Volterra-Heston模型下的均值-方差投资组合选择

2022-6-14 14:44:31

Volterra-Heston模型下的均值-方差投资组合选择Bingyan Han*王海英+2020年1月24日摘要基于粗糙波动率模型的经验证据，本文研究了Volterra-Heston模型下的连续时间均值方差（MV）投资组合选择。由于模型的非马尔可夫和非半鞅性质，经典的随机最优控制框架不能直接应用于相关的优化问题。通过构造一个辅助随机过程，我们得到了最优投资策略，它依赖于Riccati-Volterra方程的解。MV效率边界显示为保持二次曲线。数值研究表明，波动率的粗糙度和波动率都会对最优策略产生重大影响。关键词：均值-方差投资组合、Volterra-Heston模型、Riccati-Volterra方程、粗糙波动率。数学学科分类：93E20、60G22、49N90、60H10.1简介研究粗糙波动率模型的兴趣越来越大【15、11、20】。粗糙波动率模型是一种随机波动率模型，其轨迹在H¨older正则性方面比标准布朗运动的路径更粗糙。具体而言，当H¨olderregularity小于1/2时，随机路径被视为粗糙路径。粗糙度与赫斯特参数H密切相关。本文主要关注Volterra-Heston模型，该模型的概率表征不涉及粗糙路径理论[11]。粗糙波动率模型很有吸引力，因为它们只需几个额外的参数就能很好地捕捉历史波动率和隐含波动率的动态。通过对高频数据的已实现挥发度时间序列的研究，估计赫斯特参数h接近0.1，远小于标准布朗运动的0.5。

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2022-6-14 14:44:41

赫斯特参数用于反映时间序列的记忆性，并与分数布朗运动（fBM）的彻底性相关。H越小，时间序列模型越粗糙。因此，实证结果表明，与标准布朗运动相比，波动性的实现路径更为粗糙。尽管之前的研究发现，已实现波动率序列具有长记忆特性，但[15]表明，粗糙波动率模型可以产生长记忆的推断。然而，带有小Hurst参数的模拟路径与实际路径相似。粗糙波动率模型还可以更好地捕捉隐含波动率表面的期限结构，尤其是对于到期日为零时ATM倾斜的爆发。更准确地说，设σBS（k，τ）为期权的隐含波动率，其中k为对数货币，τ为到期时间。到期时的ATM偏差τ由φ（τ）定义，σBS（k，τ）kk=0。(1.1)*香港中文大学统计系，香港，byhan@link.cuhk.edu.hk+香港中文大学统计系，香港，hywong@cuhk.edu.hkSee例如，牛津曼学院的realized library位于https://realized.oxford-man.ox.ac.uk/dataEmpirical有证据表明，当τ↓ 然而，传统的波动率模型（如Heston模型[21]）产生了一个小τ的恒定ATM偏差。如果波动率由分数布朗运动建模，则ATM偏斜具有无症状性质【14】，φ（τ）≈ τH-1/2，当τ↓ 0，（1.2），其中H是赫斯特参数。粗略波动率模型可以通过简单地调整H来很好地适应爆炸。最近的进展为粗略波动率模型提供了优雅的理论基础。

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2022-6-14 14:44:44

我们注意到隐含波动率的鞅展开公式【14】、fBM的渐近分析【14，第3.3节】、粗糙Heston模型的微观结构基础，通过缩放Oper-Hawkes过程的极限【9】、粗糙Heston模型的闭合形式特征函数直至分数Riccati方程的解【11】，以及粗糙Heston模型下期权的套期保值策略【10】。在本文中，我们对a ffne-Volterraprocesses【3】特别感兴趣，因为这些模型将粗糙赫斯顿模型【11】作为特例。将[11]中的特征函数推广到Riccati-Volterra方程[3]中的指数变换公式。【23】中的金融问题采用了一种新的Volterra过程。此外，在[20]中引入了赫斯顿模型的另一种粗略版本，由此导出了一些渐近结果。虽然粗糙波动率文献侧重于期权定价，但只有少数工作有助于拓扑组合优化，如[12、13、4]。他们都考虑效用最大化。据我们所知，这是第一篇在粗糙随机环境下考虑均值-方差（MV）投资组合选择的论文。马科维茨开创性的投资组合选择MV准则是现代投资组合理论的基石。我们不能给出与这项诺贝尔奖获得者工作相关的研究成果的完整列表，但要提到连续时间环境中的贡献【36、27、26、6、22、31】作为重要参考。1.1主要贡献我们以合理的方式制定Volterra-Heston模型下的MV投资组合选择。正如[3，23]所指出的，Volterra-Heston模型（2.6）-（2.7）在弱解中具有唯一性，但其路径唯一性通常仍然是一个悬而未决的问题。

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kedemingshi

2022-6-14 14:44:48

这迫使我们在满足通常条件的一般过滤F下考虑MV问题，但可能不是布朗运动产生的增强过滤。类似的一般设置也出现在[22]中。我们强调，概率基础和布朗运动在第3节的问题中始终是固定的。因此，我们的公式仍然被认为是天文公式，因为过滤概率空间和布朗运动不是控制的一部分。在这样一个问题公式下，我们在第4节构造了一个辅助随机过程，通过平方完成来解决MV投资组合选择问题。定理4.1给出了MTA的几个性质，这是本文的主要结果。与[11，10，3]一样，我们也遇到了一些困难，因为Volterra-Hestonl模型（2.6）-（2.7）的非马尔可夫和非半鞅结构。受[3，11]中指数公式的启发，该过程基于适当替代度量下的远期方差。定理4.3给出了最优投资策略的显式解。在粗糙赫斯顿模型下，我们研究了粗糙度对最优投资策略的影响*. 最近，有人提出了一种利用粗糙度信息的交易策略[18]。该策略做多最粗糙的股票，做空最平滑的股票。这种策略的过度回报并没有通过标准因子模型（如CAPMmodel和Fama-French模型）得到充分解释。我们在MV设置下检查此交易信号。我们的理论预测，在波动性不同的情况下，粗糙度对投资策略的影响是相反的。我们还讨论了有效边界上的粗糙度效应。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了Volterra-Heston模型和一些有用的性质。

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2022-6-14 14:44:53

我们讨论了一个相关的Riccati-Volterra方程。然后，我们在第3节中公式化了MV投资组合选择问题，并在第4节中明确解决了它。第5节给出了数值澄清。第6节总结全文。附录A总结了Riccati-Volterra方程解的存在性和唯一性。附录B证明了定理4.1中的辅助结果。2 Volterra-Heston模型我们的问题是在给定的完全概率空间下定义的(Ohm, F、 P），过滤系数为{Ft}0≤t型≤t满足通常条件，支持二维布朗运动W=（W，W）。过滤F不一定是W产生的强化过滤；因此，它可以是严格意义上更大的过滤。这种考虑不同于之前的一些研究，如【27、26、31】，但与【22】在一般过滤条件下的MV套期保值问题一致。这一考虑很重要，因为随机Volterra方程（2.6）-（2.7）只有唯一的定律弱解，但其强唯一性在总体上仍然是一个悬而未决的问题。回想一下，对于随机微分方程，如果X适用于W产生的增强过滤，则称为强解，否则称为弱解。对于aweak解，驱动布朗运动W也是解的一部分【30，第九章】。因此，不能简单地选择F作为W生成的增强过滤，因为构建（2.6）-（2.7）的解决方案可能需要额外的信息。为了继续，我们引入了内核K（·）∈ Lloc（R+，R），其中R+={x∈ R | x≥ 0}，并根据[3，23]在整篇文章中做出以下长期假设。函数f在（0，∞), 如果在（0，∞) 以及(-1） kf（k）（t）≥ 对于所有t>0且k=0，1，…，均为0。。。。假设2.1。K在（0，∞).

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kedemingshi

2022-6-14 14:45:01

有γ∈ （0，2），使得Rhk（t）dt=O（hγ）和Rt（K（t+h）- K（t））dt=O（hγ），每t<∞.卷积K* L和L* 对于R+上的可测核K和局部有界变化的测度L+R，K定义为（K* 五十）（t）=Z[0，t]K（t- s） L（ds）和（L* K）（t）=Z[0，t]L（ds）K（t- s）（2.1）在适当条件下t>0。如果可能，通过右连续性将积分扩展到t=0。如果F是R+上的函数，则设（K* F）（t）=ZtK（t- s） F（s）ds。（2.2）设W为一维连续局部鞅。K和Wis之间的卷积定义为（K* dW）t=ZtK（t- s） dWs。（2.3）R+上的测度L称为K的第一类预解式，ifK* L=L* K≡ id.（2.4）在假设2.1中规定的完全单调性假设下，第一类预解的存在性如【19，定理5.5.4】所示。【19，定理5.5.5】给出了存在的替代条件。核R被称为K ifK的预解式或第二类预解式* R=R*K=K- R、（2.5）【19，定理2.3.1】中的预解式始终存在且唯一。这些定义的进一步性质见【19，3】。虽然对于更高维度和矩阵形式，可以定义相同的概念，但我们必须考虑scalarcase。一旦c>0，α，表1中总结的常用核函数[3]满足假设2.1∈ （1/2，1）和β≥ 0.K（t）R（t）L（dt）常数c ce-反恐委员会-1δ（dt）分数（幂律）ctα-1Γ（α）ctα-1Eα，α(-ctα）c-1吨-αΓ(1-α） DTE指数ce-βtce-βte-反恐委员会-1（δ（dt）+βdt）表1：第二类和第一类核K及其分解式R和L的示例。Eα，β（z）=P∞n=0znΓ（αn+β）是Mittag–Le-fluer函数。其特性见【11，附录A1】。常数c 6=0。Volterra-Heston模型中的方差过程定义为vt=V+κZtK（t- s）（φ- Vs）ds+ZtK（t- s） σpVsdBs，（2.6），其中dBs=ρdW1s+p1- ρdw2s和V、κ、φ和σ是正常数。

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2022-6-14 14:45:04

股票价格与方差之间的相关ρ也是常数。如【15】所述，隐含波动率表面的总体形状没有显著变化，这表明考虑参数独立于股价和时间的方差过程仍然是可以接受的。当K（t）=tα时，[11，10]中的粗糙Heston模型成为（2.6）的特例-1Γ(α).采用[20]中研究的赫斯顿模型的另一个粗略版本来研究功率效用最大化[4]。在【3】和【24、6、35、32】之后，假设风险资产（股票）价格STI遵循DST=St（rt+θVt）dt+StpVtdW1t，S>0，（2.7），确定性有界无风险利率rt>0，常数θ6=0。风险的市场价格或风险溢价由θ给出√Vt.无风险利率rt>0是市场上可用的阿里斯克无风险资产的回报率。我们从[3，定理7.1]得到存在唯一性结果，并将其重述如下。定理2.2。（[3，定理7.1]）在假设2.1下，对于任何初始条件（S，V），随机Volterra方程（2.6）-（2.7）具有唯一的定律R+×R+-值连续弱解∈ R+×R+。备注2.3。我们的模型（2.6）-（2.7）是在物理度量下定义的，而[3，等式（7.1）-（7.2）]的期权定价模型是在零风险无利率的风险中性度量下定义的。然而，证明几乎是相同的，因为a ffne结构是由V决定的，Sis是由V决定的。备注2.4。对于强唯一性，我们提到[2，命题B.3]作为与核K相关的结果∈ 具有光滑核的某些Volterra积分方程的C（[0，T]，R）和[29，命题8.1]。然而，（2.6）-（2.7）的强唯一性对于奇异核是开放的。对于弱解，可以根据需要自由构造布朗运动。

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2022-6-14 14:45:07

然而，MVobjective仅取决于过程分布的数学期望。在续集中，我们将只使用（2.6）-（2.7）的解决方案的一个版本，并确定解决方案（S、V、W、W），因为其他解决方案具有相同的定律。以下条件使我们能够验证最优策略的可接受性。为了更精确地描述常数a，（4.23）给出了所需的显式有效大值。假设2.5。进出口商品aRTVsdsi<∞ 对于足够大的常数a>0。为了验证假设2.5在合理条件下成立，我们考虑了g（a，t）的RiccatiVolterra方程（2.8），如下所示：g（a，t）=ZtK（t- s）一- κg（a，s）+σg（a，s）ds。（2.8）引理A.2和A.3给出了（2.8）解的存在性和唯一性。定理2.6。假设假设2.1成立，并且Riccati-Volterra方程（2.8）在[0，T]上有唯一的连续解，则表达式aZTVsds公司i=exphκφZTg（a，s）ds+VZT一-κg（a，s）+σg（a，s）dsi<∞. （2.9）此外，将L表示为K的第一类预解，然后表示为表达式aZTVsds公司i=exphκφZTg（a，s）ds+VZTg（a，T- s） L（ds）i.（2.10）证明。注（2.8）中的g（a，t）对应于[3，方程（4.3）]，u=0，f=a。[3，定理4.3]显示了[3，方程（4.4）]和[3，方程（4.6）]之间的等效性。Fort=T，[3，等式（4.4）-（4.6）]中的表达式表明AZTVSDS=Y-σZTg（a，T- s） Vsds+σZTg（a，T- s） pVsdBs，（2.11），y=κφZTg（a，s）ds+VZT一- κg（a，s）+σg（a，s）ds。（2.12）由于g（a，·）在[0，T]上是连续的，因此有界，exp-σRtg（a，T- s） Vsds+σRtg（a，T- s）√VSDB是由[3，引理7.3]定义的鞅。因此，EhexpaZTVsds公司i=exp（Y）=exphκφZTg（a，s）ds+VZT一- κg（a，s）+σg（a，s）dsi。（2.13）注意K* L=id表示ZT一- κg（a，s）+σg（a，s）ds=ZTg（a，T- s） L（ds）。（2.14）结果如下。定理2.6恢复了Ehexp的相同表达式aRTVsdsiin【10，定理3.2】。

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可人4

2022-6-14 14:45:10

Westerss强调，证据绕过了霍克斯过程的使用。此外，我们还提到了[17]，作为相关参考，该文研究了粗糙赫斯顿模型中的瞬间爆炸。3均值-方差组合选择let ut，√Vtπtbe投资策略，其中π是投资于股票的财富量。然后是财富过程xtsatisfiesdxt=rtXt+θpVtutdt+utdW1t，X=X>0。（3.1）定义3.1。如果（1），则称投资策略u（·）是可接受的。u（·）为F自适应；(2). 呃RT公司|√Vtut | dti<∞ 和EhRT | ut | dti<∞; 和（3）。财富过程（3.1）有一个独特的解决方案【34，第1章，定义6.15】，具有P-a.s.连续路径。所有可接受的投资策略集表示为U.备注3.2。在条件（1）中，F可能严格大于布朗过滤ofW=（W，W），这意味着除了W之外的额外信息可用于构建容许策略。通常，u可以依赖于一个与W强P正交的局部P鞅。此类示例参见【22，定理3.1】中的对冲策略（3.6）。然而，我们的最佳策略u*结果只取决于方差V和布朗运动W，如图4.3所示。备注3.3。我们再次强调，潜在的概率空间和布朗运动不是我们控制的一部分。因此，我们的配方仍应被称为强配方。读者可以参考[34，第2章，第4节]来讨论随机控制问题的强公式和弱公式之间的区别。连续时间的MV投资组合选择问题如下。分钟（·）∈UJ（x；u（·））=E（XT）- c）,根据E[XT]=c，（X（·），u（·））满足（3.1）。（3.2）常数c是终端时间T的目标财富水平。我们假设c≥ xeRTrsdsfollowing【27、26、31】。

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可人4

2022-6-14 14:45:13

否则，将所有财富投入无风险资产的琐碎策略可能会主导任何其他可接受的策略。据说MV问题对于C是可行的≥ xeRTrsdsif存在u（·）∈ 满足E[XT]=c的U。请注意，rt>0是确定性的，E[RTVtdt]>0。很明显，我们的问题对于anyc的可行性是有保证的≥ Xertrsdsb对[26，第6.1部分]中的证明稍作修改。由于问题（3.2）有一个约束，它等价于下面的最大-最小问题[28]。最大η∈Rminu（·）∈UJ（x；u（·））=E（XT）- （c）- η))- η、（X（·），u（·））满足（3.1）。（3.3）设ζ=c- η并考虑（3.3）中的内部问题（3.4）。分钟（·）∈UJ（x；u（·））=E（XT）- ζ)- η、（X（·），u（·））满足（3.1）。（3.4）有几种等效配方。4最优投资策略为了解决问题（3.4），我们引入了一个新的概率度量▄P byd▄PdPFt=exp- 2θZTVSD- 2θZtpVsdW1s, （4.1）其中随机指数是真鞅[3，引理7.3]。然后▄W1t，W1t+2θRt√Vsds是▄P下的一个新的布朗运动。因此，Vt=V+ZtK（t- s）（κφ- λVs）ds+ZtK（t- s） σpVsdBs，（4.2），其中λ=κ+2θρσ和dBs=ρdW1s+p1- ρdW2s。分别将▄E[·]和▄E[·| Ft]表示为▄P-期望和条件▄P-期望。~P下的正向方差是条件~P-预期方差：~E[Vs | Ft]，ξt（s）。下面的恒等式在[23，Proposition 3.2]中通过应用[3，引理4.2]得到了证明。ξt（s）=E[Vs | Ft]=ξ（s）+ZtλRλ（s- u） σpVudBu，（4.3），其中ξ（s）=1.-ZsRλ（u）duV+κφλZsRλ（u）du，（4.4），Rλ是λK的预解式，使得λK* Rλ=Rλ* （λK）=λK-Rλ。（4.5）如果λ=0，则解释Rλ/λ=K和Rλ=0。考虑随机过程，Mt=2 exphZTt2rs- θξt（s）+（1- 2ρ）σψ（T- s） ξt（s）dsi，（4.6），其中ψ（t）=ZtK（t- s）(1 - 2ρ）σψ（s）- λψ（s）- θds。

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2022-6-14 14:45:18

（4.7）引理A.4证明了（4.7）解的存在性和唯一性。过程M是应用定理4.3中平方完备性技术的关键，其灵感来自【27，26，31】。试探性地说，考虑M可以克服Volterra-Heston模型的非马尔可夫和非半鞅特性。M的构造基于以下观察结果。为了完成平方，我们需要一个辅助过程M作为额外的随机因子，它位于与半鞅下MVPortfolions的先前研究一致的位置。证明定理4.3的平方过程的完成表明M应满足（4.8）。然后，我们通过适当的变换将M与（4.13）中的条件期望联系起来。应用[3，方程（4.7）]中的指数变换公式，得到（4.6）。定理4.1。假设假设2.1成立且（4.7）在[0，T]上有唯一的连续解，则满足以下性质。(1). Mt本质上有界且0<Mt<2eRTtrsds，P-a.s。， t型∈ [0，T）。MT=2。（2）。将其^o引理应用于T上的M，然后应用于dmt=- 2rt+θVtMtdt+2θpVtU1t+U1tMtdt+U1tdW1t+U2tdW2t，（4.8），其中u1t=ρσMtpVtψ（T- t），（4.9）U2t=p1- ρσMtpVtψ（T- t）。(4.10)(3).M=2 exphZT2rsds+κφZTψ（s）ds+VZT(1 - 2ρ）σψ（s）- λψ（s）- θdsi。（4.11）此外，对于分数核K（t）=tα-1Γ（α），表示分数积分为Iαψ（t）=K* ψ（t）。ThenM=2 exphZT2rsds+κφIψ（T）+VI1-αψ（T）i.（4.12）（4）。呃RTUitdt公司p/2i<∞ 对于p≥ 1，i=1，2。证据属性（1）。很容易看到Mt>0 in（4.6）。对于上限，如果1- 2ρ=0，noteRTtξt（s）ds>0，P-a.s.通过引理B.1，然后Mt<2eRTtrsds，P-a.s。。如果1-2ρ6=0，我们分类为1-2ρt=21-2ρexp2(1 - 2ρ）ZTtrsds~Ehexp- θ(1 - 2ρ）ZTtVsdsFti。

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kedemingshi

2022-6-14 14:45:27

（4.13）相当于表明▄Ehexp- θ(1 - 2ρ）ZTtVsdsFti（4.14）=exphZTt- (1 - 2ρ）θξt（s）+（1- 2ρ）σψ（T- s） ξt（s）dsi。表示∧ψ=（1）- 2ρ)ψ. 然后|ψ满足|ψ=K*σ~ψ- λ~ψ - (1 - 2ρ)θ. （4.15）因此，（4.14）适用于所有t∈ 【0，T】由【3，定理4.3】应用于|ψ。[3，定理4.3]中的鞅假设由[3，引理7.3]验证。如果1- 2ρ>0，然后▄Ehexp- θ(1 - 2ρ）RTtVsdsFti<1，P-a.s.，这意味着Mt<2eRTtrsds，P-a.s。。1.- 2ρ<0可以类似地讨论。证明了性质（1）。属性（2）。用适当的Zt表示Mt=2eZtin（4.6）。我们首先推导出dZt的方程。从（4.3）中，将It^o引理应用于时间t上的ξt（s），得到dξt（s）=λRλ（s- t） σpVtdBt.（4.16）然后DZT=- 2rt+θVt-(1 - 2ρ）σψ（T- t） Vt公司dt公司- θZTtλRλ（s- t） σpVtdBtds+（1- 2ρ）σZTtψ（T- s） λRλ（s- t） σpVtdBtds=- 2rt+θVt-(1 - 2ρ）σψ（T- t） Vt公司dt公司- θZTtσλRλ（s- t） dspVtdBt+（1- 2ρ）σZTtσψ（T- s） λRλ（s- t） dspVtdBt=- 2rt+θVt-(1 - 2ρ）σψ（T- t） Vt公司dt+dBt·σpVtZTth（1- 2ρ）σψ（T- s）- θiλRλ（s- t） ds。第二个等式由随机Fubini定理保证[33]。我们要求对（4.9）-（4.10）作出以下陈述。U1t=σρMtpVtZTth（1- 2ρ）σψ（T- s）- θiλRλ（s- t） ds，（4.17）U2t=σp1- ρMtpVtZTth（1- 2ρ）σψ（T- s）- θiλRλ（s- t） ds。（4.18）事实上，我们只需展示- 2ρ）σψ（T- s）- θiλRλ（s- t） ds=ψ（t-t）。（4.19）虽然可以用与[3，引理4.4]相同的方式验证（4.19），但我们仍然在这里详细说明了一篇自包含论文的推导过程。AsZTth（1- 2ρ）σψ（T- s）- θiλRλ（s- t） ds=ZT-th（1- 2ρ）σψ（T- t型- s）- θiλRλ（s）ds=(1 - 2ρ)σψ- θ*λRλ（T- t），我们有ztth（1- 2ρ）σψ（T- s）- θiλRλ（s- t） ds公司- ψ（T- t）=(1 - 2ρ)σψ- θ*λRλ（T- t）- K*(1 - 2ρ)σψ- λψ - θ（T- t）=(1 - 2ρ)σψ- θ*λRλ- K（T- t） +λK*ψ（T- t） =- Rλ* K*(1 - 2ρ)σψ- θ（T- t） +λK*ψ（T- t）。（4.7）导联toRλ的应用* ψ=Rλ* K*(1 - 2ρ)σψ- λψ - θ.

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2022-6-14 14:45:31

（4.20）因此，- Rλ* K*(1 - 2ρ)σψ- θ（T- t） +λK*ψ（T- t）=λK- Rλ- λK*Rλ* ψ（T- t） =0。这表明DZT=- 2rt+θVt-(1 - 2ρ）σψ（T- t） Vt公司dt+U1tMtdW1t+U2tMtdW2t。（4.21）将It^o引理应用于Mt=2ezt，函数f（z）=2ezyieldsdMt=MtdZt+MtdZtdZt=Mt- 2rt+θVt-(1 - 2ρ）σψ（T- t） Vt公司dt+U1t+U2t2Mtdt+U1tdW1t+U2tdW2t=- 2rt+θVtMtdt+2θpVtU1t+U1tMtdt+U1tdW1t+U2tdW2t。属性（3）。Ytin[3，定理4.3]性质的证明表明- θξ（s）+（1- 2ρ）σψ（T- s） ξ（s）ds=ZT- θV+（κφ- λV）ψ（s）+（1- 2ρ）σψ（s）Vds。在分数核下，我们用部分积分来表示zt- θ- λψ（s）+（1- 2ρ）σψ（s）ds=I1-αψ（T）。（4.22）这样可以得到所需的结果。属性（4）。有必要考虑p>2的情况。当ψ（t）在[0，t]上是连续的且m等本质有界时，EhZTUitdtp/2i≤ CEh公司ZTVtdtp/2i≤ CZTE公司副总裁/2tdt公司≤ C支持∈[0，T]E副总裁/2t< ∞.最后一项由[3，引理3.1]定义。我们首先提出一个候选最优控制u*. 在下面的定理中，我们证明了u*以及相应X的可积性*. 定理4.2符合[27，26，31]的精神。最后，我们证明了u的最优性*在（4.24）中，根据定理4.3。定理4.2。假设假设2.1成立，并且（4.7）在[0，T]上有唯一的连续解。表示At，θ+ρσψ（T- t）。假设假设假设2.5成立，常数a如下：a=maxn2p |θ| supt∈[0，T]|在|，（8p- 2p）支持∈[0，T]Ato，对于某些p>2。（4.23）考虑因素U*（t） =（θ+ρσψ（t- t））pVt（ζ*e-RTtrsds- 十、*t），（4.24），其中X*这是美国的财富过程*和ζ*= c- η*带η*=e-RTrsdsMx- e-RT2RSDSCM2- e-RT2rsdsM。（4.25）u*（·）在（4.24）中是允许的，并且X*u下方*（·）满意度∈[0，T]| X*t | pi<∞, （4.26）对于p≥ 1、此外，ζ*e-RTtrsds- 十、*t型≥ 0，P-a.s。， t型∈ [0，T]。（4.27）证明。

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2022-6-14 14:45:34

美国的财富过程*由（dX）给出*t型=rtX公司*t+θAtVt（ζ*e-RTtrsds- 十、*t）dt+At√Vt（ζ*e-RTtrsds- 十、*t） dW1t，X*= x、（4.28）找到x的解决方案*, 定义YT（dYt=-rtYtdt公司- θ√VtYtdW1t+Ytp1- ρσψ（T- t）√VtdW2t，Y=M（ζ*e-RTRSD- x）。（4.29）Ytis的唯一解由Yt=Yexph给出-Zt公司2rs+θVs+（1- ρ） σψ（T- s） Vs公司ds公司-ZtθpVsdW1s+Ztp1- ρσψ（T- s） pVsdW2si。It^o的引理yieldsX*t=ζ*e-RTtrsds-YtMt（4.30）作为财富过程的独特解决方案。实际上，dYtMt=hrtYtMt- θAtVtYtMtidt- AtpVtYtMtdW1t。（4.31）u的存在*也由解X的存在性保证*. 此外，YtMt=YMΦ（t），其中Φ（t），exphZt卢比-θAs+AsVs公司ds公司-ZtAspVsdW1si。年初至今/公吨≥ 0，（4.27）接自（4.30）。对于（4.26），请注意，通过Doob的最大不等式和[3，引理7.3]，Ehsupt∈[0，T]|Φ（T）| pi≤ CEhsupt公司∈[0，T]e-RtθASVSD2pi+CEhsupt∈[0，T]经验值-ZTASVSD-ZtAspVsdW1s2pi≤ CEhe2pRT |θAs | Vsdsi+CEhexp-ZTPASVSD-ZT2pAspVsdW1si、第一项由假设2.5确定，常数a=2p |θ| supt∈[0，T]|在|。第二学期也是有限的。事实上，根据H¨older不等式和假设2.5，常数a=（8p- 2p）支持∈[0，T]At，Ehexp-ZTPASVSD-ZT2pAspVsdW1s我≤nEhe（8p-2p）RTAsVsdsio1/2出口- 8PZTASVDS- 4PZTAPSVSDW1sio1/2<∞.Ehsupt公司∈[0，T]| X*t | pi<∞ 已证明。关于u的可采性*, u*首先是F适应。

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2022-6-14 14:45:40

对于可积性，设1/p+1/q=1，p，q>1，我们得到ZT | pVtu*t | dt我≤ CEh公司ZT | AtVtΦ（t）| dt我≤ CEhsupt公司∈[0，T]Φ（T）ZTVtdt我≤ CnEhsupt公司∈[0，T]Φ2^p（T）io1/^pnEhZTVtdt2^qio1/^q≤ CnEhsupt公司∈[0，T]Φ2^p（T）io1/^p支持∈[0，T]EV2^qt1/q<∞andEhZT | u*t | dti≤ CEhZTAtVtΦ（t）dti≤ CEhsupt公司∈[0，T]Φ（T）ZTVtdti≤ CnEhsupt公司∈[0，T]Φ2^p（T）io1/^pnEhZTVtdt^qio1/^q≤ CnEhsupt公司∈[0，T]Φ2^p（T）io1/^p支持∈[0，T]EV^qt1/q<∞.上述两个不等式中的最后一项由[3，引理3.1]确定，取p=2^p。我们现在准备证明u*在（4.24）中是最优的，并推导出有效边界。定理4.3。假设定理4.2中的假设成立，则问题（3.2）的最优投资策略由（4.24）给出。此外，（4.24）在给定解（S，V，W，W）到（2.6）-（2.7）下是唯一的。X的方差*TisVar[X*T] =平方米- e-RT2rsdsM总工程师-RTRSD- x个. （4.32）证明。首先，我们考虑具有任意ζ的内部问题（3.4）∈ R、表示ht=ζe-RTtrsds。对于任何可容许策略u，dMt（Xt），利用具有M性质的It^o引理并完成平方- ht）=（Xt）- ht）MtθVt+2（Xt- ht）θpVtU1t+（Xt- ht）U1tMt+2Mt（Xt- ht）θpVtut+2（Xt- ht）utU1t+Mtutdt公司+（Xt）- ht）U1t+2Mt（Xt- ht）utdW1t+（Xt- ht）U2tdW2t=Mthut+θpVt+U1tMt（Xt）- ht）idt+（Xt）- ht）U1t+2Mt（Xt- ht）utdW1t+（Xt- ht）U2tdW2t。当mt和htare有界时，EhRTUitdti<∞ 对于i=1，2，utis可容许，且x有P-a.s.连续路径，则随机积分（Xs- hs）U1s+2Ms（Xs- hs）美国dW1sandZt（Xs- hs）U2sdW2sare（F，P）-局部鞅。停车时间{τk}k=1,2，…的局部化序列不断增加，。。。使τk↑ k时为T→ ∞. 由{τk}k=1,2，。。。是真鞅。因此，E[Mτk（Xτk-hτk）]=M（x-h） +EhZτkMtut公司+θpVt+U1tMt（Xt）-ht）dti。（4.33）从（3.1）中，根据Doob的最大不等式和u（·），E[Xτk]的可容许性≤ Chx+EhZT | utpVt | dti+EHZTUTDII<∞.

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2022-6-14 14:45:44

（4.34）然后Mτk（Xτk- hτk）由所有k的非负可积随机变量控制。将k发送到单位，通过控制收敛定理和单调收敛定理，我们导出[（XT- ζ） ]=M（x- h） +EhZTMtut公司+θpVt+U1tMt（Xt）- ht）dti。（4.35）因此，成本函数E[（XT- ζ）当螺母=-θpVt+U1tMt（Xt）- ht）。（4.36）然后E[（XT- ζ） ]=M（x- h）。u的唯一性*直接从（4.35）和MT>0，P-a.s.得出。， t型∈ [0，T]。要解决（3.3）中的外部最大化问题，请考虑j（x；u（·））=Mx个- （c）- η） e类-RTRSD- η. （4.37）一阶和二阶导数Jη=Mx个- （c）- η） e类-RTRSDe-RTRSD- 2η,Jη=Me-2RTRSD- 2<0，其中我们根据定理4.1使用了严格不等式M<2eRT2rsds。然后η的最佳值由（4.25）给出，从Jη= 0. Var[X*T] 通过J（x；u（·））与η的直接简化得到*.虽然Volterra-Heston模型在本质上是非马尔可夫和非半鞅的，但最优控制在本质上是非马尔可夫和非半鞅的*在（4.24）中，不依赖于整个波动路径。此外，股票中的最佳财富量π*t、不直接取决于波动率值，而是通过参数和Riccati-Volterra方程（4.7）取决于波动率的粗糙度和动力学。如果我们让核K=id，那么很明显Volterra-Heston模型（2.6）简化为经典的Heston模型[21]。我们在定理4.2和定理4.3中的结果表明*在（4.24）中，即使在一般过滤F下也是最优的。它扩展了[6，32]中的相应结果，其中过滤被选为布朗过滤。作为合理性检查，以下推论验证了我们的解决方案简化为赫斯顿模型下的解决方案。推论4.4。考虑赫斯顿模型，即核K=id。假设定理4.2中的其他假设成立，则最优策略（4.24）与[6]中的相同。证据

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2022-6-14 14:45:48

在不丧失一般性的情况下，假设rt=0，如[6]所示。我们首先将（4.6）中的Mt/2与机会过程Ltin【6，方程（3.2）】匹配。注（4.5）中的预解式减少为Rλ（t）=λe-λtand（4.3）中的正向方差为ξt（s）=e-λ（s-t） Vt+κφλ1.- e-λ（s-t）. （4.38）因此，ZTtξt（s）ds=1- e-λ（T-t） λVt+κφλt- t型-1.- e-λ（T-t） λ！andZTtψ（T- s） ξt（s）ds=VtZTtψ（t- s） e类-λ（s-t） ds+κφλZTt1.- e-λ（s-t）ψ（T- s） ds。THNZTT公司- θξt（s）+（1- 2ρ）σψ（T- s） ξt（s）ds=w（T-t） Vt+y（t- t），（4.39），其中W（t-t），（1- 2ρ）σZTtψ（T- s） e类-λ（s-t） ds公司- θ1 - e-λ（T-t） λ，y（t- t），（1- 2ρ）σκφλZTt1.- e-λ（s-t）ψ（T- s） ds公司- θκφλT- t型-1.- e-λ（T-t） λ！。用t替换t- 对t求导得到˙w（t）=（1- 2ρ）σψ（t）- λ(1 - 2ρ）σZTT-tψ（t- s） e类-λ（s-T+T）ds- θe-λt=（1- 2ρ）σψ（t）- λw（t）- θ.与（4.7）相比，我们发现w（t）=ψ（t）。此外，˙y（t）=（1- 2ρ）σκφλZTT-tλe-λ（s-T+T）ψ（T- s） ds公司- θκφλ1.- e-λt= κφw（t）。y（t）和w（t）使用我们的符号满足[6，方程（A.1）-（A.4）]中相同的常微分方程。因此，Mt/2 in（4.6）降低为Ltin【6，方程式（3.2）】。考虑内部问题（3.4）。当H=ζ为常数时，最优套期保值中的项Д（x，H）[6，p.476]减少为ξ=0，a=（θ+ψ（T- t） ρσ）/St，V=ζ，x+Д（x，H）·S=x*t、（4.40）很明显，最优策略是相同的。5数值研究在本节中，我们仅限于K（t）=tα的情况-1Γ(α), α ∈ （1/2，1），对于[11]中的拉夫赫斯顿模型。α=1恢复了经典的赫斯顿模型。我们考察了α对最优投资策略和有效前沿的影响。第一步是数值求解Riccati-Volterra方程（4.7）。在【11】之后，我们使用【7，8】中的分数亚当斯方法。这种数值方法的收敛性在[25]中给出。

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2022-6-14 14:45:58

读者可参考【11，第5.1节】了解有关程序的更多详细信息。在图（1a）中，当α在某些特定参数下变小时，ψ减小，接近于[11]中的校准结果，其中有一个额外的风险溢价参数θ。然而，一般来说，ψ在α中是单调的（见图（1b））。图（1a）-（1b）也证实了ψ≤ 1时为0- 2ρ>0.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t-30-25-20-15-10-50ψα=0.6α=0.7α=0.8α=0.9α=1.0（a）ψ，参数为[11]0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4t-0.010-0.008-0.006-0.004-在另一种设置下，0.0020.000ψα=0.6α=0.7α=0.8α=0.9α=1.0（b）ψ图1：不同α下ψ的曲线图。其他参数如下。在图（1a）中，vol的volσ=0.03，平均逆转速度κ=0.1，风险溢价参数θ=5，相关性ρ=-0.7，时间范围T=1。在图（1b）中，σ=0.04，κ=2.25，θ=0.15，ρ=-0.56，T=1.35。u之间的关系*α并不简单，可能会随着参数组合的不同而变化。我们强调，以下分析基于图中描述的参数设置。首先考虑图（1a）中的设置。有趣的是，α对u的影响*受到σ的显著影响。这可以用（4.24）来解释。如果股票和波动率之间的相关性ρ由于股票市场的杠杆效应而为负，θ+ρσψ（T- t）将随着α的减小而增大，如图（1a）所示。不可逆，ζ*e-RTtrsds- 十、*t型≥ 0根据定理4.2。注释ζ*= c- η*=2c- e-RTrsdsMx2- e-RT2rsdsM。（5.1）Min（4.12）是α的增函数，因为ψ为负。然后ζ*在某些参数下，如果α较小，则会变小。因此，ζ*e-RTtrsds- 十、*tandθ+ρσψ（T- t） α减小时，向不同方向移动。如果σ很小，ζ*e-RTtrsds-十、*斜纹主导θ+ρσψ（T-t）。然后u*将随着α变小而减小。

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2022-6-14 14:46:06

如果σ相对较大，θ+ρσψ（T-t）将支配ζ*e-RTtrsds-十、*t、然后u*α变小时增加。在图（1b）中的参数设置下，volσ的vol的上述影响也会出现，其中ψ在α中不是单调的。图（2a）-（2b）显示了最佳投资策略u*. 我们使用开源Python包Differin计算分数积分I1-α和Iin（4.12）。假设2.5在图（2a）-（2b）中的设置下得到验证。可用位置：https://github.com/differint/differint0.00.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4时间（年）2.742.752.762.772.78u*α=0.6α=0.7α=0.8α=0.9α=1.0（a）u*σ=0.040.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4时间（年）2.302.352.402.452.502.55u*α=0.6α=0.7α=0.8α=0.9α=1.0（b）u*σ=3时图2：最优策略u*α=0.6、0.7、0.8、0.9和1.0。在这两个子地块中，我们将初始财富x=1，无风险利率r=0.01，初始方差V=0.5，长期平均水平φ=0.04，预期最终财富c=xe（r+0.1）T。为简单起见，我们将Vt=0.5和x*t=1，对于所有时间t∈ [0，T]。其他参数与图（1b）相同，即κ=2.25，θ=0.15，ρ=-0.56，T=1.35。图（2a）-（2b）仅在体积σ的体积中有所不同。图（2a）-（2b）是敏感性分析，因为我们保持大多数参数不变，并改变其中一些参数。具体而言，使用常数vt和X*锡图（2a）-（2b）有以下解释。我们感兴趣的是最优控制通过α对赫斯特参数的敏感性。当其他参数固定时，如果我们观察到Vt=0.5和x*t=1 at t∈ [0，T]，图（2a）-（2b）说明了赫斯特参数对投资策略的边际影响。vt和X的常量值*皮重不是从已实现的路径。图（2a）-（2b）仅提供了α的边际影响；因此，我们在【1】中的设置下进行了进一步的数值分析。

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2022-6-14 14:46:14

考虑一种现实情况，即投资者为给定的隐含效用面校准赫斯顿模型和粗糙赫斯顿模型的两组参数。我们对比了校准参数得出的两种策略。图（3c）显示了最佳财富量π*通过提升Heston进近【1】获得图（3b）中Vtin的一条模拟路径。假设2.5在图3中的设置下成立。图（3a）绘制了At=θ+ρσψ（T-t）。此外，ζ*= 30.7458对于粗糙的Hestonmodel和ζ*= 经典Heston车型为21.6351。拉夫赫斯顿模型下的最优策略始终建议持有更多股票。我们强调，这是所有模拟运行中的一种持续现象，并不限于图（3c）中的特定现象。事实上，图（4a）-（4b）显示了这些策略的平均值和置信区间。在整个投资期内，拉夫赫斯顿战略具有更大的价值。可以用图（3a）和ζ来解释*报道。粗糙的赫斯顿投资者的Atζ更大*但是一个较小的At。此外，图（4c）表明，粗略赫斯顿策略的平均终端财富更接近目标c=1.1163。最后，我们强调，图（3c）和图（4a）-（4b）与图（2a）-（2b）不一致，因为图（3c）中的两种策略的平均回归率和vol的vol是不同的。详见【1，表6】和【1，表4】。最近，有人提出了一种交易策略，即买入最粗糙的股票，卖出最平淡的股票。这种无模型战略旨在投资多种资产。尽管我们考虑一种具有特定模型的单一风险资产，但将其与我们的战略进行比较仍然很有趣。注意，对于较小的α，库存更粗糙。图（2a）-（2b）表明，α不是决定股票投资的唯一因素。

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2022-6-14 14:46:18

[18]中的交易理念与图（2b）一致，因为最佳投资头寸u*α越小，则越大。然而，图（2a）中出现了不一致。事实上，如果我们使用VVIX指数作为vol of vol的代理，那么2007年、2008年、2010年和2015年的vol of vol似乎更大。如图3所示，2005年、2007年、2008年、2010年和2014年的buy-rough-sellsmooth策略的表现要好于其他年份。这种一致性表明，当0 50 100 150 200 250次（天）0.4000.4050.4100.4150.4200.4250.4300.435atrougheston（a）在0 50 100 150 200 250次（天）0.0120.0140.0160.0180.0200.0220.024Vt（b）挥发性0 50 100 150 200 250次（天）910111213π*rougheston（c）π*图3：赫斯顿和粗略赫斯顿模型下的投资策略。文[1]用提升的赫斯顿模型模拟了方差过程。模拟参数见【1，方程式（23）和（26）】，α=0.6。这条路径比经典的赫斯顿模型更为粗糙。此外，我们还实现了股票过程的Euler格式。模拟以250个时间步运行一年，相当于一年250个交易日。赫斯顿模型下的投资者使用[1，表6]中的校准参数来实施最优策略，α=0.59973346为校准值。investorunder-rough-Heston模型使用了[1，表4]。我们设置x=1，r=0.01，θ=0.4，T=1，c=xe（r+0.1）T=1.1163。（a） u型*在粗糙的Hestonmodel（b）u下*根据赫斯顿模型（c），财富图4：战略和财富统计。基于3000条模拟路径，实线绘制平均值和阴影区域是自举估计的95%置信区间。赫斯顿模型表明，投资越多，最终财富越接近预期值c=1.1163。

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2022-6-14 14:46:21

参数如图3所示。考虑粗糙度。在未来的研究中，测试基于粗糙度和vol-of-vol的策略的性能是很有意思的。在图（5a）-（5b）中，显示了α和预期财富水平c的不同值的有效边界。它们之间的关系很清楚，如果α减小，最优财富的方差会减小，因为当α减小时，Md减小，Var[X*T] （4.32）中是M的递增函数。我们还验证了图（5a）-（5b）中设置的假设2.5。6结论据我们所知，这是首次研究粗糙随机环境下连续时间马科维茨均值方差投资组合选择问题。我们特别关注Volterra-Heston模型。通过推导最优策略和有效边界，我们进一步了解了粗糙度对其的影响。未来有许多可能的研究方向。自然因素是效用α0.50.60.70.80.91.0E[X*T]1.11.21.31.41.51.61.7Var[X*T]5101520（a）有效前沿0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0α246810Var[X*T]c=1.2c=1.3c=1.4c=1.5（b）Var[X*T] 在不同的期望值下，图5：有效边界和方差图。粗糙度参数α∈ [0.5, 1]. Weset r=0.03，V=0.04，x=1，φ=0.3，σ=0.03，κ=0.1，θ=0.6，ρ=-0.7，T=1，和c∈ [xe（r+0.01）T，xe（r+0.5）T]。MV准则的最大化和时间不一致性。

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2022-6-14 14:46:25

此外，我们的研究议程中已经包含了带有粗糙波动性的模型模糊性。致谢作者要感谢两位匿名推荐人和编辑的仔细阅读和宝贵评论，这大大改进了手稿。Riccati-Volterra方程的解为了证明Riccati-Volterra方程解的存在性和唯一性，我们首先用更一般的假设重新表述了最近专著[5]中的以下结果。证明的基本思想是Picard迭代。定理A.1。假设核K（·）是有界的或是带α的分数核∈ (0, 1). Letc、c、cbe常数。然后存在δ>0，使得f（t）=ZtK（t- s）c+cf（s）+cf（s）ds（A.1）在[0，δ]上有唯一的连续解f。证据注意二次函数是局部Lipschitz；然后根据[5]中的定理3.1.2和定理3.1.4，该权利要求成立。然而，定理A.1中的δ并不明确。如果施加更多的假设，结果就会更为严格。我们首先研究（2.8）中的g（a，t）。基于【16，定理A.5】，我们得到了引理A.2。假设假设2.1成立，k- 2aσ>0。然后（2.8）有一个唯一的全局连续解。此外，0<g（a，t）≤ r（t）<w*, t>0，（A.2），其中w*,κ-√κ-2aσσ和r（t），Q-1.RtK（s）ds; 也就是说，Q的反函数，givenbyQ（w）=Zwdua- κu+σu.（A.3）证明。为了应用[16，定理A.5]中的结果，我们定义h（w）=A- κw+σw。然后H（w）满足[16]中的假设A.1，其中wmax、κσ和w*如上所述。该权利要求源自【16，定理A.5（c）】和A（t）≡ 在他们的定理中为0。对于特定分数核K（t）=tα-1Γ（α），[10，定理3.2]得到了以下严格结果，证明基于Hawkes过程的标度极限。引理A.3。

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2022-6-14 14:46:28

如果K（t）=tα-1Γ(α), α ∈ （1/2，1），然后是（2.8）中的g（a，t）满意度g（a，t）≤cσhκ+t-αΓ(1 - α） +σpa（t）- ai，（A.4），其中A（t）=2σκ+t-αΓ(1-α)常数c>0。换句话说，如果a<a（T），则满足假设2.5。接下来，我们研究（4.7）中的ψ（·）。如果满足定理a.1中的条件，则（4.7）在某个区间[0，δ]上有唯一的连续解。如果没有定理a.1，我们也有以下结果。引理A.4。假设假设假设2.1成立。(1). 如果1- 2ρ>0，则（4.7）具有唯一的全局连续解ψ∈ 当t>0时，Lloc（R+，R）和ψ<0。(2). 如果1- 2ρ=0，则（4.7）是线性的，并且在[0，T]上有唯一的连续解。(3). 如果1- 2ρ<0，进一步假设λ>0和λ+2（1- 2ρ)θσ> 0. 然后（4.7）有一个唯一的全局连续解。此外，w*1.- 2ρ<r（t）1- 2ρ≤ ψ（t）<0， t>0，（A.5），带“w”*=λ-√λ+2(1-2ρ）θσσ和\'r（t），\'Q-1.RtK（s）ds, 式中，Q（w）=Zwduσu- λu- (1 - 2ρ)θ. （A.6）证明。（1）中的权利要求源自【3，定理7.1】。连续性源于全局解的唯一性和[19，定理12.1.1]。（2）中的主张是经典的，可以在[5，定理1.2.3]中找到。对于（3），我们考虑|ψ=（1- 2ρ)ψ. 然后|ψ满足|ψ=K*σ~ψ- λ~ψ - (1 - 2ρ)θ. （A.7）定义（w）=σw- λw- (1 - 2ρ)θ. （A.8）然后“w”*是H（w）=0的唯一根(-∞, \'wmax]，\'wmax=λσ。【16】中的H（w）满足假设A.1。因此，[16，定理A.5（c）]与A（t）≡ 0表示（A.7）具有唯一的全局连续解，且0<ψ（t）≤ \'r（t）<\'w*, t>0。（A.9）注ψ=（1）- 2ρ)ψ. 这将得到所需的结果。B正变积分的正性B.1。假设假设假设2.1成立。（4.3）中的正向方差ξt（s）满足每t∈ [0，T）.证明。

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