基准下担保可变年金的公平定价

2022-6-24 02:02:44

简介世界各地的财富管理公司和保险公司提供可变年金（VA）和生前和死亡福利保障，以帮助个人管理其*对应的authorEmail地址：jin。sun@uts.edu.au（金孙），凯文。fergusson@unimelb.edu.au（凯文·费格森），埃克哈德。platen@uts.edu.au（埃克哈德压板），帕维尔。shevchenko@mq.edu.au（Pavel V.Shevchenko）退休和退休后财务计划。这些产品利用了市场增长的优势，同时保护储蓄免受市场低迷的影响。投保人收到的VA合同现金流与投资组合的选择（如共同基金及其战略的选择）及其绩效相关，而传统年金提供预先确定的收入流，以换取一次性付款。投保人可以以额外费用为代价增加各种VA担保。VA担保的常见示例包括保证最低累积福利（GMAB）、保证最低提取福利（GMWB）、保证最低收入福利（GMIB）和保证最低死亡福利（GMDB），以及这些的组合，例如保证最低提取和死亡福利（GMWDB）等。这些担保（一般称为GMxB）提供了不同类型的保护，以防止市场低迷、因长寿风险导致的储蓄不足或保证收入的稳定性。这些产品的精确规格可能因类别和发行人而异；seeBauer等人（2008年）；Ledleie et al.（2008）和Kalberer and Ravindran（2009）对这些产品进行了概述。自最近的金融危机以来，准确估计流浪者对冲成本的需求变得越来越重要。

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nandehutu2022

2022-6-24 02:02:48

此类估计包括保险公司必须向投保人支付的未来现金流的定价，以完成VA担保的责任，以及交付负债付款的相关对冲策略。标准定价方法遵循风险中性定价理论，在无套利的条件下，VA产品的定价为产品在所谓的等价性中性定价措施下提供的贴现未来现金流总额的预期。学术文献中有许多关于VA担保定价的数值方法的贡献。其中包括基于标准和回归的蒙特卡罗、偏微分方程（PDE）和直接积分方法。舍甫琴科和罗（2016）全面概述了流浪汉定价的数值方法。基准法（BA）提供了一种替代定价理论。在非常一般的条件下，在给定的投资宇宙中存在唯一的增长最优投资组合（GP）。英国航空公司将GP作为基准，因此任何基准非负性投资组合价格过程都假定预期瞬时回报为零。GPS假设在投资领域的所有非负投资组合中，预期瞬时增长率最高，并使终端财富的预期对数效用最大化。这是一个多元化的投资组合，利用所有可交易风险因素和相应的风险溢价实现增长最优。根据BA下的实际定价公式，任何给定未来现金流的实际定价确定了其可能的最小复制成本。

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mingdashike22

2022-6-24 02:02:51

BA被认为是风险中性定价理论的推广，因为不需要存在等价的风险中性定价测度，但它包括风险中性定价，这是一种特殊情况，涉及确保存在等价的风险中性概率测度的附加条件。另一个特例是附录B中描述的最小市场模型（MMM），该模型允许GP围绕指数增长的市场趋势进行均值回归，并捕获了对数回报的轻量级行为，如Fergusson和Platen（2006）所示，以及杠杆效应，表现为快速下跌市场中的波动性峰值；例如，见Campbell和Viceira（2005）和Shiller（2015）。相比之下，附录B中也描述了Black-Scholes模型（BSM），该模型只捕获了对数收益率的等库仑行为，由于其持续的波动性，无法对杠杆效应进行建模。在本文中，我们考虑了一个带有GMWB的标准VA产品，该产品在合同到期之前每年提供有担保的提款金额，无论投资表现如何。总提取金额应保证在合同有效期内返还初始投资。如果需要，可以直接添加其他特征，如死亡福利，参见Luo和Shevchenko（2015）。文献中经常考虑投保人的两类退保策略：静态退保策略，其中投保人在每个退保日期退保一个预先确定的金额；或者是一种动态策略，其中投保人“最优”决定每个提款日期的提款金额，这取决于该日期的可用信息，其中最优通常是指当前和未来现金流的价值最大化。

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2022-6-24 02:02:54

通过假设最优投保人的退出行为，VA产品的定价对应于VA提供商面临的最坏情况下的对冲成本。换句话说，从VA提供商的角度来看，各个动态策略下的VA产品价格提供了套期保值成本的上限；见Sunetal.（2018）。需要注意的是，实际投保人的退出策略可能会偏离最佳状态；例如，参见Moenig和Bauer（2015）。假设投保人采取动态提款策略，即最大化VA产品当前和未来现金流现值的最优策略，实际提款仍取决于投保人采用的定价方法。另一方面，维持套期保值组合以交付VA产品负债现金流的VA提供商也面临相同的组合定价和套期保值选择。在本文中，我们考虑了两种定价方法，风险中性定价方法和BA。我们调查了投保人和VA提供者对退出和混合策略的不同选择的结果和影响。特别是，我们对双方采取不同定价方法的案例进行了实证研究。在VA定价文献中，投保人和VA提供商通常采用相同的定价模型。如本文所述，投保人和VA提供商持有根本不同的估价视角的重要情况尚未调查。本文试图填补这一空缺，并希望引起更多人对这一方向的兴趣。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了GMWB担保的合同细节及其在随机最优控制框架下的定价公式。

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2022-6-24 02:02:57

然后，在第3节中，当双方使用相同或不同的建模方法时，我们分别对投保人和VA提供商的这些定价和相应的提款和对冲策略进行了实证测试。第4节以评论和讨论结束。附录包含VA建模和定价方法的背景技术方面。附录A概述了基准方法。在附录B中，我们描述了风险中性方法和BA下的定价模型。最后，在附录C中，针对最优保单持有人支取，在定价框架和模型下建立了VA定价问题，并描述了求解该问题的数值算法。2、VA担保产品描述我们认为，如果投保人在t=0时一次性将W（0）投资到财富账户W（t），t∈ [0，T]跟踪股票指数S（T），T∈ [0，T]，其中T=T对应于VA合同的到期日。我们假设W（t）和（t）都被当地无风险储蓄账户贴现，此后遇到的所有其他财富价值也是如此。根据SDEdS（t）S（t）=u（t）dt+σ（t）dB（t），t∈ [0，T]，（1），其中u（T）和σ（T）分别是指数的瞬时市场风险溢价和波动率。这里是B（t），t∈ [0，T]是驱动交易市场不确定性的标准P-布朗运动。如附录B所述，多元化股票指数非常接近GP，作为（1）的一个特例，我们有SDE（B.1）规定的GP布莱克-斯科尔斯模型（BSM）。此外，作为（1）的另一个特殊情况，我们有由SDE（B.5）指定的GP最小市场模型（MMM）。

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大多数88

2022-6-24 02:03:01

附录B提供了这两种模型的更多详细信息。投保人选择GMWB附加条款以保护其财富账户W（t），t∈ 【0，T】，在VA合同的有效期内。GMWB合同允许保单持有人从担保账户a（t），t∈ [0，T]，在一系列预先确定的合同事件日期上，0=T<T<····<tN=T。初始担保A（0）与初始财富W（0）匹配。在此，我们假设担保账户随着时间的推移保持不变，除非在某个事件日期提款，这会减少担保账户余额。其他形式的保证回报也可以类似地建模。为简单起见，我们在讨论中不包括死亡或提前自首等特征。在更现实的背景下，这些附加特征可以直接包含在本文描述的框架内。为了简化符号，我们用X（t）表示时间t的状态变量向量，给定X（t）=（u（t），σ（t），S（t），W（t），A（t）），t∈ [0，T]。（2）这里，我们假设变量S（t）遵循马尔可夫过程，因此X（t）包含t处可用的所有市场和账户余额信息。为简单起见，我们假设状态变量S（t）是连续的，W（t）和a（t）与右手极限（LCRL）是左连续的。事件日期tn，n=1，N、从担保账户中进行名义提款。投保人可选择γn≤ tn<T上的A（tn）。否则，进行最大（W（tn），a（tn））的清算提现。也就是γn=Γ（tn，X（tn）），n<n，max（W（tn），A（tn）），n=n，（3），其中Γ（·，·）被称为投保人的退出策略。投保人收到的净现金流（可能与总金额不同）用CN表示（γn，X（tn））。

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能者818

2022-6-24 02:03:04

在我们的情况下，该现金流设置为n（γn，X（tn））=γn- βmax（γn- Gn，0），n<n，max（W（T），A（T））- βmax（A（T）- GN，0），n=n，（4），其中GNI是GMWB合同中规定的预先确定的提款金额，β是适用于从担保账户提款部分的罚款率，超出合同提款GN。在此，我们假设罚款也适用于担保账户A（T）的最后一次提款。财富账户余额超过担保账户余额的部分不受处罚。保单持有人支取时，担保账户减少名义支取γn，即A（t+n）=A（tn）- γn，（5），其中A（t+n）表示提款后“立即”的担保账户余额。注意A（t+n）≥ 财富账户减少了金额min（γn，W（tn）），并保持为非负。也就是说，W（t+n）=max（W（tn）- γn，0），（6），其中W（t+n）是提款后立即的财富账户余额。假设γ=0，即合同开始时没有提款。合同到期后，财富和担保账户余额均为0。也就是说，我们有w（T+）=A（T+）=0。（7）在整个VA合同期间，保险公司按照GMWB附加条款的费率αTot向财富账户连续收取保险费，以支付担保的对冲成本。离散费用可以类似地建模，没有任何困难。财富账户依次演变为DW（t）W（t）=（u（t）- αtot（t））dt+σ（t）dB（t），（8）对于任何t∈ [0，T]不提取财富。

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2022-6-24 02:03:07

这里，αtot（t）=αins（t）+αm（t）是总费率，其中αins表示保险费，αmdenotes表示管理费。我们用V（t，X（t）），t表示时间t的VA加保证值函数∈ [0，T]，对应于当前时间T时或之后保单持有人享有的所有未来现金流的相应定价模型下的现值。最终现金流之后的剩余值显然为0，即V（T+，X（T+））=0。(9)3. 对准备金和保单持有人策略进行回溯测试在本节中，我们对VA产品的两个拟议定价模型进行了回溯测试。我们既从投保人的角度考虑，即他或她根据投保人选择的定价模型决定最佳提款金额，也从VAprovider的角度考虑，即VA产品的对冲组合策略基于提供商选择的定价模型。我们将标准普尔500指数作为VA产品的基础股票指数，并根据基础多元化指数的历史数据运行模拟提款和对冲策略。特别是，我们采用了1871年至2018年历史上观察到的标普500指数月度价格，所有股息都进行了再投资，并通过当地无风险储蓄账户进行贴现。1963年后的S&P500数据来自数据流，1871年至1963年的早期部分在Shiller（2015）中重建。标准普尔500指数（S&P500 total returnindex）很好地近似了美国国内股票市场的市场投资组合（MP）动态。我们考虑在1988年2月至2018年2月的30年期内，基于在此期间之前的历史指数价格估计的基础模型，在跟踪指数的VAaccount上书写的GMWB合同的定价。

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2022-6-24 02:03:10

我们将MMM和BSM分别视为SDEs（B.5）和（B.1）规定的基本动态，并比较两种模型下担保值的演变情况和表1：标准普尔500指数历史价格的估计模型参数。αησMMM 2.857 0.0435 BSM？0.1441相关定价规则。标普500指数总回报指数的对数价格如图1（a）所示。我们采用1871年1月至1988年2月的前97年可用数据进行估算。MMM参数估计如下：为了估计MMM的总体增长趋势（t）Y（t）=αηeηt，将直线拟合到对数指数价格，斜率作为估计的总增长率η，并根据截距确定比例因子α。由此获得的标准化指数Y（t）如图1（b）所示。（B.1）中的BSM波动率根据标准MLE估计值进行估计。估计参数如表1.1871/011892/011913/011934/011955/021976/021997/022018/02100101102S&P500trend1871/011892/011913/011934/011955/021976/021997/022018/020.511.522.5归一化指数平均值（a）S&P500指数与估计趋势（b）归一化指数与平均值图1：MMM的估计增长趋势和归一化指数。我们考虑与GMWB签订一份风格化的VA合同，保单持有人将100万美元储蓄账户投资于跟踪标准普尔500指数（S&P500 total returnindex）的共同基金。为了便于说明，我们假设没有共同基金管理费，因此αm（t）=0 in（8），保险费率αinsis设置为0。（对于总费用不为零的情况，可以进行严格的类比，而不影响当前讨论的主要结果。

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能者818

2022-6-24 02:03:13

)投保人购买GMWB附加条款，保证在30年内，100万个储蓄账户单位的初始投资的年平均付款。因此，合同提款额为perannum储蓄账户的33333个单位。如果投保人决定提取的金额超过合同规定的金额，则应对超出部分收取10%的罚款。如第2节所述，我们假设罚款也适用于最后一次提款。也就是说，如果担保账户的余额超过到期时的合同提款金额，则必须提取该余额，并对超出部分适用相同的罚款率。我们首先考虑VA提供商根据BSM采用风险中性定价方法（见附录B）对产品进行定价的情况，假设保单持有人在相同的定价规则下做出最佳取款。VA提供者维护投保人财富的名义财富账户W（t），以及跟踪剩余担保提款津贴的名义担保账户a（t）。VA提供者维护一个实际的对冲投资组合V（t），包括指数跟踪共同基金（简称指数）的股票，以及本地无风险储蓄账户。我们将对冲投资组合称为VA产品的储备账户，这是唯一涉及的实际投资账户。储备账户从价值V（0）开始，即VA产品的初始价格，并维持一种自我融资对冲策略，直到在其中一个提款日期提款，此时净现金流量从该账户支付给投保人。

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2022-6-24 02:03:16

储备账户在提款日期之间维持的策略是各自的delta hedgingstrategy。按照附录C中描述的算法1，我们根据历史指数价格递归计算VA产品的价格过程。价格过程如图2（a）所示，最终清算前的初始值为122万，终值为711万。通过delta对冲实现的准备金账户过程显示在同一个图中，以供比较。储备账户的初值与定价过程相同，终值为707万。清算后，储备账户最终出现-03.44万的小额亏损，这可能是由于离散对冲的对冲误差造成的。名义财富账户W（t）如图2（b）所示，投保人的最佳提款如图2（c）所示，担保账户余额如图2（d）所示。请注意，财富账户和担保账户均为名义账户，用于跟踪投保人VA合同的状态。这些账户没有实际交易。最佳提款相对一致，除了在开始阶段没有提款，以及在最后阶段有大量提款。相对一致的退出行为是BSM和风险中性定价的典型特征，其中股票指数动态是时间均匀的。改变提款模式的唯一动机是改变到期日和财富/担保账户比率。出于验证目的，我们考虑了政策持有人的其他静态退出行为。也就是说，我们假设投保人在N个取款日期中的任何一个日期统一取款，取款金额等于储蓄账户的1/N百万单位。

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2022-6-24 02:03:19

另一方面，VA提供者以与最佳情况下相同的方式管理储备账户，而不考虑投保人的提款行为，这被认为是次优的0 5 10 15 20 25 30年0 1234567价值合同价值准备金账户价值0 5 10 15 20 25 30年0 1234567价值（a）合同价值和准备金账户（b）名义财富账户00.020.040.060.080.10.120.14价值0 5 10 15 20 25 30年0 5 10 20 25 30年0.20.60.81价值（c）提取（d）名义担保账户图2：价值过程根据BSM和风险中性定价进行定价和对冲以及最佳提款时，与VAproduct相关的（以储蓄账户的百万单位计）。案例结果如图3所示。这种情况下的合同价值过程与最优提款的情况相同。由于不同（次优）提款，准备金账户流程和名义财富账户流程与前一案例不同。储备账户最终产生了139万美元的巨额盈余。这是由于投保人因次优退保而造成的损失。特别是，提前提款导致名义财富账户中的财富积累减少，导致保单持有人享有的清算现金流显著减少。

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2022-6-24 02:03:23

由于准备金账户保持了与前一种情况相同的对冲策略，因此在支付减少的负债后，最终会出现盈余。0 5 10 15 20 25 30年0 1234567价值合同价值准备金账户价值0 5 10 15 20 25 30年0 1234567价值（a）合同价值和准备金账户（b）名义财富账户00.0050.010.0150.020.0250.030.035价值0 5 10 15 20 25 30年0 5 10 15 20 25 30年0.20.60.81价值（c）提取（d）名义担保账户图3：定价和Hedging基于BSM和风险中性定价进行，假设最优提款行为，而实际提款行为遵循静态策略。接下来，我们考虑投保人在BA下基于MMM进行取款的情况。也就是说，投保人的取款将最大限度地提高保单管理人在BA下定价的VAC合同的价值。VA提供商相信风险中性定价框架下的BSMunder，以与之前案例中相同的方式管理储备账户，并认为投保人的提款是次优的。因此，VAprovider期望在VAcontract到期后，在储备账户中获得盈余。

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2022-6-24 02:03:26

该情景的结果如图4.0 5 10 15 20 25 30年02468价值合同价值准备金账户价值0 5 10 15 20 25 30年02468价值（a）合同价值和准备金账户（b）名义财富账户00.20.40.60.8价值0 5 10 15 20 25 30年0 5 10 15 20 25 30年0.20.60.81价值（c）提款（d）名义担保账户图4：与VA相关的价值过程基于BSM和风险中性定价进行定价和合规时的产品，假设最优提款行为，而实际提款行为遵循BA下的MMM。令VA提供商惊讶的是，该案例中的准备金账户没有盈余，反而以100万的亏损告终，如图4（a）所示。保单持有人的提款行为是指在合同期限结束之前不会有任何提款，在合同期限结束时，大量小额提款之后，在到期日进行大额提款。由于早期没有提款，名义财富账户积累了大量财富。这笔巨额财富的清算导致了thereserve账户的亏损，该账户遵循了一种假设提前提款的对冲策略。当投保人在不同的定价框架下表现最佳时，VA提供商未能对冲VA产品，表明VA提供商采用的BSM和风险中性定价可能不适当。特别是，保单持有人相信市场的长期增长，并根据MMM进行了投资。VA提供者从风险中性的角度来看，没有认识到长期增长，并以短期眼光管理储备账户，导致未能与投保人财富账户的表现相匹配。

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2022-6-24 02:03:29

请注意，MMM和相关长期增长率是根据该指数之前的收益进行估计的。因此，“展望未来”与投保人的退保行为无关。有趣的是，看看在相反的情况下会发生什么，VA提供商在MMM和BA下定价和对冲，投保人根据BSM和风险中性定价进行最优取款。在不重复该情景的详细描述的情况下，结果如图5所示，在图5中，准备金账户的管理确认了MMM和BA下的长期增长，导致财富积累水平高于名义财富账户，盈余为105万。投保人的退保行为与第一种情况类似，在合同期内几年内，投保人会统一退保。最后，为了完成实证研究，我们考虑了在BA下VAprovider和保单持有人都遵循MMM的情况。结果如图6所示。可以看出，在这种情况下，VA提供商成功地对冲了VA产品，最终在储备账户中获得了03.19万的小额资金。在比较基于两种定价模型的两种最优退出策略时，我们发现，基于BSM和风险中性定价的策略在一段时间内实现了741万（本地无风险证券）的总退出，超过了静态策略下629万的总退出。另一方面，基于BA的optimalstrategy使用MMM实现了847万的总提款，这产生了100多万单位的储蓄账户，因此，当以储蓄账户的单位计算时，初始投资翻了一番。这比使用BSM提供的风险中性方法要多得多。

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mingdashike22

2022-6-24 02:03:32

原因是风险中性定价下的BSM产生了显著的模型错误，忽略了标准普尔500指数相对于储蓄账户的显著正长期增长率，因此，给出主要投资0 5 10 15 20 25 30年0 2468价值合同价值准备金账户价值0 5 10 15 20 25 30年0 2468价值（a）合同价值和准备金账户（b）名义财富账户00.050.10.15价值0 5 10 15 20 25 30年0 5 10 20 25 30年0.20.40.60.81价值（c）提取（d）名义担保账户图5：定价和套期保值是基于MMM和BA进行的，假设最优的提款行为，而实际的提款行为遵循风险中性定价下的BSM。潜力消失。通过改变VAs领域的生产方法，可以实现显著更高的投资回报。0 5 10 15 20 25 30年-20246810价值合同价值准备金账户价值0 5 10 15 20 25 30年-20246810价值（a）合同价值和准备金账户（b）名义财富账户00.20.40.60.8价值0 5 10 15 20 25 30年0 5 10 15 20 25 30年0.20.40.60.81价值（c）提取（d）名义担保账户图6：定价和对冲以及基于MMM和BA执行最佳取款。结论我们考虑了基准法（BA）下GMWB的可变年金（VA）定价，其中可能不存在经典的等效风险中性定价措施。我们使用真实世界的定价公式计算最小市场模型（MMM）下与GMWB签订的VA合同的价值，以及VAproduct的相关对冲策略。

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nandehutu2022

2022-6-24 02:03:35

在风险中性定价框架下，我们通过对标普500总回报指数的历史价格进行实证回溯测试，将我们的结果与经典Black-Scholes模型（BSM）下的结果进行了比较。标普500总回报指数是VA产品的基础。从实证研究中，我们发现，当VA提供者和投保人都使用相同的定价模型进行套期保值和退出决策时，VA提供者可以成功地对冲VA产品。当投保人采取没有优化的静态取款策略时，VA提供商最终获得了盈余。当VAprovider依赖MMM和BA做出对冲决策，保单持有人采用BSM和风险中性方法时，VA provider最终获得盈余。然而，当VA提供商采用BSM和风险中性方法，投保人依赖MMM和BA时，VA提供商最终会出现缺陷。我们的实证研究表明，BSM和风险中性方法可能不适合VA定价问题，因为当一个成熟的投保人配备了更准确的模型，如MMM，VA提供商在VA产品的套期保值方面存在显著不足的风险。参考Bauer，D.，Kling，A.，Russ，J.，2008年。可变年金中保证最低养老金的通用定价框架。ASTIN公告38（2），621–651。Broadie，M.，Kaya，O.，2006年。随机波动率和其他跳跃扩散过程的精确模拟。运筹学54217–231。坎贝尔，J.Y.，维切拉，L.，2005年。风险回报交易的期限结构。国家经济研究局技术代表。Delbaen，F.，Schachermayer，W.，2006年。套利的数学。施普林格科学与商业媒体。Fergusson，K.，Platen，E.，2006年。关于世界股票指数对数收益率的分布特征。

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mingdashike22

2022-6-24 02:03:38

应用数学金融13（1），19–38。Kalberer，T.，Ravindran，K.，2009年。可变年金。风险账簿。Karatzas，I.，Shreve，S.E.，1991年。布朗运动与随机微积分，第2版。斯普林格。Ledleie，M.C.、Corry，D.P.、Finkelstein，G.S.、Ritchie，A.J.、Su，K.、Wilson，D.C.E.，2008年。可变年金。《英国精算杂志》14（2），327–389。Luo，X.，舍甫琴科，第5页，2015年。通过随机控制优化对保证最低提取和死亡福利的可变年金进行估值。保险数学与经济学62，5–15。Moenig，T.，Bauer，D.，2015年。重温最佳保单持有人行为的风险中性方法：可变年金中提款担保的研究。财务回顾20（2），759。Platen，E.，2001年。最小金融市场模型。In：数学趋势。Birkh-auser，第293-301页。Platen，E.，Heath，D.，2006年。量化金融的基准方法。斯普林格金融公司。斯普林格。Platen，E.，Rendek，R.，2012年。通过简单的多元化来近似计算基准投资组合。《资产管理杂志》13（1），34–50。Revuz，D.，Yor，M.，1999年。连续鞅与布朗运动，第3版。斯普林格。舍甫琴科，P.V.，Luo，X.，2016年。最优随机控制框架下可变年金担保的统一定价。风险4（3）。Shiller，R.J.，2015年。非理性繁荣：修订和扩充第三版。普林斯顿大学出版社。Sun，J.，Shevchenko，P.V.，Fung，M.C.，2018年。管理费对可变年金担保价格的影响。风险6（3）。附录A.基准方法的简要概述在本节中，我们简要概述了不同市场模式下的BA。

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2022-6-24 02:03:41

本节大部分内容摘自Platen和Heath（2006），感兴趣的读者可参考这些内容以获得更完整的治疗。我们考虑一个由多维布朗运动W驱动的不确定性的一般差别金融市场模型，W（t）={（W（t），…，W（t）d）>，t∈ [0，T]}，定义在过滤概率空间上(Ohm, F、 F，P），其中T是某个固定的时间范围，过滤F={Ft，T∈ [0，T]}满足权利连续性和完整性的通常条件，并对信息随时间的累积进行建模；见Karatzas和Shreve（1991）。假设存在一个本地无风险储蓄账户S（t）和m个非负风险主安全账户S（t）=（S（t）。。。，Sm（t））>满足向量随机微分方程（SDE）dS（t）=S（t）（a（t）dt+b（t）·dW（t）），t∈ [0，T]，（A.1），其中A（T）是瞬时漂移向量，b（T）是瞬时波动矩阵，这两个矩阵都假设是可预测的，并且存在上述SDEs系统的唯一强解。我们假设所有股息和利息都进行了再投资。在不损失一般性的情况下，我们进一步假设S（t）≡ 这意味着我们以本地无风险储蓄账户的单位为所有证券定价。实际上，本地无风险储蓄账户可以近似为以滚动方式投资短期国债的货币市场账户。因此，在我们的注释中，所有主要证券账户都由本地无风险储蓄账户贴现。我们用Sπ表示严格正的自我融资投资组合的价值过程，投资组合权重π（t）=（π（t）。。。，πm（t））>，t∈ [0，T]，在T时将总财富的一小部分πj（T）投资于第j个主要证券账户，剩余财富投资于本地无风险储蓄账户。

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2022-6-24 02:03:45

数值过程满足SDEdSπ（t）Sπ（t）=π（t）>（a（t）dt+b（t）·dW（t）），t∈ [0，T]。（A.2）根据伊藤公式，对数价格的SDE为对数sπ（t）=π（t）>a（t）-b（t）b（t）>π（t）dt+b（t）·dW（t）, t型∈ [0，T]。（A.3）我们考虑增长最优投资组合（GP）Sπ*在这个投资宇宙中，所有t的内在预期增长率，即（A.3）的漂移最大。这是通过设置最佳投资组合权重π来实现的*（t）至π*（t） =arg maxππ>a（t）-b（t）b（t）>π, t型∈ [0，T]。（A.4）我们假设（A.4）的解存在于所有t∈ [0，T]。π给出了一个这样的势解*（t）=b（t）b（t）>+a（t），t∈ [0，T]，（A.5），其中b（t）b（t）>+表示自伴矩阵b（t）b（t）>的Moore-Penrose广义逆。请注意，GP的价值过程是唯一的，然而，分数可能会因主要证券账户中的潜在冗余而变化。为了使市场模型可行，我们假设GP过程，表示为S（t）：=Sπ*（t），t∈ [0，T]，带π*（t）由（A.5）给出，存在且严格为正。通过将（A.5）代入（A.2），我们得到了SDEdS（t）S（t）=kθ（t）kdt+θ（t）·dW（t），t∈ [0，T]，（A.6），其中θ（T）=b（T）>π*（t）。上述SDE可进一步写成：ds（t）=α（t）dt+pα（t）S（t）dB（t），t∈ [0，T]，（A.7），其中漂移α（T）=kθ（T）kS（T）假设为严格正，且B*（t），由SDEdB（t）=θ（t）kθ（t）k·dW（t）t定义∈ [0，T]，（A.8）带B*（0）=0，根据Levy的特征定理形成标准布朗运动。到目前为止，我们只重新参数化了GP动力学，这与常见的波动率建模规范不同。注意，在这个阶段，上述漂移α（t）可能仍然非常普遍。

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大多数88

2022-6-24 02:03:48

之后，我们将使这种漂移更加具体，从而产生一个合适的模型。GP是一种独特的投资组合，当用作数字或基准时，它使任何基准投资组合过程^Sπ，定义为^Sπ（t）=Sπ（t）S（t），一个局部鞅。如果我们假设投资组合过程是非负的，则基准投资组合过程会被Fatou引理所超越。给定FT可测非负或有索赔H（T）≥ 0到期日为T时，BA下的所谓公平价格过程由实际世界定价公式asH（T）=EtS（t）S（t）H（t）, t型∈ [0，T]，（A.9），其中Et（·）=E（·| Ft）表示现实世界概率测度P下的Ft条件期望。基准公平价格过程定义为^H（T）=H（T）S（T），然后形成非负（F，P）-鞅。基准公平价格过程^H（如果可复制）代表了所有基准非负自我融资复制投资组合中成本最低的投资组合，这些投资组合构成了超级大赢家。附录B.标的权益指数建模本节规定了SDE管理标的权益指数的模型参数（1）。模型参数分别在风险中性定价框架和BA下描述。如第2节所述，我们以本地无风险安全账户为计价单位，并考虑所有以本地无风险储蓄账户单位计价的价格。附录B.1。Black-Scholes模型经典BSM可能是在风险中性定价理论框架内描述风险证券价格动态的最广为人知的模型。

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大多数88

2022-6-24 02:03:51

在BSM下，一般公式（A.7）中的漂移α（t）被建模为α（t）=σS（t），其中σ是恒定波动率参数，股票指数遵循真实世界概率测量P下的SDEdS（t）=σS（t）dt+σS（t）dB（t），（B.1），其中B是标准的P-布朗运动。因此，股票指数遵循几何布朗运动（t）=S（0）expσt+σB（t）, t型∈ [0，T]。（B.2）遵循Girsanov定理的标准程序，BSM承认一个唯一的等效风险中性定价度量Q，Radon-Nikodym导数由z（t）=e给出-σB（t）-σt=S（0）S（t），t∈ [0，T]，（B.3），其形式与（A.9）中的贴现系数相同，如预期。在风险中性度量Q下，指数S是无漂移的，满足度（t）=σS（t）dBQ（t），t∈ [0，T]，（B.4），其中BQ（T）=B（T）+σT是标准的Q-布朗运动。附录B.2。最小市场模型最小市场模型（MMM），见Platen（2001），是BA下的一种风格化模型。MMM与风险中性定价框架不兼容，因为不存在等效的风险中性概率度量。当我们应用MMM时，我们做出两个重要假设。首先，通常很难构建给定投资领域的GP。然而，Platen和Rendek（2012）表明，股票市场的GP可以通过各自的多元化股票指数来近似。MMM假设权益指数是GP的良好代理。其次，一般GPmodel（A.7）中的漂移系数α（t）在理论上是一个复杂的过程，取决于风险的瞬时市场价格，因此很难具体说明。MMM通过假设α（t）是一个简单的确定性指数函数α（t）=αeηt来进行临界简化。

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2022-6-24 02:03:54

因此，在MMM下，GP S（t）遵循具有确定性时间变换的四维时间变换平方贝塞尔过程，并满足SDEdS（t）=αeηtdt+pαeηtS（t）dB（t），t∈ [0，T]（B.5）在真实世界概率测度P下；见Revuz和Yor（1999年）。这里η是股票指数的长期预期增长率，α是代表指数初始规模的常数。我们将模型中的归一化GP定义为Y（t）=ηαeηtS（t），t∈ [0，T]，满足SDEdY（T）=（1- Y（t））ηdt+pY（t）ηdB（t），t∈ [0，T]。（B.6）归一化GP在1级附近出现均值回复。归一化指数的平均反转意味着GP围绕其长期指数增长的“趋势反转”。有充分的证据表明，从长期来看，多元化程度较高的指数，如标准普尔500指数，会以趋势逆转的模式移动，这种趋势通常被解释为缓慢移动的“基本价值”过程；参见Shiller（2015）。通过将GP分解为标准化的GP指数Y（t）和一个简单的指数基值函数αeηtη，theMMM节约地捕捉到了这一重要的程式化事实。此外，归一化GP的瞬时平方波动率等于GP的瞬时平方波动率，与归一化GP的值成反比，从而产生所谓的杠杆效应。（B.6）中描述的归一化GP是一个维数为4的时间变换平方根过程，具有非中心卡方（NCX）分布的过渡定律，给定Nbyy（u）L=1- e-η（u-t） χ4e-η（u-t） 1个- e-η（u-t） Y（t）！，0≤ t<u≤ T、（B.7）式中，χ（ζ）表示4阶NCX随机变量和非中心参数ζ；例如，见Broadie和Kaya（2006）。χ（ζ）随机变量具有所有正序的有限矩。

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2022-6-24 02:03:57

概率密度函数（PDF）由f（ζ，x）=e给出-ζ+xrxζ我pζx, x>0，（B.8），其中I（·）是第一类一阶修正贝塞尔函数，参见Revuz andYor（1999）。因此，归一化指数的转移密度函数由p（t，Y（t）给出；u、 Y（u））=1- e-η（u-t） f4e级-η（u-t） 1个- e-η（u-t） Y（t），1- e-η（u-t） Y（u）！。（B.9）值得一提的是，归一化GP是无量纲的，并且作为非平凡状态变量，因为时间段（t，u）上的跃迁密度非线性地取决于当前状态Y（t）。这与BSM形成了鲜明的对比，BSM将当前价格作为时间齐次几何布朗运动的比例因子。这种依赖性的一个含义是，与BSM不同，（B.5）既不是标度也不是时不变的。然而，请注意，GP作为时间变换的平方贝塞尔过程，具有一些自相似性。附录C.VA的定价与保证在本节中，我们考虑第2节所述VA产品的定价。对于一组给定现金流的定价，我们采用了随机贴现因子（SDF）的概念，其中现金流的现值由其预期值之和给出，经SDF贴现后，以所有当前信息为条件。风险中性定价和BA下的定价均可根据适当的SDF制定。有关风险中性定价理论的更多信息，请参见Delbaen和Schachermayer（2006）的一篇文章。有关BA的简要说明，请参见附录A。为了使用保证值函数V（0，X（0））对VA进行定价，我们注意到在任何提款日期（tn）之间均未进行提款-1，tn），并且财富账户在此期间是自我融资的。

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2022-6-24 02:04:00

这导致（左连续右极限）保证值函数V（t+n）的以下递推关系-1，X（t+n-1））=Et+n-1（D（tn-1，tn）V（tn，X（tn）），（C.1），其中Et（·）=E（··| X（t））是真实世界概率测度P下的期望，条件是X（t）和D（t，u）表示的当前信息，0≤ t<u≤ T是SDFover（T，u）。在BA下，SDF由D（t，u）=S（t）S（u）给出，即逆EGP的比率。在风险中性定价框架下，SDF D（t，u）=Z（u）Z（t），其中Z（t）：=EtdQdP作为测量值的Radon-Nikodym导数，从实际概率测量值P变为等效风险中性测量值Q，条件是t时的所有可用信息。在时间tn，0<n<n退出时，值函数的左侧极限满足以下跳跃条件V（tn，X（tn））=V（t+n，X（t+n））+C（γn，X（tn））。（C.2）换言之，提款前的担保价值是提款后的价值与提款现金流之和。主动保单持有人遵循一种动态策略，我们将其作为相应随机控制问题的解。也就是说，对于0<n<n，提取金额γ根据以下总价值最大化策略选择，γn=Γ（tn，X（tn））=arg max0≤γ≤A（tn）V（t+n，X（tn）\\γ）+C（γ，X（tn））, （C.3）其中X（tn）\\γ表示提取γ后的状态变量X（t+n），给定提取前的状态变量X（tn）的值。另一方面，被动策略文件夹遵循预先确定的退出值的静态策略。因此，契约值V（0，X（0））可以从（9）、（5）、（6）（C.2）和（C.1）以及所选策略中递归计算。算法1总结了这些步骤。

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