最优解长期期望效用的敏感性分析

2022-6-24 03:33:52

永滨公园最佳投资组合长期预期效用的敏感性分析*Stephan Sturm+2019年6月11日摘要本文讨论了具有恒定相对风险厌恶的投资者最优投资组合的长期预期效用的敏感性。在因子模型给出的不完全市场下，我们考虑了具有长时间范围的效用最大化问题。主要目的是确定长期敏感性，即基本因素模型的微小变化对长期最佳预期效用的影响程度。因子模型归纳了一个算子的特定特征对，该特征对不仅描述了最优预期效用的长期行为，还提供了有限时间范围内预期效用的明确表示。我们的结论是，该特征对因此决定了长期敏感性。作为示例，给出了几种市场模型的明确结果，如随机超额收益的Kim–Omberg模型和Heston随机波动率模型。2010年数学学科分类：91G10、93E20、49L20、60J60JEL分类：G11、C61关键词：投资组合优化、敏感性分析、光谱分析、遍历Hamilton–Jacobi–Bellman方程、Hansen–Scheinkman分解1简介寻找最佳投资策略是数学金融中的一个重要课题。有几种方法可以公式化最优投资问题，常用的公式之一是使用效用函数。代理人通过在市场上交易资产来最大化对公用事业单位的期望。

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2022-6-24 03:33:55

本文还讨论了最优期望效用的表达式，即sup∏∈XEP公司U（πT）（1.1）对于X，可容许投资组合的财富过程族。这个问题的分析取决于市场的完整性/不完整性。完整的市场案例相对容易找到最佳预期效用（见第1.3节），而不完整的市场案例更为复杂，需要先进的技术。本文研究一个用因子模型建模的不完全市场。此类因素在定量金融文献中被广泛使用。在下文中，我们首先概述了本文的主题，回顾了相关文献，并给出了一维扩散模型给出的相对简单的完整市场案例。1.1概述本文的主要目的是对长期最优预期效用进行敏感性分析。我们考虑两种敏感性。第一个因素是对初始因素的敏感性，例如，如果因子过程对波动率的演变进行建模，则当前即期波动率。对于因子过程的初始值χ=xO，我们研究了χsup∏∈XEP公司U（πT）对于大T，第二个是漂移或波动函数变化的敏感性，例如均值回复波动过程的回复速度、均值回复水平和波动率波动率。设为摄动参数*通讯作者。韩国首尔国立大学数学科学与RIMS系，1，Gwanak ro，Gwanak gu，首尔共和国。电子邮件：hyungbin@snu.ac.kr, hyungbin2015@gmail.com+美国马萨诸塞州伍斯特市研究所路100号伍斯特理工学院数学科学系。电子邮件：ssturm@wpi.eduand考虑S=S的扰动资产价格S。

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能者818

2022-6-24 03:33:58

用扰动资产模型S表示可容许投资组合的财富过程族。第6节和第7.1节讨论了S和X的确切含义。对于长期敏感性，我们感兴趣的是=0sup∏∈XEPU（πT）为了实现这一点，我们结合了几种技术：对偶应用程序roach（Kramkov和Schachermayer（1999））、动态规划原理、遍历Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程（Knispel（2012））、Hansen–Scheinkman分解（Hansen和Scheinkman（2009）、Qin和Linetsky（2016））和长期现金流敏感性结果（Park（2018））。（1.1）灵敏度的渐近行为可用遍历HJB方程的解对（λ，φ）来表征。定理5.1提供了有限时间范围内最优预期效用的精确表示，即带有乘法误差项的渐近参数（λ，φ）。除了作为推导敏感度结果的主要工具外，我们认为该结果本身很有意义，可能用于进一步分析。第3节将给出结果的精确公式，并详细讨论如何将上述技术结合起来以实现这些结果。为了明确本文的目的，并将手头的问题与类似的问题区分开来，让我们将我们研究的公式精确化：我们将问题考虑得有限→∞T=0lnsup∏∈XEPU（πT）对于相对风险厌恶度大于1的常数投资者，即效用函数U（x）=xpp，p<0。具体而言，我们在对数尺度上计算导数的归一化不对称行为。这与优化长期增长率的问题不同，长期增长率是在对数尺度上对标准化的最优增长率进行优化，然后分析其敏感性。

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2022-6-24 03:34:01

虽然这两个问题都具有经济意义，但我们在本论文中重点关注第一类敏感性。1.2相关文献许多作者研究了最优长期投资问题：Fleming和McEneaney（1995）通过将其重新表述为有限时间范围内的风险敏感控制问题，解决了具有恒定相对风险厌恶的投资者的预期效用长期增长的优化问题。Guasoni和Robertson（2012）开发了一种方法d，以在不完全市场的一般扩散模型中为具有powerutility的投资者明确推导出最优投资组合。Liu和Muhle Karbe（2013）解释了如何使用随机控制和凸对偶计算最优投资组合。特别强调了导致特别容易处理结果的长期渐近性。Robertson和Xing（2015）研究了具有二次梯度的半线性Cauchy问题解的大时间行为。他们的分析直接应用于风险敏感控制和长期投资组合选择。固定时间范围内最优投资的敏感性分析也吸引了许多作者：Kramkov和S^irbu（2006）就初始资本或投资组合约束的微小变化对最优预期效用进行了敏感性分析。Larsen和71zitkovi\'c（2007）研究了在小扰动下完全和不完全市场中效用最大化的稳定性。它们确定了参数过程空间和解决方案空间上的拓扑结构，在此空间下效用最大化是一个连续的操作。Backhoff和Silva（2017）对一些参数化随机最优控制问题进行了一阶灵敏度分析。

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2022-6-24 03:34:04

他们的主要工具是随机庞特里亚金原理弱形式的伴随态与状态方程相关的拉格朗日乘子之间的一一对应。Larsen等人（2018年）研究了电力投资者价值函数的一阶近似值，其二阶误差在不完全金融市场的框架下进行了量化。Mostovyi和S^irbu（2017）研究了连续半鞅市场中最优预期效用对风险市场价格微小变化的敏感性。对于一般效用函数，他们推导出价值函数的二阶展开式、终端财富的一阶近似值，并构建交易策略。Mostovyi（2018）针对不完全市场模型中的数值小扰动，对预期效用最大化问题进行了敏感性分析，其中，在适当的数值下，股价过程由asigma有界半鞅驱动。作者还建立了价值函数的二阶展开式和最终财富的Firstorder近似。Monin和Zariphopoulou（2014）探讨了“希腊投资组合”，该组合衡量投资者的最佳财富对累积超额股票回报、时间和其他市场参数变化的敏感性。

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大多数88

2022-6-24 03:34:07

BackhoffeVeraguas和Silva（2018）研究了正p owertype效用函数的不完全塞缪尔森模型中最终财富效用最大化问题的模型参数敏感性问题，通过将最大化问题重新表述为弱紧集的凸分析支持函数。本文与u pon Park（2018）密切相关，并构建了u pon Park（2018），他研究了预期的长期敏感性-αRtθ（Su）duif对于基本随机过程S的扰动。在完全市场中，我们可以使用他的论文的结果，因为最优预期效用可以用这种形式的期望来表示，如第1.3节所示。然而，在不完全市场中，最优预期效用不能用上述形式表达，因此人们不能依赖于他的结果。我们必须在当前的论文中使用更先进和复杂的技术来处理不完全市场模型的情况。本论文的结构如下。在第1节的其余部分中，我们将讨论作为热身的完整市场模型的情况。第2 p节提供了模型的建立，并具体说明了市场模型和优化问题。本文的主要思想是在第3节中使用启发式论证提出的。在第4节中，我们展示了两个示例：Kim–Omberg模型和Heston模型。第5节讨论了效用最大化问题的对偶公式和Hansen–Scheinkman分解，以提供以下严格结果：第6节研究了与初始因子相关的敏感性，第7节研究了与漂移和波动性相关的敏感性。第8节总结了本文的结果。

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2022-6-24 03:34:10

附录中给出了证明和详细计算。1.3完整市场作为一个热身，本节讨论了完整市场中最佳预期效用的长期敏感性，如下所示：Park（2018）。他调查了预期的长期敏感性-αRtθ（Su）对实数α、连续函数θ和隐含资产过程s。我们表明，完整市场中的最佳预期效用可以表示为这种形式的预期，因此Park（2018）的结果直接适用。我们考虑以下市场模型：风险资产（如股票）的价格S满足DST=b（St）dt+（St）dWt，S=S，具有b和连续函数，正，因此此SDE具有唯一的非爆炸性强解。这里，过程W是物理概率测度P下的布朗运动。在不丧失一般性的情况下，我们假设短期利率为零，因此风险的市场价格为θt：=θ（St）=b（St）（St）。具有恒定相对风险厌恶的投资者1- p、 p<0，旨在最大化终端的预期功率效用（χ，T）：=sup∏∈XEP公司U（πT）=品脱∏∈XEP公司πpT. （1.2）根据电力效用的同质性，我们可以在不损失一般性的情况下假设初始资本。

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2022-6-24 03:34:13

让P*是uniquerisk中性度量，用LT表示FT上的Radon–Nikod'ym导数，即LT=dP*数据处理FT.众所周知，最佳投资组合价值为∏T=cT（U′）-1（LT），其中cTis是由预算约束t1=EP确定的常数*^∏T= cTEP*（U′）-1（LT）= cTEP*hL1/（p）-1） Ti。因此，最优预期效用为isEPU（^∏T）= EP公司UcTU\'-1（LT）=pcpTEPLp/（p）-1） T型=政治公众人物Lp/（p）-1） T型EP公司*L1/（p）-1） T型p=政治公众人物*L1/（p）-1） T型EP公司*L1/（p）-1） T型p=政治公众人物*L1/（p）-1） T型1.-p、这一预期可以用风险的市场价格来表示，因为氡-尼科德ym衍生工具LTisLt=e-RtθsdWs-Rtθsds=e-RtθsdW*s+Rtθsds，0≤ t型≤ T、带W*t： =重量+Rtθsds a P*-布朗运动。如果我们从P中定义一个度量值^P*使用Girsanov kernel1-pθt，thenEPU^∏T=政治公众人物*L1/（p）-1） T型1.-p=政治公众人物*he1-pRTθsdW*s+2（p-1） RTθsdsi1-p=p·E^Phep2（1-p） RTθsdsi1-p=pE^Phe-αRTθsdsi1-pwithα：=-p2（1-p）。S isdSt的P-dyn amics=b（St）+p（St）θ（St）1- pdt+（St）d^Wt（1.3），其中^W是一个^P-布朗运动。因此，最优预期效用的敏感性分析归结为V（s，T）：=E^Phe的敏感性分析-s=s的αRTθ（Su）dui（1.4），可使用Hansen和Scheinkman（2009）和Park（2018）的结果进行下垫过程（1.3）。从Hansen–Scheinkman分解中，可以找到定价算子PT的特征值和特征函数（λ，φ）（称为递归特征对），由PTφ（s）=e定义-λTφ（s），其中ptφ（s）=E^Phe-αRTθ（Su）duφ（ST）S=si。它们描述了v（s，T）的长期行为。具体而言，在某些假设下，limitlimT→∞v（s，T）e-λTφ（s）存在，且与s无关。

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大多数88

2022-6-24 03:34:16

对于长期初始值敏感性，可以显示Limt→∞sln v（s，T）=φ′（s）φ（s）。由此可以得出预期效用的实际敏感性sln公司U（s，T）=sln公司-pv1-p（s，T）= (1 - p）sln v（s，T）。对于p参数对漂移和波动的敏感性，设为漂移或波动中的扰动p参数，并用v（s，T）表示等式（1.4）中的相应期望。使用递归特征对族（λ，φ）>0，可以证明limt→∞T=0ln v（s，T）=-λ=0，通过乘以1，可以推断出实际预期效用的敏感性- p、我们强调，本节中的主要论点不能适用于不完全市场。我们的推理依赖于这样一个事实：在完全市场情况下，对偶优化问题是在单一风险中性度量上提出的，因此有一个平凡的解。这不能推广到描述一个不完整市场的因素差异模型，在这个不完整市场中，我们在许多风险中性指标上存在优化问题。在本节的其余部分中，我们将研究上述完整市场的一个示例。我们研究了当标的资产遵循Ornstein-Uhlenbeck过程时，最优预期效用的长期敏感性。在将商品建模为黄金、白银和石油时，经常会出现这种情况。假设资产遵循DST=（u- bSt）dt+dWt，S=S，（1.5），在实物计量下，短期利率为零。那么，风险的市场价格是θ（St）：=u- bSt，在物理度量和风险中性度量下连接两个布朗运动，viadW*t=dWt+θ（St）dt。我们想分析等式（1.4）中给出的值函数v（s，T）。

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2022-6-24 03:34:20

在这种情况下，对应于^P下资产价格动态的生成器由lφ（s）=φ′（s）+u给出- bs1- pφ′（s）- αθ（s）φ（s）和在e上可以表示-L为λ=b(√1.- p- 1)2(1 - p），φ（s）=e-像-Bs，其中=b(√1.- p- 1)(1 - p），B=-u(√1.- p- 1)(1 - p）。定理1.1。在公式（1.5）中的O rnstein–Uhlenbeck模型下，公式（1.2）中的最佳预期效用的长期敏感性是有限的→∞sln公司U（s，T）= (1 - p） φ′（s）φ（s）=-(1 - p）（As+B），极限→∞TulnU（s，T）= -(1 - p）λu=0，极限→∞Tbln公司U（s，T）= -(1 - p）λb=-√1.- p- 1，限制→∞TlnU（s，T）= -(1 - p）λ=0.2模型设置当前纸张的模型设置如下：让(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）是二维布朗运动（W1，t，W2，t）t的正则路径空间≥0、过滤（Ft）t≥0是（W1，t，W2，t）t自然过滤的通常完成时间≥测量值P称为物理测量值。风险资产的动态由以下随机微分方程（SDE）给出：dSt=b（Xt）Stdt+（Xt）StdW1，t，S=1，（2.1）dXt=m（Xt）dt+σ（Xt）dW1，t+σ（Xt）dW2，t，X=χ，（2.2），这是定义随机因素模型的典型方法。过程S和X分别描述了资产价格及其基础因素过程。五个函数m、σ、σ、b、和实数χ满足以下假设。让(l, r）在r中为的开放区间-∞ ≤ l < r≤ ∞.A 1。Letχ∈ (l, r）设m，σ，σ是(l, r）使得σ+σ>0。SDE（2.2）具有唯一炸药（即P[Xt∈ (l, r）对于所有t≥ 0]=1）强解X.A 2。函数b，是连续的，且严格为正(l, r）。在这些假设下，资产价格过程得到了很好的定义，可以写成asSt=eRt（b-）（Xs）ds+Rt（Xs）dW1，s.A 3。

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2022-6-24 03:34:23

对于每个固定时间T，在fts上存在一个概率测度，即贴现资产价格过程是[0，T]上的局部鞅。众所周知，这一假设相当于市场上没有套利，即没有免费午餐，风险消失（Delbaen和Schachermayer（1994））。在不丧失一般性的情况下，我们将假设短期利率为零，因此货币市场账户的价值始终为1。然后，风险的市场价格由θt=θ（Xt）=b（Xt）（Xt）给出。（2.3）投资者希望通过交易资产和货币市场账户，在终端时间T最大化其投资组合价值的预期效用。投资组合是一个S可积的可预测过程ψ。投资组合ψ的价值过程∏=ψ是∏t=π+ZtψudSu，0≤ t型≤ T、我们用X表示初始财富∏等于1的非负值过程族，即X={∏ψ≥ 0：ψ是一个投资组合，∏ψ=1}。（2.4）假设投资者具有恒定的相对风险厌恶1- p>1，即对应于其参考值的效用函数为负幂型u（x）=xpp，p<0。对于给定的初始资本，投资者的目标是最大化终端财富的预期价值，即sup∏∈XEP公司U（πT）=品脱∏∈XEP公司πpT. （2.5）由于投资者偏好的同质性，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设初始资本等于1。3启发性论点和主要结果本论文的主要目的是研究两种类型的对S和X扰动的长期敏感性。一种是对因子过程（2.2）初值χ=xO的敏感性，χlnsup∏∈XEP【U（πT）】. （3.1）另一类涉及五个函数m、σ、σ、b、的敏感性。

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2022-6-24 03:34:26

设m，σ1，，σ2，，b，为带摄动参数的摄动函数（有关精确定义，请参见第7.1节）。用S表示由这些扰动函数诱导的扰动资产过程，并考虑由扰动资产过程S生成的等式（2.4）给出的财富过程族X。感兴趣的敏感性是关于-扰动，=0lnsup∏∈XEP【U（πT）】.备注3.1。我们注意到，式（2.1）中的假设S=1并不限制结果的一般性。事实上，在因子模型中，最优预期效用与股票价格的初始值无关，因为股票的动态尺度是线性的。这与第1.3节中完整市场案例的结果相反，因为漂移和波动函数也取决于股价。接下来，我们将介绍如何通过调查论证的专业步骤来推导长期初始因素敏感性的主要想法。

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2022-6-24 03:34:29

技术细节归入第6节。（i）从效用最大化问题的对偶公式（Kramkov和Schachermayer（1999），细节将在第5.1节中进行调查），我们知道u（χ，T）：=sup∏∈XE[U（πT）]=pEP公司^YqT1.-p（3.2）对于一些非负超鞅Y和q：=- p/（1）- p）；定义nev（χ，T）：=EP^YqT= EP公司^YqTX=χ.（ii）式（3.1）中的灵敏度为χlnsup∏∈XEP公司U（πT）= (1 - p）χln v（χ，T），因此有必要评估χln v（χ，T）。（iii）函数v满足HJB方程（详情见第5.1节）。（iv）函数v可以用遍历HJB方程的解p air（λ，φ）（见等式（5.8））来近似，即e-λTφ（χ）渐近等于v（χ，T），直到一个常数因子，即v（χ，T） e-λTφ（χ）（其中我们使用旋转fT gTto表示极限→∞FTGT对于两个正函数fTand GT收敛为一个正常数）。为了得出这个结果，我们依赖于（iii）中导出的v的HJB表示。（v）通过对上述asymp totics进行偏导数，可以预期χln v（χ，T）φ′（χ）φ（χ）（3.3），这确实是本文的主要结果之一，在定理3.2中有详细说明。Park（2018）第3节提出了这种方法。（vi）为了使该渐近结果严格，需要控制误差项。这可以通过函数v的概率表示来实现，v（χ，T）=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi，对于概率测度Q和连续函数f。定理5.1给出了精确结果，证明依赖于Hansen–Scheinkman分解对当前上下文的适应性。

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可人4

2022-6-24 03:34:32

因此，通过直接取偏导数，我们得到χln v（χ，T）=φ′（χ）φ（χ）+χln EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi。在合理条件下，误差项χln EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsigoes为零，即T→ ∞ 我们得到了公式（3.3），即期望的结果。以下定理是关于初始因子灵敏度的主要结果。证据将在第6节给出。定理3.2。A ssume A1–10（在第2节和第5.1节中说明），此外，mapχ7→ 方程式φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=χiis连续可微，导数随着T收敛为零→ ∞. ThenlimT公司→∞χln v（χ，T）=φ′（χ）φ（χ）。（3.4）备注3.3。这一结果在精神上与Robertson和Xi ng的结果非常相似（Robertson和Xi ng，2015，公式（1.4）和T heorem2.11）。他们还讨论了式（3.4）中类型的渐近行为。然而，他们的方法以及所需的假设与当前的论文不同。对于论文的第二个主题，即对小扰动参数的敏感性，我们以同样的方式进行，并概述了论证的主要步骤；技术细节将在第7节中给出。（i’）–（iv’）对于每个，我们可以遵循关于初始因子的敏感性分析的应用程序。具体实施步骤（i）–（iv）如上所述，并相应地定义v（χ，T）和（λ，φ），我们得到v（χ，T） e-λTφ（χ）。（v’）通过对上述渐近进行偏导数，我们得到=0ln v（χ，T） -=0λ.

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2022-6-24 03:34:35

（3.5）（vi’）函数v（x，T）具有p rob ab bilistic表示v（χ，T）=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi。因此，通过取偏导数，它遵循t hatT=0ln v（χ，T）=-λ=0+T=0lnφ（χ）+T=0ln EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi。第二项变为零，为T→ ∞ 在合理条件下，误差项=0ln EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsivanishes as T→ ∞, 因此，我们得到等式（3.5）。定理3.4。假设B1-2，定理7.1中的条件（i）–（iii），此外，映射7→ 等式hφ（XT）eRTf（Xs，s；T）DSII在0时可连续微分=0EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi收敛为零→ ∞. ThenlimT公司→∞T=0ln v（χ，T）=-λ=0.4个示例在严格实施草图程序之前，我们想在本节中说明哪些结果可以在特定示例中实际实现。通过推导Kim–Omberg m odelof随机超额收益率和H eston随机波动率模型的显式公式，证明了我们方法的威力。4.1 Kim-Omberg模型在Kim-Omberg模型（Kim和Omberg（1996））中，资产价格S和随机超额收益X满足度dst=uXtStdt+StdW1，t，S=1，dXt=k（m- Xt）dt+σdZt，X=χ（4.1），对于具有相关参数ρ的相关布朗运动Wand Z∈ (-1, 1). 这里，反转参数p eed k、挥发度、σ为正，返回u、平均反转水平m为实数。通过设置σ=ρσ，σ=p1，将其纳入标准模型- ρσ和W2，t=√1.-ρZt-ρ√1.-ρW1，tso thatdXt=k（m- Xt）dt+σdW1，t+σdW2，t，X=χ。风险的市场价格为θt：=uXt。定义α=k+quσ，α=σ+σ1- q、 α=km，α=qα+q（1- q） αu/。andB=α- αα，C=α（α- α） αα，对于q是指数函数的对偶指数，q=-p1级-p、则递归特征对为λ=-αC+αC+σB，φ（x）=e-Bx公司-Cx。定理4.1。

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2022-6-24 03:34:38

在Kim–Omberg模型中，假设参数满足yk+quρσ+Bσ>0。（4.2）然后，式（3.2）中的最佳预期效用的长期敏感性由IMT给出→∞χlnU（s，T）= -(1 - p）（Bχ+C），极限→∞Tkln公司U（s，T）= (1 - p） αmα-α+ ααC- (1 - p）m级-α(α+ α)αC+（1- p） σB2α，极限→∞T百万U（s，T）=αα(1 - p） kC公司- 2(1 - p） kC，极限→∞TulnU（s，T）= -pσα（ρα- kρα- uσα)αα-pσ（ρα- qρ- uσ）2αα，极限→∞TlnU（s，T）=pquσα（ρα- kρα- uσα）α+puσ（ρα- kρ- uσ）2αlimT→∞TρlnU（s，T）= -αpC（k）- α)uσα(α- α)+ρσ(1 - q） α-kuσα+ αpC（k）- α)uσα(α- α)+2ρσ(1 - q） α-kuσα+pσB（k）- α)uσα(α- α)+2ρσ(1 - q） α,限制→∞TσlnU（s，T）= αpu（ρα- kρ- uσ)α(α- α)-1.- pσ+pu（kρ+uσ）αC- αpu（ρα- kρ- uσ)α(α- α)-2(1 - p） σ+pu（kρ+uσ）αC-puσρα- kρ- uσα(α- α)B、这些渐近结果的证明见附录D.4.2赫斯顿随机波动率模型中的赫斯顿模型（赫斯顿（1993）），资产价格S和随机方差过程X satisfydSt=uXtStdt+√XtStdW1，t，S=1，dXt=k（m- Xt）dt+σ√XtdZt，X=χ，对于相关参数ρ的相关布朗运动Wand Z∈ (-1, 1). 此处，逆转参数p eed k、平均逆转水平m、挥发度、σ为正，返回u为实数。假设felercondition 2km>σ，这确保X的零边界不可访问。通过设置σ=ρσ，σ=p1，将其纳入标准模型- ρσ和W2，t=√1.-ρZt-ρ√1.-ρW1，tso thatdXt=k（m- Xt）dt+σ√XtdW1，t+σ√XtdW2，t，X=χ。风险的市场价格为θt：=u√Xt。定义β：=k+quρσ，β：=qβ+q（1- qρ）uσ/，and b=（1- q）（β- β)(1 - qρ）σ。那么递归特征对是λ=kmB，φ（x）=e-Bx。定理4.2。在赫斯顿模型中，假设伐木条件2km>σ，k+quρσ>0。

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2022-6-24 03:34:41

（4.3）那么式（3.2）中的最佳预期效用的长期敏感性是有限的→∞χlnU（s，T）= -(1 - p） B，极限→∞Tkln公司U（s，T）= (1 - p） mB（kβ- 1），限制→∞T百万U（s，T）= -(1 - p） kB，限制→∞TulnU（s，T）=kmq（ρβ- kρ- uσ)(1 - qρ）σβ，极限→∞TlnU（s，T）=kmpuσB（ρβ- ρk- uσ)β(β- β），限制→∞TρlnU（s，T）= 九巴-pμσ（β- k） β（β- β） +2pρ1- qρ,限制→∞TσlnU（s，T）= 九巴2(1 - p） σ+pu（kρ+uσ- ρβ)β(β- β).这些渐近结果的证明见附录E备注4.3。式（4.2）和式（4.3）中的条件可确保过程X在与分析相关的度量下仍然是均值回复（详情在附录D和E中讨论）。该条件与这些模型中隐含波动率的长期分析中发现的条件类似，其中渐近区域取决于股票计量下的平均回归性质（参见，例如，（Forde和Jacquier，2011，Theorem2.1）和（Keller-Ressel，2011，第6.1节）。5效用最大化问题我们为第3节给出的启发式论证提供了数学背景。首先，我们讨论了效用最大化问题的对偶公式，并通过HJB方程的解对其进行了刻画。然后，我们引入了能描述长期问题的遍历HJB方程，并根据其特征对进行分析。最后，我们将Hansen–Scheinkmann分解推广到齐次马尔可夫过程中的时间泛函，为下面的敏感性分析奠定基础。在我们做出结论所需的精确假设的过程中。5.1对偶公式和HJB方程主要思想之一是采用K ramkov和Schachermayer（1999）中提出的效用最大化问题的du al公式。

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2022-6-24 03:34:44

我们回顾（见等式（2.5））效用最大化的首要问题issup∏∈XEP公司U（πT）这个原始问题与下列对偶公式有关，这是一个极小化问题∈是的V（YT）= infY公司∈是的-YqT/q, （5.1）其中q=-p1级-pis p和V（y）的共轭指数=-yqq是效用函数U的对偶共轭。这里，Y是Y=1的非负半鞅Y族，使得乘积（XtYt）t≥0是任何X的超级马丁格尔∈ 十、用^Y表示Y中的最优元素（Kramkov和Schachermayer（1999）中的定理2.2保证了该最优值的存在）和def（χ，T）：=EP^YqT= EP公司^YqTX=χ. （5.2）我们强调，h ereχ是因子过程的初始值。请注意，函数v不是实际的双值函数，而是它的常数倍数。这源于对对偶初始条件的规范化，这可以归功于幂函数yq的同质性。根据Larsen et al.（2018）中的公式（4.10），我们知道∏∈XE公司U（πT）=pv1-p（χ，T）（5.3），使式（5.11）中最优预期效用的长期增长率为→∞Tln公司sup∏∈XEP公司U（πT）= (1 - p）限制→∞Tln v（χ，T）。在某些条件下，我们可以将函数v描述为HJB方程vt的解=σ（x）+σ（x）vxx+supξ∈Rl（ξ，x）v+h（ξ，x）vx, v（x，0）=1（5.4），其中l（ξ，x）：=-q（1- q）θ（x）+ξh（ξ，x）：=m（x）- qθ（x）σ（x）- qξσ（x）。（5.5）此外，最佳元素^Y∈ 式（5.1）的Y可表示为^Yt=e-Rtθ（Xs）dW1，s-Rtθ（Xs）ds-Rt^ξ（Xs，s；T）dW2，s-Rt^ξ（Xs，s；T）ds，0≤ t型≤ T、（5.6）式中θ（Xt）：=b（Xt）（Xt）是风险的市场价格，^ξ（x，T；T）：=-σ（x）vx（x，T- t）（1）- q） v（x，T- t）（5.7）是HJB方程（5.4）的最优控制。

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2022-6-24 03:34:48

在适当的条件下，函数v可以用以下方程的解对（λ，φ）近似-λφ（x）=σ（x）+σ（x）φxx+supξ∈Rl（ξ，x）φ+h（ξ，x）φx（5.8），称为遍历HJB方程。值得注意的是，实数λ和函数φ可视为算子的特征值和特征函数-L其中Lφ=σ（x）+σ（x）φxx+supξ∈Rl（ξ，x）φ+h（ξ，x）φx.我们将在附录A中审查这些论点的动机和推导。我们对函数v和最优元素^Y的结构作出以下假设∈ 没有进一步的细节。有关有效条件和更详细的讨论，请参阅（Knispel，2012，第10-12页），（Hern’andez Hern’andez and Schied，2006，第4节）和（Kaise and Sheu，2009，第3节和第5节）。A 4。（5.2）给出的函数v（x，t）在x中可连续两次微分，在t中可连续一次微分，满足PDE（5.4）。A 5。式（5.1）的优化器^Y由式（5.6）给出。A 6。存在一个实数λ和一个满足式（5.8）的连续二次可微正函数φ，使得v（x，t）e-λtφ（x）→ C作为t→ ∞对于不依赖于x的正常数C，我们可以用更简单的方法表示函数v。根据式（5.2）、式（5.6）和A5，V（χ，T）：=EP^YqT= EP公司e-qRTθ（Xs）dW1，s-qRTθ（Xs）ds-qRT^ξ（Xs，s；T）dW2，s-qRT^ξ（Xs，s；T）ds= E^Pe-q（1-q） RT（θ（Xs）+^ξ（Xs，s；T））ds（5.9）其中^P是对FTD定义的asd^PdP=E的度量-qZ·θ（Xs）dW1，s- qZ·^ξ（Xs，s；T）dW2，sT（5.10），根据下文所述的A 7。X的^P-dyn amics isdXt=（m（Xt）- qθ（Xt）σ（Xt）- q^ξ（Xt，t；t）σ（Xt））dt+σ（X）d^W1，t+σ（Xt）d^W2，t对于a^P-布朗运动（^W1，t，^W2，t）。A 7。

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2022-6-24 03:34:51

对于等式（5.7）给出的函数^ξ，局部鞅E-qZ·θ（Xs）dW1，s- qZ·^ξ（Xs，s；T）dW2，st型0≤t型≤这是测度P下的真鞅。解对（λ，φ）描述了v（χ，T）对初始因子χ的长期行为，成熟度T为T→ ∞. 最优预期效用的长期增长率被定义为有限→∞Tln公司sup∏∈XEP公司U（πT）（5.11），可通过特征值λ来描述，因为-λ=极限→∞Tln v（χ，T）=1- plimT公司→∞Tln公司sup∏∈XEP公司U（πT）,由式（5.3）得出。遍历HJB方程（5.8）的最优控制是x的函数，因此我们用ξ表示*（x）。很容易检查ξ*由ξ给出*（x） =-σ（x）φx（x）（1- q） φ（x）（5.12）和等式（5.8）变为-λφ（x）=σ（x）+σ（x）φxx+h（ξ*（x），x）φx+l（ξ*（x），x）φ。（5.13）长期增长率可计算为-λ=极限→∞Tln E^PheRTl（ξ*（Xs），Xs）dsi。5.2 Hansen–Scheinkman分解本节受Hansen and Scheinkman（2009）中Hansen–Scheinkman分解的启发，并适应当前环境。他们研究了将时间齐次马尔可夫过程的乘性泛函分解为特征值指数、特征函数和误差项的乘积。在本节中，我们将他们的方法调整为时间不均匀马尔可夫情况。回想式（5.9），V（χ，T）=E^Phe-q（1-q） RT公司θ（Xs）+^ξ（Xs，s；T）ds公司X=χi（5.14），X的^P-dyn amics isdXt=（m（Xt）- qθ（Xt）σ（Xt）- q^ξ（Xt，t；t）σ（Xt））dt+σ（X）d^W1，t+σ（Xt）d^W2，t对于0≤ t型≤ 和二维^P-布朗运动（^W1，T，^W2，T）。我们假设以下条件：A 8。对于公式（5.7）和ξ给出的函数^ξ*由式（5.12）给出，局部鞅EqZ·ξ（Xs，s；T）- ξ*（Xs）d^W2，st型0≤t型≤这是测度^P下的真鞅。定义一个新的测度▄PTon FTbyd▄PTd^PFT=EqZ·^ξ（Xs，s；T）- ξ*（Xs）d^W2，sT、（5.15）为了简单起见，我们去掉了下标T，只写▄P。

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2022-6-24 03:34:54

X-isdXt的P-dyn-amics=m（Xt）- qθ（Xt）σ（Xt）- qξ*（Xt）σ（Xt）dt+σ（Xt）dW1，t+σ（Xt）dW2，twith二维^P-布朗运动dW1，tdW2，t=qξ*（Xt）- q^ξ（Xt，t；t）dt公司+d^W1，td^W2，t.由式（5.14）可知，V（χ，T）=E^Phe-q（1-q） RT（θ（Xs）+ξ*2（Xs））dse-q（1-q） RT（^ξ（Xs，s；T）-ξ*2（Xs））dsi=EPhe-q（1-q） RT（θ（Xs）+ξ*2（Xs））dse-q（1-q） RT（^ξ（Xs，s；T）-ξ*2（Xs））dsd^PdPi。定义：=φ（Xt）φ（χ）eλt-q（1-q） Rt（θ（Xs）+ξ*2（Xs））ds；0≤ t型≤ T、然后将It^o公式应用于M，并使用遍历HJB方程（5.13），可以检查mt=EZ·φ′（Xs）φ（Xs）σ（Xs）dW1，s+Z·φ′（Xs）φ（Xs）σ（Xs）dW2，st、 0个≤ t型≤ T、因此是▄P-局部鞅。A 9。当解对（λ，φ）为A6时，~P-局部鞅（Mt）为0≤t型≤这是一个真正的鞅。我们使用这个随机变量MTA作为Radon–Nikod\'ym导数来定义一个新的测量值，即isdPdPFT=MT.（5.16）该度量依赖于T，但我们在符号中抑制了对T的依赖性，如前所述。Thenv（χ，T）=e-λTφ（χ）EPhMTφ（XT）E-q（1-q） RT（^ξ（Xs，s；T）-ξ*2（Xs））dsd^PdPi=e-λTφ（χ）EPhφ（XT）e-q（1-q） RT（^ξ（Xs，s；T）-ξ*2（Xs））dsd^PdPi。过程dW1、tdW2、t= -φ′（Xt）φ（Xt）σ（Xt）φ′（Xt）φ（Xt）σ（Xt）！dt公司+dW1，tdW2，t是一个布朗运动，且X的P-dynamic为isdXt=m（Xt）- qθ（Xt）σ（Xt）- qξ*（Xt）σ（Xt）+φ′（Xt）φ（Xt）σ（Xt）+σ（Xt）dt+σ（Xt）dW1，t+σ（Xt）dW2，t。我们现在执行另一个度量变化，以更易于管理的方式表示函数v（χ，t）。在这样做之前，我们以不同的方式表示氡–Nikod'ym导数^Pd'Pin，以便于计算：d^Pd'P=eqRTξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）d^W2，s+qRT（ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T））ds=eqRTξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）dW2，s-qRT（ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T））ds=eqRTξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）dW2，s-qRT（ξ*（Xs）-ξ（Xs，s；T））ds+qRT（ξ*（Xs）-ξ（Xs，s；T））φ′（Xs）φ（Xs）σ（Xs）ds。我们需要一个额外的假设来证明这个论点是有效的：10。

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2022-6-24 03:34:58

局部鞅EqZ·ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）dW2，st型0≤t型≤这是一个真正的鞅。我们现在通过DQDP=E定义一个新的测量值QqZ·ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）dW2，sT、（5.17）该度量值Q依赖于T，但我们在符号中抑制了对T的依赖，如前所述。Thenv（χ，T）=e-λTφ（χ）EPhφ（XT）e-q（1-q） RT（^ξ（Xs，s；T）-ξ*2（Xs））dseqRT（ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T））φ′（Xs）φ（Xs）σ（Xs）dsdQdPi=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）e-q（1-q） RT（^ξ（Xs，s；T）-ξ*2（Xs））dseqRT（ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T））φ′（Xs）φ（Xs）σ（Xs）dsi=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）e-q（1-q） RT（ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T））dsi。（5.18）对于最后一个等式，我们使用公式（5.12）。X-isdXt的Q-动力学=m（Xt）- qθ（Xt）σ（Xt）- q^ξ（Xt，t；t）σ（Xt）+φ′（Xt）φ（Xt）σ（Xt）+σ（Xt）dt+σ（Xt）dB1，t+σ（Xt）dB2，t（5.19），其中dB1、tdB2、t=^ξ（Xt，t；t）- ξ*（Xt）dt公司+dW1、tdW2、t是一个Q-布朗运动。总之，我们可以用一种更简单的方式来表示函数v（χ，T）和X的动力学。以下理论源自等式（5.18）和等式（5.19）。定理5.1。A示例A1-10。然后函数v（χ，T）可以分解为v（χ，T）=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi（5.20）和X isdXt=κ（XT，T；T）dt+σ（XT）dB1，T+σ（XT）dB2，T，0的Q动力学≤ t型≤ T、其中f（x，T；T）=-q（1- q）ξ*（十）-^ξ（x，t；t）κ（x，t；t）=m（x）- qθ（x）σ（x）- q^ξ（x，t；t）σ（x）+φ′（x）φ（x）σ（x）+σ（x）. （5.21）备注5.2。理解上述定理的一种方法是考虑交换图(Ohm, F、 ^P）(Ohm, F、 Q）非遍历HJB（x漂移中的最优控制^ξ（x，t；t））(Ohm, F、 P）(Ohm, F、 P）遍历HJB（最优控制ξ）*（x）在x）dPd^PMT=dPdPdQdPTo的漂移中，为了能够用遍历HJB特征对来表示对偶值函数，我们首先要切换到一个度量^Punder，其基本扩散因子过程x的漂移与时间t和时间范围t无关。

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2022-6-24 03:35:00

在这个测度下，相应的HJB方程是遍历的，我们可以根据Hansen–Scheinkman意义上的关联特征对重写乘法泛函（即使乘法泛函中的函数依赖于时间范围T）。之后，我们可以切换回原始的、依赖于成熟度的漂移过程。只要所有度量变化都已明确，即相应的Radon–Nikod'ym导数为真鞅（见A8和A10），即可执行该程序，这意味着原始最优控制^ξ“离遍历”最优控制ξ并不太远*.函数v（χ，T）的长期渐近行为由v（χ，T）给出 e-λTφ（χ），因此，在式（5.20）中的分解中，期望eqhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）d可以理解为一个误差项。我们对长期敏感性的推导主要依赖于对该误差项的估计。6初始因子敏感性分析本节研究最优预期效用对初始因子χ=X的敏感性。使用公式（5.3）的双重公式，公式（3.1）中的初始值敏感性可表示为χlnsup∏∈XEP公司U（πT）= (1 - p）χln v（χ，T），因此我们对灵敏度感兴趣对于大时间T，χln v（χ，T）。OREM 3.2中描述了大时间T的灵敏度，其中指出χlnv（χ，T）渐近等于φ′（χ）φ（χ）。证据如下。定理3.2的证明。函数φ可通过A6连续区分。从式（5.20）中，应用链ru-le，我们得到v（χ，t）和χv（χ，T）v（χ，T）=φ′（χ）φ（χ）+χEQφ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds均衡器φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds.假设第二项的提名者为零，A6和Eq。（5.20）给出了收敛到一个正常数的分离器。

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能者818

2022-6-24 03:35:04

这就完成了证明。为了利用定理3.2和5.1，我们必须提供映射χ7→均衡器φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds是连续可微的，其导数在T时收敛到零→ ∞. 为了表示SDE（2.2）的解X对初始值X的依赖性，我们写Xx。假设几乎所有ω∈ Ohm 地图x 7→ Xxtis连续可微分和衍生过程（Yt）0≤t型≤T： =(Xxt型x） 0个≤t型≤T、这被称为波动过程，满足度DYT=κx（Xt，T；T）Ytdt+σ′（Xt）YtdB1，T+σ′（Xt）YtdB2，T，Y=1。（6.1）作为一种特殊情况，如果k（·，t；t）的导数在x和t中是连续的，对于固定的t，σ和σ与有界导数是连续可微的（详情请参见（Protter，2005，定理V.39））。提案6.1。除A1–10外，假设几乎所有ω∈ Ohm 地图x 7→ Xxtis持续差异，第一个变化过程（Yt）0≤t型≤Tsatis fies公式（6.1）和f是连续可区分的。假设存在χ的开放邻域Iχ和正常数u，v，w，其中u+v+w=1，满足以下条件。（i）作为两个变量（x，T）的函数，期望值Γu（x，T）=EQhφu（XT）euRTf（Xs，s；T）dsX=xi在Iχ×（0）上一致有界，∞).（ii）作为两个变量（x，T）的函数φ′（XT）φ（XT）vis一致有界于Iχ×（0，∞).（iii）作为两个变量（x，T）的函数，期望公式| YT；对于每个T，T | wis在Iχ上唯一有界，并在T时收敛到零→ ∞ 对于每个x∈ Iχ。（iv）预期EQZT | fx（Xs，s；T）Ys；T | dsm级对于每个T，在Iχ上一致有界，并在T时收敛到零→ ∞ 对于每个x∈ Iχ。这里，m=uu-1，即u+m=1。然后地图x 7→ 均衡器φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=X在Iχ上x连续可微，且xEQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=X在T时趋近于零→ ∞.证据

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可人4

2022-6-24 03:35:07

首先，我们观察到xEQ公司φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds= 均衡器φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsZTfx（Xs，s；T）Ysds-φ′（XT）φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsYT保持不变，导数是x的连续函数。可以通过互换导数和期望值来获得此等式，这是从等式φ（XT）′eRTf（Xs，s；T）dsYT+φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsZTfx（Xs，s；T）Ysds≤均衡器φ′（Xt）φ（Xt）eRTf（Xs，s；T）dsYT+ 均衡器φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsZTfx（Xs，s；T）Ysds≤Γu（x，T）u均衡器φ′（Xt）φ（Xt）vv（EQ | YT | w）w+Γu（x，T）u均衡器ZT | fx（Xs，s；T）Ys | dsm级Iχ上的mis一致界为（I）-（iv）。此外，同样的不等式给出了导数随着T变为零→ ∞.7漂移和波动的敏感性分析本节研究漂移和波动扰动的敏感性。本节中的论点类似于Park（2018）。7.1参数扰动我们提供了漂移和波动函数扰动的精确含义。B 1。设m，σ1，，σ2，，b，为变量（，x）中的连续函数∈ 对于0的邻域I，I×R使得它们在I上连续可微，m=m，σ1,0=σ，σ2,0=σ，b=b，σ=。B 2。对于每个∈ 一、函数m、σ1、、σ2、、b、满足A1-10。域(l过程X的A1中的，re）可能取决于，A6中的常数C也可能取决于。根据这些假设，我们可以构建以下对象。设X为SDEdXt=m（Xt）dt+σ1，（Xt）dW1，t+σ2，（Xt）dW2，t，X=χ与摄动参数的解。初始值χ不受干扰。我们用X表示扰动市场模型中允许投资组合的财富过程族。定义ev（χ，T）：=EP（^YT）q= EP公司（^YT）qX=χ其中，^Y是扰动市场中对偶问题的优化器。我们对灵敏度感兴趣=0lnsup∏∈XEPU（πT）对于长时间T。

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2022-6-24 03:35:10

从式（5.3）中的对偶公式中，我们知道可以通过评估=0ln v（χ，T）。通过使用指数度量，我们可以将这种灵敏度转换为类似于公式（5.20）的简单形式。Thenv（χ，T）=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi（7.1）和X isdXT=κ（T，XT；T）dt+σ1，XT）dB1，T+σ2，T，0的动力学≤ t型≤ t对于二维Q-布朗运动（B1，t，B2，t）t≥这里，函数f和κ定义为f（x，t；t）：=-q（1- q）ξ*（x）-^ξ（x，t；t）κ（x，t；t）：=m（x）- qθ（x）σ1，（x）- q^ξ（x，t；t）σ2，（x）+φ′（x）φ（x）σ1，（x）+σ2，（x）式中θ，^ξ，ξ*、φ是分别在方程式（2.3）、方程式（5.7）、方程式（5.12）和A6中为受扰动市场定义的函数。我们使用素数表示对x的导数。对于灵敏度分析，我们假设以下正则性条件。我们想要分离潜在扩散过程的扰动效应和应用于其的泛函。因此，我们定义了新的η，（χ，T）：=EQhφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsiso，v（χ，T）=e-λTφ（χ）w，（χ，T）。我们把这个函数称为误差项。定理7.1。除B1–2外，我们还假设以下条件：（i）两个函数7→ λ和7→ φ（χ）在I.（ii）偏导数上连续可微ηwη，（χ，T）存在并在I上连续。此外，limT→∞Tηη=0wη，0（χ，T）=0。（三）偏导数wη，（χ，T）存在并在I上连续。此外，limT→∞T=0w0，（χ，T）=0。那么扰动函数lnv（χ，T）在=0和T时是可微的=0ln v（χ，T）（7.2）=-λ=0+=0φ（χ）Tφ（χ）+=0EQφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsT当量φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds+=0EQφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsT当量φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds.此外，limT→∞T=0ln v（χ，T）=-λ=0. （7.3）证明。

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2022-6-24 03:35:13

定义IbyV上的函数V（，，，）：=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi=e-λTφ（χ）w，（χ，T），然后v（χ，T）=v（，，，）。链式法则给出了ln v（χ，T）在=0时的可微性，并允许我们写出等式（7.2）中的导数。因为等式（φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds）收敛到一个正常数，即T→ ∞ 作者：A6 andEq。（7.1），我们从条件（i）–（iii）和公式（7.2）中获得公式（7.3）。让我们更详细地讨论上述定理7.1中的条件（i）–（iii）。许多有财务意义的模型满足条件（i）。条件（ii）很容易检查，因为qhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi的连续差异性是一个标准的差异和整合问题。附录C中给出了一个更容易检查的条件，该条件足以暗示条件（ii），并用于计算第4节中的示例。条件（i）和（ii）可以逐案检查，因此我们不深入了解公式（7.2）的前三项。然而，由于条件（iii）涉及基础过程X和度量Q中的扰动，因此条件（iii）未得到解决，这两个过程和度量Q的分析并非微不足道。我们将提供一个充分条件，使条件（iii）在定理7.3和7.5中成立。对于这些参数敏感性的分析，以下X的Q-动力学表达式是有用的。让σ（·）：=qσ1，σ（·）+σ2，σ（·），σ（·）：=σ（·），并定义一个新过程B=（Bt）t≥0bydBt=σ1，（Xt）σ（Xt）dB1，t+σ2，（Xt）σ（Xt）dB2，t，B=0，那么B是一个Q-布朗运动，正如利维的特征所示。然后可以将X的Q-动力学写为dxt=κ（Xt，t；t）dt+σ（Xt）dBt。备注7.2。

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2022-6-24 03:35:16

如果我们考虑优化长期增长率所产生的预期效用的敏感性问题，即。，=0inf∏∈XlimT→∞Tln公司EP公司U（πT）,实际上，第7节中的所有结果都是正确的，只是假设较少。根据第5.1节末尾的讨论，在这种情况下，最佳值可以使用公式（5.14）中的函数v表示，只有ξ*式（5.12）中给出，而不是^ξ。在这种情况下，我们已经处于遍历状态，不需要对度量进行额外的更改。因此，需要假设A1–A7以及每个的A9∈ I其中，二维布朗运动▄W替换为^W。详见Fleming等人（2002）。7.2因子过程的漂移扰动在本节中，我们对m、b、的扰动进行了敏感性分析，但假设波动率函数σ1、=σ、σ2、=σ不受扰动。在测度Q下，扰动过程X的形式为dxt=κ（Xt，t；t）dt+σ（Xt）dBtso，即只扰动漂移项。我们的目标是分析wη，（χ，T）=在该漂移扰动下，EQhφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsi。假设κ在on I中连续可微，定义^φ（·）：=inf∈Iφ（·）（7.4）^f（·，t；t）：=辅助∈If（·，t；t）^g（·，t；t）：=sup∈我σ（x）κ（·，t；t）.我们考虑以下有界性假设；^φ（·）>0，^f（·，t；t）<∞ 和^g（·，t；t）<∞. 如果域位于(lB2中的，re）不依赖于，那么这三个函数总是满足这些有界条件，如果必要的话，可以用较小的间隔替换区间。定理7。3、除B1–2外，假设^φ（·）>0，^f（·，t；t）<∞, ^g（·，t；t）<∞ κ是连续可微的，f在I上是连续的。

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