作为凸函数，函数ψ在这个三角形上是连续的，结果如下。我们定义了一个多值函数rgg（y），arg minx∈Gc（x，y）={x∈ G：φ（y）=c（x，y）}，y∈ R、 取G的闭（可能为空）子集中的值，并表示dom ArgG，y∈ R： ArgG（y）6=.设EGi=∪t型∈TGiEGi（t），i=1，2，是G的垂直和水平线段的并集；参见（23）。由于集合G是固定的，我们写simplyArg=ArgG，Ei=EGi，Ei（t）=EGi（t），Ti=TGi。下面的引理表明，对于y∈ dom Arg \\G设置Arg（y）canintersect Ei（t）on ly at Ei（t）。我们表示hx，yi，Pi=1xiyi，x，y的标积∈ R、 引理B.4。让我∈ {1，2}和t∈ Ti。如果y∈ dom参数\\G和x∈Ei（t）∩ Arg（y），那么x属于Ei（t）和hz的边界- x、 y型- xi>0，z∈ ri Ei（t）。证据在不丧失一般性的情况下，我们可以假设i=2，y在G之上。然后是递增双曲线=z∈ R： c（z，y）=φ（y），z>y包含x且位于G下方，仅当x是水平线段E（t）的右边界时，才可能出现此情况。在这种情况下，hz- x、 y型- xi=（z- x） （y）- x） >0，z∈ Rie（t），结果遵循s，对于x，y∈ Rwe用L（x，y）表示连接x和y的线段：L（x，y），{tx+（1- t） y:t∈ [0, 1]} .引理B.5。让yand和ybelong分别位于dom Arg和belowG之上。如果x∈ Arg（y）∩ Arg（y），则x属于连接yand和y.Proof的线段l（y，y）。引理的条件意味着递增双曲线=z∈ R： c（y，z）=φ（y），z>y,H类=z∈ R： c（y，z）=φ（y），z<y,分别包含x和保持在G以下和以上。因此，它们在x处有相同的切线。

初步计算表明，切线的斜率由x给定- yy年- x=x- yy年- X，结果遵循s，表示y∈ int domφ导数φ（y）是在经典意义上定义的。对于y∈  domφ导数φ（y）存在，如果它是极限： φ（yn）→φ（y），对于每个序列（yn） int domφ∩ domφ收敛到y。We减记φ，{y∈ domφ：φ（y）存在}。通过Dc，（Dc，Dc），我们表示与成本函数c=c（x，y）相关的微分算子：Dcφ（y），y-φy（y），Dcφ（y），y-φy（y）。最后，设E=EG=EG∪ EGbe是G的垂直线段和水平线段的并集，表示Ddom Arg，y∈ R： Arg（y）是单态.我们观察到e=G\\ddom Arg。（33）定理B.6。我们有那个地方φ\\ddom参数  domφ∩ G= domφ∩ E、 （34）相反，集合不同的dom Arg\\domφ最多有两个点，这些点属于 domφ。如果y∈ domφ ∩ddom Arg，则Dcφ（y）是Arg（y）的唯一元素，φ（y）=c（Dcφ（y），y）=φx（y）φx（y）。（35）我们将定理的证明分为引理。我们写x≤ y ifxi≤ yi，i=1，2。如果x，y∈ G和x≤ y、 那么G（x，y）表示由x和y约束的G的段：G（x，y），{z∈ G:x≤ z≤ y} 。引理B.7。让y∈ int domφ。然后是y∈ dom φ当且仅当y∈ddom参数。在这种情况下，Dcφ（y）是Arg（y）的唯一元素。证据从LemmaB中int-domφ的结构出发。我们推导出x的存在性，x∈ G x处的th≤ x、 y型∈ int R（x，x），and d R（x，x）int domφ，其中R（x，x）是与对角线L（x，x）的夹角。E v ery x∈ G使得c（x，y）≤ 0属于G（x，x）=R（x，x）∩ G、 因此，Arg（y）=Arg minz∈G（x，x）c（z，y）=arg maxz∈G（x，x）（yz+yz- zz）。由于G（x，x）是紧凑的，Arg（y）是非空的。

如果x∈ Arg（y），然后ψ（u）- ψ（y）=supz∈G（uz+uz- zz）- （yx+yx- xx）≥ x（u- y） +x（u- y） ，u∈ R、 因此，（x，x）属于ψ（y），ψ=ψGat y的次微分。φ在y处的可微性（等价地，ψ）则意味着Arg（y）是一个单独的x=ψy（y）=y-φy（y）=直流φ（y），x=直流φ（y）。相反，设x是Arg（y）的唯一元素，ex=（ex，ex）∈ Rbe，以便（ex，ex）∈ ψ（y）。我们必须确定x=ex的方式。我们取单位向量e=（e，e），然后定义r中的序列（yn），例如，thatyn=y+ne，yn=y+ne，n≥ 1、让nbe建立一个指数，使yn∈ int R（x，x），n≥ n、 到pro的第一部分，对于n≥ 集合Arg（yn）非空，属于压缩G（x，x）。此外，如果xn∈ Arg（yn）then（xn，xn）∈ ψ（yn）。下面是xn（yn- y） +xn（yn- y）≥ ψ（yn）- ψ（y）≥ ex（yn- y） +ex（yn- y） ，然后是hxn，ei≥ 十六进制，ei。因为x是Arg（y）的唯一元素，ψ（yn）=ynxn+ynxn- xnxn→ ψ（y）=yx+yx- xx，（xn）的每个收敛子序列都到x，然后到xn→ x、 因此，hx，ei≥ hex，ei，由于e是R中的任意单位向量，我们得到了thatx=ex引理B.8。让y∈ dom参数\\G和x∈ Arg（y）。Thenri L（x，y）={ty+（1- t） x:t∈ (0, 1)}  domφ和Dcφ（z）=x，z∈ ri L（x，y）。线段L（x，y）的斜率为负值，其形式为：y- xy型- x=z- xz公司- x个=φy（z）φ（z）=φ（z）φy（z）, z∈ ri L（x，y）。证据We fix t公司∈ （0，1）表示y（t）=ty+（1-t） x.根据LemmaB中int domφ的描述。2我们推导出y（t）∈ int domφ。在不损失一般性的情况下，我们可以假设y<x。然后超波拉=z∈ R： c（z，y）=φ（y），z>y包含x并保持在G以下，而双曲线（t）=z∈ R： c（z，y（t））=c（x，y（t）），z>y（t）包含x并保持在H以下。因此，x是arg（y（t））的唯一元素。LemmaB。7得出Dcφ（y（t））=x。

这一困境的最后一部分直接源于Dcφ的定义以及φ（y（t））=c（x，y（t））=c（Dcφ（y（t）），y（t））的事实。引理B.8的以下推论也将用于证明REMB。引理B.9。让Yan和Yb在dom Arg和xi中具有不同的点∈Arg（yi），i=1，2。然后，要么x=xor，要么线段L（x，y）和L（x，y）不相交。证据如果L（x，y）和L（x，y）有公共内点z，那么LemmaB。8得到x=Dcφ（z）=x。引理B.10。让y∈ domφ\\G.那么Dcφ（y）是Arg（y）的唯一元素。证据根据引理B.7，我们可以进一步假设y∈  domφ。设（yn）为int domφ中的序列∩ domφ收敛于y.ByLemma B.7，Dcφ（yn）是Arg（yn）的唯一元素。从φ开 domφ和LemmaB。3我们推导出dcφ（y）=limn→∞直流φ（yn）∈ G、 φ（y）=limn→∞φ（yn）=limn→∞c（Dcφ（yn），yn）=c（Dcφ（y），y）。因此，Dcφ（y）∈ Arg（y）。另一方面，如果x∈ Arg（y），然后是LemmaB。8允许我们选择序列（yn），使Dcφ（yn）=x。因此，x=Dcφ（y）。引理B.11。设置不同的参数φ最多有两个点，这些点属于 domφ。证据根据引理B.2，我们推导出int domφ=（a，B）×（a，B），其中-∞ ≤ ai<bi≤ ∞ （ai，bi）是G在xi坐标上投影的内部。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设a>-∞.让y和y为y=y=a，y<y<带y∈ dom参数，y∈ddom参数。我们将展示y∈ domφ. 通过这样做，weshall证明 domφ最多有一个dom Arg/dom元素φ.设（zn）为int domφ中的序列∩domφ收敛到y。然后supnzn<带有w∈ G使supnzn≤ w<b。从Emmab的角度来看。7，un=Dcφ（zn）是Arg（zn）的唯一元素。I f x∈ Arg（y），则y严格位于线段L（x，y）上方，且为zn→ y、 我们可以假设（zn）具有相同的属性。

根据引理B.8和B.10，直线段L（zn，un）具有负斜率，并且只能与L（y，x）相交于x。由此可知，解扩到紧致集G（x，w）。φ=φg自LemmaB的连续性。3得出（un）的任何收敛子序列都是唯一的e x∈ dom参数（y）。因此，y∈ domφ和x=Dcφ（y），定义为φ开 domφ。类似的参数表明，如果“角点”指向（a，b）∈ddom Argand there are z，z∈ 属于不同线性部分内部的dom参数 domφ，然后通过∈ domφ.定理B.6的证明。从引理B.7和B.10，我们推断出φ\\ddom参数  domφ∩ G、 引理B.2表明domφ的边界包含在两条直线的并集中，并且每条直线要么垂直，要么水平。因此 domφ∩ G= domφ∩ 我们得到（34）。引理B.11说明了dom参数/dom的结构φ.让y∈ domφ ∩ddom参数。考虑到（33），我们推断是6∈  domφ∩ E= domφ∩ G、 LemmasB。7和B.10现在得出Dcφ（y）是Arg（y）的唯一元素。最后，身份（35）由Dcφ的定义决定。我们记得，D处的th表示在R的闭区间上定义的严格递减函数h=h（t）的图族，使得h及其逆h-1是Lipschitz函数。我们考虑一种退化情况，其中h的域只是一个点。因此，R D、 定理B.12。异常setdom参数\\domφ ∩ddom参数= D∪ E、 （36）其中D是D中集合的可数并集，E=EGI是G的水平线段和垂直线段的并集。我们将证明分为引理。对于y∈ dom参数\\G和点r≤在Arg（y）中，我们表示为（y，r，s）以线段L（r，y），L（y，s）和G的线段G（r，s）为边界的闭合曲线三角形；见图2。如果r=s，则 （y，r，s）=L（r，y）=L（s，y）；否则为int（y、r、s）6=.引理B.13。

让y，ybe是dom Arg中的不同点\\G，让ri≤ sibein Arg（彝语），并表示我，（yi，ri，si），i=0，1。（a） 如果y∈ , 然后 .（b） 如果y6∈ 和y6∈ , 然后是和在莫斯通点，则r=sor s=r.Proof。如果（a）或（b）中的任何一个未能保持，则存在线段Li∈L（ri，yi），L（si，yi）, i=0，1，仅在内部点相交。我们得到了与LemmaB的矛盾。引理B.13（a）在dom Ar g上产生一个偏序关系 yif y公司∈ （y，r，s）对于某些r≤ 正弦参数（y）。RysrysgzdFigure 2：曲线D=D（y，y）分隔了以G（r，r）和G（s，s）段为终点的c梯度流φ部分。引理B.14。如果是y，则返回dom Arg\\G和y y、 然后（y，y），y∈ dom Ar g\\g:y y y∈ D、 也就是说，D（y，y）是严格递减函数h=h（t）在[y，y]上的图，例如h及其inverse h-1是Li pschitz功能。证据我们在图2上演示了证明。在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设yand是保持在G.Let ri之上的不同点≤ 阿尔格语中的锡伯语（彝语）。我们有那个r≤ r≤ s≤ s、 如果y延伸到线段L（y，s），则为LemmaB。8得到s=r=s=Dcφ（y），然后是D=L（y，y）。同样的引理表明，线段l（y，y）具有负斜率，因此，d属于d∈ L（y，r）相同。此后，我们假设y6∈ L（y，s）∪L（y，r）或，等效地，thaty∈ 内景（y、r、s）。作为凹双曲线的弦=z∈ R： c（z，y）=φ（y），z>y,从下方接触G，线段L（r，s）保持在G下方。

因此，Y延伸到具有顶点的三角形的内部r、 y，s.因此，存在唯一的z∈ ri L（y，s）和z∈ ri L（r，y），使线段L（r，z）和L（s，z）在y处相交。我们观察到凸多边形P与顶点z、 y，z，y包含每个y∈ dom Arg \\G使y y 因此，yand包含D。作为凸的，ψ在P上。因此，φ也在P上有界。此外，当P远离G={x∈ domφ：φ（x）=0}，相同的boundednessproperty适用于1/φ。如果y∈ P∩domφ、 然后是LemmasB。9和B.10表明，Dcφ（y）属于G（r，r）和G（s，s）的并集。特别是Dcφ，然后φ在P上有界∩ domφ. 从引理B.8我们导出负常数a和B的存在性，从而-∞ < 一≤y- xy型- x个≤ b<0，y∈ P、 x个∈ Arg（y）。让y，z∈ D不同。LemmaB。13产生y z或z y、 假设z 我们推导出r，s的存在性∈ Arg（y）使r≤ s和z∈ （y、r、s）。然后，L（y，z）的斜率从下方以L（y，r）的斜率为界，从上方以L（y，s）的斜率为界，因此在a和b之间为界：-∞ < 一≤y- zy公司- z≤ b<0。因此，集合D具有所需的Lipschitz性质。有待证明的是，集合D是连通的，或者，等价地，对于每对不同的点w 赢D有w∈ D、 这与魔杖不同，因此w w w、 在不损失一般性的情况下，我们可以采用w=y和w=y。我们将找到所需的胜利L（z，z）。设z（t）=（1- t） z+tz，t∈ [0, 1]. 从LemmaB的非交集性质。9和φ在其域上的连续性，我们得出1。如果t∈ （0，1）和Arg（z（t））∩ G（r，r）6=, 然后Arg（z（s）） G（r，r），0≤ s<t.2。If（tn）∈ [0，1]是指tn→ t和Arg（z（tn））∩ G（r，r）6=,n≥ 1，然后Arg（z（t））∩ G（r，r）6=.当（r，r）被G（s，s）取代时，类似的属性（第一项中有明显的修改）仍然存在。

这些属性很容易产生uniquet*∈ （0，1）使得Arg（z（t*)) 与G（r，r）和G（s，s）相交。显然，w=z（t*) 与Yan和y都不同 w y、 感谢LemmaB。引理B.15。集合{y∈ dom Arg\\G:Arg（y）至少包含2个点}，（37）如果不是空的，则是D中集合的可数并集。更准确地说，D=∪n≥1D（un，vn）=∪n≥1{y∈ D：联合国 y vn}，对于某些un≤ vnin D，n≥ 1.证明。显然，D=∪n≥1D（n），其中（），y∈ D：x个- x个≥ 对于某些x，x∈ Arg（y）,  > 0.设>0。我们表示bybD（）D（）关于序关系的最小元素集. 换句话说∈bD（）如果有y∈ D（）使y by与by重合。来自L emmaB。13我们推断bd（）是可数的。让y∈ D（）。如果y不是最小元素，那么就有y′∈ D（）使得y′ y、 y 6=y′。包含在（y，u，v）对于某些人≤ Arg（y）中的v，集合{z∈ D（）：z y′}是有界的。通过φ=φG的连续性，此集合是闭合的，因此包含一些∈bD（）。下面是D（）=∪通过∈bD（）{y∈ D：由 y} 。最后，对于y∈ D、 LemmasB。13和B.14表明{z∈ D：y z} 是严格递减函数h的图，使得h和h-1本地Lipschitz。结果很快就出来了。定理B.12的证明。根据定理B.6，如果我们将（36）添加到（37）给出的集合D，则表示（36）最多可以有2个点。L emma B.15得出结果。引理B.16。设D由（37）AND={y）给出∈ dom Arg：Arg（y）至少包含3个点}。那么S是可数的，有Borel函数gi:D→ G、 i=1，2，因此arg（y）={G（y），G（y）}，G（y）6=G（y），y∈ D\\S.证明。根据引理B.15，有必要证明集合D′=D（u，v）和S′=S的结果∩ D′，其中u v in D.Let r≤ s是Arg（u）的距离。

函数g（y）=max{x∈ Ar g（y）：x≤ r} ，g（y）=最小{x∈ 参数（y）：x≥ s} ，映射D′到G，并且对于序关系是单调的 关于D′和≤ 因此，它们各自的不连续集（Ri）是可数的。来自LemmaB。13我们推断S′ R∪ 根据φgi（y）的连续性求Rand∈ Arg（y），y∈ D′。的pro很快就会出现。参考Luigi Ambrosio和Nicola Gigli。最佳运输用户指南。在网络流量建模和优化中，数学课堂讲稿第2062卷。，第1-155页。施普林格，海德堡，2013年。内政部：10.1007/978-3-642-32 16 0-3 1。统一资源定位地址https://doi.org/10.1007/978-3-642-32160-3_1.MathiasBeiglb¨ock和Nicolas Juillet。关于边际鞅约束下的最优运输问题。安。概率。，44(1):42–106, 2016. ISSN 0091-1798。内政部：10.1214/14-AOP966。统一资源定位地址https://doi.org/10.1214/14-AOP966.MathiasBeiglb–ock、Marcel Nutz和Nizar Touzi。线上鞅最优运输的完全对偶。安。概率。，45(5):3038–3074, 2017. ISSN 0091-1798。内政部：10.1214/16-AOP1131。统一资源定位地址https://doi.org/10.1214/16-AOP1131.NassifGhous soub、Young Heon Kim和Tongseok Lim。广义最优鞅运输计划的结构。安。概率。，47(1):109–164, 2019. ISSN 0091-1798。内政部：10.1214/18-AOP1258。统一资源定位地址https://doi.org/10.1214/18-AOP1258.Pierre亨利·劳德雷和尼扎尔·图齐。一维Brenier定理的显式鞅版本。财务Stoch。，20(3):635–668, 2016. ISSN 0949-2984。doi:10.1007/s00780-016-0299-x。URLhttps://doi.org/10.1007/s00780-016-0299-x.AlbertS.凯尔。连续拍卖和场外交易。《计量经济学》，53:1315–13351985。阿尔多·普拉特利。在最佳大众运输中，Monge的最小值与Kantorovich的最小值相等。安。Poincar\'e Probab研究所。统计员。，43(1):1–13, 2007. IS SN 0246-0203。内政部：10.1016/j.anihpb。2005.12.001.

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