一个新的自筹资金方程的应用

2022-6-23 21:34:54

一种新的自筹资金等式的应用Ren’E CARMONA和KEVIN WEBSTERAbstract。本说明的目的是说明作者最近提出的自我融资条件的影响。我们对金融数学中传统模型中通常考虑的两个具体应用进行了分析。它们包括用限价指令对冲欧洲期权和做市商的最佳行为。MSC 2010:91G99、91G80、91G20 J EL:C61。引言：自筹资金方程在定量金融中，标准自筹资金方程是无摩擦市场理论的一个重要基调。它在许多基本成果中发挥着至关重要的作用。从数学上讲，这是一个简单的方程式，它限制了投资者在某个子空间中生活的财富过程。因此，该子空间被视为可接受投资组合的空间。金融市场数学理论的新手经常抱怨自我融资的状况以及它与现实世界的关系。虽然它可以假设为一个数学定义，但也可以从交易时钟中交易微观结构的准确描述开始的限制程序中推导出来。这种方法是我们战略的核心，要实现它，我们必须克服从离散时间到连续时间的特殊性。“可悲的事实是，连续时间内的自我融资条件比离散时间内的情况要微妙得多。”在宏观层面上讨论市场模型时，我们假设中间价格p和库存L由It^o过程给出：（对于两个具有不特定依赖结构的维纳过程W和W\'，dpt=utdt+σtdWtdLt=btdt+ltdW′t（1.1））。

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2022-6-23 21:34:57

在最简单的情况下，我们还考虑了一个调整后的过程停顿，作为在标度大小的买卖价差度量d的连续时间限制内发生什么的代理。连续时间金融机构的标准自我融资条件可以称为约束条件：dXt=潜在权益的价格p、存货L和代理人的财富Xo之间的Ltdpt（1.2）。在大多数经典金融模型中，默顿的投资组合理论是一个案例日期：2019年5月13日。J、迈克尔·斯蒂尔，《随机微积分和金融应用》，第14.5节“自我融资和自我怀疑”。2 REN’E CARMONA和KEVIN WEBSTERin点，价格p是显式给出的，存货L是代理人的输入，她的财富X显示为等式（1.2）的输出。本文的目的有两个。我们首先以数学的方式将订单正式化，并确定相关的交易成本和交易方程式。第二个目标是将自我融资组合条件（1.2）推广到高频市场的已知特性，包括交易成本、价格影响和价格恢复。除其他外，我们希望这一概括能够量化通过限价指令进行的交易与市场秩序之间的差异。最后，我们想提醒读者，本文中提出的公式只是必要的，量化限价指令的利率、优先级和价格恢复超出了本文的范围。1.1. 订单。我们首先介绍了价格网格上的一对正测量（b，a）的订单。在充分定义中间价格的假设下，引入了订单簿形状函数γ的等效定义。

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2022-6-23 21:35:01

形式上，γ′=a+b，其中γ′是函数γ在Schwartz分布意义下的二阶导数。交易成本由订单书形函数γ的勒让德变换c给出。这导致订单簿上所有机械交易的简化it公式，如瞬时价格影响、交易量等。特别是，与自融资投资组合相关的财富的离散时间方程将显示为：X=Lp±c(五十） +pL（1.3）式中，当使用限价指令进行交易时，±is+，以及- 使用市场订单进行交易时。1.2. 提出了选择融资方程。在连续时间内，相应的自筹方程的形式为：dXt=Ltdpt±ZRc（y）φσt（y）dydt+d[L，p]t（1.4），其中，与之前一样，在使用限制指令s和- 当以市场订单交易时，φσ是均值为0、方差为σ的高斯分布的密度函数。我们在第节中显示？？因此，当在交易时钟中测量时间时，公式（1.4）的离散时间模拟可以严格地从特定的限额订单特征中推导出来。它还与实际财富数据相匹配（见[9]和本文末尾的附录，以获取经验证据）。只要交易是以限价指令完成的，我们也会使用约束D[L，p]<0（1.5）。对这一约束的解释是价格影响。它也在[9]中的高频数据上进行了彻底的测试。另请参见pap er末尾的附录，以获取来自不同交易所的市场数据的证据。现在，我们解释我们的情况（1.4）和不良反应约束（1.5）与文献中最常见的情况的关系。稍后在第节中？？，后者将作为离散自融资方程在不同标度假设下的连续时间限制导出。新的自筹资金方程31.3的应用。

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kedemingshi

2022-6-23 21:35:04

Almgren-Chris模型。阿尔姆格伦和克里斯的开创性工作解决了一个密切相关的问题。这些作者提出了流动性接受者决策后价格影响和财富变化的宏观模型。该模型产生了一个非常易于处理的框架，过去和现在都在许多优化执行研究中使用（例如，参见[2，20]）。该框架可由系统总结：dpt=f（lt）dt+σtdWtdLt=ltdtdXt=Ltdpt- c（lt）dt（1.6），其中f和c是正函数。该模型的主要优点是价格影响以一种可处理的方式出现。事实上，它是通过价格过程的漂移f（lt）来实现的，它在交易量和价格之间建立了正相关关系。然而，它被限制为时间的不同函数，因此，模型参数不能直接校准到市场数据，这使得模型难以进行测试。根据[9]中对纳斯达克数据的实证分析，有大量证据支持不可区分存货（另请参见本文末尾的附录）。此外，某些交易策略，如delta对冲、延迟套利和统计ar比特率，自然会导致在有限的变化范围内建立库存模型。最后，AlmgrenChriss方法不包括限额指令的使用。1.4. 交易成本文献。与本文相关的经典al Mathematic Financialst分支是交易成本下的投资组合选择（[12、19、21]或最近的评论[18]）。这些工作大多是从流动性接受者的财富方程开始的，该方程将经典的自我融资方程推广到交易成本设置。

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2022-6-23 21:35:08

然而，总的来说，这些论文并不强调模型的推导，而是强调对其后果的研究。我们希望通过为自我融资投资组合提供更准确的方程式，同时保持合理的可操作性，从而解决与流动性提供相关的问题，如做市，以此吸引社区的这一部分。此类应用程序的一个有趣的特性是代理不直接控制她的投资组合，这增加了一个额外的建模挑战。对于记录，我们注意到本文献分支中使用的标准方程为：dXt=Ltdpt-st | dL | t（1.7），其中STI为买卖价差，再次假设库存过程有有限的变化，即Rt | dL | s<∞ 对于所有有限公司而言，该模型的优势在于其含蓄性、相对易处理性以及对市场的直接校准。然而，我们看到一个缺点，即过程L只能有有限的变量。此外，模型中没有价格影响、限价订单和其他微观结构因素。应将c s理解为交易成本函数。由于这个原因，通常假设它是凸的。有关这一问题的原因，请参见[9]和附录。4勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特1.5。方法论我们的目标是从更基本的角度推导自我融资方程，而不是直接在连续极限下定义自我融资投资组合。为了获得我们的结果，我们因此提出了以下新策略：（1）确定市场的盘式实时表示，其中所有相关的主要数量（如价格）都是在逐笔交易的基础上确定的。这就是我们所说的“微观”现象。（2）推导或定义衍生数量（例如财富）和交易约束（例如。

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2022-6-23 21:35:11

通过限价指令进行交易）。（3）假设主要感兴趣的数量是来自连续时间扩散过程的样本，其采样频率达到单位。因此，每个微观模型都嵌入到一系列近似连续时间模型的微观模型中。我们称连续时间极限为模型的“宏观”极限。（4）利用适当的极限定理，推导出导出的数量和交易约束的连续时间类比。我们感兴趣的主要数量，即自我融资投资组合的财富，并不需要随机模型，而是需要对限额订单上交易规则的精确描述。这些规则创造了结构关系，我们试图在微观尺度上，将财富作为一个非线性函数，表达在我们的基本量路径上。然后，一个大数函数定律控制了用于推导自我融资投资组合方程连续时间等价物的限制参数。上述四步方法可用于各种金融市场。事实上，应该可以推导出市场微观结构形式的自我融资方程。控制输入变量的连续时间限制可以得到一个易于处理的总结方程。虽然高频市场可以支撑其他市场，但它所采取的特别简单的形式，以及它可以很容易地在经验数据上进行测试，使高频市场成为我们理论的理想测试平台。

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2022-6-23 21:35:14

我们的演讲受到高频市场的影响有三个原因：1）它们是电子市场中最相关的；2）我们可以在经验数据上说明和测试许多特定特征；3）我们认为，我们的价格影响约束是电子市场的一个特别强大的特征。我们的研究通过建模价格影响，为通过限价订单进行交易和通过市场订单进行交易之间的差异提供了新的线索。这可以直接在连续时间限制内完成，或通过与自我融资方程相同的策略完成。在这种情况下，在微观尺度上提出了每笔交易后的价格变动模型，并使用泛函中心极限定理推导了相应的连续时间方程。我们相信我们的建模方法的潜力，并希望通过这种从微观到宏观的方法，将金融市场的其他特质融入到连续时间模型中。采用类似微观方法的著名论文有【7、11、23】和【15、16】。前三个pap研究微观结构以得出最优买卖价差政策。限制订单簿的后两个命题透视模型。最后，[14]推导出其中一个微观订单模型的扩散极限。新的自筹资金方程式51.6的应用。[10]的基本结果。本文的第一部分正式确定了limitorder账簿上的交易，并提供了交易的微观描述。引入了与交易成本的二元关系，并将自我融资条件导出为单个交易的主要会计关系我们从一个极限订单书模型开始，该模型由两个具有非重叠支持的正（有限）度量给出。

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2022-6-23 21:35:17

y代表限额买卖订单的分配由此，我们得出了风险中性流动性决策者的最佳行为：通常他应该按照未来价格的预期值下订单然后，我们认为，在贸易时钟给定的离散时间内，三个基本量的变化应通过基本会计关系联系起来X=Lp+c(-五十） +pL（1.8），我们将其理解为单一贸易自筹方程。这里，p代表报价，通常是平均最低价和最低价的中间价，L是库存（股票数量），K是交易者持有的现金量，X是财富（标记为报价p），由X=pL+K定义。通常我们使用符号交易发生后数量的变化。然后，导出了自融资方程的连续时间版本，作为不同标度制度下离散自融资方程的极限。我们回顾了这些限制程序的各个步骤，并确定其中一个限制模型比文献中当前使用的模型更相关。来回法从一个连续时间模型开始，在该模型中，报价pta和库存lta都是It^o过程。见下文（1.9）。由于现有金融数学文献中没有广泛使用库存过程具有非平凡二次变量分量的假设，[10]在两个附录中提供了基于纳斯达克和TSX高频交易数据分析的经验证据。单笔交易自我融资条件的连续时间版本通过以下方式获得。

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2022-6-23 21:35:20

我们从过滤概率空间开始(Ohm, F、 F，P）支持两个F-Wiener过程W和W′，具有不特定的相关结构，在固定的时间间隔内，例如[0，1]，我们为流动性提供者的价格和库存提供了两个F-adapted过程：（pt=P+Rtuudu+RtσudWuLt=L+Rtbudu+RtludW′u（1.9），其中Pandlare平方可积F-可测随机变量，以及u，σ，波段l是F适应和c\'adl\'ag过程。我们认为，时间上的订单是由凸形函数γt给出的，凸形函数γt是一个连续的F适应过程，满足度γt（0）=0，我们用ctits Lege-ndre变换表示，给出了与订单时间t上的交易相关的交易成本。【10】的主要观点是证明如果在整数N给出的尺度上≥ 1我们假设中间价格根据连续时间pt的圆盘重定时pNn=pn/n=0，1，···，n演变（与库存LNn=Ln/n类似，如果订单boo k的6 REN’E CARMONA和KEVIN WEBSTERshape在标度n下给出：γNn（x）=nγn/n√Nx公司. （1.10）如果单笔交易自我融资条件保持在规模N，则流动性提供者财富X、存货L、价格p和交易成本函数c之间的连续时间关系为：dXt=Ltdpt+Φlt（ct）dt+d[L，p]t（1.11），其中Xt=limN→∞XN公司Nt公司u、 c.p.在此公式中，Φσ是均值为0且方差σ为的高斯分布的累积分布函数。本说明的目的是介绍一些文献中已经吹捧过的应用程序，但这些应用程序在新的自我融资条件下获得了新生。备注1.1。

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2022-6-23 21:35:23

在继续之前，我们注意到，通过选择不同于（1.10）的订单形状函数的不同重新规范化，可以恢复ClassicalMgren-Chris价格影响模型以及标准比例交易成本模型。我们请感兴趣的读者参阅【10】第3节，详细讨论这一重要评论。2、价格影响和模型上述自我融资方程可视为对市场的基本描述。它们提供了会计师对市场的看法。给定交易者的库存和他或她交易的限额订单簿，账户可以很好地跟踪他或她的财富。假设的数量是最少的，以便在给出交易策略后获得完全跟踪财富的结果。然而，上述框架并没有说明哪些交易策略可以导致库存过程满足所推导的自我约束条件。显然，如果任何策略在某种合理的意义上是允许的，那么使用限价指令进行交易总是比使用市场指令进行交易更可取，因为显然更可取的做法是获取交易成本，而不是支付交易成本。但实际上，在使用限额和市场指令之间存在着一种权衡。这种贸易效应被诸如逆向选择、价格影响和市场反应功能等关键词所取代。这三个术语至少在非正式层面上是相关的，并且与不同社区（分别是经济学、数学金融和经济物理学社区）试图模拟下达限额指令的隐性成本的尝试相关。我们在前两节的框架内提出了自己的方法。

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nandehutu2022

2022-6-23 21:35:26

为了明确起见，我们使用价格影响这一术语，与mathematica金融界的其他成员保持一致。我们想强调的是，我们认为定义2.1是本节的主旨，也是我们对价格影响文献的主要贡献。这是由经验事实推动的，很有可能，Lp≥ 使用市场订单进行交易时为0，并且Lp≤ 使用限额订单交易时为0。简单地说，这些不平等表明，价格永远不会立即违背市场秩序。这是一种非常简单但稳健的价格影响模式。定义2.1。设p是一个价格过程，c是一个交易成本过程，L是一个库存过程，完全通过使用限额订单获得。我们说，如果[p，L]的样本路径严格减少A.s，则新的自筹资金方程7triplet（p，c，L）的应用是一致的。。我们经常会说，当交易成本过程c对应于订单簿时，这对（p，L）是一致的，在该订单簿上，限额指令可以从上下文中理解。接下来，我们将在一个引入的特定模型上说明这一定义的重要性，该模型旨在证明[3]和[20]等效应的合理性，以将价格影响建模为两个交易时间之间限制订单簿的平均值逆转。选择这样一个模型进行说明的好处是，我们处理的是财富方程，而不仅仅是不平等，这会导致更强大的结果，尽管假设力度不够。2.1. 更明确、更严格的价格影响模型。本节的目的是表明，具有实际价格恢复的限价订单融资率模型可以导致价格是交易量函数的Tomodel，反之亦然。这为高频市场的供需提供了一个模型，并结束了建模过程中的偏差。

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kedemingshi

2022-6-23 21:35:29

虽然这种结构模式l比我们之前的简化模型更为严格，但我们认为它说明了一些重要的市场特征，并提供了我们从微观到宏观转变的另一个例子。所谓精确价格恢复，我们的意思是，在该模型中，可以计算当限价订单在限价订单簿上完成流动性时发生的精确价格移动，否则，假设价格恢复到之前价格和移动产生的新价格之间的确定值。2.1.1. 微观假设。让(Ohm, F、 P）是概率s速度，P和Lbe是两个离散时间过程，分别代表市场价格和流动性提供者的库存。设γ是一个C-函数值离散时间过程，表示提供者的形状函数和与其相关的交易成本过程。我们的基本假设是p=λc′(-五十）（2.1）或等效L=-γ′(λ-1.p）（2.2）式中λ∈ （0，1）是封装价格恢复的实数。λ越大，价格恢复越小。2.1.2工具。方程（2.1）允许流动性提供者从交易量和订单簿中得出价格，而方程（2.2）从价格和订单簿中得出交易量。在连续极限中，两者导致p、L和γ之间具有相同的一致性关系。我们的分析基于【17】中的一个结果，我们为完整性陈述了该结果。让(Ohm, F、 F，P）是支持一维fviener过程W的过滤概率空间，Y是形式为：Yt=Y+Ztbtdt+ZtσtdWt，t的一维It^o过程∈ [0, 1]. （2.3）假设2。2.（[17]中的（H）+（K）我们假设Bt和σtare进度是可测量的，Bt是局部有界的，σtis c\'adl\'ag。8勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特诺让F：Ohm ×【0，1】×R→ R是一个随机的m，F适应函数，即Cin和Cin（t，y）。

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2022-6-23 21:35:31

我们将把符号缩短为y 7→ 英尺（y）。假设2.3。（[17]中的（7.2.1），（10.3.2），（10.3.3），（10.3.4）和（10.3.7）），我们假设a.s.对于所有t，fti是奇数函数。此外，我们假设存在一个函数g:R→ R最多为多项式增长，且实数β>1/2，因此，对于所有ω∈ Ohm, （t，s）∈ [0，1]和y∈ R我们有：|英尺（y）|≤ g（y）| F′t（y）|≤ g（y）| Ft（y）- Fs（y）|≤ g（y）| t- s |β我们将利用[17]中的以下结果（10.3.2）：定理2.4。在假设2.2和2.3下，原始空间存在一个非常好的过滤延伸，因此我们有以下稳定的收敛定律，如N→ ∞:√NNt公司Xn=1Fn/N√N（Y（N+1）/N- Yn/N）→ 其中，ut=ZtbsΦσs（F′s）ds+ZtpΦσs（（Fs））dW′s（2.4），其中W′是一个d维维纳过程，使得[W′，W]t=ZtΦσsid FksσspΦσs（Fks）dsand id是恒等式函数。2.1.3. 连续时间设置。让(Ohm, F、 F，P）是支持F-Wiener过程W的过滤概率空间。我们将确定价格为p+Ztusds+ZtσsdWs（2.5）的It^o过程，或存货为L+Ztbsds+ZtlsdWs（2.6）。除了其中一个过程外，我们还确定了一个订单书形过程γ=（γt）t≥0并用c=（ct）t表示≥0关联的交易成本流程。假设L（分别为p）满足假设2.2，c′（分别为γ′）满足假设2.3。这些假设基本上表明，随机交易成本函数ct（·）是对称的，在空间上具有两次可微性，在时间上具有很强的光滑性。与之前一样，我们定义了离散化过程LNn=Ln/N（分别为pNn=pn/N）和cNn（·）=Ncn/N√N个·（分别为γNn（·）=NγN/N√N个·).新的自筹资金公式的应用92.1.4。主要结果。主要结果是定理2.4的简单应用。如果我们得到存货L和交易成本c，那么我们得到：推论2.5。

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2022-6-23 21:35:35

原始空间存在一个很好的滤波扩展，因此我们在pN定律中具有稳定的收敛性Nt公司→ ptwithdpt=-λbtΦlt（c′t）dt+λpΦlt（（c′t））dW′t（2.7），其中[W′，W]t=-ZtΦls（id c′s）lspΦls（（c′s））ds。（2.8）尤其是，d[p，L]t=-Φlt（id c′t）dt（2.9）如果我们从价格p和阿诺德书形函数γ开始，就会得到一个完全类似的结果：推论2.6。原始空间存在一个很好的滤波扩张，因此我们在律LN中有稳定的收敛性Nt公司→ LtwithdLt=-utΦσtγ′t（λ-1·)dt+pΦσt（（γ′t）（λ）-1·））dW′t（2.10），其中[p，L]t=-Φσsidγ′t（λ-1·)dt。(2.11)2.2. 特殊情况。虽然非常不现实，但由于其极易处理，fl-at订单簿模型已被反复使用。参见示例【2，20】。对于某些实值自适应过程m=（mt）t，它对应于满足γ′\'t=mt的形状函数≥0仅获取正值。因此，相关成本函数是必要的，这种二次交易成本模式l导致线性价格影响模型：（dpt=-λmtdLtdXt=Ltdpt+- λltmtdt。（2.12）请注意，有效交易成本的符号是- λ. 事实上，在自我融资的情况下，λ=，价格收益和价格影响相互抵消。如果λ>，则由于价格回收率不足，交易的价格影响大于集合价差。此外，由于订单的统一结构和零售价，供应商的库存与价格完全不相关。缺乏价格操纵策略。任何市场微观结构动态模型的一个主要关注点是价格操纵策略的可能存在。这些可以用多种方式定义，Schiedet等人在[3]中对其进行了广泛研究。

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2022-6-23 21:35:39

在当前背景下，我们通过以下方式定义价格操纵：定义2。7（价格操纵）。设c为交易成本函数，λ为价格恢复参数，以及一组在定义2.1意义上一致（相对于c）的过程（p，L）。如果存在A（p，L），我们说这个集合A受到价格操纵∈ A使得L=LandE[X]>E[X]。（2.13）10 REN’E CARMONA和KEVIN WEBSTERIn words，我们想排除往返统计套利，因为流动性提供商不控制传入的市场订单。飞行订单簿的可跟踪性使我们能够排除许多情况下的价格操纵策略。2号提案。考虑一个具有价格恢复参数λ的市场。恒定流量订货簿γ′t≡ 如果λ≥ 1、另一方面，当λ<1时，价格操纵策略确实存在。证据使用（2.12）的两个方程，我们得到：dXt=-λ2mtd（L）t+1- λ2mtltdtso，t=0和t=1之间的积分，如果L=L：X=X+1- λZlsmsds（2.14），很容易得出结论。建议关系的应用取决于库存和价格过程L和p的模型。在后半部分中，当我们提出优化问题时，我们假设库存可以是任何It^o过程。这是一种信仰行为，因为要做到这一点，通常需要良好的执行算法和限制顺序。在任何情况下，为了与上述[10]的结果一致，我们要求这些过程在使用极限指令和d[p，L]t时满足d[p，L]t<0≥ 0表示市场订单。3.1. 期权Hedgi n g。在本节中，我们推导了本地波动模型中欧洲期权的定价PDE，交易成本和价格影响由我们自融资条件下的逆向选择项给出。

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2022-6-23 21:35:42

我们只强调使用市场指令进行交易的顺序，而不是使用有限指令进行交易。这与gammaconstraint下期权对冲的文献直接相关。我们恢复了与[22]和[13]中相同的PDE结构和gammapenalization作为流动性成本的解释，尽管路径不同。这些论文没有强调逆向选择，也没有对Orderbook进行讨论。第一篇论文从gamma惩罚部分微分方程（PDE）开始，而另一篇论文将其作为PDE模型的一个极限。这两篇论文都没有从微观结构模型推导出偏微分方程中的非线性惩罚。他们更关注惩罚条款的含义。除了提出一种基于微观结构的方法来解决这个问题外，我们的解决方案还回答了一个非常务实的问题：一个delta对冲应该使用限额指令还是市场指令？我们认为答案取决于期权的伽马符号。在下文中，我们首先在完全非线性的情况下展示了与[13]和[22]的强平行性。线性case如下所示为一个推论y。显然，它作为Black和Scholes框架的一个易于处理的扩展更具有实际意义。新自筹资金方程式113.1.1的应用。数学设置。让(Ohm, F、 F，P）是一个过滤的概率空间，Wbe是一个生成过滤F的F-布朗运动。我们假设中间价格PTI是外生的，满足随机微分方程（SDE）：dpt=u（pt）dt+σ（pt）dWt，（3.1），其中u和σ是两个全局Lipschitz函数。我们还假设订单形状函数过程γ=（γt）t≥0是连续且随机的，仅通过价格水平p，即γt（α）=γ（pt，α），对于确定性函数（p，α）→ γ（p，α）。

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2022-6-23 21:35:46

我们挑选了一名交易员，并定义了一个投资流程，因为anF将其调整为o流程lt=L+Ztbudu+ZtludWu（3.2），其中（bt）t≥0和（lt）t≥0是F适应的c\'adl\'ag流程。注意，在此公式中，LTI已签名。由于我们将限额或市场指令交易确定为d[p，L]t的符号，因此当我们对限额指令交易建模时，我们将施加约束lt<0，并且lt≥ 使用市场订单进行交易时为0。用c（p，·）表示γ（p，·）的勒让德变换m。我们将使用函数g（p，l）=符号（l）Φl（c（p，·））（3.3）给定一个实数Kre表示交易者的初始现金捐赠，根据我们的自我融资条件，她的财富由：Xt=Lp+K+ZtLudpu+Zt（σ（pu）lu给出- g（pu，lu））du。（3.4）这源自命题？？？中证明的自我融资方程？？。让f∈ Cbe到期的欧洲期权的支付功能。我们制定了如下完美的复制策略。定义3.1。初始现金捐赠和库存过程L=（Lt）t≥据说，0完全复制了到期时的欧洲支付f（pT）T ifXT=f（pT）（3.5），相应的复制价格定义为X=K+pL.3.1.2。结果。定理3.2。让f∈ Cand T>0。假设v∈ C1,3解决PDE：vt（t，p）+gp、 σ（p）vp（t，p）-σ（p）vp（t，p）=0（3.6），终端条件v（t，p）=f（p）。然后Lt=vp（t，pt），K=v（0，p）-vp（0，p）p形成一个完美的复制策略，用于在到期时支付（pT）。此外，复制库存的波动率由t=σ（pt）给出vp（t，pt），（3.7），该选项的复制价格为X=v（0，p）。12勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特鲁夫。选择Lt=vp（t，pt）引线tolt=σ（pt）vp（t，pt）（3.8）和BT=vt型p（t，pt）+u（pt）vp（t，pt）+σ（pt）vp（t，pt）。（3.9）作为v∈ C1,3，因此，选择LTI是一个良好的库存过程。

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2022-6-23 21:35:49

减记财富动态导致：dXt=（σ（pt）lt- g（pt，lt））dt+Ltdpt=-g（pt，σ（pt））vp（t，pt））+σ（pt）vp（t，pt）dt公司+vp（t，pt）dpt=σ（pt）vp（t，pt）+vt（t，pt）dt公司+vp（t，pt）dpt=d（v（t，pt））。由于初始值s相匹配，我们始终得到Xt=v（t，pt）。到此结束。当v对于所有t和p，p（t，p）>0。负伽马选项是vp（t，p）<0表示所有t和p。推论3.3。当仅使用一种类型的指令（如限额或市场指令）时，正伽马期权只能与市场指令对冲（在其支付可以重复的意义上）。负gamma期权只能通过限额指令进行对冲。证据标识符t=σ（pt）vp（t，pt）（3.10）意味着Lt和o选项gamma必须具有相同的符号。备注3.4。我们通过评论一个简单的practicalexample来说明上述结果。如果一个人购买了一个看涨期权并对其进行了delta对冲，那么必须通过动态交易策略创建一个综合的负加马头寸。因为看涨期权的delta随着价格的上涨而增加，交易者必须在价格上涨时卖出，在价格下跌时买入。鉴于限价订单往往在价格上涨时买入，在价格下跌时卖出，因为价格影响，它们用于降低delta对冲的成本是有意义的。备注3.5。上述结果为ELTA对冲负伽马头寸提供了直观的实施策略。通过计算期权的伽玛值，可以计算出如果价格下跌，需要购买多少，如果价格上涨，需要购买多少。通过将限价订单放在队列的最后，如果我们不执行对冲，价格就不可能变动。

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2022-6-23 21:35:52

由于模型只有一个随机冲击源（维纳过程W=（Wt）t≥0），它预计将在完美复制的情况下完成。在实际情况中，市场的不完备性和价格可能向后移动的事实引入了一些对冲风险。然而，与限额指令交易产生的负相关降低了三角洲对冲的成本。新自筹资金方程13的应用在v的二阶导数中，PDE（3.6）是非线性的。然而，当所有订单都可以在交易前的最佳出价或最佳卖价下完成时，PDE（3.6）是线性的，在这种情况下，我们恢复了Black-Scholes型公式。推论3.6。假设所有订单都可以按交易前的最佳出价或最佳要价完成，并用st=s（pt）表示买卖价差。然后定价PDE（3.6）变为vt（t，p）+σ（p）s（p）√2π-σ（p）vp（t，p）=0。（3.11）证明。在买卖价差情况下，c（p，l）=s（p）| l |，因此g（p，l）=s（p）√2πl。特别是，我们恢复了标准的无摩擦局部波动模型whens（p）=√2πσ（p）。这是因为在我们的自我融资条件下，代表交易成本和逆向选择（即价格影响）的术语正好相互抵消，无摩擦的自我融资方程成立。除了计算交易成本和即时逆向选择下的价格和增量对冲比率外，该理论还通过指定何时应使用限额或市场指令对冲期权，提出了执行策略。3.2. 做市商。对于我们的第二个应用程序，我们根据[7]中提出的模型的关键细节调整了我们的框架。其目的是解决代表性做市商控制价差和最大化利润的优化问题。

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2022-6-23 21:35:55

她面临的交易，也是该模型的关键组成部分，如下所示：spread越小，交易的可能性越大，但她对每一笔交易的贡献越小。以类似于[7，23]的方式，我们通过报价价差的递减函数来模拟执行limitorder的可能性。这将首先在微观层面上完成，以便在宏观层面上为我们的库存流程l获得合理的模式l。与[7]的一个关键区别是，我们仍然施加价格影响约束，这进一步降低了做市商的优势，因为他们的选择不利。在这方面，我们的模型更接近于[11]中提出的模型，该模型还提出了一个市场使控制问题受制于逆向选择的问题。为了确保满足价格影响约束，我们在微观层面上使用了Almgren和Chriss模型的修正版本【5】，以将中间价格的变化与流动性提供者总库存的变化联系起来。我们很抱歉nL=-λn+1np（3.12），对于Fn+1可测正随机变量λn+1。这是一种不可预测的线性价格影响形式，即事后价格增量是交易量的线性函数。为了获得[7]的见解，我们对lλn+1进行建模，使E[λn+1 | Fn]=ρn（sn）Fn（sn）和E[λn+1Fn]=（Fn（sn））（3.13），其中sni是做市商选择的价差，ρnand Fn是连续的，正函数，Fn递减，ρn∈ [0 , 1]. 利差中fnisdecreasing的假设是从m[7]继承的，而ρn必须是Smallerthan 1的事实是由于Jensen的凸性不等式。我们假设λn+1独立于REN’E CARMONA和KEVIN WEBSTERofnp在Fn上有条件。

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2022-6-23 21:35:58

计算Lnyiels的可预测二次变化：n-1Xk=1fk（sk）Ekp公司Fk公司, （3.14）Ln和Pn的可预测二次协方差由以下公式得出：-n-1Xk=1ρk（sk）fk（sk）Ekp公司Fk公司. （3.15）这表明在连续介质极限中使用以下模型：（dpt=utdt+σtdWtdLt=-ρt（st）ft（st）utdt+ft（st）σtdW′t（3.16），d[W，W′]t=-某些自适应、连续和正函数ρt（·）和具有ρt的ft（·）的Rtρu（su）du≤ 1和Ft减小。注意，LTC的方程式也可以写成：dLt=-ρt（st）ft（st）dpt+ft（st）q1- ρt（st）σtdW⊥t（3.17），采用维纳过程W⊥t依赖于Wt。从现在起，我们将假设PTI适应Wt评级的过滤基因。应用我们的财富方程，我们得到：XT=LTpT-ZTptdLt公司+√2πZTσtstft（st）dt。（3.18）对于fta和ρt，一个自然的假设是，它们是由波动率重新标度的利差的时间独立函数：ft（s）=f（s/σt）；ρt（st）=ρ（st/σt）（3.19），对于某些C衰减函数f和C函数ρ。此外，如果g（x）=xf（x）是x的递减函数，那么g（x）→ 0澳大利亚证券交易所→ ∞, 对于所有x，f（x）>0≥ 风险中性做市商试图以最佳方式设定利差的问题是最大化：supsEXT。（3.20）这是一个经典的随机控制问题，我们使用Pontryaginmaximum原理来解决。让我们首先定义几个功能。引理3.7。对于所有a>0，定义函数FabyFa:x 7→x个√2πf（x）- aρ（x）f（x）（3.21），则函数m（a）=maxx∈[0,∞)Fa（x）（3.22）在a中定义良好、连续且呈下降趋势。此外，存在可测量的选择M（a）∈ argmaxx∈[0,∞)Fa（x）（3.23），我们得到m（a）>0。一个新的自筹资金方程15的应用证明。

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2022-6-23 21:36:01

Fir st，请注意，对于所有a>0，Fa（0）=-aρ（0）f（0）≤ 0，Fa（a+1）≥ f（a+1）>0下一步，如果g在间隔[x]上减小，∞), 然后我们可以将函数β（a）定义为g-1.o f（a+1）如果f（a+1）在g[x]中，∞), 以及其他方面。β（a）连续且满足f（a+1）≥ g（x）表示所有x∈ （β（a），∞).这证明了fa的最大值在紧致区间[a+1，β（a）]上。M的连续性由Berge的极大值定理所证明。它是由Fa的定义递减的。可测量的选择结果遵循[4]中的定理m 18.19。3.8的提案。控制问题的任何解的形式为σt=m（αt）（3.24），其中αt=E[pT- pt | Ft]utσt+Ztσt，（3.25）Zt是pTProof鞅表示的波动率。我们应用随机Pontryagin极大值原理的必要部分。广义哈密顿量等于：Ht（s，L，Y，Z，Z⊥) = -ρ（s/σt）f（s/σt）[（Yt- pt）ut+σtZ]+σt√2πsf（s/σt）+σtf（s/σt）p1- ρ（s/σt）Z⊥a djo int方程通过yt=E[pT | Ft]（3.26）来求解，这尤其意味着Z⊥t=0。zt可以通过Wt生成的布朗滤波上的鞅表示定理来计算。因此，最大化的哈密顿量变成σtFαtsσt（3.27）和前一引理。除了最优控制之外，人们可能会对做市商预期收益的σ和αtof的依赖性以及其库存的波动性感兴趣。请注意，库存的低波动性意味着做市商基本上已经退出市场。推论3.9。做市商的预期收益率“ZTM（αt）σtdt#（3.28），其中α由（3.25）给出，函数M由（3.22）定义。她的库存波动率为σtf（M（αt））（3.29）证明。可通过沿最佳路径积分哈密顿量来计算预期收益率。其余部分遵循之前的命题。

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2022-6-23 21:36:04

16 Rene CARMONA和KEVIN WEBSTERRecall认为M是一个递减函数。货币政策的结果是，做市商的预期收益是α的递减函数，而αt固定时，则是波动率的递增函数。如果一个搜索可执行公式，则需要解决两个iss ue。首先，必须给出一个可计算鞅表示Termzt的Pt的明确模型。其次，我们必须提出一个函数g，对于该函数，F c的最大参数m可以很容易地描述为αt的函数。我们在一些特定情况下对其进行了讨论。3.2.1. 鞅情形。注意，当假定PTI为鞅时，后一个问题很容易解决。事实上，如果我们将dpt=σtdWt（3.30）用于自适应、连续和正过程σt，那么αt=1，我们将简化havest=m（1）σt（3.31），从而避免了显式函数ρ和f的需要。这一结果为[24]中的经验主张提供了理论基础，即利差是波动率的线性函数。将该最优价差重新纳入目标函数，做市商的预期利润和损失（损益）由：M（1）E“ZTσtdt#.（3.32）给出，因为做市商的库存动态为：dLt=-ρt（st）ft（st）dpt+ft（st）q1- ρt（st）σtdW⊥t、（3.33）我们得出结论，inve-ntory也是一个鞅。在期权定价方面，-ρt（st）ft（st）是做市商的伽马敞口：它衡量价格变化引起的库存变化。这是负面的。然而，预期收益和损失表现出积极的织女星效应，因为它是波动性的一个增加函数。3.2.2. 明确案例。可以显式计算αtca的其他情况有：oBlack-Scholes模型dpt=uptdt+σptdWt（3.34），在这种情况下，我们得到：E【pT | Ft】=pteu（T-t）；Zt=σpteu（T-t），（3.35），因此αt=μσeu（T-t）- 1.+ eu（T-t）。

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2022-6-23 21:36:07

（3.36）o均值回复（Ornstein-Uhlenbeck）价格过程的情况dpt=ρ（p- pt）dt+σdWt（3.37），在这种情况下：E[pt | Ft]=p+E-ρ（T-t）（pt- p）；Zt=σe-ρ（T-t），（3.38），因此αt=-ρσ（pt- p）e-ρ（T-t）- 1.+ e-ρ（T-t）。（3.39）新的自筹资金方程17的应用与鞅情形不同，在不指定ρ和f的函数形式的情况下，很难获得任何易于处理的公式。在ρ（x）=1/（1+x）和f（x）=1/（1+x）的情况下，最佳利差为σt√1+3αt（3.40）注意，m是αt的递增函数。为了与鞅情形进行比较，当eαt=1时，我们因此想要比较αtto 1的比率，以便研究模型假设对做市商利润和投资波动性的影响对于Black-Scholes模型，当u>0时，α大于1。对于u<0，则存在一个临界值，取决于T和σ，该比值为其所示在Ornstein-Uhlenbeck过程中，α小于1 f（pt- p） <∑ρ（3.41）即，如果当前价格ptisn与长期平均p相差不大。根据直觉，做市商在“动量”Black-Scholes模型中引用了更大的利差，预计了ss利润，并且与鞅情况相比，在“动量”Black-Scholes模型中捕获的交易量更少。这是因为价差是αt的递增函数，预期收益是α的递减函数，做市商存货的波动性是sprea d的递减函数，因此是αt的递减函数。在均值回复市场中，除非价格明显偏离其由不平等性（3.41）衡量的长期趋势，否则做市商报价的spread较小，与其他两种市场模式相比，预计会有更多的利润，并获得更多的销量。参考文献【1】Y.Ait Sahalia和J.Jacod。高频金融计量经济学。普林斯顿大学出版社，2014年。[2] A.Alfonsi、A.Fruth和A.Schied。

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2022-6-23 21:36:10

具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。《定量金融》，10（2）：143–157，2010年。[3] A.阿方西、A.希德和A.斯林科。订单弹性、价格操纵和积极的投资组合问题。《暹罗金融数学杂志》，3（1）：511-5332012【4】C.A liprantis和K.Border。有限维分析。Springer，2006年。[5] R.Almgren和N.Chris。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3（2）：5–392000年。[6] T.An\'e和H.Geman。订单流量、交易时钟和资产回报的正常性。《金融杂志》，55（5）：2259-22842000。[7] M.Avellanda和S.Stoikov。Limit订单中的高频交易。QuantitativeFinance，8（3）：217–2242007年。[8] J。Bouchaud、Y.Gefen、M.Potters和M.Wyart。金融市场的波动和反应：“随机”价格变化的微妙性质。定量金融，4（2）：176–1902004。[9] R.Carmona和K.Webster。高频市场中的交易摩擦。普林斯顿大学技术代表，2014年。arxiv，http://arxiv.org/abs/1709.02015[10] R.Carmona和K.Webster。限价订单市场中的自筹资金方程。《金融与随机》，2019年（即将出版）。arxiv，http://arxiv.org/abs/??????[11] A.Cartea和S.Jaimungal。风险指标和高频交易策略的微调。《数学金融》，25（3）：576-6112015。[12] T.Chellathurai和T.Draviam。具有非线性交易成本的动态投资组合选择。皇家学会会刊A：数学、物理和工程科学，461（2062）：3183-32122005。[13] U.Cetin、H.Mete Soner和N.Touzi。流动性成本下小投资者的期权对冲。《金融随机学》，14（3）：317-3412010.18勒内·卡莫纳和凯文·韦伯斯特【14】R.康特和A.德拉拉德。液体市场中的订单簿动力学：极限定理和扩散近似。

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