该理论还指出，根据推论3.3，小投资组合相对于大投资组合的回报可以分解为排名靠后的资产子集相对于排名靠前的资产子集的等级交叉和价格变化，以便实证研究定理3.2中的分解（3.22），在图4中，我们绘制了小投资组合的累积异常回报（相对于价格加权市场投资组合的回报）以及1974-2018年间排名交叉的累积值RTd∧c（t）2Θsc（t）。此外，图5绘制了排名垫底的小型商品期货的相对价格，即相对于其1974-2018年平均值的标准化价格。除了小型投资组合相对于价格加权投资组合的一致且实质性的表现优异外，这些图表还表明，小型投资组合的短期相对回报率与最低排名商品的相对价格密切相关，而这些相对回报率的长期行为则与平稳交叉密切相关。实际上，图5中相对价格的高波动性与图4中交叉点的低波动性之间存在着鲜明的对比。这是一个重要的观察结果，是对定理3.2的直接预测，我们将在下面进一步讨论这一点。除了相对价格和交叉点的相对波动性外，图4和图5显示，小投资组合的累计异常回报率等于调整后的当地时间过程的累积价值，RTd∧c（t）2Θsc（t），加上排名靠后商品的相对价格的对数变化，logΘsc（t）- logΘsc（0）。

事实上，图4（累计异常回报）中的实心黑线等于该图中的红色虚线（调整后当地时间过程的累积值）减去图5中的线（排名靠后商品相对价格的变化）。这正是定理3.2中（3.22）所描述的关系。然而，我们强调，这种经验关系是如何计算非递减局部时间过程∧c的必然结果。对于我们有数据的每一天，∧cF的值是通过从累计可正常回报率log Vsc中减去排名靠后的商品相对价格logΘsc的log值来计算的- 记录Vm，然后根据定理3.2中的恒等式（3.22）进行调整。考虑到图4和图5的经验分解是为了（3.22）必须保持不变而构建的，因此很自然会想知道这种分解的有用性是什么。分解（3.22）的一个有用方面在于预测该分解的一部分，即测量秩交叉的调整后当地时间过程的累积值，是非递减的。该预测由图4中银行交叉线相对平滑的向上斜率证实，并对小型和价格加权投资组合的长期相对绩效产生影响，如下所述。分解的另一个关键预测（3.22）是，经调整的当地时间过程的累积值是一个有限的变化过程，而另一部分，排名靠后的商品相对价格的对数变化，logΘsc，则不是。回顾第3.1节中的讨论，有限变化过程具有零二次变化或零瞬时变化。

需要明确的是，预测调整后当地时间的累积值是一个有限的变化过程，并不是预测使用每月离散时间数据计算的调整后当地时间累积值的样本变化方差将等于零，而是预测这些变化将随时间大致不变。因此，我们的结果预测，调整后的本地时间过程的累积值将以大致恒定的速率增长，随着时间的推移变化很小。这种平稳增长正是在图4的红色虚线中观察到的，如上所述，与图5所示的排名靠后的相对价格的高度波动行为形成鲜明对比。通过注意调整后的当地时间累积值的变化变化系数等于7.57，而排名靠后的商品相对价格的变化系数等于326.06，可以量化这种对比。这些结果证实了定理3.2的一个关键预测。由局部时间∧c测量的正且相对恒定的等级交叉对小投资组合相对于价格加权市场投资组合的长期回报具有重要意义。由于定理3.2和（3.25）意味着相对收益可以分解为排名交叉和相对价格的变化，因此长期内持续的正交叉只能通过排名靠后的资产持续下降的相对价格来抵消。在相对价格没有下降的情况下，积极的交叉保证了相对于市场的跑赢大市。

因此，图5所示的排名垫底的小型商品期货相对价格的小幅下跌，加上图4所示的正向交叉，确保了1974-2018年期间小型投资组合表现优于市场投资组合的arank效应的存在。以与图4类似的方式，图6绘制了与价格加权市场投资组合相关的大型投资组合的累积回报以及经调整的当地时间过程的累积值-d∧c2Θbc在1974-2018年期间。此外，图7绘制了同一时期排名靠前的商品的对数相对价格。类似地，图8绘制了小投资组合相对于大投资组合的累积回报以及调整后当地时间过程的累积值Θsc+Θbcd∧c，而图9绘制了排名靠后商品相对于排名靠前商品的对数价格。使用定理3.2和推论3.3中的恒等式（3.23）和（3.24）计算图6和图8中调整后的当地时间过程的累积值。图6-9中的大小投资组合结果与图4和图5中的结果非常一致。图6-9显示了两个大型投资组合的短期回报率，并指出使用离散时间数据计算的连续时间有限变化过程的样本方差永远不会完全等于零。相对于大型投资组合，市场和小型投资组合密切遵循相应排名资产子集相对价格的变化。相反，这些相对收益的长期运行行为遵循平稳累积的排名交叉。

如图4所示，图6和图8显示，等级交叉的累积值随着时间的推移以大致不变的速度增长（在大型投资组合中为负值），这一稳定增长与图7和图9所示的相对价格的大幅波动形成了鲜明对比。如上所述，依赖于当地时间过程∧c的调整秩交叉随时间近似恒定，这一事实与其累积值是一个有限变化过程的预测一致，从而证实了定理3.2和推论3.3中的一个关键结果。最后，图6和图8分别证实了价格加权市场投资组合相对于大投资组合和小投资组合相对于大投资组合的一致性和实质性表现。与相对于市场的小型投资组合一样，考虑到图7和图9中观察到的相对价格变化较小，而图6和图8中观察到的排名交叉累积值变化较大，因此（3.22）-（3.24）和图3.2和推论3.3预测了这种长期排名效应。为了研究我们的结果对1969年1月2日价格正常化开始日期的稳健性，在图10中，我们报告了1969-2000年一系列数据开始日期的小、排名靠后的投资组合相对于价格加权市场和大、排名靠前的投资组合的月度回报夏普比率。更具体地说，我们创建了第4.1节所述的标准化商品期货价格（如图2所示），不同的标准化开始日期从1969年到2000年开始，每个季度都有。然后，使用这些不同的标准化商品期货价格数据集构建第4.2节所述的小型、大型和市场投资组合，然后在图10中报告每个数据集的相对收益率。

这些不同的数据集由不同的价格标准化开始日期确定。该图清楚地表明，我们的结果对1969年1月2日的价格标准化开始日期并不敏感，该日期用于生成表2-4和图3-9中的主要结果，之所以选择该日期，是因为它最大化了我们的数据样本长度。事实上，图10显示，1969年之后的大多数价格正常化起始日期产生了更大的夏普比率，图中所示的所有日期的平均值均等于0.66，即相对于市场投资组合的小投资组合和相对于大投资组合的小投资组合，明显高于表3.5讨论中报告的完整样本夏普比率。图4-9所示的实证结果证实了定理3.2和推论3.3的预测，即排名交叉分解（3.22）-（3.24）的成分几乎是恒定的。此外，这些数据表明，在小投资组合相对于价格加权市场和大投资组合的回报率的情况下，累积排名交叉为正且不断增加。相比之下，如果大型投资组合相对于市场的回报率较高，则累积排名交叉为负值，且呈下降趋势，如图6.5.1相对价格和相对回报率所示，我们的理论和实证结果证实，排名资产子集相对价格的变化是排名资产组合相对于市场回报的关键决定因素。从这个意义上讲，不同排名资产子资产的相对价格是一个资产定价因素，因为它们的波动驱动排名资产的所有价格加权投资组合的相对回报。

重要的是，定理3.2和推论3.3建立相对价格资产定价因子的理论结果是在最小假设下实现的，该假设应基本上与任何资产定价模型一致，这意味着该因子在不同的经济和金融环境中具有普遍性。我们的实证结果如图4-9所示，有助于证实这种普遍性。我们的无模型数学方法与Fernholz和Stroup（2018）的方法相似，我们描述的相对价格资产定价因子与这些作者分析的价格分散资产定价因子相关。因此，与价格分散系数一样，相对价格系数不受最近提出的批评的影响，这些批评是关于经验资产定价理论所确定的因素和异常数量高得惊人且不断增加。例如，Novy Marx（2014）、Harvey et al（2016）和Bryzgalova（2016），指出了许多这些拟议因素的不同计量经济学问题。相反，根据定理3.2和推论3.3建立的相对价格资产定价因子不是使用特定的经济模型或特定的回归框架推导出来的，而是使用一般的数学方法，将资产价格表示为连续半鞅，基本上与所有模型和经验规定一致。这样，我们的结果自然不会受到这些批评。5.2没有排名效应的相对价格如果小投资组合的表现没有超过价格加权市场和大投资组合，2018年的商品期货价格会是什么样子？分解（3.22）-（3.24）允许我们回答这个困难的问题。尤其是，这些分解意味着，只有当排名靠后、价格较低的商品的相对价格持续快速下降时，才不存在排名效应。

尽管从1974年至2018年，排名靠后者的相对价格略有下降，如图5和图9所示，但这种下降幅度太小，无法抵消排名交叉带来的巨大收益，如图4和图8所示。使用（3.22）（3.24），我们可以量化排名靠后的商品的相对价格下降需要多大程度才能消除1974-2018年的排名效应，然后检查这种下降对2018年商品期货价格的影响。表4列出了2018年排名靠后、价格较低的商品期货的反事实相对价格，以确保1974-2018年期间，小型投资组合的表现不超过价格权重市场和大型投资组合。在相对于市场的小投资组合的情况下，通过改变（3.22）的相对价格Θsc（T）来获得反事实数，从而使相对值log Vsc（T）- log Vm（T）等于零。因此，该计算隐含地假设1974-2018年的等级交叉累积值（由TD∧c（t）2Θsc（t）测量）与该时间段的真实值保持不变。类似的假设有助于对小投资组合相对于大投资组合进行相同的计算。在这种情况下，通过将（3.24）中的相对价格Θsc（T）/Θbc（T）更改为相对值log Vsc（T）来获得计数器实际数- 对数Vbc（T）等于零。根据表4，2018年消除排名效应所需的排名靠后的低价商品期货的反事实相对价格比2018年的实际相对价格低一个数量级以上。这种差异尤其体现在排名靠后的商品相对于排名靠前的商品的价格变化上，这与小投资组合相对于大投资组合的回报相对应。

正如表3所示，1974-2018年间，小型投资组合的平均回报率比大型投资组合高出9.82%，这并不奇怪。然而，在这两种情况下，排名靠后的商品的反事实相对价格都很低，这意味着2018年的商品未来价格与2018年实际观察到的价格截然不同。表4清楚地显示了这些显著差异。根据该表，2018年排名靠前的15种商品期货的价格必须比2018年排名靠后的15种商品期货的价格高出约274倍，以便在1974-2018年期间产生不小而大的排名效应。这一比率比我们2018年数据集结束时观察到的实际比率大100多倍。这种反事实比率可以转化为排名靠后商品的反事实价格更低，排名靠前商品的反事实价格更高，或者两者的某种中间组合。更具体地说，如果2018年排名靠后的15种商品的价格比2018年实际观察到的价格低100倍以上，则不会产生任何银行效应。然而，这样的价格意味着这些商品中的任何一种都将处于历史上前所未有的低点。或者，如果2018年排名靠前的15种商品的价格比2018年实际观察到的价格高出100倍以上，也不会有排名效应。在这种情况下，任何一种商品的价格都将在2018年创下历史新高。

在这两种情况下，图6和图8所示1974-2018年的银行效应消失的反事实意味着2018年的商品价格出现了根本不同且历史上前所未有的变化。5.3表3中的排名效应和价值异常排名效应相对回报与Asness et al.（2013）所述的商品期货价值异常相似。这些作者根据当前价格相对于过去4.5-5.5年的平均价格对商品进行排名，并表明，由高价值商品期货组成的投资组合，即今天相对于过去价格较低的合约，持续且大幅优于目前相对于过去价格较高的低价值商品期货组合。这种基于当前价格相对于其最新价格的商品期货排名类似于我们的标准化商品价格排名，其中标准化价格在1969年数据开始日期相等，如第4.1节所述。为了量化这种相似性的程度，在表5中，我们报告了价值异常超额回报的时间序列回归结果，类似于Asness et al.（2013）所揭示的关于小投资组合相对于市场的回报和小投资组合相对于大投资组合的回报。对于价值异常，我们每个月都会根据当前价格相对于过去4.5-5.5年的平均价格对商品期货进行排名。然后，我们研究了相对于价格权重最大商品期货的投资组合而言，价格权重最小商品期货的投资组合的回报，这两个投资组合每月都会重新平衡。

根据表5的结果，这两种排名效应与商品的价值异常相似。表5中的结果表明，Asness et al.（2013）所涵盖的大宗商品未来价值异常大多是1974-2018年间排名靠后的大宗商品相对于排名靠前的大宗商品价格近似稳定的直接结果，如图9所示。此外，表4表明，如果不存在这种价值异常，2018年的大宗商品期货价格将不得不与过去大相径庭。事实上，排名靠后的大宗商品的相对价格必须比实际价格低一个数量级以上。这一结果为商品期货的价值异常提供了一种新的解释，并意味着对这种异常的任何解释也必须解释排名相对商品价格的近似稳定性。只有在1974年至2018年期间，排名最低和排名最高的商品期货价格出现了前所未有的巨大分裂时，价值异常才会存在。5.4排名效应和有效市场定理3.2和推论3.3的相对回报分解揭示了一种新的市场二分法，在这种市场中，股息和资产进入/退出随着时间的推移所起的作用很小。一方面，排名靠后的低价资产的相对价格可能会随着时间的推移而稳定，在这种情况下（1.1）意味着排名靠后的资产组合存在可预测的超额回报。这就是我们在图4-9中观察到的商品期货的情况。在各个市场中，排名资产子集的相对价格波动通过会计恒等式（3.25）-（3.27）与超额回报挂钩。

在资产定价的标准均衡模型中，只有当这些可预测的超额收益是对风险的补偿时，它们才可能存在。反过来，这种风险由与经济主体边际效用相关的内生随机贴现因子来定义。然而，目前尚不清楚边际效用如何与排名靠后的低价资产的相对价格相联系。当排名较低的资产的相对价格下降时，边际效用为什么应该更高，这也不清楚，但根据我们的结果，这是任何标准资产定价模型的必要含义，其中相对价格是渐近稳定的。另一方面，排名靠后的低价资产的相对价格可能不会随着时间的推移而稳定。在这种情况下，排名较低资产的相对价格持续快速下降，分解（1.1）不再预测超额回报。相反，这种分解预测相对价格下降，从而抵消了（1.1）中随时间推移的非负rankcrossovers。定理3.2和推论3.3的相对收益分解没有预测rankedasset子集相对价格的稳定性，因此我们的理论结果没有排除这种可能性。尽管如此，值得注意的是，我们对商品期货的实证结果与此不一致。没有稳定，没有超额回报的市场结构。根据这些结果，未来研究不同资产市场中排名相对价格的长期性质，并试图区分这种二分法的两面——具有可预测超额收益的渐近稳定市场与没有可预测超额收益的渐近不稳定市场——可能会产生有趣的新见解。这种新颖的二分法有几个含义。

首先，它根据对横截面资产价格动态和排名资产子集的相对价格的约束，对市场效率进行了新的解释。要么排名靠后、定价较低的资产的相对价格随着时间的推移持续快速下跌，符合这一约束条件，要么存在基于分解的市场效率或风险因素（3.25）-（3.27）。其次，它提出了一种可能性，即众所周知的股票规模效应（Banz，1981；Fama和French，1993）可以用排名靠后的小型公司的相对规模的动态来解释。在定理（3.2）和推论3.3的分解具有普遍性的情况下，规模异常背后的可预测超额回报应与违反上述对横截面资产价格动态和小公司相对价值的约束有关。根据这种解释，股票的规模效应可能是排名较低的小型公司的组成（1.1）和相对规模稳定性的简单结果。这一解释得到了Fernholz（1998）和Famaand French（2007）的实证结果的支持。这些作者表明，小公司成长为大公司——很像（1.1）的等级交叉——解释了大多数规模效应。利用定理3.2和推论3.3的分解更仔细地研究规模效应的未来工作可能会对公司市场资本规模分布与规模异常之间的关系产生有趣的新见解。6结论我们将资产价格表示为一般连续半鞅，并表明排名资产组合的收益可以分解为排名交叉和排名资产子集相对价格的变化。

由于这一结果背后的最低假设，我们的分解只不过是一个基本上与任何资产定价模型一致的会计恒等式。我们表明，随着时间的推移，排名交叉近似为常数，对于排名靠后的资产组合，排名交叉为正值。这一结论意味着，在一个封闭、无股息的市场中，排名靠后的资产的相对价格大致不变，随着时间的推移，排名靠后的资产组合必然会跑赢市场组合，从而产生排名效应。我们使用商品期货证实了我们的理论预测，并表明排名靠后、价格较低的商品组合在1974-2018年期间的表现始终显著优于价格加权市场组合。我们表明，如果这种排名效应不存在，那么2018年排名靠后的价格就必须比排名靠前的价格低得多，这意味着商品价格与实际观察到的价格存在根本差异。ReferencesAlquist，R.和O.Coibion（2014年3月）。商品价格联动与全球经济活动。NBER工作文件20003。Asness、C.S.、T.J.Moskowitz和L.H.Pedersen（2013年）。价值和动力无处不在。《金融杂志》68（3），929–985。Banner，A.、R.Fernholz和I.Karatzas（2005年）。Atlas股票市场模型。应用概率年鉴15（4），2296–2330。Banz，R.W.（1981年3月）。普通股票的回报与市场价值之间的关系。《金融经济学杂志》9（1），3–18。Brennan，M.J.（1958年3月）。存储的供应。《美国经济评论》48（1），50–72。Bryzgalova，S.（2016年2月）。线性资产定价模型中的虚假因素。mimeo，斯塔夫诺德大学。Chinn，M.D.和O.Coibion（2014年7月）。商品期货的预测内容。《期货市场杂志》34（7），607–636。Cochrane，J.H.（2005年）。

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，xN）=NXi=c+1xi，为小型投资组合sc建立了（3.22）。B资产进入和退出本附录考虑了资产进入和退出对理论3.2和推论3.3中分解的影响。在主要分析中，我们假设市场上的资产数量固定在N，并且这些资产在t的任何时候都保持正价格。我们希望放宽这一假设。考虑一个由N>1资产组成的市场，但假设每次t时只有前N<N银行资产可交易。如第3.2节所述，资产按其价格排名，因此每次t时可交易的前N资产是当时t时最昂贵的前N资产。当一项资产跨越并加入前N级时，它进入可交易市场，当它超越并退出topn排名时，它就会退出可交易市场。由于每次t时只有排名前n位的资产可交易，因此修改第3.2节中仅针对可交易资产的排名相对价格θ（k）的定义很有用。对于所有k=1，n、 设θ（k）（t）=p（k）（t）Pn`=1p（`）（t）。（B.1）我们修改了排名最靠后和排名最靠前的资产子集ΘscandΘbc的相对价格的定义，类似地，以便对于任何削减1≤ c<n，Θsc（t）=nXk=c+1θ（k）（t），并且，对于任何截面积1≤ c≤ n、 Θbc（t）=cXk=1θ（k）（t）。大型投资组合BC3与第3.3节中的定义相同，但有额外的限制，即排名下降系数c弱于可交易资产的数量n。该限制确保大型投资组合只持有每次t时可交易的资产，并立即出售任何因退出前n名而变为不可交易的资产。小型投资组合scand市场投资组合m还需要在此设置中修改定义，包括资产进入和退出。让修改后的市场投资组合m（t）=（m（t）。

，mN（t））由mk（t）定义=1/bc（0），用于k≤ n0，对于k>n，对于所有k=1，N、 投资组合M在每次t时，在经济体中的N项可交易资产中所占份额相等。由于这些N项可交易资产也是N项排名靠前的资产，因此修改后的市场投资组合与第3.3节中定义的大型投资组合B不相等。为确保初始条件（3.14）成立，投资组合MHA的权重等于投资组合MHA中定义的修改后的排名相对价格θ（k）持有资产的1/bc（0）股，而非1股。投资组合要求持有相同资产一股的投资组合具有相同的回报。（B.1），因为Wmk（t）=p（k）（t）Θbc（0）Vm（t）=Θbc（0）p（k）（t）Θbc（0）Pn`=1p（`）（t）=θ（k）（t），（B.2）对于所有k=1，n和所有t。对于任何等级削减1≤ c<n，让修改后的小型投资组合sc（t）=（sc，1（t），sc，N（t））由c，k（t）定义=0，代表k≤ cΘsc（0）-Θsn（0），对于n≥ k>c0，对于k>n，对于所有k=1，N、 投资组合SCN购买相同数量的N- C市场上最小、价格最低的可交易资产。值得注意的是，该投资组合不持有n级以下非交易资产的任何股份，这一修改将SCF与标准小型投资组合scof第3.3节区分开来。修改后的小型投资组合schas权重由WSCK（t）决定=0，代表k≤ cθ（k）（t）Θsc（t），对于n≥ k>c0，对于k>N，所有k=1，N和所有t。因此，投资组合scprice对N中的每一个进行加权- c其持有的可交易资产。在这个包括资产进入和退出的设置中，我们对定理3.2进行了以下扩展。定理B.1。适用于所有1≤ c<n，修改后的小型投资组合是一个满足Vsc（T）的价值过程- log Vm（T）=ZTd∧n（t）Θbn（t）+d∧c（t）- d∧n（t）Θbn（t）- Θbc（t）+ 对数Θsc（T）- 所有T的logΘsc（0），（B.3）。

适用于所有1≤ c≤ n、 大型投资组合BCC有一个价值过程Vbc，它满足了Vbc（T）- log Vm（T）=ZTd∧n（t）Θbn（t）-d∧c（t）Θbc（t）+ logΘbc（T）- 所有T的logΘbc（0），（B.4）。证据首先，注意（B.4）是定理3.2中（3.23）的直接结果。这是因为修改后的市场投资组合mis相当于大投资组合bn，并且在第3.3节中，投资组合scholdsΘsc（0）-Θsn（0）份资产，而不是一份，以确保初始条件（3.14）保持不变。持有相同资产一股的投资组合具有相同的回报。因此，我们可以使用（3.23）来描述bcand和mand的相对回报，然后取差值得到（B.4）。对于（B.3），让Fcn:RN→ R是函数fcn（x，…，xN）=nXi=c+1xi，其中1≤ c<n.对于排序的资产共享过程θ（1），…，函数Fcnis是正则的，θ（N）根据Karatzas和Ruf（2017）的定义3.1和定理3.8，因为它是连续的和凹的，我们假设价格总是正的。因为我们假设没有三个点，所以当地时间过程∧θ（k）-θ（k+`）=0，表示所有`≥ 2且所有k=1，N- 1.因此，Karatzas和Ruf（2017）的例3.9和命题4.8意味着Vsc（T）/Vm（T）=Fcn（θ（1）（T），θ（N）（T））Fcn（θ（1）（0），θ（N）（0））expZTdΓFcn（t）Fcn（θ（1）（t），θ（N）（t））=十亿欧元（吨）- Θbc（T）Θbn（0）- Θbc（0）expZTdΓFcn（t）Θbn（t）- Θbc（t）, （B.5）对于所有T，ΓFcn（T）=∧c（T）- ∧n（t），对于所有t。最后，请注意，定理3.2适用于修改后的市场投资组合mimpliessthatlog Vm（t）- 日志Vm（T）=-ZTd∧n（t）Θbn（t）+logΘbn（t）- 所有T的logΘbn（0），（B.6）。从（B.5）的对数中减去（B.6），得出结果（B.3）。我们可以通过从（B.3）中减去（B.4），将推论3.3扩展到此设置，其中包括资产进入和退出。推论B.2。

适用于所有1≤ c<n，修改后的小投资组合Sc相对于大投资组合Bcstieslog Vsc的价值（T）- 对数Vbc（T）=ZTd∧c（t）Θbc（t）+d∧c（t）- d∧n（t）Θbn（t）- Θbc（t）+ 日志Θsc（T）/Θbc（T）- 日志Θsc（0）/Θbc（0）,（B.7）对于所有T。定理B.1和推论B.2的分解（B.3）、（B.4）和（B.7）将定理3.2和推论3.3的结果扩展到包括资产进入和退出超时的设置。（3.22）和（B.3）之间最显著的差异是当地时间过程d∧n，它进入（B.3）的负面影响，并衡量资产退出修改后的小型和市场投资组合的影响。特别是，差异d∧n（Θbn-Θbn-Θbc）始终是负的，它衡量了资产退出对修改后的小投资组合Sc相对于修改后的市场投资组合m的影响。因此，通过将这一术语与非负本地时间过程d∧c进行比较，我们能够比较资产退出和排名交叉从最底层到顶层对累积相对投资组合回报的影响。将（B.4）和（B.7）与（3.23）和（3.24）进行比较时，会得出类似的结论。局部时间过程d∧在（B.4）和（B.7）中均出现，但在（3.23）和（3.24）中均未出现。与（B.3）一样，该当地时间过程衡量资产退出的影响。在分解的情况下（B.4），过程d∧n测量资产退出对修改后的市场组合m的影响，而在（B.7）的情况下，它测量资产退出对修改后的小组合sc的影响。定理B.1和推论B.2表明，资产进入和退出并没有推翻我们在定理3.2和推论3.3中的结果的基本见解。事实上，即使在引入进入/退出后，排名交叉和排名资产子集的相对价格仍然是排名最低和排名最高资产组合相对回报的关键决定因素。

至于排名效应，分解（B.3）-（B.7）表明，如果排名靠后的资产的相对价格大致稳定，且资产退出强度不太大，则排名靠后的资产的投资组合将随着时间的推移表现优于排名靠前的资产的投资组合。因此，第5节中讨论的关于市场效率的结论在本次扩展中仍然有效，并补充了一条警告，即随着时间的推移，资产进入和退出的频率不得太高，从而主导随着时间推移的等级交叉的影响。归根结底，排名交叉与资产进入和退出的强度是经验性问题，取决于所考察的特定市场。商品交易所起始平均值和标准差交易日原木价格变化豆粕CBOT 1/1969 0.034（0.303）豆油CBOT 1/1969 0.027（0.289）大豆CBOT 1/1969 0.027（0.261）小麦CBOT 1/1969 0.027（0.292）玉米CBOT 1/1970 0.025（0.260）生猪CME 1/1970 0.022（0.330）活牛CME 1/1971 0.028（0.201）棉花NYBOT 1/1973 0.018（0.288）橙色果汁CEC 1/1973 0.029（0.305）铂金NYMEX 1/1973 0.041（0.278）银COMEX 1/1973 0.046（0.320）Co-ffee CSC 1/1974 0.013（0.360）木材CME 1/1974 0.035（0.326）金COMEX 1/1975 0.045（0.204）燕麦CBOT 1/1975 0.009（0.345）糖CSC 1/1975-0.032（0.408）小麦，K.C.KCBT 1/1977 0.016（0.251）饲养牛CME 1/1978 0.028（0.169）加热油NYMEX 1/1980 0.024（0.328）可可CSC 1/1981 0.008（0.301）小麦，明尼苏达州。

MGE 1/1981 0.007（0.233）钯NYMEX 1/1983 0.065（0.326）原油NYMEX 1/1984 0.026（0.354）RBOB汽油NYMEX 1/1985 0.034（0.348）糙米CBOT 1/1987 0.035（0.277）铜COMEX 1/1989 0.027（0.256）天然气NYMEX 1/1991 0.014（0.515）牛奶CME 9/1997 0.016（0.277）布伦特原油ICE 8/2008-0.042（0.332）布伦特汽油ICE 2008年8月-0.047（0.287）表1：商品期货合约清单以及每种商品交易的交易所、每种商品开始交易的日期以及每种商品每日原木价格变化的年平均值和标准差（括号内）。价格加权（市场）小-大组合投资组合1974-2018年3.44%（17.88）10.37%（18.72）0.40%（20.15）1974-1980年10.65%（32.58）15.11%（34.97）7.80%（35.01）1980-1990年-3.19%（15.96）8.17%（16.34）-8.19%（18.66）1990-2000年0.28%（8.03）5.54%（10.09）-2.21%（10.15）2000-2010年7.99%（16.15）15.89%（14.93）4.98%（19.29）2010年-2018年1.68%（12.99）7.85%（14.88）-0.59%（14.20）表2：年化1974-2018年价格加权（市场）投资组合、小型（排名靠后）和大型（排名靠前）投资组合月度回报的平均值和标准差（括号内）。小投资组合相对小投资组合相对toPrice加权（市场）投资组合大投资组合平均值（st.dev.）夏普比率平均值（st。

dev.）Sharpe比率1974-2018 6.93%（12.74）0.54 9.97%（18.53）0.541974-1980 4.46%（16.92）0.26 7.30%（26.41）0.281980-1990 11.35%（13.78）0.82 16.35%（19.66）0.831990-2000 5.26%（8.55）0.62 7.76%（12.97）0.602000-2010 7.91%（13.08）0.60 10.91%（18.39）0.592010-2018 6.17%（9.93）0.62 8.44%（8.44 13.89）0.61表3：年平均值、标准偏差（括号内），1974-2018年，小（排名靠后）投资组合相对于价格加权（市场）和大（排名靠前）投资组合的月度收益夏普比率。排名靠后的价格相对于所有价格的比例排名靠后的价格相对于排名靠前的价格事实上，2018年0.01275 0.00365实际，2018年0.26860 0.36724表4：排名靠后的小商品组合在1974-2018年期间没有跑赢价格加权（市场）和排名靠前的大商品组合所需的2018年排名靠后商品的反事实相对价格，与2018年的实际相对价格一起报告。价值异常价值异常干扰0.324*（0.145）0.477*（0.211）相对于0.270***（0.028）的小投资组合价格加权（市场）投资组合相对于0.380***（0.040）的小投资组合大投资组合调整R0.15 0.14表5：1974-2018年月度价值异常超额收益作为因变量和排名效应超额收益作为自变量的回归结果。