（340）不仅是CSI所暗示的幂律，而且其形式为[601]O（s）=s-Dψ（s），（3 41），其中D=lnκ/lnλ是分形维数，ψ（λs）=ψ（s）是周期为lnλ的对数周期函数（即lns的周期函数）。在这些情况下，O（s）服从离散尺度不变性（DSI）的对称性，其中系统仅在磁化因子λ的特定值的整数次幂下具有尺度不变性，对数周期振荡的符号修饰幂律标度关系。对数周期幂律奇异性（LPPLS）信号已在金融时间序列中观测到，并已用于识别泡沫和反泡沫以及预测转折点【40】。这已经应用于日经225指数的反泡沫（30）、美国房地产泡沫（39）、中国股市的反泡沫（602）和泡沫（42）以及2008年的原油泡沫（603）。除了LPPLS在分形时间序列中的普遍存在【604】之外，Zhou和Sornette还揭示了DSI在某些多重分形测度中的存在，并通过MF-PF和MF-X-PF的方法将多重分形m e测度连接起来【274】，例如多重实际二项度量的去趋势化函数，尽管作者可能没有注意到这一点【139、307、429】。在一部有趣的作品【605】中，肖等人。1998年12月22日至2010年4月30日，使用对数周期振荡调制的p-owerlaw标度将去趋势互相关分析转换为一种新形式，并使用五个股市指数（道琼斯工业平均指数、富时指数、DAX指数、SSEC指数和日经指数）、上海股市的板块和道琼斯工业平均指数的十个板块说明了这一想法。

如果LPPLS存在于DCCA中，人们可以合理地预期它会出现在MF-DCCA演示文稿中。在不同多重分形分析方法计算的动量中，LPPLS的存在对标度指数的确定具有重要的影响。这个问题与标度的选择密切相关，因此标度范围[s，sm]=[smin，smax]。自然策略是确保标度范围包含几个完整的振荡，以便（ln smax-ln smin）/lnλ是一个整数，每个对数周期振荡包含具有相同相位集的相同标度数。5.2.2. 翻译不变性detrendin g方法的创新之处在累积求和程序之前，通常将X调整为零均值。当趋势函数具有常数项时，如多项式趋势，则校正方法（如MF-DFA）具有平移不变性，即，X和X+c具有相同的多重分形性质，其中c是任意的c常数。然而，对于其他去趋势方法，如MF-DMA，情况可能会非常不同【606】。累计金额（或利润）X+c isU（t）=ct，（342）和从t中获得的t处的移动平均值- 窗口大小s iseU（t）=c“t+（2θ- 1） （s）- 1） #，（343），其中θ在公式（118）中定义。因此，移除移动平均值后，常数偏移c的剩余值为c（t）=c（2θ- 1） （s）- 1） （344）是给定窗口大小s的常数。我们发现，只有当θ=0.5时，残差c（t）=0。否则，我们将在F与s缩放图中观察到交叉【606】。因此，中心MF-DMA是平移不变的，而其他MF-DMA版本则不是。这一分析提出了一个严重的问题，即是否应该将mea n从等式（117）中的inn ovations中移除。

对于均值非零的时间序列，该分析至少部分解释了不同θ值下MF-DMA结果的差异。5.2.3. 负维f（α）<0多重分形的一个有趣特征是多重分形谱中可能存在负维，即对于大小奇点α，f（α）<0【607–609】。在金融TIME系列的奇异谱中也观察到了负维度，如金融波动率[312]、交易持续时间[454]、WIG指数回报率[56 1]、WTI原油现货和期货价格回报率[61 0]、外汇汇率[611]、CSI 300指数回报率[612]、MA SI指数回报率和MADEX指数回报率[613]、以及标准普尔500指数回报率[112]，很快，不同的多重分形分析方法被应用。Cates和Witten首先讨论了负f（α）的含义[1 66]，他们指出了“超级样本”的整体平均所导致的负维度。如果乘数分布连续[311449450614]，如金融波动率乘数[312]，则也会出现负维度s。一个简单的说明性分析示例表明，负d维要么来自内在随机性的存在，要么来自确定性过程的arandom处理【310】。这与Mandelb rot基于其关于随机多重分形的著作的见解不谋而合【608，609】。5.2.4. 多重分形谱扩散限制聚集（DLA）过程的严重性，多重分形谱显示异常，其中存在临界值qc，使得分配函数偏离幂律的速度更快，并且当q<qc时τ（q）函数不存在[615–617]。

这些异常可以在基于有限多项式测度的左sid e d多重分形的框架内解释，其中g生成函数读取s【618，619】∞Xi=1pqir-τi=1。（345）可在参考文献[188]中找到数学处理。pi=2时-i和ri=i-λ- （i+1）-λ（这样p∞i=1pi=P∞i=1ri=1），其中λ>0为参数r，临界q值qc=0，多重分形谱为单侧：f（α）≈ 1.-c[αλ（0）- α] κ，λ>1，ααλ（0）c exp(-c′α），λ=1，α→ ∞cακ，0<λ<1，α→ ∞（346）其中c和c′是依赖于λ的正常数，κ=max{2，λ/（λ）- 1)} [618, 619]. 因此，f（α）是α的非单调函数，fmax=1。在数值上，我们必须对测量值采用有限近似，得到的多重分形谱是左侧的，并逐渐收敛到精确的单侧表达式。显然，逆多重分形谱是右侧的（逆测度s见第2.1.4节）。对于经验多重分形谱，偏态可以类似于概率分布来定义。负偏态光谱的左尾更长或更胖，也被称为左偏或左偏。正偏态谱的右尾更长或更胖，也被称为右偏或向右偏态。光谱偏度的一个简单度量是f（α）左侧的斜率与f（α）右侧的绝对斜率之比【599】。如果比值大于1，则整个频谱左偏。倾斜度的一个更自然的度量是[600]倾斜=αmax- α(0)α(0) - αmin（347），其中，对于非斜态光谱，skew=1；对于右斜态光谱，ske w>1；对于左斜态光谱，skew<1。无偏谱不一定是对称的。在实证分析中也采用了这种方法【620621】。

在经验应用中，我们建议在表达式（347）中的偏斜估计中施加qmax=qinfor。有人认为，左偏多重分形在大的波动中有更多的精细结构，而右偏多重分形在小的波动中有更多的精细结构。在许多经验金融系统中，都观察到了扭曲（或不对称）多重分形谱，其中金融回报谱更可能是左偏的，而贸易比率在多重分形中相当系统地发展为右偏的不对称【622，623】。社会科学中总是有例外，这并不意外。5.3. 重叠成分和交叉现象金融时间序列标度行为中的交叉现象无处不在【165、458、562、564–568】。在湍流中，有明确的惯性范围和粘性范围[6 24]。在某种意义上，金融市场可能会让我们陷入动荡。然而，金融摩擦是这种交叉现象的主要原因，因为交叉尺度通常比“摩擦尺度”大得多。相反，有一些机械的解释，叠加的时间序列会导致交叉。20年前已经研究了趋势的影响[625]。Kantelhardt等人对多项式和周期趋势对DFA标度行为的影响进行了广泛的数值分析【626】。5.3.1. S上置规则假设将加性趋势u（t）添加到长期相关时间序列X（t）中，以形成新的时间序列Z（t）=X（t）+u（t）（348），其中X（t）显示单标度行为，而无交叉FX（S）=bsH。（349）如果X（t）和u（t）的去趋势d残差不相关，则re是DFA【405】和DMA【606】的函数行为中的叠加定律，Fz（s）=Fx（s）+Fu（s），（350），适用于MF-DFA和MF-DMA。

交叉尺度s×可通过以下等式确定：Fx（s×）=Fu（s×）。（351）在许多情况下，s<s×和s>s×分别出现两个幂律。更一般地说，交叉现象的出现可以被视为多种机制之间竞争的结果，无论它们是自生还是异源的，都会产生幂律相关特性【627】。5.3.2. 多项式趋势在一项开创性的工作中，Hu等人对叠加多项式趋势的影响进行了分析和数值研究【405】。考虑添加到增量系列中的以下多项式趋势：对于DFA，u（t）=mXp=0aptp（352）-l, 哪里l 是多项式去趋势函数的阶数，如果l > p+1，叠加多项式趋势u（t）被去趋势函数X（t）“吸收”b。因此，u（t）对X（t）的标度行为没有影响，也不存在交叉现象。对于线性叠加趋势u（t）=at，其终止函数为fu（s）=kas，（353），其中k=√5/60. 根据式（351），我们有×=akb！1/（小时）-2） ，（354）表明交叉尺度s×仅取决于幂律指数为1/（H）的幂律形式- 2).当s<< s×，Fx（s）占主导地位，z（t）的标度指数为H>> s×，Fu（s）占主导地位，z（t）的标度指数为2。对于二次趋势u（t）=at，趋势衰减函数为fu（s）=kNas，（355），其中k=√15/90. 交叉刻度iss×=kbNa！1/（小时）-3). （356）观察到s的固有标度行为<< s×。发现s×不仅取决于a，还取决于时间序列N的长度。由于H<1，对于较长的时间序列，s×较小。在这种情况下，标度范围bec omesnarrower，更难估计H。多项式趋势对DMA的影响不同【606】。对于p=0的恒定趋势，当θ=0.5时，Fu（s）=0，并且没有交叉。回忆θ处的th在等式（118）中定义。

当θ=0和θ=1时，我们有fu（s）=a（s- 1). （357）有一个交叉ats×=2ba！1/(1-H） 。（358）表明交叉尺度s×是指数为a的幂律函数-1/(1 - H） 。对于p=1的线性趋势，当1<< s<< N、 F（s）继承asFu（s）≈as，θ=0.5aNs√, θ=0或1（359），它紧跟在ts×≈24ba！1/(2-H） ，θ=0.5√12禁止1/(1-H） ，θ=0或1（360）当出现交叉时，s<s×的函数左侧反映X（t）的行为，而s>s×的右侧部分受多项式趋势支配。5.3.3. 周期趋势Montanari等人进行的数值研究表明，时间序列中周期性的存在可能会影响赫斯特指数H的估计，一些估计器错误地检测到长程依赖的存在【628】。对于DFA，Hu等人研究了正弦趋势的影响，发现Fz（s）函数有三个交叉点，并且在模型中显示了一个驼峰，反映了正弦趋势的影响【405】。对于正弦趋势u（t）=aSsin（2πt/t），（361）fu具有两个交叉标度为s2×。当s<< s2×，我们有fu1（s）=kaSs/T.（362a），当s>> s2×，我们有fu2（s）=kaST~ s、 （362b）以下为ts2×≈ T、 （363）当s<s2×，Fu1（s）和Fx（s）的共同竞争产生交叉，即S1×=bkTaS！1/(2-H） 。（364）当s>s2×，Fu2（s）和Fx（s）的竞争引入第三个交叉点ats3×=kbT aS！因此，有四个幂律标度区域：（1）当s<s1×，fx占主导地位，标度指数为H；（2） 当s1×<s<s2×，fu1占优势，标度指数为αs=2；（3） 当s2×<s<s3×，fu2为常数，标度指数为0；（4）当s>s3×，FX占主导地位，标度指数t为H。注意，所有三个交叉标度都与N的t无关。

当时间序列较短时，第四个缩放区域可能消失。第一尺度g区域通常很短，估计H不可靠。如果我们想基于第一和第四区域估计H，我们需要很长的时间序列。这些性质也适用于多重分形时间序列。很难有一个合适的标度范围，通常会导致选择的标度范围不正确，从而导致无法检测到固有的多重分形谱[6 29]。5.3.4. 幂律趋势Shu等人还研究了幂律趋势[405]u（t）=aPtλ，（366）的影响，其去趋势函数读取Sfu（s）~ sα（λ）Nγ（λ）（367）函数α（λ）具有以下形式α（λ）=l + 1，对于λ>l - 0.5λ+1.5，用于- 1.5 6 λ 6 l - 0 .50，对于λ<-1.5. （368）其中l 是detren-ding多项式函数（116）的阶，函数γ（λ）是γ（λ）=（λ）- l, 对于λ>l - 0.5-0.5，对于λ6l - 0.5. （369）它遵循交叉比例大约为×≈haPNγ（λ）i1/[H-α(λ)]. （370）显然，缩放区域强烈依赖于l, 与aP、N和λ相同。5.3.5. 加性噪声当u（t）是具有赫斯特指数Hu的分数高斯噪声时，衰减函数为fu（s）=asHu。（371）结合式（349），我们得到×≈ab！1/（小时）-Hu）。（372）在不丧失一般性的情况下，我们假设H>Hu。因此，当s<s×，Fu（s）dom发生变化。为了正确识别X（t）的内在相关特性，应将标度范围选择在s×。对X（t）为单分形或多重分形时间序列的情况进行的数值研究表明，正确识别交叉尺度和尺度范围的重要性【629，630】。当ais足够小时，u（t）对X（t）的标度行为没有影响。考虑H- Hu=0.3。

如果无ise u（t）的幅度增加10倍，交叉点s×将减少2000倍左右！这意味着交叉尺度不容易观察[629，630]。5.3.6. tren dsMany高频金融时间序列的预处理时间序列具有日周期，称为日内模式，出现在收益率【631–633】、交易量【46464634–636】、波动率【631、637、638】、买卖价差【639–642】、交易期间【454、455、643–645】等方面。因此，可以通过提供日内模式或周期对原始时间序列进行预处理，然后对周期调整后的时间序列进行分形分析。经济物理学中广泛使用的预处理方法是去除日内模式（或更一般的季节模式）。假设{Y（i）：i=1，2，····，NDK}是在NDtrading days上均匀采样的高频时间序列，其中K是每天的点数。日内模式通过对不同交易日内每个时刻的值进行平均来确定：Y（k）=NDNDXn=1Y（（n- 1） K+K），（373），其中K=1，2，···，K。通过从原始数据中删除日内模式重新获得调整后的数据【638】：X（（n- 1） K+K）=Y（（n- 1） K+K）/Y（K），（374），其中n=1，2，···，ND。对于bid-a sk价差【641】、交易持续时间【454】和交易量【464】，原始时间序列和调整时间序列的标度结果之间没有太大差异。如果某些Y（k）非常小，我们可以采用以下程序：X（（n- 1） K+K）=Y（（n- 1） K+K）-Y（k）（375）对于n和k的所有值。Hu等人建议对原始时间序列采用自适应去趋势，然后对去趋势的时间序列执行MF-DFA【646】。适应性趋势确定如下。

原始时间序列被划分为长度为2n+1的段，其中任意两个连续段重叠n+1个点，最后一段的长度可能小于2n+1。对于每段Sv，我们拟合一个阶多项式l, 用j=1，2，···，2n+1表示yv（j）。重叠区域的自适应趋势可确定为asy（a）v（j）=1-j- 1n！yv（n+j）+j- 1nyv+1（j）。（376）对于j=1，2，····，n+1。整体适应趋势是y（a）（j）=y（j），j=1，2，···，ny（a）（nv+j）=y（a）v（j），v=1，2，···，v和j=1，2，···，ny（a）（nv+j）=yV+1（j），j=1，2，···，N- nV（377），其中V=int[不适用]。进一步多重分形分析的结果时间序列为Y（i）=Y（i）- y（a）（i），i=1，2，····，N.（378）自适应tr端没有任何跳跃或间断。然而，这种预处理并不能消除MF-D FA中趋势函数y（t）的跳跃。我们强调n与盒子大小s无关，并且l 与l inEq无关。(116). 参数n和l 建议通过要求detre ndeddata y（i）的方差在以下情况下缓慢衰减来确定l 进一步增加和/或2n+1进一步减少[646]。Ferreira等人使用适应性多重分形方法（A-MF-DFA和A-MF-X-DFA）研究了1995年1月至2014年2月20日48个股票市场的每日指数时间序列[647]。

在他们的结果中，估计的赫斯特指数hxx、hyyand和Hxy都大于1，这意味着在去除局部趋势之前，它们将指数累加起来。还有其他针对不同类型趋势设计的去趋势方法，如小波变换【648】、奇异值分解【649，650】、混沌奇异值分解【651】、傅立叶变换【6 52-655】、拉普拉斯变换【656，657】、正交V系统平滑【658】、EMD去趋势【65 9-661】、基于ec ho状态网络的数据驱动去趋势【662】等。本质上，任何为趋势检测而设计的方法都可以用于对原始时间序列进行趋势分析。仔细调查应比较原始时间序列和去趋势时间序列之间的多重分形分析结果。据报道，在对具有规则周期或趋势的时间序列进行去趋势化处理时，季节模式化处理方法的性能优于傅立叶滤波法和自适应去趋势化处理方法【663664】。5.4. n非线性和过滤器的影响5.4.1。非线性效应Chen等人以三种方式研究了时间序列的非平稳性对去趋势波动分析结果的影响【665】。第一类非平稳性是通过“切割”过程引入的，该过程从时间序列中移除给定长度的分段，然后缝合以获取剩余部分。切割程序对持久tim e系列（H>0.5）的缩放行为没有任何影响，但可以向上扭曲F（s）函数。secon d型非平稳性是由具有不同属性的段引起的，例如不同的标准差或不同的相关指数。

对于由具有两个不同标准偏差值的段组成的非平稳持续时间序列，其标度行为与具有恒定标准偏差的平稳持续时间序列保持相同。对于非平稳的反持久时间序列，F（s）的标度行为中出现了交叉。对于具有不同局部相关性的非台站时间序列，标度也会发生变化。第三类非平稳性是通过向时间序列中添加具有不同振幅的随机异常值或峰值的可调浓度asp来实现的。相关峰值的去趋势函数表现为fu（s）=k√paspsα，（379），其中kis是常数，p是峰的浓度，α是估计的标度指数。接下来就是×=√paspkb！1/（小时）-α). （380）s的内在标度行为占主导地位>> s×。值得一提的是，一项有趣的工作研究了极端数据丢失如何影响长时间幂律相关和反相关信号的缩放行为【666】。研究发现，持久时间序列的全局扩展对极端数据丢失具有鲁棒性，即使极端数据丢失率高达90%，扩展指数也几乎保持不变。相反，反相关时间序列的全局缩放容易受到极端数据丢失和不相关行为变化的影响，即使极端数据丢失的比例很小。5.4.2. filterschen等人研究了过滤器对DFA的影响【667】。研究滤波器的影响是为了比较原始时间序列X（t）及其转换后的时间序列g（t）=g（X（t））的缩放行为。正如预期的那样，发现线性滤波器g（t）=aX（t）+ado不会改变相关特性。相反，非线性幂律g（t）=aXk（t）和对数g（t）=ln[X（t）+]滤波器的影响强烈依赖于H、k和。

Wang等人研究了线性和非线性滤波器对二项式多重分形测度多重分形分析的影响[668]。对于线性滤波器，g（t）=2X（t）+1，其中a是常数，具有与X（t）相同的多重分形特性。当应用q值和立方滤波器时，MF-PF和MF-DFA表明，滤波后的时间序列g（t）=X（t）和g（t）=X（t）表现出多重分形，其中αmin随着滤波器阶数的增加而变小，αmax随着滤波器阶数的增加而变大。对于对数滤波器g（t）=ln[X（t）+，随着的增加，αmax几乎保持不变，αmindecreases。Song和Shang对线性和非线性滤波器对MF-X-D FA的影响进行了数值研究【669】。他们发现线性滤波器g（t）=aX（t）+AHA对多重分形互相关特性没有影响。相反，非线性滤波器包括非线性多项式滤波器g（t）=aXk（t）、对数滤波器g（t）=ln[X（t）+、指数滤波器g（t）=exp[aX（t）+a]和幂律滤波器g（t）=[X（t）+a]对多重分形交叉相关行为有显著影响。注意，虽然线性滤波器对DFA、MF-D FA和MF-X-DFA没有影响，但由于DMA中的平移不变性被破坏，它们应该会影响DMA、MF-DMA和MF-X-DMA的缩放行为，θ为0.5。结合第4.5节，将指数滤波器应用于长内存过程（例如Hurstprocess）会导致多重分形。换言之，第4.5节的机制可以在研究滤波器对初始时间序列的影响时重新解释，该时间序列是简单的单分形。这种现象在参考文献中很早就被注意到了。[132, 670].5.5. 不同方法的性能5.5.1。

数学模型作为参考，为了比较不同多重分形分析方法的性能，人们通常将其应用于具有已知多重分形性质的数学模型。第一类参考模型是单分形的，如分数布朗运动[3 20]，自回归分数积分滑动平均（RFIMA）过程[101，102]。第二类参考模型是双分形的，如普通L'evy过程[671]、指数截断L'evy过程[672]和幂律尾时间序列[673]（见第7.1.1节）。第三类参考模型具有多重分形性质，包括乘性级联模型、MMAR模型、MSM模型和MRW模型（见第4节）。对于联合多重分形分析，可以使用二元分数布朗运动（BFBMs）[415416419]，双分量ARFIMA过程[140674]，和两个乘法测度[105141]。这些模型可以简单地扩展到多变量时间序列。5.5.2. 性能度量设H（q）、τ（q）和f（α）表示表示给定系统多重分形特性的真函数。对于每个数学模型，如果它是随机的，我们生成K个实现。利用某种多重分形分析方法，我们得到了k次实现的Hk（q）、τk（q）和fk（α）。平均值估计a re^H（q）=KKXk=1^Hk（q），^τ（q）=KKXk=1^τk（q），和^f（α）=KKXk=1^fk（α），（381），其中平均值在固定q下执行。

相应的方差为σ^H（q）=K- 1KXk=1h^Hk（q）-^H（q）i，σ^τ（q）=K- 1KXk=1^τk（q）- ^τ（q）, σ^f（α）=K- 1KXk=1h^fk（α）-^f（α）i，（382），可用于测量估计精度。多重分形分析方法的性能主要通过估计值与真值σ^H（q）=K的绝对偏差来衡量- 1KXk=1h^Hk（q）- H（q）i，σ^τ（q）=K- 1KXk=1^τk（q）- τ（q）, σ^f（α）=K- 1KXk=1h^fk（α）- f（α）i，（383）或相对误差se^H（q）=σ^H（q）H（q），e^τ（q）=σ^τ（q）τ（q），e^f（α）=σ^f（α）。（384）ab溶质偏差或相对误差允许我们确定哪种方法对不同的TQ值表现更好。这些措施可用于估计精度。当然，最简单的方法是测量估计值和理论值之间的差异。为了验证一种方法的总体性能，我们建议st使用平均误差：\'e^H=he^H（q）iq，\'e^τ=he^τ（q）iq，和\'e^f=he^f（α）iq，（385），其中HIQ表示所有q值的平均值。我们认为，绝对偏差的平均值不是衡量方法性能的合适指标。当然还有其他的绩效措施。例如，计算复杂性通常被用作算法性能的衡量标准。然而，现在这并不是一个关键问题。标度范围的宽度也是一个重要的衡量标准，但只能在有足够精度的情况下使用。5.5.3. 时间序列长度（“有限尺寸效应”）可以预计，很短的时间序列可能会产生“错误”的估计，因为估计的多重分形特性通常在较短的时间序列中偏差较大，这与对数泊松二项、对数伽马二项和对数范数二项测量结果一致[556]。

分区函数逼近c h也存在明显的有限尺寸效应[592]。时间序列长度的影响至少可以用数字来量化。Weron对估计的高斯白噪声DFA指数的置信区间进行了数值研究[675]。他发现置信度取决于时间序列的长度N=2nof和标度范围。对于较短的时间序列，置信区间更宽。在95%的置信水平下，置信区间为[0.5- 25.79n-2.33，0.5+29.37 n-2.46]对于s>10，[0.5- 85.63n-2.93，0.5+217.0 n-3.19]对于s>50。（386）已经从数值上获得了10个估计量的类似表达式[676]。5.5.4. pe rfo RMANCE的不完全比较当发明一种新的多重分形分析变体或新方法时，我们强调首先在已知多重分形时间序列上对该方法进行密集测试的重要性，正如Filimonov和Sornette在略有不同的上下文中所强调的（另请参见http://www.er.ethz.ch/media/essays/PNAS.html).事实上，在未知数据集上应用一种新的（因此是“未知的”）方法可能会导致错误的结论，因为这种新的现象通常是由分析方法引入的所有类型的偏差和扭曲导致的。相反，当使用已知的多重分形时间序列时，与理论上已知的多重分形性质的偏差会影响新分析方法引入的特性和偏差。反过来，这使研究人员能够将她的分析技术引入的扭曲与她希望发现的新奇效果分离开来。

良好的科学实践应要求该程序无一例外地执行，以防止文献中可能出现的许多虚假说法。接下来，我们将努力比较时间序列中长期相关性的不同估计量。在几个重要的研究中，比较了包括R/S分析和DFA在内的大约10种估计量，发现（局部）Whittleestimator在准确性和精密度方面表现最好[628678]。当R/S分析和DFA进行比较时，数值证据表明DFA在不同长度的时间序列中表现出更好的准确性和精度【675679】。我们还发现，集中式DMA和DFA能够获得准确的估计值[288289]。然而，如果时间序列中的趋势形式未知，或者有色噪声的长记忆缩放指数大于1，则建议使用DFA【28 7，2 88】。经典多重分形分析方法有许多变体。然而，其中许多材料的性能尚未通过合成试验的数值试验进行验证，因此，它们对上述Filimonov-Sornette临界值持开放态度【677】。大多数比较是在MF-DFA、MF-DMA、WTMM和MF-WL上进行的。Kantelhard t等人使用MF DFAA和WTMM对河流流量和流量时间序列的多重分形特性进行了研究，发现所得结果在误差m argins范围内吻合良好【680】。O’swie,cimka etal公司。使用MF-DFA和WTMM对金融时间序列进行多重分形分析，认为MF-DFA更适合于多重分形行为的全局检测，而WTM M是信号标度特性局部表征的最佳工具【681】。Figlio la等人。

比较了使用MF-DFA和MF-WL对癫痫发作受试者的EEG时间序列进行多重ctal分析的结果，得出结论，这两种方法在估计多重分形特性方面是等效的[682]。然而，这些比较并不是决定性的，因为它们不是从对具有先验已知多重分形特性的时间序列进行的大量数值实验中得出的。同样，对合成时间序列进行广泛测试的重要性再强调也不为过。Kantelhard t等人发现，对于具有加性线性和二次趋势的确定性多重分形二项式度量，WTMM和MF-DFA都能够获得良好的解，MF-DFA在负q值和短序列的精度方面略有优势【139】。O’swie,cimka等人使用分数布朗运动、bifr actal L’evy flights和四种多重分形二项级联比较了MF-DFA和WTMMS的性能【683】。对于分数布朗运动，MF-DFA可以正确识别其单分形，而WTMM常常产生虚假的多重分形。对于b ifractal L'evy flights，这两种方法都会产生虚假的多重分形，MF-DFA的性能相对更好。对于确定性二项测度，MF-DFA可以捕获多重分形谱的右侧部分，但会将左侧部分加宽。相比之下，当采用适当的小波时，WTMM可以很好地捕捉到左侧部分，但不能捕捉到右侧部分。此外，MF-DFA使用不同的detren-Ding多项式获得的多重分形谱几乎相同，而使用不同的小波获得的多重分形谱可能会非常不同。因此，对于确定性二项测度，MF-DFA的均方根值性能相对优于WTMM。MF-DFA在对数gamma和对数Poisson二项测度方面显著优于SWTMM。对于对数正态二项测度，这两种方法的性能相当好。

Mu rguia和Rosu证实，M F-DFA对确定性二项测度的WTMM进行了utperfo验证[684]。Salat等人发现，M F-DFA在确定性二项式测量中输出了MF-PF和WTMM格式【156】。Jaffard et a l.基于lo g-normal乘性随机小波级联s【323】，发现WTMM和MF WL产生相同的多重分形谱【685】。Turiel等人测试了MF-PF、WTMM、梯度模小波投影（GMWP）和梯度直方图（GH）的性能，发现GMWP方法是获得最佳性能的方法之一[255]。Serrano和Figliola基于Cantor集和确定性二项测度比较了MF-d FA和MF WL的性能【261】。他们发现MF-WL为这两个时间序列提供了更准确的估计。Gu和Zhou研究了基于确定性二项测度的MF-DFA和MF-DMA的性能【290】。他们发现，估计的多重分形标度指数tτ（q）和奇异谱f（α）与理论值非常一致。另外，前向和后向MF-DMA方法的性能最好，M F-DFA稍差，尤其是q>0时，而中心MF-DMA方法的性能较差。Xi等人[686]证实了这一结论，他们还发现，与MF-DFA相比，后向和前向MFDMA方法对确定性二项式度量的长度不太敏感，而ce-INTEREDMF DMA是最敏感的。Schumann和Kantelhardt发现，居中的MF-D MA和MF-DFA都可以很好地揭示确定性二项式测量的多重分形性质[291]。Huang等人通过分析分数布朗运动、随机多项指标和多重分形随机游动，比较了MF-HHSA、MF-SF、MF-DFA和MF-WL的性能【317】。

对于分形布朗运动，MF-SF和MF-WL在奇点宽度较窄的情况下提供了更好的估计。对于正在研究的多重分形时间序列，MF-HHSA和MF-DFA方法似乎比MF-SF和MF-WL方法提供更好的奇异谱。Welter和Esquef比较了MF-DFA、MF-DMA和EMD-DAMF在研究分数布朗运动、列维飞行、多重分形随机游动和确定性二项式测量方面的性能【319】。对于FBM过程，所有方法都表现良好，EMD-DAMF的估计比MF-DFA和MF-DMA略精确，但精度较低。对于L'evy工艺，EMD-DAMF在精度和精密度方面优于MF-DFA和MF-DMmethods。对于多重分形随机游动，MF-DFA在精度和精确度方面都表现最佳。MF-DMA和EMD-DAMF具有相似的精度，MF-DMA更精确。对于确定性二项式度量，MF-DFA和MF-DMA输出在精确度和精确度方面均形成EMD-DAMF，并且MF-DMAI比M F-DFA更精确，精确度相似。关于联合分形分析方法性能的比较研究相对较少。蒋和周比较了MF-X-DFA和MF-X-DMA[105]。他们发现，对于二元分数布朗运动和两分量ARFIMA过程，M F-X-DFA和中心MF-X-DMA算法的性能优于前向和后向MF-X-DMA算法。对于二项测度，前向MF-X-DMA算法的性能最好，中心MF-X-DMA算法的性能最差。Xi等人获得了类似（但不相同）的二项式测量结果【687】。Cao和Shi fou发现，对于双组分和混合相关ARFIMA过程，向后和向前MF-X-DMA方法输出以形式为中心的MF-X-DMA、MF-X-DFA和MFDCCAMODWT【688】。

Kristoufek进行了广泛的蒙特卡罗模拟研究，以比较去趋势互相关分析（DCCA）、高度互相关分析（HXA）和去趋势移动平均互相关分析（DMCA）的性能【689】。他发现，在标准幂律互相关和幂律相干情况下，DMCA的表现明显优于DCCA和HXA。然而，DCCA的表现是，它对短期死亡率不太敏感。5.5.5. 应该使用哪种方法？对于哪种方法对多重分形分析的性能最好，似乎没有达成共识。根据对不同方法性能的理解，需要对g a进行更多的数值比较。首先，应该研究更多具有先验已知多重分形特性的数学模型。其次，应考虑不同的性能标准，如估计精度，其中估计值与真实值的偏差是量化的，估计精度将估计值的离散度限定为平均值，尺寸对时间序列的影响，标度范围的宽度，以及对标度范围选择的敏感性。不幸的是，即使人们完全意识到某一方法在多重分形时间序列的某些测试中表现最好，我们也无法将这一结论直接外推到其他时间序列。在实际数据的应用中，如果不了解驱动复杂系统动力学的潜在机制，很难确定哪种方法更合适。如果有可以识别的趋势，建议使用高阶去趋势多项式的MF-DFA。一般来说，我们建议采用不同的方法，以便我们可以定性和定量地比较它们的结果。

对于金融时间序列这类回报时间序列，我们可以根据金融回报中缺乏长记忆的基本程式化事实[60]，检查第一指数H（2）的值是否接近0.5，其中H在无套利机会方面也有很强的oreticalunderpinning。这可以作为评估不同方法所得结果的有用标准。事实上，有些作品报告的结果不正确，因为赫斯特指数（2）明显偏离0.5.6。多重分形市场的经验证据在过去的三年中，已经进行了数百项emp-IRIC研究，以调查金融市场中多重分形的存在。在20世纪90年代，只有少数几篇开创性的论文，其中大多数应用了结构-函数法[18、103、113、173、690、691]或盒计数法[692]。随着新的多重分形分析方法的发展，实证研究在21世纪蓬勃发展。在对文学进行仔细彻底的调查之后，我们观察到三种趋势。首先，结构-函数方法在工程中得到了广泛应用，而多重分形去趋势函数分析在后来占主导地位。其次，不足为奇的是，股票市场指数的时间序列最受关注，而外汇汇率和大宗商品也受到许多研究者的调查。第三，研究的大多数金融时间序列都有每日采样频率。第二和第三趋势仅仅是由于不同数据集的可用性。

我们也没有发现明确的证据表明经验发现的多重分形性质中存在普遍性。除财务变量外，对经济变量的研究也很少，如1975年至2011年美国消费者价格指数（CPI）和生产者价格指数（PPI）的月度综合价格指数[693]，1992年1月3日至2009年6月24日基准波斯湾（塔努拉角）至日本（千叶）航线上VLGC的日平均价格[694]，1998年1月27日（或2004年7月1日或2005年7月15日）至2013年8月5日期间油轮市场船舶的每日现货价格【695】，以及1999年3月1日至2015年2月26日期间的每日波罗的海-巴拿马型油轮指数（BPI）和波罗的海海海海岬角型油轮指数（BCI）】【696】。不足为奇的是，多重分形分析主要是在金融时间序列上进行的，因为经济时间序列通常每月或每季度记录一次，对于多重分形分析来说，这些时间序列不够长。因此，只有一项研究将M F-SF方法应用于1984年至2000年期间纳斯达克的月度价格[697]。基于这些观察结果，我们认为，在未来的研究中，反复确认财务指数中存在的多重多样性并不重要。证据很清楚。应更多关注其他财务变量，如流动性指标，以及不同资产之间多重分形的比较。更重要的是，我们应该试图揭示多重分形的财务机制和含义。6.1. 资产回报和价格虽然本节标题为“资产回报”，但这是一个轻微的误称，因为所调查的多重分形属性主要指回报的绝对值，而一般而言，不是指签署的回报。

从这个意义上说，由于回报的绝对值是波动率的代表，因此所研究的多重分形特性主要是下文所述各种资产类别的金融波动率。专门针对波动性的小节是指使用不同方式估计的波动性作为其直接输入的研究。事实上，当包含符号时，不存在多重分形。在大多数多重分形分析中，无论是显式的还是隐式的，都会删除retu rn符号。6.1.1. 每日股票市场在骰子下面的研究在单个研究中涉及许多股票市场指数Selc,英国使用MF-SF【698】调查了阿根廷、巴西、香港、印度尼西亚、韩国、墨西哥、菲律宾、新加坡、塔伊万和土耳其8-28年的每日股市指数，截至2000年12月29日。oDi Matteo等人使用MF-SF【138、176、69 9】调查了1990年或1993年至2001年间发达市场和新兴市场的32个主要指数，oBianchi和Pianese使用MF-SF调查了截至2004年10月的八大股指（1928年10月1日的DJIA、1993年4月27日的Bovespa、1986年12月31日的HSI、1984年1月4日的日经225指数、1990年3月1日的CAC40指数、1984年4月2日的Footsie100指数和1993年7月19日的MibTel指数），o1995年1月至2007年2月，Zunino等人使用MF-DFA对拉丁美洲股票市场（阿根廷、巴西、智利、哥伦比亚、墨西哥、秘鲁、Ve nezuela）和美国进行了调查【701】，oGao等人。

截至2011年9月6日，使用MF-SF【702】调查了七个指数（1986年1月4日起的道琼斯指数A、标准普尔500指数和纳斯达克指数、1990年11月11日起的DAX指数、1986年1月6日起的FTSE 100指数、2000年1月4日起的SSEC指数和1986年12月31日起的HSI指数），天合和文德尔使用MF-SF【703】调查了1992年1月1日至2009年8月31日期间的FTSE 100指数、CAC 40指数、DAX 30指数、IBEX 35指数、纳斯达克100指数日经225指数和道琼斯指数，oSensoy使用MF-SF调查了2007年1月至2012年12月期间中东和北非（MENA）15个股票市场指数[704]，oLin等人于1953年1月22日至2012年6月28日调查了道琼斯工业平均指数，1950年1月3日至2012年6月13日调查了标准普尔500指数，1986年12月31日至2012年6月20日调查了恒生指数，1984年4月2日至2012年6月20日调查了FTSE指数，1990年3月1日至2012年7月3日调查了CAC f指数，1990年11月26日至2012年7月3日的DAX、1990年12月19日至2012年6月28日的SSEC和1991年4月3日至2012年6月28日的SZCI使用MF-SF【705】，oHorta等人使用MF-DMA【706】调查了1999年1月4日至2013年3月19日期间比利时、法国、希腊、日本、荷兰、葡萄牙、英国和美国的股市指数，oRizvi等人于2013年1月20日至12月31日使用MF-DFA调查了11个发达市场（Au stralia、法国、德国、香港、日本、荷兰、西班牙、瑞典、瑞士、英国、美国）和11个伊斯兰市场（巴林、孟加拉国、埃及、印尼、Jordan、科威特、马来西亚、阿曼、巴基斯坦、沙特阿拉伯、土耳其），oStosic等人使用MF-DFA调查了2006年8月30日至2014年3月1日期间的13个股票市场指数（AEX、BFX、BSESN、BVSP、FCHI、FTSE、GSPC、HSI、KS11、MXX、N225、SSMI、TWII），oArshad等人使用MF-DFA调查了1990年1月1日至2013年7月3日期间各个市场（马来西亚、新加坡、印度尼西亚和韩国）的MSCI基准指数，和oFerreira等人。

使用A-MFDFA【647】调查了1995年1月至2014年2月期间48个股票市场的ind ic es。其他研究侧重于不同时期的一个或几个股市指数。