等级效应 - 外文文献专区

2022-6-23 19:43:47

排名效应Ricardo T.Fernholz+Christo ffer KochClaremont McKenna College达拉斯联邦储备银行2018年12月17日摘要我们将排名靠后的低价资产相对于市场的投资组合的回报分解为排名交叉和排名靠后资产的相对价格变化。这种分解是通用的，并且与几乎任何资产定价模型都是一致的。交叉衡量排名的变化，并平稳地增加加班时间，而回报波动则由相对价格的波动驱动。我们的结果表明，在一个封闭、无股息的市场中，排名靠后的资产的相对价格大致不变，随着时间的推移，排名靠后的资产的投资组合将跑赢市场投资组合。我们发现排名靠后的相对商品期货价格仅略有上涨，并证实了我们理论预测的实质超额收益的存在。如果这些超额回报不存在，那么2018年排名靠前的相对价格将不得不远远高于实际观察到的价格——这将意味着商品价格分布的根本不同。JEL代码：G11、G12、G14、C14关键字：资产定价、资产定价异常、资产定价因素、有效市场、商品价格、非参数方法本文中表达的观点仅为作者个人观点，不一定反映达拉斯联邦储备银行或美联储系统的观点。所有剩余错误都是我们自己的错误。+克莱蒙特-麦肯纳学院，加利福尼亚州克莱蒙特市第九东街500号，邮编：91711，rfernholz@cmc.edu达拉斯联邦储备银行，2200 North Pearl Street，Dallas，TX 75201，christo Offer。koch@dal.frb.org1介绍考虑一个由多种资产组成的市场。

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2022-6-23 19:43:51

假设我们将这些资产分为排名靠前的一半，由最昂贵的资产组成，排名靠后的一半由最便宜的资产组成。出现了两个事实。首先，在没有股息的情况下，排名靠后的资产相对于排名靠前的资产的回报将取决于两个因素：排名靠后的资产相对于排名靠前的资产的价格变化以及从排名靠后的资产过渡到排名靠前的资产的数量。其次，如果排名靠后的资产与排名靠前的资产的相对价格随着时间的推移保持不变，那么这种交叉将确保排名靠后的一半资产比排名靠前的一半资产提供更高的回报，这是一种排名效应。这两个事实相当于会计身份，我们将探讨其含义。利用将资产价格表示为一般连续半鞅的新数学方法，我们证明了相对于市场的排名资产子集组合的收益可以分解为排名交叉和排名资产子集相对价格的变化。具体而言，我们将相对回报描述为相对回报=排名交叉+银行资产子集相对价格的变化，（1.1），其中排名资产子集的相对价格波动，并推动相对回报波动。相比之下，排名交叉点大致保持不变，排名靠后的低价资产组合为非负，排名靠前的高价资产组合为非正。分解（1.1）是通过对单个资产价格的动态进行少量假设来实现的，这意味着我们的结果非常普遍，它们适用于几乎所有的均衡资产定价模型，在某种意义上，在下文第3节中进行了精确描述。

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2022-6-23 19:43:55

事实上，分解（1.1）只不过是一个会计恒等式，在离散时间近似，在连续时间精确。这种普遍性是我们非传统方法的优势之一。我们用来表示资产价格的连续半鞅允许一个几乎不受限制的时变动态结构和协同运动，这与任何经济模型的内生价格动态一致。这样，我们的框架既适用于资产价格的理论（Sharpe，1964；Lucas，1978；Cochrane，2005）和行为（Shiller，1981；DebondtandThaler，1989），也适用于实证文献中确定的许多资产定价因素的计量经济学规范。我们的结果对资产市场的效率有影响。我们表明，在一个股息和资产随时间的进入和退出所起的作用可以忽略不计的市场中，（1.1）中排名交叉的非负性意味着排名靠后、价格较低的资产组合必然会跑赢市场，除非在特殊情况下，这些排名靠后资产的相对价格随时间以非常快的速度下降。因此，为了排除排名效应可预测的超额回报，低价资产的相对价格必须以足够快的速度随时间平均下降，以压倒可预测的正排名交叉。这一结果从对排名相对资产价格的动态行为的约束方面重新预测了市场效率。通过这一视角，我们的方法提供了一种新的机制，可以发现各种不同资产市场中持续存在的风险因素或不足。我们用于推导分解（1.1）的一般数学方法类似于Fernholz和Stroup（2018）。

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2022-6-23 19:43:57

与这些作者一样，我们能够通过将相对投资组合回报的波动性与排名资产子集相对价格的变化联系起来，来描述一类在不同经济模型和计量经济学规范中普遍存在的资产定价因素。通过这种方式，分解（1.1）自然不会受到最近对经验资产定价文献所揭示的难以置信的大量因素和异常现象的批评（Novy Marx，2014；Harvey et al.，2016；Bryzgalova，2016）。我们用商品期货来检验我们的理论预测。这个市场为我们的理论提供了一个有力的检验，因为商品期货合约不支付股息，很少退出市场。虽然股息和资产进入/退出可以纳入我们的框架，并且不会推翻分解的基本观点（1.1），但它们确实会改变我们结果的形式并使其复杂化。我们的实证分析侧重于简单的价格加权投资组合，即价格较低和价格较高的商品中排名最低和最高的子集。我们将1974-2018年间排名最靠后和最靠前的商品期货投资组合的相对回报率分解为（1.1），市场投资组合定义为价格加权投资组合，持有每个商品期货合约的一个单位。实证研究表明，排名靠后的商品期货的相对价格在我们研究的四十年期间仅略有下降。因此，正如该理论所预测的那样，排名靠后的投资组合相对于累积正排名交叉所驱动的市场表现出正的长期回报，而排名靠前的投资组合相对于累积负排名交叉所驱动的市场表现出负的长期回报。

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mingdashike22

2022-6-23 19:44:00

低价商品期货的最低收益组合持续且大幅优于价格加权市场组合，在大多数几十年中，超额收益的夏普比率为0.6-0.8。这种排名效应类似于Asness等人（2013）描述的商品期货价值异常。这些作者根据当前价格相对于过去价格对商品进行排名，并表明由高价值商品期货组成的投资组合——那些今天价格相对于过去较低的合约——持续且实质上你执行由低价值商品期货组成的投资组合——那些今天价格相对于过去较高的合约。鉴于其与我们的结果相似，商品期货的价值异常可以用分解（1.1）来解释。这种分解意味着，只有在排名靠后的商品的相对价格持续快速下降的情况下，商品才没有排名效应，因此商品也没有价值异常。为了调查这种可能性，我们进行了反事实的研究，在这种情况下，我们施加了如此快速的相对价格下降。我们发现，任何不存在排名效应或价值异常的情况都意味着2018年的相对商品期货价格存在根本不同。特别是，排名最低和排名最高的大宗商品价格必须比2018年相差几个数量级。这一发现对Asness等人（2013年）的结果产生了一种新的解释。重要的是要强调，我们用来得出结果的数学方法是公认的，也是统计学和数理金融领域积极研究的主题。我们的结果和方法与Karatzas和Ruf（2017）最为相似，他们提供了类似于（1.1）的返回分解。

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2022-6-23 19:44:03

他们的结果基于对费尔霍尔茨（2002）的原始描述，这导致了Banner等人（2005）、Pal和Pitman（2008）和Fernholz（2017）等的后续贡献。这些贡献主要集中于随机微分方程的解以及秩交叉与不同秩过程的相对增长率和值之间的联系。相反，我们的结果是在一个关注资产定价风险因素和市场效率问题的经济背景下进行解释的。我们的论文也是第一篇对商品期货市场的这些结果进行实证检验的论文，如上所述，这与我们的理论结果所依据的假设最为吻合。我们的结果提出了关于均衡资产定价模型对不同排名资产相对价格的影响的问题。由于我们的结果表明，排名不同的资产子集的相对价格是一个普遍的风险因素，因此不同模型对这些相对价格的预测成为一个重要的兴趣问题。特别是，我们的结果意味着排名相对价格应该与内生随机贴现因子相联系，在均衡状态下，该因子与经济主体的边际效用相联系。然而，这种联系背后的经济和金融力量并不明显。尽管如此，我们的论文表明，除非排名靠后的低价资产的相对价格随着时间的推移持续快速下跌，否则这种联系必然存在。2一个简单的例子假设经济体由N>1项资产组成，其在t时的个别价格由pi（t），i=1，N、我们希望将这些个别资产的价格从最昂贵到最昂贵进行排名。让p（k）（t）表示第k位（最昂贵）资产的价格，因此p（1）（t）≥ p（2）（t）≥ · · · ≥ p（N）（t）。

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2022-6-23 19:44:07

（2.1）我们根据资产各自的相对价格对资产进行排名。个人资产和排名资产之间的区别很重要。随着时间的推移，个别资产所占的份额不同，因为它们的价格会随着各种冲击而相对变化。关联资产是指在某一时刻占据特定等级的单个资产。对于任何1≤ m<N，表示在t byPtop（t）时排名前m的资产=p（1）（t），p（m）（t）, （2.2）和底部N- m按时间t排序的资产（t）=p（m+1）（t），p（N）（t）. （2.3）从时间段t到时间段t+1，排名靠前的子集（2.2）中的每一项单独资产都可以留在该子集中，或交叉到排名靠后的子集（2.3）。更准确地说，对于每个单独的pi（t）∈ Ptop（t），任一pi（t+1）∈ Ptop（t+1）或pi（t+1）∈ Pbot（t+1）。类似地，时段t中排名靠后的子集中的每个单独资产可以保留在该子集中，也可以交叉到排名靠前的子集中。更准确地说，对于每个单独的pi（t）∈ Pbot（t），任一pi（t+1）∈ Pbot（t+1）或pi（t+1）∈ Ptop（t+1）。如果排名靠后和排名靠前的资产子集随着时间的推移以类似的速度增长，那么这两个子集之间的横向交叉将确保排名靠后的资产相对于排名靠前的资产随着时间的推移平均获得更高的回报。要了解原因，请注意，从顶部子集中退出的单个资产的增长速度比从底部子集中退出的单个资产的增长速度慢。这个简单的观察结果表明，随着时间的推移，顶部子集中的单个资产的平均增长速度必须比底部子集中的单个资产的平均增长速度慢。

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大多数88

2022-6-23 19:44:10

因此，如果两个排名靠后的资产子集随着时间的推移以相似的速度增长，那么排名交叉确保排名靠后的资产子集中的单个资产产生的回报高于排名靠前的资产子集中的单个资产，从而产生排名效应。此参数如图1所示。平均而言，从时间t到时间t+1，排名靠前和靠后的子集的价格相对彼此保持稳定（箭头a和b）。然而，由于在同一时期内，一些个别资产从顶部子集交叉到底部子集（箭头c），而一些个别资产从底部子集交叉到顶部子集（箭头d），从时间t到时间t+1，底部子集中的单个资产的平均回报率将高于从时间t到时间t+1，顶部子集中的单个资产的平均回报率。虽然这个直观的论点是有目的的说明性和非正式的，但我们在下一节的严格框架中证明了它的有效性。当然，关于排名效应的这一直观论点依赖于随着时间的推移，相对于排名靠前的资产，排名靠后的资产价格的稳定性。如果排名靠前的资产相对于排名靠后的资产价格持续上涨，那么排名效应可能会消失。然而，持续的相对价格上涨不太可能持续很长时间，因为这些上涨最终会导致排名靠后的资产相对于排名靠前的资产消失。因此，虽然排名不同的资产子集的相对价格可能会随着时间的推移而大幅波动，但这些相对价格在长期内持续上升或下降的可能性似乎较小。在第4节中，我们确认1974-2018年商品期货排名资产子集的相对价格以这种方式大致稳定，如预期的那样。随着时间的推移，资产进入和退出市场的可能性提出了另一个重要的警告。

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2022-6-23 19:44:12

本节中的直观论点依赖于一组固定不变的相同N资产。然而，在现实世界中，资产可能因各种原因从市场上消失，包括破产和投资者的利益损失。如果资产退出市场的比率非常大，那么这可能会降低排名较低资产（最有可能退出的资产）的回报率，从而影响排名效应。归根结底，资产进入和退出是否能有效抵消排名效应是一个经验问题，取决于所考虑的特定市场。在第4节中，我们选择将重点放在商品期货市场进行实证分析，部分原因是资产很少退出这个市场。最后，图1所示排名效应背后的简单逻辑是最显著的不支付股息的资产市场。在没有股息的情况下，价格变化资本金完全决定回报，这是本节直观解释的核心。在存在股息的情况下，排名靠后的资产支付的股息可能低于排名靠前的资产。如果股息支付的差异率足够大，那么即使早期关于等级交叉和相对价格的论点仍然有效，等级效应也可能消失。在这种情况下，排名靠后的资产仍将比排名靠前的资产产生更高的资本收益，如图1所示，但排名靠前的资产支付的相对较高的股息将抵消这种资本收益率的差异。在这种情况下，对资本收益有排名效应，但不同的股息率意味着对回报没有影响。在接下来的部分中，我们展示了图1中描述的简单逻辑具有严格的数学框架。

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mingdashike22

2022-6-23 19:44:16

然后，我们研究了商品期货价格，发现从1974年到2018年，存在着一个巨大且一致的排名效应，其中排名靠后的资产组合表现优于排名靠前的资产组合。与前面的讨论一致，决定专注于商品期货的主要动机是这些资产不支付股息，很少退出市场。事实上，在我们所考虑的1974-2018年期间，没有发生此类事件。通过这种方式，商品未来的选择使我们的实证分析尽可能与我们在本节中描述的简单论点和我们在下一节中发展的严谨理论保持一致。3理论在本节中，我们描述了排名最低和排名最高的资产子集的相对价格、排名交叉和排名资产组合相对于市场的回报之间的关系。这是使用Fernholz和Stroup（2018）的连续半鞅资产价格表示完成的。这些通用方法考虑到了广泛的相对回报特征，并囊括了几乎所有的均衡资产定价理论，因此我们的结果不需要对交易行为、代理人信念或市场微观结构的特定模型作出承诺。3.1设置考虑由N>1项资产组成的市场。时间是连续的，用t表示，这个市场的不确定性用概率空间表示(Ohm, F、 P）具有正确的连续过滤{Ft；t≥ 0}. 每个资产价格pi，i=1，N、由一个适用于{Ft；t的正连续半鞅表示≥ 0}，因此pi（t）=pi（0）+gi（t）+vi（t），（3.1），其中gi是有限变化的连续过程，via是连续的平方可积局部鞅，pi（0）是初始价格。

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2022-6-23 19:44:18

半鞅表示法（3.1）将资产价格动态分解为一个时变累积增长分量gi（t），其总变化在每个区间[0，t]上是有限的，以及一个随机波动的局部鞅分量vi（t）。通过将资产价格表示为连续半鞅，我们能够对基础经济环境施加几乎没有结构的影响。本文中我们的方法是非常规的，因为我们不致力于特定的资产定价模型。相反，继Fernholz和Stroup（2018）之后，我们在一个非常普遍的背景下得出了结果，我们理解这些结果背后的最小假设意味着它们将与几乎任何基本经济模型一致。实际上，本质上，由模型内生产生的任何资产价格动态都可以表示为形式（3.1）的一般连续半鞅。这种普遍性至关重要，因为我们的目标是得出适用于所有经济和金融环境的结果。框架（3.1）所依赖的假设是什么？这些假设如何与其他资产定价理论相关联？第一个重要的假设是，资产不支付股息，因此收益完全由通过价格变化获得的资本收益驱动。从这个意义上讲，我们可以将市场上的N项资产视为展期期货合约，这些合约保证在未来某一日期交付一些基础实物资产。我们强调，这个假设只是为了简单起见。我们的结果可以很容易地推广到包含类似于（3.1）的一般连续半鞅分红过程。包括这样的分红过程会使理论复杂化，但不会改变我们结果的基本观点，这一点我们将在下面进一步讨论。其次，我们考虑一个封闭的市场，在这个市场中，随着时间的推移，没有资产进入或退出。我们假设市场上的N项资产随着时间的推移保持不变。

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2022-6-23 19:44:21

在附录B中，我们将主要结果扩展到一个市场，在这个市场中，资产偶尔会退出，并随着时间的推移被新资产取代。虽然这种进入和退出确实使我们的结果复杂化，但它并没有改变基本观点，即排名交叉和排名资产子集相对价格的变化是回报的关键决定因素，如（1.1）所示。此外，在第4节的实证分析中，我们考虑了在我们的样本期内资产退出（更重要的交易）不会发生的商品期货合约，从而使我们的实证分析尽可能与无股息和无进入或退出的理论假设保持一致。（3.1）背后的另一个假设是，价格是时间t的连续函数，适用于过滤{Ft；t≥ 0}. 连续性假设对于数学可处理性至关重要，因为我们依赖于在连续时间内容易获得其解的随机微分方程来推导我们的理论结果。鉴于我们的设置的普遍性，很难看出将瞬时跳跃引入资产价格动态（3.1）将如何有意义地改变我们的结论。尽管如此，在第4节中，我们使用月度离散时间资产价格数据确认了连续时间结果的有效性，这一点很重要，也很令人放心。然而，这并不奇怪，因为使用离散时间数据，无法将瞬时价格上涨与快速但持续的价格变化区分开来，根据（3.1）的规定，这是允许的。最后，资产价格调整的假设只意味着它们不能依赖未来。这反映了代理无法将有关随机过程未来实现的信息传递到当前的现实。分解（3.1）将资产价格动态分为两个不同的部分。

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2022-6-23 19:44:24

第一种是有限变化过程gi，其瞬时方差为零（零二次方差），衡量价格随时间的累积增长。尽管变化有限，但累积增长过程GI可以根据经济和金融条件以及其他因素（包括不同资产的价格）不断变化。第3.4节中，我们表明，我们的主要相对收益分解结果也包括一个有限的变化过程。在随后的实证分析第4节中，我们使用离散时间资产价格数据构建了这一有限变化过程，并将其时间序列行为与正二次变化（瞬时方差大于零）过程的行为进行了明确对比。分解的第二部分（3.1）由平方可积局部鞅vi组成。通常，该过程具有正的瞬时方差（正的二次方差），因此其波动比有限变量累积增长过程gi大得多，也快得多。请注意，局部鞅比鞅更一般（Karatzas和Shreve，1991），因此包含一类非常广泛的连续随机过程。直觉上，这个过程可以被认为是一个随机游走，其方差可以根据经济和金融条件以及其他因素不断变化。此外，我们考虑了不同资产价格的局部鞅分量之间的潜在时变协方差的丰富结构。我们将我们的理论结果应用于商品期货市场，这是我们的理论最简洁的应用之一，因为商品很少退出市场，其未来合约也不会产生股息。

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kedemingshi

2022-6-23 19:44:27

许多研究将商品期货分解为风险溢价和未来现货价格预测（Fama和French，1987；Chinnand Coibion，2014）。大宗商品现货价格是未来价格的主要决定因素，反过来又与存储成本和供需波动相关（Brennan，1958；Alquist和Coibion，2014）。在本文献的背景下，从决定现货和期货商品价格的基本经济和金融力量到资产价格的一般连续半鞅表示（3.1），存在许多潜在映射。事实上，存储成本上升、需求增加、风险溢价上升以及许多其他因素都可以表示为累积增长过程gi的增加。同样，影响大宗商品市场的所有不可预测的随机冲击都可以用局部鞅vi的变化来表示。然而，关键的一点是，所有这些模型以及它们强调的不同经济和金融因素都与资产价格的简化形式表示相一致（3.1）。毕竟，任何提出商品价格增长和波动解释的模型都可以转化为我们的设置。（3.1）的优点是，我们无需承诺任何特定的资产定价模型，从而可以得出所有不同模型的一致结果。3.2排名资产为了描述排名效应，有必要引入排名资产价格的符号。然而，在这样做之前，确定相对资产价格是有用的。设θ=（θ，…，θN），其中每个θi，i=1，N、由θi（t）=pi（t）PNi=1pi（t）给出。（3.2）由于连续半鞅在假设下均为正，因此0<θi<1，对于所有i=1，N、通过构造，我们还得到θ+···+θN=1。对于k=1。

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kedemingshi

2022-6-23 19:44:30

，N，让p（k）（t）表示时间t时第k个最昂贵资产的价格，因此max（p（t），pN（t））=p（1）（t）≥ p（2）（t）≥ · · · ≥ p（N）（t）=最小值（p（t），pN（t）），（3.3），并设θ（k）（t）为时间t第k最昂贵资产的相对价格，因此θ（k）（t）=p（k）（t）PNi=1pi（t）。（3.4）在我们下面的分析中，我们考虑了由N项资产中排名最低和排名最高的子资产组成的投资组合。为此，引入排名靠后和靠前资产子集合相对价格的符号很有用。对于任何切割1≤ c<N，设ΘSc表示N的相对价格- c排名靠后、价格最低的资产，因此Θsc（t）=NXk=c+1θ（k）（t）。（3.5）类似地，让Θbc表示c排名靠前、定价最高的资产的相对价格，因此Θbc（t）=cXk=1θ（k）（t），（3.6）对于所有1≤ c≤ N、为了描述由排名资产组成的投资组合的动态，有必要引入局部时间过程的概念。局部时间过程是必要的，因为秩函数是不可微的，因此我们不能简单地应用它的^o引理来描述由排名资产组成的投资组合的行为。对于任何连续过程x，x的0处的本地时间是由∧x（t）定义的过程∧xd=|x（t）|- |x（0）|-Ztsgn（x（s））dx（s）. （3.7）如Karatzas和Shreve（1991）和Fernholz（2017）所述，x的本地时间测量过程x花费的时间量接近零，也可以定义为∧x（t）=lim↓02Zt{| x（s）|<}ds。（3.8）为了能够将资产排名与资产指数联系起来，让ωtbe为{1，…，N}的置换，例如，对于1≤ i、 k级≤ N、如果p（k）（t）=pi（t），ωt（k）=i。（3.9）这一定义意味着，当资产i是第k个最昂贵的资产时，ωt（k）=i，以某种一致的方式断开联系。当地时间过程在分解银行资产不同投资组合的收益方面起着关键作用。

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2022-6-23 19:44:34

特别地，过程的局部时间θ（k）- θ（k+1），k=1，N- 1，出现在下面的整个分析中。为了简化符号，那么，让∧k（t）=∧θ（k）-θ（k+1）（t），（3.10），对于所有k=1，N-1、当地时间过程∧Km测量秩交叉的强度。更具体地说，对于每个k=1，N-1，局部时间过程∧k测量强度At例如，如果pi（t）=pj（t）且i>j，那么我们可以设置ωt（k）=i和ωt（k+1）=j。k-th和k+1排名资产在排名上交叉，因为任何时候过程θ（k）-θ（k+1）为零，秩中存在潜在的交叉。最后，为了符号完整性，设∧N=0。假设3.1。对于所有t，如果对于某些i，pi（t）=pj（t），j=1，N、 i 6=j，然后pi（t）6=p`（t），对于所有`=1，N、 `6=i和`6=j。假设3.1确保不会出现三个点，这意味着不超过两个不同的资产在同一时间t具有相同的价格。此假设是为了简单起见。我们在第3.4节中的主要结果可以扩展到确实存在三个点的市场，但这种扩展在不改变基本洞察力的情况下，使这些结果的阐述变得非常复杂。我们建议读者参考Karatzas和Ruf（2017）的更一般框架，以扩展我们的结果。3.3排名资产组合排名资产组合π（t）=（π（t），πN（t））表示，对于每个秩k=1，…，应在时间t持有k-thranked资产ωt（k）的πk（t）股份，N、更准确地说，排名资产组合π表示，应持有价格为p（k）的资产的πk股，p（k）是排名第k的资产的价格。股票π。

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大多数88

2022-6-23 19:44:37

，πn组成的复本必须是可测量的、可调整的和非负的。投资组合π的值取决于Vπ>0，满足度Vπ（t）=NXk=1πk（t）p（k）（t），（3.11）对于所有t。有时也可以用权重来描述投资组合π，用wπ（t）=（wπ（t），wπN（t）），用于衡量投资组合π在每项资产中所占的比例。一个投资组合所持有的每项排名资产的份额πk很容易与该资产的权重联系起来。事实上，假设3.1比简化第3.4节中的结果所需的略强。我们对这种简化所需的假设是，过程θ（k）的局部时间为零- θ（k+`），k=1，N- 2, ` ≥ 2，等于零。参见Ichiba et al.（2011）和Ichiba et al.（2013）。假设投资组合只持有每项资产的非负份额，因此不持有空头头寸，仅为简单起见。我们的理论和结果也可以推广到多空投资组合。投资组合，wπk。特别是，投资组合π（t）=（π（t），对于所有秩k=1，…，πN（t））的权重等于towπk（t）=p（k）（t）πk（t）Vπ（t），（3.12），N和所有t，因为（3.12）等于投资组合π投资于排名第k位资产的美元价值除以投资组合π的美元价值。使用（3.11）和（3.12）很容易确定重量wπksum最多为1。我们要求所有投资组合满足自我融资约束，这确保投资组合的收益或损失π能够反映投资价值随时间的所有变化。这意味着vπ（t）- Vπ（0）=ZtNXk=1πk（t）dpωt（k）（t），（3.13）对于所有t。

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2022-6-23 19:44:40

为了具有可比性且不丧失一般性，我们将所有投资组合的初始持有量设置为等于经济体中所有资产的组合初始值，因此所有投资组合π的vπ（0）=NXk=1p（k）（0），（3.14）。在我们的许多理论和实证分析中起核心作用的投资组合的一个简单例子是市场投资组合，我们用m表示。市场投资组合m持有每项资产的一部分，因此m（t）=（1，…，1）代表所有t。接下来（3.11），我们得到市场投资组合的价值Vm，由Vm（t）=NXk=1mk（t）p（k）（t）=NXk=1p（k）（t）=NXi 1pi（t）给出，（3.15）对于所有t，最后一个等式（3.15）如下，因为所有N个资产价格的总和总是相同的，无论这些价格是在k级还是指数i中求和。请注意，市场投资组合满足自我融资约束，因为Ztnxk=1mk（t）dpωt（k）（t）=ZtNXi=1dpi（t）=NXk=1pi（t）-NXi=1pi（0）=Vm（t）- 所有t的Vm（0），（3.16）。它也满足初始条件（3.14），如t=0时的评估（3.15）所示。市场投资组合m的权重等于（3.4）中定义的排名相对价格θ（k）。这是从（3.12）和（3.15）得出的，它们共同意味着Wmk（t）=p（k）（t）Vm（t）=p（k）（t）PNi=1pi（t）=θ（k）（t），（3.17）对于所有k=1，这样，市场投资组合就是一个价格加权投资组合，因为它投资于每项资产的金额与该资产的价格成比例。对我们的理论和实证分析至关重要的另外两个投资组合是排名最低和排名最高的资产子集的投资组合。对于任何1≤ c<N，排名靠后的低价资产的“小”投资组合用sc（t）=（sc，1（t），sc，N（t）），由c定义，k（t）=（0，对于k≤ c1/sc（0），对于k>c，（3.18），对于所有k=1。

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2022-6-23 19:44:43

，N.投资组合购买数量相等的“最小”、价格最低的股票N- c市场中的资产，并具有wsck（t）=（0，对于k）给出的权重≤ cθ（k）（t）Θsc（t），对于k>c，（3.19），对于所有k=1，N和所有t。因此，小投资组合scprice加权N- 它持有的cassets，其方式类似于市场投资组合，该组合对所有N种资产进行价格加权。对于任何1≤ c≤ N、为了简单起见，我们使用符号dpωt（k）（t）表示排名靠前、定价较高的资产的“大”投资组合，并注意到dpωt（k）（t）=PNi=1{ωt（k）=i}dpi（t），对于所有k=1，N和所有t。为了确保初始条件（3.14）成立，投资组合将持有1/sc（0）股资产，而不是一股。投资组合持有相同资产的一份股票，其回报率相同。bc（t）=（bc，1（t），bc，N（t）），由bc定义，k（t）=（1/bc（0），对于k≤ c0，对于k>c，（3.20）对于所有k=1，N、投资组合bc购买市场上“最大”的、价格最高的c类资产的同等数量的股份，其权重为WBCK（t）=（θ（k）（t）Θbc（t），对于k≤ c0，对于k>c，（3.21）对于所有k=1，N和所有t。就像小型投资组合scand和市场投资组合m一样，大型投资组合bcprice对其持有的每个c资产进行加权。3.4结果在本节中，我们描述了小型和大型投资组合相对于市场投资组合以及相互之间的回报。我们表明，这些相对回报可以分解为排名交叉，如当地时间过程所测量的，以及排名最低和排名最高的资产子集的相对价格变化，如（1.1）所示。以下定理与Karatzas和Ruf（2017）的定理3.8和示例3.9中更一般的结果相似，确立了这一事实。其证明见附录。定理3.2。

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2022-6-23 19:44:46

适用于所有1≤ c<N，小型投资组合是一个价值过程，满足Vsc（T）- log Vm（T）=ZTd∧c（T）Θsc（T）+logΘsc（T）- 所有T的logΘsc（0），（3.22）。适用于所有1≤ c≤ N、大型投资组合BCC有一个价值过程Vbc，它满足了Vbc（T）- 日志Vm（T）=-ZTd∧c（t）Θbc（t）+logΘbc（t）- 所有T的logΘbc（0），（3.23）。定理3.2之所以强大，是因为它将排名靠后和排名靠前的资产子集的所有投资组合的相对价值分解为累积排名交叉，如非负本地时间过程d∧c所测量的，以及排名靠后和排名靠前的资产子集的相对价格变化。在大型投资组合的情况下，这些交叉从相对回报中减去，因为它们由排名较高、价格较高的资产组成，而这些资产不属于最顶端的子集。至关重要的是，这些投资组合很容易构建，而对资产的基本面一无所知。小型和大型投资组合scand bchold分别持有相同数量的底层N股- c级资产和始终排名第一的c级资产。随着时间的推移，这些资产价格排名很容易观察到，不需要复杂的计算或昂贵的信息获取。除了分解（3.22）和（3.23），定理3.2还得出了小投资组合相对于大投资组合价值的简单组合。这可以通过从（3.22）中减去（3.23）立即获得。推论3.3。适用于所有1≤ c<N，小投资组合Sc相对于大投资组合Bcsatieslog Vsc的价值（T）- 对数Vbc（T）=ZTΘsc（t）+Θbc（t）d∧c（t）+对数Θsc（T）/Θbc（T）- 日志Θsc（0）/Θbc（0）,（3.24）对于所有T。与定理3.2一样，推论3.3将小投资组合相对于大投资组合的价值分解为累积排名交叉和小排名最低资产相对于大排名最高资产价格的变化。

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2022-6-23 19:44:49

在该分解中，累积秩交叉是通过局部时间过程d∧c来度量的，正如定理所示。该分解适用于任何小的大阶cuto ffc。定理3.2中的分解（3.22）和（3.23）分别描述了相对于调整后的本地时间过程累积值中时间T的市场投资组合m的对数值，RTd∧c（T）2Θsc（T）和-RTd∧c（t）2Θbc（t），以及排名靠后和靠前资产组的对数相对价格变化，分别为logΘsc（t）- logΘsc（0）和logΘbc（T）- logΘbc（0）。为了从这些相对投资组合价值的特征化转变为相对投资组合回报的特征化，我们对（3.22）和（3.23）的两面进行了区分。该产量记录Vsc（t）- d log Vm（t）=d∧c（t）2Θsc（t）+d logΘsc（t），（3.25）表示所有t，d log Vbc（t）- d log Vm（t）=-d∧c（t）2Θbc（t）+d logΘbc（t），（3.26）对于所有t。根据（3.25），相对于市场的小投资组合的对数回报可以分解为正秩交叉，通过d∧c测量≥ 0和排名靠后资产的相对价格变化，由d logΘsc衡量。类似地，（3.26）指出，大型投资组合相对于市场的对数回报可以分解为负和交叉，由-d∧c≤ 0，以及通过d logΘbc测量的顶级rankedassets相对价格的变化。（3.24）yieldsd log Vsc（t）的类似变换- d日志Vbc（t）=Θsc（t）+Θbc（t）d∧c（t）+d对数Θsc（t）/Θbc（t）, （3.27）对于所有t。

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2022-6-23 19:44:52

与（3.25）和（3.26）一样，（3.27）指出，与大投资组合相关的小投资组合的对数回报可以分解为正秩交叉，再次通过d∧c测量≥ 0，以及排名靠后的资产相对于排名靠前的资产的价格变化，通过d log（Θsc/Θbc）测量。相对回报特征（3.25）-（3.27）与导言中的直觉版本（1.1）具有相同的形式。因此，定理3.2和推论3.3意味着排名靠后的相对资产价格的增加（减少）会提高（降低）小投资组合相对于市场和大投资组合的回报。它们还意味着，如果排名靠后和靠前的相对价格不变，那么小投资组合的相对回报将为非负或正，而大投资组合的相对回报将为非正或负。这种等级效应是（3.22）-（3.24）中当地时间过程非负性的一个简单而必要的结果。我们使用第4节中的商品期货数据来验证这些预测。定理3.2和推论3.3的另一个含义是，投资组合scand Bc的相对值分解的一部分是一个有限的变化过程。特别是，调整后的当地时间过程的累积值RTd∧c（t）2Θsc（t）是一个有限的施工变化过程，以及（3.23）和（3.24）中相应的调整后当地时间过程。要了解这些是有限变分过程的原因，请注意，非负连续过程的随机积分是非递减和连续的，任何非递减连续过程都是有限变分过程（Karatzas和Shreve，1991）。回顾第3.1节，一个有限的变化过程在每一个间期内都有有限的总变化【0，T】。

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2022-6-23 19:44:56

这意味着该过程具有零二次方差，或等效的零瞬时方差。在第4节中，我们使用月度商品期货数据对定理3.2所述的实际相对收益进行分解，并显示零瞬时方差过程rtd∧c（t）2Θsc（t）和正瞬时方差过程logΘsc（t）的时间序列行为之间的明显对比。特别是，我们发现，正如定理所预测的那样，有限变差过程的样本方差比正二次变差过程的样本方差低几个数量级。我们在（3.23）和（3.24）中也发现了类似的硝化过程行为。分解（3.22）-（3.27）比会计恒等式略多，会计恒等式在离散时间近似，在连续时间精确。对于资产价格的基本动态及其共同运动，基本上没有限制性的假设可以得出这些结果，因此很难想象一个有意义地偏离定理3.2或推论3.3的资产定价均衡模型。尽管有这种普遍性，但这些结果背后的两个简化假设——资产不支付股息，市场关闭，因此随着时间的推移，资产不会进入或退出——值得进一步讨论。如果我们在框架中包含股息，我们将得到与（3.22）-（3.24）非常相似的相对价值分解。唯一的区别是在分解（3.22）和（3.23）中增加了一个额外的术语，用于衡量大小投资组合相对于市场投资组合的累积股息的累积股息。类似地，需要在分解中添加一个额外的术语，用于衡量小投资组合的累积股息相对于大投资组合的累积股息（3.24）。

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大多数88

2022-6-23 19:44:59

那么，在股息存在的情况下，相对资本收益仍然可以分解为排名交叉和相对价格的变化，如定理3.2和推论3.3所示。唯一复杂的是一个额外的术语，该术语将相对累积收益衡量为相对投资价值的一部分。定理3.2和推论3.3的结果也可以扩展到包括随着时间的推移进入和退出可用市场资产集。这是通过在分解（3.22）-（3.24）中引入另一个当地时间过程来实现的，该过程衡量进入和退出对所比较的一对投资组合回报的不同影响。我们在附录B中考虑了我们框架的这种扩展，并提供了与定理3.2和推论3.3.4中的分解相似的经验结果。在第3节中，我们充分概括了相对收益的特征，现在我们转向实证分析。我们希望利用实际资产价格数据研究定理3.2和推论3.3中分解的准确性。在本节中，我们将展示这些分解为小型和大型商品期货组合提供了实际相对回报的准确描述。4.1数据我们使用1969-2018年间30种不同商品期货的价格数据来检验我们的理论预测。选择关注商品期货的动机是，我们在理论框架上强加的两个最重要的假设——资产不支付股息，市场是封闭的，没有资产进入或退出——与商品期货市场相当密切。这些资产不支付股息，回报完全由资本收益驱动。商品期货也很少退出市场，这是值得注意的，因为这种退出会影响大小投资组合的回报。

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2022-6-23 19:45:02

事实上，我们所知的1969-2018年间，没有任何商品期货合约从市场上消失，因此在我们考虑的时间段内，这一潜在问题无关紧要。虽然新的商品期货合约确实在1969年至2018年期间进入了我们的数据集，但这种尝试并不影响我们的实证结果，我们很容易将其纳入我们的框架，如下所述。表1列出了我们1969-2018年数据集中30种商品期货的开始日期和交易市场。这些商品包括四个初级商品领域（能源、金属、农业和畜牧业）。该表还报告了各期货合约存续期内每日原木价格变化的年化平均值和标准差。这些数据从Pinnacle data Corp.获得，并在交易发生的每一天报告每种商品的两个月期初期货价格，每个月滚动合约。如（3.4）中θ（k）所定义的，排名相对资产价格对我们的理论框架和结果至关重要。然而，在商品价格的背景下，这一概念基本上是没有意义的，因为不同的商品是用桶、蒲式耳和盎司等不同的单位来衡量的。为了在商品期货的背景下给出排名价格的含义，我们使用1969年1月2日开始日期的数据对所有合同进行规范化，以便它们的价格彼此相等。所有随后的价格变化都会在没有修改的情况下发生，这意味着价格动态不会受到我们的正常化的影响。对于1969年之后进入我们数据集的商品，我们将其初始原木价格设定为等于该日期我们数据集中已有商品的平均原木价格。在这些商品以标准化价格进入数据集后，所有后续的价格变化都将保持不变。

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2022-6-23 19:45:05

我们构建的标准化商品期货价格与价格指数相似，所有指数在初始开始日期设置为彼此相等，在此开始日期之后输入的任何指数设置为现有指数的平均值。图2绘制了1969-2018年数据集中所有30份合约的标准化原木商品期货价格与平均价格的关系。该图显示了在初始开始日期之后，正常化价格如何快速分散，大宗商品期货价格不断受到不同冲击的影响。然而，在一段初始时期之后，标准化商品期货价格相对而言大致稳定，大约在1980年之后，分散度似乎只略有增加。我们在下面的实证分析中对这些模式进行了量化和分析。4.2投资组合构建在我们的实证分析中，有必要构建一个市场投资组合策略，该策略持有每项资产的相同数量的股份。然而，就商品期货而言，市场投资组合不能持有每项资产的同等份额，因为期货合同是双方之间的简单协议，没有持有基础资产。然而，这个问题很容易解决，因为市场投资组合权重（3.17）在商品期货价格正常化的背景下得到了很好的定义。特别是，（3.17）意味着市场组合在每个商品期货合约中投资的金额与该商品的正常价格成比例。因此，在本节的实证分析中，我们通常将市场组合称为价格加权市场组合。

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2022-6-23 19:45:09

请注意，商品期货的市场组合不需要再平衡，因为价格变化会自动导致组合中每种商品的权重以与价格权重一致的方式变化。除价格加权市场组合外，我们还构建了第3.3节所述的低排名和高排名商品期货的大小组合。定义这些投资组合的权重由（3.19）和（3.21）给出，并使用标准化价格构建，价格排名是一个有意义的概念。我们将小投资组合和大投资组合之间的排名截止值c设置为商品期货总数N的一半，以便小投资组合持有排名较低、价格较低的期货的下半部分，而大投资组合持有排名较高、价格较高的期货的上半部分。有两种情况需要重新平衡大小投资组合。第一个问题是，如果银行发生变化，那么一种商品期货以前在排名价格的下半部，现在则在上半部。第二个问题是，如果商品期货的总数发生变化，那么当新的期货合约进入我们的数据集时，就会发生变化。如果这两个事件中的任何一个发生，大小投资组合每月都会重新平衡，但其他情况则不会。最后，尽管我们的大宗商品期货数据涵盖1969-2018年，但我们通过在1969年开始日期将价格设置为彼此相等来规范化价格的事实意味着，在这些价格有时间分散之前，排名相对价格将没有多大意义。与Asness等人（2013）的商品价值衡量方法类似，我们等待了五年才形成小型、大型和价格加权的市场组合，因此这些组合是使用1974-2018年的标准化价格构建的。

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2022-6-23 19:45:12

此外，对于1969年后进入我们数据集的每一种商品，我们在进入日期后等待五年，然后才将该新商品纳入小型、大型和价格加权市场组合。由于新入市商品期货的初始对数价格设定为我们数据集中已有商品的平均对数价格，因此这五年的等待期允许新入市商品的价格以一种使排名相对价格更有意义的方式分散。4.3结果图3绘制了1974-2018年间价格加权市场投资组合以及排名最靠后和排名最靠前的大宗商品期货的小型和大型投资组合的对数累积回报。该图显示，所有三个投资组合在一段时间内的表现大致相似，但随着时间的推移，小投资组合的表现始终优于价格加权投资组合和大投资组合，其中大投资组合表现最差。表2对这些模式进行了量化，其中报告了这段时间内所有三个投资组合月度回报的年化平均值和标准差。市场投资组合的月收益率具有相关性。更精确地说，我们将c设置为小于或等于N/2的最大整数。小投资组合和大投资组合的回报率分别为0.76和0.96，而小投资组合和大投资组合的回报率的相关性为0.55。表3也显示了小型投资组合相对于价格加权市场和大型投资组合的表现优异，该表列出了1974-2018年间排名靠后的小型投资组合的月度相对回报的年化平均值、标准差和夏普比率。

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