（267）对于对数泊松二项测度[104，445，44 8]，乘数遵循泊松分布p（m）=e-γγm/m！（268），奇异谱isf（α）=1-γln 2+αln（γe/α）ln 2（269）对于对数γ二项测度[104，445，448]，乘数遵循γ分布p（m）=βγmγ-1e级-βm/Γ（γ），（270），其中β>0，γ>0，奇点谱为f（α）=1+γln（αβ/γ）ln 2+γ- αβln 2。（271）类似的随机级联过程，如正交小波系数二叉树上的W级联，也可以生成具有τ（q）和f（α）显式表达式的随机多重分形时间序列【323】。对于对数正态W叶栅[323]，我们得到τ（q）=-σ2 ln 2q-uln 2q- 1.（272）和f（α）=1-（α+u/ln 2）ln 22σ，（273），其中u和σ分别是ln | W |的平均值和方差。当f（α）=0：αmin，max=±√2σ√第2层-uln 2。（274）对于对数泊松W-级联[323]，我们得到τ（q）=λ（1- δq）- γqln 2- 1.（2 75）和f（α）=αlnδ+γln2 lnδ“lnαln 2+γ-λlnδ！- 1#+ 1 -λln 2，（276），其中ln | W |的规律与P lnδ+γ相同，λ是泊松变量P的平均值和方差。W-级联模型与常规级联模型之间多重分形表达式的差异源于m乘子分布的不同表达式。关于随机连续多重分形与许多其他乘数分布的讨论可以在REF中找到。[57449450]，其中出现异常多重分形行为。4.2. 资产收益多重分形模型（MMAR）4.2.1。基本MMAR模式lMandelbrot等人提出了一个开创性的资产收益多重分形模型（MMAR）[177]，也称为多重分形时间布朗运动（BMMT）[451]。

在MMAR模型中，对数价格被假定为布朗运动的从属过程和交易时间的多重过程。MMAR模型包含三个假设：假设1。X（t）是一个从属进程X（t）≡ BH[θ（t）]，（277）其中，t是时钟时间，B（t）是具有自确定指数H的函数布朗运动，θ（t）是随机的非递减交易时间。假设2。交易时间（或“subord inator”）θ（t）是定义在[0，t]上的多重分形测度u的累积分布函数，因此它是一个多重分形过程，具有连续、递减路径上的n和平稳增量。假设3。过程B（t）和θ（t）是独立的。交易时间θ（t）在MMAR模型中起着至关重要的作用，这可能导致价格X（t）具有多重分形。结果表明，在这三个假设下，过程X（t）是具有平稳增量和标度函数的多重分形[177]。τX（q）=τθ（Hq）。（278）当θ（t）是标准多重分形时，X（t）的增量具有厚尾[177452]。当H=1/2时，价格过程显示不相关的增量和波动性中的长记忆[1 77]。因此，H=1/2的MMAR模型能够再现财务重组的主要类型化事实【60】。假设2中正则多重分形测度u的自然选择来自随机乘法级联模型【104、123、177、445、448】。最近的实证结果表明，国际贸易持续时间确实具有多重分形性质[453–457]，这为假设2提供了有力的支持。Calvet等人详细发展了与θ（t）过程密切相关的乘法多重分形理论【445】。Fisher等人。

揭示了债务/美元（1992年10月31日至1993年9月1日的买入/卖出价格和1973年6月至1996年12月的每日数据）和日元/美元汇率数据中存在的多重分形标度律[458]。他们发现，M生成过程中模拟的多重分形数据与DEM/美元数据一致，但与日元/美元数据并不完全一致[458]。Calvet和Fisher在DEM/美元数据以及纽约证券交易所-美国证券交易所-纳斯达克价值加权指数（“CRSP Ind-ex”）、阿彻丹尼尔斯米德兰（ADM）、通用汽车（GM）、洛克希德-马丁（Lockheed-Martin）、摩托罗拉（Motorola）和联合航空（UnitedAirlines）（UAL）自19 62年至1998年的每日数据中证实了多重分形的存在以及与MMAR模型的一致性【104】。2000年1月4日至2014年7月3日，G¨unay利用四个新兴市场（克罗地亚、希腊、波兰和土耳其）的每日股票指数回报率，研究了对数正态MMAR模型与四个基准经济计量模式ls（GARCH、EGARCH、FIGARCH和MRS-GARCH）的比较表现【459】。他估计了五个模型的参数，并对每个模型进行了1000次模拟。他发现对数正态MMAR模型的平均标度指数与经验结果的偏差最小。Goddard和Olini以1993年1月至2012年2月期间12种外汇兑美元的每日收益率为例，在对数正态MMAR模型的框架下，提出了一种长记忆和多重分形的联合测试[460]。Batten等人修改了MMAR模型，用成交量刻度系列表示假设2中的交易时间【461】，即交易时间θ（t）由标准化成交量刻度Vt给出：Vt=Vt/TXt=1Vt，（279），其中Vt≥ 0表示时间t时的卷刻度数。

该模型的合理性基于这样一个事实，即交易量具有多重分形性质，这在不同的市场中是普遍存在的【183462–466】。他们研究了2006年1月5日至2007年12月31日的5欧元/美元现货报价和交易行情。他们发现，该模型可以在12小时预测水平上产生令人满意的VaR预测，并且在每日水平上表现出历史模拟方法和基准GARCH（1,1）位置标度VaR模型。对于MMAR模型的某些版本（包括最初的版本[177]）的构造，应强调一点。假设2 f或从属项θ（t）一般定义它，而不考虑因果条件。通常，多重分形度量是一种存在于所有时间的几何结构，没有特定定义或依赖于时间箭头。换句话说，多重分形测度预先存在时间。从属因子θ（t）可以模拟时间流的事实，源于构造该多重分形测度的累积分布函数。然而，在给定时刻的度量已经“知道”了其在结构中的未来值，例如纯粹的几何结构，而不考虑因果关系。虽然这些类别的mar模型可能是描述金融价格时间序列的良好候选者，但它们应该只考虑astoys，与实际市场没有严重相关性。事实上，金融市场模型应该遵守的最重要的属性是因果关系。否则，将在投资组合配置和优化、衍生品定价、投资策略等方面得出刺激性的结论。4.2.2. Poisson-MMAR模型在假设2中，当交易时间θ（t）为c时。d、 f。

对于[0，T]定义的泊松多重分形测度，我们得到了泊松MMAR模型或简称PMM[467]。PMM改进了MMAR，因为其分区子间隔的长度b不相同，因此结果度量是无网格的-可以将其视为具有马尔可夫潜在向量的随机波动率模型[467]。PPM导致了波动率的马尔可夫切换多重分形模型。4.3. 马尔可夫切换多重分形（MSM）模型4.3.1。MSM模型的框架Calvet和Fisher设计的马尔可夫切换多重分形（MSM）模型是一个具有多频率随机波动率的离散时间马尔科夫过程[467468]。回程过程被指定为Ri=σii，（280），其中随机变量是i.i.d.标准高斯N（0，1），σi是一种随机波动性，具有k个波动性成分M1、i、M2、i、···································································································································，i、 （281）其中σ是在假设乘数M1、i、M2、i、·····、M'k在统计上独立的情况下，返回i的无条件标准偏差。随机波动性成分Mk，i是随机多因子，是持久的、非负的和规范的，因此e（Mk，i）=1（282）对于所有i。为了简单起见，进一步假设乘数M1，i，M2，i，···················································································。在MSM模型中，将每个iod i中的挥发性成分叠加到1×’k向量中-→Mi=[M1，i，M2，i，····，M'k，i]（283）向量-→Mi被假设为一阶马尔可夫过程，因此定义了波动状态。

当statevector-→惯性矩-1在第一期确定- 1，每个k的i周期乘数Mk，ifor∈ {1，2，·······················································-1有可能1- γk，（284），其中mk，iis取自P（M）。MSM模型允许对分布P（M）和任何离散或连续分布（E（M）=1定义的n M）有多种规格∈ (0, ∞) 可以利用。引入两个参数γ′k∈ （0、1）和b∈ (1, ∞), 跃迁概率规定为γk=1- (1 - γ′k）bk-\'k，（285）或等效γk=1- (1 - γ） 黑色-显然，γkis是k的单调递增函数，因此k值小的Mk，i对应低频分量，k值大的Mk，i对应高频分量。对于较小的γ和k值，公式（286）的阿泰勒多项式近似可得出γk≈ γbk-1.（287）因此，低频分量的跃迁概率大约以几何速率b增长，而高频分量的跃迁概率增长速率减慢。MSM模型可以产生金融资产回报的主要类型化事实。它包含多重频率波动，价格过程是多重分形跳扩散过程[469]。低频乘数的变化会导致波动率的不连续性和长记忆性，高频乘数会产生大量的异常值，从而导致收益率的厚尾，而乘法过程的层级级联确保了r e转折中多重分形的出现。价格过程的多重分形谱完全由乘数的概率分布p（M）决定【104】。4.3.2.

二项式MSM模式lCalvet和Fisher提出了一个简约集合p，其中概率分布p（M）是一个二项分布，随机变量取M值∈ [1、2]或2- m级∈ [0，1]具有等概率，这是一个二元模型[468]。对于二项式MSM模型和其他具有离散乘数分布的MSM模型，可以通过最大似然估计（MLE）方法估计模型参数（σ、b、γ′和P（M）中的参数），因为可以通过比较具有不同自由参数数量的不同MSM（k）模型的可能性，使用Akaike信息准则（IC）或贝叶斯信息准则（BIC）来表示闭合形式的可能性，并确定频率k的数量【468】。Calvet和Fisher利用德国马克（D EM）、日元（JPY）、英镑（GBP）和加元（CAD）30年来对美国的每日汇率，估计了具有四个参数和1000多个州的二项式MSM模型。他们发现，无论是在样本内还是样本外，MSM模型都优于基准经济计量模型（GARCH、马尔可夫转换GARCH和FIGARCH），并且在10到50天的时间段内，预测精度获得了相当大的提高【468】。使用1969年1月至2004年10月的两个股票指数（道琼斯综合指数65平均指数和日经225平均指数）的每日数据，1973年3月至2004年2月的两个外汇汇率（英镑和澳元兑美元），以及两个美元汇率。S、 从1976年6月至2004年10月，国债利率（TB-1y和TB-2y）通过估计和比较二项式MSM模型的经验数据和模拟数据的广义赫斯特指数SH（q=1）和H（q=2），发现e估计模型捕捉到了数据的时间依赖性【470】。4.3.3.

对数正态MSM模型Lux研究了对数正态MSM模型【471】，其中乘数由参数λ和S的正态分布随机抽取确定：P（M）=MS√2πexp-（ln M+λ）2S！。（288）根据正则条件（282），我们得到s=2λ。（289）因此，对数正态SMS模型有四个参数。Lux提出了一种带有线性预测的广义矩量法（GMM）估计器，用于模型校准，该估计器可应用于具有任意数量波动性成分的任何连续分布。他的数值实验表明，GMM估计对于二项式和对数正态模型表现良好。通过对数范数a l MSM模型的结构函数定义的质量指数函数τ（q）可以明确表示为[224]τ（q）=q- 1.-q-q(λ - 1) = -λ - 1q+λq- 1.（290）参数λ可通过将公式（290）拟合到经验获得的τ（q）曲线来确定。根据数据，Eisler和Kert\'e sz表明，MF-DFA方法提供了一个很好的λ估计值，该值仅略低于GMM估计值[224]。根据勒让德变换（参见参考文献[472]），α（q）=-λ - 1q+λ（291）和f（α）=1-(λ - 2α)4(λ - 1). （292）我们看到α（q）处的th是q的无极限线性函数。当q≥ λ/(λ - 1） ，我们有α≤ 0.对1979年1月1日至2004年12月31日的五种汇率（DEM、英镑、CND、日元和瑞士法郎兑美元）的实证分析表明，对数正态MSM模型的表现与二项式MSM模型相当[471]。O'swie,cimkaet al.利用1999-2004年间波兰WIG20指数的1分钟高频数据发现，对数正态MSM模型能够产生一些主要的程式化事实，包括厚尾分布、相关性缺失和retur n时间序列中的多重分形[472]。基于与参考中相同的数据设置。

[470]发现，对数正态MSM模型的表现与二项式MSM模型几乎相同，再现了对数价格的广义赫斯特指数H（1）和H（2），这表明二项式MSM模型的简约性说明足以进行实证分析[473]。对于小q值的绝对收益和平方收益也得到了类似的结果，但对于大q值则没有得到类似的结果【474】。在这些工作中，广义Hurst指数H（q）的确定是基于结构函数法。如果使用其他多重分形分析，如MF-DFA，情况可能会有所改善【224】。4.3.4. 其他扩展从对数正态MSM模型生成的时间序列具有消失的杠杆自相关[224]，这与金融时间序列中众所周知的杠杆效应不一致[60]。利用参考文献[4 75]中的思想，Eislerand Kert\'esz通过引入杠杆自相关[22 4]：ri=exp扩展了MSM模型-Xi′<isign（i′）K（i- i′）σii，（293），其中K（i）是一个核函数，它在适当的极限下定性地是杠杆自相关函数[224475]。显然，这种扩展可以应用于其他随机波动率模型。或者，将MSM波动率纳入Heston模型的平方Root波动率过程中的均值回归项【476】，由于波动率的高斯更新和Heston模型中股票价格的高斯创新之间的相关性，杠杆效应自然出现【477】。单变量MSM模型可以扩展到双变量和多变量MSM模型，以研究两个或多个金融资产之间的波动性变动【478】。

对于具有离散多重分布的多元MSM模型，可以推导出闭式似然，并且可以通过模式速率大小状态空间的最大似然和高维情况下通过粒子滤波器的模拟似然来进行参数估计【478】。参考文献[471]中提出的GMM估计方法也可设计用于具有离散或连续m乘子分布的多变量EMSM模型[479]。这种模式l是同质的，可以通过允许波动率c组分之间的相关性形成非同质双变量MSM模型来改进，以获得更好的风险预测能力[480]。其他扩展包括描述现货和每周期货价格动态的Cop ula MSM模型以及更一般的其他金融资产对[481]，创新遵循学生分布的MSM-t模型[482]，创新遵循偏态分布的M SM-偏态t模型[483]，利率水平MSM模型包含了利率中观察到的众所周知的水平效应[484]，修改后的赫尔-怀特利率模型，其中短期利率的波动由MSM模型驱动[485]，气候事件引起的保险索赔的周期性MSM模型，其中术语设置为一年中相应月份观察到的索赔的平滑平均值[486]，实现的挥发性非正常MSM（RV-LMSM）模型，其中非RVσiin公式。

（281）被已实现波动率（487）和MSM持续时间（MSMD）模型所取代，用于分析金融市场的交易持续时间（488-490）。总的来说，MSM类型模型的不同规格在捕获金融变量的多重分形行为、预测金融波动性和衡量市场风险方面有着比较好的表现，平均表现优于基准经济模型。4.4. 多重分形随机游走（MRW）4.4.1。最初的mod elBacry等人引入多重分形随机游走（MRW）来模拟随机波动率，其中波动率可以减少为长记忆过程的指数[407]。MRW模型的灵感来自金融市场因果级联的开创性思想，其中还引入和研究了资产组合的多元多重分形描述[440441]。MRW模型具有可解的多重分形特性[396407491]，这与资产收益的对数范数连续级联模型的o类相似[492–494]。MRW可以扩展到多变量MRW【396】。Bacry和Muzy f urther证明了新南威尔士州MRW和MMAR两个定义之间的等价性【492】。考虑多重分形过程X（t），其离散过程在离散时间k采样t是Xt（t）=Xt（it） ，其中i=1，···，N。增量δ德克萨斯州t（it） MRW的构造为δ德克萨斯州t（it） =εt（i）eωt（i）（294）和相应的MRW isXt（t）=NXi=1δ德克萨斯州t（it） =NXi=1εt（i）eωt（i）（295），其中X（0）=0，N=t/t、 这里，εtandω皮重独立nt，ε这是一种方差为σ的高斯白噪声t、 而ωtis高斯及其协方差isCω(t、 s）=cov（ωt（i+s），ωt（i））=λlnρt[s]（296），其中ρt[s]=（t（s+1）t、 s+1 6吨/t1，否则为（297），因此方差为Var（ωt（i））=λln（t/t） 。

确保X的方差当t型→ 0，我们有e（ωt（i））=-Var（ωt（i））=-λln（T/t） 。（298）可以得出X的方差t（t）是σt，它独立于t、 因为ω由于是高斯分布，该模型是对数正态MRW模型，可以推广到其他分布[492495]。证明了X的结构函数的标度指数t（t）为[407]ζ（q）=-λq++λ！当标度s小于N时，q（299）。当s>N时，我们得到ζ（q）=q/2。（300）换言之，在后一种情况下，ω这是一种高斯白噪声，因此δ德克萨斯州t（it） 也是高斯白噪声。因此，Xt（t）是布朗运动。Ludena为经验数据提供了ζ（q）的近似置信区间[496]。可以使用广义矩法[493494]或近似最大似然法[497]估计MRW模型。Bacry等人[407]表明，上述结构具有明确且唯一的时间连续极限，使得MRW是分数布朗过程的单二次多重分形推广，具有一个良好的非连续极限（类似于定义Wie-ner过程的离散随机游走的连续极限）。Sornetteet al.【498】提出了一种方便的MRW替代表示方法，即长内存进程的指数，具有特定的不对称性1/√t衰减核，已推广到任意幂律核[499500]和内生自激过程[501]。MRW模型能够捕捉财务回报的多重分形性质，例如1900年至2003年的每日道琼斯工业平均指数回报[502]，以及1988年至1999年期间的日内标准普尔500指数未来指数[493]。它还预测了金融回报的幂律尾分布[493503]。4.4.2.

分数MRWIfε由于是分数高斯噪声，MRW变为多重分形分数随机游动（MFRW），标度指数为[407]ζq，H=（[qH- q（q- 2） λ]/2，如果s 6 TqH，如果s>T（301），MFRW的数学处理可在参考文献中找到。[504–507]. MFRW模型在经济物理学中的应用是有限的，因为金融回报通常是不相关的，因此≈ 0.5. Rypdal a和Lovsletten提出了两种均值回复MRW模型，其中，反相关要么通过漂移项（如在Ornstein-Uhlenbeck过程中）建模，要么通过使用分数高斯噪声（H<0.5）对新息进行建模【508】。他们应用这些模型来估计1992年5月4日至2011年8月27日挪威克朗市场1小时电力现货价格的多重分形行为。4.4.3。S kewed MRW MRW是一个有用的金融模型，它根据波动记忆中的某些属性进行验证，但没有针对股市回报的完全真实描述进行验证[509]。为了捕捉过去价格回报和未来波动率负相关的杠杆效应，Pochart和Bouchaud提出了倾斜多重分形随机游走（SMRW）[475]：δ德克萨斯州t（it） =εt（i）膨胀ωt（一）-Xj<iK（j，i）εt（j）（302）其中核K（i，j）衰减为幂律K（j，i）=K（i- j）-βt型-β′（j＜i）。（303）他们得出（ζ（2q）=q- 2q（q- 1） λζ（2q+1）=q+1- 2qλ- β（304）SMRW模型已用于理解期权定价中的波动率微笑【475】。参考文献【510】提供了从1990年12月3日至2010年2月15日五个股票市场每日数据（CAC 40、DAX、FTSE 100、标准普尔500和道琼斯工业平均指数）的进一步数学处理和实证验证。4.5. 长内存进程的指数4.5.1。MRWSornette等人的替代表示。

提供了MRW的替代表示形式[498]，δtX（t）=Ztt-tdW（t′）eωt（t′）（305），其中δtX（t）=X（t）- X（t-t） 是增量，W（t）是单位扩散系数的维纳过程，ωt（t）是服从自回归方程ω的对数波动率t（t）=ωt+Zt-∞η（t）ht（t- t′）dt，（306）式中ω这是一个常数，η（t）表示以标准高斯白噪声和记忆核h的形式流动的信息过程t（·）是一个因果函数，确保系统不是预期的。因此，ω（t）表示市场对传入信息的响应η（t），直到时间t。在时间t，ω的分布t（t）是平均ω的高斯分布tand方差Vt=R∞h类t（t′）dt′=λlnT e3/2t型. ω的协方差t（t），Ct（s）t） =Z∞h类t（t）ht（t+s|t |）dt，（307）完全规定了Random过程。什么时候它足够小，我们有t（t′）~ hrλTt′用于t型<< t′型<< T、 （308）随机波动率的长期依赖性和多重分形是由等式（308）中记忆核的缓慢幂律衰减引起的。与本综述中报道的f（α）域多重分形的技术和证据不同，从上述MRW的表示可以得出，多重分形也有一个很好的时间特征，即有一个指数p（a）的全谱，描述了波动率从振幅a峰值1/tp（a）的松弛[498]。这种多重分形也存在于地震的多重分形应力激活模型中【511，512】，该模型已在许多目录中得到证实【513，514】，以及金融市场中的外部冲击和单一的多重分形响应【48，49】。4.5.2. 准多重分形模型Saichev和Sornette将MRW模型推广到一大类连续stoc-hastic过程[499]。类似于等式。

（305），增量过程为δtX（t）=Ztt-tκeω（t′）dt′（309），其中ω（t）表示为ω（t）=Zt-∞h（t- t′）dW（t′）（310）通过维纳过程W（t）和幂律核h（t）~ h类1+tl-0.5-^1H（t），（311），其中≥ 0和显微镜特征标度l 正则化传播函数中幂律的奇异性H（t）在t=0时，H（t）是确保因果性条件的Heaviside函数。特殊的c aseД=0 r e覆盖了RW模型，并在整数比例下进行了截断。准分形过程的规范可以计算出来，并且可以发现，当ν>0时，在大范围的无量纲尺度上存在多重分形[499515]。Saichev和Filimo nov考虑了准多重分形模型的离散版本，并提出了一种确定准m多重分形谱的新方法[500]。4.5.3. S elf激励多重分形模型Filimonov和So rnette引入了自激多重分形（SEMF）模型，其中过程的绝对增量表示为过去增量长记忆的指数【501】。SEMF模型具有与指数非线性相结合的自激机制，因此过程的未来值明确取决于过去的一秒。自激捕获了金融市场内生自组织特性的微观起源，如级联信息流，先前的大地震和“反射”相互作用引发的余震。在不损失一般性的情况下，我们表示时间增量t型→ 1.在离散时间t=0、1、2、····、n中，SEMFprocess读取Xn=Pni=0Xi，其附件由以下关系给出Xn=σηnexp-ωnσ, （312）式中ωn=n-1Xi=0希恩-我-（313）其中，核具有幂律形式hn=hn-0.5-φ. （314）随机变量η为i.i.d。

高斯分布，零me an和单位方差表示外部新闻流，参数σ表示外部新闻的影响程度，并设置Xnand Xn。等式（313）中的总和确保发电机s是自激的。discr e te SEMF过程可以被视为GARCH过程最简单的多重分形一般化[97]，事实上，它与EGARCH和其他变量有着密切的关系[98516]。新闻的外部流动可以是正面的也可以是负面的，控制着回报的符号。绝对回收率（或挥发率）由所有过去回收率确定，其衰减重量是其到现在距离的函数。SEMF过程可以再现金融时间序列中发现的标准样式化事实，如收益分布的厚尾、收益的无自相关性、平方增量的长期相关性、多重性和杠杆效应，这些对参数的规格和记忆核的形状都很稳健【501】。连续时间SEMF过程可以用广义随机积分微分方程形式化定义[501]：dX（t）=σexp(-σZt-∞h（t- t′）dX（t′）dW（t），（315），其中dW（t）是正则维纳过程的增量，h（t）是一个常见的核函数。表达式（315）仅为离散式（312）的形式符号，在以下情况下t型→ 当核中存在h（t）=0这样的不变性时，我们检索标准随机游动。4.6. 基于代理的模型一个有希望的方向是通过使用基于代理的模型（ABMs）的计算实验来理解金融时间序列中明显多重分形的微观起源。在这里，我们对这些努力进行了省钱的调查，而没有深入到模型的数据中。4.6.1.

渗流模型金融市场的渗流模型基于意见集群的随机形成，具有集群合并和拆分的不同规则[517518]。使用结构函数pRoa c h对收益率进行的多重实际分析表明，标度指数函数ξ（q）随模型参数而变化，适当确定的参数能够产生与DJIA指数相似的结果【519】。为了探索人工金融时间序列中多重分形行为的出现，已经研究了许多渗流模型，如随机元胞自动机模型【520】、无标度网络上的粒子簇聚合模型【521，522】、Sierpinski地毯格上的渗流模型【523】以及渗流模型的其他变体【524–529】。4.6.2. S pin模型S pin模型，尤其是Ising模型，也被用来模拟金融资产的价格信息过程[530]。在一个复杂的伊辛模型中，索内特和周将全球新闻纳入了所有代理、相邻代理之间的模仿和个体代理的特殊偏好，并对全球新闻的预测力进行了非理性解释【48，49】。模型c可以以自组织的方式生成多重分形金融时间序列。此外，还有Ising模型，适用于有做市商的股票市场[531-533]，Sierpinsk i地毯格[534]，以及小世界网络[535536]。这些模型也成功地产生了多重分形回报。4.6.3. 经验订单驱动模型Mike和Farmer介绍了订单驱动市场的经验行为模型[537]，称为MikeFarmer模型[538]，其中基本规则（订单方向的长记忆和相关订单价格的学生分布）基于从库存订单流数据中提取的统计规则。

Gu和Zhou通过进一步考虑相对订单价格的长记忆，改进了Mike-Farmer模型[539]。Gu Zho u模型能够在生成的收益序列[539]和收益的重复间隔[540]中产生多重性。4.6.4. Other modelsThomp-son和Wilson发现，Farmer等人的零智力模型[541]无法在产生的回报中产生多重分形，但正智力模型可以[542]。Crepaldi等人指出，尽管通常的少数群体博弈不会产生多重分形回报，但非RGODICPhase中的非同步少数群体博弈可以产生多重分形回报[543]。金融时间序列的多重分形行为也可以在其他类型的模型中观察到，如艺术交易商市场模型【544】、双拍卖模型【545】、随机votermodel【546547】、随机交互接触模型【548549】、流行病模型【550】、具有原教旨主义代理的d战略模型【551552】。5、性质及重要事项5.1。多重分形性质的确定5.1.1。计算精度在大多数多重分形分析中，我们需要计算高阶矩。可能会出现计算精度问题。以配分函数法为例。当m（s，t）<< 1和q>> 1、配分函数χ的对应值太小，导致计算机内存不足。为了克服这个问题，我们可以计算配分函数lnχq（s）的对数，而不是计算配分函数本身。通过简单计算，我们得到了[165]：lnχq（s）=lnXt“m（s，t）mmax×mmax#q=lnXt”m（s，t）mmax#q+q ln mmax，（316），其中mmax=maxt{m（s，t）}是框中m（s，t）的最大值。5.1.2. 如果N/s不是整数，那该怎么办多重分形分析处理不同尺度下时间序列的标度行为。

最常用的方法是将长度为N的时间序列划分为s尺度的非重叠窗口。因此，N/s不是整数并不常见。如果使用小于s的窗口，可能会得到错误的结果，如f（α）>1，这在实证研究中有时会出现。通常的策略是从两侧覆盖时间序列，只保留大小为s的整型[N/s]框用于每个覆盖[139]。或者，我们可以采用san d盒方法的思想【553，5 54】，在该方法中，不覆盖时间序列，而是使用大小为s的MSBox，其中盒的中心随机分布在时间序列上【555】。以MF-DFA系列为例，第Q个总体函数为FQ（s）=MsMsXv=1[Fv（s）]qq、 （317）该应用程序在减少幂律标度周围的波动方面具有额外的优势，尤其是当出现内在对数周期振荡时，如在二项式测量中[2 74]。5.1.3. q的范围和矩的收敛性多重分形分析的首要条件是矩的估计精度。当| q |较大时，估计的力矩通常不可靠，因为力矩的经验被积函数xqPr（x）发散，其中x是测量值，Pr（x）是其在配分函数approach中的概率分布【313】。在湍流数据[229313]和金融数据[312]中，这种发散现象是经验性的。类似地，当| q |较大时，估计的导数dFq（s）/ds在小尺度下显著偏离理论值，并在MF-DMA中影响大尺度[556]。我们认为，发散现象在多变量分析中普遍存在。当q越大，时间序列长度N越短时，矩的估计精度越差。

不幸的是，没有关于被积函数的收敛性保证的最大q的长度N依赖性的理论结果。根据湍流数据，Zhou等人估计N（q=8）≈ 6·10和N（q=9）≈ 5 ·10[229]. 对于低频金融时间序列，如每日收益率，我们建议q的范围应为| q |≤ 6，甚至更小。5.1.4. 标度范围的确定如果时间序列是分形或多重分形的，则类矩量和标度之间存在幂律标度关系。在实践中，采用Fq~ 以式（112）中的sh（q）为例，标度指数通常是在标度范围内用ln Fq（s）与ln s的线性ar最小二乘回归来估计的【smin，smax】。换言之，缩放定律仅适用于缩放范围。标度范围应足够宽，以确保存在标度侵入特征【557–560】。在许多情况下，标度范围的变化会导致估计值的剧烈变化，有时会导致非常奇怪的奇异谱形状【561，562】，其中一些被称为“反向多重分形”【291】。因此，由于标度范围在标度指数的估计中起着至关重要的作用，人们已经做出了许多努力来确定它。然而，这仍然是一项尚未完全解决的艰巨任务[289]。实际上，最常用的方法是打眼球。Wang等人认为，标度律在标度范围内有效，但在标度范围外的两个范围内无效，因此可以通过最小化残差的均方根值来用三个幂律来划分油田，一些研究人员称之为三段法[563]。由于两个额外幂律的假设仅仅是经验的，所以这种方法并没有被广泛采用。

然而，当Fq（s）表现出与任何金融时间序列不同的交叉现象时【165、458、564–568】，可以使用该想法同时确定交叉尺度s×和两个缩放指数H【562、569】。我们将q=2的二次幂律改写为ln F（s）=c+Hln s，s≤ s×c+Hln s，s>s×。（318）为了估计三个参数s×，Hand H，我们最小化以下函数o（s×，H，H，c）=Xsj≤s×hln F（sj）- Hln sj公司- ci+Xsj>s×hln F（sj）- Hln sj公司- ci。（319）其中，由于两条直线在s××处相交的约束，CI不是自由参数，即c+Hln s×=c+Hln s×。（320）此方法不允许确定两个缩放范围的左右截止值。如果我们结合其他方法，就可以确定左边界【570571】。或者，Fang et a l.建议对第二个范围使用多项式函数，并将第一个范围作为标度范围，但固定了smin=1[572]。Ge和Leu Ng研究了一种基于统计推断的交叉尺度识别方法[573]。Xiong et a l.认为，最佳右截止点Smax可以根据ln Fq（s）和ln Fq（s）曲线的交点来确定，其中Qan和Qa分别是调查中q的最小和最大正值【574】。候选右截止点确定如下Ln Fq（smax）- ln Fq（smax）=分钟{ln Fq（s）- 项次Fq}。（321）为了避免被困在局部o ptima内，要求smax周围的变化应足够大：ln Fqj（smax+1）- ln Fqj（smax）ln Fqj（smax）- ln Fqj（smax- 1） >10，（32 2），其中j=1和2。该方法适用于交通流量时间序列【574】。为了检验该方法是否适用于其他时间序列，需要进行大量的数值实验。Berntson和Stoll提出了一种基于自相似性检验的距离侵蚀方法[575]。

从最大范围开始，我们对数据进行拟合并进行自相似性单独测试，将二阶多项式拟合到残差图，并将显著的二阶多项式作为自相似性的抑制信号。如果自相似性被拒绝，我们会侵蚀端点以缩短数据，并重复验证和测试程序，直到保留很少的点来进行回归，或者d a ta在剩余范围内显示出自相似性。建议通过三种方式进行侵蚀：（1）移除左端点，（2）移除右端点，以及（3）移除其他端点。取剩余最大对数范围作为标度范围。有趣的是，Xia等人提出了一种基于il不等式系数的范围扩展方法【576】。它从标度序列中心的两点开始，计算出剖面的非线性系数δ（si，sj）。如果δ（si，sj）小于预先设定的阈值δ，我们继续下一步。我们包括nea剩余左标度si- 如果δ（si）为1，则为缩放范围- 1，sj）<δ（si，sj+1）和δ（si- 1，sj）<δ或最接近缩放范围的右标度sj+1，如果δ（si- 1，sj）>δ（si，sj+1）和δ（si，sj+1）<δ。当δ（si，sj）>δ且最终标度范围被视为最优时，迭代停止。Fei等人提出了另一种自动识别最佳缩放范围的方法【577】，该方法通过穷举或蛮力的方法来实现，以获得所有潜在缩放范围【si，sj】内的数据的残差均方根值，其中sj/si大于预设常数，并选择具有最小均方根值的缩放范围。同样，Gulich和Zunino提出了一个基于Brute force算法的标准，以系统地确定DFA和MF-DFA中的最佳拟合区域[578]。

虽然该算法的研究主要集中在DFA和MF-DFA上，但它显然可以应用于其他多重分形分析。首先确定一组在对数坐标中均匀分布的标度{si}ni=1。一个经验建议是使用s=4和sn=【n/4】，这包括了Gr e ch和Mazur的标度范围【579–581】。接下来，在r平方统计（或确定系数）Ri j中，对每一对【si，sj】进行线性回归，以观察ta。为了确保标度律不是虚假的，标度范围应该是很宽的enoug h【557】。因此，缩放范围宽度ln sj-ln应该大于一个预先固定的常数，比如说在m量级上。具有最大Ri JI的一对被视为最佳缩放范围【si，sj】。这两种方法的生物量基本相同。对于多重数据分析，on e获得不同q值的平均值【578】。此外，Leonar duzzi等人设计了一种基于非参数自举的过程，以实现标度范围的自动选择，这也属于穷举法的范畴[582]。Wu建议，分形维数估计中的合格项应满足三个标准[583]：（1）ln Fq（s）和ln s之间的线性b显著；（2） 每个点的最大偏差不超过fit残差标准偏差的两倍；以及（3）估计的标准偏差小于预设值。经过详尽的计算，所有合格产品的最大范围（最大ln sj- ln-si）被用作最佳缩放范围e【583】。因为这种方法不要求最佳的拟合优度，所以不需要对ln-sj进行约束- 国际单位制。

对于多重分形分析，我们建议st修改第三个标准，要求估计值的相对偏差小于预设百分比，例如5%。q=2的最佳标度范围用于其他q。然而，当存在交叉现象或大q的标度范围变窄时，大q的交叉变得明显，但q=2的交叉并不罕见。因此，最好根据最大q值确定最佳标度范围。或者，可以确定每个q的最佳缩放范围，其中应设置额外约束，确保不同q的缩放范围至少部分重叠。我们可以进一步组合交叉现象的多元线性回归（318）。Grech和Mazur认为，标度范围e与分析时间序列的长度N、由时间序列的Hurst指数H描述的长记忆水平以及由确定系数或等效u=1量化的拟合优度有关- R【579–581】。他们对DFA和DMA中标度范围的行为进行了出色的分析，并获得了其固定置信水平的表达式，即与r的假定标准相匹配的时间序列的百分比。在他们的分析中，他们将smin固定为8。对于DFA，发现Smax（u，N，H）=[（aH+a）u+a]N+a，（323），其中a=3.40，a=4.16，a=0.0097，a=-96表示信任级别97。5%，a=3.95，a=5.03，a=0.0070，a=-106对于c信任级别95%[579]。

对于DMA，发现Smax（u，N，H）=（D+DH）Nη-ηHuξ-ξH，（324），其中，对于97.5%的置信水平，D=0.558，D=0.640，η=1.130，η=0.135，ξ=1.049，ξ=0.657，对于95%的置信水平，D=0.400，D=1.125，η=1.146，η=0.163，ξ=0.975，ξ=0.593【580】。在大多数研究中，研究人员采用Kan te lhardt e t al[139]建议的smax=N/4，这对于大多数时间序列来说太大了，应该使用更小的Smaxt来确保更准确地估计H[581]。当我们估计给定时间序列的赫斯特指数时，我们首先选择好的指数和信心水平（例如97.5%或95%）。通过这种方式，smax（u，N，H）的表达式是确定的，但它的值不是确定的，因为H是未知的。接下来，我们扫描不同的标度（表示为s′），并通过拟合标度范围内的幂律来获得H的估计值[8，s′，这是s′的函数，即^H（s′）。缩放范围的“最佳”右截止值确定如下：smax=mins′| smax（u，N，^H（s′））- s′，（325），H的估计值为^H=^H（smax）。（326）当我们形成MF-DFA或MF-DMA时，我们首先确定smax，并对所有Q值使用相同的缩放范围。当然，这种自动程序需要进一步验证，因为它可能有多个Smax值以及多个^H值。此外，smin=8的选择相当随意[289]。上述方法基于数据的直接拟合。另一类方法是基于确定局部导数中的流动区域。在经验分析中，经常使用目视检查[289556584585]。Hong和Hong于1993年提出了最早的方法之一，称为自相似比率算法[586]。虽然alg算法设计用于确定分形维数估计中的标度grange，但它很容易用于多重分形分析。

自相似比率Ri定义如下Ri=Fq（si-1） Fq（si）=si-1si！h（q）。（327）如果对数标度{ln si}均匀分布，则si-1/Si是常数t，Ri也是每个q的常数。对于每个q，如果Ri=Hri（或Ri- 国际扶轮社-1=0）具有统计意义，该范围是一个合格的缩放范围。那么，w idestqualified scaling range就是最佳缩放范围。我们注意到，Ri本质上等价于局部导数ln Ri/ln（si-1/si）。Li等人通过移除局部导数远离平均值的点来确定标度范围e【587】。Du等人提出了一种关于局部导数的穷举方法，其中定性标度范围应确保导数与对数标度之间的相关系数大于0.99【588】。在所有合格的标度范围中，选择导数方差最小的标度范围作为最佳标度范围。Ji等人通过结合K-means算法和apoint斜率误差算法开发了一种算法【589】。此外，我们还可以在局部导数时间序列中进行曲线性测试，如参考文献[575]所示。Zhou等人建议考虑二阶导数，因为它们在escaling Range[590]范围内应该为零或接近零，这让人想起测试Ri- 国际扶轮社-自相似Ratio方法中的1=0【586】。

该方法使用模拟退火遗传模糊C均值聚类算法将数据分为三组：正函数、零函数和零二阶导数水平线周围的负函数。同样，也可以采用为ln F（s）及其一阶或二阶导数开发的其他识别方法，以开发基于二阶导数的新缩放范围识别方法。一个相关但需要考虑的问题是估计指数[591]的准确性，在确定标度范围e.5.1.5的过程中也应考虑到这一点。积分矩和阶乘矩对于许多时间序列可能会出现一个严重的问题，即矩对时间尺度d的标度依赖性偏离了渐近行为。当时间序列不够长时，这种情况通常与最终尺寸效应同时发生【592】。此外，由于中心极限理论所描述的自相关和非渐近收敛的影响，连续过程的离散化也会导致偏离渐近行为【372】。为了克服在测量金融时间序列的一般Hurst指数时的这些困难，Buonocore、Aste和Di Matteo引入了一种基于结构函数的综合估计方法[372]。理论上，对于单分形或多重分形过程，结构函数K（q，s）相对于式（56）中表示的时间尺度s的比例可以重写为ln K（q，s）=ζ（q）ln s+A，（328），其中lnk（q，s）是因变量，lns是自变量，A和ζ（q）和d A是要估计的模型参数。当应用于实数据时，等式。

（328）仅渐近成立，且相关函数g（lns）应为常数，即lnk（q，s）=g（lns）+ζ（q）lns+b，（329）假设z∞g（lns）d lns=c（330），积分E q.（329），得到z∞ln^K（q，s）d ln s=ζ（q）（ln s）+b ln s+c，（331），其中^K（q，s）是从不同时间尺度的实时时间序列经验计算的。估算过程如下【372】。对于each q，我们确定自相关长度smax，对s的经验ln^K（q，s）进行积分∈ [1，smax]，并通过式（330）中定义的c（s）的行为确定Sminb。取中间值[smin，smax]作为标度范围，我们可以确定标度范围内的标度指数。然后检查校正函数g（lns）是否收敛到0，其积分是否收敛到常数。通过估计标度指数ζ（q），我们将抛物线和四次曲线拟合为公式（332）和公式（333），并选择最佳网络以获得ζ（q）的函数形式。对不同的标准ia重复该过程以确定Smax，然后选择具有最佳拟合优度的标准。或者，邱等人提出了基于无偏因子矩的矩估计[593]。p模型的数值分析（他们称之为概率再分配模型）验证了新方法可以从数百个记录中准确提取多重分形行为，并且优于基本配分函数方法、MF-DFA方法和WTMM方法。他们将该方法应用于1995年至2015年上海股市SSEC指数在3年滚动窗口内的日波动率，揭示了多重分形行为的有趣动态。

还发现，1995-1997年和2007-2009年两个包含亚洲危机和最近一次大崩盘的窗口中的分区函数在更广的标度范围内服从相对较好的幂律标度。虽然通过积分d矩的估计方法是基于结构函数法，而基于阶乘矩的估计是基于配分函数法，但这两种方法都很有前景，因为它们与其他多重分形分析方法的关系很简单。剩下的就是检查他们的表现。5.1.6. 假设τ（q）（或ζ（q））和f（α）的形式在一些研究中，研究人员拟合了τ（q）、ζ（q）或f（α）的经验曲线。如果时间序列可以在乘法级联中建模，我们可以使用具有已知多重分形特性的数学模式ls，如第5.5.1节所述。还有其他与任何潜在多重分形机制无关的假设。为了给出标度指数的平滑表示和多重分形度的定量评估，Buonocore等人建议对ζ（q）使用多项式表达式[372594]。二次（或抛物线）表达式为ζ（q）=Bq+- 2B！q（332），只有一个参数B<0，四次多项式表达式为ζ（q）=Dq+Cq+3C8Dq+- 8D- 4C级-3C4D！q（333），只有两个参数C和D<0。这些项的系数满足以下约束条件：ζ（0）=0<=> τ(0) = -1, (334)ζ(1) = 2 <=> τ（1）=0，（335）ζ′（q）<0<=> τ′′（q）<0。（336）多项式的拟合在q范围内进行≥ -1，因为实际周转时间序列通常具有尾部指数tγ>2的胖尾[20，595，596]，因此具有q<- 1不存在。

类似地，ζ（q）的累积量展开表明，在乘法算子[441]或小波导函数[264597]的多重分形框架下，ζ（q）的形式为有限多项式。对于二次表达式，基于式（7）中的勒让德变换，我们得到α（q）=2Bq+（0.5- 2B）和f（q）=Bq+1。紧接着f（α）=（α+2B- 0.5）4B+1。（337）我们可以看到，当q>0.5时，α可以是负的- 2B）/2B，αmin和αmax（当q→ ±∞) 不存在，最有可能的奇点是α=0.5- 2B，f（α）可能为阴性。当q→ ±∞, 如P模型，f（α）的形式可以假定d为[598]f（α）=α- αminα- αmin！γαmax- ααmax- α!γ（338），其中γ、γ、αmin、αmax和α=α（1）是一组表征特定f（α）cu-rve的参数。由于f（α）的几何性质，0<γ，γ<1。结合ddαf（α）| q=1=1和α=f（α），我们得到γα- αmin-γαmax- α=α. （339）因此，f（α）曲线有四个频率参数。也有为f（α）假设的二次和四次函数形式【599600】。如果我们考虑ddαf（α）| q=0=0，则线性项必须消失！5.2. 一些重要属性5.2.1。离散尺度不变性和对数周期icityFractals和多重分形测度具有尺度不变性【124】。标度不变性表征了两个不同标度s下可观测O值与λs之间的关系b：O（s）=κO（λs），（340），其中λ是磁化因子或标度比，dκ是可观测的相应标度因子。连续比率λ导致连续尺度不变性（CSI），其中等式（340）适用于λ的任意正实值。在许多自然、技术和社会系统中，都存在一个特征量表，因此Eq。