他们表明，养老金投资组合将从风险资产投资转移到货币市场。惯例是债券在到期时保证一定数额的资金。起初，债券的权重相对较高，当接近T（退休时间）时，权重会下降。这也意味着，当接近T时，对冲利率风险的需要较低。我们提供图5，分别研究TL对风险资产最佳权重的影响。根据命题6，在任何时间t，最优库存重量取决于索尼（t）F（t）。图5中的左中图显示，库存中的最佳比例对L不敏感。因此，有数字证据表明y（t）F（t）对TL不敏感。我们在图6中显示，当TL改变时，F（t）变化不大。我们看到H（t，t+TL）随着TL的减少而减少。根据最优解，这导致长寿键重量下降。首先，当TL增加时，h（t，t+TL）急剧下降，随后仅略有变化。当t等于5、10、15、20和25时，h（t，t+TL）分别等于约0.594886、0.560673、0.558716、0.558597和0.558590。因此，我们在图5中观察到，长寿债券的最佳权重对更长的到期时间不敏感。当TL从5上升到10时，WL明显下降。当TL取值10、15、20和20时，观察到WLI无明显变化。直觉上，较长的到期时间会导致滚动寿命保证金支付的不确定性增加。对于一个风险厌恶型投资者来说，最好在期限较长的长寿债券上减少投资组合的权重。与wL相比，WB在改变TL时反应更剧烈。当wL的变化按因子f（t，t+TL）f（t，t+TB）放大时，从最佳解决方案中可以明显看出这一点。图6中的左图显示SF（t，t+TL）f（t，t+TB）随TL增加。

因此，由于f（t，t+TL）f（t，t+TB）wL（t）的减小，最优键重随TL的增大而显著减小。除TL=5的情况外，债券的最佳投资比例在最近几年变为负值。这是因为长寿债券对冲了长寿风险和利率风险。然而，当离退休时间越来越近时，对冲利率风险的需要就会减少，而长寿风险仍然很高。债券的负头寸设置了长寿债券提供的利率风险对冲。即使观察到键的负位置，长寿键和键的权重之和始终为正，如图5左下角的曲线图所示。总的来说，较长的到期时间可能会降低长寿债券的吸引力。尽管成熟期较长可能会对其投资吸引力造成不利影响，但长期债券在DC计划的风险管理中始终发挥着重要作用，因为其投资组合权重始终相对较高。0 5 10 15 20 25时间（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例TL=5长寿债券现金0 5 10 15 20时间（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例TL=15长寿债券现金0 5 10 15 20 25时间（年）-1-0.500.511.5投资比例TL=20长寿债券现金0 5 10 15 20时间（年）-1-0.500.511.5投资比例TL=25长寿债券现金图4：最佳投资比例的平均路径，TL=5、15、20和254.2.4出资率如DWP（2013）和OECD（2019）所述，DCschemes的出资率最低要求为8%，而英国法律对出资额没有限制。对于一个合法公民，ZF将以税收减免的形式将该公民收入的1%加入其养老金，从而使实际最低缴款率达到9%。

个人可以将其收入的100%用于养老金计划，但可以征税。照着我们认为最大值为0.60.811.2wLTL=5 TL=5 TL=10 TL=15 TL=20 TL=250 5 10 15 20 25时间（年）0.60.811.2wLTL=5 TL=10 TL=15 TL=20 TL=250 5 10 15 20 25时间（年）0.250.30.350.4wSTL=5 TL=10 TL=15 TL=20 TL=25时间（年）-2-101w0TL=5 TL=10 TL=15 TL=20 TL=250 5 10 15 20 25时间（年）0123wB+WLTL=5 TL=5 10 TL=15 TL=20 TL=250 5 10 15 20 25时间（年）0.60.650.70.75wB+wL+w0TL=5TL=10 TL=15 TL=20 TL=25图5：最佳投资比例的平均路径变化TL0 5 10 15 20 TL00.20.40.60.811.21.41.61.80 5 10 15 20 25时间（年）00.0050.010.0150.02TL=5TL=10TL=15TL=20TL=25图6：h（t，t+TL）和f（t，t+TL）f（t，t+TB）与TL；平均路径偏移（t）变化TL贡献率为40%。在图7中，我们显示了贡献率rcequalsto为0.10、0.20、0.30和0.40的最佳比例。也就是说，瞬时贡献c等于1.5、3、4.5和6。总的来说，我们观察到，贡献率越高，风险资产的权重越高，而现金的权重越低。这一观察结果背后的直觉是，缴费率越高，该计划未来收入的现值就越高。未来收入的高现值促使经理增加对风险资产的投资。由于未来收入有保障，经理希望承担更多风险，赢得更多风险溢价。根据命题6，最优股票权重取决于onY（t）F（t）。在任何时间t，我们有Y（t）=F（t）+D（t）–G（t）。向该计划支付的缴款越多，财富水平F（t）越高，未来缴款的现值d（t）越大。此外，最低担保G（t）的现值不取决于缴款率。因此，Y（t）F（t）和最优股票投资比例随rc的增加而增加。

当接近恢复时间时，最优库存重量对rc的敏感性较低。其解释是，随着时间的推移，财富过程F（t）会增加，因为有持续的贡献支付给该计划。此外，该方案还获得了投资回报。未来贡献的预期值D（t）随着时间的推移而降低，最终在t时达到零。因此，Y（t）F（t）随着时间的推移而下降，rcon对最优库存重量的影响减小。从最优解来看，在任意时刻，长寿债券的最优投资比例是？L（t）=–θλ+σλA（t，t）γσλh（t，t+TL）Y（t）F（t）+πR∞TL（t，s）h（t，s）dsh（t，t+TL）F（t）由于（t）F（t）随rca增加而增加，而F（t）随rc减少，很难从最优解看出wl（t）随rc的变化。从数值结果中，我们观察到，在前17年，RClead越高，寿命键的权重越大，wL（t）对rcin后期的敏感性越低。我们推断，在早期，当Rc上升时，上述公式中的第一项增长更快，第二项下降更低。因此，wL（t）随着rc的增加而增加。当接近T时，这两个术语中的运动会逐渐相互影响。因此，观察到不敏感。键中的最佳重量与长寿键的反应方式相似，但远不敏感。我们还发现，当投资于T时，投资于风险资产的财富比例和现金对贡献率都不太敏感。

一般来说，我们的数值结果表明，如果贡献率较高，那么对风险资产，尤其是长寿债券，施加更多权重是最优的。0.5 10 15 20 25时间（年）-0.500.51wBrc=0.10 rc=0.20 rc=0.30 rc=0.400 5 10 15 20时间（年）0.511.52wLrc=0.10 rc=0.20 rc=0.30 rc=0.400 5 10 15 20时间（年）0.20.40.60.8wSrc=0.10 rc=0.20 rc=0.30 rc=0.400 5 10 15 20时间（年）-3-2-101w0rc=0.10 rc=0.10 rc=0.20 rc=0.30 rc=0.40图7：最优投资比例的平均路径，rc=0.10，0.20，0.30和0.404.2.5工资替代率在估计退休收入需求时，工资替代率是一个很好的工具。高工资替代率意味着需要退休前收入的一大部分来维持退休时的生活标准。OECD（2019）显示，OECD国家的净替代率在30%至90%之间变化。因此，我们将RW设为0.30、0.50、0.70和0.90，以检验工资替代率的影响。在图8中，我们分别研究了RW对债券、长寿债券、股票和现金的最佳权重的影响。我们发现，债券和现金的最佳权重对工资替代率的变化不太敏感。随着工资替代率的增加，最优股票权重下降。而较高的工资替代率会导致更多的计划财富投资于长寿债券。很明显，工资替代率越高，年金分期越高，G（t）越高。而财富过程F（t）和折现未来贡献D（t）并不取决于工资替代率。因此，Y（t）F（t）=F（t）+D（t）–G（t）F（t）与rw递减。从命题6可以看出，最优股票权重随着y（t）F（t）的增加而增加，而最优长寿债券权重随着y（t）F（t）的减少而减少。

结果表明，当工资替代率较高时，增加长寿债券中的计划财富分位数是最优的。直觉上，较高的工资替代率意味着会员需要较高的年金分期付款，该计划面临更大的长寿风险。因此，计划管理人将计划资金的很大一部分投资于长寿债券，以对冲长寿风险。0.5 10 15 20 25时间（年）-0.500.51wBrw=0.30 rw=0.50 rw=0.70 rw=0.900 5 10 15 20 25时间（年）0.511.5wLrw=0.30 rw=0.50 rw=0.70 rw=0.900 5 10 15 20时间（年）0.10.20.30.4wSrw=0.30 rw=0.50 rw=0.70 rw=0.900 5 10 15 20 25时间（年）-2-101w0rw=0.30 rw=0.50 rw=0.70 rw=0.90图8：rw=0.30、0.50、，0.70和0.905结论我们在同时考虑利率风险和寿命风险的框架下研究了DC养老金计划的最优投资问题。我们的理论结果和随后的数值研究表明，长寿债券在DC计划的风险管理中起着重要作用。我们观察到，方案经理越厌恶风险，长期债券的投资比例越低。然而，即使对于高度厌恶风险的经理人，我们也表明，将该计划的大部分财富投资于长寿债券是最佳选择。此外，与投资其他风险资产相比，长寿债券的投资比例相对较高，即使在长寿风险溢价相对较低的情况下。此外，我们观察到，更长的到期时间可能会影响长寿债券的吸引力，然而，具有更长到期时间的长寿债券总是主导着投资组合。此外，我们观察到，高供款率和工资替代率促使计划经理对长寿债券进行更多投资。

我们的结论是，长寿债券对养老金计划具有吸引力，并且在发展与人口挂钩的衍生品方面具有真正的潜力。A第2A节中的详细计算。1定价任何t的零息票债券∈ [0，T]，在风险中性概率测度下，无风险利率的动力学由dr（T）给出=ar–brr（t）dt+σrqr（t）dfW（t），其中br=br+θrσr。让k（t，r（t））=B（t，TB），并定义利率贴现过程C（t）=e–Rtr（u）du。零息票债券的贴现价格C（t）B（t，TB）=C（t）k（t，r（t））是风险中性测度下的鞅。根据它的公式，我们得到C（t）k（t，r（t））= k（t，r（t））dC（t）+C（t）dk（t，r（t））=–rkCdt+Chktdt+krdr+krrdr dri=Ch–rk+kt+kr（ar–brr）+krrσrridt+krσr√r CdfWr。在终端条件k（TB，r）=1的情况下，将dt项设置为零引线tokt+kr（arbrr）+krrσrr=rk，（26）。由于r（t）遵循一个有效模型，（26）的解可以用以下形式表示：k（t，r（t））=ef（t，TB）–f（t，TB）r（t），（27），终端条件f（TB，TB）=0，f（TB，TB）=0。从（26）和（27）中，我们推导出f（t，TB）–f（t，TB）r（t）–f（t，TB）（ar–brr（t））+f（t，TB）σrr（t）=r（t）。通过收集上述r（t）项，我们得到以下ODE1=–f（t，TB）+f（t，TB）~br+f（t，TB）σr，0=f（t，TB）–f（t，TB）ar。通过求解ODE（例如，使用MATLAB），我们得到（3）中的解f（t，TB）和f（t，TB）。然后，我们得到db（t，TB）B（t，TB）=r（t）dt–f（t，TB）σrqr（t）dfW（t）=r（t）dt–f（t，TB）σrqr（t）dW（t）+θrqr（t）dt.A、 2定价任何t的零息票长寿债券∈ [0，T]，在风险中性度量下，死亡率的动力学由dλ（T）给出=aλ（t）–bλ（t）dt+σλqλ（t）dfW（t），其中∧bλ=bλ+θλσλ。用▄C（t）=e–Rtλ（u）duandeB（t，TL）=eE表示e–RTLtλ（u）duF（t）.

设k（t，λ（t））=eB（t，TL），我们得到eC（t）eB（t，TL）=eC（t）~k（t，λ（t））是ep下的鞅。我们通过Itó的公式▄kt+▄kλ（aλ–bλ）+▄kλλσλ=λ▄k，（28），终端条件▄k（TL，λ）=1。由于λ（t）的非线性，在终端条件h（TL，TL）=0和h（TL，TL）=0的情况下，（28）的解可表示为以下形式k（t，λ（t））=eh（t，TL）–h（t，TL）λ（t），（29）。从（28）和（29）中，我们得到h（t，TL）–h（t，TL）λ（t）–h（t，TL）（aλ（t）–bλλ（t））+h（t，TL）σλλ（t）=λ（t）。通过收集上述λ（t）项，我们得到以下ODE1=–h（t，TL）+h（t，TL）~bλ+h（t，TL）σλ，0=h（t，TL）–h（t，TL）aλ（t）。（6）给出了解决方案。根据它的公式，我们得到deb（t，TL）eB（t，TL）=λ（t）dt–h（t，TL）σλqλ（t）dfW（t）。由于r（t）和λ（t）是独立的，我们可以重写L（t，TL）asL（t，TL）=e–Rtλ（u）dueEe–RTLtr（u）duF（t）eE公司e–RTLtλ（u）duF（t）.用N（t，TL）=B（t，TL）eB（t，TL）表示，我们有L（t，TL）=C（t）N（t，TL），这给了我们以下dl（t，TL）=N（t，TL）dC（t）+C（t）dN（t，TL）=N（t，TL）dC（t）+C（t）hB deB（t，TL）+eB（t，TL）dB（t，TL）i=r（t）L（t，TL）dt–f（t，TL）rqrσ（t）L（t，TL）dW（t）+θrqr（t）dt– h（t，TL）σλqλ（t）L（t，TL）dW（t）+θλqλ（t）dt.A、 3计划财富过程的动态为了研究计划财富的动态，我们采用了He和Liang（2013）中使用的类似方法。对于任何t∈ [0，T]和一个小的正数, 用ν（t，t+) 时间间隔内的投资回报率（t，t+), 我们有ν（t，t+)F（t）=α（t）R（t+) – R（t）R（t）+αB（t）B（t+) – B（t）B（t）+αL（t）L（t+) – L（t）L（t）+αS（t）S（t+) – S（t）S（t）。设q（t，t+) 表示在时间间隔（t，t+). 继承人领取的去世成员养老金总额等于q（t，t+)F（t）。该方案在此期间的现金流为c + ν（t，t+)F（t）–q（t，t+)F（t）。

时间t+, 1–q（t，t+)成员存活率和基金价值为F（t+) =F（t）+c + ν（t，t+)F（t）–q（t，t+)F（t）1–q（t，t+).1–q（t，t+) = e–Rt+tλ（u）dugives1–q（t，t+)= eRt公司+tλ（u）du=1+λ（t） + o().自ν（t，t+)λ（t） = o() 和q（t，t+)λ（t） = o(), we getF（t+) =F（t）+c + ν（t，t+)F（t）–q（t，t+)F（t）（1+λ（t）+o())=F（t）+c + ν（t，t+)F（t）–q（t，t+)F（t）+λ（t）F（t）+o().因为我们有，林→0q（t，t+)=λ（t），lim→0ν（t，t+)F（t）=α（t）dR（t）R（t）+αB（t）dB（t）B（t）+αL（t）dL（t）L（t）+αS（t）dS（t）S（t），我们得到df（t）=（λ（t）F（t）+c–λ（t）F（t））dt+α（t）dR（t）R（t）+αB（t）dB（t）B（t）+αL（t）dL（t）ls（t）+αS（t）dS（t）S（t）=r（t）F（t）+c+α（t）M（t）dt+α（t）∑（t）dW（t）。B提案1的证明。在蚂蚁时间t∈ [0，T]，通过交换积分顺序，我们可以重写（13）asD（T）=eE“ZTtce–Rstr（u）dudsF（t）#=cZTtB（t，s）ds。根据莱布尼兹积分规则，我们得到dd（t）dt=–c+cZTtdB（t，s）dtd。然后，我们得到dd（t）=–cdt+cZTtB（t，s）dB（t，s）B（t，s）ds=–cdt+r（t）D（t）dt+cZTtB（t，s）σB（t，s）dsdW（t）+θrqr（t）dt. （30）比较（4）和（30）中的系数，我们得到了滚动债券和货币市场的持有量：αDB（t）=cRTtB（t，s）σB（t，s）dsσB（t，t+TB）=cRTtB（t，s）f（t，s）dsf（t，t+TB），αB（t）=D（t）-αDB（t）。C命题2证明。

在任何时候t∈ [0，T]，我们可以重写（16）asG（T）=πeEeE公司Z∞TR（t）R（s）p（s）dsF（T）F（t）=πZ∞球座R（t）R（s）p（s）F（t）ds=πZ∞TL（t，s）dsleibniz积分规则，我们得到dg（t）dt=πZ∞TdL（t，s）DTD。然后，我们得到dg（t）=πZ∞TdL（t，s）L（t，s）L（t，s）ds（31）=πZ∞Thr（t）dt+σrL（t，s）dfW（t）+σλL（t，s）dfW（t）iL（t，s）ds=r（t）G（t）dt+πZ∞TσrL（T，s）L（T，s）dsdW（t）+θrqr（t）dt+ πZ∞TσλL（T，s）L（T，s）dsdW（t）+θλqλ（t）dt.通过比较（4）、（7）和（31）中的系数，我们得到了滚动长寿债券、滚动债券和货币市场的持有量：αGL（t）=πR∞TσλL（T，s）L（T，s）dsσλL（T，T+TL）=πR∞TL（t，s）h（t，s）dsh（t，t+TL），αGB（t）=πR∞TσrL（T，s）L（T，s）dsσB（T，T+TB）–αGL（T）σrL（T，T+TL）σB（T，T+TB）=πR∞TL（t，s）f（t，s）dsf（t，t+TB）–αGL（t）f（t，t+TL）f（t，t+TB），αG（t）=G（t）–αGB（t）–αGL（t）。D命题4证明。对于任何t∈ [0，T]，设g（T，z）是T和z（T）的函数。我们猜测二阶非线性偏微分方程（24）的解具有以下形式：v（t，y，z）=y1–γ1–γg（t，z），（32），终端条件g（t，z）=1。在（24）中替换（32）导致0=gt+（1–γ）rg+1–γ2γM（∑）–1Mg+1–γM∑–1ξgz+ugz+tr（ξξgz）+1–γ2γggzξgz。（33）我们进一步猜测，g（t，z）的形式如下：g（t，z）=eA（t，t）+A（t，t）z（t）=eA（t，t）+A（t，t）r（t）+A（t，t）λ（t）（34），终端条件A（t，t）=0，A（t，t）=0和A（t，t）=0。在（33）中替换（34），wehave0=A+Ar+Aλ+ （1–γ）r+1–γ2γθrr+θλ+θS+1–γγ（θrσrr A+θλσλA）+（ar–brr）A+（Aλ–bλλ）A+2γσrr A+σλλA.通过收集上述r（t）和λ（t）项，我们得到以下三个常微分方程：0=A（s，t）+（1–γ）（2γ+θr）2γ+（1–γ）θrσr–brγA（s，t）+σr2γA（s，t），0=A（s，t）+（1–γ）θλ2γ+（1–γ）θσλ-bλγA（s，t）+σλ2γA（s，t），0=A（s，t）+1–γ2γθs+arA（s，t，t）+Aλ（s）A> 0和> 0，命题4给出了解A（t，t）、A（t，t）和A（t，t）。

一阶条件（23）变成αY=γ（∑）–1My+γ∑–1ξAy=σλLσSθr√r–σrLσSθλ√λ–σλLσrSθS√rσBσSσλL+σr√rσBA–σrLσλ√λσBσλLAθλ√λσλL+σλ√λσλLAθSσSyγ。参考Battocchio，P.和F.Menoncin（2004）。随机框架下的最优养老金管理。保险：数学与经济学34（1），79–95。Bi ffes，E.和D.Blake（2014年）。在游戏中保持低调：如何在longevityrisk转让中启动资本市场。《北美精算杂志》18（1），14–21。Bi ffes，E.和P.Millossovich（2006年）。死亡风险的二维方法。《经济与金融决策》29（2），71–94。Blake，D.和W.Burrows（2001年）。幸存者债券：帮助对冲死亡风险。《风险与保险杂志》，339–348。Boulier、J.-F.、S.Huang和G.Taillard（2001年）。随机利率下的最优管理：受保护的固定缴款养老基金案例。保险：数学与经济学28（2），173–189。Brigo，D.和F.Mercurio（2007年）。利率模型理论与实践：微笑、通货膨胀和信贷。施普林格科学与商业媒体。凯恩斯，A.（2000）。关于连续时间随机养老基金模型的动力学和最优控制的一些注记。ASTIN公告：IAA杂志30（1），19–55。凯恩斯、A.J.、D.布莱克和K.多德（2006年）。具有参数不确定性的随机死亡率双因素模型：理论和校准。《风险与保险杂志》73（4），687–718。Cocco，J.F.和F.J.Gomes（2012年）。长寿风险、退休储蓄和金融创新。《金融经济学杂志》103（3），507–529。Cuchiero，C.（2006年）。A ffine利率模型：理论与实践。不适用。Dahl，M.（2004年）。人寿保险中的随机死亡率：市场准备金和与死亡率相关的保险合同。保险：数学与经济学35（1），113–136。De Kort，J.和M.Vellekoop（2017年）。

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