虽然origin a l MMA方法是为MF-DFA设计的，但它显然可以应用于其他多重分形分析方法。MMA方法已被应用于研究道琼斯工业平均指数（DJIA）、纽约证券交易所指数（NYSE）、标准普尔500指数、恒生指数（HSI）的每日收益的多重分形性质，1992年5月12日至2012年5月8日的上海证券交易所综合指数和深圳证券交易所综合指数（SZCI）fr【327328】，以及2000年1月3日至2014年10月1日的九个股票市场（CAC 40、DAX、FTSE 100、HSI、日经225、SSEC、NASDAQ、标准普尔500）[329]。更一般地，该方法等效于计算Fq（s）函数的局部对数斜率s:h（q，s）=lims′→sd-ln-Fq（s′）d-ln-s′（142），广泛用于湍流中结构函数的研究【226229】，以及DFA【330】。当标度范围较窄时，ideato估计局部对数斜率尤其有用，可作为确定标度范围的方法。可以采用不同的数值方法来估计数值。MMA方法中建议的局部对数斜率H（q，s）和移动窗口中的线性拟合就是其中之一。已对金融时间序列进行了实证分析，如WTI原油市场[331]和股市指数[332]，但未提及多尺度多重分形分析的名称。2.5.5. 时间多重分形分析为了量化多重分形谱的演化，可以在移动窗口或滚动窗口中对时间序列进行多重分形分析。我们想强调的是，短窗口大小将降低多重分形量的估计精度，并增加结果的不确定性。

如第8.2.4节所述，时变多重分形质量具有实际意义。或者，熊和张提出了时变多重分形谱分布（TM-MFSD）[333]。关键思想是对瞬时的自相关函数r（i，δ）=E[X]进行多重分形分析*（一）- /2） X（i+/2）]，（143），而不是原始时间序列X（i），其中时间延迟共轭X*（i） 在所分析的序列中，选择X（i）作为窗口函数。为了获得时间序列的时变多重分形谱分布，可以采用前面章节中描述的不同多重分形分析方法，如WTMM【333】、小波前导【334335】、MF-DMA【336】和MF-DFA【337】。本质上，多重分形分析是在移动窗口上用这些方法进行的。2.5.6. 相空间重构非线性动力学中的一种经典方法是将时间序列有效嵌入相空间，并估计相空间中数据点的广义维数dqo【128、148、1、49、338】，但在物理学中应用较少。基于延迟嵌入技术【339】，时间序列X（i）可以转换为向量序列：-→X（j）=[X（j），X（j+τ），····，X（j+（d- 1） τ）]，j=1，····，Nv，（144），其中Nv是相空间中的点（或向量）数量，τ是适当选择的时间d e la y，d是p相空间的嵌入维数。嵌入维数d和延迟τ可以用不同的方法确定【149340–344】。距离R到点i的数据点的相对数量由ci（s）=NvNvXj=1，j，iH计算s--→X（一）--→X（j）, （145）其中，H是Heaviside函数。广义相关积分Cq（s）为[345]Cq（s）=NvNvXi[ci（s）]q-1.1/（q）-1） ，这是相关积分的一般化[128，148，149]。

[338]Dq给出的基因尺寸≡ lims公司→0log Cq（s）log s.（147）Lee调查了1992年3月20日至2007年2月28日期间韩国综合股价指数Kospi 1分钟波动的多重特征[346]。波动性时间序列首先用小波滤波器去趋势化，然后在τ=1和d=1的p相空间中进行多重分形分析，以确认多重分形的存在。2.5.7. 不对称多重分形分析受两种资产之间的相关性通常是不对称的这一典型事实的启发[347–350]，AlvarezRamirez等人开发了不对称多重分形预测分析（A-MF-DFA），以检测单个时间序列中的不对称多重实际标度[351]。在这种方法中，趋势函数是线性的，因此对于公式（116）中的所有i>1，t ai=0。主要目的是计算向上（向下）的函数，其中移动的线性趋势具有非负（负）斜率。从数学上讲，qth阶向上的整体去趋势函数为f+q（s）=P2Nsv=11+kv2NsXv=1“1+kvFv（s）#qq=h【Fv（s）】qi | a≥0，（148）和qth-o顺序向下的总体下降趋势-q（s）=h【Fv（s）】qi | a<0，（149），其中，如果线性趋势（116）的斜率为非负，则kv=1，即≥ 0和kv=-如果斜率a<0，则为1。当Q=0时，我们采用L\'H^Hospital规则，如公式（111）所示。响应广义赫斯特指数可由f±q（s）确定~ sH±（q）。

（150）注意，原始A-MF-DFA方法使用每个v段中残差的mea n绝对值【351】。使用A-M F-DFA方法进行的实证研究调查并证实了1980年5月23日至2008年8月25日的道琼斯工业指数日收益率[352]、1986年1月2日至2010年12月14日的WTI油价[352]、1990年6月19日至2012年4月27日的SSEC ind-ex和1991年4月2日至2012年4月27日的SZCI指数[353]以及道琼斯工业平均指数、纳斯达克指数和纽约证券交易所的非对称多重分形行为，1991年1月1日至2015年12月31日期间的标准普尔50指数[354]。A-MF-DFA方法可以很容易地扩展到设计非对称多重趋势移动平均分析（A-MF-DMA），其中移动平均值作为趋势函数，方向（或“符号”）的确定与A-MF-DFA方法完全相同【355】。通过计算不同时间尺度下的局部指数，得出非对称多尺度detrended fluction分析，并将其应用于调查1999年和2000年加州电力现货价格的小时回报率[356]。Cao等人开发了非对称多重分形去趋势互相关分析（MF-ADCCA）方法【357】，作为MF-X-DFA方法的非对称扩展（见第3.4节）。该方法已被应用于确定2005年7月22日至2012年1月13日期间SSEC指数每日收益率与六个外汇汇率之间的不对称互相关【357】，2011年6月30日至2013年6月7日期间CSI 300指数的5分钟现货收益率与期货收益率之间的不对称互相关【358】，2003年1月2日至2012年4月27日，上海黄金交易所（Au 99.95）和纽约黄金交易所的黄金现货价格回报率[359]，欧盟碳排放交易产品ETS与。

能源期货——布伦特原油（Bren t）、理查兹湾煤炭（Richards bay coal）、英国基础电力（Electric）和英国天然气（gas）——从2008年1月1日至2012年12月31日【360】、WTI价格的每日回报以及2000年1月4日至2014年12月31日期间对美元的汇率（加元、墨西哥比索、挪威克朗、英镑、日元、澳元、欧元和韩元【361】，2002年1月1日至2014年9月26日期间的上海SSEC和其他四个指数（美国标准普尔500指数、德国DAX指数、IndiaBSESN指数和巴西BVSP指数）[362]，以及2005年1月28日至2016年12月2日期间的WTI原油价格和eightstock merket指数（Bra zil IBOVESPA指数、智利IPSA指数、阿根廷梅尔瓦尔指数、墨西哥IPC指数、哥伦比亚COLCAP指数、秘鲁SPBVL指数、标准普尔500指数和DJIA指数）[363]。Chen和Zheng提出了基于配分函数的非对称联合多重分形分析[364]，作为MF-X-PF方法的扩展（见第3.1节）。这种扩展对于金融波动性来说是可行的，因为人们可以使用相关的回报来确定细分市场中的迹象。2.5.8. 多重分形扩散熵分析时间序列{X（i）}Ni=1的扩散熵分析（DEA）基于香农熵[365–368]，可以通过以sset价格为例来确定。对于给定的扩散时间或时间尺度s，我们计算返回序列X（i，s）=X（i）- X（i）- s） ，i=1，2，···，N- s、 表示s跳跃步的总扩散距离。对于每个s{X（i，s）}Ni=1由长度为（s）的非重叠整数覆盖。选择区间长度（s）作为函数方差平方根的一部分{X（i，1）}，它与时间尺度s无关。

我们计算这些回报的数量Nj（s）第j个区间内的X（i，s）以及通过Pj（s）得出的概率（或频率）≡Nj（s）N- s、 扩散过程的香农熵确定为asI（s）=-NsXj=1pj（s）ln pj（s）。缩放行为为字符iz e d byI（s）~ δlns，其中δ是标度指数。对于分数布朗运动，DEA scalin g指数等于Hurst指数，即δ=H[367]，这对于其他过程（如L'evy过程[367，368]）不一定成立。对于金融资产，似乎需要对其进行再融资，以获得大约δ=H；另一方面，δ将大于0.9【369–371】。还有一个明显的有限尺寸效应，即熵I（s）偏离小尺度的“理论”值，并收敛到大尺度的理论值【368】。利用积分力矩的概念可以克服这一缺点[372]（详情见第5.1.5节）。多重分形分析中DEA的一个自然推广是，用式（16）中表示的R’enyi熵替换香农熵，从而得出多重分形扩散熵分析（MF-DE A），其主要输出是标度指数δ（q）的频谱【373】。类似于基于MF-DFA方法的多尺度多重分形分析[326]（见第2.5.4节），可以设计多尺度多重分形扩散熵分析[374]。MF-DEA方法存在一些缺点[375]。我们注意到δ（q）与已知的广义维数Dq没有直接关系。因此，MF-DEA方法揭示了原始时间序列的某些映射中的多重分形，而不是原始时间序列本身的多重分形。在DEA或MF-DEA方法中，概率pj（s）的估计对R’enyi熵的估计以及δ（q）谱的估计有着至关重要的影响【3 76】。

因此，需要对（s）进行非最佳选择[376]。2.5.9. S符号化表示和R’enyi维度Xu和Beck将符号动力学技术应用于财务回报，以确定R’enyi维度或广义维度Dq【377】。有不同的符号化技术可以将金融时间序列{X（i）}Ni=1转换为符号序列。Li和Wang通过考虑价格变化的速度提出了一种方法，价格变化的速度通过角度[378379]进行量化，θi=arctan[（X（i+l) - X（i））/l], （151）属于间隔[-90o, 90o]. 为了表示原始时间序列，我们划分[-90o, 90o] 分成2n个子区间，通常几乎对称，r相对于θ=0o. Li和Wang考虑了四个子区间(-90o, -45o), [-45o, 0o), [0o, 45o), 和[45o, 90o) 以及对应的四个符号D、D、r和r，分别代表价格的快速下跌、缓慢下跌、缓慢上涨和快速上涨。徐安德·贝克的象征方法与之类似【377】。他们建议对返回域进行分区 xi∈(-1，1）到2 n个su-bintervals，映射到2n个符号。当n=1时，两个子区间为(-1，0）和[0，∞) 和对应的两个符号d和u，分别代表价格的下跌和上涨。当n=2时，四个子区间为(-1.-c） ，则[-c、 0、[0，c）和[c，∞], 其中c∈ （0、1）和c∈ [0, ∞] 是参数。请注意，Xu和Beck使用了开放区间，这可能会丢弃一些数据点。此外，回报不能小于-1.对于有限价规则的股票市场，应相应调整子区间。对于任何形式的符号化，如果θiorxi是某一子区间的元素，第i个符号由相应的符号决定。这样，原始时间序列s被映射到符号序列{Si}。符号序列被划分为等长k的NK段。

对于任何给定的k，我们得到ω（k）=（2n）kallowed符号子序列或配置。长度为k的每种配置Cj的发生概率可以确定，表示为pj=p（c=Cj）。徐和贝克回忆了我们都知道的仁义信息[151]Iq=q- 1lnω（k）Xj=1pqj（152），R′enyi d维数dq=limε→0Iqlnε=limε→0lnεq- 1lnω（k）Xj=1pqj，（153），其中ε=（2n）-k、 该方法已应用于1998年1月至2013年5月的几只美国股票（美国铝业、美国银行、通用电气、英特尔、强生、可口可乐和沃尔玛）的每日和1-m价格时间序列，并计算和比较了不同k值的一般维数[377]。3、联合多重分形分析3.1。基于配分函数的多重分形联合分析（MF-X-PF）一个复杂系统通常包含两个或多个不同的多重分形测度，这些测度同时分布在同一个几何支撑上。在湍流中，速度场、温度场和浓度场与节理多重分形测量[266]位于同一空间，其中研究了两个多重分形测量值mx和myover bo x尺寸s的节理动量SH[mx（s，i）]p/2[my（s，i）]q/2i的标度行为。我们也可以将这种方法称为基于配分函数a方法（MF-X-PF）的多重交叉相关分析[380]。在原始框架中，or是p和q，而不是p/2和q/2。当考虑mx=My和p=q的退化情况时，关节力矩变为h[mx（s，i）]qi，这正好符合第2.1节中提出的配分函数方法。参考文献[381]研究了p=q h的ca-se。

这里也有关于二元情形[382，383]和许多测度的一般情形[384，385]的数学处理。在自然科学中，join t m多重分形分析还被应用于研究农业气象[386387]、二氧化氮和地面臭氧[388]、风型和地面气温[389]以及温度和二氧化氮[390]中地形指数与作物产量之间的联合多重分形性质。3.1.1. 任意（p，q）对的一般形式对于尺寸为s的第i个框中的综合测度mx（s，i）和d mx（s，i），局部奇异强度αx和αy定义为[380]mx（s，i）~ sαx和my（s，i）~ sαy.（154）表示Ns（αx，αy）a s覆盖具有奇点αx和αy的点的邻域所需的盒数，集合的分形维数根据t（αx，αy）确定~ s-f（αx，αy），（155）其中f（αx，αy）是两个奇点的联合分布[266]，或联合多重分形谱。通过联合配分函数[380]χxy（p，q，s）=Xt[mx（s，i）]p/2[my（s，i）]q/2，（156）我们可以得到联合质量指数函数τxy（p，q）作为χxy（p，q，s）~ sτxy（p，q）。（157）将公式（154）插入关节分区函数，将和重写为αx和αy上的二重积分，然后应用最速下降法估计小s值下的积分，我们得到τxy（p，q）=pαx/2+qαy/2- f（αx，αy），（158），其中 f（αx，αy）/αx=p/2和 f（αx，αy）/αy=q/2。（159）取等式（158）对p或q的偏导数，我们得到τxy（p，q）/p=αx/2和τxy（p，q）/q=αy/2。（160）然后我们可以得到双勒让德变换：αx（p，q）=2τ（p，q）/p和αy（p，q）=2τ（p，q）/q、 （161a）和f（αx，αy）=pαx（p，q）/2+qαy（p，q）/2- τxy（p，q）。

（161b）从对数角度来看，我们可以通过定义两个c标准度量uxy（p，q，s，i）=[mx（s，i）]p/2[my（s，i）]q/2Pt[mx（s，i）]p/2[my（s，i）]q/2来直接获得f（αx，αy）函数。（162）两个奇点强度αx（p）和αx（p）以及联合多重分形谱fxy（p，q）可通过对数-对数标度中的线性回归计算，使用以下方程：αx（p，q）=lims→0Piuxy（p，q，s，i）ln mx（s，i）ln s，（163a）αy（p，q）=lims→0Ptuxy（p，q，s，i）ln my（s，i）ln s，（163b）fxy（p，q）=lims→0Ptuxy（p，q，s，i）lnhuxy（p，q，s，i）iln s.（163c）关节质量指数函数可使用以下等式获得：。(158).3.1.2. 二项式测量的分析结果Xie等人使用m Multi钳子PX和py推导了二项式测量的分析结果[380]。他们发现，大小为s=2l的框中的两个综合度量值mx（s，i）和my（s，i）通过mx（s，i）=C（s）hmy（s，i）iβ=e显式地与d相关-γLsγ/ln 2hmy（s，i）iβ，（164），其中2l是时间序列的长度，β=ln px- ln（1- px）ln py- ln（1- py），（165）和γ=βln（1- py）- ln（1- px）。（166）当px+py=1时，我们的β=-当px=py时，β=1，C（s）=1。当px和Py均小于0.5或小于0.5时，即（px- 0.5）（py- 0.5）＞0，则β＞0；否则，当（px- 0.5）（py- 0.5）<0，我们有β<0。联合质量指数函数表示为[380]τxy（p，q）=pγ2 ln2+τy（q）=pγ2 ln2-ln【pQy+（1- py）Q]ln 2。（167）其中q=βp/2+q/2（168）和τy（q）=-ln【pQy+（1- py）Q]/ln 2。（169）它遵循tαx=γln 2-βln 2pQyln py+（1- py）Qln（1- py）pQy+（1- py）Q（170）和αy=-ln 2pQyln py+（1- py）Qln（1- py）pQy+（1- py）Q.（171）我们立即得到αx和αy之间的关系，αx=γln2+βαy，（172），这表明fxy（αx，αy）是沿着这条线的曲线，而不是曲面，线段（172）是fxy（αx，αy）在（αx，αy）平面上的投影。Xie等人。

获得【380】αy，min=limQ→∞αy=最小值(-在pyln 2，-ln（1- py）ln 2）αy，max=limQ→-∞αy=最大值(-在pyln 2，-ln（1- py）ln 2）（173）使得αyis的奇异谱的宽度αy=ln（1- py）- 年产量第2层。（174）py=0.5时，αy=0。在这种情况下，度量既不是多重分形，也不是单分形，因为它在支架上均匀分布αx，min=limQ→∞αx=最小值(-ln pxln 2，-ln（1- px）ln 2）αx，max=limQ→-∞αx=最大值(-ln pxln 2，-ln（1- px）ln 2）（175）此外，多重分形谱fxy（αx，αy）可以表示为[380]fxy（αx，αy）=ln 2Q1.-pypy公司昆士兰py1-py公司+\"1 +1.-pypy公司Q#ln“1+1.-pypy公司Q#1+1.-pypy公司Q、 （176）紧接着是fxy（Q=0）=1和fxy（Q）=fxy(-Q） ，（177），其中fxy（Q），fxy（αx，αy；Q）。假设fxy（αx，αy）相对于线Q=0对称。此外，还发现LIMQ→±∞fxy（p，q）=0。（178）当Q<0时，d fxy（Q）/dQ>0，因此fxy（Q）是Q的单调递增函数。当Q>0时，d fxy（Q）/dQ>0，因此fxy（Q）是Q的单调递减函数。因此，fxy（Q）的最大值为1，最小值为0.3.1.3。基于统计矩的多重分形c-ross相关分析（MFSMXA）在参考文献[381]中提出，实际上是MF-X-PF（p，q）的一个特例，其中p=q。我们称之为MF-X-PF（q），以表示一致性[380]。在这种情况下，我们有τxy（q）=q（αx+αy）/2- fxy（αx，αy），（179），其中 fxy（αx，αy）/αx= fxy（αx，αy）/αy=q/2。（180）取式（179）对q的导数，应用式（180），我们得到τxy（q）dq=αx+αy。（181）定义αxy，[αx（q）+αy（q）]/2，（182）我们得到αxy=dτxy（q）/dq，（183a）和fxy（αxy（q）），fxy（αx，αy）=qαxy（q）- τxy（q），（183b），这是L egendre变换。证明了[380]τxy（q）=[τx（q）+τy（q）]/2，（184）和fxy（q）=[fx（q）+fy（q）]/2。

（185）我们将广义联合赫斯特指数Hxy（q）定义为τxy（q）=qHxy（q）- 1.（186）它遵循tHxy（q）=Hx（q）+Hy（q），（187），其中Hx（q）和Hy（q）是mx和my的广义Hurst指数。使用MF-X-DFA方法【141】、MF-X-D方法【105】和p=q的MF-X-PF方法【381】对这些关系进行了数值观察。如果我们能够确定标准测量值uxy（q，s，i）=[mx（s，i）my（s，i）]q/2Pt[mx（s，i）my（s，i）]q/2。（188）可以直接计算两个奇异强度αx（p）和αx（p）以及联合多重分形谱fxy（p，q）：αxy（q）=lims→0Ptuxy（q，s，i）ln[mx（s，i）my（s，i）]1/2ln s=αx（q）+αy（q），（189a），其中等式（163a）和等式（163b）用于第二个等式，fxy（αxy（q））=lims→0Ptuxy（q，s，i）lnhuxy（q，s，i）iln s.（189b）接头质量指数函数可使用以下等式获得：。（183b）。熊和尚提出了加权MF-X-PF（q）方法（W-MFSMXA）[391]。他们对双指数ARFIMA过程、二项式测度和NBVP时间序列的数值实验表明，W-MFSMXA在相对较短的时间序列上略优于MF-X-PF（q）。3.2. 节理结构功能分析（MF-X-SF）3.2.1。任意（p，q）对的一般形式基于结构函数法的联合多重分形分析，称为MF-X-SF，也有其根膨胀性，其中引入了速度和温度的联合结构函数，以研究加热湍流射流中温度场和速度耗散场之间的互相关[392393]。对于i=1，2，····，N的两个自相似时间序列X（i）和Y（i），（p，q）-阶联合结构函数定义为kxy（p，q，s）=DX（i，s）p/2Y（i，s）q/2E=N- s+1NXi=sX（i，s）p/2Y（i，s）q/2，（190）其中X（i，s）=X（i）- X（i）- s） 以及Y（i，s）=Y（i）- Y（i- s） 。

一些研究人员将p=1的特殊情况称为类似多重分形互相关分析（AMF-XA）[394]，其中作者明显不知道以前的工作[392395]。因为创新X和Y可以是负的，结构函数Kxy（p，q，s）通常定义在p和q的正整数上。因此，使用绝对创新定义关节结构函数Kxy（p，q，s）=D更方便|X（i，s）| p/2|Y（i，s）| q/2E=N- s+1NXi=s|X（i，s）| p/2|Y（i，s）| q/2，（191），这在结构-函数方法以及多重分形高度互相关分析（MFHXA）中被广泛采用【395】。如果联合结构函数Kxy（p，q，s）与标度之间存在标度关系，我们可以将标度指数函数τxy（p，q）定义为Kxy（p，q，s）~ sζxy（p，q）=sτxy（p，q）+1，（192），这是MF-X-PF（p，q）方法的一个分析。我们进一步将奇异函数αx（p，q）和αy（p，q）分别定义为τxy（p，q）对p和q的偏导数，如等式（161a）所示。奇异谱函数fxy（p，q），fxy（αx，αy）可以在等式（161b）中得到。我们注意到，很难以一致的方式定义广义赫斯特指数Hxy（p，q）。多重分形随机游动考虑了连接结构函数方法[396]。3.2.2. Kristoufek提出了p=q时MF-X-SF（p，q）方法的c ase p=qA特例，称为多重分形高度互相关分析[395]。为了保持一致性，我们将其称为MF-X-SF（q）应用程序漫游。在这种情况下，qth阶关节结构函数由kxy（q，s）=D定义|X（i，s）Y（i，s）| q/2E=N- s+1NXi=s|X（i，s）Y（i，s）| q/2。

（193）如果联合结构函数Kxy（p，q，s）和标度s之间存在标度关系，我们可以将标度指数函数τxy（q）定义为Kxy（q，s）~ sτxy（q）+1=sqHxy（q），（194），其中Hxy（q）是广义二元Hurst指数或广义联合Hurst指数。在一定条件下，我们有[395]Hxy（q）=Hx（q）+Hy（q）。（195）我们通过勒让德变换定义了联合奇点函数及其谱：αxy=dτxy（q）/dq，（196a）和fxy（αxy）=qαxy- τxy。（196b）如果公式（195）成立，根据τx（q）=qHx（q）的定义，我们得到τxy（q）=τx（q）+τy（q）（197）- 1，τy（q）=qHy（q）- 1和τxy（q）=qHxy（q）- 根据αx（q）=dτx（q）/dq、αy（q）=dτy（q）/dq和αxy（q）=dτxy（q）/dq的定义，αxy（q）=αx（q）+αy（q）（198）。它遵循fr omEq。（196b）fxy（αxy）=fx（αx）+fy（αy）。(199)3.3. 多重分形小波相干分析（MF-WCA）3.3.1。交叉小波变换和小波相干分析Hudgins等人引入了两个时间序列{Xi}Ni=1和{Yi}Ni=1的cro-ss小波变换（XWT）。以研究大气湍流中的高度间歇性模式，该模式由Wxy（s，i）=Wx（s，i）Wy（s，i）定义。（200）交叉小波幂isPxy（s）=kWxy（s，i）k.（201）小波相干度ceρxy（s）定义为ρxy（s）=kWxy（s，i）kkWx（s，i）kkWy（s，i）k=PNi=1 | Wx（s，i）Wy（s，i）|PNi=1Wx（s，i）1/2PNi=1Wy（s，i）1/2. （202）小波相干性能够揭示时频域中两个时间序列之间的协同运动，这在金融和经济领域得到了广泛应用【398–400】。3.3.2. 与MF-X-PF方法类似，Jiang等人设计了多重分形交叉小波分析[401]。它推广了小波相干性的概念，构造了如下联合配分函数：χxy（p，q，s）=NXi=1 | Wx（s，i）| p/2 | Wy（s，i）| q/2。

（203）对配分函数的定义使我们能够揭示不同范围下的相干性和尺度之间更复杂的关系，这对应于交叉多重分形行为。如果基础过程是联合多重分形的，则结果是标度：χxy（p，q，s）~ sTxy（p，q），（204），其中Txy（p，q）是关节质量指数函数，可通过在给定对（p，q）的标度范围内，将lnχxy（p，q，s）与lns回归来估计。类似于联合多重分形分析中的双Legendre变换，基于p分函数pRoa c h MF-X-PF（p，q）[380]，我们定义了联合奇异应力函数hx和hyhx（p，q）=2Txy（p，q）/p、 （205）hy（p，q）=2Txy（p，q）/q、 （206）和多重分形谱Dxy（hx，hy）Dxy（hx，hy）=phx/2+qhy/2- Txy。（207）当p=0且q=0时，式（203）中的联合部分函数等于小波系数的数量，或等于原始序列的数据点总数。换句话说，我们有χxy（0，0，s）=N，（208），结果是inTxy（0，0）=0。（209）在对照试验中，在MF-X-PF（p，q）方法中，τxy（0，0）=-因此，Txy（p，q），τxy（p，q）。（210）由此可以看出，从MF-X-WT（p，q）方法获得的hx（p，q）、hy（p，q）和d Dxy（hx，hy）与从MFXPF（p，q）方法获得的联合奇异强度αX（p，q）、αy（p，q）和联合多重分形谱fxy（αX，αy）是不同的。类似于配分函数方法[157158]，我们可以使用hx（p，q）=lims直接估计联合奇异强度hx和hy以及联合多重分形谱Dxy（p，q）→0ln sXiuxy（p，q，s，i）ln | wx（s，i）|，（211）hy（p，q）=lims→0ln sXiuxy（p，q，s，i）ln | wy（s，i）|，（212）Dxy（p，q）=lims→0ln sXiuxy（p，q，s，i）lnuxy（p，q，s，i）。

（213）式中，uxy（p，q，s，i）=wx（s，i）| p/2 | wy（s，i）| q/2χxy（p，q，s）。因此，我们可以直接从方程组中确定联合奇异强度函数hx（p，q）和hy（p，q）以及联合多重分形函数Dxy（p，q）。（211–213）通过线性回归。对两个多重实际二项测度进行的大量数值实验揭示了文献[380]中推导的MF-X-PF（p，q）的理论联合多重分形公式与MF-X-WT（p，q）[401]的经验联合多重分形特征之间的联系：Txy（p，q）+p/2+q/2- 1=τxy（p，q），（214）hx（p，q）+1=αx（p，q），（215）hy（p，q）+1=αy（p，q），（216）Dxy（hx，hy）+1=fxy（αx，αy），（217），其中τxy（p，q），αx（p，q），αy（αx，αy）在式（167），式（17 0），式（171）和式（176）中给出。虽然MF-X-WT（p，q）方法能够成功识别时间序列中的单分形或多重分形互相关，但结果显示与理论结果的偏差不可忽略[401]。然而，对金融回报和金融波动性的实证应用揭示了明显的交叉多重分形[401]。3.3.3. MF-X-WTMM基于WTMM的联合多重分形分析的实现并不简单。我们可以方便地确定X（i）和Y（i）的两组模极大值线Lx和Ly。然而，Lx和Ly之间没有一一对应关系，因为在给定的尺度下，两个时间序列的最大模数不同。林安·谢里夫找到了一个很好的解决方案，通过将LX和Ly中的mo-dulusmaxima线正确配对来克服这一困难【402403】。如果Lx和Lya中的两条模极大值线在时间坐标中彼此接近，则它们是成对的。

因此，联合竞争函数可以定义为[402]Zp，q（sj）=NjXk=1 | Wx（ij，k，sj）| p | Wy（ij，k，sj）| q，（218），其缩放为幂律，对应于缩放：Zp，q（s）~ sτxy（p，q）（219）注意，我们使用p和q代替参考文献[402]中的p/2和q/2。在这种情况下，勒让德变换表示为[402]αx=τ（p，q）/p、 αy=τ（p，q）/q、 （220a）和f（αx，αy）=pαx（p，q）+qαy（p，q）- τ（p，q），（220b），其中p= f级/αx和q= f级/αy。MF-X-WTMM方法的有效性通过耦合随机b inomialcascades的数值实验得到证实【402】。耦合随机二项式ca数据由一个耦合的应力参数g表示∈ [0，1]，其中g=0和g=1分别代表未耦合和完全耦合的TIME系列[266]。他们的数值结果表明，在完全耦合的情况下，f（αx，αy）谱坍缩成一维曲线，这与公式（172）[380]的分析结果非常一致。3.3.4. 由于多重分形小波变换分析的固有缺陷，不建议将MF-X-WT（p，q）用于多重分形互相关分析。除了MF-X-WTMM方法外，一种合适的替代方法是小波导程[256–261]。Jiang等人将MF-WL方法推广到基于两个矩阶p和q的小波前导的联合多重分形分析，称为MF-X-WL（p，q）[404]。首先获得小波导程lx（j，k）和l不同尺度下{Xi}和{Yi}的y（j，k）s=2j，然后将阶数p和q的联合动量定义为[404]Mxy（p，q，j）=njnjXk=1lx（j，k）p/2ly（j，k）q/2，（221），其中nj是尺度s=2j的小波前导数。当X=Y和p=q时，我们重新讨论了基于第2.3.3节中介绍的小波导函数的传统多重分形形式。

与其他类似方法一样，进一步的比例分析遵循常规方法。通过数值实验发现，MF-X-WL（p，q）方法可以成功地检测出二项测度中的联合多重分形和二元分数布朗运动中的单分形[404]。该方法还用于研究道琼斯工业平均指数（DJIA）和纳斯达克指数（NASDAQ）日收益率之间以及日波动率之间的联合多重分形。MF-X-WL（p，q）方法对正负（p，q）值均有效。然而，该方法似乎不能提供非常准确的结果。3.4. 多重分形去趋势互相关分析（MF-DCCA）受波多布尼克（Podobnik）和斯坦利（Stanley）关于去趋势互相关分析的开创性工作【140】的启发，Zh提出了多重分形去趋势互相关分析，它是MF-DFA和DCCA的组合【141】。该方法最初被称为MF-DXA【141】，然后被称为M F-X-DFA，因此可以将其与MF-XDMA方法区分开来，MF-XDMA方法是MF-DMA和DCCA的组合【105】。考虑两个长度相同的时间序列{X（i）}和{Y（i）}，其中i=1，2，···，N。每个时间序列由大小为s的Ns=int[N/s]非重叠框覆盖。vth框[lv+1，lv+s]内的两段时间序列用Xv（k）和Yv（k）表示，其中k=1，··，s，w lv=（v- 1） 假设{Xv（k）}sk=1和{Yv（k）}sk=1的局部树函数分别是{eXv（k）}和{eYv（k）}。每个箱子的交叉相关性计算为Fv（s）=ssXk=1hXv（k）-eXv（k）ihYv（k）-eYv（k）i.（222）qth阶互相关计算为fxy（q，s）=mmXv=1 | Fv（s）| q当q，0和fxy（0，s）=exp时为1/q（223）NsNsXv=1ln | Fv（s）|. （224）然后我们期望以下缩放关系fxy（q，s）~ sHxy（q）。（225）有许多不同的方法来测定ExvandeyV。

局部tre nd函数可以是多项式[268，405]，这与MF-X-DFA方法[141]相似。局部趋势函数也可以是移动平均值[275276]，在这种情况下，该算法被称为MF-X-DMA[105]。我们当然可以使用第2.4.4节所述的其他确定方法。当X=Y时，MF-X-D FA减少为MF-DFA，MF-X-DMA红色ucesto MF-DMA。基于DMA的DCCA方法由He和Chen[406]提出，这是q≡ 2、对于相依多重分形二项测度对[324]和相依多重分形随机游走对[407]，在数值上发现[141]Hxy（q）=Hx（q）+Hy（q），（226），他和陈给出了以下不等式[408]的近似推导：Hxy（q）6Hx（q）+Hy（q）。（227）然而，关系式（226）和（227）都偏离了许多实证结果[141408-410]。对于q=2的单分形情况，如两个具有相同误差项的耦合自回归滑动平均（ARFIMA）信号，通过某种近似，证明了[140，411，41 2]Hxy（2）=Hx（2）+Hy（2），（228），其中Hx（2）和Hy（2）是时间序列{Xi}和{Yi}的Hur st指数。Kristoufek推导了两个ARFIMA过程的方程（228），无论误差项之间的相关性如何，只要它保持非零，并且对于ARFIMA过程和MA过程[413]。Kristouf e k将记忆效应表示为频域中的功率谱，表明二元Hurst指数不能大于单独Hurst指数的平均值[414]：Hxy（2）6Hx（2）+Hy（2），（229），这适用于多个随机过程[413–420]。这种差异可以通过DCCA系数差异来衡量【421】。MF-X-DFA有一个lso变体。

延时MF-X-DFA方法包括两个时间序列配对中的延时，以使分段中的去趋势函数读取[422]Fv（δ；s）=ssXk=1hXv（k）-eXv（k）ihYv（k+δ）-eYv（k+δ）i.（230）当δ=0时，我们恢复原始MF-X-D FA方法。Shi等人将多尺度多重分形分析【326】推广到多尺度多重分形减损cr-oss相关分析，称为M SMF-DXA【423】。该方法适用于六种股票市场指数（DJIA、NASDAQ、S&P500、SSCI、SZCI和HSI）[423]的日收益率对，不同时间段的收益率对（DJIA vs NYSE，DJIA vs HSI）[424]，以及标准普尔500指数、HSI、SSCI和ASX指数的开盘价、收盘价、最高价、最低价和成交量对[425]。Cao和Xu建议使用最大重叠小波变换（MODWT）确定局部趋势【426】。Cao等人提出了波动率约束多重分形去趋势互相关分析[427]。尚未使用数学模型对这些方法的性能进行数值研究。MF-X-DFA方法已被推广用于研究多个时间序列之间的多重分形互相关行为，这导致了耦合去趋势函数分析（CDFA）[428]。对于j=1,2，···，n的多个时间序列Xj（i），局部去趋势函数变成nv（s）=ssXk=1nYj=1hXj，v（k）-eXj，v（k）i.（231）联合多重分形分析的其他方法也可以以类似的方式扩展到多个时间序列。类似的处理方法是将多个时间序列的局部波动求和【429】：Fv（s）=ssXk=1nXj=1hXj，v（k）-eXj，v（k）i。

（232）据报道，该方法对双组分ARFIMA过程和二项测量很有效。CDFA方法已应用于2006年2月2日至2007年7月31日期间德黑兰四种空气污染物（NO、NOx、总碳氢化合物含量THC和O）的小时浓度【428】，1998年12月14日至2011年1月31日期间，三种货币（欧元/美元、英镑/美元和日元/美元）的每小时汇率【428】，2009年1月2日至2013年10月1日，三个仓库（YZ、JS和BY）的钢铁产品每日出库数量记录【430】，以及2003年7月1日至2015年3月1日，四个亚洲股市指数（SSEC、日经225、KOSPIand Indian SENSEX）的每日收盘价数据【431】。3.5. 多重分形互相关分析（MF-CCA）O'swie,cimka等人认为，大多数现有的互相关分析方法往往存在严重的局限性，即在没有多重分形cro-ss相关性的情况下，报告虚假的多重分形cro-ss相关性[109]。为了弥补这一缺陷，他们提出了多重分形互相关分析（MF-CCA），将波动符号Fv（s）纳入整体去趋势波动Fxy（q，s）：Fxy（q，s）=NsNsXv=1信号（Fv（s））| Fv（s）| q1/q，q，0NsXv=1sign（Fv（s））ln | Fv（s）| PNsv=1sign（Fv（s）），q=0（233），其中PNsv=1sign（Fv（s）），在许多情况下。当Fxy（q，s）对每s为负时，1表示-Fxy（q，s）相对于对数-对数图中的s【109，140】。MF-CCA方法是去趋势互相关分析的一种直接、自然的多重分形，当q=2时可恢复该方法[140]。

对耦合Darfima过程和耦合Mar-kov切换多重分形（MSM）过程的数值实验验证了MF-CCA在提取两个时间序列的联合单分形或多重分形性质方面的适用性。结合多重分形时间加权衰减分析（MF-TWDFA）[293]和多重分形交叉相关分析（MF-CCA）[109]，Wei等人设计了多重分形时间加权去趋势互相关分析（MFTWXDFA），以量化两个时间序列中的幂律互相关，并通过对双变量分形布朗运动、耦合ARFIMA过程和多重分形二项测度的数值实验，证实了M FT WXDFA方法的有效性【432】。该方法用于证实2001年1月4日至2016年9月30日三对斯托克指数日收益率（标准普尔500指数和富时100指数、标准普尔500指数和日经225指数、标准普尔500指数和恒生指数）中存在联合多重分形[432]。使用有符号函数的想法也适用于其他方法，如MF-X-DMA和M F-X-SF。事实上，Wanget al.提出了一种MF-X-SF（q）方法的变体，该方法考虑了结构函数定义中创新符号的信息【110】：K′xy（q，s）=签署[X（i，s）Y（i，s）]|X（i，s）Y（i，s）| q. （234）应谨慎对待这一定义，因为K′xy（q，s）并不是在所有q上定义的∈ R值及其值应为负值，以便比例关系（194）不成立。如果发生这种情况，人们可能会争辩说，两个时间序列之间没有交叉相关标度[110]。3.6. 多重分形去趋势部分互相关分析（MF-DPXA）观察到的两个时间序列之间的长程幂律互相关可能不是由其内在关系引起的，而是由共同的第三驱动力或常见的外部因素引起的【433–435】。

如果两个时间序列上常见外部因素的影响是相加的，我们可以使用偏相关来衡量它们的内在关系【436】。为了提取受共同驱动力影响的两个时间序列之间内在的长程幂律互相关，刘发展了去趋势部分互相关分析（DPXA），该分析结合了DCCA和偏相关的思想，并研究了变量情况下的DPXA指数[437]。DPXA方法由Yuan等人独立提出【438】。Qian等人将DPXA推广到多重分形时间序列的分析中，得出了多重分形d e趋势部分互相关分析（MF-DPXA）[439]。假设两个平稳的y时间序列{x（t）：t=1，····，N}和{y（t）：t=1，····，N}，如retu rns，取决于由i=1，····，N的时间序列{zi（t）：t=1，2，·······，N}所表征的共同外部驱动因子。每个时间序列被划分为大小为s的N=int[N/s]个不重叠的w窗口。对于每个风向，说出vthwindow[lv+1，lv+s]，其中lv=（v- 1） s，我们分别校准了xvand-yv的两个线性回归模型，（xv=Zvβx，v+rx，vyv=Zvβy，v+ry，v，（235），其中xv=[xlv+1，…，xlv+s]T，yv=[ylv+1，…，ylv+s]T，rx，vand ry，vare残差向量，和Zv=zTv，1。。。zTv，p=z（lv+1）···zn（lv+1）···z（lv+s）···zn（lv+s）（236）是第v个窗口中n个外力的矩阵，其中x是x的变换。我们获得了n维参数向量βx，vandβy，vand残差序列（rx，v=xv）的估计值- Zv^βx，vry，v=yv- Zv^βy，v。

（237）我们进一步获得残差函数，即，（Rx，v（k）=Pkj=1rx（lv+j）Ry，v（k）=Pkj=1ry（lv+j），（238），其中k=1，··，s。假设erx，vandeRy，vare分别是Rx，vand Rx，v的局部趋势函数，则每个窗口中的去趋势部分互相关可以计算为fv（s）=ssXk=1hRx，v（k）-eRx，v（k）ihRy，v（k）-eRy，v（k）i，（239），qth阶去趋势部分互相关为fxy:z（q，s）=Ns系列- 1 NSXV=1 | Fv（s）| q/2当q，0和fxy:z（0，s）=exp时，为1/q（240）NsNsXv=1ln | Fv（s）|（241）当q=0时。然后我们期望缩放关系fxy:z（q，s）~ sHxy:z（q）。（242）根据标准多重分形形式，多重分形质量指数τ（q）可以用来描述多重分形特性，即τxy:z（q）=qHxy:z（q）- Df，（243），其中Df=1是时间序列几何支撑的分形维数【139】。如果τ（q）是q的非线性函数，则时间序列的部分交叉相关是多重分形的。根据Legendre变换，我们得到了奇异强度函数α（q）和多重分形谱f（α）为[132]（αxy:z（q）=dτxy:z（q）/dqfxy:z（q）=qαxy:z- τxy:z（q）。（244）MF-DPXA方法是M F-DCCA方法的扩展。当地趋势的不同选择导致不同的变体。当MF-DPXA用DFA或DMA实现时，我们得到MF-PX-DFA或MF-PX-DM A。通过使用两个被高斯噪声污染的二项式测度（符号噪声比非常低），数值实验表明，MF-DPXA比MF-DCCA具有显著优势【439】。还可以很容易地将DPXAidea扩展到其他联合多重分形分析方法。因此，应调查和比较不同MF-DPXA方法的性能。多重分形模型4.1。乘性级联模型4.1.1。

确定性多项式模型多复制级联模型生成以递归方式构造的多项式测度【123】。金融市场中存在乘法级联，因为有证据表明因果信息级联从大尺度到小尺度[440441]。乘法级联过程从区间[0，1]开始，测量值均匀分布。在不损失一般性的情况下，假设区间上的总测度为1。首先，将区间划分为长度为{si:i=1，···，b}的b段，并在每个段上重新分配度量值，以便第i段上的度量值为mi。在第二次迭代中，将每个段划分为两个较小的段，并以相同的方式重新分配对其的度量。这一过程深入到整体，产生多尺度多项式测度。质量指数函数可通过以下等式【132】求解：bXi=1mqisτ（q）i=1。（245）在该迭代过程中，不需要daugh te r段来覆盖母段。因此，我们有bxi=1si≤ 1和Bxi=1mi=1。（246）可以证明dτ（q）/dq>0dτ（q）/dq6 0，（247），其中等式“=”成立，当且仅当所有ln mi/ln siterm相同时。在这种情况下，度量值均匀分布在支撑上，并且是单分形的，因此τ（q）是q的线性函数。根据式（21），我们得到了dq≡ D=Df，表明dqi与q无关。由于α（q）=τ′（q），w的α′（q）=τ′（q）=0，表明奇点宽度αmax- αmin=0。很容易验证，当q=0和q=1时，τ（0）=-1和τ（1）=0（248）分别是等式（245）的解。由于τ（q）是多重分形q的单调递增函数，这些解是唯一解。

对于Dqfunction，我们有Ddq/dq 6 0，（249），其中等式成立当且仅当所有ln mi/ln siterm都是id entical。此外，限制D+∞和D∞存在时q→ ±∞ , 哪个readD+∞, limq公司→+∞Dq=最小{ln-mi/ln-si}（250a）和D-∞, limq公司→-∞Dq=最大值{ln mi/ln si}。（250b）对于α（q）函数，我们有dα（q）/dq 6 0，（251），其中，当d仅当所有ln-mi/ln-siterm相同时，等式成立。此外，极限α(+∞) 和α(∞) 存在时q→ ±∞ , 读数为【123】αmin=α+∞, limq公司→+∞α（q）=mini{ln-mi/ln-si}（252a），αmax=α-∞, limq公司→-∞α（q）=最大值{ln-mi/ln-si}。（252b）注意，α（q）函数的形状与dqf函数非常相似。对于f（α（q））函数，关系d f（α）/dα=q仍然成立，fmax=f（q=0）=1。此外，我们有f（α（q））>0df（α）/dα6 0，（253），其中第二个公式中的等式成立，当且仅当所有ln-mi/ln-siterm相同。这些性质的证明见参考文献。【57】及其参考文献。这里讨论的多重分形测度是保守的。非保守多重分形测度表现出不同的性质【442】。当所有i的si=1/b时，我们有τ（q）=-lnPbi=1mqiln b.（254）广义维数函数dqa和广义Hurst指数函数H（q）可根据式（8）和式（9）显式表示。根据式（7a），我们有α（q），dτ（q）dq=-Pbi=1mqiln miPbi=1mqiln b.（255）多重分形谱f（α）也可以使用公式（7b）从参数q显式表示。4.1.2. p模型经济物理学中使用最广泛的多重分形模型是以递归方式生成多重分形二项测度的p模型[324]，它也经常用于测试不同多重分形方法的性能。p模型是b=2，s=s=1/2的确定性乘性级联模型的特例。

为了构造二项式测量值e，从第0次迭代k=0开始，其中数据集z（i）由一个值z（0）（1）=1组成。在第k次迭代中，数据集{z（k）（I）：I=1，2，·····，2k}是从z（k）（2i）得到的- 1） =pzz（k-1） （i）z（k）（2i）=（1）- pz）z（k-1） （i）（256）对于i=1，2，····，2k-1.de Wijs在1951年对二项式测度进行了早期构造[124，443，4 44]。当k→ ∞, z（k）（i）接近一个二值测度。根据式（2 45），我们得到τ（q）=-ln[mq+（1- m） q]/ln2（257）可分别使用式（8）和式（9）获得dqa和H（q）的解析表达式。根据式（7a）和式（7b）中表示的伦德变换，我们得到α（q）=-mqln m+（1- m） qln（1- m） [mq+（1- m） q]ln 2。（258）和f（α）=- qmqln m+（1- m） qln（1- m） [mq+（1- m） q]ln 2+ln[mq+（1- m） q]ln2（259）=-αmax- ααmax- αminlogαmax- ααmax- αmin！-α - αminαmax- αminlogα- αminαmax- αmin！。（260）等式（260）由Calvet等人（445）推导得出。现在，我们对m=0.3，长度N=2的二项测量进行多重分形分析。图8（a）显示了该测量的前1000个数据点。利用竞争函数法和直接测定法进行了比较。我们首先研究了配分函数方法。图e8（b）说明了在-10到1 0的不同q值下，χ（q，s）在s标度上的幂律依赖性。所有不同q值的曲线在较宽的标度范围内都具有良好的幂律标度。通过lnχ（q，s）与ln s的线性回归得到的斜率是τ（q）的估计值，如图8（e）所示。我们使用图8（f-i）中所示的元素变换，获得了Dqusing公式（21）、α（q）、f（q）和f（α）。根据直接测定方法h，图。

图8（c）绘出了π（q，s，i）ln【m（s，i）】对s的依赖关系，图8（d）π（q，s，i）ln【u（q，s，i）】对sin线性对数坐标的依赖关系，其中m（s，i）是尺寸s第i框中的总度量，u（q，s，i）是相应的规范度量。我们还观察到良好的线性。图8（c）和图8（d）中线性函数的斜率分别为α（q）a和f（q）的估计值，也如图8（g）和图8（h）所示。我们通过Legendretransform获得τ（q），并根据等式（21）获得dqa，这分别如图8（e）和图8（f）所示。在图8（e）中，wealso markτ（0）=-1和τ（1）=0，而在图8（i）中，我们显示f′（α）| q=0=0和f′（α）| q=1=1。在图8（e-i）中，我们还显示了相应的分析函数。很明显，经典的分函数方法和直接确定方法都以非常高的精度完美地揭示了组分测度的多重分形性质。请注意，s值的选择对结果有着至关重要的影响，因为对数周期振荡不确定二项测度[274]，这将在第5.4.1.3节中讨论。随机多项式模型：离散乘数分布我们可以在乘法过程中引入随机性来构造随机多项式模型[123126127446]。我们关注的是单尺度情况，即一段被划分为长度相同的b个子段。在第一步，度量值u=1的单位分段被划分为b个不重叠的子分段。利用概率p′i，度量m′i，1，··，m′i，bare分配给这些子分段。有k个概率使得构造矩阵表示为asCRM=m′1,1···m′1，bp′。

.m′k，1···m′k，bp′k（261）0 200 400 600 800 100000.0050.010.0150.020.0250.03ty（a）10010210410610-50100105010100sχ（q，s）（b）q=-10q=-4q=-2q=0q=2q=4q=10100102104106-25-20-15-10-50sPtu（q，s，t）ln【m（s，t）】（c）q=- 10q=- 4q=- 2q=0q=2q=4q=10100102104106-12-10-8.-6.-4.-20sPtu（q，s，t）ln[u（q，s，t）]（d）q=- 10q=- 4q=- 2q=0-10-5 0 5 10-20-15-10-50510qτq（e）直接测定配分函数分析结果q=0，τ=-1q=1，τ=0-10-5 0 5 100.40.60.811.21.41.61.8qDq（f）直接测定分配功能分析结果-10-5 0 5 100.40.60.811.21.41.61.8qαq（g）直接测定分配功能分析结果-10-5 0 5 1000.20.40.60.811.2qfq（h）直接测定分区功能分析结果0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 200.20.40.60.811.2αf（α）（i）直接测定分区功能分析结果Q=0q=1图8：（彩色在线）m=0.35的确定性二项测度的多重分形分析。（a） binomialmeasure的前1000个数据点。（b） 对于不同的q值，χ（q，s）对盒子大小s的幂律依赖性。（c） π（q，s，i）ln【m（s，i）】对ln s的线性依赖性。（d）π（q，s，i）ln【u（q，s，i）】对lns的线性依赖性。（e）质量指数函数τ（q）。（f） 广义维数Dq。（g） 奇异强度函数α（q）。（h） f（q）函数。（i） 多重分形奇异谱f（α）。在图（e-i）中，用两种类型的标记表示的结果是从经典配分函数法和直接测定法中获得的，在这两种方法中，我们还显示了相应的用等式表示的分析函数。(257-260).第二步，将每个b子段划分为长度为1/b的b段。对于第i个子段，概率p′j，度量值为m′i，1m′j，1，··，m′i，bm′j，b。

这一过程最终导致随机多项式测量。让m（i-1） b+j=m′i j，p（i-1） b+j=p′i，n=kb，我们重写等式（261）asCRM=m···m（i-1） b+j···mnp···p（i-1） b+j···pn！（262）注意Pni=1pi=b。质量指数函数τ（q）是以下方程的解：Γ（q，τ）=nXi=1pimqi jnτ=1。（263）紧接着τ（q）=-lnPni=1pimqiln.（264）0 1 2 30.0050.010.0150.02-6-4-2 0 2 4 6-15-10-50 0.5 1 1.5 2.5-0.50.5图9：由随机二项模型生成的时间序列的多重分形特性，其中m′1=0.3，p′=0.4，m′2,1=0.8，p′=0.6，在等式（261）中。（a） 随机二项测度的一种实现。（b） 质量指数函数τ（q）。（c） 多重分形奇异谱f（α）。广义维数函数dq和广义Hurst指数函数H（q）可由式（8）和式（9）显式表示。根据式（7a），我们有α（q），dτ（q）dq=-Pni=1Pimkilln miPni=1Pimkilln n.（265），因此，所有多重分形量都有解析表达式。在图9中，我们举例说明了随机二项测度及其多重分形性质。一个有趣的特征是负维f（α）<0的存在。我们将在稍后的第5.2.3.4.1.4节中讨论此问题。S-tochastic多项式模型：连续m乘子分布当乘子具有连续分布时，我们得到了一大类随机乘法级联模型【123】。著名的对数正态模型起源于流体力学[133447]。对于对数正态二项度量[104445448]，乘数遵循对数正态分布，其中对数乘数具有平均值λ和方差σ。质量指数函数为τ（q）=-σln 2q+λq- 1（266），奇点谱isf（α）=1-(α - λ） 2 ln 2σ。