S、Z、X）=F ~y*,Y*,U、~S、~S | X（y、y、U、S、S | X）·FZ | X（z | X），这意味着有能力定义F | y*,Y*,U、▄S、▄S | X（y、y、U、S、S | X）。第3步。对于u/∈ [0，1]，定义为*,Y*,U，￠S，~S | X（y，y，U，S，S | X）=FY*,Y*,U、 S，S | X（y，y，U，S，S | X）。第4步。从现在开始，考虑你∈ [0, 1]. 自年月日起*,Y*,U，￠S，￠S | X（y，y，U，S，S | X）=Fy*,Y*,S、~S | X、~U（y，y，S，S | X，U）·F | U | X（U | X），需要定义F | y*,Y*,S、▄S▄X、▄U（y、y、S、S▄X、U）和F▄U▄X（U▄X）。第5步。I定义FU | X（U | X）=FU | X（U | X）=U。步骤6。对于任何u 6=u，定义FY*,Y*,S，~S | X，~U（y，y，S，S | X，U）=FY*,Y*,S、 S | X，U（y，y，S，S | X，U）。第7步。对于任何/∈ {0，1}，定义为*,Y*,S，~S | X，~U（y，y，S，S | X，U）=FY*,Y*,S、 S | X，U（y，y，S，S | X，U）。第8步。从现在开始，考虑∈ {0, 1}. 自年月日起*,Y*,S，▄S▄X，▄U（y，y，S，S▄X，U）=F▄y*,Y*|十、 ~U、~S、~S（y，y | X，U，S，S）·F | S、~S | X、~U（S，S | X，U），确定F | y是有效的*,Y*|十、 ~U、~S、~S（y，y | X，U，S，S）和F | S、~S | X、~U（S，S | X，U）。步骤9。通过写入pH▄S=1，▄S=1来定义F▄S、▄S▄X、▄U（S，S▄X，UX=X，~U=ui=π（X，U）mS（X，U）+mS（X，U）- π（x，u）∈ （0，1），Ph▄S=1，▄S=0X=X，~U=ui=mS（X，U）- π（x，u）mS（x，u）+mS（x，u）- π（x，u）∈ （0，1），Ph▄S=0，▄S=1X=X，~U=ui=mS（X，U）- π（x，u）mS（x，u）+mS（x，u）- π（x，u）∈ （0，1），pH▄S=0，▄S=0X=X，~U=ui=0。步骤10。我写FY*,Y*|十、 U、▄S、▄S（y，y▄X，U，S，S）=F▄y*|十、 U、▄S、▄S（y▄X、U、S、S）·F▄y*|十、 ~U、~S、~S（y | X，U，S，S），意味着我可以单独定义Fy*|十、 U、▄S、▄S（y▄X、U、S、S）和F▄y*|十、 U、▄S、▄S（y▄X、U、S、S）。步骤11。

当Y*是一个有界区间（假设7.3中的子情况（a）），定义为*|十、 U、▄S、▄S（y▄X、U、S、S）=1{y≥ α（x，u）}如果（s，s）=（1，1）- - - - - - - - -- - - - - - - - - - - --1{y≥ γ（x，u）}如果（s，s）=（1，0）- - - - - - - - -- - - - - - - - - - - --y≥y*+ y*如果（s，s）∈ {(0, 0) , (0, 1)}.当y*= 最大{y∈ Y*} 和y*= 最小{y∈ Y*} （假设7.3中的子案例（b）），同上*|十、 U，V（y | X，U，V）=如果y<y，则为0*和（s，s）=（1，1）1-α（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*如果y，则（s，s）=（1，1）1*≤ yand（s，s）=（1，1）- - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - --如果y<y，则为0*和（s，s）=（1，0）1-γ（x，u）- y*y*- y*如果y*≤ y<y*如果y，则（s，s）=（1，0）1*≤ yand（s，s）=（1，0）- - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - --1{y≥ y*} （s，s）∈ {(0, 0) , (0, 1)}.这是有效的累积分布函数，因为α（x，u）∈y*, y*和γ（x，u）∈y*, y*.步骤12。