弱一致极限订货簿模型下的做市

2022-6-23 20:39:00

弱一致性限制指令簿模型下的做市商Baron Law和Frederi ViensAgam CapitalMichigan州立大学，2020年1月28日，发表在《高频文摘》（High FrequencyAbstracts）上。我们开发了一种新的做市商模型，该模型是根据市场微观结构中众所周知的订单类型分类，针对限制指令簿（LOB）下的高频交易而定制的。我们的灵活框架允许任意的订单量、价格上涨、买卖价差分布以及使用市场订单。Italso尊重不同订单类型到货时价格变动的一致性。例如，很明显，在买方市场订单上，价格永远不应该下跌。此外，它尊重LOB的价格-时间优先级。与经典的Avellaneda和Stoikov[1]做市框架中对扩散进行常规控制的方法不同，我们利用了标记点过程的最优切换和脉冲控制技术，这些技术已被证明对订单特征建模非常有效。与控制问题相关的Hamilton-Jacobi-Bellman拟变分不等式（HJBQVI）可以通过有限差分法进行数值求解。我们通过一个完整的数值分析来说明我们的最佳交易策略，并根据一个流行的交易所交易基金（ETF）的订单统计数据进行校准。我们的模拟表明，在价格波动不一致的情况下，做市商的利益可能被严重夸大。关键词：做市；高频交易；随机最优控制；最优切换；脉冲控制；点过程；粘度解决方案1简介现代电子订单驱动交易所中的做市商通过在限额订单簿（LOB）的两侧同时发布限额买卖订单，为市场提供流动性。

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2022-6-23 20:39:03

他们渴望在每次往返买卖交易中获得买卖价差，以换取承担不利价格变动、不确定执行和不利选择的风险[2，3]。在Avellaneda和Stoikov【1】现在的经典设置中，我们将其称为Frameworker作为模型，作者假设中间价SMT遵循布朗运动，在距离中间价d的距离处达到极限订单的买入或卖出市场订单的到达是一个强度λ（d）=a exp的独立泊松过程(-kd）其中A>0，k>0是常数。小型做市商在交易期结束时，根据中价Smt、现金持有量Bt、库存Qt以及买卖双方Nat的市场订单到达动态，通过控制不同时间的买入价和卖出价SAT，努力实现风险调整后财富的最大化。因此，做市商问题可以被视为如下随机最优控制：maxSbt，SatE（U（BT+QTSmT））（1）dSmt=σdWt（2）dBt=SatdNat- SbtdNbt（3）dQt=dNbt- dNat（4）λb=Aexp(-k（Smt- Sbt））（5）λa=Aexp(-k（Sat- Smt））（6）其中WT表示布朗运动，Nbt表示与WT无关的泊松过程，强度分别为λb和λ。量σ>0表示瞬时波动率，U（o）是凹效用函数。AS框架改编自Ho和Stoll[4]，该框架最初是为交易商在报价驱动的市场（如债券、OTC衍生品）中进行交易而设计的，他们通过电话或现在的彭博终端向潜在客户发出出价和询价。Avellaneda和Stoikov将垄断做市商的假设替换为小型做市商的假设，因此参考（中间）价格是外生的。此外，他们还将最优限价订单替换为最优报价，以便在LOB中进行交易。

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2022-6-23 20:39:06

这将博弈论模型转变为纯粹的随机模型，数学金融领域的研究人员更容易使用该模型，因此，他们的框架已成为许多近期随机做市模型研究论文的基础（见表1）。然而，简单地将报价交换为限价订单并不能将报价驱动的做市模式转变为良好的订单驱动模式，因为as框架并没有解决许多重要的OB功能，我们将在下面几节中重点介绍这些功能。1.1价格一致性在AS框架中，假设价格和订单到达是独立的，因此价格可以在大型卖出市场订单上上涨，这在现实世界LOB交易中显然是不可能的。由于知情交易者（逆向选择）的存在，市场庄家往往站在交易的错误一边，缺乏这种关键的依赖结构往往会产生巨大的幻觉收益情景，导致做市策略的平均收益被夸大。在我们这里，报价是指对客户的价格报价，但稍后我们将松散地使用报价来表示出价或要价。感兴趣的读者还可以参考附录A了解做市商模型的简短历史。另见【14】。表1：自2008年以来的制作论文作者贡献2012年Fodra和Labadie在更一般的设置下解决了HJB PDE的亚解2013年Guéant等人。解决HJB PDE2013的有效算法Guilbaud和Pham允许市场订单和任意限制订单量，将出价/ASK价格限制在最佳报价或更好的1个刻度，2013年Fodra和Labadie将中价作为跳跃扩散扩展到多资产2014 Cartea等人。通过漂移项2014 Nystr"om等人引入价格与订单到达的依赖关系。

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2022-6-23 20:39:09

引入模型不确定性2015 Cartea和Jaimungal比较优化目标中的不同惩罚函数2015 Fodra和Pham mid price作为与订单到达相关的马尔可夫更新过程2017 Cartea等人。引入模型不确定性2017 Guéant在更一般的多资产环境下解决HJB PDE 2018 Cartea等人。建模订单到达的条件强度根据第6.2节多资产环境模拟后验下HJB PDE的volumeimbalance2018 Evangelista和Vieira封闭式近似解，这种价格不一致可能会将做市利润夸大50%以上。1.2价格-时间优先级由于几乎所有LOB现在都使用价格-时间优先级，更改limitorder的价格或数量意味着失去执行优先级；然而，AS框架假设在改变买卖价格方面没有成本，因为该模型最初是为报价驱动市场设计的，这显然不会在改变客户报价方面产生成本。在AS模型中，时间t的最优买入价和卖出价表示为与当前时间t的中间价的距离，而不是发布限价订单时的中间价，因此遵循最优买入价和卖出价意味着不断更改限价订单。例如，根据该模型，当前的最佳出价和要价应该是中间价的3个刻度，您可以按照规定下限价订单。当中间价上涨1分时，您的限价买卖订单现在位于中间价的4分和2分的位置。根据模型，您应该立即取消订单，并发布新订单，该订单比当前中间价低3个百分点。

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kedemingshi

2022-6-23 20:39:13

如果您遵循该模型，您的订单将很难在LOB中执行，因为由于您不断更新，您的订单总是位于出价和询问队列的底部。根据Ho和Stoll[4]最初设计的报价驱动市场，AS模型非常有意义。例如，当客户第一次打电话时，你给她一个报价，比如9.97美元/10.03美元。一分钟后，她再次打来电话，你给了她一个9.98美元/10.04美元的报价，因为你的最高执行优先级是限制价格更好的订单，然后是时间戳较早的订单。[1]中的第2.4节：这些限额订单pband Pac可以免费持续更新。在[6]的回溯测试部分，作者需要调整市场环境和交易策略，以便模型在LOB下有意义。参考价格上涨了0.01美元。在本例中，在报价驱动的市场中更改报价不会产生任何成本，但由于价格-时间优先级规则，在LOB下情况并非如此。1.3价格勾选在LOB中，价格仅允许在固定价格网格中。因此，价格确实是一个纯粹的跳跃过程，它有两个维度：即跳跃次数和跳跃幅度。扩散模型只能近似跳跃的大小，但不能描述与跳跃计时相关的属性，例如高频交易中的跳跃聚类。此外，在pricetick约束下，优化在某些模型中可能没有用处。例如，在花费数小时高精度处理PDE后，该模型的最佳出价为10.0123456789美元。尽管如此，您不能在LOB中以这样的价格下限价订单；您可以下限价10.01美元或10.02美元的订单。

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2022-6-23 20:39:16

在第1.4节中，您甚至可能会发现，在许多情况下，您不需要浪费时间来解决PDE，因为唯一可行的选择是最佳出价或最佳出价。1.4执行概率AS模型的一个关键组成部分是速率函数λ（d）=A exp(-kd），它直接影响给定间隔内限制指令的执行概率。在他们的模型中，价格是连续的，所以d是一个连续变量。然而，由于价格网格inLOB的离散性，利率函数只能是阶跃函数，而不是平滑曲线。此外，当限额指令与某些流动性股票的最佳报价相差一个勾号以上时，执行概率极低（例如，e-mini标准普尔期货的执行概率小于3%[17]）。因此，优化问题变得不必要，因为在这种情况下，唯一合理的做法是将限额订单与最佳报价挂钩。1.5订单规模为了简单起见，AS模型假设所有市场订单和限额订单的规模相同。这种假设可能掩盖做市商过度交易的风险。实际上，做市商不会像as框架所建议的那样，将所有限价指令放在一对最优出价和ASK价格上；相反，他们将在许多价格级别下过多的限额订单，以便在执行订单时继续保持其在LOB中的优先级。尽管如此，一个大型市场订单的到来可能会将其库存提高到无法接受的水平，而当所有订单的规模都相同时，这种过度交易风险就无法显现出来。1.6文件布局本文的组织如下：在第2节中，我们定义了订单一致性的概念，然后在第3节中，我们充分描述了弱一致LOB的实现。

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2022-6-23 20:39:20

我们的novelFor股票价格>1美元，刻度大小为0.01美元。这种执行概率并不是在一系列价格变动之后，发布到次优的限价单最终被执行的概率。相反，它是指当前第二好队列中的限价指令被一个非常大的市场指令执行的可能性，该市场指令在账面上走高。做市商模型在第4节中有详细描述，第5节用数值解说明了我们模型的一些性质。第6节提供了模拟回溯测试的结果，第7节得出结论。2限额订单簿模型的一致性在完整的LOB模型中，唯一的要素是限额订单和市场订单。所有其他数量，即买入价、卖出价、买入卖出价差和限价订单队列的深度，都可以从限价订单和市场订单的出现中派生出来。然而，在简化形式的一级LOB中，一个人只观察发生在最佳出价和最佳出价上的事件；因此，这种模型并不包含推导价格动态所需的所有信息。因此，许多市场营销模型中的价格都是外生的，而且这种价格往往与订单簿记交易不一致。在讨论具体示例之前，我们首先定义一致的LOB模型的含义。在以下部分中，我们将使用（Sbt、Sat、Smt=（Sbt+Sat）/2、St=Sat- Sbt）分别表示买入价、卖出价、中间价和买入卖出价差，相应的小写字母（sb、sa、sm、s）将用于表示给定时间点的当前“状态”值。定义1（一致的限额订单模型）。

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2022-6-23 20:39:24

设τbm、τam、τbl、τal、τbc、τac表示任何市场卖出、市场买入、限价买入、限价卖出、限价买入取消和限价卖出取消订单的到达时间，相应的数量和价格（仅限限价订单）用vandπ表示。如果限额订单簿模型满足以下所有条件，则称为一致。1、方向一致性o当适销对路的销售/购买订单到达时，买卖价格不能上下移动，而买卖价格只能保持不变：PnSaτam≥ Saτa-mo\\nSbτam=Sbτa-瞬间= PnSbτbm≤ Sbτb-mo\\nSaτbm=Saτb-瞬间= 1（7）o在限价卖出/买入订单到达时，价格在买卖价差内，债券/买入价格只能向下/向上移动，而买入/卖出价格只能保持不变。如果限额指令在买卖价差之外，则买卖价格保持不变：A=nSbτal=SbτA-lo\\nSaτal<Saτa-loπal<Saτa-lo（8）A=nSbτal=SbτA-lo\\nSaτal=Saτa-lo\\nπal≥ Saτa-lo（9）A=nSaτbl=Saτb-lo\\nSbτbl>Sbτb-loπbl>Sbτb-lo（10）A=nSaτbl=Saτb-lo\\nSbτbl=Sbτb-lo\\nπbl≤ Sbτb-lo（11）PA【A】= PA【A】= 1（12）可销售的买入/卖出指令是市场买入/卖出指令或限价高于/低于或等于买卖价格的限价买入/卖出指令在最佳询价/出价时，当限额买卖订单取消时，询价/出价只能向上/向下移动，而询价/询价只能保持不变。如果取消是在最佳报价之外，则买卖价格保持不变：B=nSbτac=Sbτa-co\\nSaτac≥ Saτa-coπac=Saτa-co（13）B=nSbτac=Sbτa-co\\nSaτac=Saτa-coπac>Saτa-co（14）B=nSaτbc=SaτB-co\\nSbτbc≤ Sbτb-coπbc=Sbτb-co（15）B=nSaτbc=SaτB-co\\nSbτbc=Sbτb-coπbc<Sbτb-co（16）PB【B】= PB【B】= 1 (17)2. 时间一致性-出价/要价仅在订单到达/取消的瞬间变动：PnSbt=Sbt-o\\nSat=Sat-ot型/∈ Γ= 1（18）式中，Γ是市场和限价订单的所有停止时间集。3.

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2022-6-23 20:39:27

数量一致性o如果可销售买卖订单的数量等于或大于最佳询价/投标队列的深度（Qat、Qbt），则询价/投标价格会上移/下移；否则保持不变：PnSaτam>Saτa-mo\\n AM≥ Qaτa-瞬间[nSaτam=Saτa-mo\\nvam<Qaτa-瞬间= 1（19）页nSbτbm<Sbτb-mo\\nvbm≥ Qbτb-瞬间[nSbτbm=Sbτb-mo\\nvbm<Qbτb-瞬间= 1（20）o如果限额买入/卖出取消的数量等于最佳询价/竞价队列（Qat、Qbt）的深度，则询价/竞价会上移/下移；否则保持不变：PnSaτac>Saτa-co\\nvac=Qaτa-有限公司[nSaτac=Saτa-co\\nvac<Qaτa-有限公司= 1（21）页nSbτbc<Sbτb-co\\nvbc=Qbτb-有限公司[nSbτbc=Sbτb-co\\nvbc<Qbτb-有限公司= 1（22）当方向一致性被违反时，做市商的利益可能会被显著夸大。例如，当价格在一系列卖出市场指令后暴跌时，做市商将遭受重大损失，因为做市商通过交易的对立面拥有净多头库存。如果价格违反方向一致性并上涨，做市商willinstead将获得意外之财。更一般地说，由于做市商经常处于交易的错误端，即她从市场卖出指令买入，从市场买入指令卖出，违反方向一致性的LOBmodel可能会夸大做市商的利益（模拟结果见第6.2节）。我们还要求因激进订单而即时更新价格，以防止陈旧价格带来的虚幻机会，否则会产生非常有利的交易策略。例如，如果最终会观察到方向一致性，则可以在大型买入市场订单之后立即以过时的价格买入，并等待价格完全反映订单状态。

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2022-6-23 20:39:30

方向和时间一致性确保LOBmodel仅从订单事件中如实反映价格风险。如果没有卷一致性，则可能会减少方向一致性违规的夸大。一般而言，积极市场秩序的平均规模大于非积极市场秩序的平均规模。因此，当积极订单的数量分布未正确建模时，将进一步低估积极市场订单不利价格变动造成的损失。然而，由于我们需要跟踪订单簿的深度，因此在LOB模型中很难实现批量一致性。如果模型只符合方向和时间一致性，我们将弱一致性标签与LOB相关联。如上所述，上述订单一致性条件只是正常订单操作的直接后果，因此，任何完整的LOB模型，无论分布假设如何，都将完全符合。2.1不一致模型的示例大多数现有做市商模型都没有对整个LOB进行建模：价格通常是外生的，导致价格波动不一致，尤其是在高频交易中使用时。例如，Avellaneda和Stoikov[1]将中间价格建模为独立的布朗运动。dSmt=σdWt（23）这样的设置甚至可能无法再现一些简单的程式化事实。例如，当一个买方市场订单到达时，由于中间价是一个独立的布朗运动，一半的时间它会下降，有时下降幅度很大。这种不切实际的情况可能会严重夸大做市策略的优势。

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2022-6-23 20:39:33

由于价格是一种扩散，即使没有任何订单，价格也会持续波动。观察到这些和其他与完全独立的价格和订单到达相关的问题，一些作者试图在这两个过程之间加入一些依赖结构。Cartea等人[9]将买卖市场订单分为流动（M+t，M-t）和非流动性（eM+t，eM-t）带（M+t，M-t、 eM+t，eM-t）是一个多元霍克斯过程。中间价是通过不可观察的均值回复过程αt与市场订单耦合的扩散，如下所示：dSmt=（ν+αt）dt+σdWt（24）dαt=-ζαtdt+σαdBt+ε+dM+t- ε-dM公司-t（25），其中wt和bt是独立的布朗运动，而ν∈ R、 ζ，σ，σα，ε+，ε-0都是严格的正常量。这不是经典意义上的套利，因为在这样的买入之后可能会有一个主要的市场卖出指令。积极的订单是一种会影响价格的订单。当一个流动的买入市场指令M+T上升时，αT会上升，而中间价SMT会有更大的漂移。尽管如此，没有什么可以阻止Wtterm发生更大的负面变化，从而导致整体价格下降。由于中端价格持续上涨，即使流动市场订单到来，价格也不会上涨。引入依赖结构的另一种方法是将中间价格建模为与订单到达相关的纯跳跃过程。

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大多数88

2022-6-23 20:39:37

Bacry和Muzy[18]假设中间价格具有theformSmt=Sm+δ（N+t- N-t）（26）连同买卖市场订单M+t，M-t、四组（N+t，N-t、 M+t，M-t）形成多变量霍克斯过程【19–21】。尽管价格和市场订单现在通过霍克斯过程中的交叉激励特性进行关联，但在买入市场订单后，价格下跌的概率仍然为非零。此外，多元霍克斯过程被定义为一个简单的点过程，这意味着价格上涨和市场订单发生的概率为零。在Fodra和Pham【12】中，中等价格是按S+δ建模的∑田纳西州≤tJn（27），其中δ是刻度大小，{（Tn，Jn）}是具有Tn的马尔可夫更新过程∈ R+和Jn∈ {-1,1}分别表示跳跃时间和跳跃方向。市场订单被假定为A点过程M（dt×dz），其中标记ZN表示市场订单的侧面（买入/卖出）。M的随机强度取决于自上次价格跳跃以来的时间t，zn的条件分布取决于上次价格跳跃的方向jm。它同样存在着与[18]相同的问题，即价格和市场是相关的，但方向一致性仍然可能以非零概率被违反。此外，即使价格和订单到达过程是相关的，也无法保证价格和到达点过程同时跳跃。在上述所有示例中，要么假设所有订单的数量相同，要么不直接使用数量来控制价格上涨。在过去10年中，关于做市的学术研究（见表1）主要集中于扩展和优化Avellaneda和Stoikov[1]框架，很少关注其在现代订单驱动交易所中的实用性。

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2022-6-23 20:39:40

该框架非常适合于固定收益和OTC衍生品等由订单驱动的市场的报价，但由于存在价格-时间优先权，不适合股票和期货等由订单驱动的市场。但具有讽刺意味的是，上述研究中的大多数例子都是将其结果应用于高频电子交易平台，而这些平台是订单驱动的。人们可能会注意到，在这个模型中，“订单移动价格”的普遍观点是相反的，作者承认他的目的是再现价格和订单之间的依赖关系，而不是建模因果关系。盖恩特也提出了类似的评论。3弱一致的一级简化LOB3.1模型表2：订单分类类型订单到达事件出价询问价格1激进市场买入0+2激进市场卖出-03激进限价买入+04激进限价卖出0 5激进限价买入取消-06激进限价卖出取消0+7非激进市场买入0 08非激进市场卖出0 09非激进限价买入0 010非激进限价卖出0 011非激进限价买入取消0 012非激进限价卖出取消0+/-/0表示相应的价格上涨/下跌/保持不变，如下Biais等人【22】和Large【23】，根据类别（限额、市场、取消）、交易方（买入、卖出）和积极性，限额订单簿顶部的所有订单可分为表2中的十二种类型之一。正如【23】中所述，激进的订单是指改变出价或要价的订单。

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2022-6-23 20:39:43

更准确地说，激进的市场订单是指完全耗尽最佳出价或询问队列的订单，激进的限价订单是指限价在买卖价差内的订单，激进的取消是指取消最佳出价或最佳询问队列中最后一个剩余的订单。设N（t）=（N（t），。。。，N（t））是每种类型的订单数量的多元单点过程，直到并包括时间t。Ma（t），Mb（t）表示买卖市场订单的数量，Sb（t），Sa（t）分别表示买卖价格。假设价格网格的刻度大小δ是固定的。立即观察到以下直接但重要的关系。Ma（t）=N（t）+N（t）（28）Mb（t）=N（t）+N（t）（29）Sa（t）=Sa（0）+（N（t）+N（t）- N（t））δ（30）Sb（t）=Sb（0）+（N（t）- N（t）- N（t））δ（31）我们忽略了奇异订单类型，如冰山订单、零售价格改善订单、钉住订单等。卖出包括多头卖出和卖空。如果几乎可以肯定的是，一个点过程在每个时间点最多有一次跳跃，那么它被称为简单过程。为简单起见，我们假设没有两种类型的订单可以同时到达。尽管如此，由于纳斯达克/芝加哥商品交易所的时间戳降至纳秒，两个订单在同一时刻到达的概率接近于零。等式（28）和（29）只是Ma（t）和Mb（t）的定义。要价Sa（t）是初始要价加上推动要价上涨的激进订单数量，减去推动要价下跌的激进订单数量，再乘以刻度大小δ。投标价格的方程式（31）遵循相同的逻辑。通过这些非常简单的方程（28）-（31），我们可以通过公共组件Nand N观察价格和订单到达的依赖关系。

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2022-6-23 20:39:46

例如，当存在一个积极的买方市场订单（类型1）时，买方市场订单点流程Ma（t）和询价Sa（t）都将同时跳转（共同跳转），但它们也可以在其他订单类型到达时单独跳转。从这些方程式中，我们还认识到，买市指令（类型1或类型7）不会使询价价格下降。然而，激进指令导致的价格上涨可能会超过一个刻度，这对于小刻度股票尤其重要，因为在价格网格中，限制指令的数量很少。因此除了随机跳跃时间τn∈ R+=（0，∞), 我们添加随机标记ξn∈ N={0，1,2，…，}，对应于积极顺序的跳转大小（以记号为单位）（对于非积极顺序，ξN=0），和vn∈ R+，表示订单数量。多元标记点过程现在表示为Ni（dt×dv×dξ），其补偿器的形式为λi（t）ui（t，dv×dξ）dt，其中λi（t）是地面过程Ni（dt×R+×N）的强度，ui（t，dv×dξ）是条件标记（体积和跳跃）分布。为了便于说明，我们将使用符号Ni（dt×dv）=Ni（dt×dv×N），Ni（dt×dξ）=Ni（dt×R+×dξ）和（Ni+Nj）（dt×dv×dξ）=Ni（dt×dv×dξ）+Nj（dt×dv×dξ）。价格和市场订单的联合模型现在变成：Ma（dt×dv）=（N+N）（dt×dv）（32）Mb（dt×dv）=（N+N）（dt×dv）（33）Sa（dt）=ZZ+ξδ（N+N- N）（dt×dξ）（34）Sb（dt）=ZZ+ξδ（N- N- N）（dt×dξ）（35）买卖价差S（dt）=Sa（dt）- 我们模型中的Sb（dt）由s（dt）=ZZ+ξδ（N+N）给出- N- N+N+N）（dt×dξ）（36）由于负项Nand N，人们可能会担心买卖价差S（t）可能会低于一个刻度δ。

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2022-6-23 20:39:49

然而，如果我们仔细观察订单类型3和4（限制范围内的订单），它们只能在S（t-) > δ ; 因此，S（t）永远不会收缩到δ以下。实施该约束的最简单方法是限制N，N的强度。根据结果，当点过程的强度在时间t为零时-, 事件在时间t发生的概率为零[24，T12，p.31]，我们施加条件λ（t）=λ（t）（S（t-) > δ）（37）有关标记点过程的详细介绍，请参见【24】。我们也可以使用等效形式λi（t）=λi（t）（S（t）>δ），请参见Brémaud[24，T10，p.29]以获得证明。λ（t）=λ（t）（S（t-) > δ）（38），其中λ（t）和λ（t）是任何可预测的非负随机过程。很容易看出，我们的模型在方向和时间上是一致的，然而，由于我们没有跟踪最佳报价的深度，我们的模型在数量上并不一致。3.2强度和标记分布通常，订单到达过程的强度可以是任何可预测的非负随机过程。在最简单的情况下，它们被假定为常数，从而导致这些订单到达的泊松过程。然而，有人可能会认为，例如，N（t）只是总市场购买订单的细化过程，其细化概率为P（vt≥ Qat公司-|英尺-) 其中Qat-是最佳询价中的限价卖出订单数量，VT是进入的买入市场订单大小。因此，根据限额订单簿的当前形状，强度应该是随机的。然而，将Qatin纳入模型将显著增加建模所需状态变量的维度，因为我们需要跟踪所有价格水平下的订单流量，而不仅仅是最佳出价/要价【25】。此外，报价造假[26]和欺骗[27]的做法使整个LOB的有用性受到质疑，尤其是在最佳报价之外。

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2022-6-23 20:39:52

因此，完整LOB模型的好处可能无法证明增加的非平凡复杂性是合理的，这可能解释了简化模型的出现，简化模型只关注本书的顶部【28，29】。如果假设到达强度为常数，则可以将其解释为基于订单平衡分布中的稀释概率的强度。由于做市商在整个交易日提供流动性，订单账簿的平均形状为我们的目的提供了合理的近似值。关于订单量，Gopikrishnan等人【30】观察到，市场订单的大小具有幂律尾部（例如，帕累托分布），而Maslov和Mills【31】发现对数正态分布也能很好地拟合数据。我们将在第5.2节的numericalexample中使用对数正态分布，但我们的框架符合任何分布假设。任何正离散分布都可以用来模拟价格上涨的幅度，并且可以以到达时间和数量的历史为条件。例如，一个非常大的订单将导致价格跳跃多次，而随着流动性枯竭，一系列大型市场订单更有可能导致价格跳跃更多。然而，为了简单起见，我们将在第5.2.3.3节参数估计中的求解示例中假设体积和跳跃大小是独立和稳定的。由于我们假设到达强度是恒定的，所有订单类型，除了激进限制订单（类型3和类型4）外，都遵循泊松过程。

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2022-6-23 20:39:55

例如，最大似然估计（MLE），我们需要跟踪处于次优状态的订单，否则我们将无法计算积极的市场订单后新的最佳报价的队列深度。快速下达和取消大量限价订单。提交限价订单，造成供需失衡的假象。LOB在一个大订单后恢复到正常/平衡形状的速度称为弹性[23]。众所周知，泊松强度为^λi=Ni（T）Ti 6=3，4（39）。对于侵蚀性极限阶数3和4，强度被限制为零，而投标报价为一个刻度，因此，对于跳跃和体积分布，MLE变为^λi=Ni（T）RT（St>δ）dti=3，4（40），可以假设参数分布，其中的参数由MLE估计，也可以简单地使用经验分布。例如，给定观察到的某种阶型跳跃大小{ξ，…，ξN}的序列，ξ的经验分布为简单的ξ（k）=N∑j=1（ξj=k）N（41）在人口稀少的LOB上，观察到的跳跃大小范围非常大，可以将参数分布（例如负二项式）设置为{ξj}。如果我们假设体积v服从对数分布，那就是log（v）~ N（u，σ），u和σ的最大似然只是对数（vj）的样本平均值和方差。对于激进订单类型的体积和跳跃大小的联合密度，我们将其表示为fv，ξ（v，ξ）=fξ（ξ）fv |ξ（v |ξ），fξ可以使用经验分布进行估计。由于ξ是离散的，我们可以很容易地估计给定特定跳跃大小ξ=k的条件体积分布，类似于无条件跳跃。4做市商模式4.1交易环境我们的做市商可以选择在买卖双方发布限价指令，或从市场的一方或另一方退出。

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2022-6-23 20:39:58

bid和ask的运行机制由Rbt、Rat表示∈ 分别为{0,1}。例如，在只买入（抛售）制度（Rbt=1，Rat=0）中，做市商只会以最低价发布限制买入订单。此外，做市商可以根据跨越买卖价差的成本、交易费用η以及固定的间接费用ci，发布规模为ζ的市场订单（冲动），以立即调整其库存。在此版本中，我们的做市商不会考虑像[7]中那样的激进限价指令（限价指令insidespread），其中价差内的限价指令可能具有高于之前最佳报价的永久有效融资利率。在我们的模型中，从一个注册表切换到另一个注册表的效果是打开/关闭市场订单的到达，这遵循一个规定的点过程动力学。在我们的术语中，收益是暂时的，我们在这里没有建模。假设每个市场订单的大小足够小，以至于它不会进入LOB，并且出价和询问队列都是非空的，概率为1。参与率ρ的增加是因为订单优先级较高，而不是因为我们的价格提高了一个百分点，导致市场订单的到达强度增加。4.2建模假设我们假设做市商在市场上的所有交易中只有一个很小的预先确定的参与率ρ（例如说10%），因此她的订单对订单的影响可以忽略不计。关于参与率ρ：1的解释，有三种选择。对于每个大小为v的市场订单，我们的做市商将执行ρv股；这意味着做市商的订单非常小，并且在队列中均匀分布。2、对于每个市场订单，有一个概率ρ，它将达到我们做市商的限价订单。

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2022-6-23 20:40:01

与做市商的限价订单相比，当平均市场订单规模较小时，此假设更为合理。3、如果v<v，则针对每个v级市场订单*, 其中v*是一个固定常数，它有可能达到做市商的限价指令ρ。如果v≥ v*, ρv股票将针对我们的做市商执行。对于大型股票，由于股票价格相对较小，平均订单量较大，选择1是合理的。而对于小型股票，由于恰恰相反的原因，选择2似乎更合适。例如，2014年5月8日，伯克希尔哈撒韦股份有限公司A类股票的价格为190010美元，大多数市场订单的规模为一股，因此，假设做市商执行期权1中每个市场订单的一小部分是不合理的。选项3更为复杂，但它可以适应各种规模的市场订单。在本文中，我们将使用选项1进行说明。做市商可以通过不断将其在LOB中的限价订单调整为大致为每个价格水平下排队长度的比例ρ来实现其目标执行利润，但详细机制超出了本文的范围。由于几乎所有证券交易所都实行所谓的价格-时间优先权，因此退出市场会导致当前限价指令失去优先权。为了充分说明这一点，需要涉及延迟积分微分方程，这将使模型更加复杂。相反，我们只需惩罚在时间t从i切换到j时，出价方和要求方的成本分别为cb（i，j，t，s）、ca（i，j，t，s）和价差s。

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大多数88

2022-6-23 20:40:04

我们建议使用以下简单的cb、ca公式，同时承认这方面需要更多的研究。cb（0,1，t，s）=α'qbρ（s/2+ε）minT- t'qb/（（λ'v+λ'v）），1（42）ca（0,1，t，s）=α'qaρ（s/2+ε）minT- t'qa/（（λ'v+λ'v）），1（43）cb（1,0，t，s）=ca（1,0，t，s）=0（44），其中“Vi”是i类订单的平均数量，“qb”，“Qa”是代表我们做市商在关闭模式下排队长度的参数，α是一个恒定的贴现系数。这些公式的基本原理如下：为了停止提供流动性，取消限额指令不会让做市商付出任何代价，因此我们将cb（1,0）=ca（1,0）=0。然而，较大的股票意味着相对于价格而言，股票的大小较大[32]。当做市商在退出市场后想要重新提供流动性时，她不能这样做，直到她面前的所有订单都执行完毕。正如我们稍后将在完整模型中看到的那样，为了简单起见，我们假设一旦Regime1变为1，做市商将能够捕获市场订单；因此，事实上，处罚成本cb，Cai是由于价格-时间优先性，从“qρ（s/2+ε）”的高估利润中减去的金额，其中“q”可以是“qbor”Qa，具体取决于侧面。然而，仅仅通过发布限价订单并不能保证盈利。价格可能会偏离最初的报价，做市商甚至可能蒙受损失。这就是为什么我们引入贴现因子α来考虑这一点。此外，当市场接近收盘时，由于做市活动几乎没有时间进行，夸大的利润会减少。在做市商之前，购买方消耗所有博纳限额指令的平均时间约为'qb/（λ'v+λ'v）。当剩余时间t-t小于该值，我们使用因子（t-t） /（\'qb/（λ'v+λ'v）按比例分摊切换成本。

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2022-6-23 20:40:07

换言之，当时间接近市场收盘时，为了将最终清算成本降至最低而关闭的成本更低。我们想强调的是，qb、qa并不是这本书的平均深度，因为做市商不需要为了暂时离开市场而取消所有订单。如果真是这样的话，在她能够重新提供流动性之前，将会有很长的延迟。要想离开市场，她应该继续取消足够的高优先级订单，这样剩余的订单就不会以90%的概率执行。例如，如果卖出市场订单的90%是9000股，她只需要取消大约1000股，因为她的参与率是10%，并且她的订单在队列中均匀分布。比如说，在一份900股的销售订单中标后，她将取消额外的100股，这样她的订单就永远不会出现在前9000股中。因此，在本例中，(R)qb=9000。可以进一步确定切换成本公式，但关键是切换惩罚应小于完整订单书深度。冲动（市场订单）的惩罚是交换费η和跨越买入价差的成本，这已经反映在持有Bt中，以及间接成本ci，我们将其建模为当价格在做市商发出市场订单之前移动时产生的意外滑动成本。ci=βδρ'vmax（45）我们假设，由于做市商出于各种原因推迟了市场订单的提交，价格有可能会移动1滴答。

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2022-6-23 20:40:11

其市场订单的平均规模约为ρ'vmax，其中'vmax为1、2、7、8类平均交易量的最大值。我们强调，切换和脉冲之间的权衡对cb、ca、ci非常敏感（见第5.2.1节），需要彻底考虑，以使最终结果有用。我们的模型的一个局限性是，在激进市场秩序下的平均执行价格无法准确计算，因为我们只知道最佳出价/要价的价格。作为近似值，我们将假设平均执行价格只是最好的出价/要价，即使在每次往返交易中，做市商的每股收益为+2ε，我们将其中的一半归因于交易双方。使用（45）中的实际脉冲大小似乎更符合我们的基本原理，但脉冲成本必须远离0，因此连续发送微小脉冲永远不会是最优的。或者，可以将脉冲成本视为控制脉冲延迟的参数。根据定义，市场订单可以上升到LOB。正如我们将在订单簿示例的第5.1节中的表4所示，激进的市场订单非常罕见。此外，我们的近似值偏于保守，因为它总是低估做市商的利润。4.3做市商最优控制问题做市商现金持有Bt和库存QT的演变取决于制度（Rbt-,老鼠-). 例如，做市商未发布任何限价指令（Rbt-= 老鼠-= 0），Bt、QT的变化将为零。当老鼠-= 1，对于每个购买市场订单，她的库存将减少ρv，其中v是市场订单的数量。收到的现金将是有效股票数量ρv乘以卖出价Sat-, 加上回扣ε。

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2022-6-23 20:40:14

投标规模的逻辑相似。该设置假设做市商的限价订单在队列中统一分布，这提供了一个很大的简化，因为我们不需要处理完整的订单记账模型，也不需要跟踪做市商订单在队列中的优先级。在任何给定的制度中，我们的做市商执行的订单数量由参与率ρ决定，决策变量只有何时切换（限制订单）制度，何时放置冲动（市场订单），以及有多少股票可以交易冲动。因此，位于某个容许集Uad中的控制u是有序四元组{（τn，rbn，ran，ζn）}n的序列≥1，其中τ为开关和/或脉冲的停止时间。rbn，ran∈ {0,1}分别是bid和ask队列上的新机制，ζn∈ 我 R是紧集I中的签名脉冲强度（买入（正）或卖出（负）的股份数）。rbn，ran，ζnare都可以相对于Fτn进行测量。如果rn=rn-1，表示政权没有变化。如果ζn=0，则表示只有转换，而没有市场订单。当rn6=rn时-1和ζn6=0时，市场制造商切换制度，同时发布市场订单。

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2022-6-23 20:40:18

由于我们的切换和脉冲成本不取决于制度，切换和脉冲的顺序并不重要。做市商最优控制问题是通过选择最优控制u={（τn，rbn，ran，ζn）}n，使T期末预期总财富（现金+库存）的价值函数V最大化，减去风险规避θ、转换（cb（o）、ca（o）和脉冲（ci）的库存罚款总成本（θRQtdt）≥1、受买卖价格Sbt、Sat、订单到达NI（t）、现金Bt和库存Qt的动态影响。当做市商执行限价指令时，她将收到每股回扣ε≥ 0、鉴于每股交换费η≥ 0，除价差交叉造成的不利价格外，做市商按照市场指令移除多余库存时，将强制执行。我们现在陈述做市问题的数学公式。我们在这个模型中不包括交易税、清算费、经纪人佣金等，但它们很容易合并。脉冲指令的方向无关紧要，因为做市商应始终采取行动，减少因相关罚款而产生的投资规模。脉冲强度I的集合可能取决于当前库存水平和其他状态变量，因此，在脉冲之后，库存仍然在域内。

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2022-6-23 20:40:21

然而，为了清晰起见，我们不会强调符号中的依赖性。我们假设费用结构没有颠倒【33】。定义2（做市商最优控制问题）。V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）=supu∈UadJ（t，b，q，sb，sa，rb，ra，u）（46）J（t，b，q，sb，sa，rb，ra，u）=EBT+（SbT- η） Q+T- （SaT+η）Q-T- θZTtQtdt-∑τn∈（t，t）cb（rbn-1，rbn，τn，Saτn- Sbτn）+ca（ran-1，ran，τn，Saτn- Sbτn）+ci（ζn6=0）Bt=b，Qt=q，Sbt=sb，Sat=sa，Rbt=rb，Rat=ra（47）Bt=b+Z（t，t）×R+ρvRar-（Sar-+ ε）（N+N）（dr×dv）-Z（t，t）×R+ρvRbr-（丁苯橡胶-- ε）（N+N）（dr×dv）-∑τn∈（t，t）（Saτ-n+η）ζ+n- （Sbτ-n- η)ζ-n（48）Qt=q-Z（t，t）×R+ρvRar-（N+N）（dr×dv）+Z（t，t）×R+ρvRbr-（N+N）（dr×dv）+∑τn∈（t，t]ζn（49）Sbt=sb+Z（t，t）]×Z+ξδ（n- N- N）（dt×dξ）（50）Sat=sa+Z（t，t）×Z+ξδ（N+N- N）（dt×dξ）（51）Rbt=rb[t，τ）（t）+∑n≥1rbn[τn，τn+1）（t）（52）Rat=ra[t，τ）（t）+∑n≥1ran[τn，τn+1）（t）（53）cb（0,1，t，s）=α'qbρ（s/2+ε）minT- t'qb/（λ'v+λ'v），1（54）ca（0,1，t，s）=α'qaρ（s/2+ε）minT- t'qa/（λ'v+λ'v），1（55）cb（1,0，t，s）=ca（1,0，t，s）=0（56）ci=βδρvmax（57），其中x+=（| x |+x）/2，x-= （| x |- x） /2（58）4.4求解最优控制问题Tang和Yong[34]表明，扩散过程的组合最优切换和脉冲控制的值函数是变分不等式系统的唯一粘性。唐和勇的论文中的组合开关和脉冲与我们的略有不同，因为开关和脉冲在其设置的时间内不会发生。另一方面，Biswas等人[35]证明了Levyprocess的最优切换的值函数是非局部变分不等式组的唯一粘性解。通过组合[34，35]中的参数，我们推测值函数V（t，b，q，sb，sa，rb，ra）是以下Hamilton-Jacobi-Bellman拟变分不等式（HJBQVI）的唯一粘性解，它现在是一个积分微分方程。

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2022-6-23 20:40:24

对这一结果的严格证明保留了一篇完整的论文，我们将把它留给对随机控制和粘度解感兴趣的研究人员。

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2022-6-23 20:40:27

在本文中，我们对找到一个数值过程感到满意，该过程可以为我们解决做市问题提供有用的见解。明尼苏达州-电视（o）- L V（o）+θq，V（o）- M V（o）o=0（59）V（T、b、q、sb、sa、rb、ra）=b+（sb- η） q+- （sa+η）q-（60）式中，l V（t，b，q，sb，sa，rb，ra）=+ZR+∞∑ξ =1V（t，b+，q-,sb、sa+、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（v，ξ）dv+ZR+∞∑ξ =1V（t，b-,q+，sb-,sa、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（v，ξ）dv+（（sa-sb）/δ）-1.∑ξ =1V（t、b、q、sb+、sa、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（ξ）+（（sa-sb）/δ）-1.∑ξ =1V（t、b、q、sb、sa-,rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（ξ）+∞∑ξ =1V（t，b，q，sb-,sa、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（ξ）+∞∑ξ =1V（t、b、q、sb、sa+、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（ξ）+ZR+V（t，b+，q-,sb、sa、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（v）dv+ZR+V（t，b-,q+、sb、sa、rb、ra）-V（t、b、q、sb、sa、rb、ra）λf（v）dv（61）b-= b- rb（sb- ε） ρv，b+=b+ra（sa+ε）ρv，q-= q- raρv，q+=q+rbρv（62）sb-= 某人- ξδ，sb+=sb+ξδ，sa-= 南非- ξδ，sa+=sa+ξδ（63），如【36】中所述，由于状态动力学的纯跳跃性质，值函数V相对于时间t可能不可微，因此控制问题可能不存在经典的C解。请注意q+/q-是q的正/负部分，而q+/q-在方程式（62）中定义。M V（t，b，q，sb，sa，rb，ra）=最大值（~rb，~ra，ζ）∈{0,1}×I \\{（ra，rb，0）}nV（t，b- （sa+η）ζ++（sb- η)ζ-,q+ζ、sb、sa、~rb、~ra）- cb（rb，~rb，t，sa- sb）- ca（ra，~ra，t，sa- sb）- ci（ζ6=0）o（64），其中f（v，ξ），f（v，ξ）是积极市场订单量和跳跃分布的联合概率密度函数，f（ξ），。。。，f（ξ）是积极限价订单和取消的跳跃分布的概率质量函数，f（v），f（v）是非积极市场订单数量分布的密度。我们假设Ohmkxk fi（x）dx<∞ i、 L是状态过程的最小生成器。

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