分位数套期保值问题的一种数值格式

2022-6-23 20:22:16

分位数套期保值问题的数值格式Cyril B'en'ezet*, Jean-Fran,cois Chassagneux*, Christoph Reisinger+2019年3月5日摘要我们考虑非线性市场中分位数套期保值价格的数值近似。在马尔可夫框架下，我们提出了一种基于分段常数策略时间步（PCPT）格式和单调有限差分近似的数值方法。我们将BSDE参数与Barles&Jakobsen和Barles&Souganidis方法相结合，证明了算法的收敛性。在数值部分，我们通过考虑一个存在缺陷的市场中的财务示例来说明我们的方案的有效性。关键词：分位数套期保值，BSDEs，单调近似模式1引言在这项工作中，我们研究了在可能存在一些缺陷的市场中，欧洲未定权益分位数套期保值价格的数值近似。量化套期保值问题是一类更广泛的近似套期保值问题的特例。它包括确定投资组合的最低初始捐赠，使其能够以给定的成功概率p对冲欧洲债权，案例p“1对应于（超级）复制的经典问题。这种方法在F¨ollmer和Leuert[19]的工作中广受欢迎，他们在特殊环境下提供了一种封闭形式的解决方案。第一个PDE特征由[8]介绍在一个可能不完全的市场环境中，投资组合受到限制。自这项工作以来，考虑了各种扩展：跳跃动力学[25]；百慕大案【6】和美国案【16】；至非马尔可夫环境【7，15】；以及有限数量的分位数约束[9]。除【6，9】外，上述所有工作都具有理论性质。

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2022-6-23 20:22:20

lackof为这些问题建立的数值方法是我们研究的明确动机。*法国巴黎迪德罗大学数学与LPSM研究所，索菲·日尔曼研究所，8 placeAur\'elie Nemours，75013 Paris，France(benezet@lpsm.paris, chassagneux@lpsm.paris)+牛津大学数学研究所，牛津伍德斯托克路，OX2 6GG，英国（克里斯托夫。reisinger@maths.ox.ac.uk)我们现在更详细地介绍了分位数套期保值问题以及本文介绍和研究的新的数值方法。关于完全概率空间pOhm, F、 Pq，我们考虑一个d维布朗运动pWtqtPr0，T，由pFtqtPr0表示，T是自然过滤。我们假设所有的随机性都来自布朗运动，并假设F“FT.Letu：Rd尼Rd，σ：Rd尼MdpRq，其中MdpRq是具有实项的d^d矩阵集，f:r0，T s^Rd^R^Rd尼R是Lipschitz连续函数，具有Lipschitz常数L。对于表示可预测平方可积过程集的pt，x，yq P r0，T s^Rd^R和νP H，我们考虑以下随机微分方程的解pXt，x，y，νq：Xs“x`zstupXuq du`zstσpXuq dWu，Ys“yzstfpu，Xu，Yu，νuq duzstνudWu，s P rt，T s。在我们正在考虑的金融应用中，X通常代表风险资产的对数价格，控制过程ν是风险资产的投资金额，函数f是非线性的，可以考虑模型中的一些市场缺陷。一个典型的金融示例，将在n数值部分如下：示例1.1。潜在的差异X是一个一维布朗运动，具有常数漂移uP R和波动率σa0。有一个固定的借贷利率R和一个有RěR的借贷利率R。

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2022-6-23 20:22:23

在这种情况下，函数f由以下公式给出：fpt，x，y，zq“'ry'σ'1uz'pR'rqpy'σ'1zq'。分位数对冲问题对应于以下随机控制问题：对于pt，x，pq P r0，T s^Rd^r0，1s findvpt，x，pq：“inf！yě0：DνP H，P'Yt，x，y，νTěgpXt，xTq'P）。（1.1）本文的主要目的是设计一个数值程序，通过离散[8]中首次导出的相关非线性偏微分方程来近似函数v。推导该偏微分方程的一个关键点是，通过引入一个表示条件成功概率的新控制过程，可以将上述问题重新表述为经典的随机目标问题。为此，对于αP H，我们表示pt，P，αs：“p`zstαsdWs，tdsdt，并通过At，pα集，使得Pt，p，α¨p r0，1s。问题（1.1）可以重写为vpt，x，pq：“inf！yě0：Dpν，αq p pHq，Yt，x，y，νtěgpXt，xTq1tPt，p，αta0u”（详情参见[8]中的命题3.1）. 在我们的框架中，上述奇异随机控制问题允许用非线性期望表示，由反向随机微分方程（BSDE）、vpt、x、，pq“infαPAt，pYαt（1.2），其中pYα，Zαq是解决方案玩具αs”gpXt，xTq1tPt，p，αta0uzTsfps，Xs，Yαs，Zαsq ds'TsZαsdWs，tdsdt。文章[7]对前面的表示进行了调整，并证明了一般设置中控制问题的动态编程原理。在马尔可夫设置中，这自然会导致r0中v的以下PDE，t q^Rd^第1季度：“'BtИ'Supaprdfat，x，Д，DД，DДq”0“（1.3）其中对于pt，x，yq P r0，T s^Rd^R`，q：“qxqp'P Rd` 1和A：“AxxAxpAxpJApp'P Sd` 1，AxxP Sd，表示：'pt，x，y，q，Aq，we DEFINEFAPΞ：'f pt，x，y，zpx，q，aqq，aqq\'Lpx，q，A，Aq，（1.4）带zpx，q，Aq：“qxσpxq\'qpa，（1.5）Lpx，q，A，Aq：“upxqJqx\'Tr”σpxqσpxqJAxx‰`A | App ` aJσpxqJAxp。

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2022-6-23 20:22:26

（1.6）（1.3）中的偏微分方程公式并不完全正确，因为上确界部分可能退化，需要使用半极限松弛来进行严格的数学计算。我们参考了[8]，其中它是在更一般的上下文中获得的。我们将在第2节开头给出的“自然”PDE公式（1.3）中使用替代PDE公式。此外，值函数v在p变量中持续满足以下边界条件：vpt，x，0q“0和vpt，x，1q”V pt，xq on r0，T s^p0，8qd，（1.7）其中，V是或有债权的超级复制价格，支付gp¨q。还知道，V具有T^T的不连续性。通过定义，最终条件为d^r0，1s q px，pqThnigpxq1pa0P R\'，但连续获得的值是通过换算得到的，即vpt'，x，pqr`。第“pgpxq在Rd^r0，1s，（1.8）上，从现在起，我们将在t”t处处理此终端条件。为了设计近似v的数值格式，我们使用以下策略：1.将控制α取其值的集合绑定并离散化。2.考虑相关的分段常数策略时间步（PCPT）控制过程的方案。3、使用单调有限差分格式，在时间和空间上近似1得出的CPT解。&2、【23】首先分析了政策在时间上分段恒定的受控扩散过程的近似值；在【24】中，该程序与离散过程的马尔可夫链近似结合使用，以构建相关Bellman方程的完全离散近似方案，并推导其收敛阶。

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2022-6-23 20:22:29

最近，通过使用Krylov的原始概率技术，在[22]中显示了从[23]到收敛顺序的改进。使用偏微分方程的纯粘性解参数，在[3]中导出了此类近似的误差界，对于控制近似方案，误差界弱于[23]中的误差界，但对于完全离散方案，误差界有所改善。在【27】中，使用【3】中介绍的切换系统近似，证明了广义格式的收敛性，其中线性偏微分方程在不同网格上逐段时间求解，并且在时间间隔结束时使用可能的非单调高阶插值进行控制优化。[27]中的分析扩展到跳跃过程和非线性期望，见[17]。我们的第一个贡献是证明步骤1中构建的近似值。和2。以上是分位数套期保值问题的收敛性，与上述工作中考虑的设置相比，分位数套期保值问题有很大的新困难。为此，我们严重依赖（2.1）中公式的比较定理，并利用近似序列的单调性。主要的新困难来自于PDE的非线性形式，包括无界控制，尤其是p变量的边界。为了特别处理后者，我们依赖于BSDE的一些精确估计来证明方案的一致性，包括强边界条件（见引理2.2和引理2.3）。我们的第二个贡献是在步骤3中设计单调方案。并证明其收敛性。这里的主要困难来自于新项的非线性，新项来自于梯度中BSDE的驱动因素，再加上（1.6）中给出的扩散算子的简并性，以及p中域的有界性。

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2022-6-23 20:22:32

尤其需要仔细分析边界条件的一致性（见第3.4节）。据我们所知，这是这一非线性市场规范中分位数Hedging问题的第一种数值方法。在线性市场环境中，使用双重方法，[6]将线性偏微分方程的解与芬奇Legendretransforms相结合，以解决百慕大分位数套期保值问题。由于非线性的存在，他们的方法不能直接适用于这里。非线性设置的对偶方法会对f参数施加一些凸性假设，并且需要求解完全非线性的偏微分方程。注意，这里只要求f在py，zq中是Lipschitz连续的。我们认为，替代我们的方法的一个有趣的选择是将[5]的工作扩展到我们这里考虑的非线性市场环境。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们推导了与第1项相关的控制近似和PCPT方案并证明其一致性。在第3节中，我们提出了一种单调有限差分近似，该近似可收敛到半离散PCPT格式。在第4节中，我们给出了一个具体应用的数值结果，并分析了观测到的收敛性。最后，附录包含了一些更长、更具技术性的证明，并收集了本文中使用的有用的背景结果。符号diagpxq是尺寸为d的对角矩阵，其对角线由x给出。让我们用S表示半径为1的Rd\'1中的球体，用d表示向量集ηP，其第一分量η“0。对于向量ηP SzD，我们表示η：“ηPη，…，ηd\'1qJP Rd。

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2022-6-23 20:22:35

通过扩展，我们表示，对于ZASzD，Z：“tηP Rd |ηP Zu。我们用BC表示：“Lpr0，t s，CpRd^r0，1sqq，即函数u的空间，这些函数在时间上本质上是有界的，并且相对于它们的空间变量是连续的。这里考虑的Cpr0，t s^Rdq中的收敛是局部一致收敛。2离散时间模式的收敛在本节中，我们设计了一个分段常数策略时间步（PCPT）收敛于1.2中定义的值函数v的模式。[5]之后，已在[10]中证明，函数v相当于以下PDE的粘度解（见[10]中的定理3.1和3.2））：Hpt、x、Д、BtД、DД，Dхq“0（2.1）in p0，T q^Rd^p0，1q，其中H是连续运算符hpΘq”supηPSHηpΘq，（2.2）其中pt，x，y，bq p r0，T s^Rd^R，q：“^qxqp˙p Rd\'1 and a：”AxxAxpAxpJApp˙PSd\'1，andΘ：“pt，x，y，b，q，Aq，we de de de定义ηpΘq“pηq'''b'fpt，x，y，zpx，q，ηqq'Lpx，q，a，ηq'，用于ηp SzD。（2.3）还回顾了（1.5）和（1.6）中L和z的定义.这种表示及其性质是证明收敛性的关键。松散峰值，它是通过将集合t1u^rdo“紧化”到单位球面S来获得的。比较定理如[10]中的定理3.2所示。正如引言部分所述，我们将在以下假设下工作：pHq（i）函数b，σ是L-Lipschitz连续的，g是有界的，Lg是Lipschitz连续的。（ii）函数f是可测量的，对于所有的t P r0，t s，f pt，¨，¨，¨q是L-Lipschitz连续的。对于所有pt，x，zq P r0，T s^Rd^Rd，函数yTh~nfpt，x，y，zq正在减小。此外，fpt，x，0，0q“0。（2.4）在上述Lipschitz连续性假设下，映射Szd QηTh~nHηpΘQ p rex通过设置连续趋向于S，对于所有ηp D，HηpΘQ”App，请参见[10]中的备注3.1。备注2.1。

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2022-6-23 20:22:39

（i）在pHq（ii）中，单调性假设不是一个限制，因为在Lipschitz框架中，经典变换vpt，x，pq：“eλtvpt，x，pq表示λlargeenough允许达到该设置；详情见【10】中的备注3.3。（ii）条件（2.4）是一个合理的财务建模假设：它表示，在初始财富为零的市场上起步，不进行投资将导致财富过程的零价值。（iii）因为f是递减的，g是有界的，所以很容易看到| V | g |，其中是超级复制价格。2.1离散控制集为了引入近似（2.1）–（1.8）的解v的离散时间方案，我们首先对控制集S进行离散化。让pRnqně1b是SzD闭子集的递增序列，使得dně1Rn“S。（2.5）对于ně1，让vn:r0，T S^Rd^r0，1sИR是以下PDE的唯一连续粘度解：Hnpt，x，Д，Bt，DД，DДq“0，（2.6）满足边界条件（1.7）-（1.8），见推论6.1。在上面算子hn自然由hnpΘq给出：“supηPRnHηpΘq。（2.7）命题2.1。函数vn在Cpr0，T s^Rdq.Proof.1中收敛到v。对于nan，我们观察到vn是（2.6）as RnARn的超解。使用命题6.1的比较结果，我们得到vněvn。同样，使用比较原理（[10]，定理3.2），我们得到vněv，对于所有ně1。对于所有pt、x、pq P r0、T s^p0、8qd^r0、1s，let:vpt、x、pq“limj~n8sup”VNP、y、qq:něj和}ps、y、qq'pt、x、pq}j*，（2.8）vpt、x、pq“limj~n8inf”vnps、y、qq:něj和}ps、y、qq'pt、x、pq}j*。

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2022-6-23 20:22:42

（2.9）从上述讨论中，回顾vand v是连续的，我们有věvěvěv，这表明v和v满足边界条件（1.7）-（1.8）。为了证明这个定理，只要证明v是（2.1）的粘性子解，v是粘性上解（后面跟的一样，所以省略了）。然后，比较原理（[10]，定理3.2）暗示了v“v”v，并且从[12]，注释6.4中可以看出，收敛vn~nv as n~n8是每个紧集上的均方根。使用[1]中的定理6.2，我们得出v是p0，tq^p0，8qd^p0，1q上的hpt，x，ν，Bt，DД，DДq”0的子解，其中hpΘq“limj~n8inf“HnpΘq:něj和}Θ}j*。在下一步中，我们证明了H”H，这是命题的证明。2.让我们用Pn:SΘSn表示闭集Sn上的最近邻投影。从（2.5）中，我们得到了所有ηP S的limn~n8Pnpηq“η。我们还得到了hpΘq”HηPΘqf或一些ηP argmaxηPSHηPΘ当S是紧的时，q。现在让我们引入ηn：“Pnpηqand by continuous of H，we have HηnpΘqΘHpΘq。we还观察到HηnpΘqdHnpΘqdHpΘq。这证明了HnpΘq`OHpΘq对于所有Θ的收敛性。由于H是连续的，我们使用Dini定理得出结论，在紧子集上的收敛是一致的，从而导致“H.l2.2从现在开始，我们定义了ně1和相关的离散控制集。对于pt、x、yq Pr0、T s^Rd^R`、q P Rd` 1和P Sd` 1，表示Ξ：“pt、x、y、q、Aq，我们定义了fnpΞq”supaPRnFapΞq：“'f pt，x，y，zpx，q，aqq'Lpx，q，A，aq。根据附录中推论6.1的证明，我们很容易观察到vnis也是在r0，T q^Rd^p0，1q（2.10）上具有相同边界条件（1.7）–（1.8）的'BtИ'Fnpt，x，ν，DД，DД，DДq”0的唯一粘度解。上述PDE是以更经典的方式编写的，我们将在后继中主要考虑这种形式。

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2022-6-23 20:22:45

让我们特别观察K：“Rn是Rd的一个离散子集，因此（2.10）显示为（1.3）的自然分类，并且更易于研究。为了近似vn，我们考虑将[24，3]和[17]中的PCPT方案改编为我们的设置，如下所述。对于κP N，我们考虑时间间隔r0的网格，T s：π”t0“：ta¨¨¨¨¨¨¨¨¨tκ：”t u，表示π：““max0dkdκptk\'1'tkq。对于0t，P k和连续φ：Rd^r0，1s~nR，我们用aps，t，φq:rt，ss^Rd^r0，1s~nR表示'Bt Fapt，x的唯一解，Д，DД，DДq“0在rt上，sq^Rd^p0，1q，（2.11）Дps，x，pq”φpx，pq在Rd^r0，1s，（2.12）Дpr，x，0q“Bpt，s，φqpr，xq，Дpr，x，1q”Bpt，s，φqpr，xq on rt，sq^Rd.（2.13）p p t0，1u的函数Bppt，s，φq是rt，sq^Rd（2.14）上的'BtИ'Fpr，x，Д，DД，DДq“0”的解决方案，具有终端条件Bppt，s，φqpr，xqps，xq“φpx，pq。与网格π相关的PCPT方案的解决方案是函数vn，π：r0，T s^Rd^r0，1s，使得Spπ，T，x，p，vn，πpt，x，pq，vn，πq”0，（2.15），其中对于网格π，pt，x，p，yq p r0，T s^Rd^r0，1s^R`和函数u p BC，Spπ，T，x，p，y，uq”“y'minapk”sapt `π，T'π，upt'π，¨qq pt，x，pq如果TaT，y'gpxqp否则，（2.16）带T'π：“inftr Pπ| ratu和t'π：”suptr Pπ| rdtu.（2.17）每当我们考虑固定网格时，为了简洁起见，我们将删除下标π。让我们观察一下，函数vn，π可以通过以下反向算法进行交替描述：1.初始化：设置vn，πpT，x，pq：“gpxqp，x Rd^r0，1s。2.后退：对于k“κ1，…，0，计算wk，a：“Saptk，tk`1，vn，πptk`1，¨QQ和setvn，πp¨q：”infaPKwk，a.（2.18）备注2.2。

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2022-6-23 20:22:48

在我们的环境中，我们可以很容易地确定（方案的）边界值：（i）在p“0”处，终端条件是φpT，xq”0（回想一下，vpT，x，pq“gpxq1tpa0u），这通过反向迭代传播，因此，对于allpt，xq p r0，T s^Rd，vn，πpT，x，0q”0。（ii）在p“1处，终端条件是φpT，xq”gpxq，因此边界条件由vn，πpT，x，0q给出“V pt，xq for all pt，xq P r0，T s^Rd，其中V是超级复制价格。本节的主要结果如下。定理2.1。函数vn，π收敛于vnin Cas |π| ni0.Proof。1。我们首先检查与边界条件的一致性。设a P Kand^w为r0，T q^Rd^上'BtИF^apt，x，ν，DИ，D^q”0的（连续）解。第1季度（2.19）边界条件vpt，x，pq“pV pt，xq on r0，T s^Rd^t0，1uTtT u^Rd^r0，1s。通过对π的反向归纳，可以得到vn，πdw。（2.20）实际上，我们有vn，πpt，¨q“wpT，¨q。现在，如果不等式在时间tk，kě1，wehave为真，则使用（2.19）的比较结果，回顾命题6.1，thatwk，apt，¨qdwpt，¨q表示t P rtk'1，tks，因此，对于t P rtk'1，tks，更进一步地说，wpt，¨q表示t P rtk'1，tks。我们还通过反向归纳得到了thatvn，πp¨qěvnp¨q（2.21）。实际上，我们有vn，πpT，¨q“vnpT，¨q。假设不等式在时间tk，kě1时为真。我们观察到wk，ais是（2.6）的上解，即vn所满足的偏微分方程。通过比较结果，这意味着对于t P rtk'1，tks，wk，apt，¨qěvnpT，¨q。取P k的最小值，则产生（2.21）。因为vndwdwd710; w，（2.22），其中wpt，x，pq“lim suppt，x，pq”P，|π| q|pt，x，P，0qvn，πpt，x，pq和w“lim infpt，x，p，|π| q|pt，x，p，0qvn，πpt，x，pq，我们得到了w和w满足边界条件（1.7）–（1.8）。2.我们在下面证明了该格式是单调的、稳定的和一致的，分别参见命题2.2、命题2.3和命题2.4。

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kedemingshi

2022-6-23 20:22:51

将此与步骤1相结合。然后，文献[4]中的定理2.1确保了Cof vn，π到vnas |π| ni0的收敛性。lRemark 2.3。我们通过粘度溶质和BSDE参数的组合来证明以下性质，其中它们看起来更自然。应该可以使用[3]中类似的主要步骤，纯粹使用PDE参数得出这些结果。命题2.2（单调性）。设uěv代表u，v P BC，pt，x，pq P r0，T s^Rd^r0，1s，y P R。我们有：Spπ，T，x，P，y，uqdSpπ，T，x，P，y，vq。（2.23）证明。设tat，x P Rd，P P r0，1s。通过定义vn，π，回顾（2.18），可以证明，对于任何一个P K，我们有：Sapt`，t'，upt`，¨qqpt，x，pqěSapt`，t'，vpt`，¨qqpt，x，pq。（2.24）中定义了t，t在（2.17）中定义。但这直接来自命题6.1中给出的比较结果。我们现在研究该方案的稳定性。我们首先证明了schemevn的解，π在其第三个变量中增加。这不仅是分段常数策略解本身从原始问题（1.1）的解继承下来的一个有趣的性质，而且它还允许我们很容易地获得vn，π的统一界，即p“1的边界条件。引理2.1。对于所有的t p r0，t s和x p Rd，方案（2.16）具有如下性质：vn，πpt，x，qqdvn，πpt，x，pq if 0dqdpd1。（2.25）证明。我们将通过对k p t0，…，κu的归纳来证明断言。对于t“t”tκ和每个x p Rd，我们有px，pqThnivn，πpt，x，pq：“gpxqp，是p的递增函数。设1dkaκ'1。现在假设vn，πpt，x，¨q是所有tětk\'1和x p Rd的递增函数。我们表明，对于t p rtk，tk\'1q和x p Rd，vn，πpt，x，¨q也在递增。设0dqdpd1。

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能者818

2022-6-23 20:22:55

通过vn，πin（2.18）的定义，可以充分证明对于每个a P K，我们有，对于pt，xq P r0，T s^Rd，wk，apt，x，qqdwk，apt，x，pq。根据附录引理6.1（i），这两个量允许使用两个不同的随机终端时间τq“inftsět：Pt，q，asP t0，1uu^tk`1，（2.26）τp”inftsět：Pt，p，asP t0，1uu^tk`1。（2.27）然而，使用引理6.1（ii），我们可以用bsdes编写终端时间tk`1的概率表示：我们有Saptk`1，tk，wπptk`1，¨qqpt，x，pq“▄Yt，x，p，at，其中▄Yt，x，p，atis是以下BSDE解决方案的第一个组成部分：Ys”vn，πptk\'1，Xt，xtk\'1，▄Pt，p，atk\'1q\'tk\'1sfpu，Xt，xu，Yu，Zuq du'tk\'1sZudWu，（2.28），其中▄Pt，p，ais过程定义为：▄Pt，p，as“p'sta1tu'τpudWu，（2.28 29）对于Saptk\'1，tk，wπptk\'1，¨qqpt，x，qq，也有类似的表示。还需要说明vn，πptk\'1，Xt，xtk\'1，~Pt，p，atk\'1qěvn，πptk\'1，Xt，xtk\'1，~Pt，q，atk\'1q。（2.30）如果这是真的，则BSDE的经典比较定理（例如，参见[18]中的定理2.2]）得出了证明结论。首先，我们观察到Pt，p，aτpěPt，q，aτp.关于tτp“t u，（2.30）通过归纳假设直接成立。关于tτpat u，如果Pt，p，aτp”1，则Pt，p，aT“1，（2.30）通过归纳假设成立，如Pt，q，aTd1；如果Pt，p，aτp”0，则更进一步的Pt，q，aτp”0和Pt，p，aT“Pt，q，aT”0，从而得出证明。lProposition 2.3（稳定性）。方案（2.16）的解是有界的。证据对于任意π和任意pt，x，pq P r0，T s^Rd^r0，1s，我们有vn，πpt，x，pqdvn，πpt，x，1q“V pt，xq。lTo为了证明该方案的一致性，我们需要以下两个引理。引理2.2。对于0dτtθt，ξP R和φP Cpr0，t s^Rd^r0，1sq，以下保持| Sapτ，θ，φPθ，¨q'ξqpt，¨q'Sapτ，θ，φPθ，¨qqpt，¨q'ξC'θt | |ξ|。证明。我们表示w“Sapτ，θ，φP¨qq和▄w”Sapτ，θ，φP¨q `ξq。

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2022-6-23 20:22:59

使用引理6.1，我们得到，对于pt，x，pq P rτ，θs^Rd^r0，1s，wpt，x，pq“yt”和wpt，x，pq“^yt，其中pY，Zq和p^Y，^Zq分别是Yr”φpXt，xθ，Pt，p，aθqzTrfps，Xt，xs，Ys，Zsq ds'θrZsdWs，tdrdθ，^YrφpXt，xθ，Pt，p，aθqzTrfps，Xt，xs，^Ys，^Zsq ds'zθr^ZsdWs，tdrdθ。表示Γ：“Y'ξ和fξPt，x，Y，Zq”fpt，x，Y'ξ，Zq，我们观察到pΓ，Zqis是Γr的解“φpXt，xθ，~Pt，p，aθq′ξ′Trfξps，Xt，xs，Γs，Zsq ds′zθrZsdWs，tdrdθ :“Γ'^Y，δZ”Z'Z和δfs”fξps，Xt，xs，Γs，Zsq'f ps，Xt，xs，Γs，Zsq，fors P rt，θs。然后我们得到r： “zθr ` fps，Xt，xs，Γs，Zsq'f ps，Xt，xs，Ys，Zsq'δfs'ds'θrδZsdWs.BSDE的经典能量估计[18，11]超前<<suprPrt，θs|r | effdCEzθt|sδfs | ds. （2.31）接下来，我们计算zθt|sδfs | dsd2CsupsPrt，θs|s |` 2C^zθt |δfs | ds˙。将前面的不等式与（2.31）相结合，我们得到了<<suprPrt，θs|r | ffd4CE<<710zθt |δfs |˙ff。利用f的Lipschitz性质，我们从fξ的定义中得出，|δfs | Lξ，最终导致toE<<suprPrt，θs|r | offdC |θ| t |ξ（2.32），并得出证明结论。lLemma 2.3。设0dτaθdT和φP Cpr0，T s^Rd^r0，1sq。对于pt，x，pq Prτ，θq^Rd^p0，1q，φpt，x，pq'Sapτ，θ，φpθ，¨qpt，x，pq'pθ'tqGaφpt，x，pq'opθ'tq。其中Gaφpt，x，pq：'Btφpt，x，pq'Fapt，x，p，φ，Dφ，Dφq.证明。

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能者818

2022-6-23 20:23:02

我们首先观察到Sapτ，θ，φp–qpt，x，pq“Yt，其中pYa，Zaq是y”Φθ`θrfps，Xt，xs，Ys，Zsq ds'θrzsdswith的解，对于tdsdθ，Φs”φps，Xt，xs，Pt，p，αsq和α：“a1r0，τs。通过直接应用伊藤公式，我们观察到Φr”Φθ'θ'θrtBtφLαφups，Xt，xs，Pt，p，αsq ds'r380; r380 zsdws，tdrdθ，其中Zs：“zpXt，xs，Dφps，Xt，xs，Pt，p，asq，αsq，tdsdθ。为了便于说明，我们还引入了一个“中间”过程p^Y，^Zq作为^Yr”θ`θrfps，Xt，xs，Φs，Zsq ds'θrddws，tdθ。现在，我们计算^YtΦt'pθ'tqGaφPt，x，pq”Eθt ` tBtφps，Xt，xs，Pt，p，asq'BtφPt，x，pqu'tFaφps，Xt，xs，Pt，p，asq'FaφPt，x，pqu'ds.使用φ的平滑度，f的Lipschitz性质和以下控制项“| Xt，xs'x''`'''''''Pt，p，αs'p'''''Ca'θ''t'，（2.33）我们得到了'Yt'Φt'pθ'tqGaφPt，x，pq'Ca，φpθ'tq。（2.34）我们还有'Yr'Φr“θrGaφps，Xt，xs，Pt，p，αsq ds'θrp^Zs'Zsq dw根据BSDE的经典能量估计，我们得出<<suprPrt，θs'Yr'Φr'''''θt'Zs'Zs''ds fff'θt''Gaφps，Xt，xs，Pt，p，αs'ds''''''''''''''''''271；Ca，φpθ'tq，（2.35），其中对于最后一个不等式，我们使用φ的平滑度和fandσ的线性增长。我们还观察到^Yr'Yr“zθrtδfs` f ps，Xt，xs，^Ys，^Zsq'f ps，Xt，xs，Ys，Zsqu ds'θrt^Zs'Zsu dWs，其中δfs：“fps，Xt，xs，Φs，Zsq'fps，xs，^Ys，^Zsq，对于tdsdθ。再一次，根据经典能量估算【18，11】，我们得到了| Yt | YtdCE<<^zθtδfsds˙fff。利用Cauchy-Schwarz不等式和f的Lipschitz性质，| Yt'Yt'Yt'Cpθ'tqE<<suprPrt，θs'Yr'Φr'''''θt''Zs'ds ff。最后一个不等式，加上（2.35），导致|^Yt'Yt |dCpθ'tq。将上述不等式与（2.34）相结合，得出结论。最后，我们可以证明以下一致性性质。命题2.4（一致性）。设φP Cpr0，T s^Rd^r0，1sq。

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2022-6-23 20:23:05

对于pt，x，pq P r0，T q^Rd^p0，1q，ˇˇTˇπ'tSˇ，T，x，P，φpt，x，pq'ξ，φP'q'ξ'728; Btφ'Fnpt，x，P，φ，Dφ，Dφ，Dφqˇ0（2.36），作为P'π'，ξqˇ0。证据我们首先观察到，通过引理2.2，可以有效地证明ˇtˇπˇtSˇπ，t，x，p，φpt，x，pq，φp–qˇBtφˇFnpt，x，p，φpt，x，pq，φ\'Btφ\'Fnpt，x，p，φ，Dφ，Dφqˇ“t'π'ttφpt，x，pq'minaPKSa't'π，t'π，φpt'π，¨q'pt，x，pqu'maxaPKGapt，x，pq'maxaPK'ttφpt，x，pq'Sa't'π，t'π，φpt'π，¨q'pt，x，pqu'Ga'Φˇ.3.lTo为了结束这一节，让我们观察到，结合命题2.1和定理2.1，我们得到了以下结果本节的设置，假设（H），以下为holdslimn~n8lim |π|'O0vn，π“v.备注2.4。从数值角度来看，一个重要的问题是理解如何确定参数n和π之间的关系。这里的理论难点是获得命题2.1和定理2.1中给出的近似值的精确收敛速度，沿着[21，17]中关于控制离散化的连续相关性估计，以及分段常数控制的近似估计，如[23，22]所示。在我们的一般环境中回答这个问题是一项具有挑战性的任务，还可以扩展到下一节中完全离散化的误差估计，这有待进一步研究。3 Black-Scholes模型的应用：完全离散单音模式本节的目标是介绍一个完全可实现的方案并证明其收敛性。通过将有限差分近似值添加到第2.2节所述的PCPT程序中，可获得该方案。然后在第4节中，我们给出了数值试验，证明了我们的数值方法的实际可行性。

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2022-6-23 20:23:08

从现在开始，我们假设对数价格过程X是一个带漂移的一维布朗运动，对于pt，xq P r0，T s^R:Xt，xs“x `ups'tq'σpWs'Wtq，s P rt，T s，（3.1）具有uP R和σa0。这种对Black-Scholes的限制并不是必要的，因为在这种情况下，主要困难和非线性已经存在，分析技术可以直接扩展到更复杂的SDE设置下的更一般单调方案中。我们利用特定动力学设计一种简单易用的数值模式，这也简化了符号。此外，我们将在以下假设下工作。假设3.1。系数u为非负。备注3.1。在不丧失一般性的情况下引入该假设，以减轻方案定义中的符号。我们在备注3.2（ii）中详细说明了如何修改非正漂移u的模式。收敛特性相同。我们现在确定相关的离散控制集（见第2.1节）。我们假设0 R K，并回顾Vn是（2.10）的解决方案。我们考虑网格π“t0”：ta¨¨¨¨¨tk¨¨¨¨¨¨¨tκ：“t u on r0，t s和近似值，通过PCPT方案，扩展第2.2节。这里的要点是，我们为解决方案Sap¨q引入一个有限差近似值，P K到（2.11）–（2.13）. 该近似值表示为参数δa0的Saδp¨q，将在下文第3.1节中详细说明。对于δa0和a P K，每个近似SaδP¨q定义在一个空间网格Gaδ上：“δZΓaδR^r0，1s。（3.2），其中Γaδ是一个由r0，1s组成的均匀网格，具有Naδ\'1个点和网格大小1{Na Naδ。Gaδ的非典型元素表示为pxk，plq：“pkδ，l{Naδq，pGaδq的一个元素是uk，l：”upxk，plq，对于所有K P Z和0dldNaδ。

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2022-6-23 20:23:11

对于0dtasdt和Д：δZ^r0，1s~nRa有界函数，我们得到了Saδps，t，Дq P ` pGaδq。为了确定我们对vn的近似值，用SaδP¨q代替最小值（2.16）中的Sap¨q或类似的（2.18）是不够的，因为P变量的近似值不在同一网格上定义。（不同网格的灵活性将非常重要。）因此，我们必须考虑一个补充步骤，该步骤包含p变量的线性插值。即，通过第二个变量中的线性插值，将任何映射u P ` pGaδq扩展为Iaδpuq：δZ^r0，1s~nR：如果u P ` pGaδq，k P Zand P P rpl，pl ` 1q具有0dlaNaδ，Iaδpxk，pq“pl\'1'ppl\'1'pluk，l'p'plpl\'1'pluk，l\'1，显然是Iaδpxk，1q“uk，Naδ。与π，δ相关的数值格式的解是vn，π，δ：π^δZ^r0，1s~nR满足pSpπ，δ，t，x，p，vn，π，δpt，x，pq，vn，π，δq”0，（3）其中，对于任何0dt pπ，x pδZ，p p r0，1s，y p R`和任何有界函数u：π^δZ^r0，1s尼R：pSpπ，δ，t，x，p，y，uq““y'minaPKIaδpSaδpt'π，tk，upt'π，¨qq ptk，x，pq如果kaκ，y'gpxqp否则，（3.4）其中t'π”影响Pπ：sětu。或者，近似值vn，π，δ由以下反向归纳确定：1.初始化：设置vn，π，δpt，x，pq：“gpxqp，x P Rd^r0，1s.2.反向：k'1，…，0，计算wk”，aδ：“Saδptk，tk`1，vn，π，δptk`1，qqand set，用于px，pq PδZ^r0，1s，vn，π，δptk，x，pq：”infaPKIaδpwk，aδqptk，x，pq。（3.5）在说明本节的主要收敛结果之前，请参见下面的定理3.1，我们使用有限差分算子给出了Saδp¨q的精确定义。3.1有限差分格式定义和收敛结果：0dtasdt，δa0，Д：δZ^r0，1s~nR。

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大多数88

2022-6-23 20:23:15

我们设置h：“s’ta0。对于P K，我们将描述网格Gaδ”δZ^915; aδZ^r0，1s和用于定义Saδ的微分方案。首先，我们观察到，对于本节的模型规范，（2.10）可以重写为aИ'σaИ'f pt，x，Д，σa˙q˙“0，（3.6），带：aД：“按Д\'aσBpД，（3.7）aИ：“ByyИ\'2aσBypИ\'aσBppД，（3.8）DaД：”BtИ'aσuBpД。（3.9）利用算子的简并性A和ain方向pa，'σq，我们构造Γaδ，以便（3.6）的解近似于仅具有一个方向导数的隐式有限差分格式的解。为了考虑边界p“0，p”1，我们设置了Naδ：“min”jě1:j | a |σě1*”Rσ| a |δV（3.10）andapa，δq：“sgnpaqσNaδ，（3.11），其中a‰0。我们有Naδ“σ{δapa，δq |。我们最后设置了：aδ：”“0，| apa，δq |δ，…，Naδ|；apa，δq |σδ“1*”“jNaδ：j”0，…，Naδ*（3.12）我们现在定义了明确的差异方案。利用算符的简并度apa，δqandapa，δqin方向papa，δq，'σq，我们定义了v“pvk，lqkPZ，0dldNaδ”pvpxk，plqkpz，0dldNaδP'pGaδq和w“pwkqkPZP'pkZq的以下不同运算符：aδvk，l：“2δ\'vk\'1，l\'sgnpaq\'vk\'1，l\'sgnpaq，δwk：“2δpwk` 1'wk'1q，a`，δvk，l：“δ\'vk\'1，l\'sgnpaq\'vk，l，`,δwk：“δpwk`1'wkq，aδvk，l：“δ\'vk\'1，l\'sgnpaq\'vk\'1，l\'sgnpaq\'2vk，l，δwk：“δpwk\'1\'wk\'1\'2wkq。让θ0为稍后确定的参数。我们定义pt，x，y，q，q\'，Aq P r0，T s^R。F pt，x，y，q，Aq：\'uq'σa'F pt，x，y，σqq，和（3.13）pF pt，x，y，q，Aq：\'uq'σ'θh'a'F pt，x，y，qq'σqq。

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能者818

2022-6-23 20:23:19

（3.14）现在，Saδps，t，Дq P ` pGaδq被定义为Spk，l，vk，l的唯一解决方案（关于该定义的适定性，请参见下面的命题3.1），aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，νq“0，（3.15）vk，0”vk，vk，Naδ“vk，（3.16），其中，对于k P Z，0alaNaδ，pv，v`，v'q P R，和任何有界函数u：δZ^r0，1s~nR：Spk，l，v，q，q`，a，uq“v'u pxk，papplqq'hpF pt，kδ，v，q'，Aq，（3.17），对于P r0，1s，papplq'，Aq PQ：“P'uapa，δqσh，（3.18），其中pvkqkPZ（分别为pvkqkPZ）是BPK，vk，δvk，`,δvk，δvk，pДkqkPZq“0，（3.19）压力Sbpk，vk，δvk，`,δvk，δvk，pИkqkPZq“0q（3.20）与Дk”Кpkδ，0q（分别为Дk”Кpkδ，Naδq）和，对于k p Z，pv，v`，v`q p R，u p`pZq:Sbpk，v，q，q`，A，uq“v`uk`hpF pt，kδ，v，q`，Aq。（3.21）备注3.2。（i）如前所述，我们在此假设u0。如果相反，必须考虑a'pδqvk，l：“δ'vk，l'vk'1，l'sgnpaq（分别为。\'pδqwk：“δpwk'wk'1q）代替a`，δvk，l（分别为。`,δwk），在定义Saδps，t，Дq（分别为vk，vk）时，获得单调方案。（ii）对于非线性f，我们使用Lax-Friedrichs格式[13，17]，在f的定义中加入θpv `` v'''2vq项，以增强单调性。我们现在假设参数满足以下条件：δd1，（3.22）hL2δdθa，（3.23）uhdδdMh，（3.24）对于常数Ma0。在这些条件下，我们证明了Saδps，t，Дq是唯一定义的，并且可以通过Picard迭代获得。备注3.3。从uhdδ开始，我们有|uapa，δqσh | apa，δq |σδ，这确保从（3.18）开始，所有0alaNaδ的papplq P r0，1s。提案3.1。对于每个有界函数Д：δZ^r0，1s~nR，存在（3.15）–（3.16）的唯一解。证据首先，vP`pδZq（分别为vP`pδZq）由（3.19）（分别为（3.20））唯一定义，见命题6.2。我们考虑以下映射：` pGaδq~n\'pGaδq，vTh~nψpvq，其中ψpvq定义为，对于k P Z和l P t1。

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2022-6-23 20:23:22

. , Na'1u：ψpvqk，l“1 ` hΔu`σhδ` 2θpДpkδ，papplqq\'（3.25）hΔvk\'1，l ` sgnpaq `σhδpvk\'1，l ` sgnpaq ` vk\'1，l'sgnpaq'hf't\'，kδ，vk，l，σ2δpvk\'1，l'sgnpaq'θpvk\'1，l'sgnpaq'vk\'1，l'sgnpaq'，ψpvqk，0”vk，ψ请注意，v是（3.15）-（3.16）的解当且仅当v是ψ的固定点。现在足以证明ψ将` pGaδq映射为` pGaδq并收缩。如果v P'pGaδq，通过φ、v和v的有界性，很明显ψpvq是有界的。如果v，vP` pGaδq，对于所有k P Z和1dldNa'1，我们有：|ψpvqk，l'ψpvqk，l'hδu'σhδ'2θ'hL'hLδ1'hδu'σhδ'2θv'v'。（3.27）由于δd1根据假设（3.22），一个具有hL ` hLΔd2hLΔd4θ，因此：|ψpvq'ψpvq'4θ'hδu'σhδ'2θ1'hδu'σhδ'2θ'v'v'。（3.28）由于假设（3.23）为4θa1，且函数xTh~n4θ\'x1\'xis在r0，8q上增加，当xa\'8时，极限为1，这证明ψ是收缩映射。对于这个方案，我们有以下强唯一性结果：命题3.2。设Д，Д：δZ^r0，1s^R两个有界函数满足δZ^r0，1s上的ДdД。1.（单调性）对于所有k P Z，1dldNa，pv，q，q`，Aq P R，我们有：Spk，l，v，q，q`，A，ДqdSpk，l，v，q，q`，A，Дq.（3.29）2。（比较定理）对于所有k P Z和1dldNaδ'1，让pv，vq P'pGaδq满足：Spk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，ДqdSpk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，Дq（3.30）vk，0dvk，0，（3.31）vk，Naδdvk，Naδ。（3.32）然后vdv.3。对于所有k P Z和0dldNaδ，我们有Saδps，t，Дqk，ldSaδps，t，Дqk，lf。证据如提案中所述，设Д，Д。1、对于k P Z和0alaNaδ，我们有：Spk，l，v，q，q`，A，Дq'Spk，l，v，q，q`，A，Дq“PИ'pxk，papplqqd0.2。这里我们假设Aa0。对于k P Z，让Mk“max0dldNaδpvk`l，l'vk`l，lqa8（如果Aa0，我们必须考虑max0dl）。dNaδpvk'l，l'vk'l，l））。我们想证明所有k的Mkd0。相反，假设存在k P Z，使得Mka0。

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2022-6-23 20:23:25

然后存在0dldNaδ，使得vk\'l，l\'vk\'l，l“Mka0。（3.33）首先，我们有vk，0dvk，0和vk`Naδ，NaΔdvk`Naδ，Naδ。因此，0alaNaδ。此外，使用（3.30），利用f对其第三个变量不递增和Lipschitz连续的事实，通过（3.33）重新排列术语，p1\'2θqMkdhL2Δˇvk\'l\'1，l\'1ˇvk\'l\'1，l\'1ˇθpvk\'l\'1，l\'1ˇvk\'l\'1，l\'1q\'hL2Δˇvk\'l\'1，l\'1ˇvk\'l\'1，l\'1ˇvk\'l\'1，l\'1q。（3.34）对于j P tl\'1，l\'1u，我们观察到hL2δ| vk\'j，j |'vk\'j，j'vk\'j，j'vk\'j，jq'hL2δ'θ'Mk.（3.35）的确，如果vk\'j，j'vk\'j，jthenhL2δ'vk\'j，j'vk\'j，j'θpvk\'j，j'vk\'j，jq“hL2δ'θ'pvk\'j，j'vk\'j，jqd0，自hL2δ'θ起。否则，如果vk\'j，j'vk\'j，jhL2δ'vk\'j，j'vk\'j，j'vk\'j，jq“hL2δ'θpvk\'j，j'vk\'j，jq”hL2δ'pvk\'j，j'vk\'j，jq'hL2δ'θ9; Mk.Inserting（3.35）into（3.34），我们得到p1`2θqMkd2^hL2δ`θ˙Mk.（3.36），因此，^1'hLδ˙Mkd0，（3.37），这与Mka0是矛盾的，因为hLδd2θ。3。让vi“Saδps，t，νiq代表i“1，2。由于dd和dd，我们通过命题6.2得到所有k P Z的vk，0dvk，0和vk，NaΔdvk，Naδ。通过单调性，我们得到所有k P Z和0alaNaδ，Spk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，ДqdSpk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，ДqMoreover，Spk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，Дq“Spk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，Дq“0因此，Spk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，ДqdSpk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，Дq，并应用前一点得出证明结论。最后，我们给出了比较定理的一个例子，这将在后继中有用。提案3.3。设u：δZ^r0，1s~nR是有界函数，设v，vP ` pGaδq。假设对于所有k P Z和0alaNaδ，我们有spk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，uqd0dSpk，l，vk，l，aδvk，l，a`，δvk，l，aδvk，l，uq。然后：vk、l'vk、l'e'4apa、δqσCph、δqlpNaδ'lq'pv'、0'v'、0q `''''''pv'、Naδ'v'、Naδq'''''（3.38），其中Cph、δq：“ln^1'hδu'hδ'hδ'2θhδ''''hδ''hδ'hδ''hδ''2θhL2δ。

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2022-6-23 20:23:28

（3.39）此外，Cph，δqě\'pu\'LqM\'2θMh'σh'M2σ。（3.40）备注3.4。（i）为了证明方案的一致性，我们定义了引理3.2光滑函数w，以便pwpxk，plqq P lpGaδq满足Sě0或Sd0，但我们不能使用比较定理，因为边界处的值无法控制。引理3.3中将使用前面的命题，以表明S“0”解的nw和线性插值之间的差异很小。（ii）前面命题的第一个方程中出现的系数exp''4apa、δqσCph、δqlpNaδ'l'表明，对边界值的依赖性随到边界的距离呈指数衰减。这是意料之中的，并且在类似的情况下也观察到了，例如参见[3]中关于Hamilton-JacobiBellman方程的引理3.2。现在我们可以陈述本节的主要结果。定理3.1。函数vn，π，δ在紧集上一致收敛于vn，如|π|，δ~n0满足条件（3.22）–（3.24），其中π“t0”tata¨¨¨¨¨tκ”t u。我们在下面证明，该方案是单调的（见命题3.5），稳定的（见命题3.6），与r0中的（2.10），t q^R^p0，1q（见命题3.7）和边界条件（见命题3.4）一致。然后，该定理由与[4]相同的参数遵循.3.2定理3.1的证明我们首先表明数值格式与边界条件一致。对于任何离散参数π，δ，我们定义Vπ，δ：π^δZ尼R为以下系统的解：Sbpk，vjk，δvjk，`,δvjk，δvjk，vj\'1kq“0，k P Z，0djaκ（3.41）vκk”gpxkq，k P Z，（3.42），其中vjk：“vptj，xkq表示0djdκ和k P Z。我们设置pUπ，δqjk：”δpVπ，δqjk“2δppVπ，δqjk ` 1'pVπ，δqjk'1q。我们从命题6.3中回忆起，Vπ，δ和Uπ，δ在π，δ中一致有界，并且根据[4]，Vπ，δ在紧集上一致收敛于V，如|π| ni0和δni0。命题3.4。

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2022-6-23 20:23:31

存在常数K，K，Ka0，因此，对于所有离散化参数π，δ，π足够小，我们有，对于ptj，xk，pq Pπ^δZ^r0，1s:pVπ，δptj，xkq'KpT'tjqdvn，π，δptj，xk，pq'pVπ，δptj，xkq'KpT'tjq，pVπ，δptj，xkq'p1'e'Kpqp1'e'Kp1'pqqdvn，π，δptj，xk，pqdpVπ，δptj，xkq'p1'e'Kpqp1'e'Kp1'pqq。证据我们只通过反向归纳来证明下界，而上界的证明是相似的。我们需要先介绍一些符号。对于0djdκ、k PδZ和0dldNaδ，我们设置Vjk：“Vπ，δptj，xkq和Ujk：”Uπ，δptj，xkq P t0，1u，我们定义：wptj、xk、pq：“pVjk'”cptj，pq，（3.43），带cptj，pq:“KpT'tjq'p1'qp1'e'Kpqp1'e'Kp1'pqq，（3.44）和wjk，l“wptj、xk、plq、，cjl“cptj，plq，plPΓaδ。现在证明分两步进行。1、首先wpT，xk，pqdpVπ，δpT，xkq“pgpxkq”vn，π，δpT，xk，pq在δZ^r0，1s上。假设，对于0djaκ，在δZ^r0，1s上，我们有wptj`1，xk，pqdvn，π，δptj`1，xk，pq。我们想证明δZ^r0，1swptj、xk、pqdvn、π、δptj、xk、pq。自从w在p中是凸的，wptj，xk，¨qdIaδpwjk，r0上的¨q，1s。通过定义，我们有vn，π，δptj，xk，pq“minaPKIaδpSaδptj\'1，tj，vn，π，δptj\'1，¨qqpxk，pq，因此我们要证明wjk，ldSaδptj\'1，tj，vn，π，δptj\'1，¨qptj，xk，plq（3.45），对于所有a P K和所有K P Z，0dldNaδ。对于P K，通过归纳假设，wptj`1，¨qdvn，π，δptj`1，¨q，如果我们能够得到sbpk，工作，δ工作，`,δ工作，δ工作，wj\'1k，0qd0，k P Z，（3.46）Sbpk，工作，δ工作，`,δ工作，δ工作，wj\'1k，Naδqd0，k P Z，（3.47）Spk，l，wk，l，aδwk，l，a`，δwk，l，aδwk，l，wptj\'1，¨qqd0，k P Z，0alaNaδ，（3.48），其中wjk“wptj、xk、0q、，wjk“wptj，xk，1q，我们通过命题3.2的比较结果得出（3.45）成立，从而得出结论。我们现在继续证明（3.46）、（3.47）和（3.48）。2.a现在，请注意wjk“'”KpT'tjq，用于k P Z。

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kedemingshi

2022-6-23 20:23:35

我们有，因为f ptj，xk，0，0q“0，f在其第三个变量Sbpk中不增加，工作，δ工作，`,δ工作，δ工作，wj\'1k，0q“\'Kh'hf ptj，xk，'KpT'tjq，0qd0.2。b我们有wjk“Vjk'”KpT'tjq，适用于k P Z.Sinceftj、xk、Vjk'KpT'tjq，Ujkqěf ptj，xk，Vjk，Ujkq，以及通过定义Vπ，δ：Sbpk，工作，δ工作，`,δ工作，δ工作，wj\'1k，Naδq“\'Kh\'Sbpk，Vjk，δVjk，`,δVjk，δVjkqd'Khd0.2。c我们现在证明（3.48）。设k P Z，0alaNaδ。根据S的定义（3.17）：Spk，l，wjk，l，aδwjk，l，a`，δwjk，l，aδwjk，l，wptj`1，¨qq“wjk，l'wptj`1，xk，papplqq`hpF pt，kδ，wjk，l，aδwjk，l，a`，δwjk，l，aδwjk，lqd'cjk，l′uapa，δqσhVj′1k`cptj\'1、xk、papplqq\'plhpF pt、xk、Vjk、Ujk、，`,δVjk，δVjkq ` hpF pt，xk，plVjk，aδwjk，l，a`，δwjk，l，aδwjk，lq，其中我们使用了（3.41）和fpt，xk，wjk，l，σaδwjk，lqěf pt，xk，plVjk，σaδwjk，lq。通过添加plhfptj、xk、plVjk、σaδwjk，lq，使用f和aδwjk，l“plUjk`apa，δq2σpVjk`1`Vjk`1q`2δ'cjl'sgnpaq'cjl“sgnpaq”，根据PF、Spk、l的定义（3.14），我们得到，wk，l，aδwjk，l，a`，δwjk，l，aδwjk，l，wjptj`1、¨qqdhapa、δqσupVj`1k'Vjk`1q'hσapa、δqUjk`2θapa、δqσδUjk`2hLplp1'plqpVjk`'Ujk'q'hL'apa、δq'2σpVjk`1'Vjk'1q'710cjl'cptj\'1，papplqq\'uha`，δcjl'^σh'θδ˙aδcjl˙` hL|aδcjl |。由于| apa、δq | maxt | a |、a P Kudn、V和U在h、δ中一致有界（见附录中的位置6.3），因此存在常数Kn、θ、M、La0，使得hapa、δqσupVj ` 1k'Vjk'1q'hσapa、δqUjk'2θapa、δqσUjk'2hLplp1'plqpVjk'hL；apa，δq | 2σpVjk ` 1 ` Vjk'1qdhKn，θ，M，L.当 “1，除第一行外，最后三行的项均消失，cjl'cptj'1，pl'uapa，δqσhq”Kh。因此，我们得到：Spk，l，wk，l，aδwk，l，a`，δwk，l，aδwk，l，wptj\'1，¨qqdhp\'K\'Kn，θ，M，Lq。因此，选择Klarge就足够了。我们现在处理这个案子 “ 0.

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2022-6-23 20:23:38

通过泰勒展开式c围绕ptj，plq，我们得到：Spk，l，wk，l，aδwjk，l，a`，δwjk，l，aδwjk，l，wjptj`1，¨qqdhKn，θ，M，L`hL | apa，δq |σ| Bpcptj，plq | ` hBtcptj、plq\'hapa、δqBppcptj，plq`hεph；Kq，limh~n0εph；Kq“0。定义为c、我们得到，对于稍后要固定的ha0和h P r0，hs:Spk，l，wk，l，aδwjk，l，a`，δwjk，l，aδwjk，l，wjptj`1、¨qqdh"Kn，θ，M，L'KL'apa，δq'σe'Kpl'KLapa，δqσe'Kp1'plq'Kapa，δqe'Kpl'Kapa，δqe'Kp1'plq'εph；Kq公司|dh"maxhPr0，hs |εph；Kq | ` Kn，θ，M，L ` K | apa，δq | pe'Kpl'e'Kp1'plqq'Lσ'apa，δq'K''.综上所述，我们可以选择足够大的Klarge，使Kn、θ、M、L\'K | apa、δq | pe'Kpl'e'Kp1'plqqpLσ''apa、δqKq''η'0，然后考虑ha0足够小，使εph；Kq |dη，对于h P r0，hs。lProposition 3.5（单调性）。设π为满足（3.22）–（3.24）的r0、ts和δa0的网格。设y P R，0dkdκ，j P Z和P P r0，1s，并设U，V：π^δZ^r0，1s~nR是两个有界函数，使得UdV。然后：pSpπ，δ，k，j，P，y，U qěpSpπ，δ，k，j，P，y，Vq。（3.49）证明。k“κ的结果是明确的。如果kaκ，则足以表明：IaδpSaδptk`1，tk，Uptk`1，¨qqqdIaδpSaδptk`1，tk，Vptk`1，¨qq，对于所有a P k，回忆（3.4）. 这是命题3.2中比较结果和线性插值器单调性的结果。我们现在证明了该方案的稳定性。这里，与引理2.1相反，我们无法证明该格式的解在p中是递增的。然而，由于终端条件的有界性，我们获得了vn，π，δ的一致界。提案3.6（稳定性）。对于所有π和δa0，存在唯一的解vn，π，δto（3.4），满足：0dvn，π，δd| g | onπ^δZ^r0，1s。（3.50）证明。

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2022-6-23 20:23:41

我们用反向归纳法证明了这个命题。首先，因为vn，π，δ是（3.4），vn，π，δpT，x的解，pq“pgpxq关于δZ^r0，1s，we有0dvn，π，δpT，x，pqd| g |对于所有px，pq PδZ^r0，1s。设0djdκ'1，并假设vn，π，δptk，¨q是唯一确定kaj的，并且在0dvn，π，δptj'1，¨qd| g |。由于vn，π，δptk'1是（3.4）的解，我们有vn，π，δptj，x，pq“minaPKIaδpSaδptj`1，tj，vn，π，δptj`1，¨qq，对于每个a P K，Saδptj`1，tj，vn，π，δptj`1，¨qq由命题3.1唯一确定，因此vn，π，δptj，¨q是唯一确定的。接下来，我们证明，对于所有K P Z和0dldNa：0dSaδptj`1，tj，vn，π，δptj`1，¨qqd| g”；.那么很容易得出结论，0dvn，π，δptj，¨qdeLT | g |在R^r0，1s上，通过极化和最小化。首先，很简单，由ˇuk定义的ˇu，l“0表示所有k P Z，0lNasatisˇu”Saδptj`1，tj，0q。比较定理给出了0dSaδptj`1，tj，vn，π，δptj`1，¨qq，因为0dvn，π，δptj`1，¨q。为了获得上界，我们注意到由ˇuk定义的ˇu，l：“g表示所有k P Z和0dldNasatis fiesspk，l，^uk，l，aΔ^uk，l，a`，Δ^uk，l，aΔ^uk，l，^uq“'hfptj，xk，^u，0qě'hfptj，xk，0，0qě0。因此，命题3.2中的比较结果得出Saδptj`1，tj，vn，π，δptj`1，¨qqd| g |。我们现在证明了一致性。证明需要几个引理。首先，我们表明，由控制变化引起的扰动消失为δИ0。引理3.1。对于所有的a P K，a和apa，δq具有相同的符号，并且：0d| a |'| apa，δq | nσδ. （3.51）此外，存在ca0，因此对于所有P K和δa0，| apa，δq | ca0。证据

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2022-6-23 20:23:45

通过Naδ的定义，pNaδ'1q'a'σδ'1“Naδ'apa，δq'σδ'Naδ'a'σδ，因此'a'a'Naδ'apa，δq'a'。此外，我们观察到'a'Naδ'a'rσ'a's'| a |σ| a |δ“a∑∑∑∑∑∑n∑∑δ，它总结了（3.51）的证明。通过（3.10），我们得到：Na△σ| a |δ\'1dσamδ\'1dσcδ，其中am“mint | a |：a P Ku和ca0独立于a，δ。现在，通过（3.11），我们得到：| apa，δq |“σNa |Δ283; c∑△cΔσ“c.lLast，我们给出了满足适当条件的显式上解和下解。设0dtasdt，δa0和P K为固定值。对于 a0，我们开始pt，x，y，νq：“pfpt，¨，¨，¨，¨qρqpt，y，νq：“zR^R^Rfpt，x'u，y'z，ν'ηqρpu，z，ηq du dz dη，其中是卷积算子，对于 a 0, ρpxq:“\'3ρpx{q与ρ：R~nRis a molli fier，即R'1上支持的光滑函数，1满足Rρ“1。我们设置pt，x，y，q，Aq“σ'u'q'σA'fpt，x，y，σqq。备注3.5。因为f对于最后三个变量是L-Lipschitz连续的，所以我们有| f\'f | L.附录中给出了插入引理的冗长证明。引理3.2。设0dtasdt，ДP CbpR^R，Rq，a P K。设h：“s’t.Let a0以便 И0和δ尼0为h尼0，观察（3.24）。然后存在有界函数Sa，δps，t，Дq:formSa的δZ^r0，1s~nR，δ，ps、t、Дqpx、pq“Дpx、pappqq（3.52）'hFpt、x、Дpx、pappqq、，apa，δqДpx，pappqq，apa，δqДpx，PappqqCД，nph，q、其中，PAI在（3.18）中有定义，其中，C^1，nph，qa0满意度，nph，qhИ0为hИ0，因此w：“pSa，δ，ps，t，Дqpxk，plqqkPZ，0dldNaδP\'pGaδqq满意度pk，l，w\'k，l，aδw\'k，l，a`，δw`k，l，aδw\'k，lqě0，（3.53）Spk，l，w\'k，l，aδw'k，l，a`，δw'k，l，对于所有k P Z和0alaNaδ，aδw'k，lqd0，（3.54）。此外，对于所有x PδZ，Sa，δ，ps、t、Дqpx、¨q P Cpr0、1s、Rq和| BppSa、δ，ps，t，Дq |dCДphq对于某些常数CДphqa0，独立于.引理3.3。设0dtasdt，δa0，a P K，νP CbpR^Rq为固定值。

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