固定缴款养老金计划中的长寿风险对冲

2022-6-14 13:26:38

固定缴款养老金计划中的长寿风险对冲Sankush Agarwal格拉斯哥大学克里斯蒂安·奥利弗·伊瓦尔德永杰·王扎丹·史密斯商学院，格拉斯哥G12 8QQ，联合王国2020年5月摘要全球养老金计划面临越来越大的压力，需要有效地对冲人口老龄化带来的长期风险。在这项工作中，我们研究了固定缴款养老金计划的最优投资问题，该计划决定使用与死亡率相关的保障（通常是长寿债券）对冲长寿风险。养老金计划投资于市场上可用的风险资产，包括长寿债券，通过使用代表性计划成员的供款来确保最低保障，使成员能够在退休后购买终身年金。我们通过复制成员未来供款的自融资投资组合和该计划提供的最低担保，将该约束最优投资问题转化为单一投资组合优化问题。我们利用动态规划原理解决了由此产生的优化问题，并通过一系列的数值研究表明，长期风险对投资策略的绩效有着重要的影响。我们的结果补充了越来越多的数学证据，支持使用与死亡率相关的证券来有效地降低长寿风险。关键词：固定缴款养老金计划、长寿债券、随机控制、动态规划原则1简介养老金计划是社会中一种重要的经济机制，因为它为人们从生产性劳动力退休后提供正规收入。根据福利和缴款政策，养老金计划有两大类：固定福利计划（DBschemes）和固定缴款计划（DC计划）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-14 13:26:41

在DB计划中，退休后计划支付的养老金福利是预先确定的。在这种情况下，计划成员只需定期缴纳供款，不承担任何投资风险，而计划管理人则承担投资绩效不佳的风险，并可能无法实现收益。在DC计划中，计划成员应付的供款金额是预先确定的，而不是收益支付。收益取决于累计供款的规模和计划管理人的投资绩效，并且在退休前不确定。与DB计划成员相比，DC计划的成员在获得福利的方式上有更多的选择。通常有三种选择：购买电子邮件：ankush。agarwal@glasgow.ac.ukye-邮件：christian。ewald@glasgow.ac.ukze-邮件（通讯作者）：y.wang。12@research.gla.ac.uklifetime年金，或选择灵活的收入提取选项（即，在剩余资金留在养老金计划中的同时定期提取资金），或从计划中提取一次性现金金额。在跟单信用证计划中，计划成员的雇主不承担任何风险，因为其唯一责任是与其雇员一起支付供款。然而，由于投资业绩不佳，员工在退休后面临领取不足福利的风险。Bi ffis和Blake（2014）提到，全球年金和养老金相关的长寿风险敞口估计为15万亿美元。根据Cocco和Gomes（2012），65岁美国（英国）男性的平均预期寿命每十年增加1.2（1.5）岁。因此，针对这些人口的DB计划在2007年所需财富将比1970年多29%。由于DB计划的不可持续性，DC计划在雇主中越来越受欢迎。Boulier等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:26:44

（2001）研究了随机利率框架下DC计划的最优投资问题，其中为成员的利益提供了下行保护。他们通过应用动态规划原理，从方案最终财富和下行担保之间的盈余中获得了最大化预期终端效用的最优投资策略。Gao（2008）使用对偶方法解决了随机利率市场中DC计划的最优资产配置问题。Deelstra等人（2003年）从计划经理的角度研究了DC养老金计划的资产负债管理（ALM）问题。他们在存在特定最低担保的情况下，最大化了终端财富的预期效用，并使用马丁格尔理论来解决优化问题。Han和Hung（2012）研究了考虑通货膨胀风险和劳动收入风险的DC养老金计划的最优资产配置问题。他们对退休时购买通货膨胀指数年金引入了最低担保。为了对冲通货膨胀风险，他们在投资组合中加入了通货膨胀指数债券。受这些之前工作的启发，我们考虑了一个DC计划，在该计划中，计划经理在金融市场中分配财富，以达到成员退休后购买终身年金所需的金额。年金作为最低保障，其价格取决于计划成员的预期剩余寿命。因此，正确模拟成员的死亡行为至关重要。在精算学中，死亡率（即瞬时死亡率）通常用于实施生存分析。De Moivre（1725）和Gompertz（1825）的经典著作研究了死亡模型的决定性力量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-14 13:26:47

然而，最近关于死亡率建模的研究考虑了具有随机死亡率的离散时间和连续时间模型。由于死亡率数据通常每年报告一次，因此很容易在离散时间环境中对死亡率进行建模。Lee和Carter（1992）是最早使用时间序列方法建模和估计死亡率的人之一。其他离散时间模型包括，例如，CBD模型和Renshaw-Habermancohort模型（Cairns et al.（2006）；Renshaw和Haberman（2006））。一些研究，如米列夫斯基（Milevsky）和普罗米斯洛（Promislow）（2001）以及达尔（Dahl）（2004），发现利率和死亡率之间存在相似之处；例如，他们是积极的，并且有一个期限结构。因此，根据利率建模文献，现在使用扩散过程和跳跃过程来研究死亡率的力量。特别是，a ffine死亡率模型很受欢迎，并在Dahl（2004）、Bi ffsand Millossovich（2006）、Luciano和Vigna（2005）以及Russo等人（2011）等著作中进行了研究。在这项工作中，我们假设所有计划成员的死亡率的演化可以用相同的连续时间-时间-仓促过程来描述，因此，选择一个有代表性的成员来研究这个问题。我们遵循Menoncin（2009）的观点，使用一个类似于Cox-Ingersolross（CIR）过程的a ffine模型来描述死亡率。a ffine模型的分析可跟踪性允许我们使用为利率衍生品开发的无套利定价框架对与死亡率相关的证券进行定价。由Blake和Burrows（2001）提出的长寿债券根据选定参考人群中的幸存者数量提供息票支付。因此，投资长寿债券不仅可以有效对冲长寿风险，还可以分散投资组合。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:26:50

Menoncin（2008）研究了具有随机死亡时间的投资者的最优消费和投资问题。他将投资者的跨期消费最大化，直至死亡时间，并使用滚动长寿债券对冲投资者的长寿风险。他指出，投资于长寿债券的最佳金额随着时间的推移而减少，因为对冲longevityrisk的需求随着死亡的临近而减少，而最佳消费则随着时间的推移而增加。De Kort和Vellekoop（2017）使用CIR过程对死亡率进行建模，该过程确保死亡率为非负。他们认为，尽管此类长寿债券没有流动市场，但将长寿风险的市场价格设定为零并不现实。相反，他们假设风险的市场价格随时间变化，与死亡率的平方根成正比。Cocco和Gomes（2012）研究了生命周期模型中的最优消费和投资问题。通过对美国历史数据和当前预测的校准，他们显示出未来死亡率改善的巨大不确定性。他们还建议，与长寿相关的证券有助于长寿风险管理。Menoncin和Regis（2017）研究了个人投资者在退休前对冲长寿风险的最佳消费和投资问题。他们表明，投资于长寿债券的最佳比例高于其他资产。在这项工作中，我们考虑了一个由三种风险资产组成的金融市场：股票、滚动债券和循环寿命债券。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

可人4

2022-6-14 13:26:53

结果表明，长寿债券为对冲长寿风险提供了一种有效的方法。大多数研究DC计划最优投资组合策略的文章都关注财务风险（例如，利率风险、通货膨胀风险），而忽视了寿命风险。即使是考虑长寿风险的研究，也主要关注DB养老金方案的最优资产配置问题，并使用时变但确定性的死亡率模型来衡量长寿风险。此外，由于养老金计划是代表其成员管理的，因此研究使成员的预期终端效用最大化的最佳投资问题更有意义。然而，只有少数作者，例如Han和Hung（2012），He和Liang（2015），从方案成员的角度研究了最优投资问题，而其余的主要关注ALM框架。在我们的工作中，我们从一个具有代表性的计划成员的角度，在随机死亡率和随机利率的框架下，研究了DC计划的最优资产配置问题。特别是，我们的主要贡献是扩展了Boulier et al.（2001）、Gao（2008）、Menoncin和Regis（2017）的工作，以研究DC计划的最优投资组合配置，同时对冲寿命风险。代表成员要求该计划的财富水平必须至少足以购买作为最低保证的终身年金。方案管理者在方案财富水平和最低担保之间最大化终端盈余的预期效用。为了对冲长寿风险，Menoncin（2008）引入的滚动长寿债券被添加到投资组合中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:26:56

我们的结果表明，长寿风险在养老金计划的风险管理中起着重要作用，并表明长寿债券不仅可以有效对冲未来的长寿风险，还可以提供有吸引力的风险溢价。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了问题的数学框架，并介绍了金融市场中考虑的不同风险资产。在第3.1节中，我们首先计算了约束优化问题，其中计划的财富水平应足以在成员退休时购买终身年金。我们确定了投资组合的不同组成部分，并将投资组合选择重新表述为第3.2节中的单个投资组合优化问题。我们利用第3.3节中的动态规划原理推导出最优投资策略的解析解。第4节讨论了一些数值研究，包括对不同模型参数的敏感性分析，这些研究揭示了在投资组合中引入滚动寿命债券的重要性。2金融市场设置(Ohm, F、 {F（t）}t≥0，P）是一个在有限时间范围T=[0，∞). P是物理（可观察）概率度量，F（t）表示投资者在t时可获得的信息。在这个概率空间上，我们考虑一个由股票、滚动债券和滚动寿命债券组成的无摩擦金融市场。对于零耦合债券和长寿债券的实际定价，我们考虑了随机无风险利率r（t）和随机死亡力λ（t）。此外，我们用以下公式表示P下的三维标准布朗运动W（t）| t∈ T=W（t），W（t），W（t）| t型∈ T.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:01

我们假设r（t）由CIR过程描述：dr（t）=（ar–brr（t））dt+σrqr（t）dW（t），r（0）=r，其中ar，brandσ稀有正常数。我们进一步假设Feller条件2ar>σ满足，因此，对于任何t∈ T、 r（T）>0几乎可以肯定，在P下。如第1节所述，在建模随机摩尔力时，a ffene模型很受欢迎。Luciano和Vigna（2005）通过模型描述了死亡率的力量（也称为死亡率强度），并使用英国观察和预测的死亡率表校准了模型。他们认为，具有指数增长的确定性部分的过程可以恰当地描述死亡力量的演化。Russo et al.（2011）使用三家意大利保险公司的定期保险费校准了三种不同的随机死亡率模型，并提出此类模型可用于死亡率相关证券的定价。因此，本着同样的精神，我们假设λ（t）演变为dλ（t）=（aλ（t）–bλλ（t））dt+σλqλ（t）dW（t），λ（0）=λ，其中aλ（t）是确定性函数，bλ和σλ是正常数。我们限制死亡率模型参数满足条件2aλ（t）>σλ，以确保λ（t）的严格正性。死亡强度λ的初始值根据Gompertz-Makeham定律计算，由λ=φ+bet–mb给出，（1）其中t、m、φ和b是常数。正如Menoncin（2009）所述，我们希望λ（t）的预期值等于Gompertz-Makeham死亡率，以确保在任何时候，λ（t）都有一个合理的值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:09

为了实现这一点，我们假设aλ（t）的形式如下：aλ（t）=bλφ +bλb+1bet–mb.死亡率被用作研究人口瞬时生存率的工具。如果我们用p（t）表示从时间0到t存活的种群比例，那么p（t）衡量的是与存活概率一致的累积存活率。由于致命力测量的是瞬时死亡率，我们可以写出p（t）p（t）=–λ（t）dt，p（0）=1。截至时间t的给定信息∈ T、从T到s>T的（有条件的）预期生存概率由（见Menoncin（2008，第2.2节））E给出p（s）p（t）F（t）= Ee–Rstλ（u）duF（t）.为了讨论市场上可交易金融风险资产的价格，我们首先引入了一种风险中性定价方法，方法如下：Radon-Nikodym-derivativedePdP=Z（t）=exp–ZtΘ（s）dW（s）–ZtΘ（s）| ds！。在上述{Θ（t）| t中∈ T}=θ（t），θ（t），θ（t）t型∈ T是一个R值的F适应过程，因此Z（t）是鞅，E[Z（t）]=1。这里，我们用E[·]表示P.ByGirsanov定理下的期望算子，fW（t）| t∈ T=fW（t），fW（t），fW（t）t型∈ T是EP下的三维标准布朗运动，fw（t）=W（t）+ZtΘ（s）ds。引入风险中性措施也使我们能够在我们的金融市场框架中通过Θ（t）激发风险或风险溢价的市场价格理念。市场上的第一项金融资产是代表性股票。我们假设P下的股价过程S（t）演化为asdS（t）S（t）=（r（t）+θrσrSr（t）+θSσS）dt+σrSqr（t）dW（t）+σSdW（t），S（0）=S，在上面，σS，σrS，θr，θ是一些常数。这里，我们假设利率风险和股票风险的市场价格分别为θ（t）=θrpr（t）和θ（t）=θS。股票价格与无风险利率之间的瞬时协方差由σrSpr（t）获得。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-14 13:27:12

股票风险的市场价格和不同的波动系数可能是随机的，并且有许多不同的形式。然而，由于我们主要关注利率风险和寿命风险，而不是投资风险，因此假设它们是常数是合理的。对于以固定到期时间TB支付一单位货币的零息票债券B（t，TB）的定价，我们首先引入货币市场账户R（t）：dR（t）R（t）=R（t）dt，R（0）=1。然后，风险中性定价公式给出usB（t，TB）=eE“R（t）R（TB）F（t）#=eEe–RTBtr（u）duF（t）,其中，ee[·]是measureeP下的期望算子。由于利率r（t）遵循一个有效模型，我们可以求解债券价格asB（t，TB）=ef（t，TB）–f（t，TB）r（t）。（2）式中，f（t，TB）=2arσrlog2ηre（br+ηr）（TB-t）（br+ηr）（eηr（TB-t）-1）+2ηr, （3） f（t，TB）=2（eηr（TB–t）–1）（~br+ηr）（eηr（TB–t）–1）+2ηr，ηr=qbr+2σr，~br=br+θrσr。这种公式可以在多个来源中找到，例如Brigo和Mercurio（2007，第3.2.3节），Cuchiero（2006，第3.1.2节）。P下B（t，TB）的动力学为db（t，TB）B（t，TB）=r（t）+θrqr（t）σB（t，TB）dt+σB（t，TB）dW（t），其中我们表示σB（t，TB）=–f（t，TB）σrpr（t）。我们在附录A.1中包含完整的计算。正如Boulier et al.（2001）所述，使用滚动到期的单一债券可以方便地复制市场上的任何债券。因此，我们引入了一种滚动债券B（t）（有点滥用符号），其到期时间为常数TB。B（t）的价格过程由以下随机微分方程（SDE）描述：dB（t）B（t）=r（t）+θrqr（t）σB（t，t+TB）dt+σB（t，t+TB）dW（t）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:15

（4）通过以下等式，我们可以看到零息票债券B（t，TB）可以使用现金复制，滚动债券B（t）：dB（t，TB）B（t，TB）=1–σB（t，TB）σB（t，t+TB）dR（t）R（t）+σB（t，TB）σB（t，t+TB）dB（t）B（t）。因此，使用滚动债券相当于在市场上使用固定期限零息票债券。市场上的第三项也是最后一项资产是零息票长寿债券，主要用于对冲长寿风险。定义1。零息票长寿债券是一种从时间0到固定到期日支付票面金额等于参考人群生存概率的合同。根据定义1，在固定到期时间TLisp（TL）支付零息票长寿债券。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:18

假设长寿风险的市场价格为θ（t）=θλpλ（t），则具有固定到期时间TL的零息票长寿债券的无套利价格l（t，TL）为asL（t，TL）=eER（t）R（TL）p（TL）F（t）= e–Rtλ（u）dueEe–RTLt（r（u）+λ（u））duF（t）.由于r（t）和λ（t）的性质以及它们之间的独立性，长寿债券价格可以用以下形式表示：L（t，TL）=e–Rtλ（u）duN（t，TL），（5），其中（t，TL）=ef（t，TL）–f（t，TL）r（t）+h（t，TL）–h（t，TL）λ（t），（6）h（t，TL）=2（eλ（TL）（t）–1）（bλ+η（TL）（eηλ（TL）–1）+2λ，h t，TL）=–ZTLtaλ（u）h（u，TL）du，ηλ=qbλ+2σλ，~bλ=bλ+θλσλ。通过表示σrL（t，TL）=–f（t，TL）σrpr（t）和σλL（t，TL）=–h（t，TL）σλpλ（t），然后将L（t，TL）的演化描述为dl（t，TL）L（t，TL）=r（t）+θrqr（t）σrL（t，TL）+θλqλ（t）σλL（t，TL）dt+σrL（t，TL）dW（t）+σλL（t，TL）dW（t）。详细计算见附录A.2。以与零息票债券相同的方式，我们考虑一种具有固定到期时间TL的滚动长寿债券L（t）（带有少量符号），其在P下的价格过程为：dL（t）L（t）=r（t）+θrqr（t）σrL（t，t+TL）+θλqλ（t）σλL（t，t+TL）dt（7）+σrL（t，t+TL）dW（t）+σλL（t，t+TL）dW（t）。我们发现，滚动寿命债券与利率r（t）以及死亡率λ（t）相关。事实上，任何固定期限的零息票长寿债券都可以使用滚动债券、滚动长寿债券和现金进行复制：dL（t，TL）L（t，TL）=n（t）dR（t）R（t）+nB（t）dB（t）B（t）+nL（t）dL（t）L（t，TL）σλL（t，t+TL），nB（t）=σrL（t，TL）σB（t，t+TB）-nL（t）σrL（t，t+TL）σB（t，t+TB），n（t）t）=1–nB（t）–nL（t）。文献中经常使用滚动债券：Han和Hung（2012）引入了滚动指数债券来对冲DC计划的通货膨胀风险。Menoncin（2008）使用滚动长寿债券转移个人的长寿风险。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:21

事实上，这项工作中提出的问题也可以通过使用执行自然度零息票长寿债券和零息票债券来解决。滚动寿命键和滚动键的使用仅简化了第3节中的计算。此外，我们对风险θrpr（t）和θλpλ（t）市场价格的具体选择保持了我们模型的一种有效形式（例如，参见Duffee（2002））。对于任何t、TB、TL∈ T、我们以向量的形式描述风险资产价格：dB（t）B（t）dL（t）L（t）dS（t）S（t）= （r（t）1+M（t））dt+∑（t）dW（t），（8）其中M（t）=θrpr（t）σB（t，t+TB）θrpr（t）σrL（t，t+TL）+θλpλ（t）σλL（t，t+TL）θrσrSr（t）+θSσS,∑（t）=σB（t，t+TB）0σrL（t，t+TL）σλL（t，t+TL）0σrSpr（t）0σS.为了便于表述，我们还用z（t）=[r（t），λ（t）]表示，其动力学为：dz（t）=u（t，z（t））dt+ξ（t，z（t））dW（t），z（0）=[r，λ]，（9），其中u（t，z（t））=“ar–brr（t）aλ（t）–bλλ（t），ξ（t，z（t））=“σrpr（t）0 00σλpλ（t）0#。3主要结果在文献中，一位有代表性的成员被用来研究C计划的最优资产配置问题，例如，参见Boulier等人（2001）。在这项工作中，我们还考虑了一位代表性成员，他在积累阶段持续向养老金计划贡献其工资的一小部分。退休时间T∈ T、累计供款用于购买终身年金，以提供退休时的正常收入。计划经理代表代表成员，在积累阶段决定投资策略，以增加计划财富。该计划引入了最低担保，以保护代表成员免受投资绩效不佳的影响。在投资组合选择问题的文献中，有两种主要的最优性准则：效用最大化准则和均值方差准则。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:24

在我们的框架中，我们遵循默顿（1969）的观点，并假设方案管理人的目标是从终端财富和最低担保之间的盈余中最大化代表成员的预期效用。3.1效用最大化问题我们假设代表成员贡献了其瞬时工资w（t）的一小部分Rc。之前的研究，如Han和Hung（2012）以及Guan和Liang（2014），将工资（或，贡献）建模为一个随机过程，以研究DC计划的最优资产配置问题。为了简化我们的计算，假设这项工作中的瞬时工资为常数，即对于任何t∈ [0，T]，w（T）=w。因此，贡献c（t）=rcw（t）=rcw=c也是常数。我们注意到，当w（t）和c（t）被视为独立的随机过程或确定性函数时，我们的以下分析也适用。在累积阶段，在任何时间t∈ [0，T]，方案经理将αS（T）、αB（T）和αL（T）金额分别投资于股票、滚动债券和滚动寿命债券。很明显，投资于货币市场的金额为α（t）=F（t）–αB（t）–αL（t）–αS（t），其中F（t）表示该计划的财富水平。假设代表构件的死亡时间τ为(Ohm, F、 P）。如果成员在退休时间之前死亡，即0<τ<T，我们假设其继承人收到其全部养老金作为遗赠。F（t）的动力学被给出为df（t）=r（t）F（t）+c+α（t）M（t）dt+α（t）∑（t）dW（t），F（0）=F，（10），其中α（t）t型∈ [0，T]=[αB（t）、αL（t）、αS（t）]t型∈ [0，T]表示对风险资产的投资。请注意，死亡力λ（t）不涉及计划的财富过程，因为我们假设继承人在去世后领取去世成员的养老金（计划的财富）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:27

如果继承人在成员死亡后仅获得计划财富的一小部分，则财富过程将受到λ（t）的影响。我们在附录A.3中提供了详细的计算，阐明了这一细微之处。代表成员在退休时间T使用其养老金总财富购买终身年金，并要求养老金财富必须超过作为最低保障的年金价格。此前，Boulier等人（2001）、Deelstra等人（2003）、Han和Hung（2012）以及Guan和Liang（2014）等著作也考虑了最低担保。我们将这些工作扩展到死亡时间不确定且死亡力随机的情况。要计算终身年金的价格，我们首先需要确定年金提供的分期付款水平。通常，工资替代率rw（退休收入与退休前收入的百分比）是对维持退休生活水平所需收入的良好估计。我们将年金的即时分期付款设定为π=rww，以便终身年金为维持生计提供充足的退休收入。通过将a（T）表示为退休时间T的终身年金价格，我们得到a（T）=eEZ∞TπR（T）R（s）p（s）p（T）dsF（T）.最低保证G是在退休时为幸存成员购买终身年金。因此，其在T处的值为asG（T）=p（T）a（T）=eEZ∞TπR（T）R（s）p（s）dsF（T）.如前所述，养老金计划管理人的目标是最大限度地利用退休时间T时基金水平和最低保障之间的盈余实现预期效用。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-14 13:27:30

因此，对于给定的投资策略α，管理者效用最大化问题的目标函数是j（t，f，z；α）=EhUF（T）–G（T）i、 0<t≤ T、其中U:R+→ R+是一个效用函数，F（t）=F>0，z（t）=z。在文献中，在与最优投资相关的问题中考虑了许多不同的效用函数。在众多选择中，双曲型绝对风险规避（HARA）效用函数是最常用的。常数相对风险厌恶（CRRA）、常数绝对风险厌恶（CARA）和二次效用都是以前工作中使用的HARA函数类型。例如，Gao（2008）和Boulier等人（2001）使用CRRA效用函数来研究DC方案的最优资产配置问题。Battocchio和Menoncin（2004）以及Cairns（2000）分别采用了Cara和二次效用。在本文中，我们使用幂效用函数（CRRA）：U（x）=x1–γ1–γ，（11），其中γ>0，γ6=1。在γ=1的情况下，U（x）=ln x是对数效用函数。我们选择功率效用函数有两个原因。首先，养老金计划通常管理着大量资金。随着相对风险厌恶情绪的增加或减少，投资于风险资产的财富比例受到财富水平的影响。然而，电力效用函数具有恒定的相对风险厌恶，投资策略不受规模的影响。其次，当使用功率效用函数时，我们的优化问题在分析上是可处理的。即使我们可以用我们的方法数值求解优化问题，我们也会失去对其他类型效用函数的分析可处理性。因此，我们提出了方案管理器的效用最大化问题assupα∈AE“（F（T）–G（T））1–γ1–γ#使得F（T）≥ G（T）a.s。。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:33

（12）在上面，集合A表示所有可接受策略的集合，定义如下。定义2。投资组合策略{α（t）∈ R | t∈ 如果α（T）相对于F是渐进可测的，且EhRT |α（T）| dti<∞.在我们的环境中，代表成员在积累阶段不断为该计划作出贡献。（10）中的cdt术语表明财富过程F（t）不是自我融资。此外，在退休时间T，有一个最低保证G（T）需要满足。这意味着所提出的问题（12）不是经典的默顿最优投资问题。为了解决这个非自融资约束问题，我们通过引入辅助盈余过程将其转化为自融资投资组合优化问题。然后，我们使用动态编程原理解决转换后的问题。3.2单一投资组合优化问题受Boulier等人（2001）的启发，我们将该计划的财富分为两部分：一部分是要支付的未来供款，另一部分是自我融资的投资组合。对于任何t∈ [0，T]，表示比亚迪（T）退休时间T前未来供款的现值，我们可以写（T）=eE“ZTtcR（T）R（s）dsF（t）#。（13） D（t）可以被视为一种息票支付债券，在时间t之前以c利率连续支付息票。因此，D（t）可以通过投资滚动债券和货币市场来复制。提案1。对于任何t∈ 【0，T】，（13）中的D（T）可以复制为dd（T）=–cdt+αB（T）dR（T）R（T）+αDB（T）DB（T）DB（T）B（T），（14），其中αDB（T）=cRTtB（T，s）f（T，s）dsf（T，T+TB），αB（T）=D（T）–αDB（T），（15）分别是滚动债券和货币市场的持有量。证明见附录B。我们的下一步是通过以下步骤将问题（12）转化为简化的投资组合优化问题。首先，我们为G（T）构造了一个复制投资组合。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:36

在时间t∈ [0，T]，G（T）的当前值由G（T）=eE“G（T）R（T）R（T）给出F（t）#。（16）在命题1中，我们通过使用现金和滚动债券复制D（t），因为利率风险是对冲的唯一风险。我们在下面的命题中表明，通过投资债券、长寿债券和货币市场，G（t）可以类似地复制。提案2。对于任何t∈ （16）中的[0，T]，G（T）可以复制为dg（T）=αG（T）dR（T）R（T）+αGB（T）dB（T）B（T）+αGL（T）dL（T）L（T），（17），其中αGL（T）=πR∞TL（t，s）h（t，s）dsh（t，t+TL），（18）αGB（t）=πR∞TL（t，s）f（t，s）dsf（t，t+TB）–αGL（t）f（t，t+TL）f（t，t+TB），αG（t）=G（t）–αGB（t）–αGL（t）。分别持有滚动长寿债券、滚动债券和货币市场。证明见附录C。最后，我们构造了一个辅助过程Y（t），它是终端财富超过最小担保的盈余，即Y（t）=F（t）+D（t）–G（t）。在退休时间T，从（13）中，我们看到d（T）=0，我们有Y（T）=F（T）–G（T）。从（10）、（14）和（17）中，我们得到以下方程式dy（t）=dF（t）+dD（t）-dG（t）=αY（t）dR（t）R（t）+αYB（t）dB（t）B（t）+αYL（t）dL（t）L（t）+αYS（t）dS（t）S（t），其中αYB（t）=αB（t）+αdB（t）-αGB（t），αYL（t）=αL（t）-GL（t），αYS（t）=αS（t），αY（t）=Y（t）-αYB（t）–αYS（t）。对于任何t∈ [0，T]，设αD（T）=[αDB（T），0，0]，αG（T）=[αGB（T），αGL（T），0]，αY（T）=[αYB（T），αYL（T），αYS（T）]。那么，我们有αY（t）=α（t）+αD（t）–αG（t）。（19）剩余过程Y（t）的动力学可以写成dy（t）=r（t）Y（t）+αY（t）M（t）dt+αY（t）∑（t）dW（t）。（20）因此，我们简化的投资组合优化问题被假定为αY∈AE“Y（T）1–γ1–γ#这样Y（T）≥ 每年0次。。（21）引理3。对于任何t∈ [0，T]，如果αY（T）∈ A、然后α（t）∈ A、优化问题（12）和（21）是等效的。证据从（19）中可以清楚地看出，我们需要证明确定性函数αD（t）和αG（t）的容许条件。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:39

现在对于任何固定的t∈ [0，T]和任何s∈ [T，∞), f（t，s）和B（t，s）是连续函数。很容易看出EhRT |αD（t）| dti<+∞. h（t，s）和L（t，s）也是连续函数。此外，作为s→ ∞, 函数L（t，s）f（t，s）→ 0和L（t，s）h（t，s）→ 0。那么对于任何 > 0，存在K≥ T>0，这样对于所有K>K≥ K、我们有ZKKL（t，s）f（t，s）ds< ,ZKKL（t，s）h（t，s）ds< .根据柯西准则，R∞TL（t，s）f（t，s）ds，R∞TL（t，s）h（t，s）ds收敛。因此，EhRT |αG（t）| dti<+∞. 因此，如果EhRT |αY（t）| dti<+∞, 然后EhRT |α（t）| dti<+∞. 这意味着如果αY（t）∈ A、然后α（t）∈ A、我们有D（T）=0，因此如果Y（T）≥ 0 a.s.，然后F（T）–G（T）≥ 0a。s此外，由于F（t）=Y（t）–D（t）+G（t）和（19）成立，αY？（t）导致最优策略α？（t）这就结束了争论。我们看到财富过程（20）是自我融资。一旦我们能够解（21）并获得唯一的最优控制αY？（t），我们可以使用（15）、（18）和（19）来获得α？（t）。3.3最优解我们定义了简化问题（21）的值函数asV（t，y，z）：=supαy∈AE“Y（T）1–γ1–γ#，终端条件V（T，Y，z）=Y（T）1–γ1–γ。我们假设值函数V（T，Y，z）∈ C1,2,2（[0，T]×R+）。然后，通过遵循通常的动态规划原则（例如，参见Pham（2009，第3章）），V满足以下Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程0=Vt（t，y，z）+supαy∈RLαYV（t，y，z）（22），其中lαYV=Vy（ry+αYM）+uVz+tr（ξξVzz）+αY∑∑αYVyy+αY∑ξVyz.Vt、Vy、Vyy、Vz、Vzzand Vyz是关于t、y、z的一阶和二阶偏导数。特别是，Vz=[Vr，Vλ]、Vyz=hVyr、Vyλ和Vzz=h[Vrr，Vλr]、[Vrλ，Vλλ]i。通过求解αY上的Firstorder条件，我们得到了唯一的投资策略，即αY？=-VyVyy（∑）–1M–Vyy∑–1ξVyz。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:42

（23）将（22）中的（23）替换为0=Vt+Vyry–VyVyyM（∑）–1M–VyVyyM∑–1ξVyz+uVz（24）+tr（ξVzz）–VyyyyzξVyz。一旦我们解出（24）中的值函数V（t，y，z），我们就可以得到最优控制αy？（t）。下面的命题给出了转化问题（21）的显式最优投资策略。提案4。对于任何t∈ [0，T]，当风险规避参数γ>max（2σr+σrθr+2brθrσr（br+θrσr）+2σr，2bλθλσλ+σλθλ（bλ+θλσλ））（25）时，在金融市场设置（8）–（9）下，（21）的最优解为αYB？（t） =θSσrS–θrσS–σSσrA（t，t）γσSσrf（t，t+TB）Y（t）–f（t，t+TL）f（t，t+TB）αYL？（t），αYL？（t） =–θλ+σλA（t，t）γσλh（t，t+TL）Y（t），αYS？（t） =θSγσSY（t），αY？（t） =Y（t）–αYB？（t） –αYL？（t） –αYS？（t），其中A（t，t）=aaexp（–√（T–T））–aaaexp（–√（T–T））–a，= br+γ–1γ2σr+θrσr+2brθrσr,a11,12=（γ–1）θrσr+brγ±γ√σr，A（t，t）=aaexp（–√（T–T））–aaaexp（–√（T–T））–a，= bλ+γ–1γ（2bλθλσλ+θλσλ），a21,22=（γ–1）θλσλ+bλγ±γ√σλ，A（t，t）=ZTtarA（s，T）+aλ（s）a（s，T）+1–γ2γθsds。我们在附录D中提供了证明。接下来，我们验证了最优控制αY？（t）。引理5。对于任何t∈ [0，T]，最优策略αY？（t）在命题4中，属于可采集合A.证明。对于任何t∈ [0，T]，设Y（T）=lny（T），我们得到了Y（T）=r（t）+αY（t）M（t）dt+▄αY（t）∑（t）dW（t），其中▄αY（t）=αY（t）Y（t）。根据命题4，很容易看出，最优|αY？（t）是连续函数的向量。因此，EhRT |αY？（t） | dti<+∞,Y（t）允许唯一解，且在[0，t]上有界。此外，（20）有唯一的解决方案Y？（t）（使用可平方积的αY？（t）获得）。此后，我们得到了EhRT |αY？（t） | dti<+∞ αY呢？（t）∈ A、从上述命题中，我们观察到αY？（t）对于常数θS，σ和γ，Y（t）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:45

即最优库存权重αYS？（t）在整个投资期内，Y（t）始终保持不变。这类似于经典的默顿投资组合问题，其中风险资产的最优投资组合权重随时间保持不变。按照惯例，恒定的风险市场价格不会导致投资行为发生变化。我们还发现，长期债券的最优投资αYL？（t）实际上是从对债券αYB的投资中提取的吗？（t）按f–f（t，t+TL）f（t，t+TB）的比例计算。从（2）和（5）中，我们可以看到f（t，t+TB）和f（t，t+TL）分别是滚动键和滚动寿命键的持续时间。由于持续时间始终为正，–f（t，t+TL）f（t，t+TB）为负。我们得出结论，最优债券投资与长寿债券之间存在负相关关系。此外，如果滚动债券和滚动寿命债券的到期日相同（即TB=TL），我们有f（t，t+TL）=f（t，t+TB）和αYL？（t）完全从αYB推导出来吗？（t）。h（t，t+TL）是一个常数，a（t，t）和a（t，t）是正的，并且随t增加而增加，因此αYL？（t） Y（t）随时间而减小。因此，长寿债券的最佳投资比例随着时间的推移而降低。然而，投资于债券和货币市场的最佳比例的行为尚不清楚。此外，很容易推断，经理的风险厌恶程度越高，长期债券和股票的投资组合权重就越低。引理3表明问题（12）和（21）是等价的。根据（15）、（18）、（19）和命题4，我们得到了初始问题（12）的解，并在以下命题中陈述。提案6。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:48

对于任何t∈ [0，T]，在条件（25）和金融市场环境（8）–（9）下，（12）的最优解为α？B（t）=θSσrS–θrσS–σSσrA（t，t）γσSσrf（t，t+TB）Y（t）+πr∞TL（t，s）f（t，s）dsf（t，t+TB）–RTtB（t，s）f（t，s）dsf（t，t+TB）–f（t，t+TL）f（t，t+TB）α？L（t），α？L（t）=–θλ+σλA（t，t）γσλh（t，t+TL）Y（t）+πR∞TL（t，s）h（t，s）dsh（t，t+TL），α？S（t）=θSγσSY（t），α？（t） =F（t）–α？B（t）–α？L（t）–α？S（t）。结果是通过简单的计算得到的。我们发现，投资股票的最佳金额并不取决于基金财富F（t），而是取决于过程Y（t）。此外，最优股票权重α？S（t）F（t）不再保持不变，而是取决于比率（t）F（t）。根据（10）和（20）中的漂移项ofF（t）和Y（t），我们推断F（t）的增长速度预计将快于Y（t）。因此，我们得出结论，最优库存重量会随着时间的推移而下降。与命题4的结果类似，债券和长寿债券的最优投资呈负相关。我们很难从解中推断出债券和长寿债券的最佳权重是如何随时间变化的。第4节显示了数值模拟的结果，这使我们能够动态观察最优投资策略。要从最优解中发现风险规避系数γ、贡献率和工资替代率如何影响最优策略，并不容易。我们将在下一节中对这些参数进行数值分析。4数值应用我们首先给出一个基本情景，以显示投资于风险资产和货币市场的最佳比例。然后，进行敏感性分析，研究模型参数对最优投资策略的影响。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-14 13:27:51

在下文中，我们分别用wB（t）、wL（t）、wS（t）和w（t）表示债券、长寿债券、股票和货币市场的投资比例。4.1基本情景表1给出了基本情景的参数值。我们不使用实际市场数据，但大多数参数值取自Menoncin和Regis（2017）以及Han和Hung（2012）。这里，我们假设存在一个滚动债券和一个滚动寿命债券，其到期时间（以年为单位）分别为TB=10和TL=10。由于长寿债券应根据老年人口的死亡率指数发行，我们假设市场由滚动的长寿债券组成，其基础是40岁人口的生存指数。在很小的年龄段，长寿风险往往被忽视。因此，我们假设，在代表性计划成员达到40岁之后，计划管理人考虑将长期债券添加到投资组合中，即初始年龄（以年为单位）为t=40。使用表1中给出的参数计算（1）中给出的λ。退休年龄选择为65岁，换言之，退休时间为T=25年。θλ是长寿风险市场价格的参数。很难确定θλ的价值，因为市场上没有流动交易的长寿债券。在我们的基本场景中，我们使用θλ=–0.10。在时间0时，滚动债券的风险溢价约为0.01370，长寿债券的总风险溢价约为0.01372。该股票的总风险溢价约为0.01670。在这种情况下，长寿风险溢价远低于利率和股票风险溢价。之后，我们给出了θλ值不同的不同情景下的最优投资策略。养老金缴款率在不同的计划和国家之间差异很大。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:54

根据HMRC（2018），在英国，个人在每个纳税年度可以存入其养老金账户的免税养老金储蓄额是有限制的。然而，缴款率没有上限。如DWP（2013）所述，根据英国立法，工作和养老金部要求DC计划的最低缴款率为8%。我们首先考虑rc=0.15，然后对贡献率进行敏感性分析。OECD（2019）显示，inOECD国家的净替代率变化范围很大，从30%左右到90%或更多。强制性计划平均收入者的平均净替代率为59%。在我们的基本场景中，我们采用rw=0.59。我们将瞬时工资设置为w=15，因此间接供款和年金分期付款分别为c=2.25和π=8.85。我们假设代表成员在40岁时的累积养老金财富为F=50，经理的风险规避系数为γ=2。表1：基准情景中的参数值利率死亡率股票r=0.0621328 b=12.9374σS=0.14926ar=0.0056210φ=0.0009944σrS=–0.0046306br=0.0904668 m=86.4515θS=0.1108301σr=0.0543625 bλ=0.5610000θr=–0.5590635λσ=0.0352我们收集了100条模拟路径，并在图1的左图中显示了最佳投资比例的平均路径。图1中的右图显示了y（t）F（t）的平均路径。如第3.3节所述，股票和长寿债券的比率（t）F（t）和最佳权重随着时间的推移而下降。我们发现，债券的最佳权重也会下降，而现金的权重会上升。起初，货币市场的空头头寸表明，计划管理人借入资金并投资于风险资产以获得风险溢价。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:27:57

这表明管理者采取了积极的方法，在早期阶段将养老金计划的财富快速增加到较高水平。风险资产投资的减少表明，当退休时间临近时，管理者会变得更加保守，并将计划的财富转移到更安全的资产上。此外，当退休时间临近时，利率和死亡率对最低保障的影响会降低。这意味着在投资后期，对利率风险和寿命风险对冲的需求会降低。因此，管理者降低了债券和长寿债券的投资比例。在最初的五年里，债券和长寿债券的最佳权重没有太大差异。然而，债券投资比例的下降速度要快于长寿债券。此外，在整个投资期内，该投资组合由longevitybond主导。即使在时间T，长寿键的重量仍然非常高，约为66.44%。这一观察结果表明，长寿债券为对冲利率和长寿风险提供了一种有效的方法。4.2敏感性分析在第3.3节中，我们对模型参数对最优投资策略的影响给出了一些评论。本节提供了各种场景，以从数值上研究模型参数的影响。我们对以下参数感兴趣：风险规避系数（γ）、长期风险参数的市场价格（θλ）、滚动长寿债券的到期日（TL）、缴款率（rc）和工资替代率（rw）。其他因素，如利率风险和股票风险的市场价格，也可能有效地影响最优投资策略。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:28:00

尽管如此，我们并没有研究这些因素，因为我们的研究重点是对冲长寿风险。0 5 10 15 20 25时间（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例长寿债券股票现金0 5 10 15 20 25时间（年）0.80.911.11.21.3Y（t）/F（t图1：最佳投资比例和基本情景中Y（t）/F（t）的平均路径4.2.1风险规避在幂效用函数（11）中，γ测量相对风险规避。γ越高，方案经理越厌恶风险。图2中的四个图显示了风险规避系数γ分别等于2、3、4和5的最优投资比例的平均路径。比较图1和图2中的曲线图，我们发现风险规避系数γ越高（或越低），债券和现金的投资比例越高（或越低）。而长寿债券和股票的投资比例则随着γ的增大而减小。债券仅用于对冲利率风险，而长寿债券提供利率风险和长寿风险对冲。风险厌恶型投资者倾向于避免相对较高的风险，并倾向于风险较低但回报更有保障的投资。尽管长寿债券提供了更高的风险溢价，但具有高风险规避系数的计划经理更倾向于投资债券等更安全的资产。这些情况下的不同策略也可以用命题6中的最优解来解释。债券和长寿债券的最优投资比例呈负相关。特别是，我们将TB=TL=10，并将–f（t，t+TL）f（t，t+TB）=–1。这意味着长寿债券的投资完全来自债券投资。由于长期债券中的投资组合权重随γ减小，债券权重相应增大。这种行为发生的原因是，与长寿债券相比，债券是一种更安全的资产。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 13:28:03

图2中右下角的曲线图显示，即使对于高度厌恶风险的投资者，长寿债券的最佳投资比例几乎总是高于45%。此外，我们发现，在所有情况下，长寿债券的最佳权重始终高于股票。总的来说，我们的结论是，尽管高度规避风险的投资者对longevitybond的投资较少，但它始终是该计划投资组合的重要组成部分。4.2.2长寿风险的市场价格滚动债券提供的利率风险溢价为–f（t，t+TB）σrθrr（t）。由于滚动长期债券的到期时间与滚动债券相同，因此其利率风险溢价相同。此外，长寿债券提供–h（t，t+TL）σλθλλ（t）的长寿风险溢价。股票提供了σrSθrr（t）的利率风险溢价和θSσS的股票风险溢价。很明显，θrandθ会影响最优策略。然而，我们更感兴趣的是长寿风险溢价的影响，只对长寿风险参数θλ的市场价格进行分析。从（7）中，我们了解到，滚动寿命债券所带来的寿命风险溢价随着–θλ的增加而增加。图3显示了θλ=–0.06、–0.08、–0.12和–0.14的平均最优策略。最初，这些情况下对应的寿命风险溢价分别为1.1778×10–5、1.5703×10–5，2.3555×10–5和2.7841×10–5,0 5 10 15 20 25次（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例=2长期债券债券现金0 5 10 15 20次（年）-1.5-1-0.500.51投资比例=3长期债券现金0 5 10 15 20次（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例=4长期债券现金0 5 10 15 20次（年）-1.5-1-0.500.511.5投资比例=5长寿债券股票现金图2：最优投资比例的平均路径，γ分别为2、3、4和5。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-14 13:28:06

在所有这些情况下，长寿风险溢价远小于利率风险和股票风险溢价。图3中右下角的曲线图显示，当θλ=–0.14时，长寿债券的最佳比例始终在1.0左右或以上，并且它始终主导着投资组合。股票的最佳比例是稳定的，空头头寸是现金。t=21后，该计划通过卖空债券进行融资。这是因为当退休时间临近时，与对冲死亡率的不确定性变化相比，对冲利率风险的需要是微不足道的。图3中左上角的曲线图表明，即使在longevityrisk溢价非常低的情况下，长寿债券的最佳权重始终高于45%。这表明长寿债券是养老金计划投资组合的重要组成部分，是对冲长寿风险的有效工具。比较这些图，我们观察到，长寿风险溢价越高（即θλ越低），长寿债券中的投资组合权重越高。解释是，在其他参数不变的情况下，较低的θλ会增加长寿风险溢价，但不会增加长寿债券价值的不确定性。因此，这使得长寿债券对投资更具吸引力。通过对命题6的讨论，再次解释了键重和寿命键重对θλ的相反反应。现金权重对θλ不敏感。这是因为债券和长寿债券权重的变化相互影响，风险资产的总比例对θλ不敏感。库存中的最佳重量是稳定的，并且只受到θλ的轻微影响，这并不奇怪。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝