，ε（k）T+1）；5计算并报告^∑（ω）：^∑（ω）：=k^ε（y）λ（z），（1）kkε（z）k^ε（y）λ（z），（1）（λ∧（z），（1））>（ε（w））>k^ε（z）k^ε（y）λ（z），（1）（λ∧（z），>（ε（w））>k^ε（z）kk^ε（w）ε（z），（1）kk^z）k3.4推论定理2不能立即用于推论，因为我们不知道ξbias的分布，也没有ρag的估计量。避免这个问题的一个标准理论工具是假设TT=o（1）。在这种情况下，偏差由方差决定，在某些假设下，可以估计方差，从而得出渐近有效的推断。然而，这种“欠平滑”技术对实证研究几乎没有指导意义。实际上，我们建议设置T~ T、 估计方差，并使用以ω为条件的normalapproximation进行推断。方差可以通过多种方式计算，算法2提供了一种特殊的实现。它使用估计矩阵^∧（z）作为输入，尤其是它的T×T子矩阵^∧（z），（1），它描述了(（z） T，（z） T+1）。设^∑（ω）为所得方差矩阵。我们建议用户在H：τ=τ：（^δ）下使用以下近似进行推理- τ^π) ≈ N0, (1, -τ)^Σ(ω)(1, -τ)>. （3.29）实际上，这意味着τ在α级被以下决策规则拒绝：{τ被拒绝}=^δ - τ^π≥q（1，-τ)^Σ(ω)(1, -τ） >z1-α/2, （3.30）其中zα是标准正态分布的α-分位数。可通过收集所有未被拒绝的τ值来构建置信集。这种“Anderson-Rubin”型结构对小型第一阶段系数很有效（最近的一项调查见Andrews et al.（2019））。在我们的背景下，使用（3.30）进行推断是很自然的，事实上，Borusyak和Hull（2020）建议对具有外源冲击的一般类别因果问题采用类似的程序，尽管不是渐进的（另请参见其中的参考文献）。

定理1可以用来证明，只要ρag=o，这种推断对于任意权重|ω都是有效的√T. 如果研究人员使用ω和定理2代替一般权重，则这一要求降低到较弱的条件ρag=o（1）。实际上，这意味着，如果Ht和Zt之间的相关性很小，那么利用我们的权重，基于（3.30）的推断是准确的。条件ρag=o（1）很强，因为它排除了总冲击之间存在强（但不完全）相关性的实际相关情况。如果T~ t在这种情况下，OREM 2没有任何帮助。为了处理这种情况，我们附加了一个假设，即他们的异向性错误（w） 它，（y） 它很小。类似的假设已在非线性测量误差文献中广泛使用（例如，Chesher（1991）；Evdokimov和Zelenev（2016），另见Schennach（2016））。令人惊讶的是，这样的条件是有用的，因为在OREM 2中，横截面噪声的误差主要由总变化决定。然而，当（w） 它，（y） 它很小，我们可以构造更好的权重ωi。我们的下一个定理在低噪声条件下提供了形式保证（一般版本见定理SB.2，B.3）：定理3。（推论）假设定理2的条件成立；此外，假设某些常数cl、cρl、cint满足以下限制条件∈ （0，1）作为n，T，Tapproachin单位：max{σy，σw}=o（1），TT=cint+o（1），min{l（y）（ω），l（w）（ω）}>cl>0，|ρl（ω）|<cρl<1。（3.31）设计1设计2设计3设计4尺寸0.015 0.004 0.045 0.081表2：对于第2.3节所述的模拟设计，使用标称尺寸为0.05的（3.30）计算H的拒收率：τ=1.43。

结果基于2000次模拟。那么以下情况成立：^δ(ω) -τηπ^π(ω) -ηπ=s1级- ρT∑（ω）（ξz+op（1））（3.32），其中ξzi与定理1中的相同，并在分布上收敛于标准二维正态随机向量。此外，假设^∧（z）是使用估计量^ρ=ρ+op（1）构造的。则（3.30）中所述的试验是一致的。该结果为定理2提供了一种替代方法，并在未观测到的冲击之间的相关性很强的情况下，验证了基于（3.30）的传统推断。这是有代价的：我们需要相信，特质冲击的方差很小。回想一下，变量（w） 它，（y） 它代表着测量误差，因此小方差机制可以解释为结果测量良好。如果单位层面的结果本身是聚合的（例如，单个层面数据的平均值），那么这种假设是自然的。我们认为，在这种情况下，定理3可能是实用的。我们还利用第2.3节的模拟研究了测试（3.30）的性质。结果总结在表2中，并显示了第2.3节中描述的四种不同设计的拒收率。我们看到，虽然基于（^δ，^π）的测试并不完美，但其大小失真相对较小。在上一次设计中，我们的估计器的合理性能可能归因于这样一个事实，即在这种情况下，特殊噪声的方差比固定效应的大小小得多。4讨论4.1应用中的构造暴露Dioften不是一个观察到的单位固定特征，而是一个构建为近似πi的数据相关量。对于每个单位，我们可以通过使用第一部分数据（t∈ [1，T]：Wit=αi+η>iψT+πiZt+εit。

（4.1）让^πibe作为该回归中的OLS估计量。研究人员经常使用Di=^πitogether和第2.1节中描述的常规TSLS权重。例如，Nakamura和Steinsson（2014）正是这样做的，尽管他们使用所有时期的数据估算了^πi。在Nunn和Qian（2014）中，作者使用了类似的算法，但不是运行回归（4.1），而是计算第一个周期的平均值。在假设3.3和3.4^πih下，表示如下：^πi=πi+^ηH | Zθ（w）i+ui，（4.2），其中ui是平均零误差（与i相关）。这立即显示了使用Di=^πitogether和常规权重的潜在问题。如果存在未观察到的总冲击，且具有异质性暴露，则^πII通常与之相关。同时，使用^πitogether和我们的权重ω是完全自然的，因为它们基本上是平衡θ（w）的。对于这种情况，我们没有提供正式的结果，但我们在第2.3节所述的模拟中遵循了这种策略，并且表现良好。在应用中，研究人员可以超越（4.1）并使用更复杂的程序。例如，在Du Flo和Pande（2007）中，作者预测了可用的单元特征集，并认为由此产生的Diare与随机分配的一样好。这种方法的有效性取决于Xi的性质。在Guren等人（2020b）中，作者提出了在第3节所述局部平衡模型的背景下构建权重的替代程序。特别是，他们建议通过嗅觉{（αi，πi）}ni=1的固定效应（使用（3.8）中的符号）来估计面板回归：Wit=αi+ut+γYit- πiWt- γπiYt+（w） 它（4.3）和使用^πito构造仪器^πiWt。在其他假设下，πi转化为（3.10）中定义的πias。

作者强调，为了产生有效的估计量，πiwts应与结果方程中未观测项θ（y）iwth不相关。这在我们的设置中并不成立，因为Ht和Wt通过构造进行关联，θ（y）iis允许与πi进行关联。将此过程与算法1相结合很有希望，并将其形式化分析留给未来的研究。4.2暴露的时间异质性假设3.1中描述的因果模型的限制之一是ZtandHta均以时间不变的方式影响结果。从形式上来说，这意味着πi和θ（w）i，θ（y）i在t上没有变化。第3节的统计分析以一种重要的方式依赖于这一假设，它保证了如果我们使用第一部分数据找到消除θ（w）i，θ（y）i的权重，这些权重对第二部分数据“起作用”。因此，它不能被完全限制，但可以放松。为了理解为什么这是可能的，请考虑时间不变曝光的推广：πit=πi+γ（π）iφ（π）t，θ（w）it=θ（w）i+γ（w）iφ（w）t，θ（y）it=θ（y）i+γ（w）iφ（w）t。（4.4）可以将此设置转换为假设3.1中描述的设置，但代价是增加了Ht的维数。虽然我们的形式化结果是针对一维Ht推导的，但如果维数适中，它们可以适用于多维情况。我们预计，只要φ（k）t不集中于特定的周期（例如，数据的第二部分），定理2,3的结论就成立。4.3可以扩展先验知识算法1，以适应研究人员在给定应用程序中可能拥有的其他知识。可以通过向优化问题引入额外的约束来实现。自然约束可以用协变量来定义。

例如，如果我们相信θ（w）iorθ（y）i与观察到的特征Xi相关，那么我们可以合并以下约束：nnXi=1wiXi=0。（4.5）根据应用情况，研究人员可能希望通过对所有单位i施加以下约束来控制ωib的符号：ωi（Di- D）≥ 0（4.6）这类似于合成控制算法中使用的标准非负性约束。在附录D中，我们讨论了该约束如何帮助具有异质性治疗效果的应用。更一般地，任何有关权重复杂性和结构的先验信息都可以纳入我们的算法中。只要产生的问题是凸的，就可以有效地解决，从而提供替代的单位权重。引入限制可能带来不同的好处，一般来说，估计员的行为取决于限制的性质。影响的关键部分是不可观测的数量n和允许的周期。在定理2中，我们需要n~ T、 这在应用中可能要求很高。如果附加的信息约束成立，则TCA可能会小得多。这种性质的精确结果可以使用Hirshberg（2021）介绍的一般界限得出。4.4转换份额设计在本节中，我们讨论我们的模型与转换份额或“Bartik”工具文献中的模型之间的关系（Adao等人，2019年；Borusyak等人，2018年；Goldsmith Pinkhamet等人，2020年）。我们首先考虑扩展原始框架。假设不是单一的总体冲击，而是其中的S。在典型应用中，这些将对应于行业层面的冲击。潜在结果现在由以下方程式确定：Yit=α（y）it+τWit+Xs∈Sθ（y）itsHts，Wit=α（w）it+Xs∈SπitsγitsZts+Xs∈Sθ（w）itsHts，（4.7），其中S是一个通用行业，我们观察到{γits}i，t，S，{Wit，Yit}it，{Zts}t，S，和piγits=1。

很明显，我们的模型是| S |=1的特例。转移份额文献中考虑的模型是（4.7）的特例，T=1，以及两个附加假设：（a）对于每个s，{Hts}s∈Sis与{Zts}不相关∈S、 和（b）E[Zts]=u，Ztsare与S不相关。现在，通过利用行业变量实现识别（见Borusyak et al.，2018）。在应用中，T通常不等于1，通常会考虑不同的模型。与此同时，身份识别论证并没有利用时间维度，而是侧重于不同行业的差异。我们可以立即看到，这两个模型在形式上和概念上都是非嵌套的：我们关注的是这个案例，有一个单一的总体冲击，其动机是发展和宏观经济学中的应用。在这些应用中，观察到的和未观察到的总冲击之间的相关性是作出因果索赔必须处理的关键问题。另一方面，移位共享文献侧重于内生性的主要来源是α（y）It和α（w）It之间的横截面相关性的情况，这通常是由于同时性问题（例如，当Yitis工资和Witis是劳动力供应时）引起的。我们认为，类型（4.7）的模型可能很有前景，因为它们允许两个识别参数的组合：一个基于随时间的变化，另一个基于s的变化。在应用中，s和T都可以是适度的（特别是，如果我们希望冲击在s上独立），因此使用这两个变化源是很自然的。此外，使用时间序列维度，可以估计zs与这种情况下的适应性之间的相关性。5结论总体冲击为单位水平的结果提供了外部变化的自然来源。

因此，他们经常被用来评估地方一级的政策。我们认为这个练习有两个概念性步骤：将单位级数据聚合成时间序列和分析聚合数据。我们提出了一种新的构建单位权重的算法，然后使用该算法生成聚合结果。在一个丰富的统计模型中，我们证明了我们的权重近似消除了潜在的未观察到的总体冲击，从而得到了一致的渐近正态估计量。聚合后，我们建议研究人员使用OLS回归来估计第一阶段和减少的形式系数。重要的是，这些回归应该包括其他变量，这些变量可以捕捉总体工具的潜在趋势。我们在数据驱动的仿真中展示了所得估计器的性能，证明了其在各种实际相关情况下优于传统TSLS估计器。我们还提供了使用基于设计的技术进行有效推理的条件。在我们的分析中，我们从问题的几个基本方面进行了抽象。我们的模型是静态的，不允许来自策略变量过去值的动态反馈。如果我们对能够产生长期效果的治疗感兴趣（例如，发展中国家的援助政策），这可能是营养不良。我们还对潜在结果（假设3.1）施加线性，在政策变量取极值（例如降雨量）的情况下，可能会受到限制。最后，我们忽略了任何衡量问题，并说结果和政策变量都是直接观察到的。我们相信这些限制可以在我们的框架内解决，并将这些发展留给未来的研究。参考文献Alberto Abadie和Javier Gardeazabal。冲突的经济成本：巴斯克国家的案例研究。

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我们还将每个矩阵∧（k），（j）分为两部分：∧（k），（j）和∧（k），（j），因此∧（k），（j）ν（k）=∧（k），（j）ν（k），（0）+∧（k），（j）ν（k），（1）。定义以下投影矩阵：∏（k）f=I- ψ（k）（（ψ（k））>ψ（k））-1（ψ（k））>π（0）r=I- （z） ，（0）(（z） ，（0））>（z） ，（0））-1(（z） ，（0））>π（0）=∏（0）f∏（0）r∏α=In-对于k，nn（1n）>（1.1）∈ {0，1}确定回归和相关系数：η（k）H | Z：=ρagtrace∧（h），（k）>∏（k）f∧（z），（k）k∏（k）f∧（z），（k）kHSρ（k）H | z=ρagtrace∧（h），（k）>∏（k）f∧（z），（k）k∏（k）f∧（z），（k）kHSk∏（k）f∧（h），（k）kHS（1.2）定义了以下对称矩阵，该矩阵随后对偏差分析起着关键作用：Γ：=^σWL（w），（0）π（0）f（L（w），（0））>+^Y∧L（Y），（0）π（0）f（∧L（Y），（0））>+（1-（ρ（0）H | Z）k∧（H），（0）kHS^σW（θ（W））（θ（W））>+（1-（ρ（0）H | Z）k∧（H），（0）kHS^σY（￠θ（Y））（￠θ（Y））>。（1.3）定义- D∈ Rn使（D- D） i=Di-nPni=1，类似定义π- π. 对于ζ>0，定义A-1测量Dian和πi之间相关性的以下数量：s（ζ）：=（D）- D） >ζIn+T∏αΓ∏α-1(π -π） （D）- D） >ζIn+T∏αΓ∏α-1（D- D）（1.4）最后，对于任意权重▄ω，定义以下对象：β（y）（▄ω）：=nnXi=1（β（y）i+τβ（w）i）▄ωi，β（w）（▄ω）：=nnXi=1β（w）i▄ωi，θ（y）（▄）：=nnXi=1（θ（y）i+τθ（w）i）▄ωi，θ（w）（▄ω）：=nnXi=1β（w）i▄ωi，π（w）（￠ω）：=nnXi=1π（w）i￠ωi，L（y）t（￠ω）：=nnXi=1（L（y）it+τL（w）it）￠ωi，L（w）t（￠ω）：=nnXi=1L（w）it￠ωi，（w） t（￠ω）：=nnXi=1（w） 它是ωi，（y） t（￠ω）：=nnXi=1(（y） it+τ（w） it）ωi.（1.5）A-2A。2假设消耗A.1。（普适常数）对于某些固定普适常数cp、cag、ch | z、cσ、cτ，所有n、T、tf都满足以下限制：dim{ψT}<cp，|ρag |<cag<1，maxk∈{0,1}n |η（k）H | Z | o<ch | Z，max{σw，σy}<cσ，|τ|<cτ。（1.6）假设A.2。

（时间冲击的对齐和大小）随着T、Tgo到单位，k满足以下限制∈ {0，1}：maxj∈{z，h}k∧（j），（k）kopk∧（j），（k）kHS≤警察√Tk，k（λ（h），（k））>λ（z），（k）kopk（λ（h），（k））>λ（z），（k）kHS=o（1），k∧（z），（k）kop~ k∧（h），（k）kop，k∧（z），（k）kHS~ k∧（h），（k）kHS（1.7）对于一般矩阵a QuantityKakhsKakop概括了秩的概念，因此该假设的第一部分表示，在投影后，大多数冲击不会与少量方向对齐。第二部分简单地说（h） 以及（z） 没有太大差别。假设A.3。（后处理趋势的行为）作为Tgo，存在序列测定→ ∞ 使以下限制保持不变：supx6=0，x>n=0，α，βkx公司αL（w），（1）+βИL（y），（1）>∏（1）f∧（z），（1）k∞kx公司αL（w），（1）+βИL（y），（1）>∏（1）f∧（z），（1）k≤sT（1.8）该假设要求L（w），（1）和L（y），（1）中的确定性趋势随时间“均匀分布”，即使在投影和与∧（z），（1）积分后也是如此。对于有界确定性趋势和由平稳过程生成的∧（z），（1），我们预计St的行为如下√T、 假设A.4。（可预测部分的大小）为T，Tgo，以确定假设A.3中的以下条件：k（λ（z），（1））-1（λ（z），（1））ν（z），（0）k=op（sT）。（1.9）该假设限制了（z） （1）使用过去可以预测。在平稳自回归模型中，我们有k（λ（z），（1））-1（λ（z），（1））ν（z），（0）k=Op（1），因此，对于任何发散序列，假设是满足的。如果（z） 进行随机游走，然后k（λ（z），（1））-1（λ（z），（1））ν（z），（0）k~√T、 因为St不能大于√T、 在这种情况下，假设A.4不适用于我们主要感兴趣的制度（T~ T） 。A-3假设A.5。（方差的顺序）以下为n，t对于普适恒量cvara和确定性κ的一致性：maxσY，σW≤ κ（1+op（1）），κmin{σY，σW}≤ cvar（1+op（1））。（1.10）假设A.6。

（Di的质量和尺寸）Let（D-D） i：=Di-nPni=1并假设以下情况成立：kD- 丹麦~√n（1.11）对于某些普适常数cs>0，以下情况成立：infκζ>max{σw，√σy+τσw+2τρidσyσw}| s（ζ）|>cs（1.12）A-4A。3技术引理A.1。设∏是p维子空间或rta上的正交投影，并考虑一个T×n矩阵，使得kakopkakhs=o√p. 那么以下公式成立：k（IT- ∏）AkHSkAkHS=1+o（1）（1.13）证明。结果如下所示：k（IT- ∏AkHSkAkHS- 1.≤k∏AkHSkAkHS≤k∏kHSkAkopkAkHS=√p×o√p= o（1）（1.14）引理A.2。假设假设假设3.4、A.1、A.2成立，则当T、Tgoes到in-finity fork时，以下为真∈ {0，1}：k∏（k）f（z） ，（k）kk∧（z），（k）kHS=1+op（1）(（h） ，（k））>π（k）f（z） ，（k）k∏（k）f（z） ，（k）k=η（k）H | z+Opk（λ（h），（k））>λ（z），（k）kHSk∧（z），（k）kHS,信息技术-k（z） ，（0）k（z） ，（0）(（z） ，（0））>∏（0）f（h） ，（0）k∧（h），（0）kHS=1-ρagtrace∧（z），（0）（∧（h），（0））>k∧（z），（0）kHSk∧（h），（0）kHS+op（1）（1.15）证明。我们证明了k=1的前两个主张，k=0的结果以完全相同的方式遵循。Vershynin（2018）中的定理6.3.2暗示了以下内容：k∏（1）f（z） ，（1）k- k∏（1）f∧（z），（1）kHS= Op公司k∏（1）f∧（z），（1）kop（1.16）与假设A.1、A.2和引理A.1一起，意味着第一个权利要求。我们还有以下分解：(（h） ，（1））>π（1）f（z） ，（1）=ρag（λ（h），（1）ν（z））>π（1）f∧（z），（1）ν（z）+q1-ρag（λ（h），（1）ν（h））>π（1）f∧（z），（1）ν（z）（1.17）将Hanson-Wright不等式应用于第一部分，Vershynin（2018）的引理6.2.3，假设A.1，假设A.2和引理A.1，我们得到以下结果：(（h） ，（1））>π（1）f（z） ，（1）- ηH | Zk∏（1）f∧（z），（1）kHS= Op公司k（λ（z），（1））>λ（h），（1）kHS（1.18）证明第二项权利要求。

第三个以同样的方式出现。A-5B一般结果B。1定理1的一般版本本小节中的结果适用于取决于样本第一部分的一般权重￠ω。B、 1.1估计量的扩展我们分别关注第一阶段和简化形式系数。我们从第一阶段的分解开始：^π=n|ω>W（1）∏（1）fZ（1）（Z（1））>π（1）fZ（1）=n|ω>π+偏压（W）+时间噪声（W）+交叉噪声（W）偏压（W）：=n|ω>θ（W）（H（1））>π（1）fZ（1）（Z（1）时间噪声（W）：=n|ω>L（W），（1）∏（1）时间噪声（W）fZ（1）（Z（1））>π（1）fZ（1）交叉噪声（W）：=n|ω>E（W），（1） π（1）fZ（1）（Z（1））>π（1）fZ（1）（2.1）类似的分解适用于简化形式：^δ=n￠ω>Y（1）∏（1）fZ（1）（Z（1））>π（1））=τn￠ω>π+偏差（Y）+时间噪声（Y）+交叉噪声（Y）：=n￠ω>（￠θ（Y））（H（1））>π（1）fZ（1））>π（1 fZ（1）时间噪声（Y）：=n￠ω>~L（Y），（1）π（1）fZ（1）（Z（1））>π（1）fZ（1）交叉噪声（Y）：=n￠ω>~E（Y），（1）π（1）fZ（1）（Z（1））>π（1）fZ（1）（2.2）B.1.2误差分析B.1。假设假设假设3.3、3.4、A.1、A.2成立，则以下为真：交叉噪声（y）交叉噪声（w）=kωknk∧（z），（1）kHS（ξcr+op（1））（2.3），其中ξcr~ N（0，∑）。证据首先，我们以￠ω，Z为条件，并利用特质误差随时间和ofB-6独立的事实（z） ，则，（h） 具有正态分布。然后我们用引理A.2从k∏（1）f出发（z） ，（1）kto k∧（z），（1）khsat（1+op（1））因子的费用。定义以下对象：ρ（|ω）：=|ω>L（y），（1）π（1）f∧（z），（1）ω>L（w，（1）π（1）f∧（z），（1）>k|||¤ω>|¤L（y），（1）k∏（1）f∧（z），（1）kk|ω>L（w），（1）k∏（1）f∧（z），（1）k，∑ag（|ω）：=k▄ω>▄L（y），（1）π（1）f∧（z），（1）knk∧（z），（1）kHSk▄ω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）knk∧（z），（1）kHSp1级-ρ(~ω) ρ(~ω)0 1（2.4）引理B.2。假设假设假设3.3、3.4、A.1、A.2、A.3、A.4成立，则我们有以下情况：时间噪声（y）时间噪声（w）= ∑ag（|ω）（ξz，T+op（1））（2.5），其中E[ξz，T]=0，V[ξz，T]=I，ξz，与ξcr无关。随着ξz的增加，T在分布上收敛于N（0，I）。证据

为了证明这一点，我们首先将（z） ，（1）分为两部分：可预测自（z） ，（0）和不可预测的。通过假设3.4，我们得到不可预测部分等于∧（z），（1）ν（z），（1），可预测部分等于u1 | 0：=∧（z），（1）ν（z），（0）。不可预测部分提供了陈述中描述的结果（使用引理A.2）分布。渐近正态性来自假设A.3和多元Lindeberg的CLT。为了完成屋顶，我们必须证明u1 | 0的偏差较小。它来自假设A.3、A.4所遵循的不等式链：|Иω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）ν（z），（0）| k∧ω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）k=|∧ω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1））-1∧（z），（1）ν（z），（0）| k￠ω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）k≤k|ω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）k∞k（λ（z），（1））-1∧（z），（1）ν（z），（0）kk￠ω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）k≤k（λ（z），（1））-1∧（z），（1）ν（z）ksT=op（1）。（2.6）同样适用于▄L（y），（1）而不是L（w），（1）结束证明。推论B.1。假设假设假设3.3、3.4、A.1、A.2成立，则以下为真：偏差（y）偏差（w）=n▄ω>▄θ（y）n▄ω>θ（w）ηH | Z+Opk（λ（h），（1））>λ（z），（1）kHSk∧（z），（1）kHS（2.7）证明。结果是引理a.2和偏差定义的直接结果。下一个定理来自上面的引理。B-7定理B.1。假设假设3.3、3.4、A.1、A.2、A.3、A.4保持不变。那么以下是正确的：^δ -τnω>π^π-nΩ>π=n▄ω>▄θ（y）n▄ω>θ（w）ηH | Z+Opk（λ（h），（1））>λ（z），（1）kHSk∧（z），（1）kHS+∑ag（|ω）（ξz，T+op（1））+k|ωknk∧（z），（1）kHS（ξcr+op（1））（2.8）B-8B。2定理2的一般版本我们之前的分析表明，任意加权估计量的偏差的关键组成部分取决于权重与θ（w）和θ（y）的协方差。在本节中，我们使用Hirshberg（2021）的结果来限制这种协方差。

在本节中，ω指第2.2节中描述的重量。B、 2.1随机预言权重集Ecs[·]是关于噪声E（w），E（y）的期望值，条件是ν（z），（0），ν（h），（0）。我们定义了随机预言权重ω？作为以下问题的解决方案：ω？=arg min{w}（ζTnkwk+Ecsknw>Y（0）π（0）k^σY+Ecsknw>w（0）π（0）k^σw）根据：nnXi=1wiDi=1，nnXi=1wi=0，（2.9）定义r？：=ω - ω?– 经验权重与oracle权重的偏差。定义以下参数：△σy：=σy+τσw+2τρidσyσw，△ζ：=κζ+κσy（T- p- 1） T^σY+κσw（T- p- 1） T^σW，（2.10）和以下对称矩阵：^Γ：=^σWL（W），（0）π（0）（L（W），（0））>+^σYL（Y），（0）π（0）（L（Y），（0））>+k∏（h） ，（0）k^σW（θ（W））（θ（W））>+k∏（h） ，（0）k^σY（|θ（Y））（|θ（Y））>+^σWL（w），（0）π（0）（h） ，（0）（θ（w））>+^σwθ（w）(（h） ，（0））>π（0）（L（w），（0））>+^σYL（Y），（0）π（0）（h） ，（0）（￠θ（y））>+σy￠θ（y）(（h） ，（0））>π（0）（L（y），（0））>（2.11）B-9使用（2.9）中的这些定义和计算期望，我们得到ω？的另一个表示：ω?= arg min{w}（~ζTnkwk+κw>^Γw）受制于：nnXi=1wiDi=1，nnXi=1wi=0，（2.12）B.2.2确定性甲骨文权重我们定义了额外的“确定性”甲骨文权重ωdet作为以下问题的解决方案：ωdet=arg min{w}（~ζTnkwk+κnw>Γw）受制于：nnXi=1wiDi=1，nnXi=1wi=0，（2.13）det：=ω？- ωdet–随机预言权重与确定性权重的偏差。B、 2.3技术引理第一个引理描述了ωdet.定义χ：=max{σw，~σy，cfe}的关键性质。引理B.3。此外，假设假设假设3.5、A.1、A.5、A.6保持为n，并且假设完整性κζχ=cζ+o（1），其中cζ>2，TN=casp+o（1），其中casp>0。那么，对于n和t足够大，以下是正确的：kD- 丹麦≤ kωdetk≤ cn（1+cvar）cˇω1+cfecζχcasp！（1+op（1））κω>detΓω≤ 中国大陆cˇω（caspcζχ+cfe）（1+cvar）（1+op（1））（2.14）B-10证明。

为了证明这一结果，我们定义了另一个权重：▄ωdet=arg min{w}（▄ζTnkwk+κnw>Γw），取决于：nnXi=1wiπi=1，nnXi=1wi=0，（2.15）这些权重和ωdet之间的差异，它们相对于πi的平均值为1，而不是差。向前看，溶液具有“脊”形式：nωdet=（|ζIt+κT∏αΓ∏α）-1(π -π)(π -π） >（￠ζIT+κT∏αΓ∏α）-1(π -π） （2.16），因此我们得到以下n（|ωdet）>D=（D- D） >（￠ζIT+κT∏αΓ∏α）-1(π -π)(π -π） >（￠ζIT+κT∏αΓ∏α）-1(π -π） =sζκ！（2.17）通过构造，我们得到了n，t足够大的￠ζκ>ζ>cζmax{σw，￠σy，cf e}2κ>max{σw，￠σy}κ，通过假设a。6表示s~ζκ以Cs为界远离零，因此我们可以定义以下权重：ˇωnew：=s~ζκωdet（2.18），现在平均值为1乘以Di。利用这些权重，我们得到以下不等式：|ζTnkωdetk+κn（ωdet）>Γ（ωdet）≤ζTnkˋωnewk+κn（ˋωnew）>Γ（ˋωnew）=s~ζκИζTnkˋωdetk+κn（ˋωdet）>Γ（ˋωdet）（2.19）因此，我们只需要装订最后一部分。在这里，我们使用假设3.5得到n，t足够大的以下结果：|ζTnkˋωdetk+κn（ˋωdet）>Γ（ˋωdet）≤ c（1+cvar）（cζcaspχ+cfe）（1+op（1））（2.20）将该束缚分别应用于￠ζTnkωdet和κn（ωdet）>Γ（ωdet），并使用kωdetk不能比kD更小的事实- Dk（λζ等于单位的解）我们得到了结果。B-11我们的下一个引理提供了ω？ωdet.Lemma B.4。假设假设假设3.4、3.5、A.1、A.2、A.5保持不变，K∧（h），（0）kHS=o（1），κζχ=cζ+o（1）和cζ>2为n，Tapproach in finity。那么以下是n，Tapproach的真实性：| r>detθ（w）|=oppκ（ωdet）>Γωdetk∧（h），（0）kHS|r> detθ（y）|=oppκ（ωdet）>ωdetk∧（h），（0）kHS！krdetk=oppκ（ωdet）>ωdet√Tcζχ！(ω?)>^Γω?≤ c（ωdet）>Γωdet（1+op（1））（2.21）证明。注意，在所述区域中，我们有以下|ζ≥ cζmax{σw，￠σy}。

考虑以下不等式链：0≥ T？ζkω？k+κ（ω？）>^Γω?- T▄skωdetk- κ（ωdet）>ωdet≥2κr>det（^Γ）- ωdet+κr>det（^Γ）- Γ）rdet+κr>detΓrdet+Tζkrdetk（2.22）这里，第一个后面是ω？的定义？，第二个是ωdet的定义。定义以下变量：x：=Tζkrdetkx：=κr>detΓrdetx：=κ（ωdet）>Γωdet（2.23）。我们将使用此性质将前两项约束在上述总和中。我们有以下展开式：κ（^Γ）-Γ）=κ^σWL（w），（0）（π（0）- π（0）f）（L（w），（0））>+κ^σYL（Y），（0）（π（0）- π（0）f）（￠L（y），（0））>+（k∏（h） ，（0）k- (1 - （ρ（0）H | Z））k∧（H），（0）kHS）κ^σW（θ（W））（θ（W））+κ^σY￠θ（Y）（￠θ（Y））>+κ^σWL（w），（0）π（0）（h） ，（0）+κ^σWθ（W）(（h） ，（0））>π（0）（L（w），（0））>+κ^σYL（Y），（0）π（0）（h） ，（0）（￠θ（y））>+κ^σy￠θ（y）(（h） ，（0））>π（0）（L（y），（0））>（2.24）We结合κr>det（^Γ）- Γ）rdetin | x |和| x |的术语。我们只需要约束最后六个条款，因为前两个条款是积极的。我们从最后四个开始，它们的行为方式都是一样的，所以我们关注B-12涉及θ（w）和L（w）的一个：κ^σW（rdet）>θ（W）(（h） ，（0））>π（0）（L（w），（0））>rdet≤（1+op（1））| | x | k∧（h），（0）kHS(（h） ，（0））>π（0）∏（0）f（L（w），（0））>rdetk∏（0）f（L（w），（0））>rdetk≤（1+op（1））| | x | k∧（h），（0）kHSsupx，kxk=1，x∈Im（π（0）f（L（w），（0））>）|(（h） ，（0））>π（0）x |（2.25）设∏wbe投射在Im（（L（w），（0））∏（0）f）上，通过假设3.5，我们知道这个子空间的维数是o（min{n，T}）。利用这个和引理A.1，A.2，我们得到如下结果：supx，kxk=1，x∈Im（π（0）f（L（w），（0））>）|(（h） ，（0））>π（0）x |=k∏（0）w∏（0）（h） ，（0）k≤k∏（0）w（h） ，（0）k+|^η（0）h | Z | k∏（0）w（z） ，（0）k=opk∧（h），（0）kHS（2.26）这意味着以下界限：κ^σW（rdet）>θ（W）(（h） ，（0））>π（0）（L（w），（0））>rdet≤ op公司x个（2.27）使用引理A.2，我们得到以下结果：k∏（h） ，（0）k- (1 - （ρ（0）H | Z））k∧（H），（0）kHSκ^σW（rdet）>（θ（W））（θ（W））>rdet+κ^σY（rdet）>￠θ（Y）（￠θ（Y））>rdet=op（x）（2.28）下一步我们出发κω>det（^Γ）-Γ）rdet关于x，x。

应用与上述完全相同的参数，我们得到以下结果：κω>det（^Γ）-Γ）rdet= op（| xx |）+xx | opk∧（z），（0）kHS= op（| xx |）（2.29）将其与先前导出的边界相结合，我们得到以下方程：x+x（1+op（1））+op（| xx |）≤ 0（2.30）这意味着| x |=op（| x |），并且对| x |也适用。回到原始符号，这给了usB-13以下界限：| r>detθ（w）|=oppκ（ωdet）>Γωdetk∧（h），（0）kHS|r> detθ（y）|=oppκ（ωdet）>ωdetk∧（h），（0）kHS！krdetk=oppκ（ωdet）>ωdet√Tcζχ！（2.31）通过组合上述界限并使用简单的含义：（ωdet）>（^Γ-Γ）ωdet≤ op公司ωdet）>ωdet（2.32）我们得到了以下界，从而完成了证明：（ω？>^Γω?≤ 2（ωdet）>ωdet+2（rdet）>rdet≤ c（ωdet）>Γωdet（1+op（1））。（2.33）下一个引理提供了一个技术工具，将我们感兴趣的协方差上的界与（ω？）上的界联系起来>^Γω?.引理B.5。假设假设3.4、3.5、A.1、A.2、A.5保持不变，Tn=casp+o（1），其中casp∈ (0, 1); 还假设对于某些（可能是随机的）x，以下概率至少为1-α： kxk公司≤ s、 kx>（θ（w）(（h） ，（0））>+L（w））∏（0）k≤ csTkx>（°θ（y））(（h） ，（0））>+￠L（y））∏（0）k≤ csT（2.34），则以下概率至少为1- α| x>θ（w）|≤ 反恐精英√Tk∧（h），（0）kHS（1+op（1））| x>|θ（y）|≤ 反恐精英√Tk∧（h），（0）kHS（1+op（1））（2.35）证明。在前面的引理过程中，我们展示了以下内容：κr>det^Γrdet≥ κr>detΓrdet（1+op（1））（2.36）从证明中可以清楚地看出，相同的结果适用于任意向量x，这意味着结果是直接的B-14。下一个引理确定了（r？）>^Γr？那kr呢？k、 引理B.6。假设假设3.1、3.2、3.3、3.4、3.5、A.1、A.2保持不变；还假设作为n，Tapproach单位具有以下特征：Tn=casp+o（1），κζχ=cζ+o（1），cfe<cσ。（2.37）其中casp∈ （0，1）和cζ>c maxn1，max{σw，~σy}√卡斯波。

那么我们有以下概率至少为1的-c扩展-c（最小值σw，~σyn:kr？k≤ c√nχcζ+√χ + χ（1+op（1））k（r？）>（θ（w）(（h） ，（0））>+L（w））∏（0）k≤ 中国大陆χcζ+√χ + χ（1+op（1））k（r？）>（￠θ（y）(（h） ，（0））>+￠L（y））∏（0）k≤ 中国大陆χcζ+√χ + χ（1+op（1））（2.38）证明。引理B.3、B.4的含义如下：nqκ（ω？）>^Γω?≤ ccζχ（1+op（1）），nkω？k≤c√n（1+op（1））（2.39）定义以下对象：X：=Y（0）∏（0）>, X：=W（0）∏（0）>,ε:=（E（y），（0）+τE（w），（0））π（0）>, ε:=（E（w），（0））π（0）>,A： =X- ε、 A：=X- ε、 （2.40）并考虑优化问题：^θ：=arg minθ∈Θ（Tζκk |θk+κkXθk^σY+κkXθk^σW）（2.41）我们立即得到适当的Θθ=ωn。此外，如果我们有条件地对{Zt，Ht}Tt=1进行期望，然后进行优化，那么解将等于θ？：=ω?n、 因此，要控制r？我们需要控制θ- θ?.将η定义为以下方程的解：ζ=（η- 1)^σYσY+^σWσWT- p- 1吨。（2.42）B-15通过假设n，t足够大，我们得到η>1+B。对于该参数，（2.41）中的最小化函数具有以下形式：T（η- 1） κ^σYσyT- p- 1Tk |θk+κkXθk^σY+T（η- 1） κ^σWσwT- p- 1Tk |θk+κkXθk^σW（2.43）Hirshberg（2021）考虑了此类问题的更一般版本，但使用了单个X，而不是X，Xhas。他的分析只是简单地考虑了每个术语的两个独立边界，从而简单地扩展到了这个版本。我们考虑一个这样的界限，第二个是类似的。Hirshberg（2021）的所有假设都满足于假设3.3和3.4，前提是{Zt，Ht}Tt=1，因此我们可以使用其定理1。

对于η>1+cRn，它意味着以下几点：k^θ- θ?k≤ skA（^θ）- θ?)k≤ spTη（2.44），概率至少为1-c扩展-c最小σwT-p-1Tn，R，至, 其中s满足以下约束条件：s≥cσwT-p-1TsnTη（1+op（1））+c（σwT-p-1T（Rkθ？k）1,1/2ηT（1+op（1））+cqσwT-p-1TkA（^θ）- θ?)堪萨斯州√n+cσwT-p-1T（nkθ？k）1/2s√nηT（1+op（1）），（2.45）和R满足以下约束：R≥ cσR+1（A）s√ns+qσwT-p-1吨√n（1+op（1））（2.46）通过选择R=min{n，T}，我们可以将其简化为以下条件：s≥ cσwscaspη+σw+σwηT+σwcζχ+σwηTs√n（1+op（1）））（2.47），其概率至少为1-c扩展-cσwn只要η≥ cσwcasp，由对cζ：k^θ的假设保证- θ?k≤ cχcζ√casp公司√n个+√χ + χ√casp公司√n（1+op（1））（2.48）B-16如果我们使用A，那么相同的界限为真，因此概率至少为1- c扩展-c最小值{σw，▄σy}n:k^θ- θ?k≤ cχcζ√casp公司√n个+√χ + χ√casp公司√n（1+op（1））kA（^θ- θ?)k≤ c（χ2cζ+√χ+χ）（1+op（1））kA（^θ）- θ?)k≤ cχcζ+√χ + χ（1+op（1））（2.49）将边界转换为原始符号并简化，我们得到以下边界，从而得出证明：kr？k≤ c√nχcζ+√χ + χ（1+op（1））k（r？）>（θ（w）(（h） ，（0））>+L（w））∏（0）k≤ 中国大陆χcζ+√χ + χ（1+op（1））k（r？）>（￠θ（y）(（h） ，（0））>+￠L（y））∏（0）k≤ 中国大陆χcζ+√χ + χ（1+op（1））（2.50）引理B.7。假设假设3.1、3.2、3.3、3.4、3.5、A.1、A.2保持不变；还假设作为n，Tapproach单位具有以下特征：Tn=casp+o（1），κζχ=cζ+o（1），cfe<cσ。（2.51）其中casp∈ （0，1）和cζ>c maxn1，max{σw，~σy}√卡斯波。那么我们有以下概率至少为1的-c扩展-c（最小值σw，~σyn:最大值n |ω>Дθ（y）|，n |ω>θ（w）|≤ cχcζ+√χk∧（h），（0）kHS（1+op（1））（2.52）证明。

我们有以下（第二个量相同）：|ω>θ（w）|≤ |ω> detθ（w）+r>detθ（w）+r>θ（w）|（2.53）定义σ：=最大值{σw，σy}；应用引理B.3、B.4、B.5、B.6，我们得到以下概率至少为1的结果-c扩展-c（最大值σw，~σyn:n |ω>θ（w）|≤ cχcζ+√χk∧（h），（0）kHS（1+op（1））（2.54）定理B.2。假设假设3.1、3.2、3.3、3.4、3.5、A.1、A.2、A.5、A.6保持不变；还假设，当n，T，TB-17以以下关系成立的方式接近时：Tn=casp+o（1），κζχ=cζ+o（1），n min{σw，￠σy}=o（1），（2.55），其中casp∈ （0，1），和cχ>cζ>c maxn1，max{σw，σy}√卡斯波。那么以下是正确的：^δ -τnω>π^π-nΩ>π=√χξbiask∧（h），（0）kHSηH | Z+Opk（λ（h），（1））>λ（z），（1）kHSk∧（z），（1）kHS（1+op（1））+∑ag（|ω）（ξz，T+op（1））+k|ωknk∧（z），（1）kHS（ξcr+op（1））（2.56），其中ξbias是一个独立于ξz，T，ξcr的有界随机变量。根据之前的结果立即进行验证。B-18B。3定理3定理B.3的一般版本。假设定理B.2的条件成立，且max{σw，∑y}=o（1），TT=cint+o（1），forcint∈ (0, 1). 此外，假设对于cρl<1和cint，以下为真∈ （0，1）：nkω>L（y），（1）π（1）f∧（z），（1）k=ck∧（z），（1）kHS（1+op（1）），nkω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）k=ck∧（z），（1）kHS（1+op（1）），ω> L（y），（1）π（1）f∧（z），（1）ω> L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）>kω>L（y），（1）π（1）f∧（z），（1）kkω>L（w），（1）π（1）f∧（z），（1）k< cρl（1+o（1）），k∧（k），（0）kHSk∧（k），（1）kHS=cint+o（1），k^∧（z），（1）- ∧（z），（1）kHS=opk∧（z），（1）kHS,k^∧（z）- ∧（z）kop=opk∧（z）kop.（2.57）然后在H：τ=τ下，我们得到以下结果：Ehn |^δ-τ^π| ≤ zα/2^σ（τ）oi→ 1.- α（2.58）证明。根据定理B.2和假设，我们得到以下结果：^δ -τnω>π^π-nω>π= ∑ag（ω）ξz，T（1+op（1））。

（2.59）确定以下对象（残差）：ey：=nω>Y（1）∏（1）f信息技术-k（z） ，（1）k（z） ，（1）(（z） ，（1））>ew：=nω>W（1）∏（1）f信息技术-k（z） ，（1）k（z） ，（1）(（z） ，（1））>（2.60）并观察以下内容是否适用于ey（ewis的扩展相同）：ey=εy+nω>℃（y）(（h） ，（1））>信息技术-k（z） ，（1）k（z） ，（1）(（z） ，（1））>-k（z） ，（1）knω>~L（y），（1）π（1）f（z） ，（1）(（z） ，（1））>+nω>~E（y），（1）π（1）f信息技术-k（z） ，（1）k（z） ，（1）(（z） ，（1））>=εy+op（1）+op（1）+op（1）=εy+ry（2.61）B-19根据假设，我们有以下两个界限：kεk^∧（z），（1）k- kεk∧（z），（1）k≤ kεkkk^∧（z），（1）- ∧（z），（1）kop=op（k∧（z），（1）kHS），（2.62）和kek^∧（z），（1）k- kεk^∧（z），（1）k≤ 2krkkk^∧（z），（1）kopkεk^∧（z），（1）k+krkkk^∧（z），（1）kop=Opk∧（z），（1）kHSk∧（z），（1）kop+k∧（z），（1）kop= op公司k∧（z），（1）kHS. （2.63）利用这一点，我们得出以下结果：^∑（ω）：=k^∧（z），（1）kHSke>y∧（z），（1）ke>y∧（z），（1）（z），（1））>ewe>y∧（z），（1）（z），（1））>ewke>w∧（z），（1）k=k∧（z），（1）kHSkε>y∧（z），（1）kε>y∧（z），（1）（z），（1））>εwε>y∧（z），（1）（z），（1））>εwkε>w∧（z），（1）k（1+op（1））=∑（ω）（1+op（1））（2.64）对于任意固定τ，以下对象：σ（τ）=q（1，-τ)^Σ(ω)(1, -τ） >，σ（τ）=q（1，-τ)Σ(ω)(1, -τ） >（2.65）上述结果告诉我们，^σ（τ）=σ（τ）（1+op（1））。在H：τ=τ下，我们得到以下测试结果：Ehn |^δ-τ^π| ≤ zα/2^σ（τ）oi=E[{|ξz，T（1+op（1））|≤ zα/2（1+op（1））}]→ 1.- α、 （2.66）从而得出证据结论。B、 4验证对于具有系数ρ过程的AR（1），我们有以下结果：k∧（j），（k）kHS=sTk（1-ρ） （1+o（1））k∧（h），（1）kop<ρ1-ρk（λ（z），（1））-1（λ（z），（1））ν（z），（0）k=Op（1）（2.67）B-20假设A.3不必成立，因为所有定理的陈述保证其版本对所有结果都有效。由于所有其他假设，假设A.1成立。

假设A.6是假设3.7的结果。C模拟参数方差矩阵(（y） 它，（w） it）：∑=0.001 0.0000.000 0.003（3.1）Zt的模型：Zt=ν（z）t+1.14ν（z）t-1+0.52ν（z）t-2ν（z）t~ N（0，0.43）（3.2）Ht的模型：Ht=0.5Zt+0.25Zt（3.3），其中Zt与Zt具有相同的分布，且与之无关。曝光θ（w）i和θ（y）i具有以下形式：θ（w）i=0.2πi+p1-0.2ξ（w）iθ（y）i=0.45πi+1.5p1-0.3ξ（y）i（3.4），其中ξ（w）i，ξ（y）是标准正态随机变量的独立实现。D非均匀处理效应当我们的结果（尤其是定理B.2）正式适用于常数τ的情况时，可以将其推广，以考虑单位特定效应τi。在这种情况下，对结果估计的解释变得至关重要。我们想强调的是，同样的问题也适用于第2.1节中的传统TSLS算法。虽然文献中有可用的结果可以解释类似设置中的类IV比率（例如，见Borusyak和Hull（2020）的附录），但它们并不直接适用于我们的设置。

下面我们勾勒出一个信息，表明在低噪声条件下（如定理3所示），只要一些附加假设成立，我们的估值器就会收敛到τias的凸组合。D-21对于任意权重|ω，我们具有与第B.1节中相同的展开式：τ=δπ=n|ω>（τo π） +偏差（y）+噪声（y）n|ω>π+偏差（y）+噪声（w）（4.1）概括第B.2节的参数，我们可以得出以下权重ω：ττ=nω>（τo π） +op（1）nω>π+op（1）我们可以通过以下方式进一步拆分此和：^τ=nω>det（τo π） +n（ω-ωdet）>（τo π） +op（1）nω>detπ+n（ω-ωdet）>π+op（1）（4.2）定理B.2的结果表明kω-ωdetk=op(√n） 因此我们得到如下结果：^τ=nω>det（τo π） ++op（1）nω>detπ+op（1）在假设3.7下，我们得到分母等于tocπ6=0，因此我们得到以下结果：ττ=τdet+op（1）（4.3），其中τdet=nω>det（τoπ） nω>detπ。这意味着我们需要提供τdet的解释。假设存在一个数字序列{ri}ni=1，则以下为真：nnXi=1ωi，detri=o（1）nnXi=1ωi，detτiri=o（1）γi：=ωi，det（πi- ri）nPni=1ωi，det（πi）- ri）≥ 0（4.4）则以下公式成立：τdet=nnXi=1γiτi+o（1）（4.5），这意味着^τ收敛于单位特定处理效果的凸组合。保证此类序列{ri}ni=1存在的一种方法是使用常数ri=π，并在优化问题中施加额外的D-22凸约束：ωi（Di- D）≥ 对于所有i（4.6），该约束在精神上与合成控制文献中施加的非负性约束相似。当然，为了保证oracle的良好性能，需要假设存在具有此类属性的良好平衡权重。

在这种情况下，只要假设3.7成立，γiis在构造上是非负的，（4.4）中的第一个限制通过定义得到满足，第二个限制可能得到满足，因为权重ωi必须平衡τiu（w）t.D-23