规模和价格综合优化问题

2022-6-15 11:32:24

综合规模和价格优化问题Miriam KiesslingSascha Kurz和J¨org RambauUniversit¨位于德国拜勒斯95440 Bayreuth Abstract。我们提出了一个具有多个分支机构的时尚折扣店的综合规模和价格优化问题（ISPO）。基于一个有追索权的两阶段随机规划模型，我们开发了一个精确的算法和一个符合生产要求的启发式算法，该启发式算法可以产生较小的最优性差距。在现场研究中，我们表明，基于ISPO解决方案的分支机构和规模的供应分配明显优于忽略最优定价可能性的一步优化分配。关键词：供应链、时尚折扣店、批次类型、降价、预包装、有追索权的随机优化、现场研究MSC:90B90、90B051。简介我们希望为一家拥有多家分支机构的真实世界时装公司一次性供应销售服装，以使销售过程中的预期收入达到最大，并可能降价。我们合作伙伴的供应流程和销售流程有几个特点。其中最重要的是以下几点。一种尺寸的分支机构的供应不能独立于其他供应来决定：订购和交付是基于预先包装好的产品组合，即所谓的批次。每种类型的批次规格在预包装中指定该尺寸的项目数量。

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2022-6-15 11:32:34

另一个重要限制是，只能对所有分支机构和所有尺寸的产品降价，因此不可能对所有品牌和所有尺寸的产品单独使用动态定价策略。此外，大多数时尚产品只转售一次，再也不会出售。因此，历史销售数据只能在更高的聚合级别上使用，例如。，在商品组层面或主要商品组层面上，以销售周的价格计算历史数据。由于在大多数情况下，每个分支机构的平均供应量和单个产品的大小是零、一或两个，我们可以预期历史销售数据只会给我们提供非常粗略的信息。因此，使用一种考虑预测准确性和偏离正常行为的方法似乎是合理的。我们仍然需要设计一个模型，其随机部分足够简单，能够快速生成解决方案，同时克服不可或缺的操作方面的限制。一家大型时尚折扣店（大约1000种产品，每月约1000万件）仅需处理的商品量，就需要在Az-727-06巴伐利亚州Chungsstiftung的资助下进行供应计算。2 M.KIESSLING、S.KURZ和J.RAMBAUno平均每个产品超过15分钟，以跟上运营。这个巨大的吞吐量实际上意味着对任何环境中使用的算法都有实时性要求。在本文中，我们试图在建模准确性和实时合规性之间找到一个平衡点，只将产品的几个总体成功场景纳入模型中，但坚持对所有其他变量进行点预测，如对分支或大小的需求进行相互比较。1.1. 相关工作。[3、6、9、18]中讨论了inventor y与动态定价决策的关联。

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能者818

2022-6-15 11:32:42

最近的方法考虑了稳健性考虑[1]或博弈论方面，如竞争和均衡[2]。这些结果的共同点是通过流体近似和/或动态编程方法的最优控制方法。公司的实际设置通常涉及额外的侧约束（在我们的情况下：对使用的批次类型数量的限制）和成本（在我们的情况下：批次类型处理和开放成本），这将导致违反最优控制中的重要假设，并且在动态编程中需要非常大的状态空间。在收入管理文献中，动态定价是一个研究得很好的问题（例如，参见[5、12、13、17、21]）。同样，为了对IsolatedAspect进行更具原则性的研究，通常会忽略复杂的操作侧约束。同样，我的工作是从博弈论的角度进行的，比如战略客户（参见，例如，[20]）。经典的库存管理研究与我们的主题关系不大，因为大多数策略都涉及补充库存的最佳方式。在我们的环境中，不可能进行任何美化。我们在获取基于lot的供应构成的运营侧约束方面的第一步【11，15】并没有将定价纳入核算，而是通过供应和非估计需求之间的距离度量来估计发明家决策的后果。由此产生的随机批次设计问题（不涉及定价）将作为我们的尺寸优化阶段模型的模板。由于可能的批次类型的数量可能非常大，我们在[15]中开发了abranch和price算法。

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2022-6-15 11:32:45

然而，在本文中，我们将自己限制在可适用批次类型的数量上。我们未发现任何已发表的现场研究将动态定价和/或库存控制的任何理论结果应用于实际环境，并在计划控制实验中分析该方法的影响。1.2. 您的贡献。我们提出了一个现实世界时尚折扣店的库存和动态定价问题，该问题具有一组迄今为止尚未研究的操作方面的结构。对于这个问题，我们贡献了一个新的模型用于基准测试的精确分枝定界算法；o生产使用的快速启发式；o现场实验的计算结果与统计意义的稳健评估。与之前研究的问题相比，我们的组合库存和动态定价问题是一个新问题，这是因为以下几个方面的组合：o季节性商品。o没有补充。综合尺寸和价格优化问题3o无遗留物品（所有物品都以一定价格出售）。o一些分行可能提前缺货，而其他分行仍有库存供应必须按数量有限的s类批次（单个产品尺寸的预包装组件）进行订购和交付；因此，每个分支机构和规模的可能库存决策受到严格限制所有分支机构和规模的价格都必须持续降低。o价格必须从一小部分可能的价格中选取有处理批次类型的成本、使用其他批次类型的边际成本和降价成本。我们首次将这种综合规模和价格优化问题（ISPO）建模为一个带有re过程的两阶段随机规划问题。我们将标记决策视为产品微小成功的追索行动。

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大多数88

2022-6-15 11:32:49

而在分支机构和规模上进行商品分销的实际效益取决于产品的成功率：与其他分支机构和规模相比，一个分支机构和规模收到的商品太少，在成功率较高的情况下会产生较高的机会成本，但在小成功的情况下却不会产生这种成本，因为需求较低，平均而言，商品太少就会变得非常正确。相反，与其他品牌相比，一家分支机构和一家规模的公司收到的物品太多，在小规模的成功销售中会产生高降价损失，但在高成功销售中则不会。两阶段设置是多阶段设置的近似值：ISPO是决定库存的模型。它忽略了销售过程中成功信息的流动（开环）。这是可以接受的，因为ISPO中的价格优化阶段只是对库存决策引起的追索成本的估计。当销售流程实际运行时，我们将ISPO的价格优化阶段规划为滚动期，以利用每周的销售信息。因此，在价格优化阶段，ISPO的准确度低于现有模型，因为它通过开环价格分配来估计预期利润。在规模优化阶段，ISPO的准确度远远高于现有模型，因为它考虑了许多运营方面的限制。作为对现实问题建模的贡献，我们为ISPO的两阶段随机规划模型引入了扩展混合整数线性规划公式。对于这个模型，我们设计了两种算法：一种是精确分支定界法，另一种是启发式方法：乒乓启发式。虽然这两种方法都是为我们的实际问题量身定制的，但其背后的思想可以用于其他环境。

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2022-6-15 11:32:52

我们在备注2和备注3中陈述了可能受到类似想法攻击的问题的一些特征。此外，我们进行了一项现实世界的现场研究，作为一项对照统计实验（类似于临床研究）。我们在一组控制分支上并行使用了现有的优化方法（“旧”方法），在一组测试分支上使用了基于ISPO模型的尺寸优化方法（“新”方法）。随机决定一个分支是作为测试分支还是作为对照分支。从这项研究中，我们得出，在五个月的时间内，我们可以将平均相对收益（总收益除以最大可能收益的平均值）增加约两个百分点（如果只考虑一小部分经过严格清理的数据，则增加超过一个百分点）。这意味着规模经济中的巨额资金。4 M.KIESSLING、S.KURZ和J.Rambauth控制测试设置的优势产生了更多的结果：通过使用利用实验设计的稳健排名统计数据，我们可以说这些改进很可能（大约4%的概率）是偶然发生的，并且没有对误差分布的假设。我们还没有看到任何公开的结果调查这种（或任何其他）统计方法的实际结果的重要性，我们认为将受控统计实验引入零售收入管理领域本身就是一种贡献。注：我们将“新”方法（本文中）与“旧”方法进行比较的“旧”方法不是我们合作伙伴开发的历史手动解决方案，而是一种基于【11】中概念的单站规模优化方法；这种“旧”方法在我们开发出来后立即被我们的合作伙伴采用，因为与之前的手动解决方案相比，它产生了明显的好处。

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2022-6-15 11:32:55

上述现场研究的结果评估了使用具有纯货币目标函数的随机两阶段模型与基于供应和预测需求之间距离的具有非货币目标函数的确定性单阶段模型的好处。1.3. 这张纸的外线。我们在第2节中正式说明了ISPO。第3节描述了我们用于模拟ISPO的两阶段随机程序的扩展MILP公式。在第4节中，我们介绍了两种算法：MILP的精确分枝定界求解器和快速乒乓启发式算法。在第5节中，我们概述了真实世界实地研究的设置。第6节致力于计算结果：一部分支持乒乓球可以快速解决现实世界中的ISPO实例，但存在微小的优化差距，另一部分展示了在实践中使用ISPO的影响。我们在第7.2节中得出结论。形式化问题陈述我们将单个时装的供应在分支和尺寸上的分布视为两阶段优化问题。在尺寸优化阶段（第2.1节），我们基本上决定批量类型设计（见【11，15】）。在价格优化阶段（第2.2节），我们决定在销售过程中降价，以第一阶段的决定和第一个销售期后观察到的文章的总体成功为基础。我们希望最大化预期收益，即价格优化阶段的收益率减去两个阶段中各种行动的成本（第2.3节）。2.1. 尺寸优化阶段。数据：设B为我们时装折扣店的分支集。

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2022-6-15 11:32:58

设L是一组适用的批次类型：对于一组已利用的规模，批次类型是一个向量（ls）∈S∈ N | S |；它规定了该批次类型的任何预包装批次中每种尺寸的piec e的数量。对于所有分支和大小的产品总供应量，我给出了一个上限和一个下限。此外，还有一个上限κ∈ N关于使用的批次类型数量。数据的典型范围为| B |≈ 1000，| L |≈ 1000,3 ≤ |S |≤ 7和2≤ κ ≤ 总的界限I和I通常达到10000左右。我们通常有我≈ 我- 由于总供应量只能作为所选批次类型的基数之和来实现，因此，总供应量的微小变化会导致出现数论问题。综合规模和价格优化问题5决策：考虑l（b）类唯一批次的分配∈ L和唯一重数m（b）对每个分支b的赋值∈ B、这些决策规定m（B）批次l（B）将交付给分支机构B。决策相关实体：给定分配l（B）和m（B）的分支机构B库存大小s由Ib给出，s（l，m）=m（B）l（B）s。此外，l（B）和m（B）的总供应量由I（l，m）=Pb给出∈BPs公司∈SIb，s（长，米）。2.2. 价格优化阶段。数据：我们获得了每个分支b的供应Ib、SFO∈ B和尺寸s∈ 由第一阶段决策l和m引起的S。Letk∈ K={0，1，…，kmax}是一个周期的指数，设{πp}p∈Pbe可能的价格集合。在每一次成功的盛会上∈ E我们知道每个价格πp，每个分支b，每个大小s的（分数）平均需求dek，p，b，s∈ R≥0对于k期内的产品，给出了起始价格π和残值πkmax。需求流程的实现：成功场景的实现在kobsth阶段结束时进行。在所有时段0、1、2、。

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2022-6-15 11:33:01

，kobs- 1对于yetunknown scena rio，必须使用起始价格。由于在所有有价格选择的时期，我们都知道我们所处的成功情景，只有第一阶段的发明决策是非预期的。（这模拟了一种情况，即一篇文章的成功与否可以在几段时间的销售之后得到很好的评估。）第一个Kobsperiod可以合并为一个期间，但随后贴现变得混乱。决策：对于已知的成功场景e，我们决定每个时段k∈ K \\{0，kmax}在价格指数pe（K）上，也就是说，我们想在所有分支和大小的K周期内，求出价格πpe（K）的乘积。该决策是在实现成功场景后，在周期kobs开始时做出的。决策相关实体：假设Ie0，b，s：=Ib，Sfore all e，b，s。然后，对于每个周期k，价格指数的选择p（k）和初始（分数）平均库存水平，用Iek，b，s（p）表示，在该周期内，诱导（分数）平均销售，用Alesek，b，s（p）表示，在周期k，分支机构b和规模s在场景e中，导致在下一个周期k+1.2.3的新平均库存水平。两阶段目标。在分支机构b中使用l类批次的m批次会产生cl、b、m等特定批次的处理成本，例如，与m成比例的拣选成本：必须大量使用数量较少的批次，因此，总供应需要更多的拣选。对于第i个使用的批次类型，我们必须支付δi的边际批次类型打开成本。

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2022-6-15 11:33:05

分支b中k期的（分形）平均收益率和价格组合p（k）产生的规模由yieldk，b，s（p）=πp（k）salesek，b，s（p）给出。每次价格变动都会产生u的成本。目标是确定第一阶段决策，以便在每个方案e中，对于最佳的第二阶段决策，预期利润最大，即总产量减去批次处理成本减去批次类型开办成本减去减价成本。我们将这种具有追索权的两阶段随机优化问题称为综合规模和价格优化问题（ISPO）。备注1。部分库存、销售和需求被解释为预期库存的近似值。原则上，我们可以使用任何（整体）需求场景和整体库存簿记。然而，高工资国家的必要数量减少了挑选数量，这首先是低工资国家基于批次的交付的原因。6 M.KIESSLING、S.KURZ和J.Rabauscenanios对于这样一个模型来说将是巨大的。因此，我们的场景只对文章总体成功所引起的总需求的可变性进行建模。它们不会对实际需求在周期、分支和规模方面的可变性进行建模。使用表示期望值近似值的分数值可以忽略这些变量。在这些案例中，我们谈论的是平均值，而不是期望值，以便将分数表示的期望值与我们在所有成功案例中明确计算的期望值区分开来。3、建模在下文中，我们以扩展形式开发了ISPO确定性等价物的ILP公式。对于第一阶段（SOP），我们使用二进制赋值变量xb，l,mto对独立的分配决策进行编码l（b）=l m（b）=m。

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2022-6-15 11:33:16

在第二阶段，我们为独立的第二阶段assignmentdecision pe（k）引入二进制赋值变量。为了计算利润和成本，我们需要更多的依赖变量。在对细节进行评论之前，我们列出了完整的模型。最大值-Xb公司∈BX公司l∈LXm公司∈Mxb，l,米·cb，l,m级-κXi=1δi·zi（1）+Xe∈EProb（e）Xk∈Kexp(-ρk）Xb公司∈BXs型∈Srek，b，s- uknek（2）尺寸优化阶段（SOP）：Xl∈LXm公司∈Mxb，l,m=1b（3）Xm∈Mxb，l,m级≤ ylbl（4） X个l∈Ly公司l≤κXi=1zi（5）zi≤ zi公司-1.i（6）Ib，s=Xl∈LXm公司∈毫米·ls·xb，l,m级b、 s（7）I=Xb∈BXs型∈SIb，s（8）I∈ [I，I]（9）xb，l,m级∈ {0, 1} bl, m（10）年l∈ {0, 1} l（11） zi公司∈ {0, 1} i（12）Ib，s，i∈ Zb、 s.（13）通过初始库存耦合：Ib，s- ve0，b，s=0b、综合规模和价格优化问题7价格优化阶段（POP）：Xp∈Puek，p=1k、 e（15）uek，0=1k<kobs，e（16）uekmax，pmax=1e（17）uek-1，p+uek，p≤ 1.k、 e，p，p＜p（18）nek≥ uek公司-1，p+uek，p- 1.k、 e，p，p6=p（19）vek-1、b、s- vek，b，s=Xp∈Pwek公司-1、b、s、pk、 b、s、e（20）Xp∈Pwek、b、s、p≤ vek，b，sk、 b、s、e（21）wek、b、s、p≤ uek，p·dek，p，b，sk、 b，s，p，e（22）rek，b，s=Xp∈PπP·wek，b，s，Pk、 b、s、e（23）uek、p∈ {0, 1} k、 p，e（24）nek∈ {0, 1} k、 p，e（25）wek，b，s，p≥ 0k、 b、s、p、e（26）vek、b、s≥ 0k、 b，s，e（27）rek，b，s≥ 0k、 b、s、e（28）我们首先对SOP阶段模型进行了评论：我们通过等式（3）强制将批次类型和多重性分配给每个分支。为了解释批次类型的开始，我们引入了批次类型变量yl指示是否为批次类型l 当且仅当使用第i个新的批次类型时，才使用值为1的批次类型计数变量Z。等式（4）保证yl= 1无论何时l分配给至少一个分支b。不等式（5）表示使用的类型不超过κ个。不等式（6）规定zi=1意味着使用的lot类型的数量至少为i。

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2022-6-15 11:33:20

我们使用另一个因变量Ib、SFO来表示分支b中的库存和大小s，方程式（7）将该变量与分配决策联系起来。然后，总库存由另一个因变量I给出，由等式（8）计算，并通过不等式（9）强制保持在给定的界限内。所有独立变量必须是二进制的，即se e（10）到（12），而从属变量是整数（13）。接下来，让我们看看通过startinventories Ib连接到SOP阶段的POP阶段模型，该模型通过方程式（14）连接。等式（15）强制每个场景中的每个时段只分配一个价格。起始价格和残值由方程式（16）和（17）表示。我们禁止按公式（18）涨价。独立二元变量nek表示周期k中的降价，如果价格与前一周期相比发生变化，则在不等式（19）中强制为1。以下限制使用一些相关变量对销售过程的动态进行建模。分数变量vek，b，s预测了场景e中分支机构b和规模k期间的平均库存水平。fr行动变量wek，b，s，p测量了s c enario e和rek，b，s期间分支机构b和规模s的平均销售额，以及s c enario e和rek，b，s的平均产量8 M.KIESSLING，s.KURZ，以及分支b中的J.RAMBAUin周期k和场景e中的大小s。（关于我们在此处使用分数变量的原因，请参见备注1。）方程（20）描述了股票价格从一个周期到另一个周期的变化。

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能者818

2022-6-15 11:33:23

不等式（21）模型表明，销售不可能超过库存，在不等式（22）中，我们要求，只有选择价格p，价格p最多可以达到pric e p的需求。由于目标倾向于更大的销售，非最优解中价格的销售变量将恰好成为该价格下库存和需求的最小值。在平均值水平上，这高估了平均销售额；因此，这只产生一个近似值。最后，我们通过方程（23）计算货币的收益率。在这个流行阶段，只有独立的价格分配变量被认为是二进制的（24）。在（26）到（28）中，捕获平均库存、销售额和收益率动态的因变量必须是非负的。目标函数减去处理m批类型的成本l b区内以及使用第一、第二、…、，第i个新的彩票类型（1），从预期的贴现平均收益率减去预期的折扣成本（2）。该ILP模型为ISPO的确定性等效物，尽管是近似值，但包含了许多现实世界的限制和成本因素。因此，标准解算器（cplex、scip）的分支和绑定阶段在我们所有的实际情况下数月都没有取得任何进展，这并不奇怪。通常的真实规模实例有1500家分支机构，5种规模，约2000种批次类型，其中最多5家可以使用，4种价格，在13个时期（通常是几周）的时间范围内进行优化，预期超过3种成功场景（成功高于/左右/低于平均水平）。

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2022-6-15 11:33:26

这就产生了一个庞大而复杂的DILP，目前还不能用商业化的货架方法来解决。因此，在下一节中，我们将介绍一个精确的算法（相当快，但对于日常操作来说还不够快）和一个启发式算法（对于日常生产使用来说足够快，并且在所有实际测试中只有很小的最优性g AP）。4、ISPosite算法第3节中给出的ILP公式无法直接求解。我们在本节中给出了一个精确的分枝定界算法。其主要思想是对价格优化阶段的决策进行分析。由于价格优化阶段的变量（见第3节）过于细粒度，我们考虑更广泛的决策。一个自然的想法是将每个时间段的降价决策浓缩为给定场景e的整个价格轨迹∈ E、我们可以通过插入Pmax对可行的降价策略或价格轨迹进行编码- 1标记符号，如e。g。, 进入序列1，kmax公司- 1（期间0价格π固定）。示例如下所示1, 2, , 3, 4, 5, 6, 7, , , 8, 9, 10, 11, 12, ,这意味着我们在销售期3之前降价一次，在销售期8之前降价两次。第四种可能的降价在批发期结束后推迟。更准确地说，不同销售周期的具体价格由以下内容给出：IBM ILOG CPLEX版本12.1SCIP版本2.1。0综合规模和价格优化问题9销售周期0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12价格πππππππππππππππππππππππππππππππππππππππππ|K |+| P |- 4 | P |- 2.=kmax+pmax- 2最大值- 1.可行的降价策略或价格轨迹，即在我们的示例中= 1820每种情景的价格轨迹。分支步骤和边界步骤的确切细节在第4.6节中概述。

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2022-6-15 11:33:29

作为剩余尺寸优化阶段的上界，我们使用了两个定制的组合边界，见第4小节。2，可有效计算，线性松弛。从算法上讲，这些下界的高效计算基于某个子问题的快速解，见第4.1小节。为了消除这些次要细节引起的一些复杂情况，我们可以假设我们通过直接使用c对应的ILP公式来解决SOP子问题，请参见第4.4小节，而不计算任何更便宜的界限。在第6节中，我们给出了所提出的brand和boundalgorithm的计算结果。作为一种启发式，也可以在分支和边界的开头使用，我们在第4.7小节中介绍了所谓的乒乓启发式。结果表明，它在只需要很少的计算时间的情况下，就可以获得非常好的解决方案质量。其基本思想是迭代求解尺寸优化和性能优化阶段的分离子问题。然后将一个子问题的临时解作为另一个子问题的输入。为此，我们为第4.5小节中的奖品优化阶段提供了一个精确但相当简单的精确算法。为了加快乒乓球的速度，我们可以使用[11]中关于尺寸优化子问题的SOP的启发式方法，我们在第4.3小节中回顾了这个问题。本节的其余部分安排如下。首先，我们在第4.1–4.5小节中介绍了解决固有子问题的方法。对于首次阅读，可以跳过这些内容。在第4.6小节中，我们介绍了我们的主分枝定界算法，在第4.7小节中介绍了乒乓球启发式算法。4.1. WORKHORSE 1：以最低成本将供应调整到总供应限制。

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2022-6-15 11:33:32

假设我们想要解决以下相当普遍的二元线性问题：minXv∈ VXa∈常闭触头∈Bψ（v，a，B）·xv，a，bXa∈常闭触头∈Bxv，a，b=1v∈ 五（29）十五∈ VXa∈常闭触头∈BД（a，B）·xv，a，B∈ [R，R]（30）xv，a，b∈ {0, 1} v∈ 五、 a∈ A、 b类∈ B、（31）式中，（1）Д（a，B）在B中单调递增，（2）ψ（v，a，B）在B.10中是共凸的。KIESSLING，S.KURZ和J.Rambauth可以通过贪婪的方法解决这个问题的连续松弛：在初始化阶段，我们确定每个v∈ V和每个a∈ A最佳值bv，A∈ 使用二进制搜索，B具有最小代价ψ（v，a，B）。这个可以在O中找到一个|V |·| A |·日志（| B |）步骤。我们用v（a）表示元素a∈ A使ψ（v，A，bv，A）最小化，并通过v（b）使相应的值bv，v（A）最小化。这样，我们设置xv，v（a），v（b）=1表示所有v∈ 五、所有其他值均设置为零。如果不等式（30）由纯偶然性满足，则xv、a、b变量的当前分配将产生全局最优解。否则，我们必须调整xv、a、bin顺序以满足资源建设。简而言之，我们只讨论以下情况：∈ VPa∈APb公司∈BИ（a，B）·xv，a，B>R。另一种情况类似。在这里，我们必须反复地从一些v∈ 五、为此，我们引入了相对成本-v、 A对于每个v∈ V和每个备选方案a∈ A、使用（32）βv（A）=max{b∈ B |Д（a，B）<Д（v（a），v（B））}，对于给定的a∈ A、更换配对的相对成本v（a），v（b）到a、 βv（a）由（33）给出-v、 a=ψv、 v（a），v（b）- ψv、 a，βv（a）φv（a），v（b）- φa、 βv（a）每个资源项。如果{b∈ B |Д（a，B）<Д（v（a），v（B））}= 我们将相应的相对成本设置为-v、 a=∞.

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2022-6-15 11:33:37

B yω（v）∈ A我们以较小的相关成本表示替代者-1v：=最小值{-v、 a | a∈ A} =-v、 ω（v）和v我们用V表示元素，其中ω（v），βv（ω（v））实现全球最小的相对成本。作为缩写，我们使用R=Pv∈ VД（V（a），V（b））和δ=Дv（a），v（b）-φω（v), βv（ω（v)). 由于目标函数的凸性，我们可以陈述如下：（a）如果-v= ∞, 那么这个问题就不可行了。（b）如果R- δ ≥R、然后在执行对的gre e e dily最优替换后v（a），v（b）通过ω（v), βv（ω（v))新的赋值对应于问题m的最优解，其中不等式（30）被PV取代∈ VPa∈APb公司∈BД（a，B）·xv，a，B≤ R- δ.（c）如果R- δ<R我们利用新旧赋值的适当线性组合，得到了分数变量xv，a，bb的松弛问题的最优解。因此，在经过有限次迭代后，根据初始总体资源消耗a和R之间的差异，我们得到了问题的最优解，其中最多有两个分数变量xv、a、b。我们注意到，也可以通过使用abranch和bound方法来解算积分问题，我们在这里不详细讨论。4.2. Workhorse 2：Si-ze优化问题的上界。在算法的后面部分，我们需要一个计算上廉价的dua l，即SOP的上界，具有固定的场景e和价格轨迹t。

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2022-6-15 11:33:40

我们根据每个规模的分支机构的单个供应完整性确定了第一个上限，从而放宽了基于批次的分配所产生的限制。综合规模和价格优化问题11如果我们向规模为s的分支机构b提供Ib，sitems，那么我们可以计算成本λe，tb，s（Ib，s）：=Pk∈Kexp(-ρk）rek，b，s∈ R≥0直接使用e、t和Ib来评估依赖变量rek、b、s。分支b的批次类型为l，多重性为m，这会导致cb、l、m的处理成本。让▄cb、s（i）≥ 0是可与大小为s的分支机构A的应用与i项目相关联的成本的一部分。λe，tb，swe表示λe，tb，s（Ib，s）的最大值- cb，s（Ib，s）对于所有可实现的供应Ib，s。我们仅就如何快速计算这些值发表简要评论：最简单的事情总是可行的，就是详尽地列举可能的Ib，s集合（如果我们假设它是有限的）。一次rek、b、sand-cb、sare凹函数inIb、swe可以使用嵌套区间更精确地计算最大值。因为我们必须使用至少一种批次类型，我们假设δi≥ 0，可与轨迹t关联的ISPO目标函数的成本由（34）Xe计算得出∈EProb（e）-δ+Xb∈BXs型∈S^λe，tb，S.使用第4.1小节的一般方法，我们还可以对总体供应进行限制（我们假设凸性条件满足，我们的设置就是这样）。这里，V是分支和大小的对（b，s），A是由一个元素组成的使用集，b是大小为s的分支b的可能供应Ib的集。进一步收紧上限的另一种可能性是将分支必须以一定的多样性使用批次ty pes供应的事实结合起来。因此，在初始化阶段，可以分别计算每个分支的局部最佳批次类型和多重性。

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2022-6-15 11:33:44

如果地块类型和可能的多重性的数量足够小，那么这可以通过穷举枚举来完成。对于基于适用批次类型集的适当参数化的更复杂方法，我们参考【15】。然后，可以使用第4.1小节中的算法合并对总体供应的限制，其中V是分支B的集合，A是批次类型s L的集合，B是多重性M的集合。换言之，我们放宽了对一定数量不同批次PE的限制，忽略了相应的成本。在我们的具体应用中，我们使用了上述三个上界。因此，我们的计算结果依赖于凸性；在所有其他情况下，算法只能使用第一个界限，通常速度较慢。4.3. WORKHORSE 3：尺寸优化问题的启发式算法。在【11】中，针对批次类型设计问题（LDP）提出了所谓的分数-固定-调整（SFA）启发式算法。LDP与ISPOW的SOP阶段密切相关，有固定的情景和固定的降价策略。为了将SFA应用于STOP阶段，我们需要修改SFA以应对批次类型的打开和处理成本。其次，这可以通过适当修改普通LDP的成本系数来实现：将处理成本纳入LDP的成本系数，只需添加处理成本cb，l,mto至xb的成本系数，l,m、可通过使用规定数量的已用批次类型来解决每个可能数量的批次类型1到κ的单个LDP，将相应的期初成本添加到最优目标函数中，并在事后选择最佳选项，来考虑批次类型c的期初成本。12 M.KIESSLING、S.KURZ和J。

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2022-6-15 11:33:47

Rambau为了完整性，我们以特殊形式简要描述了LDP的SFA启发式的基本思想，我们在SOP阶段随时使用它。对于每个牧场，我们确定了三种当地最好的地块类型，最佳地块类型加100分，次佳地块类型加10分，第三佳地块类型加1分。（当然，这可以归结为最适合的批次类型和不同的评分模式。）据此，我们隐式地为每个批次类型l签署了一个分数∈ 五十、大多数批次类型的得分为零。我们可以通过对单个分数求和，将这种排序扩展到L的k-子集，从而隐式地得到|L | k许多可行的彩票组合。这样，我们就可以按降序遍历L的k-子集，其中的关系可以任意断开。（关键的观察结果是，这可以在不事先明确生成所有此类子集的情况下完成。）在筛选步骤中，假设适用的批次类型仅限于L的当前k子集。现在，我们可以应用第n4.1小节中的算法。在初始化过程中，我们从批次类型和多重性的局部最优分配开始。我们选择V=B，A=L，B=M。我们注意到，SFA启发式算法在实际情况下可靠地产生接近最优的解决方案，请参见【11】。4.4. WORKHORSE 4：尺寸优化问题的精确解。对于给定的情景e和给定的价格轨迹t，ISPO适用于具有修改的共同成本系数的LDP。例如，这个子问题可以通过使用第3节中给出的ILP公式的受限版本来解决，我们这样做是为了获得本文中的计算结果。

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2022-6-15 11:33:52

对于更复杂的算法，我们参考了[15]，其中提供了一种定制的分支和价格算法，可以处理数百万种批次类型。4.5. WORKHORSE 5：价格优化问题m的精确解。对于给定的场景e、给定的降价策略t和给定的初始供应量B，S，对于所有分支机构和规模，我们可以轻松地计算每个分支机构、规模和期限的已售出项目数。由于在任何合理的设置下，除残值外的所有价格都是正值，因此我们得出结论，在任何最优解决方案中，售出的物品数量恰好是每个周期内库存和需求的最小值。利用这一点，可以计算第3节中POP的ILP公式的所有其他因变量。因此，我们可以通过穷举可能的降价策略来解决POP阶段。这可以通过O（| B |··················································≈ 1 000,3 ≤ |S |≤ 7，| K |=13，| T |=1820）到目前为止，我们已经遇到了。4.6. 一种精确的分枝定界算法。在这一小节中，我们提出了一种主要算法——一种定制的分枝定界算法。我们在“场景7”上分支→ 价格轨迹”。然后，深度j处的节点对应于所有这样的贴图，其中第一个j的图像是固定的。树叶是所有场景中带有固定图像的地图。叶的成本可以通过解决第4.4节（Workhor se 4）中的anLDP问题来计算，具体取决于第4.1节（WORKhorse 1）中的方法。作为双重界限，我们利用第4.2小节（Workhorse 2）中的上界。作为原始边界，我们使用第4.3小节（Wo rkhorse 3）中的启发式解，再次使用第4.1节（Workhorse 1）中的方法。

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2022-6-15 11:33:55

在分支步骤中，我们通过下一场景的所有可能价格轨迹，在节点中扩展部分定义的映射。综合规模和价格优化问题13在下文中，我们将详细介绍上述概念的实现。在初始化步骤中，我们使用第4.2小节中的算法计算每个场景e和每个价格轨迹的ta组合上界。为每对（e，t）保存边界Γ（e，t），并可能在以后更新。使用这些边界可以按升序标记价格轨迹：te，te | T |。接下来，我们考虑深度j节点处的分支步骤，其中价格轨迹ξj∈ 对于第一个j情景，我们已经做好了准备。如果j<e |，那么我们考虑s cenario j+1的可能价格轨迹。我们从i=1 toi=| T |循环，并考虑价格轨迹tj+1i。现在我们计算上界jxh=1Prob（h）·Γ（h，ξh）+Prob（j+1）·Γ（j+1，tj+1i）+E | Xh=j+2Prob（h）·ma xΓ（h，t）| t∈ T（35）对于第一个j+1价格轨迹固定为ξh的ISPO。如果该边界小于ISPO的最佳积分解，则我们可以修剪h的所有价格轨迹tj+1h≥ i、否则，我们将检查边界Γ（j+1，tj+1i）是如何计算的。如果使用子节4.2中的组合松弛计算，则我们根据受限ILP模型计算LP界，请参见子节4.4，并可能更新界Γ（j+1，tj+1i）。如果更新后的上界（35）仍然很弱，无法修剪子树，则我们固定ξj+1=tj+1并继续下一个节点。在叶中，当所有价格轨迹都固定时，我们解决剩余SO P，见第4.4.4.7小节。乒乓球启发式。由于精确算法对于日常生产仍然不够快（见第6.1节），我们开发了一种快速启发式算法。

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2022-6-15 11:34:03

其主要思想是交替确定一个阶段的自变量，并计算最佳剩余变量；然后，确定其他阶段的自变量，并优化计算剩余变量。等等。更简单地说，如果第一阶段的独立决策，即具有一定多样性的批次类型的分支机构的供应——换句话说：xb、l、m——已给出，那么可以通过在所有场景中分别详尽列举所有可能的降价策略，轻松解决第二阶段的定价优化问题。如果在另一个方向上，第二阶段的独立决策（即ae、t）得到了纠正，那么剩下的问题将减少到最后阶段，这基本上是一个具有修改成本函数的LDP。现在的想法是使用这两个子问题中的一个子问题的（clo-se-to-）最优解作为另一个子问题的输入，并进行迭代，直到算法保持在一个解。我们希望不再改变的解决方案是一个好的解决方案。更具体地说，我们执行以下步骤：在这里，我们应用热启动技术，并使用相同场景中类似价格轨迹的基本解决方案（如果可用）初始化LP。提高上限（35）的另一种可能性是，用ISPO产生的LP的最佳目标值替换第一个和和和中心总和，该值仅限于第一个j+1场景——我们在计算结果中没有使用这种改进。14 M.KIESSLING、S.KURZ和J。

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2022-6-15 11:34:06

RAMBAU（1）初始化：在所有场景中，我们都选择产生最佳组合界限的降价策略，即Section4.2（Workhorse 2）。（2）考虑到所有场景的降价策略，我们使用SFA启发式方法试探性地解决剩余SO P阶段，请参见第4.3节（Workhorse 3）。（3）考虑到支路的初始供应，我们精确地解决了第二阶段的奖品优化问题，请参见第4.5节（Workhorse 5）。（4）只要第2步和第3步的解没有收敛，并且迭代次数低于一定的阈值，我们就继续第2步。最后，我们输出了在步骤2中找到的ISPO的最佳解决方案。备注2。其中涉及到分支定界方法的细节。然而，这个问题有一个关键的性质，正是因为这个性质，该方法才起作用：我们的问题有一个可逆的两阶段结构。这意味着：独立的第二阶段变量（在我们的案例中是从情景到价格分配的映射）可以解释为独立的第一阶段决策。独立的第一阶段变量和所有因变量可被视为第二阶段变量。在我们的设定中，一个阶段的独立决策变量甚至不意味着对另一个阶段的独立变量可行集有任何限制。我们称之为可逆完全追索权。一般来说，如果一个阶段的独立变量比另一个阶段的可行集多，那么像乒乓球这样的启发式很有希望，希望总是包含改进的解决方案。在我们的案例中，将价格轨迹与情景联系起来并不影响供应的可行性。这是所有库存问题的情况，其中依赖于价格的需求可以事先确定。备注3。乒乓球启发式的原理类似于进化算法的原理，参见示例【16】。

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2022-6-15 11:34:10

进化算法的思想是为解决方案分配所谓的能力函数，并在选择步骤中迭代组合最佳解决方案，以获得更高能力的解决方案。这就是do neuntil收敛。在我们的案例中，批次类型的供应能力由价格优化阶段的预期收入给出。通过将局部最优供应与局部最优减价策略相结合，我们可能会得到一个能带来更高收入的供应。我们还可以将乒乓球启发式原理与双层规划原理联系起来。双层规划由上层和下层优化问题组成。下层问题将变量x作为参数来计算变量y的最优值，而上层问题通过使用下层问题中计算的y值来获得x的最优值【8】。在我们的案例中，通过可逆完全追索权的vir tue，我们可以将规模优化阶段和价格优化阶段同时视为上层和下层子表ms.5。现场研究的设置——一项对照实验我们进行了一项真实的世界现场研究，作为一项对照统计实验。一方面，我们在一组控制分支上使用我们的业务合作伙伴当前使用的方法（以下称为“旧”方法）。我们对此进行了比较，“旧”方法代表了一种批次类型优化方法，该方法不考虑定价阶段，而是通过批次设计引起的供应与预测平均需求之间的距离度量来估计供应分布的收益和损失。这不是我们的业务伙伴在合作之前最初使用的方法。

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2022-6-15 11:34:14

旧方法综合规模和价格优化问题15供应策略，以及ISPO在一组测试分支上产生的结果（以下称为“新”方法）。这项现场研究从2011年5月底持续到9月底，共有81篇文章来自三个不同的商品群体——女式外套时尚（wof）、女式内衣经典（woc）和女式内衣（wu）。有必要为现场研究选择一部分物品，因为订单已经按批次类型下单，而使tes t分支机构的供应适应新方法的结果是一项成本太高的物流操作，无法针对每件物品进行。由于对于所有广告产品，尤其是研究领域的产品，为每个分支机构提供至少一件每种尺寸的产品都是等速的，因此供应分配的自由度受到了严格限制：小分支机构很可能收到所有尺寸的同一批产品，因为总供应量基本上是固定的，所以大分支机构的选择较少。2011年5月至2011年6月中旬，该领域研究中的文章开始了销售流程，因此所有文章都可以观察15至17周。所用供试品的其他相关特性见表1。商品类别物品数量大小WOF 9 WOC 9 WU 5表1。供试品的性质。为了获得统计上可评估的结果，我们根据门店规模和收入等经济关键数据，将参与现场研究的分支机构分为30对。然后随机决定是否将一个分支指定为测试分支或一个控制分支。

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2022-6-15 11:34:17

在第6.2节中，我们将受益于这一受控测试，并应用稳健的排名统计，而不假设任何潜在误差分布。测试分支的提供符合乒乓球启发式计算的ISPO的最优解。测试选择中每个项目的ISPO都是针对所有分支和大小的。由于供应项目的总数量存在全局限制，我们实际上使用新方法计算了所有分支的供应量，我们的项目合作伙伴也使用旧方法计算了供应量。然后，我们提议的供应仅针对测试分支机构实施；控制分支（和所有剩余分支）的供应是由我们的项目合作伙伴按照旧方法计算的。需求dek、p、b、SWA是根据来自同一商品组的物品的历史销售数据估算的。这是高度非triv ial的，没有针对这一重要构建块的“最佳”方法的出版物。我们基本上了解了商品组平均值的参数估计和线性观测太少的插值，结果证明更可靠，这本质上是【11】中提出并在【15】中定义的分数修正-调整启发式。这种方法的性能比没有优化的手动解决方案好得多，因此立即投入使用。16 M.KIESSLING、S.KURZ和J.RAMBAUthan参数估计：相应的假设（股票指数递减，需求对价格的等弹性依赖性，…）在我们的环境中，似乎充其量只是猜测。表2显示了我们在ISPO中用于现场研究的参数设置。为了不透露公司内部情况，我们打印了与特定但一致的货币单位有关的值。

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2022-6-15 11:34:26

重要的是处理成本cb，l,McContainsa多重性m中的线性术语：这样，优化就有了一些动机，可以选择在仓库中产生较少拣货的LOT，这才是真正的批次指定。我们的批次类型期初成本δi是在全面成本核算的基础上估算的。该成本核算还表明，只有当内部库存周转面积大幅增加时，才能处理四种以上的地块类型。贴现事实rρ来自资本约束成本的估计。无论何时，除利息率以外的其他原因有利于快速库存，这一点都可以增加。我们没有考虑降低成本uk这一事实反映了这样一个事实，即在设计实验时，我们的合作伙伴根本无法为此提供现实的价值。（同时，我们也对此进行了麻醉。）参数设置κ4cb，l,收购价格+m·0.0545（挑选成本）Δδi，i>1 50E{低、正常、高}（0期销售∈ [0，10%）/[10，30%]/（30，100%]）D正常，p，b，s来自商品组中历史销售额的经验分布和插值Dek，p，b，sα×D正常，p，b，s（情景e中历史销售额的α与情景正常值的比较）Prob（e）商品组Kobs2中历史销售额的经验分布（即，实现e和两个时期后的最早降价）Kmax（=周）至季末（取决于物品）ρ0.000974868pmax4（五个价格，包括起始价格和残值）ukTable 2。

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