粗糙路径签名的最优执行

2022-6-14 16:00:48

粗糙路径签名的最优执行*Jasdeep Kalsi、Terry Lyon1、2和Imanol Perez Arribas1、2、3牛津大学数学研究所Alan Turing Institute，LondonJ。P、 Morgan，London2019年5月3日摘要我们提出了一种基于签名方法获得最佳执行问题近似解的方法。该框架是通用的，仅要求价格过程是几何粗糙路径，价格影响函数是交易速度的连续函数。在对优化问题进行近似处理之后，我们能够在截断价格过程的特征码的情况下，计算线性函数空间中的交易速度的最优解。我们提供了强有力的数字证据，证明了该方法的准确性和灵活性。我们的数值研究既检验了精确解已知的情况，证明了该方法精确地逼近了这些解，也检验了精确解未知的模型。在后一种情况下，我们与标准执行策略进行了比较。*本文中表达的观点是作者的观点，并不一定反映摩根大通的观点。1简介1.1概述继Bertsimas和Lo在[BL98]和Almgren和Chriss在[AC01]中对该问题的最初研究之后，最优执行问题引起了人们的极大兴趣。AIM旨在模拟一个人应该如何向市场发送订单，以便从持有一个投资组合过渡到持有另一个投资组合。通常情况下，投资者只希望收购/清算单一资产的股份。优化有两个相互竞争的因素。首先，投资者有快速交易的压力。随着未来价格的不确定性，交易越晚意味着接受更多风险。

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2022-6-14 16:00:51

另一方面，由于市场影响的性质，跨时间平均交易也有其好处。投资者应该考虑目前在理想价格下有多少流动性——现在下大订单可能会导致“照本宣科”，并在很大一部分交易中接受不可避免的价格。任何最优执行模型的关键特征是交易者可以执行其交易的价格过程的动态，Pt，以及交易者对良好策略概念的一些定义。过程PTI是时间t之前交易速度历史的函数，以及一些额外的驱动过程。通常，我们将基础价格过程的总和添加到价格影响函数中，从而得出PTI。价格影响函数取决于投资者交易速度的历史，它决定了交易者可以执行的价格因此发生了多大的变化。价格影响函数的经典选择包括临时版本（仅取决于交易者当时希望交易的速度）、永久版本（取决于截至时间t的订单累积）和临时版本（过去交易速度的影响随时间衰减）。好的策略通常是根据一些成本函数来定义的，这既考虑了投资者在采用策略时的预期收入，也考虑了与该策略相关的风险度量。1.2论文概述本文的目的是说明如何使用签名方法来获得最优执行问题的近似解。我们的设置非常一般，假设价格过程仅为几何粗糙路径，允许价格影响函数取决于交易策略的整个历史，仅假设轻微的连续性条件。

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2022-6-14 16:00:54

该框架的灵活性在一定程度上可以通过文献中广泛的现有模型来证明。这方面的一个例子是【CJP15，第6.5节】中提出的经典最优执行问题，其中假设基础价格过程是布朗运动，基于持有库存的风险引入LPENALTY。最近的例子包括【LN19】中Lehalle和Neumann的作品，以及【CJ16b】中Cartea和Jaimungal的作品。在[LN19]中，作者证明了在将交易信号纳入价格动态的情况下，最优交易策略的存在性和唯一性的结果。类似地，在[CJ16b]中，作者考虑了微观结构在问题中的作用，将订单流量作为永久影响价格的因素。我们的方法也适用于处理由相互交易影响的多个相关资产组成的模型。Mastromatteo、Benzaquen、Eisler和Bouchaud【MBEB17】在文章中介绍了这种设置。在第2节中，我们首先简要概述了粗糙路径。在这里，我们定义了几何粗糙路径及其签名，并介绍了对签名进行计算所需的基本代数结构。接下来，我们将在第3节介绍我们的框架。这包括在我们的模型中指定我们对价格过程和市场影响的假设，确定我们将寻找策略的交易速度空间，以及引入最优控制问题。第4节专门计算控制问题的近似解。我们首先根据签名重新表述问题，然后通过一个有限维、可计算的最小化问题来近似最佳交易速度。

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mingdashike22

2022-6-14 16:01:02

在第5节中，我们提供了第3节和第4节中所述方法的有趣扩展示例，例如[MBEB17]中出现的多资产问题，以及假设额外的多维噪声提供有关价格动态的外源信息的更奇特的模型。最后，在第6节和第7节中，我们提供了该模型性能良好的数字证据。在设置【CJP15，第6.5节】、【LN19】和【CJ16b】中，获得了最佳策略的良好近似值，并且我们还可以在基础价格过程是分数布朗运动的情况下研究该问题。此外，我们在第7节中证明，我们的方法也可以用于实际市场数据。2粗路径初步粗路径和签名将在本文中发挥关键作用。在本节中，我们将介绍本文将使用的粗糙路径理论的所有方面。对于粗糙路径理论的更详细介绍，作者请读者参考[LCLddpdS07，FV10]。2.1张量代数粗糙路径是一条在某个分次空间上取值的路径，称为张量代数。本小节将介绍这些代数，以及另一个重要的空间——张量代数的对偶空间。定义2.1（扩展张量代数）。让d≥ 1、我们用T（（Rd））表示Rd上的扩张张量代数，由T（（Rd））定义：={a=（a，a，…，an，…）一∈ （Rd）n} 在哪里表示张量积。给定a=（ai）∞i=0，b=（bi）∞i=0∈ T（（Rd））、定义+和产品 bya+b：=（ai+bi）∞i=0，a b：=iXk=0ak bi公司-k∞i=0。我们还定义了λa：=（λai）对R的作用∞对于所有λ，i=0∈ R、 a∈ T（（Rd））。同样，我们可以将张量代数和截断张量代数分别定义为所有有限序列和给定长度的所有序列的空间。定义2.2。

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nandehutu2022

2022-6-14 16:01:06

Rd上的张量代数，用T（Rd）表示 T（（Rd）），由T（Rd）给出：={a=（an）∞n=0 |安∈ （Rd）nandN∈ N使得an=0n≥ N} 。同样，n阶截断张量代数∈ 由T（N）（Rd）定义的RDI上的N：={a=（an）∞n=0 |安∈ （Rd）nand an=0n≥ N} 。设{e，…，ed} Rdbe是Rd的基。这导致了对偶基{e*, . . . , e*d} （Rd）*对于（Rd）*, 其中（Rd）*表示Rd的对偶空间–即所有连续线性函数Rd的空间→ R、我们可以确定（Rd）的基础nby：{ei . . . ein | ij∈ {1，…，d}对于j=1，n} 。类似地，基础（（Rd）*)由{e]定义*我 . . . e*in | ij∈ {1，…，d}对于j=1，n} 。这自然地为T（（Rd））和T（（Rd）提供了基础*).通常可以方便地想到T（（Rd）*) 作为一个词的空间。定义字母表：={1，…，d}。然后，基本元素e*我 . . . e*印加语与“i”一词一致。在里面让W（Ad）表示字典Ad中所有单词（及其和）的字母空间，即Ad生成的自由R向量空间。那么，我们有（（Rd）*)~=W（Ad）。空单词将由 ∈ W（Ad）。示例2.3。考虑R.1的以下示例。设a=3- e e∈ T（（R））。然后，h, ai=3.2。设a=1- 2e+e∈ T（（R）），设置w= + 1、那么，hw，ai=1- 2 = -1.3. 设a=ee-ee∈ T（（R）），并设置w=21+111。那么，hw，ai=-1+0 =-1.4. 设a=1+e3和w=2·111。然后，hw，ai=2·1=2。词的空间有两种自然的代数运算——和和和和。设w=i。in，v=j。吉咪∈ W（Ad）是两个单词。它们的和是w+v的形式和∈ W（Ad）。另一方面，它们的串联由wv定义：=i。注射。

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2022-6-14 16:01:08

吉咪∈ W（Ad）。这两个操作在T（（Rd）上引发类似的操作*), 而且，由于旋转的一些滥用，我们甚至会在W（Ad）和T（（Rd）上使用串联*) 可互换–即我们有时会写“w”∈ T（（Rd）*) 对于`∈ T（（Rd）*) 和单词w∈ W（Ad），我们的意思是将W（Ad）中与`相关的元素与单词W串联起来。示例2.4。取字母A={1，2，3，4}。1、设置w=212，v=31。我们的wv=21231∈ W（A）。我们有（143+23）1=1431+231∈ W（A）。在本文中，还有第三种对单词的操作很有用：shu-free-eproduct tt。直觉上，shu-flue产品说明了ri-flue-eshu-flue制作两副牌的所有可能方式。具体定义如下。定义2.5（松露产品）。酥油产品tt:W（Ad）×W（Ad）→ W（Ad）由ua ttvb=（u ttvb）a+（ua ttv）b，W tt感应定义 = ttw=所有单词u、v和字母a、b的W∈ Ad，然后通过双线性度扩展到W（Ad）。由于一些符号的滥用，T（（Rd）上的松露产品*) 由shu-forgi eproduct诱导的单词也将由tt表示。根据shu-forge乘积的定义，tt是可交换的，即f ttg=g ttf，对于所有f，g∈ T（（Rd）*).示例2.6。我们有：1。12 tt3=123+132+312.2。12 tt23=2·1224+1242+2124+2142+2412。定义2.7。让Q∈ R[x]是一个单变量多项式。写入Q（x）=a+ax+ax+…+anxn。然后，Q导出映射Qtt:T（（Rd）*) → T（（Rd）*) 给定byQtt（`）：=a + a`+a` tt2+…+安\'ttn` ∈ T（（Rd）*),其中\'ttk:=\'tt\'tt。k的tt `{z}k∈ N、 2.2粗略路径我们现在将定义本文中的一个关键对象：路径签名。定义2.8（路径签名）。让0≤ s<t≤ T对于分段平滑路径x：[0，T]→ Rd，我们定义了X在[s，t]byX上的签名<∞s、 t：=（1，Xs，t，…，Xns，t，…）∈ T（（Rd）），其中xns，T：=Zs<u<<un<tdXu . . .

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2022-6-14 16:01:12

dXun公司∈ （Rd）n、同样，我们定义了n阶截断签名∈ N byX公司≤Ns，t：=（1，Xs，t，…，XNs，t）∈ T（N）（Rd）。如果我们引用X的签名，而不引用签名的间隔，那么我们将隐含地引用X<∞0，T。示例2.9。在本文中，我们将不断研究签名上的线性函数。因此，在后面的章节中可以看到一些将要使用的示例。设X=（X，X）∈ C∞（[0，T]；R）是二维光滑路径。回想第2.1节，我们在张量代数上引入了词作为线性函数的表示法。我们有：1。h2，X<∞0，Ti=RTdXt=XT- 十、 2。h类, X个<∞0，Ti=1.3。h21，X<∞0，Ti=RTRtdXsdXt=RT（Xt- 十） dXt。4、让`∈ T（（R）*). 那么，h\'1，X<∞0，Ti=RTh\'，X<∞0，tidXt。定义2.10（几何p-粗路径）。设T>0和p≥ 1、用bpc表示p.Let的整数部分T： ={（s，T）∈ [0，T]×[0，T]| s≤ t} 。函数X：T→如果T（bpc）（Rd）是分段光滑路径的bpc阶签名的极限（在p变量距离[LCLddpdS07，定义1.5]下），则称其为几何p-粗路径。所有几何p-粗路径的空间将用G表示Ohmp（[0，T]；Rd）。每个X=（1，X，…，Xbpc）∈ GOhmp（[0，T]；Rd）可以唯一地扩展到任意N的N度量粗糙路径≥ p（【LCLddpdS07，定理3.7】）。与光滑情况类似，完全延伸X<∞= （1，X，…，XN，…）将定义为X的符号。文献中使用的许多随机过程几乎都是几何路径。例如，使用Stratonovichintegration定义的半鞅的签名几乎肯定是任何p的几何p-粗路径∈ （2，3）[CL05]。Hurst参数H的分数布朗运动的签名≥ 几乎可以肯定的是，1/4也是p>1/H（[CQ02]）的几何p-粗路径。

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2022-6-14 16:01:15

现在，我们将说明签名的一些属性，这些属性在本文中很有用。引理2.11（松露产品特性，[LCLddpdS07]）。让X∈ GOhmp（[0，T]；Rd）是年龄计量的p-粗路径。让``∈ T（（Rd）*) 是两个线性泛函。然后，h`，X<∞0，Tih\'，X<∞0，Ti=h\'tt\'，X<∞0，Ti`, `∈ T（（Rd）*). （1）松露产品将在本文中广泛使用。它保证了签名上两个线性函数的乘积是签名上的另一个线性函数，这是用shu-frege乘积明确给出的。下面的引理在本文中也很有用。此结果保证签名X<∞0，t完整地描述了X–直到所谓的树状等价物（见[BGLY16，定义1.1]）。引理2.12（签名的唯一性，[BGLY16]）。让X∈ GOhmp（[0，T]；Rd）。签名X<∞0，Tof X在树状等价物中是唯一的（定义见[BGLY16，定义1.1]）。推论2.13。让X∈ GOhmp（[0，T]；Rd）。如果存在严格单调的X投影，则签名X<∞0，t确定X到翻译。3框架3.1符号给定连续路径Z∈ C（[0，T]；R），表示其由continuouspathbZ扩充∈ BZT定义的C（[0，T]；R+×R）：=（T，Zt）∈ R+×R.设p≥ 1、定义：bOhmpT：={bZ∈ GOhmp（[0，T]；R）| Z∈ C∞（[0，T]；R）和Z=1}dp-var，其中在dp下进行关闭-var，即p变化距离（见[LCLddpdS07，定义1.5]）。吉文布兹∈bOhmpT，我们将在Z之前写入∈ C（[0，T]；R）未经整理的协调过程。直觉上，B的元素Ohmp重新签名形式为（t，Zt）的路径，初始点Z=1。因为这个增广路径（即时间）的第一维度是单调递增的，并且因为我们只考虑从1开始的路径，所以它后面是推论2.13，即bz<∞0，t完全表征bz（因此也就是Z）。3.2市场空间BOhmPT将是我们的市场路径空间。

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2022-6-14 16:01:21

我们将为其配备概率空间（bOhmpT，B（BOhmpT），P）。给定粗略路径BX∈bOhmpT，未分段的坐标路径x：[0，T]→ R表示资产未受影响的中间价。换言之，如果交易者不进行资产交易，则X是资产的中间价过程。示例3.1。我们的市场框架非常笼统，因为它包括了文献中考虑过的大多数示例。特别是，我们的框架包括：1。半鞅。在文献[CJ15、CJ16b、CJ16a、LN19]中，中间价格过程通常被建模为半鞅。p的半鞅可提升为p几何粗糙路径∈ （2，3）[Lyo98，CL05，FV10]，因此它们符合我们的框架：市场将由概率空间（b）给出OhmpT，B（BOhmpT），P）表示P∈ （2，3）和P半鞅定律。2、列维过程。更一般地说，某些L'evy过程也可以提升为P几何粗糙路径[FS17，Che18]，因此它们被包括在这个框架中。分数布朗运动。我们的框架还包括这样的设置，即中间价格由带有赫斯特参数的分数布朗运动建模≥ 1/4. 事实上，在[CQ02]中，Hurst参数大于1/4的分数布朗运动可以提升为几何粗糙路径。3.3交易速度在本节中，我们将介绍交易速度的表示法。定义3.2（交易速度）。定义可度量空间∧T：=St∈[0，T]bOhmpt。我们用T=C（λT；R）定义交易速度空间。给定交易速度θ∈ T，则转换器将以θ（bX |[0，T]）的速率进行交易。直觉上，坐在时间t的交易者∈ [0，T]应该只考虑到时间T之前发生的事情来决定卖多少或买多少：她只能根据过去而不是未来行事。

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2022-6-14 16:01:24

换言之，交易者的交易决策将是截至时间t的中间价格过程的（非能动）函数，即bX |[0，t]∈ ∧T。这种直觉被纳入交易速度T的定义中。【Gal94、CF13、AC17、Dup09、BCH+17、Rig16】中考虑了类似于∧TWA的空间，以及【Rig16】中考虑了类似的交易策略定义。在本文中，以下类别的交易速度将具有特殊相关性：定义3.3（签名交易速度）。签名交易空间加速TsigT由tsig定义：={θ∈ T |` ∈ T（（R）*) 使得θ（bX |[0，t]）=h\'，bX<∞0，tibX |[0，t]∈ ∧T}其中bx<∞0，t指定间隔[0，t]上的Bx签名。事实证明，签名交易的空间加快了Tsig T非常大–事实上，我们有以下密度结果，其证明见附录A引理3.4。设ε>0。然后，存在一个紧集KbOhmPt使：1。P[K]>1- ε.2、Tsig仅限于K，T密集。因此，交易速度可以通过signaturetrading速度在局部任意近似。因此，如果要在T上优化某个目标函数，那么在Tsiginstead上优化它是有意义的。这正是本文将采用的方法：我们将在Tsig中寻找最佳交易速度，而不是T。3.4市场影响当交易者购买或出售交易资产时，仅仅是交易行为就会影响资产的账面价值。如果她交易的交易量与总交易量相比很小，那么这种影响可以忽略不计。然而，如果交易者发出大额交易订单，对订单簿的影响可能会对执行订单的价格产生负面影响（见[账单15]及其参考资料）。

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2022-6-14 16:01:27

在本节中，我们将介绍本文将使用的市场影响模型。如果交易者决定遵循签名交易速度θ∈ Tsig，执行价格，即交易者可以获得的价格，将由pθt：=Xt给出- hgθ，bX<∞0，ti，（2），其中gθ∈ T（（R）*) 是一个依赖于θ的线性函数，θ模拟市场影响。示例3.5。市场影响的定义远非限制性的，而是非常普遍的，包括文献中研究过的许多例子。的确，让`∈ T（（R）*) 并设置签名交易速度θ（bX |[0，t]）：=h`，bX0，ti。然后，以下是我们的框架中包含的市场影响示例：1。临时市场影响。设置g`:=λ`，λ>0。然后，hg`，bX<∞0，ti=λθ（bX |[0，t]）是[CJ15、CJ16b、LN19]中研究的线性临时市场影响。我们还可以通过考虑多项式Q使临时市场影响非线性∈ R[x]和设置g`:=Qtt（`）。然后，hg`，bX<∞0，ti=Q（θ（bX |[0，t]））。2、永久性市场影响。在[CJ15、CJ16b、CJ16a]中，考虑了由Tθsds给出的永久市场影响。设置g`:=“1，我们有hg`，bX<∞0，ti=h`1，bX<∞0，ti=Rth`，bX |[0，s]ids=Rtθ（bX |[0，s]）ds。3、暂时性市场影响。在[GSS12，CGL17，Dan17]中，作者考虑了byRtK（t- s） θsds，其中K（x）：=exp(-ρx）表示ρ>0常数。然后，我们可以找到g`∈ T（（R）*) 这样ZTK（t- s） θsds≈ hg`，bX0，tito任意精度。4、更一般地说，由G（θ，X）形式的函数建模的市场影响可以通过签名上的线性函数很好地近似，因此它们包含在我们的框架中。3.5最佳执行问题假设交易者希望在时间T前清算q>0个资产单位。如果QI与交易量相比较大，交易活动将对交易者的资产价格（[账单15]）产生负面影响。

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2022-6-14 16:01:30

因此，将交易活动分散在[0，T]区间可能更有利，以避免不必要的市场影响。然而，在这种情况下，交易员将面临可能对其产生不利影响的市场波动。因此，我们的任务是找到一个合适的交易速度来清算该交易账户的库存。现在，我们将介绍本文将要研究的最优执行问题。定义3.6。交易速度θ对应的财富∈ T由wθT定义：=ZtPθsθ（bX |[0，s]）ds。另一方面，剩余库存由qθt确定：=q-Ztθ（bX |[0，s]）dS，其中q>0是初始库存。我们定义了成本函数Cθ：bOhmT→ R byCθ（bX）：=WθT- φZT（Qθt）dt+Qθt（Pθt- αQθT）（3）带α，φ≥ 0个常量。在本文中，我们将研究以下由优化问题SUPθ给出的最优执行问题∈TE[Cθ（bX）]。（4）成本函数的第一项表明，原则上，交易者希望通过遵循交易策略θ获得最大的财富。如果投资者以非零库存QθT到达终点时间，则成本函数的第三项QθT（PθT- αQθT）确保在惩罚α>0的情况下执行这些剩余。最后，术语-φRT（Qθt）dt惩罚长期持有库存。这一术语有不同的解释。例如，这种持续的库存惩罚可以看作是一个紧急术语。另一种解释来自投资者想要解释模型不确定性的设置：φ越大，则对中间价施加的动态不太确定（参见[CJ16b，CDJ17]）。

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2022-6-14 16:01:33

在任何情况下，一个大φ将在接近开始时提高交易速度，在接近结束时降低交易速度。之所以选择这种特殊的成本函数，是因为它在文献中很受欢迎【CJ15、LN19、CJ16b、GSS12、CGL17、CJ16a、Dan17】，但作者想强调的是，本文提出的方法也适用于成本函数的其他替代定义，我们不局限于Cθ的这种特殊选择。签名的性质，尤其是松露产品的性质（1），将使我们能够在受限空间Tsig中找到最优控制问题（4）的最优交易速度 T更容易解决。由于引理3.4中所述的密度结果，我们将限制交易速度的空间从T到Tsig，因此我们将解决以下问题：supθ∈TsigE[Cθ（bX）]。（5） 4最优执行成本函数（3）是基础价格路径的非线性函数。然而，对于签名交易策略θ∈ Tsigit原来是一个线性函数，在中等价格过程的签名上。这是由于shu-forge产品属性（1）——成本函数中的每个术语都可以在中间价格过程的签名上重写为线性函数。引理4.1。Letθ∈ Tsigbe给定θ（bX | 0，t）=h\'，bX的签名交易速度<∞0，ti，带`∈ T（（R）*). 那么，给定anybX∈bOhmP和t∈ [0，T]，我们有1。W`t=D(2 + - g`）tt`1，bX<∞0，tE。2、Q\'t=总部 - `1，bX<∞0，ti。3、Rt（Q\'s）ds=h（Q - `1） tt21，bX<∞0，ti。4、Q\'t（P\'t- αQ\'t）=h（Q - `1） tt（2+ - g`）- α（q - `1） tt2，bX<∞0，ti。证据LetbX公司∈bOhmP和t∈ [0，T]。注意，因为X=1，我们有Xs=h2+,bX公司<∞0，每个s的si∈ [0，t]。然后，根据shu-frege乘积性质（1），W\'t=ZtP\'sh\'，bX<∞0，sids=Zt（Xs- hg`，bX<∞0，si）h`，bX<∞0，sids=ZtD（2+ - g`）tt`，bX<∞0，sEds=D(2 + - g`）tt`1，bX<∞0，tE。2、根据以下事实：<∞0，sids=h`1，bX<∞0，ti。3.

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2022-6-14 16:01:36

使用（ii），Zt（Q\'s）ds=Zth（Q - `1） tt2，bX<∞0，sids=h（q - `1） tt21，bX<∞0，ti。4、再次使用（ii），Q\'t（P\'t- αQ\'t）=hq - `1，bX<∞0，tih2+ - g级`- α（q - `1），bX<∞0，ti=h（q - `1） tt（2+ - g`）- α（q - `1） tt2，bX<∞0，ti。因此，最优清算问题（4）被转化为以下问题：命题4.2。Letθ∈ Tsigbe给定θ（bX | 0，t）=h\'，bX的签名交易速度<∞0，ti，带`∈ T（（R）*). 那么，给定anybX∈bOhmP和t∈ [0，T]，成本函数可以写成asCθ（bX）=D(2 + - g`）tt`1.- （q） - `1） tt2（φ1+α) + （q） - `1） tt（2+ - g`），bX<∞0，TE。因此，最优清算问题（4）被简化为tosup`∈T（（R）*)(2 + - g`）tt`1.- （q） - `1） tt2（φ1+α) （6） +（q - `1） tt（2+ - g`），EhbX<∞0，Ti.成本函数Cθ（bX）取决于两个方面：随机分量和控制θ。此外，这种依赖关系是非线性的。命题4.2将这种依赖性分为完全依赖于控件的确定性组件和不依赖于控件的抽象组件。此外，由于这种分离使成本函数在路径上呈线性，因此（3）中的预期被移动到线性函数内–换句话说，由此产生的优化问题（6）取决于中间价格过程的预期特征。中间价格过程的预期特征是随机过程的唯一依赖性。该对象在路径空间中扮演随机变量矩的类似角色。[CL16]事实上表明，在某些增长假设下，预期特征决定了随机过程的规律。

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2022-6-14 16:01:39

因此，（6）取决于中间价格过程的预期特征这一事实本质上意味着优化问题取决于该过程的整个规律。4.1数值求解最优执行问题命题4.2中的优化问题（6）涉及完整的预期签名Ehbx<∞0，Ti。然而，在实践中，必须考虑N阶的截断预期签名∈ N、即EhbX≤N0，Ti。然而，签名的快速衰减（按因数衰减）意味着前几个术语将支配其余术语，并且在运行中不会丢失太多信息。因此，预期的特征通常也会因次衰减（例如，对于L'evy、Markov和Gaussianprocesses的广泛类别，【CL16】表明了这一事实）。图1：EhbXN0，Ti作为N的函数，在中间价格过程是aBrownian运动的情况下。签名的阶乘衰减使得高阶项比前几个项小。图1显示EhbXN0，Ti在中间价格过程x是布朗运动的情况下，与N标绘。如我们所见，阶乘衰减使得高阶项比前几个项小。因此，在实践中，不需要考虑非常高阶的截断。一旦签名在某个级别被截断，N∈ N、优化问题（6）包括在多个变量中找到某个多项式的全局最大值。例如，可以证明，如果考虑到线性永久和临时市场影响，多项式是二次多项式，找到最佳交易速度将减少到找到多个变量中二次多项式的（唯一）全局最大值。关于截断预期签名的计算，蒙特卡罗方法可用于此任务。

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mingdashike22

2022-6-14 16:01:42

因此，解决最优执行问题所需的关于中间价格过程的唯一知识是如何从路径中采样。可以使用公开可用的软件（如esigor iisignature）计算单个实现的签名。在第四节中，我们研究了一类最优清算问题。在本节中，我们将分析问题的不同扩展，并研究它们在我们的框架中的作用。5.1利用θ的外部信息对执行价格进行建模∈ Tsig，在第3.4节中，市场影响被定义为交易速度和未受影响的中间过程的函数：Pθt：=Xt- hgθ，bX<∞0，ti，带gθ∈ T（（R）*). （7）然而，还有其他因素会影响交易订单的影响【PV15，TLD+11】。例如，可能需要将总交易量V合并为：[0，T]→ 市场影响中的R【TLD+11】。此外，类似资产之间的相关性和交叉资产影响也将发挥作用：订单的执行价格可能取决于其他资产的中间价格过程【PV15、TWG17、MBEB17】。通过对执行价格Bypθt：=hfθ，bZ进行建模，可以将此功能合并到我们的框架中<∞0，ti，带fθ∈ T（（Rn+3）*) （8）其中BZ<∞0，是bzt的签名：=（t，Xt，Vt，Yt，…，Ynt）∈ Rn+3，VT截至时间t和Yt的总交易量，Y权衡交易者认为会影响主要资产执行价格的n种替代资产的中间价格过程。注意（7）是（8）的特例。

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2022-6-14 16:01:45

也可以将其他外部信息添加到tobZ中。然后，本文提出的方法将适用于这种情况：即optihttps://pypi.org/project/esig/https://pypi.org/project/iisignature/misation对于市场影响的新定义，问题（4）将被简化为一个类似于（6）的优化问题，即`∈T（（R）*)f`tt`1.- （q） - `1） tt2（φ1+α) + （q） - `1） ttf`，EhbZ<∞0，Ti. （9） 5.2最优交易，与清算相反在本文中，我们一直关注这样一种情况，即交易员的初始库存量为t=0，并且她希望在t=t时将其清除。然而，某些高频交易者可能会对以下替代问题感兴趣：如果一个人在t=0时开始没有库存，并且希望在t=t时结束没有库存，那么在[0，t]上可以遵循的最佳交易策略是什么？为此，可以修改本文的框架，通过设置Q=0.5.3跨资产组合清算，重新定义库存数量定义3.6。第5.1节的讨论建议对本文原始问题研究的另一个扩展。假设有n个资产Y，Ynand交易者有一个初始投资组合q=（q，…，qn）∈ Rn+。如果交易者希望清算库存q（参见[TWG17，MBEB17]），她可以考虑一个类似于（9）的最优控制问题，该问题将合并风险报告。更一般而言，交易者的目标可能是从初始投资组合qstart过渡∈ 非交易资产，最终投资组合qend∈ Rn，她希望以最佳方式这样做。同样，我们的框架可以适应这项任务。5.4其他成本函数选择（4）中考虑的成本函数是为了与文献一致【CJ15、LN19、CJ16b、GSS12、CGL17、CJ16a、Dan17】。

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2022-6-14 16:01:50

然而，我们提出的方法并不是该成本函数固有的，它可以应用于其他成本函数图2：100个中等价格路径实现的交易员库存和第6.1节中考虑的设置。考虑了不同的运行库存惩罚φ。交易者可能会发现更合适。6数值实验在本节中，我们实施了所提出的方法，并在不同的环境下进行了测试。我们首先表明，当我们将该方法应用于文献中研究的各种环境时，我们检索到了现有的结果，从而确认我们的框架是文献中考虑的许多框架的综合，并验证了签名方法返回的交易策略。然后，我们将我们的方法应用于新闻设置。6.1具有临时和永久市场影响的布朗运动在本节中，我们将考虑[CJP15，第6.5节]中研究的框架。我们假设未受影响的中间价过程遵循波动率σ的布朗运动，即Xt：=σwt，σ>0，W是布朗运动。对于签名tradingspeedθ∈ t由θ（bX |[0，t]）=h′，bX给出<∞0，ti带`∈ T（（R）*), 执行价格将由永久市场影响和临时市场影响给出：Pθt：=Xt- kZtθ（bX |[0，s]）ds- λθ（bX |[0，t]），k，λ>0。第3.4节提到，我们的框架中包含了这种市场影响。更具体地说，我们有：P\'t=Xt- kZth\'，bX<∞0，SID- λh\'，bX<∞0，ti=Xt- hg`，bX<∞0，Ti，g`:=k`1+λ`。然后我们可以解（6）。选择的参数为q=1，λ=10-3，k=10-4、α=10、σ=0.02和T=1，以及φ的不同值。考虑7阶截断签名求解（6）。正如文献中所述（见[CJP15，第6.5节]），最佳交易速度并不取决于IDprice。

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nandehutu2022

2022-6-14 16:01:53

此外，如果我们将φ=0设置为不考虑连续库存惩罚，则已知最优交易速度是恒定的。另一方面，当φ增加时，交易者决定更快地清算库存。所有这些特征都体现在我们获得的结果中–参见图2.6.2合并交易信号。Halle和Neuman在[LN19]中考虑了一个最优清算问题，投资者可以获得一些预测短期价格变动的交易信号，例如订单簿不平衡。在这种情况下，中间价格过程被视为Xt：=RtIsds+σWt，其中Iis是信号过程，σ>0是波动性，W是布朗运动。在原始文件[LN19]中，考虑的信号I是Ornstein-Uhlenbeck过程dIt=-γItdt+σdWt，其中γ，σ>0是常数。因此，考虑到中间价过程图3：100个中间价路径实现的交易者库存以及第6.2节中考虑的设置，理论最优速度（红色）和signaturetrading速度（蓝色）。是一个半鞅，这个例子也在我们的框架内。[LN19]中考虑的价格影响是线性临时价格影响。因此，执行价格将由（2）给出，其中g`:=λ\'，λ>0。图3显示了中价流程100次实现的运行库存，包括签名交易速度和[LN19]中得出的最佳交易速度。选择的参数为q=1，λ=10-3, α = 10-2, φ = 10-3，I=0.02，γ=0.1。考虑了9阶截断签名。正如我们所看到的，signaturetrading速度似乎是理论最佳速度的近似值。

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2022-6-14 16:01:56

签名交易速度的数字预期成本为1.0169981，而最佳交易速度的预期成本为1.0170877。请注意，中间价过程中出现的信号引入了一个积极的利差，因此，如图3所示，最好从购买股票开始，以便稍后出售。这可以通过增加runninginventory惩罚φ来避免。图4：交易者100个中间价格路径实现的库存和第6.3节中考虑的设置，理论最优速度（红色）和signaturetrading速度（蓝色）。6.3结合订单流量【CJ16b】，作者将所有代理的订单流量纳入中间价格动态。这是通过考虑中间价格过程xt：=kZt（u+s- u-s） ds+σWs，其中u+tandu-分别对所有市场参与者的总买卖订单进行皮重计算。假设这些订单遵循动态CSDu±t=-κu±tdt+η±1+L±t-强度λ和η±i的依赖于L±t的泊松过程的dL±t~ Exp（ηκ）呈指数分布。此外，还包括临时市场影响λθ（bX）。图4显示了中间价路径100次实现的库存，图5：中间价过程为分数布朗运动的情况下的交易员库存（左）和交易员财富分布（右）。[CJ16b]中推导出的签名交易速度和最佳交易速度。签名交易速度的预期成本函数为0.995690，非常接近最优速度的预期成本：0.995722。我们考虑的参数为λ=5·10-4，k=10-4，q=1，α=2，φ=5·10-3，σ=0.1，κ=λ=5，η=0.8，以及7.6.4阶分数布朗运动的特征在本节中，我们假设中间价格过程XT是分数布朗运动。我们假设存在线性市场影响。

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2022-6-14 16:01:59

换句话说，执行价格将由pθt给出：=σWHt- λθ（bX |[0，t]），其中，wht是具有赫斯特参数H的分数布朗运动，σ，λ>0是常数。图5显示了H=1/3，σ=0.02，q=1，φ=0，λ=10的情况下的中间价和库存-3，α=0.1，T=1，考虑了7阶截断签名。正如我们所看到的，这种行为与H=1/2的情况（即，当是布朗运动时）有很大不同。事实上，考虑到我们不包括φ=0的连续库存惩罚，在布朗情况下，我们期望库存qt是线性的。然而，图5表明分数布朗运动并非如此，交易速度强烈依赖于中间价过程。事实上，如果我们看一下恒定交易速度的预期成本，即0.9991335，我们会发现分数布朗运动的签名交易速度优于恒定交易速度策略，签名交易速度的预期成本为1.0031300。图5（右图）所示的两种策略的财富分布反映了这一特征交易速度的优异表现。7用市场数据进行实验要解决（6），关于中等价格过程所需的唯一信息是其预期签名。在本节中，我们使用真实的市场数据来估计预期的特征，然后将其用于求解（6）。然后，我们在一组样本外的市场路径中评估了最优执行策略的性能。我们考虑了苹果（AAPL）从2018年1月1日至2018年12月31日这一年的中端市场数据，该数据来自LOBSTER。

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2022-6-14 16:02:02

该数据分为10个月（1月至10月）的训练集和2个月（11月至12月）的样本集。我们考虑了每个交易日不同时间的15分钟窗口，更具体地说，我们考虑了10:00–10:15、11:00–11:15、12:00–12:15和13:00–13:15。我们通过计算来自测试集的相应15分钟窗口的签名（考虑13阶签名）的经验期望来估计每个15分钟窗口的预期签名。因此，在某种程度上，我们认为在整个交易年中，中间价过程在每个窗口上都遵循类似的行为。一旦从培训集中估计出每个15分钟窗口的中间价过程的预期特征，我们就解决了优化问题（6）以估计matehttps://lobsterdata.com/（a） 10:00–10:15。（b） 11:00–11:15。（c） 12:00–12:15。（d） 13:00–13:15。图6：与Almgren–Chriss基准相比，签名法实现最优清算的样本外性能。在所有15分钟窗口内，最佳签名交易速度始终优于基准。最佳签名交易速度。我们包括了临时和市场影响：Pθt：=Xt- kZtθ（bX |[0，s]）ds- λθ（bX |[0，t]）。λ=10时使用的参数-3，k=10-4, α = 0.1, φ = 10-4和q=1。然后，我们评估了15分钟窗口中每个窗口在样本集外的性能。根据[CJ16b]，我们将性能与Almgren–ChrisExecution策略[AC01]进行了比较。更具体地说，我们考虑了【CJ16b】中使用的每股储蓄指标（以基点为单位），该指标由WT定义- WACTWACT×10，其中WT和WACTA分别是最优签名交易速度和Almgren–Chris执行策略的终端财富。结果如图6所示。

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2022-6-14 16:02:06

最佳签名交易速度在所有15分钟窗口上都优于Almgren–Chriss基准，因为签名交易速度的平均节省率为正。请注意，我们所做的唯一假设是，在不同的交易日，中间价过程在相同的15分钟窗口中表现相似。除此之外，我们的方法是无模型的：我们可以通过非参数和无模型的方式，从市场数据中估计最佳交易速度。8结论本文提出了一种数值逼近某些最优执行问题解的方法。这是在geometricrough路径的一般框架中完成的，该框架尤其包含文献中的许多现有模型。粗糙路径特征提供了一种方法，将原始优化问题简化为一个有限维、计算可行的优化问题。从基础价格过程中需要的唯一信息是其预期特征，可以使用蒙特卡罗方法计算。第6节对这种方法进行了测试，其中我们表明，在已知最佳交易速度的情况下，基于签名的数值方法能够对其进行检索。此外，该方法的通用性允许在最优解未知的情况下估计最优交易速度。另一方面，在第7节中，我们展示了我们的方法如何用于实际市场数据，并证明签名方法优于Almgren–Chriss基准。引理3.4的一个证明。设ε>0。因为BOhmPTI存在，存在KbOhmP压缩，使P[K]>1- ε.设θ，θ∈ Tsig。然后，通过定义，存在线性泛函``∈ T（（R）*)使得θi（bX |[0，t]）=h\'i，bX<∞0，ti表示所有Bx |[0，t]∈ ∧T，i=1，2。定义θ（bX |[0，t]）：=h\'tt\'，bX<∞0，ti。

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2022-6-14 16:02:14

然后，根据shu-forge积性质（1），我们得到θ（bX |[0，t]）θ（bX |[0，t]）=h\'，bX<∞0，tih`，bX<∞0，ti=h\'tt\'，bX<∞0，ti=θ（bX |[0，t]）。因此，由于两个签名交易速度之和只是一个签名交易速度，因此Tsigform是一个代数。另一方面，签名的唯一性（推论2.13）意味着Tsigseparates点。事实上，givenbX |[0，t]，bY |[0，t]∈bOhmpTdistinct，因为我们有BX<∞0，t6=通过<∞0，我们立即知道存在`∈ T（（R）*)使得h`，bX<∞0，ti 6=h`，由<∞0，ti。此外，tsigh包含常数，如h,bX公司<∞0，ti=1表示所有Bx |[0，t]∈bOhmpT。因此，通过Stone–Weierstrass定理，我们得出结论，Tsig，限制为K，在T中是稠密的。致谢此项工作得到了艾伦·图灵研究所在EPSRC拨款EP/N510129/1下的支持。作者要感谢塞巴斯蒂安·贾蒙格尔、阿尔瓦罗·卡塔和莱安德罗·莱安德罗·桑切斯·贝当古阅读了本文的预印本，并给出了他们的见解。披露声明意见和估计构成我们截至本材料日期的判断，仅供参考，如有更改，恕不另行通知。本材料并非摩根大通研究部的产品，因此，未按照促进研究独立性的法律要求编制，包括但不限于禁止在传播投资研究之前进行交易。本材料不作为购买或销售任何金融产品或服务的研究、建议、建议、服务或招揽，也不以任何方式用于评估参与任何交易的优点。这不是一份研究报告，也不打算这样做。过去的表现并不代表未来的结果。

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2022-6-14 16:02:17

请咨询您自己的顾问，了解法律、税务、会计或任何其他方面，包括您特定情况下的适用性影响。J、 P.Morgan对本文件中信息的质量、准确性或完整性，以及对本材料的任何依赖或使用，不承担任何责任或义务。重要信息披露请访问：www.jpmorgan。com/披露。参考文献[AC01]Robert Almgren和Neil Chriss。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。【AC17】Anna Ananova和Rama Cont.关于有限二次变化路径的路径积分。数学杂志，107（6）：737–7572017。【BCH+17】马蒂亚斯·贝格洛克、亚历山大·MG·考克斯、马丁·休斯曼、尼古拉斯·珀科夫斯基和大卫·J·普罗梅尔。通过vovk\'souter度量进行路径超级复制。《金融与随机》，21（4）：1141–1166，2017年。【BGLY16】霍雷肖·博迪哈德乔、Xi·耿、特里·莱昂斯和杨丹玉。粗糙路径的特征：唯一性。数学进展，293:720–7372016。艾曼纽尔·巴克里、阿德里安·尤加、马蒂厄·拉斯尼尔和查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒。市场影响和投资者订单的生命周期。《市场微观结构与流动性》，1（02）：15500092015。Dimitris Bertsimas和Andrew W Lo。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》，1（1）：1–501998年。阿尔瓦罗·卡塔、瑞安·弗朗西斯·唐纳利和塞巴斯蒂安·贾蒙格尔。具有模型不确定性的算法交易。《暹罗金融数学杂志》，8（1）：635–6712017。[CF13]Rama Cont和David Antoine Fourni\'e.函数伊藤演算和鞅的随机积分表示。《概率年鉴》，41（1）：109–133，2013年。吉安比亚吉奥·库拉托、吉姆·盖瑟拉尔和法布里齐奥·利洛。具有非线性瞬态市场影响的最优执行。《定量金融》，17（1）：41–542017年。伊利亚·切维列夫。

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mingdashike22

2022-6-14 16:02:20

作为粗糙路径的随机游动和l'evy过程。概率论及相关领域，170:891–9322018。阿尔瓦罗·卡塔和塞巴斯蒂安·贾蒙加尔。使用limitand市场订单优化执行。《定量金融》，15（8）：1279–12912015。【CJ16a】’阿尔瓦罗·卡塔和塞巴斯蒂安·贾蒙加尔。以成交量加权平均价格为目标的封闭式执行策略。《暹罗金融数学杂志》，7（1）：760–7852016。【CJ16b】’阿尔瓦罗·卡塔（Alvaro Cartea）和塞巴斯蒂安·贾蒙格尔（Sebastian Jaimungal）。将订单流量纳入最佳执行。数学与金融经济学，10（3）：339–3642016。【CJP15】阿尔瓦罗·卡特亚、塞巴斯蒂安·贾蒙加尔和何塞·佩纳尔瓦。算法和高频交易。2015年【CL05】劳雷·库丁和安托万·莱杰。半鞅和粗糙路径理论。概率电子杂志，10（23）：761–7852005。Ilya Chevyrev和Terry J.Lyons。几何粗糙路径上测度的特征函数。《概率年鉴》，44（6）：4049–40822016。[CQ02]Laure Coutin和Zhongmin Qian。随机分析，粗糙路径分析和分数布朗运动。概率论与相关领域，122（1）：108–1402002。[Dan17]Ngoc Minh Dang。具有瞬态影响的最佳执行。《市场微观结构与流动性》，3（1）：17500082017年。布鲁诺·杜皮尔。函数it^o演算。2009年【FS17】Peter K.Friz和Atul Shekhar。一般粗积分、l'evyrough路径和l'evy–kintchine型公式。《概率年鉴》，45（4）：2707–27652017。【FV10】彼得·K·弗里兹和尼古拉斯·B·维克托。多维随机过程作为粗糙路径：理论与应用。2010年。【Gal94】Jean-Fran,cois Le Gall。路径值马尔可夫过程及其与偏微分方程的联系。第185-212页，1994年。Jim Gatherel、Alexander Schied和Alla Slynko。瞬态线性碰撞和fredholm积分方程。

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