换句话说，在每一步中，风险资产都会上升或下降，不仅跳跃的概率存在不确定性，跳跃的规模也存在不确定性。备注4.3通常的二项模型（见【Cox等人，1979年】）对应于πt=πt=π，ut=ut=u和dt=dt=d，其中0<π<1，d<1<u。引理4.4在假设4.2下，假设2.2成立。证据首先，Qt+1是定义的凸值。自年初至今+1(Ohmt+1）=（0，∞),eQt+1（ωt）6=,因此Qt+1（ωt）6= 对于所有ωt∈ Ohmt、 我们依次展示了图（Bt+1），图eQt+1和图（Qt+1）是解析集。对于ωt∈ Ohmt、 letE（ωt）：={（u，d，π）∈ R、 πt（ωt）≤ π ≤ ∏t（ωt），ut（ωt）≤ u≤ Ut（ωt），dt（ωt）≤ d≤ Dt（ωt）}，F（ωt，u，d，π）：=（ωt，πδu+（1- π） δd）对于（ωt，u，d，π）∈ Ohmt×R。这可以通过设置Bt+1（ωt）：={πδu+（1- π） δd，π∈ St（ωt），u∈ Ut（ωt），d∈ Dt（ωt）}，其中St，Ut，Dt是Borel可测随机集OhmtR.那么F是Borel me可测的（见[Bertsekas and Shreve，2004，推论7.21.1 p130]），图（E）∈ 卑诗省(Ohmt） B（R）asπt，∏t，ut，ut，dt和dt是可测的。我们得出结论，图（Bt+1）=F（图（E））是解析的。LetΦ：P(Ohmt+1）→ P（R）由Φ（q）定义：=q（Yt+1∈ ·). 利用[Bertsekas和Shreve，2004，命题7.29 p144和7.26 p134]，Φ是给定P的R上的Borel可测随机核(Ohmt+1）。所以Φ（ωt，q）：=（ωt，Φ（q））也是Borel可测的，图（eQt+1）=Φ-1（图（Bt+1））进行分析。然后我们可以在【Bartl，2019b，第2.3节的证明】中显示，图（Qt+1）是解析的，因为Qt+1是Qt+1的凸包。引理4.5在假设4.2下，theNA（QT）条件成立，theNA（QT）条件可能失效。证据很明显，对于所有0≤ t型≤ T- 1，全部ωt∈ Ohmt、 Conv公司Dt+1（ωt）=[St（ωt）（dt（ωt））- 1） ，St（ωt）（Ut（ωt）-1)].因此NA（QT）条件为0∈ 所有ωt的Ri（Conv（Dt+1））（ωt）∈ Ohmt（见定理3.24）。

在假设4.2下，所有ωt的ut（ωt）<1∈ Ohmt、 0个≤ t型≤ T- 1，并在（ωt）处找到一些∈ [ut（ωt），1）。对于所有0≤ t型≤ T-1和ωt∈ Ohmt、 letqt+1（Yt+1∈ ·, ωt）：=rt（ωt）δat（ωt）（·）+1.- rt（ωt）δdt（ωt）（·），其中rt（ωt）∈ [πt（ωt），∏t（ωt）]。设置Q：=Q q ··· qT∈ QT。AsConv公司Dt+1Q（ωt）=St（ωt）（dt（ωt）-1） ，St（ωt）（at（ωt）-1),0 /∈ 卷积和多项式相乘Dt+1Q（ωt）对于所有ωt∈ Ohmtand命题3.26意味着NA（Q）和thussNA（QT）失效。我们现在提供了εt、β和κtof（10）和（11）的一些显式表达式，并展示了测量P的候选值*定理3.30。引理4.6假设4.2成立。对于所有0≤ t型≤ T- 1，全部ωt∈ Ohmtlet'πt（ωt）：=πt（ωt）+∏t（ωt）∈ （0，1）εt（ωt）=βt（ωt）：=St（ωt）NminUt（ωt）-1,1 - dt（ωt）> 0，κt（ωt）：=Mminπt（ωt），1- πt（ωt）> 0，a+t（ωt）：=Ut（ωt）>1，b+t（ωt）：=最小值Dt（ωt），Dt（ωt）+1< 1，a-t（ωt）：=最大值ut（ωt），ut（ωt）+1> 1，b-t（ωt）：=dt（ωt）<1，r±t+1（·，ωt）：=πt（ωt）δa±t（ωt）（·）+（1- πt（ωt））δb±t（ωt）（·）∈ Bt+1（ωt），r*t+1（·，ωt）：=r+t+1（·，ωt）+r-t+1（·，ωt）∈ Bt+1（ωt），p*t+1（Yt+1∈ ·, ωt）：=r*t+1（·，ωt）∈ Qt+1（ωt），其中n>1和m>1是固定的，允许获得εt（ωt）、βt（ωt）和κt（ωt）的更清晰界限。然后*t+1±St+1（ωt，·）<-βt（ωt），ωt≥ κt（ωt），（14）和（11）满足；（10） 这也是正确的。此外，forP*:= P* p*···  p*T∈ QT，0∈国际扶轮社转换（Dt+1P*)（ωt）和AffDt+1P*（ωt）=Aff（Dt+1）（ωt）=所有ωt的rf∈ Ohmt、 最后，假设≤ t型≤ T- 1和一些ωt∈ Ohmt、 ut（ωt）<ut（ωt）ordt（ωt）<Dt（ωt）。那么setQt+1（ωt）是非支配的，可以构造非支配的setQt。备注4.7 P处的注释th*不是唯一的。εt、β和κtareclear的（Borel）可测性。通常，它们将继承对St、πt、πt、dt、dt、utan和Ut施加的任何可积条件。例如，如果它们都属于WT1≤ t型≤ εT、β和κT也是如此。修复一些0≤ t型≤ T-1，ωt∈ Ohmt、 设q±t+1（Yt+1∈ ·, ωt）：=r±t+1（·，ωt）∈ Qt+1（ωt）。

然后Q+t+1St+1（ωt，·）<-βt（ωt），ωt≥ q+t+1Yt+1（·）<dt（ωt）+1，ωt≥ 1.- πt（ωt）≥ κt（ωt）q-t+1St+1（ωt，·）>βt（ωt），ωt≥ q-t+1Yt+1（·）>Ut（ωt）+1，ωt≥ πt（ωt）≥ κt（ωt）和（14）遵循定理3.24。作为p*t+1∈ SKt+1，P*∈ QT。从（14）中，定量无套利（11）适用于所有ωt∈ Ohmt ph=p*对于所有可能的策略h，t+1（·，ωt）。因此，NA（P*) 条件成立（见备注3.27）。定理3.24还暗示0∈ 国际扶轮社转换（Dt+1P*)（ωt）。此外，AffDt+1P*（ωt）=Aff（Dt+1）（ωt）=R对于所有ωt。对于最后一项，假设对于一些0≤ t型≤ T- 1和一些ωt∈ Ohmt、 ut（ωt）<ut（ωt），并且集合Qt+1（ωt）由某些度量bp控制。对于x∈ (0, ∞) letAx：={Y-1t+1（{x}}}6= 同年初至今+1(Ohmt） =（0，∞). 固定x（ωt）∈ （min（1，ut（ωt）），ut（ωt））和choosea（ωt）∈ Ax（ωt）和b（ωt）∈ Adt（ωt）。设rx（.，ωt）：=πt（ωt）δa（ωt）+（1- πt（ωt））δb（ωt）∈ Bt+1（ωt）和px（Yt+1∈ ·, ωt）：=rx（.，ωt）∈ Qt+1（ωt）。A s rx（{A（ωt）}，ωt）=∏t（ωt）>0，bp（{A（ωt）}）>0，这导致bp的原子数不可计算。然后，命题4.1允许构建不受支配的QT集示例。4.2离散化d维扩散我们现在提供了一个多维扩散过程离散化动力学的示例【Carassus and R'asonyi，2015，示例8.2】。固定句点T≥ 1和n≥ d、 用mn表示具有n行n列的实值矩阵集。选择一些常量Y∈ r并通过以下差分方程确定所有0的Yt+1≤ t型≤ T-1，（ωt，ωt+1）∈ Ohmt×Ohmt+1Yt+1（ωt，ωt+1）- Yt（ωt）=ut+1Yt（ωt），ωt，ωt+1+ νt+1Yt（ωt），ωtZt+1（ωt，ωt+1）（15），其中ut+1:Rn×Ohmt×Ohmt+1→ Rn，νt+1:Rn×Ohmt型→ Mn，Zt+1：Ohmt×Ohmt+1→ R被认为是可测量的。将研究两种情况：Sit=YI和Sit=EYIT≤ 我≤ d

在单一先验设置中，如果假设Zt+1定律为正态，则这对应于标的资产的常用正态和对数正态动态。请注意，在这两种情况下，如果d<n，我们可能会认为i>d的收益代表一些非交易资产，或某些经济因素的演变将影响市场。假设某个P∈ P(OhmT） 给出固定崩解P：=Pp···pT，其中pT+1∈ SKt+1用于所有0≤ t型≤ T- 1： P应该是对先验知识的初步猜测或估计。对于所有0≤ t型≤ T- 1，让RTAN和qtbe函数从Ohmtto（0，∞ ): RTwill是漂移的界，而QT保证扩散是非退化的（在维度1中，它是波动率的下界）。我们对Y的动力学作如下假设。假设4.8适用于所有0≤ t型≤ T- 1，rtis B(Ohmt） -可测量。对于所有ωt∈ Ohmt、 x个∈ Rn，oνt+1（x，ωt）∈ Mqt（ωt）nwhere Mδn：={M∈ Mn，h类∈ Rn，htMMth≥ δ>0时的δhth}Zt+1（ωt，·）和ut+1（ωt，·）在pt+1（·，ωt）下是独立的pt+1（ut+1（Yt（ωt），ωt，·）∈ [-rt（ωt），rt（ωt）]n，ωt）=1oDt+1Zt+1（ωt）=Rn，其中Dt+1Zt+1（ωt）是pt+1（·，ωt）下Zt+1（ωt，·）的支撑，见（2）。ut+1和Zt+1定律的模型不确定性由以下集合给出。Qt+1（ωt）：=p∈ P(Ohmt+1），put+1（Yt（ωt），ωt，·）∈ [-rt（ωt），rt（ωt）]n= 1.,Qt+1（ωt）：=p∈ P(Ohmt+1），Ft（p，ωt）=0,Qt+1（ωt）：=Qt+1（ωt）\\Qt+1（ωt），其中对于一些k≥ 1，Ft:P(Ohmt+1）×Ohmt型→ Rk是一个Bo-rel可测函数，使得ft（pt+1（·，ωt），ωt）=0≤ t型≤ T-1，ωt∈ Ohmt、 假设pt+1（·，ωt）∈ 所有ωt的Qt+1（ωt）∈ Ohmtand因此P∈ QT。不是e，对于给定的p∈ Qt+1（ωt）p下Zt+1（ωt，·）和ut+1（ωt，·）的规律不一定是独立的。财务解释如下。设置Qt+1（ωt）允许t h扩散的漂移不仅是随机的，而且具有未知的分布。它只是假设有界的。

如果Ft（p，ωt）=1distt（p，pt+1（·，ωt））≤bt（ωt）- 1当bt（ωt）>0且概率测度之间存在某种距离函数时，集合Qt+1（ωt）包含与pt+1（·，ωt）足够接近的模型。如果物理测量值不知道n，但从每个步骤的数据中估计d，则可能发生这种情况。DisttFunction的一个流行选择是Wasserstein距离。但也可以选择F（p，ωt）的坐标i（1≤ 我≤ k） p和undertt+1（·，ωt）下Zt+1（ωt，·）的i阶矩之间的差，并结合所有模型p，使得pare下Zt+1（ωt，·）的矩等于pt+1（·，ωt）下的Zt+1（ωt，·）的矩直到k阶。引理4.9在假设4.8下，假设2.1和2.2得到满足。证明。假设2.1来自于ut+1、νt+1、Zt+1的Borel可测性，以及Yt+1的Borel可测性。A s函数（ωt，p）→ p（ut+1（Yt（ωt），ωt，·）∈ [-rt（ωt），rt（ωt）]n）是可测量的（见[Bertsekas和Shreve，2004，命题7.29 p144]），图Qt+1I分析。Ftimplies的Borel可测性表示该图Qt+1是一个解析集，也是一个图（Qt+1）。很明显，Qt+1是凸值的。如果Ft（·，ωt）对于所有ωt是凸的∈ Ohmt、 那么Qt+1是凸值。e上的Else可以考虑Qt+1的凸包，其分析性可以建立在引理4.4的证明中。证明了假设2.2。现在我们给出ph=pt+1（·，ωt）的β和κtin（11）的显式值，并证明NA（QT）。引理4.10假设假设4.8已满足，且所有1≤ 我≤ D全部1≤ t型≤ T、 ThenDt+1（ωT）=所有ωT的Rd∈ Ohm坦德1≤ t型≤ T- 1 ANDNA（QT）条件成立。Letκt（ωt）：=水貂∈Kpt+1Gk（ωt），ωt> 0和βt（ωt）：=ln 2√n> 0，（16）其中k是从{1，···，d}到{-1，1}和somek∈ KGk（ωt）：=k（一）Yit+1（ωt，·）<-第2层，第1层≤ 我≤ d. （17） 那么，无论如何∈ RdH |=1pt+1h类St+1（ωt，·）<-βt（ωt），ωt≥ κt。

（18） 证明。首先，我们认为所有ωt∈ Ohmt、 Dt+1（ωt）=Rd。为此，我们证明Dt+1Y（ωt）：=\\A. Rn，关闭，pYt+1（ωt，·）∈ A、 ωt= 1.p∈ Qt+1（ωt）= 注册护士。（19） 设Dt+1Y，P（ωt）是Y（ωt，·）在pt+1（·，ωt）下的支撑，见（2）。使用（3）Dt+1Y，P（ωt）Dt+1Y（ωt），证明Dt+1Y，P（ωt）=Rn是不可能的。修正一些ωt∈ Ohmt、 为便于阅读，我们采用以下符号。允许Y（·）=Yt+1（ωt，·），R（·）=ut+1（Yt（ωt），ωt，·），X（·）=Y（·）- R（·），M=νt+1（Yt（ωt），ωt），Z（·）=Zt+1（ωt，·），p（·）=pt+1（·，ωt）。AsX（·）=MZ（·）（见（15）），Z和R在p下是独立的，X和R在p下也是独立的∈ Rn，ε>0。假设M是可逆矩阵：存在∈ Rn，α>0，使得B（y，α） M-1（B（x，ε））。假设4.8的第四项与Lemm a 5.2一起表示P（X（·））∈ B（x，ε））=pZ（·）∈ M-1（B（x，ε））≥ p（Z（·）∈ B（y，α））>0p(Y（·）∈ B（x，ε））=p（x（·）+R（·）∈ B（x，ε））=ZRp（x（·）∈ B（x- u、 ε））pR（du）>0，因为X和R在p下是独立的。引理5.2意味着X和Y不等于Rn。对于所有0≤ t型≤ T-1，ωt∈ Ohmt、 Dt+1（ωt）=Rd和0∈ Ri（Aff（Dt+1）（ωt））。定理3.24意味着NA（QT）条件得到验证。现在修复一些ωt∈ Ohm串联h∈ RDH |=1。首先，Dt+1Y，P（ωt）=rn意味着对于所有k∈ K、 ωt∈ Ohmtpt+1Gk（ωt），ωt= pt+1(Yt+1（ωt，·）∈ Oh，ωt）>0，（20），其中Oh：={z∈ Rn，k（i）zi<-第2层，1.≤ 我≤ d} 是一组Rn的o笔。设置k*（i） ：=所有1的符号（hi）≤ 我≤ d、 然后k*∈ K、 设ωt+1∈ Gk公司*（ωt）as（20）表示Gk*（ωt）不为空。适用于所有1≤ 我≤ d、 你好Sit+1（ωt，ωt+1）=hi | k*（一）Yit+1（ωt，ωt+1）≤ -ln 2 |嗨|≤ 0、当| h |=1时，存在1≤ 我*≤ d使√n≤√d≤ |你好*| ≤ 1和HSt+1（ωt，ωt+1）<-第2层√n+Xi6=i*你好Yit+1（ωt，ωt+1）≤ -第2层√n、 因此pt+1（hSt+1（ωt，·）<-第2层/√n、 ωt）≥ 水貂∈Kpt+1（Gk（ωt），ωt）. 回顾（20），（18）是令人满意的。

我们现在处理对数正常情况。M-1（B（x，ε））在Rn中是开放的，并且不是空的，因为M是Rn上的双射函数。用符号pR（A）=p（R∈ A） 对于所有A∈ B（Rn）。引理4.11假设假设假设4.8是满足的，并且假设所有1≤ 我≤ D全部1≤ t型≤ T、 ThenDt+1（ωT）=所有ωT的Rd∈ Ohm坦德1≤ t型≤ T- 1 ANDNA（QT）条件成立。Letκt（ωt）：=水貂∈Kpt+1Gk（ωt），ωt> 0βt（ωt）：=最小值1，最小1≤我≤dSit（ωt）√n> 0，（21）回顾（17）对Gk（ωt）的定义。那么，无论如何∈ RdH |=1pt+1h类St+1（ωt，·）<-βt（ωt），ωt≥ κt.证明。让0≤ t型≤ T- 1和fixωt∈ Ohmt、 使用（3）Dt+1P（ωt） Dt+1（ωt），证明Dt+1P（ωt）=Rd是不可能的。如果对于Rd的任何开集O，p(St+1（·，ωt）∈ O、 ωt）>0。固定rdo的一个开集，并设Fωt:Rn→ Rdbe定义为fωt（x，···，xn）=（eYt（ωt）（ex- 1） ，···，eYdt（ωt）（exd- 1)). As Fωtis连续F-1ωt（O）是Rn的一个开放集。然后eYt+1（·，ωt）- eYt（ωt）∈ O、 ωt= peYt（ωt）eYt+1（·，ωt）- 1., ··· , eYdt（ωt）eYdt+1（·，ωt）- 1.∈ O、 ωt= pYt+1（·，ωt）∈ F-1ωt（O），ωt> 0，再次使用（19）和引理5.2。因此，对于所有0≤ t型≤ T- 1，ωt∈ Ohmt、 Dt+1（ωt）=Rdand0∈ Ri（Aff（Dt+1）（ωt））。定理3.24意味着NA（QT）条件得到验证。固定aωt∈ Ohmt、 h类∈ RDH |=1。然后St+1（ωt，ωt+1）=dXi=1hiSit（ωt）eYit+1（ωt，ωt+1）- 1.. （23）让k*∈ K作为前面引理的证明，并设ωt+1∈ Gk公司*（ωt）。

首先，对于所有人1≤ 我≤ d、 hiSit（ωt）eYit+1（ωt，ωt+1）- 1.<(-|hi | Sit（ωt）如果k*（i） =1-|hi | Sit（ωt）如果k*（i） =-1.≤ 当| h |=1时，有一个组件hi*因此√n≤√d≤ |你好*| ≤ 1和as Si*t（ωt）>0，（23）表示hSt+1（ωt，ωt+1）<-硅*t（ωt）√n+Xi6=i*hiSit（ωt）eYit+1（ωt，ωt+1）- 1.≤ -最小1≤我≤dSit（ωt）√n、 因此，pt+1h类St+1（ωt，·）<-最小1≤我≤dSit（ωt）√n、 ωt≥ 水貂∈Kpt+1Gk（ωt），ωt,使用（20），（22）是令人满意的。备注4.12注意，在这两种情况下（Sit=YIT和Sit=eYit），我们都可以选择P*= Pin定理3.30。现在，我们给出一个一维图，说明QT不占主导地位的先前设置。取n=d=1和Ohmt： =Ohm 对于一些抛光空间Ohm. 设Z是定义在上的某个实值随机变量Ohm 和p∈ P(Ohm) 在p下，Z正态分布，平均值为0，标准偏差为1。设置P：=P ···  pandZt+1（ωt，ωt+1）：=Z（ωt+1），对于所有0≤ t型≤ T- 1和ωt∈ Ohmt、 定义F:P(Ohm) → RbyF（p）：=Ep（Z），Ep（Z- Ep（Z））- 1.和F（ωt，ωt+1）：=对于所有0≤ t型≤ T- 1和ωt∈ Ohmt、 最后，设置Qt+1（ωt）：={p∈ P(Ohm), F（p）=0}=：所有0的Q≤ t型≤ T- 1，ωt∈ Ohmt、 对于每个ωt，n个下一周期的驱动过程Z的规律以方差1为中心，但不一定是正态分布的。如果我们选择Y：=1，并且对于所有0，则验证关于Y的动态o的假设4.8≤ t型≤T- 1，x∈ R、 （ωt，ωt+1）∈ Ohmt×Ohmut+1（x，ωt，ωt+1）：=rt（ωt）：=r，νt+1（x，ωt）：=σ，qt（ωt）：=σ，对于某些r∈ R和σ>0固定。像Yt=r+σZ，Z正态分布，平均值为0，p下的标准偏差为1，（16）（或（21））表示κt=κ=min时的t hΦ-ln 2+rσ, 1.- Φ第2层- rσ其中Φ是一些正态律的相对分布函数，其中me为0，标准差为1。我们已经看到βt（ωt）=β=（ln2）/√当St=Yt时为n。

在另一种情况下，St（ωt）=exp（Yt（ωt））=exp1+rt+σPti=1Z（ωi）βt（ωt）=（1/2）min（1，St（ωt））（见（21））。最后，se t QT不占主导地位。事实上，我们证明Q不是占优的，并使用命题4.1得出结论。假设有一些bp∈ P(Ohm) 占主导地位。对于x 6=0，让qx∈ P(Ohm) 这样qx（Z=x）=2x，q（Z=-x） =2x，q（Z=0）=1-x、 然后qx∈ Q和{x∈ R、 bp（{Z=x}）>0}=R \\{0}，这是一个矛盾。5证明第一节用确定性初始数据展示了我们问题的单周期版本。我们将研究套利的不同概念及其等价性（见第5.7节）。我们还证明了命题5.8，该命题将用于定理3.30的证明。第二节利用单周期结果和可测选择技术证明了多周期结果。最后，第三部分给出命题4.1.5.1单周期模型的证明(Ohm, G） 为测量空间，P(Ohm) 定义在Gand Q上的所有概率测度集是P的非空凸集(Ohm). 对于P∈ Q固定，Ep表示P下的预期值。设Y为G-可测Rd值随机变量。以下集合是定义2.3中引入的单周期情形中的笔dant。让P∈ QE（P）：=\\A. Rd，闭合，P（Y（.）∈ A） =1,D：=\\A. Rd，闭合，P（Y（·）∈ A） =1，P∈ Q.下一个引理将用于命题3.28的证明。引理5.1LetCbe是一些ε>0的凸集。ThenB（0，ε）∩Aff（C） 仅Cifand ifB（0，ε）∩Aff（C） C、 证明。相反的含义是微不足道的。假设B（0，ε）∩ Aff（C） C和letx∈ B（0，ε）∩ Aff（C）。当| x |<ε时，存在一些δ>0，使得B（x，δ）∩ Aff（C）B（0，ε）∩ Aff（C）C、 因此x∈ Ri（C）=Ri（C） C（见【Rockafellar，1970，定理6.3p46】）。

这个引理可以很容易地描述支撑，并且在论文中多次使用。引理5.2Leth∈ RdandP公司∈ P(Ohm)固定。然后，h∈ E（P）当且仅当所有n≥ 1，P（Y（·）∈ B（h，1/n））>0。同样，h∈ Dif且仅当所有≥ 1，存在SSOMEPN∈ Q、 例如Pn（Y（·）∈ B（h，1/n））>0。证据固定一些h∈ 定义为Rd的h/∈ E（P）当且仅当存在o笔集时 Rd使h∈ O和P（Y（·）∈ O） =0，第一项如下。同样，h/∈ Dif且仅当存在开集O时 Rd使h∈ O和P（Y（·）∈ O） =0表示allP∈ 问题和问题如下。现在，我们介绍在这一时期背景下无套利的定义。firstone是NA（QT）状态的一个周期，而其他两个是定义3.19和3.20的依赖项。定义5.3如果hY（·），则一期无套利条件成立≥ 某些h的0 Q-Q.s∈ r表示hY（·）=0 Q-Q.s.definition 5.4如果0，则一期几何无套利条件为真∈ Ri（Conv（D））。这相当于0∈ Conv（D），存在一些ε>0，使得B（0，ε）∩A ff（D）Conv（D）。定义5.5如果t中存在一些常数β、κ，则一期定量无套利条件成立∈ （0，1）使所有h∈ Aff（D），h 6=0存在Ph∈ QsatisfyingPh（hY（·）<-β| h |）≥ κ. （24）备注5.6我们记得，如果0/∈ Ri（Conv（D））存在一些h*∈ Aff（D），h*6=0，使h*Y（·）≥ 0 Q-Q.s.这是一个依赖于分离论证的经典练习，参见【Rockafellar，1970，定理11.1，11.3 p97】或【F¨ollmer and Schied，2002，命题a.1】。命题5.7确定上述三个条件实际上是等效的。命题5.7定义5.3、5.4和5.5相当。

此外，可以选择β=ε/2in（24），其中ε>0就是这样的th atB（0，ε）∩Aff（D）定义5.4中的Conv（D）。证据步骤1：定义5.3意味着定义5.4和5.5。首先，我们用矛盾的方式证明∈ Aff（D）hY（·）≥ 0 Q-Q.s。=> h=0。（25）假设存在一些h∈ Aff（D），h 6=0，从而hY（·）≥ 0 Q-Q.s.定义5.3意味着hY（·）=0 Q-Q.s.和h∈ {h∈ 对于所有y，Rd，hy=0∈ D} =D⊥= （Aff（D））⊥,例如参见【Nutz，2016，引理证明2.6】。这意味着h∈ Aff（D）∩（Aff（D））⊥ {0}，矛盾。现在，我们证明第5.4条是正确的。如果0/∈ Ri（Conv（D）），备注5.6意味着存在一些h*∈ Aff（D），h*6=0，使得h*Y（·）≥ 0 Q-Q.s.与（25）相矛盾。然后，我们证明定义5.5也是正确的。适用于所有n≥ 1、乐坛：=h类∈ Aff（D），| h |=1，PhY（·）<-n<nP∈ Qn： =inf{n≥ 1，An=}按照惯例 = +∞. 我们已经看到定义5.4是正确的：0∈ Ri（转换（D）） Aff（D）和Aff（D）是一个向量空间。如果Aff（D）={0}，则n n=1<∞.现在假设Aff（D）6={0}。我们用矛盾的方法证明n<∞. 假设t hatn=∞ . 适用于所有n≥ 1，存在一些hn∈ 一通过传递到一个子序列，我们可以假设Hn趋向于一些h*∈ Aff（D）带| h*| = 1、设Bn：={hnY（·）<-1/n}。然后{h*Y（·）<0} lim infnband Fatou引理暗示，对于任何P∈ QP（h*Y（·）<0）≤ZOhmlim infnBn（ω）P（dω）≤ lim infnZ公司OhmBn（ω）P（dω）=0。所以h*Y（·）≥ 0 Q-Q.s.和（25）表示h*= 0与| h相矛盾*| = 1、因此n<∞我们可以设置β=κ=1/n。很明显，β，κ∈ （0，1），（24）的定义成立。步骤2：定义5.5意味着定义5.4。否则，备注5.6表示存在一些h*∈ Aff（D），h*6=0，使得h*Y（·）≥ 0Q-q.s.：与（24）相矛盾。步骤3：定义5.4意味着定义5.3。固定一些h∈ RDHY（·）≥ 0 Q-Q.s。

设p（h）为hon Aff（D）的正交投影（回想一下，Aff（D）是一个向量空间，因为0∈ Ri（转换（D）） Aff（D））。假设p（h）=0。备注2.4显示P（{Y（·））∈ D} ）=1表示所有P∈ Q、 hY（·）=p（h）Y（·）=0 Q-Q.s.定义5.3得到验证。接下来，我们显示hY≥ 0表示所有y∈ D和y的凸组合∈ Conv（D）。确实，如果存在y∈ D使得hy<0，那么存在一些δ>0，使得y<0∈ B（y，δ）。但是引理5.2暗示了一些P∈ Q这样P（Y（·）∈ B（y，δ））>0，矛盾。现在，如果p（h）6=0，则为0∈ Ri（Conv（D）），存在一些ε>0，使得B（0，ε）∩ Aff（D） Con v（D），-εp（h）/| p（h）|∈ Conv（D）和-εp（h）| p（h）| h=-εp（h）| p（h）| p（h）<0，矛盾。十、⊥表示某个集合X的正交空间。步骤4：如果B（0，ε）∩ Aff（D） Conv（D）one可以选择β=ε/2 in（24）。这类似于第5.4条定义的证明，即第5.5条定义。set ANI由settingAn修改：=h类∈ Aff（D），| h |=1，PhY（·）<-ε<nP∈ Q.如果n=∞ 存在一些h*∈ Aff（D），| h*| = 1使h*Y≥ -ε/2 QT-q.s。我们还得到h*y≥ -ε/2表示所有y∈ Conv（D）。选择y=-（2/3）εh*∈ B（0，ε）∩Aff（D） conv（D），我们得到一个矛盾。所以，当β=ε/2和κ=1/n时，（24）成立。下一个命题来自【Bayraktar和Zhou，2017，引理2.2】，将用于定理3.30的证明。命题5.8假设一期无套利条件（见定义5.3）成立。那么就有一些*∈ Q如此0∈Ri（Conv（E）（P*)))和Aff（E（P*)) =Aff（D）。证据【Bayraktar和Zhou，2017，引理2.2】给出了一些P*∈ Q因此NA（P*) 保持正确且Aff（E（P*)) = Aff（D）。注意，【Bayraktar和Zhou，2017，引理2.2】的证明依赖于Q的凸性。现在命题3.26（对于T=1）显示0∈ Ri（Conv（E）（P*))).

5.2多周期模型首先，我们确定点x的距离∈ RDF到集合F Rdby d（x，F）：=inf{| x-f |，f∈F}和两个se ts F，G之间的Hausdorff距离 Rdby d（F，G）=supx∈Rd | d（x，F）-d（x，G）|。5.2.1定理证明3.24证明。修复一些0≤ t型≤ T- 1和ωt∈ Ohmt、 我们说，如果hSt+1（ωt，·）≥ 0 Qt+1（ωt）-对于som e h∈ R表示hSt+1（ωt，·）=0Qt+1（ωt）-q.s。命题5.7意味着对于任何ωt，NA（Qt+1（ωt））条件等价于（10）和（11）∈ Ohmt、 然后，定理3.18表明，定义3.1等于OhmtNA={ωt∈ Ohmt、 NA（Qt+1（ωt））为真}（26）是Qt全测度集，属于Bc(Ohmt） 对于所有0≤ t型≤ T- 因此，对于所有0≤ t型≤T-1，可以选择OhmtNA=OhmtqNA=OhmtgNA。此外，命题5.7表明，对于ωt，可以取βt（ωt）=εt（ωt）/2∈ OhmtNA。5.2.2命题3.28的证明命题3.28的证明。修复一些0≤ t型≤ T- 1、设Γt+1（ωt）= 对于ωt/∈ OhmtNa和所有ωt∈ Ohmt相同的参数表明，可以设置κ=infh∈Aff（D），| h |=1供应∈QP（hY（·）<-ε） >0说明为什么不能直接获得fκ的可测量性，见备注3.29。Γt+1（ωt）：=ε ∈ Q、 ε>0，B（0，ε）∩ Aff公司Dt+1（ωt） 卷积和多项式相乘Dt+1（ωt）=nε∈ Q、 ε>0，B（0，ε）∩ Aff公司Dt+1（ωt）卷积和多项式相乘Dt+1（ωt）o，其中等式来自引理5.1。假设图Γt+1∈卑诗省(Ohmt）B（Rd）已被证明。Aumann定理暗示了Bc的存在(Ohmt） 可测选择器εt：{Γt+16=} → R使得εt（ωt）∈ Γt+1（ωt），对于每个ωt∈ {Γt+16=}. 现在，定理3.24和（10）暗示OhmtNA={Γt+1（ωt）6=} （回想一下，Γt+1（ωt）=外部OhmtNA）。设置εt=1 ou t侧OhmtNA，εtis Bc(Ohmt） -由于我们可以选择βt=εt/2（见定理3.24），因此可测量和命题3.28得到了批准。图Γt+1仍然显示∈ 卑诗省(Ohmt） B（Rd）。

对于所有ε>0，ε∈ Q、 letAε：=nωt∈ OhmtNA，B（0，ε）∩ Aff公司Dt+1（ωt）卷积和多项式相乘Dt+1（ωt）o.As图Γt+1=Sε∈Q、 ε>0Aε×{ε}，证明Aε∈ 卑诗省(Ohmt） 。设h:Rd×Ohmtbe定义为h（x，ωt）：=dx、 B（0，ε）∩ Aff公司Dt+1（ωt）- dx、 Conv公司Dt+1（ωt）.然后【Aliprantis和Border，2006，定理18.5 p595】和引理2.6表明∈ Rdh（x，·）是Bc(Ohmt） -可测量且h（·，ωt）对于所有ωt是连续的∈ Ohmt、 AsConv（Dt+1）（ωt）是闭值，Aε=ωt∈ OhmtNA，h（x，ωt）≥ 0, x个∈ 研发部= ∩q∈Qd公司ωt∈ OhmtNA，h（q，ωt）≥ 0∈ 卑诗省(Ohmt） 。5.2.3定理3.30的证明如备注3.34所述，我们的证明使用了与[Obl\'oj和Wiesel，2018，定理3.1]证明中使用的思想类似的思想，并在很大程度上依赖于图（Qt+1（ωt））的可测性和凸性（见假设2.2）。证据反向含义。修复一些0≤ t型≤ T- 1和ωt∈ OhmtNA。作为P*∈ QT，备注2.5表示Dt+1P时的t h*（ωt）Dt+1（ωt）。As Aff（Dt+1）（ωt）=AffDt+1P*（ωt）和0∈ 国际扶轮社转换（Dt+1P*)（ωt），存在一些ε>0，使得b（0，ε）\\AffDt+1（ωt）=B（0，ε）\\AffDt+1P*（ωt） 转换（Dt+1P*)（ωt） Conv（Dt+1）（ωt）和NA（QT）遵循定理3.24。直接含义。对于所有0≤ t型≤ T- 1，设Et+1：OhmtP(Ohmt+1）由Et+1定义（ωt）= 如果ωt∈ Ohmtna和ifωt∈ OhmtNAEt+1（ωt）：={p∈ Qt+1（ωt），0∈ R iConv（Et+1）（ωt，p）和AffEt+1（ωt，p）=AffDt+1（ωt）}。定理3.18和命题5.8表明OhmtNA={Et+16=}. 假设我们已经证明了p的存在性*t+1∈ SKt+1使p*t+1（·，ωt）∈ 所有ωt的Et+1（ωt）∈ OhmtNA。让P*:= p* ··· p*T、 那么，P*∈ QT（见（1）），（3）表示AFFDt+1P*（ωt）=AffEt+1（ωt，p*t+1（·，ωt）） Aff公司Dt+1（ωt）=AffEt+1（ωt，p*t+1（·，ωt））和0∈ 国际扶轮社转换（Dt+1P*)（ωt）对于所有ωt∈ OhmtNA。所以仍然需要证明p的存在性*t+1。

修复一些0≤ t型≤ T- 1和letB：={（ωt，p）∈ Ohmt×P(Ohmt+1），RiConv（Et+1）（ωt，p）∩ {0} 6= },C：={（ωt，p）∈ Ohmt×P(Ohmt+1），AffEt+1（ωt，p）=AffDt+1（ωt）}。[Artstein，1972，引理5.6]和引理2.6表明，RiConv（Et+1）是B(Ohmt）B（P(Ohmt+1））-可测量和B∈ B（Ohmt）B（P(Ohmt+1）如下。设h由h（ωt，p）定义：=dAff公司Et+1（ωt，p），AffDt+1（ωt）.注意，C={h-1(0)}. 然后【Aliprantis和Border，2006，定理18.5 p595】和引理2.6在x处显示th∈ Rd（ωt，p）→ d（x，Aff（Et+1）（ωt，p））是B(Ohmt） B（P(Ohmt+1））可测量和ωt→ d（x，Aff（Dt+1）（ωt））是Bc(Ohmt） 可测量。他们还展示了X→ |d（x，Aff（Et+1）（ωt，p））- d（x，Aff（Dt+1）（ωt））|是连续的。Thush（ωt，p）=supx∈Qd | dx、 Aff公司Et+1（ωt，p）- dx、 Aff公司Dt+1（ωt）|h是Bc(Ohmt） B（P(Ohmt+1）可测量。因此，C∈ 卑诗省(Ohmt） B（P(Ohmt+1））。【Rockafellar，1970，定理6.3 p46】、假设2.2和引理5.9表明，图（Et+1）=图（Qt+1）∩ B∩ C∈ A.卑诗省(Ohmt） P(Ohmt+1）,其中，对于一些波兰空间X和一些铺路J（即包含空集的X子集的非空集合），a（J）表示Suslin方案onJ的所有核的集合（参见【Bertsekas和Shreve，2004，定义7.15 p157】）。现在【Bouchard and Nut z，2015，引理4.11】（依赖于【Leese，1978】）给出了p的存在性*t+1∈ SKt+1使p*t+1（·，ωt）∈ 所有ωt的Et+1（ωt）∈ OhmtNA={Et+16=}. 证明是完整的。在前面的证明中使用了以下引理。引理5.9LetX，Ybe两个波兰空间。LetΓ∈ A（X×Y）和Γ∈ Bc（X） B（Y）。那么Γ∩ Γ∈ A（Bc（X） B（Y））。证据【Bertsekas和Shreve，2004年，提案7.35 p158，提案7.41 p166】暗示∈ A（X×Y）=A（B（X） B（Y）） A（Bc（X） B（Y））和Γ∈ Bc（X） B（Y）A（Bc（X） B（Y）），因此Γ∩ Γ∈ A（Bc（X） B（Y））。

5.2.4定理证明3.8证明。步骤1：反向暗示。引理3.7表示NA（PT）条件成立，引理3.2表示NA（QT）满足。步骤2：直接含义。定理3.30暗示存在一些P*∈ 固定崩解P的QT*:=P* p* ···  p*Tsuch那个AffDt+1P*（ωt）=Aff（Dt+1）（ωt）和0∈ 国际扶轮社卷积和多项式相乘Dt+1P*（ωt）对于所有ωt∈ OhmTNA和所有0≤ t型≤ T- 1、如果证明了以下i）、ii）和iii）项，则直接含义成立。注意，如果我们只假设P*∈ QT。i） Pt公司 QT全部1≤ t型≤ T接下来是（5）的归纳，p*t+1（·，ωt）∈ Qt+1（ωt）和Qt+1（ωt）的凸性。ii）QT和Pt对于所有1具有相同的极性集≤ t型≤ T修复一些1≤ t型≤ T作为Pt Qt，很明显，Qt极轴集也是Pt极轴集。为了建立另一个包含，我们通过归纳证明，对于所有1≤ t型≤ T和所有Qt∈ Qt，存在一些（λt，···，λt2t）∈ （0，1]2使得p2ti=1λti=1和一些（Rti）3≤我≤2吨 Qt（ift≥ 2） 使qt<Pt：=λtP*t+λtQt+2tXi=3λtiRti∈ Pt。（27）对于t=1，让Q∈ Q和P：=（P*+ Q） /2。然后，Q<<和P∈ P、 参见（5）。现在假设该属性对于某些t为真≥ 1、让Qt+1∈ Qt+1，执行整合Qt+1：=Qt qt+1，其中qt∈ qt和qt+1（·，ωt）∈ 所有ωt的Qt+1（ωt）∈ Ohmt、 然后，存在一些（Rti）3≤我≤2吨 Qt，（λt，···，λt2t）∈ （0，1]2第（27）条的规定成立。LetPt+1：=Pt（p*t+1+qt+1）Rt+1i：=Rti（p*t+1+qt+1）λt+1i：=λti3.≤ 我≤ 2tRt+12t+1：=Qt p*t+1Rt+12t+2：=P*t型 qt+1λt+1：=λtλt+1：=λtλt+12t+1：=λtλt+12t+2：=λt。然后Pt+1∈ Pt+1（见（5）），（Rt+1i）3≤我≤2（t+1） Qt+1，P2（t+1）i=1λt+1i=1，pt+1=λt+1P*t+1+λt+1Qt+1+2（t+1）Xi=3λt+1iRt+1i。当Qt+1<<Pt+1时，感应得到证实。iii）sNA（PT）条件成立。修复一些P∈ PT公司 QT，som e 0≤ t型≤ T- 1和ωt∈ OhmtNA。我们确定0∈国际扶轮社卷积和多项式相乘Dt+1P（ωt）。

然后Pt(OhmtNA）=1，命题3.26表明NA（P）holdstrue和iii）如下。备注2.5和（5）表示Dt+1P*（ωt） Dt+1P（ωt） Dt+1（ωt）。因此，0∈ 转换（Dt+1P*)（ωt） Conv（Dt+1P）（ωt）。我们有那个AFFDt+1（ωt）=AffDt+1P*（ωt） Aff公司Dt+1P（ωt） Aff公司Dt+1（ωt）。作为0∈ 国际扶轮社转换（Dt+1P*)（ωt），存在一些ε>0使得b（0，ε）\\AffDt+1P（ωt）=B（0，ε）\\AffDt+1P*（ωt） 转换（Dt+1P*)（ωt） Conv（Dt+1P）（ωt）。5.2.5命题证明3.37证明。定理3.30暗示存在一些P*∈ 固定崩解P的QT*= P* p* ···  p*Tsuch那个AffDt+1P*（ωt）=Aff（Dt+1）（ωt）和0∈国际扶轮社转换（Dt+1P*)（ωt）对于所有ωt∈ OhmTNA和所有0≤ t型≤ T- 1、查找Bc(Ohmt） -βtandκtin的可测量版本（11）我们遵循与[Blanchard et al.，2018，命题3.7]中相同的想法。修复一些0≤ t型≤ T- 1、设置nt（ωt）：=inf{n≥ 1，AP*n（ωt）=} alln的位置≥ 1 AP*n（ωt）= 如果ωt/∈ Ohmtna和ifωt∈ OhmtNA，AP*n（ωt）：=h类∈ Aff公司Dt+1P*（ωt），| h |=1，p*t+1h类St+1（ωt，·）<-n、 ωt<n. （28）对于所有ωt∈ Ohmt、 在命题5.7的证明中，nt（ωt）<∞ 可以设置κt（ωt）=βt（ωt）：=1/nt（ωt）∈ (0, 1). 然后，通过定义AP*n、 （11）在Ph（·）=p时为真*t+1（·，ωt）∈自Aff起Qt+1（ωt）Dt+1P*（ωt）=所有ωt的Aff（Dt+1）（ωt）∈ OhmtNA。证明κt=βtis Bc(Ohmt） -可测量，我们表明{AP*n6=} ∈ 卑诗省(Ohmt） 从现在开始≥ 1，{nt≥ k} =OhmtNA公司∩\\1.≤j≤k-1{AP*j=}!.修复一些n≥ 1、作为p*t+1是唯一普遍可测的，我们使用引理5.10来证明{AP*n6= } ∈ 卑诗省(Ohmt） 。修复P∈ P(Ohmt） 。首先，应用[Bertsekas和Shreve，2004，引理7.28 p173]，在Ohmt+1驱动Ohm坦德OhmtP∈ B类(Ohmt） 这样P(OhmtP）=1和pPt+1（·，ωt）=p*对于所有ωt，t+1（·，ωt）∈ OhmtP。在（28）中设置APnas替换p*t+1，pPt+1ifωt∈ OhmtNA（和APn（ωt）= 如果ωt/∈ OhmtNA）。然后{AP*n6=} ∩ OhmtP={APn6=} ∩ Ohmt仍需确定{APn6=} ∈ 卑诗省(Ohmt） 。

备注th图表APn公司= 图表Aff公司Dt+1P*\\（ωt，h），| h |=1，pPt+1h类St+1（ωt，·）<-n、 ωt<n.引理2.6意味着图Aff公司Dt+1P*∈ 卑诗省(Ohmt）B（Rd）。As（ωt，h，ωt+1）→ h类St+1（ωt，ωt+1）和pPt+1是Borel可测量的，【Bertsekas和Shreve，2004，命题7.29 p144】暗示（ωt，h）→ pPt+1（小时St+1（ωt，·）<-1/n，ωt）是B(Ohmt） B（Rd）-可测量。因此，应用投影定理Ohmt型图表APn公司= {APn6=} ∈ 卑诗省(Ohmt） 证明是完整的。引理5.10LetXbe一个抛光空间。莱塔 十、 假设allP∈ P（X）存在一些ap∈ Bc（X）和someP全尺寸setXP∈ B（X）这样a∩ XP=AP∩ XP。ThenA公司∈ Bc（X）。证据修复一些P∈ P（X）。我们表明∈ BP（X），B（X）相对于P的完成。因为这对于所有P都是正确的∈ P（X），A∈ Bc（X）将紧随其后。存在AP∈ Bc（X）和XP∈ B（X）使得P（XP）=1和A∩ XP=AP∩ XP。作为AP∩ XP系统∈ 卑诗省(Ohmt） BP（X）存在一个P-可忽略集NPandAP∈ B（X）此类AP∩ XP=~AP∪ NP现在，让MP：=A∩ （X\\XP） X\\XP。作为X\\XP∈ B（X）和P（X\\XP）=0，MPis a P-可忽略的集合和a=（a∩ XP）∪ （A）∩ （X\\XP））=AP∪ NP∪ 议员∈ BP（X）。5.2.6命题证明3.39证明。引理3.7意味着NA（bP）和NA（QT）是等效的。修复BP的一些分解∈ QT，bP：=bP 英国石油公司 ···  B和一些1≤ t型≤ TASBPTDoDeminates QtProposition 3.26暗示在0∈ 国际扶轮社卷积和多项式相乘Dt+1bP（·）下面的Qt-q.s.Lemma 5.12提供了Qt全量测集Ohmt型\\Ohm对于所有ωt，bpt+1（·，ωt）支配qt+1（ωt）∈ Ohmt型\\Ohmtnd。因此Dt+1（ωt） Dt+1bP（ωt），等式由（3）asbP得出∈ QT。5.3命题4.1的证明直接来自引理5.12。确实，假设这一组QT占主导地位。像Ohm田纳西州 Ohmtnd、，OhmTn是与Sept相矛盾的Qt极性集(OhmtN）>0。引理5.12的证明是相当技术性的，需要引入Wijsman拓扑和引理5.11。

请注意，命题4.1中的反向含义似乎很直观，但会引发具有挑战性的技术问题。设（X，d）是波兰空间，F是X的非空闭子集集。F上的wijsman拓扑由TWis表示，fnτw-→n→+∞F<==> d（x，Fn）-→n→+∞d（x，F）表示所有x∈ 十、 其中d（X，F）：=inf{d（X，F），F∈ F}。注th at F en dowed with TWis a Polish space（参见[比尔，1991年]）。引理5.11函数（F，x）∈ F×X→ 1F（x）isB（F） B（X）-可测量。证据函数d：（x，F）∈ X×F→ d（x，F）是单独连续的。实际上，对于所有固定的x∈ 十、 d（X，·）是TWand定义的连续体【Aliprantis and Border，2006，定理3.16】意味着d（·，F）对于所有固定的F都是连续的∈ F、 使用[Aliprantis and Border，2006，引理4.51 p153]d是B（X） B（F）-可测量。我们从x开始得出结论∈ F当且仅当d（x，F）=0。引理5.12假设假设2.2成立，QT由BP控制∈P(OhmT） fix分解bP：=bP 英国石油公司··· bpTwhere^pt∈ SKT适用于所有1≤ t型≤ T、 那么Ohmtnd：=ωt∈ Ohmt、 Qt+1（ωt）不受bpt+1（·，ωt）支配∈ 卑诗省(Ohmt） aQt极坐标是否为all0设置≤ t型≤ T- 1.证明。修复一些0≤ t型≤ T- 我们分两步进行。步骤1：Ohmtnd公司∈ 卑诗省(Ohmt） 。为了证明步骤1，我们使用引理5.10和fix R∈ P(Ohmt） 。应用[Bertsekas和Shreve，2004，Lemm a 7.28 p174]，在Ohmt+1驱动Ohmtand a R全尺寸套件OhmtR公司∈ B类(Ohmt） 所有ωt的prt+1（·，ωt）=bpt+1（·，ωt）∈ OhmtR.（29）设Ft+1为Ohmt+1并让NRt：OhmtP(Ohmt+1）×Ft+1适用于所有ωt∈ OhmtbyNRt（ωt）：=（q，F）∈ P(Ohmt+1）×Ft+1，q∈ Qt+1（ωt），pRt+1F、 ωt= 0，q（F）>0. （30）我方首次提出索赔Ohmtnd公司∩ OhmtR={NRt6=} ∩ OhmtR.（31）Letωt∈ Ohmtnd公司∩ OhmtR。

由于Qt+1（ωt）不受bpt+1（·，ωt）=pRt+1（·，ωt）支配，因此存在一些q∈ Qt+1（ωt）和一些A∈ B类(Ohmt） 使得pRt+1（A，ωt）=0，q（A）>0。作为q∈ P(Ohmt+1）是内正则的（参见[Aliprantis and Border，2006，定义12.2 p435，定理12.7 p438，引理12.3 p435]），存在一些F∈ 英尺+1，英尺 A使得q（F）>0和（q，F）∈ NRt（ωt）如下。背面的夹杂物很明显。因此，引理5.10适用，如果{NRt6=} = 项目Ohmt型图表NRt公司∈卑诗省(Ohmt） 。这将遵循Jankov von Neumann定理（见【Bertsekas and Shreve，2004，命题7.49 p182】）ifgraph（NRt）∈ A.Ohmt×P(Ohmt+1）×Ft+1. （32）这从图（NRt）=A得出∩ B∩ C式中：=图（Qt+1）×Ft+1∈ A.Ohmt×P(Ohmt+1）×Ft+1,B：={（ωt，q，F），pRt+1（F，ωt）=0}∈ B类(Ohmt） B（P(Ohmt+1） B（Ft+1），C：={（ωt，q，F），q（F）>0}∈ B类(Ohmt）B（P(Ohmt+1） B（Ft+1），关于A的可测性，参见假设2.2。对于B和C，引理5.11以及[Bertsekas和Sh-reve，2004，命题7.29 p144]意味着（ωt，q，F）→ pRt+1（F，ωt）和（ωt，q，F）→ q（F）是Borel可测量的（回想一下，pRt+1（dωt+1 |ωt，q，F）=pRt+1（dωt+1，ωt）和q（dωt+1 |ωt，q，F）=q（dωt+1）是Borel可测量的随机核）。第2步：Ohmtndis是Qt极坐标系。我们从矛盾的角度出发，假设存在∈ QT这样的PT(Ohmtnd）>0。我们选择R=bPtin（29）和（30），并表示为Ohmtnd1：=Ohmtnd公司∩ OhmtbPt={NbPtt6=} ∩ Ohm待定∈ 卑诗省(Ohmt） ，请参见（31）和步骤1。Jankov-vonneumann定理和（32）也给出了qbPt+1a普适可测随机核的存在性Ohmt+1驱动Ohmtand通用可测量函数FbPt+1：Ohmt型→ Ft+1，即（qbPt+1（·，ωt），FbPt+1（ωt））∈ 所有ωt的NbPtt（ωt）∈ Ohmtnd1。

对于ωt/∈ Ohmtnd1we设置FbPt+1（ωt）= qbPt+1（·，ωt）=qt+1（·，ωt），其中qt+1是qt+1的通用可测选择器。请注意，ASBPT确定Qt，1=bPt(OhmtbPt）=Pt(OhmtbPt）和Pt(Ohmtnd1）>0。我们现在构建somebQ∈ QT，E∈ 卑诗省(Ohmt+1），使得BPT+1（E）=0，但BQT+1（E）>0，这与BP支配QT的事实相矛盾。LetbQ：=Pt qbPt+1pt+2 ··· pT公司∈ QT，E：=n（ωt，ωt+1）∈ Ohmt×Ohmt+1，ωt∈ Ohmtnd1，ωt+1∈ FbPt+1（ωt）o=Д-1({1}) ∩Ohmtnd1×Ohmt+1,Д（ωt，ωt+1）：=1FbPt+1（ωt）（ωt+1）。引理5.11意味着（F，ωt+1）→ 1F（ωt+1）是B（Ft+1） B类(Ohmt+1）-可测量和as（ωt，ωt+1）→ （FbPt+1（ωt），ωt+1）是Bc(Ohmt+1）-可测量，^1为Bc(Ohmt+1）-可通过成分测量。因此E属于Bc(Ohmt+1）。设（E）ωt：={ωt+1∈ Ohmt+1，（ωt，ωt+1）∈ E} ，thenbPt+1（E）=ZOhmtnd1bpt+1（E） ωt，ωtbPt（dωt）=ZOhmtnd1bpt+1FbPt+1（ωt），ωtbPt（dωt）=0，其中我们将th at用于ωt/∈ Ohmtnd1（E）ωt= 对于ωt∈ Ohmtnd1（E）ωt=FbPt+1（ωt）和bpt+1FbPt+1（ωt），ωt= pbPtt+1FbPt+1（ωt），ωt= 0.但Bqt+1（E）=ZOhmtnd1qbPt+1（E） ωt，ωtPt（dωt）=ZOhmtnd1qbPt+1FbPt+1（ωt），ωtPt（dωt）>0，除此之外(Ohmtnd1）>0和qbPt+1FbPt+1（ωt），ωt> 所有ωt为0∈ Ohmtnd1。证据到此结束。参考B。Acciaio、M.Beiglbock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本定理的无模型版本和超级复制o rem。数学金融，26（2）：233–251，2013。A、 Aksamit、S.Deng、J.Obl\'oj和X.Tan。稳健定价——离散时间金融市场中美式期权的对冲二元性。《数学金融》，PublishedOnline，2018年。C、 D.Aliprantis和K.C.边界。有限维分析：搭便车指南。Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学的基本原理]。Springer Verlag，柏林，第3版，2006年。Z、 阿尔茨坦。集值度量。《美国数学学会学报》，1651972年。D、 巴特尔。

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