样本选择的边际处理效应的锐界

2022-6-14 12:50:36

在分析教育干预对短期和长期结果的影响以及程序法对诉讼结果的影响时，也存在这种双重选择问题。为了同时解决这两个识别挑战，我提出了一个广义Roy模型（Heckman&Vytlacil（1999））和样本选择，其中有一个感兴趣的结果，只有当个体自己选择样本时才能观察到。在样本选择指标的单调性假设下，我将边际治疗反应（MTR）函数分解为潜在可观察结果的加权平均值（I）总是被观察到的亚群体的兴趣结果的MTR和（ii）只有在治疗时才被观察到的亚群体的边际治疗反应（MTE）。在有界（单向）支持条件下，这种分解很有用，因为它允许我提出训练计划的逐点锐界，Heckman等人（1999）、Lee（2009）和Chen&Flores（2015）对此进行了研究。Altonji（1993）、Card（1999）和Carneiro等人（2011）对大学工资溢价进行了分析。Heckman&Borjas（1980）、Farber（1993）和Jacobson等人（1993）讨论了疤痕效应。Krueger&Whitmore（2001）、Angrist et al.（2006）、Angrist et al.（2009）、Chetty et al.（2011）和Dobbie&Jr.（2015）对一些教育干预进行了研究。CASS（1984年）、Sexton&Hebel（1984年）和美国卫生和公共服务部（2004年）对医疗进行了分析。Helland&Yoon（2017）讨论了诉讼结果。DeMel et al.（2013）和Angelucci et al。

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2022-6-14 12:50:40

(2015).MTE对始终观察到的亚群（MT EOO）内的利益结果的影响，作为（i）MTR对可观察到的结果的作用，（ii）潜在结果支持的最大值和（或）最小值，以及（iii）始终观察到的个体和仅在治疗个体时观察到的个体的比例的函数。我还表明，当潜在结果的支持是整个实线时，如果没有额外的假设，就不可能构造边界。在那之后，我强加了一个额外的平均优势假设，将一直观察到的种群与仅在治疗时观察到的种群进行比较，收紧了之前的界限。此外，在这个新的假设下，我证明了这些更紧的边界也是逐点尖锐的，并得出了一个信息性的下界，即使潜在结果的支持是整个实线。然后，我继续证明这些界限是完全确定的。当属性得分的支持度是一个区间时，通过将局部仪器变量方法（LIV，见Heckman&Vytlacil（1999））应用于可观察结果的期望和基于倾向得分和治疗状态的选择指标的期望，可以确定相关对象的点。然而，在许多实证应用中，倾向评分的支持是有限的。在这种情况下，我可以通过调整Mogstad et al.（2018）提出的非参数边界或Brinch et al.（2017）提出的灵活参数方法来确定MT EOOof兴趣的边界，以包含样本选择问题。当使用非参数方法时，MT EOOof兴趣的边界是包含真实MT EOO的简单外部集，即它们不再是逐点尖锐的。出于两个原因，部分确定权益很有用。

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大多数88

2022-6-14 12:50:43

首先，也是最重要的一点是，MT EOOcan的界限可用于阐明治疗效果的异质性，使研究人员能够了解谁会从特定治疗中受益，谁会从特定治疗中受损，正如Cornelissen et al.（2018）和Bhuller et al.（2019）最近所述。这些知识可用于优化设计政策，激励代理接受治疗。其次，MT EOO的边界可用于构建任何治疗效果参数的边界，该参数被写为MT EOO的加权积分。例如，通过对MT EOO的逐点夏普界限进行加权平均，可以将平均治疗效果（ATE）、对被治疗者的平均治疗效果（ATT）、任何局部平均治疗效果（LATE，Imbens&Angrist（1994））和任何与政策相关的治疗效果（PRTE，Heckman&Vytlacil（2001b））限定在始终观察到的亚群中。尽管这些界限对于任何特定参数都可能不太明确，但对于许多依赖于不同处理效果的经验问题，它们是灵活且易于应用的工具。最后，我通过分析就业团队培训计划（JCTP）对非西班牙裔就业亚群体小时工资的影响，说明了所提议的MT EOOof利益边界的有用性。我的框架是分析这一重要实验的理想选择，因为它通过关注MTE和使用部分识别策略的内生就业决策（样本选择），同时解决了不完美的依从性问题（自我选择治疗）。虽然我的MT EOObounds在仅使用单调性假设时不具信息性，但在平均优势假设下，它们是紧密和积极的，说明了在部分识别的情况下，外部假设的识别能力。

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2022-6-14 12:50:46

最有趣的是，我发现，参加该计划的可能性正在下降，这意味着从JCTP中受益最多的代理人参加该计划的可能性最小。作为这一结果的结果，我的估计表明，对于始终就业的亚群体，ATU大于ATT。此外，根据Machado等人（2018）提出的测试，我的LAT EOOare界限与Chen&Flores（2015）的估计值一致，JCTP对每个代理人的就业影响都是积极的。最后，作为我估计策略的副产品，我还发现，参加JCTP的就业MTE和小时工资的可能性正在下降，这一结果与Chen等人（2017）的估计上限一致。我对文献的三个分支做出了贡献：使用仪器识别治疗效果，通过样本选择识别治疗效果，以及工作培训计划的效果。它们都是巨大的，这里只简要地总结了一下。由于灵活性和清晰度之间的这种权衡，如果感兴趣的参数已经有了特定的界限（例如Lee的ITT（2009）和byChen&Flores的后期ITT（2015）），我建议使用专用工具。在有关仪器治疗效果的文献中，Imbens&Angrist（1994）表明，我们可以识别晚期。Heckman&Vytlacil（1999）、Heckman&Vytlacil（2005）和Heckman et al.（2006）定义了MTE，并解释了如何将任何治疗效果计算为MTE的加权平均值。然而，如果倾向评分的支持度不是单位区间，那么就不可能非参数地确定一些常见的治疗效果，如ATE、ATT和ATU。Brinch等人给出了该问题的参数解决方案。

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2022-6-14 12:50:49

（2017），他为MTE确定了一个灵活的多项式函数，其程度由倾向评分支持的基数确定，而非参数解是由Mogstad et al.（2018）给出的，他使用IV-like估计中包含的信息构建了政策相关治疗效果的非参数最坏和最佳情况界限。我通过扩展Mogstad et al.（2018）的非参数方法和Brinch et al.（2017）的灵活参数方法来涵盖样本选择问题，为本文献做出了贡献。通过这样做，我可以部分确定MTE对利益结果的作用，在我的框架内，MTE不同于可观察的结果。在关于通过样本选择确定治疗效果的文献中，控制函数法（Heckman（1979）、Ahn&Powell（1993）和Das et al.（2003））和辅助数据的使用（Chen et al.（2008））是解决该问题的两种经典方法。另一种方法是通过施加弱单调性假设来部分识别感兴趣的参数。例如，在一篇开创性的论文中，Lee（2009）将样本选择的单调性强加于治疗分配，从而将ITT与所有被观察个体的亚群（IT）进行了严格的限制。在两篇文献的交叉中，少数作者同时讨论了样本选择和内生治疗的问题。通过使用两个工具变量，Frickeet al.（2015）和Lee&Salanie（2016）确定了不同的治疗效果。然而，由于Manski（1990）、Manski（1997）、Manski&Pepper（2000）、Heckman&Vytlacil（2001a）、Bhattacharya et al.（2008）、Chesher（2010）、Chiburis（2010）、Shaikh&Vytlacil（2011）、Bhattacharya et al.（2012）、Cornelissen et al.（2016）、Chen et al.（2017）、Huber et al.（2017）、Kowalski（2018）、Mourifie et al.做出了其他重要贡献。

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2022-6-14 12:50:52

（2018）和周和谢（2019）。其他相关贡献由Frangakis&Rubin（2002）、Blundell等人（2007）、Imai（2008）、Lechner&Mell（2010）、Blanco等人（2013a）、Mealli&Pacini（2013）、Behaghel等人（2015）和Huber&Melace（2015）做出。在某些情况下，找到一个可靠的样本选择工具是一个挑战，开发替代工具是值得的，这些工具不需要比选择治疗工具更多的工具。Frolich&Huber（2014）的观点通过假设潜在结果和样本选择问题之间没有同期关系来确定晚期。Chen&Flores（2015）通过将一种工具与双重排除限制结合起来，并对样本选择和治疗问题的选择进行单调性假设，推导出了总观察编译器（LAT EOO）内平均治疗效果的界限。我对这篇文献做出了贡献，部分确定了始终观察到的子样本上的MTE，考虑到潜在结果和样本选择问题之间的同期关系，并仅使用一个（离散）工具结合单调性假设。推导MT EOOis的界限在理论上很重要，因为它可以在一个框架内统一不同处理效果与样本选择的界限。它还与经验相关，因为它允许我们在许多经验问题中部分确定对感兴趣的结果的任何治疗效果。例如，在分析职业培训计划对工资的影响时，将ATT与ATU进行比较是很有用的，以便了解从这一政策中受益最多的工人实际上是否是接受培训的工人。在有关职业培训计划的文献中，Heckman等人（1999年）撰写了一份全面的调查报告。

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2022-6-14 12:50:55

特别是，在1995年美国劳工部资助的一项随机实验后，许多论文都是关于就业公司培训计划（JCTP）的影响的。最后，我的工作更接近Lee（2009）和Chen&Flores（2015）所做的研究，他们通过分别关注ITT和始终观察到的亚群体中的后期参数，分析了就业团队培训计划对工资的影响。Lee（2009）在考虑了就业团队参与者获得的额外教育所造成的劳动力市场经验损失后，排除了零影响。Chen&Flores（2015）发现，随机分组后四年的每月小时工资在5.7%之间，其他重要贡献由Huber（2014）、Steinmayr（2014）、Blanco等人（2017）和Kedagni（2018）做出。例如，Schochet et al.（2001）、Schochet et al.（2008）、FloresLagunes et al.（2010）、Flores et al.（2012）、Blanco et al.（2013a）、Blanco et al.（2013b）、Blanco et al.（2017）和Chen et al.（2017）做出了重大贡献。在单调性和平均优势假设下，整个人口为13.9%，非西班牙裔人口为7.7%-17.5%。我通过分析非西班牙裔群体的小时工资MTE，并通过实施Machado等人（2018）提出的测试，正式测试该培训计划是否对就业产生单调影响，从而为这篇文献做出贡献。本文的主要工作如下：第二节详细介绍了具有样本选择的广义Roy模型；第3节解释了如何推导MT EOOof兴趣的边界；第4节和第5节讨论了当倾向评分的支持是连续的或离散的时，MT EOOBUNDS的识别；第6节分析了就业团队培训计划对小时工资的影响。

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mingdashike22

2022-6-14 12:50:58

最后，第7节得出结论。2框架我从Rubin（1974）的经典潜在结果框架开始，并将其修改为包含样本选择问题。设Z为工具变量，其支持度由Z给出，X为协变量向量，其支持度由X给出，W：=（X，Z）为组合协变量和工具的向量，其支持度由W：=X×Z给出，Dbe为治疗状态指示器，Y*当患者未接受治疗时，成为潜在的利益结果，并且*当患者接受治疗时，是潜在的利益结果。利息的产出变量（如工资）为Y*:= D·Y*+ (1 - D） ·Y*. 此外，让SandSbe在处理和未处理时的潜在样本选择指标确定：=D·S+（1- D） ·Sas样本选择指标（如就业状态）。定义：=S·Y*作为可观察的结果（例如，劳动收入）。我还确定Y：=S·Y*安迪：=S·Y*作为潜在的可观察结果。注意，继Lee（2009）和Chen&Flores（2015）之后，我的注释隐含了两个排除限制：Z对潜在的利益结果和样本选择指标没有直接影响。在经验应用中，需要注意第二个排除限制。一方面，在随机对照试验中，如果样本选择是由于消耗，并且初始分配对受试者联系研究人员的意愿有影响，这可能是一个强有力的假设。另一方面，在许多劳动力市场应用中，这可能是一个合理的假设，例如职业培训计划的评估。例如，在我的实证部分中，就业团队培训计划（JCTP）的初始随机分配可能不会对未来的就业状况产生影响。我使用广义罗伊模型（Heckman&Vytlacil 1999）对样本选择和治疗选择进行建模。

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2022-6-14 12:51:01

设U和V为随机变量，P:W→ R和q：{0，1}×X→ R可能是未知函数。我假设：D：=1{P（W）≥ U} （1）AND：=1{Q（D，X）≥ V}。（2）正如Vytlacil（2002）所示，方程（1）和（2）等价于假设关于选择到治疗问题（Imbens&Angrist（1994））和样本选择问题（Lee（2009））的单调条件。我强调，这两个单调性假设都可以使用Machado等人（2018）开发的工具进行测试。还请注意，给定方程式（2），S=1{Q（0，X）≥ V}和S=1{Q（1，X）≥ V}。随机变量U和V在X上联合连续分布，密度为fU，V | X:R×X→ R和累积分布函数FU，V | X:R×X→ R、如文献所示，方程（1）和（2）可以在d=1时重写FU | X（P（W）| X）≥ FU | X（U | X）= 1nP（W）≥UoS=1FV | X（Q（D，X）| X）≥ FV | X（V | X）= 1nQ（D，X）≥~VowhereP（W）：=FU | X（P（W）| X），~U：=FU | X（U | X），~Q（D，X）：=FV | X（Q（D，X）| X，~V：=FV | X（V | X）。因此，以X为条件的▄U和▄V的边际分布遵循标准均匀分布。由于这仅仅是一个规范化，我在整篇文章中省略了tilde和mantain，即（P（w），Q（d，x））的规范化∈ [0，1]对于任何（x，z，d）∈ W×{0，1}和以X为条件的U和V的边际分布遵循标准均匀分布，即使它们的联合分布允许这两个变量之间存在任何依赖关系。

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2022-6-14 12:51:04

作为这种归一化的结果，P（w）表示倾向得分，等于P【D=1 | w=w】，而Q（D，x）等于toP【Sd=1 | x=x】。此外，我假设：假设1工具Z独立于给定协变量x的所有潜在变量，即Z⊥⊥ （U、V、Y*, Y*) |十、假设2给定X的P（W）的分布是非退化的。假设3利益相关者潜在结果的第一和第二人口矩，即e[| Y*d |]<+∞ 和Eh（Y*d） i<+∞ 对于任何d∈ {0, 1}.假设4两个治疗组均存在任何X值，即0<P[D=1 | X]<1。假设5协变量X对反事实操作是不变的，即X=X=X，其中X和X分别是在患者未接受治疗或治疗时观察到的X的反事实值。假设6潜在结果Y*和Y*具有相同的支持，即Y*:= Y*=Y*, 其中Y* R是Y的支持*和Y* R是Y的支持*.假设7定义*:= inf{y∈ Y*} ∈ R∪ {-∞} 和y*:= 辅助{y∈ Y*} ∈ R∪ {∞}.我假设y*和y*都是已知的，这是1。y*> -∞, y*= ∞ 和Y*是一个间隔，或2。y*= -∞, y*< ∞ 和Y*是一个间隔，或3。y*> -∞, y*< ∞ 和（a）Y*是间隔或（b）y*∈ Y*和y*∈ Y*.假设7相当普遍。案例1包括连续随机变量，其支持度为凸且下有界（例如工资），而案例3。a包括具有有界凸支撑的连续变量（例如，测试分数）。案例3。b不仅包括二元变量，还包括任何支持度有限的离散变量（如教育年限）。它还包括混合随机变量，其支持度不是一个区间，而是达到其最大值和最小值。案例2是为了理论上的补充。

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2022-6-14 12:51:07

此外，命题13表明，假设7对于M T EOOof兴趣边界的存在是部分必要的，在这个意义上，如果y*= -∞ 和y*= +∞, 那么，在没有任何额外假设的情况下，就不可能将边缘治疗对始终观察到的亚群体的利益结果的影响联系起来。假设8治疗对所有个体的样本选择指标都有积极影响，即对于任何x，Q（1，x）>Q（0，x）>0∈ 十、假设8超越了等式（2）隐含的单调性条件，假设处理对样本选择指标的影响方向已知且为正，即Q（1，x）≥ 任意x的Q（0，x）∈ 十、从这个意义上讲，这是文献中的一个标准假设。最重要的是，使用Machado等人（2018）开发的工具，这也是一个可测试的假设，因为在单调样本选择（方程式（2））下，选择指标上ATE符号的识别提供了对假设8的测试。然而，假设8比文献中通常采用的假设略强，因为它另外对任何x施加Q（0，x）>0和Q（1，x）>Q（0，x∈ 十、第一个不平等意味着有一个子群体总是被观察到，这使我能够正确定义我的目标参数（边际治疗对总是被观察到的群体内的利益结果的影响，M T EOO），第二个不平等意味着有一个子群体只有在治疗时才被观察到，通过消除Lee（2009）和Chen&Flores（2015）讨论的M T EOOA点识别的琐碎案例，使问题在理论上具有吸引力，并以与S≥ S、而Manski（1997）和Manski&Pepper（2000）称之为“单调治疗反应”假设。提案10。

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2022-6-14 12:51:10

最后，我强调，如果我对任何x施加Q（0，x）>Q（1，x）>0，那么我的所有结果都可以通过一些简单的更改来陈述和导出∈ X代替了附录C中的假设8。我还在附录D中讨论了样本选择问题中单调性的不可知方法（方程式（2）），并在附录E中表明，非单调样本选择得出的边界是无信息的（即等于y*- y*, y*- y*) 在温和的规则性条件下。在我的实证应用中，假设8规定，JCTP对所有个人的就业都有积极影响，考虑到本培训计划提供的目标和服务，这是合理的。正如Chen&Flores（2015）所讨论的，it的两个潜在威胁——“锁定”效应（van Ours（2004））和受治疗个体的保留工资的增加从长远来看可能变得不那么相关，这证明了我在随机分组208周后将重点放在小时工资上的合理性。最重要的是，这一假设通过Machado等人（2018）开发的方法进行了正式测试，我在1%的显著性水平上拒绝了假设8在非西班牙裔群体中无效的无效假设。最后，在部分识别环境中，额外的假设可能具有很大的识别能力。在通过样本选择确定治疗效果的特定情况下，通常使用均值或随机优势假设来收紧兴趣参数的界限（Imai（2008），Blanco et al.（2013a），Huber&Mellace（2015）和Huber et al.（2017）），并基于一些人口亚群体比其他群体具有更有利的基本特征这一直观论点对其进行了论证。

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2022-6-14 12:51:13

特别是，我讨论了以下平均优势假设的识别能力：假设9：只有在治疗亚群时，在始终观察到的亚群内治疗的潜在结果大于或等于观察到的相同参数：E[Y*|X=X，U=U，S=1，S=1]≥ E【Y】*|X=X，U=U，S=0，S=1]在附录F中，当上述不等式在另一个方向上成立时，我推导出相关MTE的边界。对于任何x∈ X和u∈ [0, 1].不幸的是，这种假设在经验上是不稳定的，这意味着它的使用必须基于定性或理论上的论点，针对每个应用程序进行调整。特别是，在我的实证应用中，假设9规定，对总就业人口进行治疗时，工资的边际治疗反应函数大于仅对接受治疗的人口进行治疗时的相同目标。直觉上，这一假设假定，具有更好潜在就业结果的群体平均也具有更好的潜在工资，即存在积极的就业选择。3兴趣结果的MTEOON界限目标参数，即始终观察到的子群体兴趣结果的MTE（M T EOO），由下式给出OOY公司*（x，u）：=E[Y*- Y*|X=X，U=U，S=1，S=1]=E[Y*|X=X，U=U，S=1，S=1]- E【Y】*|X=X，U=U，S=1，S=1]（3）对于任何U∈ [0，1]和任意x∈ 是一个自然参数。在劳动力市场应用中，样本选择是因为只有在雇佣代理人时才观察工资，这是对总是被雇佣的子群体工资的影响。在因患者死亡而选择样本的医疗应用中，无论治疗状态如何，都会对存活的亚群体的健康质量产生影响。

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2022-6-14 12:51:16

在教育文献中，样本选择是因为学生辍学，这是对不辍学的亚群体的测试分数的影响，无论他们的治疗状况如何。在所有这些病例中，目标参数捕捉到治疗效果的强化边缘。其他可能令人感兴趣的参数是研究人员对治疗效果的广泛范围感兴趣时，研究人员对可观察结果的MTE（e[Y]）- Y | X=X，U=U]），并通过选择指示器上的MTE（E[S- S | X=X，U=U]），他或她可以应用Heckman et al.（2006）、Brinch et al.（2017）和Mogstad et al.（2018）所述的识别策略。从未被观察到的亚群（E[Y*- Y*|X=X，U=U，S=0，S=0），M T ENN），在未治疗的情况下，仅在治疗时观察到的亚群内的MTR功能*|X=X，U=U，S=0，S=1），MT RNO）和治疗中的MTR功能，以获得仅在治疗时才接受治疗的亚群中感兴趣的结果（E[Y*|X=X，U=U，S=0，S=1），MT RNO）。虽然最后一个参数可以部分识别（附录B），但前两个参数不可能以信息性的方式进行点识别或绑定，因为感兴趣的结果（Y*或Y*)从未观察到调节亚群。因此，不可能以一种信息性的方式点识别或界定整个种群的边际处理效应（E[Y*- Y*|X=X，U=U]，MT E）。还请注意，仅在未治疗时观察到的亚群（S=1和S=0）不存在于假设8中。

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2022-6-14 12:51:18

此外，观察上述所有参数中的调节亚群是由治疗后的结果决定的，因此与被称为主要分层的统计文献有关（Frangakis&Rubin（2002））。我现在关注目标参数OOY公司*（x，u）由等式（3）给出。虽然第3.1小节仅使用单调性假设（假设1-8）推导出了MT EOOof利息的界限（方程式（3）），但第3.2小节通过额外施加平均优势假设9来收紧这些界限。最后，第3.3小节讨论了此类界限的经验相关性。3.1仅具有单调性假设的部分识别在这里，我的目标是推导OOY公司*（x，u）在假设1-8下。注意，等式（3）中的第二个右项可以写成[Y*|X=X，U=U，S=1，S=1]=我的（X，U）mS（X，U），（4）Zhang等人（2008年）更深入地讨论了这一识别问题。此外，在一些应用中（例如，分析医疗对健康质量衡量的影响，其中选择是根据患者是否活着），潜在结果是*当d的Sd=0时，甚至没有正确定义d∈ {0, 1}.附录A.1包含该索赔的证明。其中，我将mY（x，u）：=E[Y | x=x，u=u]和mS（x，u）：=E[S | x=x，u=u]分别定义为与反事实变量Yand和S相关的TR函数。

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2022-6-14 12:51:21

在本节中，我假设等式（4）右侧的所有术语都是点识别的，将其识别的讨论推迟到第4节和第5节。方程（3）中的第一个右项可以写成*|X=X，U=U，S=1，S=1]=我的（X，U）- NOY（x，u）·S（x，u）mS（x，u），（5），其中mY（x，u）：=E[Y | x=x，u=u]是与反事实变量Y关联的MTR函数，NOY（x，u）：=E[Y- Y | X=X，U=U，S=0，S=1]是仅在治疗时观察到的亚群的可观察结果Y的mT，S（x，u）：=E[S- S | X=X，U=U]=毫秒（X，U）- mS（x，u）是选择指示器上的MTE，mS（x，u）：=E[S | x=x，u=u]是与反事实变量S关联的MTR函数。在本节中，我还假设mY（x，u）和S（x，u）是点识别，将关于其识别的讨论推迟到第4节和第5节。虽然E[Y]的点识别*|X=X，U=U，S=1，S=1]由于该术语，不可能方程（5）中的NOY（x，u），我可以找到它的可识别边界。命题10假设mY（x，u）、mY（x，u）、mS（x，u）和S（x，u）是在假设1-6、7.1和8下确定的点，E[Y*|X=X，U=U，S=1，S=1]必须满足yy*≤ E【Y】*|X=X，U=U，S=1，S=1]≤mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）。（6）在假设1-6、7.2和8下，E【Y】*|X=X，U=U，S=1，S=1]必须满足y（X，U）- y*· S（x，u）mS（x，u）≤ E【Y】*|X=X，U=U，S=1，S=1]≤ y*. （7）根据假设1-6、7.3（子案例（a）或（b））和8，E【Y】*|X=X，U=U，S=1，S=1]附录A.2包含该索赔的证明。附录A.3包含了这一主张的证明。必须满足my（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）≤ E【Y】*|X=X，U=U，S=1，S=1]≤mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）。

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2022-6-14 12:51:24

（8）请注意，即使支撑仅在一个方向上有界（假设7.1和7.2），也可以导出E[Y]的下界和上界*|X=X，U=U，S=1，S=1]。此时，有必要了解这些边界宽度的决定因素。首先，如果根本没有样本选择问题（P[S=1，S=1 | X=X，U=U]=1，即始终观察到的组是整个群体），那么mS（X，U）=1，S（x，u）=0，表示方程式（5）中的点识别。其次，如果不存在关于治疗状态的不同样本选择问题（P[S=0，S=1 | X=X，U=U]=0，即仅当治疗亚群质量为零时观察到），则S（x，u）=0，再次表示方程式（5）中的点识别。这两种情况在理论上都是无趣的，并被假设8排除在外。最后，结合方程式（3）和（4）以及命题10，我可以部分识别目标参数OOY公司*（x，u）：推论11假设mY（x，u），mY（x，u），mS（x，u）和S（x，u）为点识别。在假设1-6、7.1和8下OOY公司*（x，u）由下式给出OOY公司*（x，u）≥ y*-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）（9）和OOY公司*（x，u）≤mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）。（10）在假设1-6、7.2和8下OOY公司*（x，u）由OOY公司*（x，u）≥mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）（11）和OOY公司*（x，u）≤ y*-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）。（12）在假设1-6、7.3（子案例（a）或（b））和8下OOY公司*（x，u）由给出OOY公司*（x，u）≥ 最大值mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u），y*-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）（13）和OOY公司*（x，u）≤ 最小值（mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u），y*)-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）。（14）此外，我可以证明：定理12假设函数mY，mY，mSand在每个空气（x，u）处确定的Sare点∈ X×[0，1]。

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何人来此

2022-6-14 12:51:27

在假设1-6、7（子案例1、2、3（a）或3（b））和8下，边界OOY公司*和OOY公司*, 由推论11给出，是逐点尖锐的，即对于任何u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈OOY公司*（x，u），OOY公司*（x，u）, 存在随机变量Y*,Y*,U，▄V因此OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=δ（X，U），（15）PhY*,Y*,~V∈ Y*×Y*× [0, 1]对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ [0，1]，（16）和f▄Y，▄D，▄S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）（17）表示任何（Y，D，S，Z）∈ R、式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，~S=1nQ（0，X）≥Vo，~S=nQ（1，X）≥Vo，Y=S·Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·是的。本文和其余部分使用的逐点锐度定义遵循了Canay&Shaikh（2017，备注2.1）给出的锐度定义。此外，请注意，如果函数mY、mY、mSand只有在单位区间的子集中才能识别点，那么逐点锐度仅在该子集中有效。证据这里，我提供了定理12证明的一个草图。附录A.4包含其详细版本。确定候选随机变量Y*,Y*,U，▄V通过其联合累积分布函数FY*,Y*,~U、~V、Z、x，然后检查等式（15）、（16）和（17）是否满足要求。直观地说，我将该联合概率函数定义为等于FY*,Y*,U、 V，Z，xat每个点，但点▄U=▄U。通过这样做，我确保方程（17）成立，因为▄U=▄U与质量零集相关联。

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能者818

2022-6-14 12:51:30

一、然后，定义函数FY*,Y*,~U、~V、Z、Xat ~U=~U确保方程式（15）和（16）成立。直觉上，定理12说，对于任何δ（x，u）∈OOY公司*（x，u），OOY公司*（x，u）, 有可能创建候选随机变量Y*,Y*,U，▄V生成候选边缘处理效应δ（x，u）（方程式（15）），满足有界支撑条件-由我的模型施加的限制（假设7）并总结在方程式（16）中-并生成相同的可观测变量分布-由数据施加的限制并总结在方程式（17）中。换句话说，第2节中的数据和模型没有产生足够的限制来反驳真实的目标参数OOY公司*（x，u）等于候选目标参数δ（x，u）。此外，有界支持条件（假设7）对于目标参数的界的存在是部分必要的OOY公司*（x，u）。当支架在两个方向上无边界时（即y*= -∞ 和y*= +∞), 那么就不可能推导出目标参数的边界OOY公司*（x，u）无任何额外假设。第13条提案将最后一条陈述形式化。命题13假设函数mY、mY、mSand每对（x，u）的Sare点识别∈ X×[0，1]。施加假设1-6和8。

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2022-6-14 12:51:33

如果Y*= R、那么，对于安宇来说∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈ R、存在随机变量Y*,Y*,U，▄V因此OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=δ（X，U），（18）PhY*,Y*,~V∈ Y*×Y*× [0, 1]对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ 【0，1】，（19）附录A.5包含了这一命题的证明，其直觉与OREM 12提供的直觉相似。andF▄Y、▄D、▄S、Z、X（Y、D、S、Z、X）=FY、D、S、Z、X（Y、D、S、Z、X）（20）表示任何（Y、D、S、Z）∈ R、式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，~S=1nQ（0，X）≥Vo，~S=nQ（1，X）≥Vo，Y=S·Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·Y。换句话说，当潜在结果的支持是整个实线时，第2节中的数据和模型不会产生足够的限制来反驳真实的targetparameterOOY公司*（x，u）等于大小上任意大的影响。鉴于之前关于样本选择对治疗效果的部分识别的文献，这个不可能的结果很有趣。在IT太（Lee（2009））和LAT EOO（Chen&Flores（2015））的情况下，即使潜在结果的支持是整个实线，也有可能构建信息边界。然而，当关注主题的特定点时，当Y*= R由于目标参数的局部性质。关于我刚刚得出的结果，有一点值得注意。定理12和命题13没有对（Y）的联合分布施加任何光滑条件*, Y*, U、 V、Z、X）。特别是条件累积分布函数FV | X，U，FY*|十、 U，Vand FY*|十、 U，Vare允许是U在点U处的不连续函数。

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何人来此

2022-6-14 12:51:36

附录G陈述并证明了当FV | X，U，FY时类似于定理12的锐度结果和类似于命题13的不可能结果*|十、 U，Vand FY*|十、 U，v必须是U.3.2部分识别的连续函数，具有额外的平均优势假设。在这里，我使用平均优势假设9来收紧targetparameter的界限OOY公司*（方程式（3））由推论11给出。注意，假设9意味着NOY（x，u）≤mY（x，u）mS（x，u）≤ E【Y】*|X=X，U=U，S=1，S=1]，通过方程式（A.4）和（A.5）。因此，通过遵循推论11证明的相同步骤，我可以得出：推论14修复u∈ [0，1]和x∈ 任意X。假设mY（x，u）、mY（x，u）、mS（x，u）和S（x，u）是在假设1-6、7.1、8和9下确定的点，OOY公司*（x，u）必须满足OOY公司*（x，u）≥mY（x，u）mS（x，u）-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）（21）和OOY公司*（x，u）≤mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u）-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）。（22）在假设1-6、7.2、8和9下，OOY公司*（x，u）必须满足OOY公司*（x，u）≥mY（x，u）mS（x，u）-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）（23）和OOY公司*（x，u）≤ y*-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）。（24）根据假设1-6、7.3（子案例（a）或（b））、8和9，OOY公司*（x，u）必须满足OOY公司*（x，u）≥mY（x，u）mS（x，u）-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）（25）和OOY公司*（x，u）≤ 最小值（mY（x，u）- y*· S（x，u）mS（x，u），y*)-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）。（26）Y时*= R和假设1-6、8和9成立，OOY公司*（x，u）必须满足OOY公司*（x，u）≥mY（x，u）mS（x，u）-我的（x，u）毫秒（x，u）=：OOY公司*（x，u）（27）和OOY公司*（x，u）≤ ∞ =:OOY公司*（x，u）。

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2022-6-14 12:51:39

（28）注意，在平均优势假设9下，我可以在假设7下增加推论11中提出的下界，并提供一个信息性的下界，即使当兴趣结果的支持是整个实线时，这一结果与命题13形成鲜明对比。这些改进清楚地表明了平均优势假设9的识别能力。此外，如Tamer（2010）和Kline&Tartari（2016）所述，通过施加额外假设获得更多信息边界的现象在部分识别文献中很常见。如第3.1小节所述，我假设mY（x，u）、mY（x，u）、mS（x，u）、mS（x，u）和S（x，u）为点识别，将其识别的讨论推迟到第4节和第5节。现在，利用上述推论，我可以将第3.1小节的尖锐性和不可能性结果结合在一个命题中：命题15假设函数mY，mY，mS，mSand在每对（x，u）上识别Sare点∈ X×[0，1]。在假设1-6、8和9下，边界OOY公司*和OOY公司*, 由推论14给出，是逐点尖锐的，即对于任何u∈ [0，1]，x∈ X和δ（X，u）∈OOY公司*（x，u），OOY公司*（x，u）, 存在随机变量Y*,Y*,U，▄V因此OO▄Y*（x，u）：=EhY*-Y*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i=δ（X，U），（29）PhY*,Y*,~V∈ Y*×Y*× [0, 1]对于任何U，X=X，~U=ui=1∈ [0，1]，（30）EhY*X=X，~U=U，~S=1，~S=1i≥ EhY*X=X，~U=U，~S=0，~S=1i，（31）和fY，~D，~S，Z，X（Y，D，S，Z，X）=FY，D，S，Z，X（Y，D，S，Z，X）（32），对于任何（Y，D，S，Z）∈ R、式中▄D：=1nP（X，Z）≥Uo，~S=1nQ（0，X）≥Vo，~S=nQ（1，X）≥Vo，Y=S·Y*,Y=▄S·▄Y*和▄Y=▄D·▄Y+1.-D·~Y.注意，除了定理12施加的所有限制外，候选随机变量Y*,Y*,U，▄V还必须满足与平均优势假设9相关的额外模型限制（方程式（31））。

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2022-6-14 12:51:42

直观地说，命题15指出，附录A.6讨论了推论14何时提供的界限比推论11提供的界限更严格。附录A.7包含了这一命题的证明，其直觉与第12章提供的直觉相似。唯一的区别是，现在，函数FY*,Y*,~U、~V、Z、Xat ~U=~U也必须满足方程式（31）。（方程式（32））和模型（方程式（30）和（31））没有产生足够的限制来反驳真实目标参数OOY公司*（x，u）等于候选目标参数δ（x，u）（等式（29））。3.3 MTEOOof利息界限的经验相关性现在，值得讨论部分确定MTEOOof利息的经验相关性。首先，M T EOOcan的界限说明了治疗效果的异质性，使研究人员能够了解谁会受益，谁会输给特定的治疗。这一点很重要，因为公共参数（例如，AT EOO、AT TOO、AT UOO、LAT EOO）可以是正的，即使大多数人在少数人有很大收益的情况下失去了策略。此外，即使部分了解MT EOOFunctions，也有助于优化设计政策，鼓励代理接受某种治疗。其次，我可以使用MT EOObounds部分识别任何被描述为加权积分的治疗效果OOY公司*（x，u）因为OOY公司*（x，u）· ω（x，u）du≤ZOOY公司*（x，u）·ω（x，u）du≤ZOOY公司*（x，u）· ω（x，u）du，（33），其中ω（x，·）是已知或可识别的加权函数。尽管这种界限对于任何特定参数都可能不明确，但它们是许多经验问题的通用且有效的解决方案。

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能者818

2022-6-14 12:51:45

由于这种权衡，如果应用研究人员对已经有特定基础的参数感兴趣，我建议他们使用专门的工具（例如，it TOOby Lee（2009）和LAT Eoby Chen&Flores（2015））。然而，我建议应用研究人员，如果他或她对没有专门界限的参数感兴趣（例如，在符合性不完全的情况下，ATE、ATT和ATU），可以轻松地计算出感兴趣的MTE的逐点锐界加权积分。换言之，面对经验灵活性和清晰度之间的权衡，本文提出的部分识别工具侧重于经验灵活性，同时仍然确保感兴趣的MTE边界的逐点清晰度。表1和表2显示了一些治疗效果参数，这些参数可以通过不平等部分识别（33）。Heckman等人（2006年，表1A和1B）和Mogstad等人（2018年，表1）给出了更多的例子。表1:EOO=E【Y】时作为边缘处理效果加权积分的处理效果*- Y*|S=1，S=1]=ROOY公司*（u） duAT太=E[Y*- Y*|D=1，S=1，S=1]=ROOY公司*（u） ·ωAT T（u）duAT UOO=E[Y*- Y*|D=0，S=1，S=1]=ROOY公司*（u） ·u（u）duLAT EOO（u，u）=E[Y时的ω*- Y*|U∈ 【u，u】，S=1，S=1】=ROOY公司*（u） ·ωLAT E（u）duSource：Heckman et al.（2006）和Mogstad et al.（2018）。注：为简洁起见，此表中对X的条件保持隐式。表2：T（x，u）=RufP（W）| x（p | x）dpE[p（W）| x=x]ω，u（x，u）==RufP（W）| x（p | x）dp1- E[P（W）| X=X]ωLAT E（X，u）=1{u∈ [u，u]}u- uSource：Heckman等人（2006年）和Mogstadet等人（2018年）。4当倾向性得分的支持度为一个区间时的部分识别，I fix x∈ X并施加倾向得分的支持度，由px定义：={P（X，z）：z∈ Z} ，是一个间隔。

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2022-6-14 12:51:48

然后，在假设1-5下，MTR函数Pxas可以通过连续工具Z或独立协变量的存在来实现（Carneiro et al.2011）。与任何变量A关联∈ {Y，S}是由以下等式确定的点：mA（x，p）=E[A | x=x，p（W）=p，D=0]-E[A | X=X，P（W）=P，D=0]p·（1）- p），（34）和Ma（x，p）=E[A | x=x，p（W）=p，D=1]+E[A | X=X，P（W）=P，D=1]p·p（35）表示任何p∈ 二甲苯。最后，给出了OOY公司*（x，p）是通过组合方程式（34）和（35）确定的点，事实上S（x，p）=mS（x，p）- mS（x，p）和推论11或14.5部分识别当倾向性得分的支持度是离散的时当倾向性得分的支持度不是区间时，我无法点识别mY（x，u）、mY（x，u）、mS（x，u）、mS（x，u）、mS（x，u）和S（x，u）没有额外的假设，这意味着我无法确定OOY公司*（x，u）由推论11或14给出。对于这种缺乏识别的情况，有两种解决方案：我可以非参数地绑定这四个对象（Mogstad et al.（2018）），或者我可以施加灵活的参数假设（Brinch et al.（2017）），以点识别它们。虽然第一种方法在第5.1小节中进行了讨论，但第二种方法在第5.2.5.1小节中详细介绍了任何u∈ [0，1]和x∈ X，我可以绑定mS（X，u），mS（X，u），S（x，u）、mY（x，u）、mY（x，u）和Y（x，u），使用Mogstad et al.（2018）提出的机械。为此，fix A∈ {S，Y}和d∈ {0，1}并定义一对函数mA：=妈，妈和容许MTR函数集MA3 mA。

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2022-6-14 12:51:52

例如，在二元函数的情况下，附录a.8包含了基于Heckman&Vytlacil（2005）描述的局部辅助变量（LIV）方法对该主张的证明。容许集为MA=[0，1]X×[0,1]×[0，1]X×[0,1]，对于选择指示符，该集将进一步受到假设8 toMA=n的限制妈，妈∈ [0，1]X×[0,1]×[0，1]X×[0,1]：mA（X，u）≥ mA（x，u）（x，u）∈ X×[0，1]o。此外，定义函数Γ*A：文学硕士→ R组件：Γ*A.mA= ~mA（x，u）- mA（x，u），观察Γ*A.妈妈= A（x，u）。此外，定义GAto为已知可测函数gA的集合：{0，1}×Z→ R的第二个时刻是有限的。对于每个IV类规格gA∈ GA，还定义βGA：=E[GA（D，Z）A | X=X]。根据toMogstad等人（2018年，命题1），函数ΓgA:MA→ R、定义为ΓgAmA= EZmA（X，u）·gA（0，Z）·1{p（W）<u}duX=X+ EZ▄mA（X，u）·gA（1，Z）·1{p（W）≥ u} 杜邦X=X,satis fiesΓgA妈妈= βgA.因此，mAmust位于容许函数集mgao中，该函数满足通过IV类规范的数据施加的限制，其中：MGA：=mA∈ MA：ΓgAmA= 所有gA的βgA∈ 乔治亚州.假设MAis凸面和MGA6= 对于每个A∈ {S，Y}，Mogstad等人（2018年，命题2）表明：inf▄mA∈MGAΓ*A.mA=:A（x，u）≤ A（x，u）≤ A（x，u）：=辅助mA∈MGAΓ*A.mA.（36）根据这一结果，我还可以定义MTR函数的界限，如下所示：mA（x，u），mA（x，u）:= 精氨酸mA∈MGAΓ*A.mA和mA（x，u），mA（x，u）:= argsupmA∈MGAΓ*A.mA,其中mad（x，u）≤ mAd（x，u）≤ mAd（x，u）表示任何d∈ {0, 1} . （37）因此，我可以结合推论11和14以及不等式（36）和（37）来提供一个非参数识别的外部集合OOY公司*（x，u），其中包含truetarget参数OOY公司*（x，u）按构造。

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