引理1的证明。证据E（sign（A））=E（sign（A）| sign（A）6=sign（B））+P（sign（A）6=sign（B））+E（sign（A）| sign（A）=sign（B））=E（sign（A）| sign（A）6=sign（B））+E（sign（A）| sign（A）=sign（B））作为Y（η）+Y() -Y（η）-Y型() 独立于Y（u）-Y（u）并围绕0对称，clearlyE（符号（A）|符号（A）6=符号（B））=E（符号（A）|符号（Y（u）- Y（u）6=符号（Y（η）+Y() - Y（η）- Y型()))= E（符号（A）|符号（Y（u））- Y（u）=符号（Y（η）+Y() - Y（η）- Y型()))= E（sign（A）| sign（A）=sign（B））所以，E（sign（A）| sign（A）6=sign（B））=E（sign（A））。A、 5。定理4的证明。证据由于两个配置的对称性，证明一个配置的定理就足够了。让我们考虑第四种配置。这里I=u，I=u，Ic=+ ηandIc=+ η.如第1节所述，这种非同步配置的肯德尔τ为：ρτ=E（符号（X- 十） （Y）- Y） ）=E（符号（X（u））- X（u））（Y() + Y（u）+Y（η）- Y型() - Y（u）- Y（η））=E（符号{（X（u））- X（u））（Y（u）- Y（u））+（X（u）- X（u））（Y() + Y（η）- Y型() - Y（η））}）根据我们的符号，A=（X（u）- X（u））（Y（u）- Y（u））和B=（X（u）-X（u））（Y()+Y（η）-Y型()-Y（η））。所以，ρτ=E（符号（A+B））和|ρτ=E（符号（A））。Letus用N表示区域，其中符号（A）6=符号（A+B），即N={符号（A）6=符号（B）&| B |>| A |}。E（符号（A+B））=E（符号（A+B）| Nc）P（Nc）+E（符号（A+B）| N）P（N）=E（符号（A）| Nc）P（Nc）- E（sign（A）| N）P（N）ButE（sign（A））=E（sign（A）| Nc）P（Nc）+E（sign（A）| N）P（N）通过引理2，| E（sign（A）| N）|>0。这意味着| E（符号（A+B））|<| E（符号（A））|。A、 6。定理5的证明。证据由于两个配置的对称性，证明一个配置的定理就足够了。我们考虑图7的情况（第四种配置）。

这里I=u，I=u，Ic=+ η和Ic=+ η.如第1节所述，这种非同步配置的肯德尔τ为：ρτ=E（符号（X- 十） （Y）- Y） ）=E（符号（X（u））- X（u））（Y() + Y（u）+Y（η）- Y型() - Y（u）- Y（η））=E（符号{（X（u））- X（u））（Y（u）- Y（u））+（X（u）- X（u））（Y() + Y（η）- Y型() - Y（η））}）根据我们的符号，A=（X（u）- X（u））（Y（u）- Y（u））和B=（X（u）-X（u））（Y() + Y（η）- Y型() - Y（η））。所以，ρτ=E（sign（A+B））=E（sign（A）| sign（A+B）=sign（A））P（sign（A+B）=sign（A））- E（符号（A）|符号（A+B）6=符号（A））P（符号（A+B）6=符号（A））=E（符号（A）|符号（A+B）=符号（A））P- E（符号（A）|符号（A+B）6=符号（A））（1- p） =p（E（符号（A）|符号（A+B）=符号（A））+E（符号（A）|符号（A+B）6=符号（A）））- E（符号（A）|符号（A+B）6=符号（A）），且ρτ=E（符号（A）|符号（A+B）=符号（A））+E（符号（A）|符号（A+B）6=符号（A）），P（符号（A+B）6=符号（A））=P（符号（A）|符号（A+B）=符号（A））- E（符号（A）|符号（A+B）6=符号（A）））+E（符号（A）|符号（A+B）6=符号（A）），其中ρτ是真肯德尔τ，p=p（符号（A+B）=符号（A））。因此ρτ+~ρτ=2p（E（sign（A）| sign（A+B）=sign（A）））（6）现在我们必须计算概率p.p=p（sign（A+B）=sign（A））=p（{sign（A）=sign（B）}或{sign（A）6=sign（B）&| A |>| B}）=p（{sign（A）=sign（B）}）+p（{sign（A）6=sign（B）&| A |>）124; B |}）=p（{符号（A）=符号（B）}）+p（{符号（A）6=符号（B）}）p（{A |>B |）=+p（{A |>B |）上述推导的第三步是正确的，因为{符号（A）=符号（B）}和{符号（A）6=符号（B）&| A |>| B |}显然是独立的。此外，{符号（A）6=符号（B）和{| A |>| B |}的独立性是不言而喻的，这导致了步骤4。请注意，符号（A）和符号（B）将依赖于符号（Y（u）- Y（u））和符号（Y() + Y（η）- Y型() - Y（η））。由于独立增量属性，符号（Y（u）- Y（u））和符号（Y() + Y（η）- Y型() - Y（η））是独立的。

因此P（符号（A）=符号（B））=P（符号（A）6=符号（B））=。让我们表示事件C={符号（A）=符号（B）}和D={符号（A）6=符号（B）&| A |>| B |}。注意，作为事件C的条件，ρτ=E（符号（A））=E（符号（A）| C并不影响符号（A）的预期值。E（符号（A）|符号（A+B）=符号（A））=E（符号（A）| C）P（C）+E（符号（A）| D）P（D）P（C∪ D） =ρτ/2+E（符号（A）| D）（P（| A |>| B |）/2）将此值设为6，我们得到ρτ+~ρτ=2pρτ/2+E（符号（A）| D）（P（| A |>| B |）/2）P==> ρτ=E（符号（A）| D）P（| A |>| B |），因此我们证明了结果。附录B.正和负连接假设X和Y正相关。和（X，Y）和（X，Y）是两个相同的对。Yfrom Y的值越大，{X>X}的概率越大。这种良好的期望在以下定义中正式化。定义2。如果M>0，P（U>0 | V>M）≥ P（U>0 | 0<V<M）≥ P（U>0 |- M<V<0）≥ P（U>0 | V<-M）如果M>0时，上述不等式的符号颠倒。请注意，定义对于X和Y是不对称的。X与Y正相关并不意味着Y与X正相关。定义：如果X与Y正相关（或负相关），而Y与X正相关（或负相关），那么我们称之为-X与Y之间存在正相关（或负相关）。很容易看出，如果X和Y有正（/负）联系，那么假设1、假设2和假设2’就满足了。这是因为X- X | Y- Yd=X-X | Y- Y、 因此，这一更强但合理的假设超越了之前的假设，并使我们能够陈述以下定理。定理6。

在假设两支股票的回报率具有正（/负）联系的情况下，对于第一和第四配置的成对股票，|ρτ|>|ρτ|）和符号（△ρτ）=符号（ρτ），其中ρτ是根据第一和第四配置的成对数据计算的肯德尔τ，即ρτ=e（符号（X- 十） （Y）- Y） ，其中（X，Y）和（X，Y）是相同配置的独立对。