通过Φ（·）=Φ定义两个函数Φ、F和一个过程ˇXl-1(·), F（·，t；t）=Fl-1（·），t；T,ˇXt：=l（Xt），设Φ：=Φ，F：=FandˇX：=ˇX。积分以固定常数c开始，因此，如果χ6=c，初始值ˇX=Rχcσ（u）du也会受到扰动。我们要分析的函数v（X，t）可以表示为v（χ，t）=e-λTφ（χ）EQh（ˇXT）eRTF（ˇXs，s；T）dsi。使用It^o公式，很容易在Q-动力学下显示thˇXt=γ（ˇXt）dt+dBt，ˇX=l（χ），其中γ（·）：=κl-1（·），t；Tσl-1(·)-σ′l-1(·).让你成为一个开放的社区l（χ） 定义wη，（ˇx，T）：=等式hΦη（ˇxT）eRTFη（ˇxs，s；T）dsX=xifor（η，，X，T）∈ I×I×U×[0，∞) 所以v（χ，T）=e-λTφ（χ）~w，l（χ），T.在这种情况下，我们得到以下定理。证明类似于定理7.2。定理7.5。除B1–2外，假设（，x）7→ σ（x）是两次连续可微分的。假设定理7.1中的条件（i）和下列条件。（i） 偏导数 ˇxwη，（ˇx，T）在I×I×U上存在并在（η，，ˇx）中连续。此外，limT→∞T ˇxˇx=l（χ） w0,0（ˇx，T）=0。（二）偏导数ηИwη，（η，，T）在I×I×U上存在并在（η，，x）中连续。此外，limT→∞Tηη=0wη，0l（χ） ，T= 0.（iii）偏导数在I×I×U上，wη，（η，，）存在并在（η，，x）中连续→∞T=0w0，l（χ） ，T= 那么，wη，（x，T）（因此ln v（x，T））在I和=0w，（χ，T）==0w，l（χ），T==0l(χ) · ˇxˇx=l（χ） w0,0（ˇx，T）+ηη=0wη，0l（χ） ，T+=0w0，l（χ） ，T.

（7.5）最后，limT→∞T=0ln v（χ，T）=-λ=0.该定理有一个重要的含义，即误差项w的波动敏感性是误差项的初值敏感性、函数敏感性和漂移敏感性的总和。上述定理中的条件（ii）是关于函数扰动的灵敏度，这与定理7.1中的条件（ii）相对应。上述定理中的条件（iii）是关于与定理7.1中的条件（iii）相对应的漂移的灵敏度，可以在第7.2节中以相同的方式进行分析。在特例c=χ中，我们可以限制上述定理中的条件（i），因为初值不受扰动。此外，式（7.5）可以写成=0w，（χ，T）==0w，（T）=ηη=0wη，0（T）+=0w0，（T）。8结论在本文中，我们对因子模型给出的不完全市场中最优投资组合的长期预期效用进行了敏感性分析。主要目的是确定长期敏感性，即基本因素模型的微小变化对最佳预期效用的长期影响程度。我们计算了两种灵敏度；第一个是初始因素敏感性。对于因子过程的初始值χ=xO，我们研究了χsup∏∈XEP公司U（πT）第二类是漂移和波动敏感性。对于扰动参数，考虑S=的扰动资产价格S和具有扰动资产模型的可容许投资组合财富过程族X。对于长期敏感性，我们感兴趣的是=0sup∏∈XEPU（πT）为了实现这一点，我们采用了几种技术。将原效用最大化问题转化为对偶问题。

然后，我们用HJB方程逼近对偶问题的解。最优期望效用的长期行为可以用相应遍历HJB方程的解对（λ，φ）来表征，我们证明了该解对决定了长期敏感性。对偶问题的解v可以分解为v（χ，T）=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi。我们将该表达式中的期望视为一个误差项，然后找到了该误差项可以忽略的充分条件。我们提供了几个市场模型的明确结果示例，如托卡斯蒂克超额收益的Kim–Omberg模型和赫斯顿随机波动率模型。确认Hyungbin Park由韩国政府（MSIT）资助的韩国国家研究基金会（NRF）资助（编号2018R1C1B5085491和2017R1A5A1015626）。参考文献J Backh o off和F J Silva。敏感性导致随机最优控制：拉格朗日观点。以赛姆。《控制、优化和变异演算》，23（1）：39–702017年。Julio Backho ff Veraguas和Francisco J Silva。不完全布朗市场模型中期望效用最大化的敏感性分析。《数学与金融经济学》，12（3）：387–4112018。安娜·巴托兹、马齐亚·德多诺和亚历山德罗·斯布埃尔兹。Kim和Omberg重访：du-ality应用程序蟑螂。《可能性和统计杂志》，2015年，2015年。FreddyDelbaen和WalterSchachermayer。资产定价基本定理的一般版本。MathematischeAnnalen，300（1）：463–5201994年。斯特芬·德里奇、安德烈亚斯·纽恩基尔奇和卢卡斯·斯普鲁奇。欧拉型方法，用于强逼近Cox–Ingersoll–Ross过程。《皇家学会学报A：数学、物理和工程科学》，468（2140）：1105–11152011。温德尔·H·弗莱明和威廉·M·麦克尼。

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梯度二次增长半线性方程解的大时间行为。《暹罗控制与优化杂志》，53（1）：185–212，2015年。遍历HJB方程的动机在本节中，我们推导了遍历HJB方程，并提供了A4–7的动机。这些假设源自动态编程原理。设M是所有渐进可测过程ξ的集合，使得rtξsds<∞ a、 每个t的s.然后V（x，t）=supY∈是的YqT公司= supξ∈墨菲-qRTθ（Xs）dW1，s-qRTθ（Xs）d s-qRTξsdW2，s-qRTξsdsi=supξ∈ME^Pheq（q-1） RT（θ（Xs）+ξs）dsiwered^PdPFT=E-qZ·θ（Xs）dW1，s- qZ·ξsdW2，sTde定义了一个由A7引起的鞅。X的^P-动力学isdXt=（m（Xt）- qθ（Xt）σ（Xt）- qξtσ（Xt））dt+σ（X）d^W1，t+σ（Xt）d^W2，t对于a^P-布朗运动（^W1，t，^W2，t）。我们将过程X视为状态变量，ξ视为控制变量。动态编程原理的标准参数表示，值functi onu（x，t）：=supξ∈ME^PXt=xheRTtl（ξs，Xs）dsisatis fiesut+（σ（x）+σ（x））uxx+supξ∈R{h（ξ，x）ux+l（ξ，x）u}=0，u（x，T）=1。（A.1）式（A.1）的最优控制由^ξ（x，t；t）=-σ（x）ux（x，t）（1- q） u（x，t）。考虑时间0的初始条件，v（x，t）=supξ是很方便的∈ME^PX=xheRtl（ξs，Xs）dsi。我们从马尔可夫性质yv（x，t）=supξ知道∈ME^PX=xheRtl（ξs，Xs）dsi=supξ∈ME^PXT-t=xheRTT-tl（ξs，Xs）dsi=u（x，T- t） 。函数v（x，t）满足度vt=（σ（x）+σ（x））vxx+supζ∈R{l（ζ，x）v+h（ζ，x）vx}，v（0，x）=1。（A.2）式（A.2）的最优控制由^ζ（x，t；t）=-σ（x）vx（x，t）（1- q） v（x，t），很明显^ξ（x，t；t）=^ζ（x，t- t；T）=-σ（x）vx（x，T- t） （1）- q） v（x，T- t） ，这激发了假设5和等式（5.7）。遍历HJB方程有助于获得增长率-λ和了解最优函数^ξ的行为。

启发式地，取v（t，x）=e-λtφ（x）在式（5.4）中，我们有-λφ（x）=（σ（x）+σ（x））φxx+supζ∈R{l（ζ，x）φ+h（ζ，x）φx}。这是一种特征值/特征函数问题。未知是一对（λ，φ），解对通常不是唯一的。A6假设此遍历HJB方程的特定解对（λ，φ）近似于方程（5.2）中定义的函数v，这也是原始HJB方程（5.4）的解。许多作者讨论了这一假设的充分条件。请参阅Knisp el（2012）中的假设4.1和Flem ing and d Mceney（1995）中的定理3.3。B定理7.3的证明定理7.3的证明依赖于以下命题，其证明相当冗长乏味。我们回顾了inEq中定义的函数^φ、^f和^g。(7.4). 该命题的证明类似于Park（2018）中命题A.1的pro，但为了完整性，我们在此提供证明。提案B.1。除B1–2外，假设^φ（·）>0，^f（·，t；t）<∞, ^g（·，t；t）<∞ κ是连续微分的，f在I上是连续的。固定T>0，并假设以下条件。（i） 存在一个大于0的实数，即x，s；T）dsiis定义。（二）存在实数v≥ 2和大于0的su ch thatEQZT^gv+（Xs，s；T）dsis定义。（iii）函数^Γu（T）：=等式^φu（XT）euRT^f（Xs，s；T）ds当u=vv时为有限值-1，即u+v=1，对于（ii）中的v。然后，对于给定的（χ，T），偏导数wη，（χ，T）存在且wη，（χ，T）=EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds= 等式φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZTl（Xs，s；T）dBs（B.1）其中l（x，t；t）：=σ（x）κ（x，t；t）。此外，对于给定的（χ，T），导数在（η，）上是连续的。证据由于这个命题的证明相当复杂，我们分为几个步骤。

我们表示l（x，t；t）：=l（x，t；t）。（一） 我们证明了公式（B.1）的=0，即，=0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds= 均衡器φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZTl（Xs，s；T）dBs（B.2）这种平等性将通过以下4个子步骤来证明。（a） 首先，我们展示=0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds= lim→0EQφη（XT）eRTfη（Xs.s；T）dsZTZsl（Xs，s；T）dBs对于函数l和下面定义的正鞅Z。（b） 我们证明了积分(l（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））DBS在Lvas中归零→ 0。（c）证明了积分Rt（Zs- 1)l（Xs，s；T）dbs在Lvas中归零→ 0。（d）我们证明了步骤（b）和（c）implylim→0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT（Zsl（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dBs= 0，给出等式（B.2）。（I I）使用步骤（I）的结果，我们证明了任意的公式（B.1）∈ 一、 （I II）我们证明了导数在I上是连续的，这可以通过显示Ht收敛于HTin Lvas得到→ 0，式（B.7）中定义了H和H。我们首先执行以下子步骤s.（a），显示ZT(ll）（Xs，s；T）ds·ZT→ 0英寸Lvas→ 0.（b）我们证明ZTl（Xs，s；T）dBs·ZT→ZT公司l（Xs，s；T）dBsin Lvas→ 0、步骤（I）–（a）。我们首先将公式（B.1）表示为=0。定义函数l（x，t；t）由l（x，t；t）=κ（x，t；t）-κ（x，t；t）σ（x）如果6=0，σ（x）=0κ（x，t；t）i f=0，因此κ（x，t；t）=κ（x，t；t）+l（x，t；t）σ（x）。从定义l（x，t；t），很明显l（x，t；t）=l（x，t；t）=l（x，t；t）。根据中值定理，我们得到|l（x，t；t）|≤ ^g（x，t；t）。对于||≤ /2，定义：=dQdQ=EZ·l（Xt，t；t）dBtT、 那么这个局部鞅过程（ZT）0≤t型≤这是一个鞅，因为Novikov条件被条件（i）满足。

然后我们就有了那个eqφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds= 均衡器φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT.从equalityZt- 1=ZTZsl（Xs，s；T）dbs由公式推导得出，如下所示=0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds==0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT= lim→0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT- 1= lim→0EQφη（XT）eRTfη（Xs.s；T）dsZTZsl（Xs，s；T）dBs. （B.3）步骤（I）–（B）。我们证明了积分(l（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））DBS在Lvas中归零→ 由Burkholder-Davis-GundyInquality和Jensen-ine质量，EQZT公司(l（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dBsv≤ cvEQ公司ZT公司(l（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dsv/2≤ cvTv-1EQZT|l（Xs，s；T）-l（Xs，s；T）| vds对于Burkholder-Davis-Gundy不等式中的一些正恒量cv。因为|l-l|v≤ 2伏|l| v+|l|v≤ 2v+1^gv且条件（ii）成立，我们可以应用Lebesgue支配的收敛定理，这意味着ztl（Xs，s；T）-l（Xs，s；T）DBS在Lvas中收敛到零→ 0、步骤（I）–（c）。我们现在显示zt（Zs- 1) l（Xs，s；T）dbs在Lvas中收敛到零→ 0.选择一个足够大的正数m，使m+1+v<1，并且mv是一个正整数，其中由条件（i i）给出。记住v≥ 2、接下来是ZT（Zs- 1) l（Xs，s；T）dBsv≤ cvEQ公司ZT | Zs- 1||l|（Xs，s；T）dsv/2≤ cvTv-1EQZT | Zs- 1 | v|l| v（Xs，s；T）ds≤ cvTv-1.EQZT | Zs- 1 | mvdsm级EQZT公司|l| v+（Xs，s；T）ds 11+v≤ cvTv-1.EQZT | Zs- 1 | mvdsm级EQZT^gv+（Xs，s；T）ds 11+v.第二项由条件（ii）确定。现在，我们证明第一个期望收敛为零→ 0、考虑（Zt- 1） mv=mvXi=0mvi公司(-1） 中压-i（Zt）i。

（B.4）没有足够的证据表明EQRT（Zt）idt收敛于t as→ 0表示i=1，2，···，mv，因为eEqzt（Zs- 1） mvds=mvXi=0mvi公司(-1） 中压-iEQZT（Zs）idt-→ TmvXi=0mvi公司(-1） 中压-i=0。为了证明这一点，我们将Lebesgue支配的收敛定理应用于EQRT（Zt）idt=RTEQ（Zt）idt：我们证明了（Zt）i小和0的Is一致有界≤ t型≤ T和该等式（Zt）i当固定t的变为零时，收敛到1。观察等式（Zt）i= EQexpiZt公司l（Xs）dBs-iZt公司|l|（Xs）ds= EQexpiZt公司l（Xs）dBs- iZt公司|l|（Xs）ds· 经验值i（i- 1/2）Zt|l|（Xs）ds≤EQexp2iZtl（Xs）dBs- 2iZt|l|（Xs）ds·EQexpi（2i- 1） Zt|l|（Xs）ds≤EQexpi（2i- 1） Zt|l|（Xs）ds≤EQexpi（2i- 1） Zt^g（Xs）ds≤EQexpZT^g（Xs）ds, （B.5）这是由假设（i）确定的。这里，对于第二个不等式，我们使用正的局部鞅exp2iZtl（Xs）dBs- 2iZt|l|（Xs）ds0≤t型≤这是一个超级马丁格尔。因此，对于小和0≤ t型≤ T、 术语EQ（Zt）i很好地由（EQexp）限定RT^g（Xs）ds）.现在我们证明（Zt）i当固定t的变为零时，收敛到1。我们将把Lebesgue支配的收敛定理应用到xpi（2i- 1） Zt^g（Xs）ds当归零时。使用等式（B.5）中的最后一个不等式，这由exp控制Zt^g（Xs）ds,他们的期望是有限的，因此我们知道eqexpi（2i- 1） Zt^g（Xs）ds归零时收敛到1。1=等式i nf→0（Zt）ii≤ l im inf→0EQ（Zt）i≤ lim sup→0EQ（Zt）i≤ lim→0EQexpi（2i- 1） Zt^g（Xs）ds= 1.（B.6）这会得到所需的结果。步骤（I）–（d）。从公式（B.3）中，为了显示公式（B.2），需要对thatlim进行验证→0EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT（Zsl（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dBs= 根据条件（iii），^u（t）=等式^φu（XT）euRT^f（Xs，s；T）ds对于1/u+1/v=1的u，通过H¨older不等式，它足以显示zt（Zsl（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dBs→ 0英寸Lvas→ 0

观察ZT（Zsl（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dBs=ZT（Zs- 1)l（Xs，s；T）dBs+ZT(l（Xs，s；T）-l（Xs，s；T））dBs。上述步骤（b）和（c）意味着右侧的两个项收敛到ze r o as→ 0、步骤（II）。现在，我们证明公式（B.1）对于任何∈ 一、 固定∈ I并选择一个小的开放区间J，以便+J 一、 我们引入另一个变量来重写导数EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds=h类h=0EQ+hφη（X+hT）eRTfη（X+hs，s；T）ds.我们可以把h看作一个微扰参数。很容易证明扰动函数m+h，σ1，+h，σ2，+h，b+h，v+h具有扰动参数h∈ J满足这个命题的假设。例如，suph∈Jσ（x）·κ+h（x）h类≤ sup∈我σ（x）·κ（x）≤ ^g（x）。因此，通过将步骤（I）应用于扰动参数h，我们得到h类h=0EQ+hφη（X+hT）eRTfη（X+hs，s；T）ds= 等式φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZTl（Xs，s；T）dBs,哪里l（x，t；t）=σ（x）h类h=0κ+h（x，t；t）=σ（x）κ（x，t；t）。这给出了公式（B.1），用于任何∈ 一、 步骤（III）。我们证明了导数EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsI上的（η，）连续。使用与St ep（II）中相同的参数，可以显示（η，）=（0，0）处的连续性。我们知道EQφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds= 等式φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZTl（Xs，s；T）dBs= 均衡器φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT公司l（Xs，s；T）dBs- ZT(ll）（Xs，s；T）dsZT为方便起见，我们定义：=ZT公司l（Xs，s；T）dBs- ZT(ll）（Xs，s；T）dsZT；HT：=HT。（B.7）因此，我们想证明它为（η，）→ （0，0），等式φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsHT→ 均衡器φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsHT.由于η上的1/φη和fη的一致有界性，Lebesgue支配的收敛定理m暗示了条件（iii）∈ Iφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds→φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsin Luasη→ 0、必须证明Ht收敛于HTin Lvas→ 0

这可以通过以下两个步骤实现。步骤（III）–（a）。我们证明了ZT(ll）（Xs，s；T）ds·ZT→ 0英寸Lvas→ 0.这是从公式ZT公司(ll）（Xs，s；T）ds·ZTv≤ 均衡器ZT^g（Xs，s；T）dsv·（ZT）v≤均衡器ZT^g（Xs，s；T）ds2伏1/2均衡器（ZT）2v1/2.期望EQRT^g（Xs，s；T）ds2von右侧sid e由条件（ii）和期望等式确定（ZT）v是由常数统一绑定在I上的EQexp（RTg（Xs）ds）我们使用相同的参数推导公式（B.5）。步骤（III）–（b）。我们证明ZTl（Xs，s；T）dBs·ZT→ZT公司l（Xs，s；T）dBsin Lvas→ 0、选择一个足够大的正数m，使m+1+v<1，mv是一个正整数，其中由条件（i i）给出。这足以说明→ 0ZTl（Xs，s；T）dBs→ZT公司l（Xs，s；T）dBsin Lv+（B.8）和ZT→ 1英寸Lmv。（B.9）等式（B.8）从条件（ii）中获得。式（B.9）来自式（B.4），且lim→0EQ[（Zt）i]=1表示0≤ 我≤ mv显示inEq。（B.6）。现在我们将注意力转移到定理7.3。证据如下。定理7.3的证明。根据命题B.1，必须表明→∞TEQ公司φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsZTl（Xs，s；T）dBs= 通过H¨older不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式和Jensen不等式，我们知道φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsZTl（Xs，s；T）dBs≤T^Γu（T）u均衡器ZT公司l（Xs，s；T）dBsvv≤c′T^Γu（T）u均衡器ZT公司l（Xs，s；T）dsvv≤c′T^Γu（T）u均衡器ZT^g（Xs，s；T）dsvv≤ Burkholder-Davis-Gundy不等式中正常数c′的c′^Γu（T）uh（T）vf。对于最后一个不等式，我们在定理7.3中使用d（ii）。作为l imT→∞h（T）=0且^Γu（T）在T中一致有界，我们得到了期望的结果。C关于定理7.1中条件（ii）的注释本节讨论了分析导数的方法ηwη，（x，T），这有助于检查定理7.1中的条件（ii）。

附录和讨论的具体示例将基于以下命题。提案C.1。假设φη和fη在I上的η中连续可微。固定T>0并假设以下条件；（i） 存在一个函数g（·，·；T），使得rtg（Xs，s；T）ds<∞ a、 美国和ηfη（x，t；t）≤ g（x，t；t）表示所有η∈ 一、 x个∈ (l, r） 和0≤ t型≤ T、 （ii）存在一个随机变量GT，使得EQ[GuT]<∞ 对于某些u>1等φηηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds+φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZTηfη（Xs，s；T）ds公司≤ GT适用于所有η∈ 一、 那么ηwη，（x，T）=等式ηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds和ηwη，（x，T）在（η，）上是连续的。通过直接计算，可以得出ηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds=φηηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds+φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsηZTfη（Xs，s；T）ds=φηηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds+φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZTηfη（Xs，s；T）ds。条件（i）用于最后一个等式，以便使用莱布尼兹积分规则交换微分和积分。观测值η，（x，T）=等式φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds= 均衡器φη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT.根据（ii），莱布尼兹积分规则规定ηwη，（x，T）存在且ηwη，（x，T）=等式ηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT.Ican的连续性可以证明如下。使用与命题B.1证明步骤（II）中相同的参数，可以显示原点（η，）=（0，0）处的连续性。选择一个非常大的偶数整数v和一个非常小的u>1，使1/u+1/v=1。定义ηT：=ηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds; AT：=AT，我们声称等式[AηTZT]→ 等式[ATZT]as（η，）→ (0, 0). 使用不等式公式[AηTZT]- EQ[ATZT]≤公式[AηT（ZT- ZT）]+公式[（AηT- AT）ZT]≤（等式AηTu） 1/u（等式| ZT- ZT | v）1/v+（等式AηT- 在u） 1/u（EQ | ZT | v）1/v自| AηT |≤ GTand EQ[肠道]<∞, 这足以说明ZT→ ZTin Lvas→ 0

这通过公式（B.4）和lim→0EQ[（ZT）i]=1表示0≤ 我≤ v，如等式（B.6）所示。最后，Girsanov定理给出ηwη，（x，T）=等式ηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）dsZT= 等式ηφη（XT）eRTfη（Xs，s；T）ds.D金姆博格模型附录D讨论了第4.1节中提出的金姆博格模型的细节，并显示了本文主要部分所做的假设在此模型中得到了满足。众所周知，假设A1-3满足Kim-Omberg模型。我们将模型重新命名为inEq。（4.1）并调查相应的目标SV（t，t），^ξ，（λ，φ），ξ*, f、 κ，Q。式（5.5）中的函数l（ξ，x）和h（ξ，x）arel（ξ，x）=-q（1- q）ux+ξ, h（ξ，x）=km-k+q|∑x个- qσξ。HJB方程（5.4）在这种情况下读取vt=σvxx+supξ∈R{l（ξ，x）v+h（ξ，x）vx}=σvxx+公里数-k+q|∑x个vx公司-q（1- q） uxv+qσ2（1- q） v（x，0）=1的VxV。这里，我们使用上述HJB方程的上确界在ξ=-σ1 - qvxv。该HJB方程的解对应于方程（5.2）中的函数v（c.f.（Battauz et al.，2015，引理3）），可以表示为v（x，t）=e∧（t）-β（t）x-γ（t）x，其中系数求解以下微分方程组：β′（t）=-αβ（t）- 2αβ（t）+q（1- q） u，β（0）=0，γ′（t）=-（α+αβ（t））γ（t）+αβ（t），γ（0）=0，∧′（t）=αγ（t）- αγ（t）-σβ（t，∧（0）=0。（D.1）α=k+quσ，α=σ+σ1- q、 α=km，α=qα+q（1- q） αu/。因此，假设A4成立。第一个方程是标准Riccati方程，其解β（t）=q（1- q） （1- e-2αt）α+α+（α- α） e类-2αt.（D.2）给定β，等式（D.1）的第二个方程是一阶常微分方程，可以轻松求解。溶液为γ（t）=αu（t）Ztβ（s）u（s）ds，其中u（t）=eRt（α+αβ（s））ds。式（5.7）^ξ（x，t；t）=-σvx（T- t、 x）（1- q） v（T- t、 x）=σ1- qβ（T- t） x+γ（t- t）（D.3）获得。

使用该优化器，假设A5满足（Battauz et al.，2015，Eq.（26））。现在，我们将尝试转移到遍历HJB方程（5.8）。直接计算表明φ（x）=e-Bx公司-Cx，系数b=α- αα，C=α（α- α） αα是遍历HJB方程（5.8）的解。很容易证明β（t）→ B、 γ（t）→ C和∧（t）t→ -λ为t→ ∞, 因此，假设a6成立。操作温度控制ξ*由ξ给出*（x） =-σφx（x）（1- q） φ（x）=σ1- qBx+C. （D.4）对于本节的其余部分，我们表明假设A7–A10是满足的。命题D.1。对于Kim–Omberg模型A7，也就是局部鞅E-qZ·XsdW1，s- qZ·^ξ（Xs，s；T）dW2，st型0≤t型≤这是测度P证明下的真鞅。为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。回想一下dxt=k（m- Xt）dt+σdW1，t+σdW2，t，X=χ。使用Klebaner和Liptser（2014）中的概念，我们得到（x）=k（m- x） bt（x）=（σ，σ），σt（x）=-qux，-q^ξ（x，t；t）,所以kσt（x）k=qux+^ξ（x，t；t）,Lt（x）=2k（m- x） x+σ，Lt（x）=-2倍-公里数+k+q|∑x+qσ^ξ（x，t；t）+ σ.使用公式（D.3）和β（T- t） 和γ（t- t） 是t中的有界函数，在[0，t]上，一个c可以找到一个正r>χ=x，这kσt（x）k+Lt（x）+Lt（x）≤ r（1+x）。这意味着满足了Klebaner和Liptse r（2014）中定理8.1的假设，因此我们得到了期望的结果。现在，通过等式（5.10）和X isdXt=（km）的^P-dynamics很好地定义了度量值^P- （k+q|∑）Xt- qσ^ξ（Xt，t；t））dt+σd^W1，t+σd^W2，t.命题d.2。对于Kim–Omberg模型A8，也就是局部鞅EqZ·^ξ（Xs，s；T）- ξ*（Xs）d^W2，st型0≤t型≤这是测度^P.证明下的真鞅。为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。

该证明类似于命题D.1的证明，因此我们只陈述了相应的函数，即（x）=km- （k+q|∑）x- qσ^ξ（x，t；t），bt（x）=（σ，σ），σt（x）=0，q（^ξ（x，t；t）- ξ*（十）,很容易验证Klebaner和Liptser（2014）中定理8.1的假设是否满足。现在，通过等式（5.15）和X isdXt的P-dynamics可以很好地定义度量值P=公里数- （k+q|∑）Xt- qσξ*（Xt）dt+σdW1，t+σdW2，t=公里数-qσC1- q-k+quσ+qσB1- qXt公司dt+σdW1，t+σdW2，t，X=χ。提案D.3。对于Kim–Omberg模型，A9适用，即过程M=E-Z·（BXs+C）σdW1，s-Z·（BXs+C）σdW2，st型0≤t型≤这是测度P证明下的鞅。为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。该证明类似于命题D.1的证明，因此我们只陈述了相应的函数，即（x）=km-qσC1- q-k+quσ+qσB1- qx、 bt（x）=（σ，σ），σt（x）=-σ（Bx+C），-σ（Bx+C）,很容易验证Klebaner和Liptser（2014）中定理8.1的假设是否满足。现在，通过公式（5.16）和X isdXt=km的P-dynamic很好地定义了度量值P-σ+σ1 - qC-k+q|∑+σ+σ1 - qBXt！dt+σdW1，t+σdW2，t，（D.5），这也是带有r e参数化的OU过程。提案D.4。对于Kim–Omberg模型A10，也就是局部鞅EqZ·ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）dW2，st型0≤t型≤这是一个真正的鞅。证据为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。

该证明类似于命题D.1的证明，因此我们只陈述了相应的函数，即（x）=km-σ+σ1 - qC-k+q|∑+σ+σ1 - qBx、 bt（x）=（σ，σ），σt（x）=0，qξ*（十）-^ξ（x，t；t）,很容易验证Klebaner和Liptser（2014）中定理8.1的假设是否满足。现在，测量值Q由公式（5.17）定义，X的Q动态为X isdXt=公里数- Cσ-qσ1- qγ（T- t）-k+quσ+Bσ+qσ1- qβ（T- t）Xt公司0的dt+σdBt（D.6）≤ t型≤ T式（5.21）中的函数f和κ为f（x，t；t）=-qσ2（1- q）B- β（T- t）x个+C- γ（T- t）（D.7）和κ（x，t；t）=km- Cσ-qσ1- qγ（T- t）-k+quσ+Bσ+qσ1- qβ（T- t）x、 D.1可积条件下面我们证明了可积条件，这将在下一节的分析中需要。引理D.5。设θ，σ为两个正常数，W为布朗运动。定义Zt=σe-θtRteθsdWsfor t≥ 0，这是SDEdZt=-θZtdt+σdWt，Z=0。对于任何α>0且δ<αθσ的情况，期望值E[EδE-αTRTeαsZsds]对于T一致有界≥ 0.证明。如果δ≤ 0，则有界性是平凡的，因为指数为负。假设0<δ<αθσ。利用变量u=eαs的变化，我们得到δe-αTZTeαsZsds=eαT- 1ZeαTδα（1- e-αT）Z（lnu）/αdu。从J ensen不等式可以得出eδe-αTRTeαsZsds≤eαT- 1ZeαTeδα（1-e-αT）Z（lnu）/αdu≤eαT- 1ZTαeαseδαZsds。随机变量zs正态分布，平均值为0，方差σ2θ（1- e-2θt）。因此，对于0<δ<αθσ，期望E[EδαZs]在0上有界≤ s<∞. 设C为正数，使得E[EδαZs]≤ C代表所有0≤ s<∞. 下面是e[eδe-αTRTeαsZsds]≤eαT- 1ZTαeαsE[eδαZs]ds≤CαeαT- 1ZTeαsds=C，这给出了所需的结果。我们引入速记ζt=ζ（Xt，t；t）=ξ*（Xt）-^ξ（Xt，t；t）避免一个非常重的表达式。

根据（D.5），X满意度DxT的P动态=ααα- αXtdt+σdW1，t+σdW2，t这是一个重新参数化的OU过程。引理D.6。对于任何δ<（1- q） ασσ（α+α）（α- α） ，期望EP[eδRTζ（Xs，s；T）ds]在T中一致有界≥ 0.证明。定义a：=α/α，过程W：=σW+σWso，过程X满足dxt=α（a- Xt）dt+σdWt，X=χ。此SDE的解为xt=χe-αt+a（1- e-αt）+Zt，其中Zt=σe-αtRteαsdWs。从式（D.3）和（D.4）可以看出，ζ（x，t；t）=ξ*（十）-^ξ（x，t；t）=σ1- q（B）- β（T- t） ）x+C- γ（T- t）很容易证明| B- β（t）|≤2α(α- α） α（α+α）e-2αt，| C- γ（t）|≤ 总工程师-2αt（D.8）对于某些正常数c。对于第二个不等式，我们观察到→∞γ（t）- 总工程师-2αt=极限→∞αRtβ（s）u（s）ds- Cu（t）u（t）e-2αt=极限→∞(α- Cα）（β（t）- B） （α+αβ（t）- 2α）e-2αand极限收敛到一个非零常数。这里，我们使用αB- C（α+αB）=0，L\'H^opital的rul e和等式（D.2）。然后ζ（x，t；t）≤ 总工程师-4α（T-t） x+（常数）e-4α（T-t） x+（常数）e-4α（T-t） 式中C：=2σα（α- α)(1 - q） α（α+α）。期望EP[eδRTζ（Xs，s；T）ds]的大时间行为仅取决于最高阶项ce-4α（T-t） Xt。使用thatXt≤ Zt+x+a，必须证明对于这样的δ-4αTRTe4αsZsdsis在T中一致有界≥ 引理D.5给出了这个期望在T中是一致有界的≥ 如果δc<4ασ，则为0，从而得出所需的结果。引理D.7。有正数c和r>1，因此对于任何T≥ 0和任何非负路径函数hEQ[h（X·∧T） ]≤ cEP[小时（X·∧T） ]我们强调，正常数c和r d不随时间T而变化≥ 0和非负函数h.证明。我们可以首先找到一个正δ，使得EPEδqRTζsds在T中一致有界≥ 0，使用引理D.6。

选择r>1和r>1，使δ=r（r- 1） ，并通过r+r+r=1定义r>1。式[h（X·∧T） ]=EPhh（X·∧T） eqRTζsdW2，s-qRTζsdsi≤EP[小时（X·∧T） ]r以弗所-1） qRTζsdsirEPherqRTζsdW2，s-rqRTζsdsir、 最后一项是正局部鞅，因此期望值小于或等于1。它遵循等式[h（X·∧T） ]≤EP[小时（X·∧T） ]rEP【eδqRTζsds】r第二项EP[eδqRTζsds]统一有界于T≥ 选择δ取0。这将得到所需的结果。引理D.8。对于任何δ>0的情况，期望值eq|XT |δ在（x，T）上（χ）一致有界- 1, χ + 1) × [0, ∞).证据根据引理D.7，有正数c和r>1，因此对于任何T≥ 0 andEQ|XT |δ≤ cEP公司|XT | rδ1/r.右侧在（x，T）上（χ）一致有界- 1, χ + 1) × [0, ∞) 因为X是measureP下的OU过程。引理D.9。存在一个数u>1和χ的开邻域Iχ，使得Γu（x，T）：=EQhφu（XT）euRTf（Xs，s；T）dsiis一致有界于Iχ×[0，∞).证据由于函数f是非正函数，如等式（D.7）中所示，因此必须表明存在一个大于1的数字，使得EQhφu（XT）i=EQhφu（XT）X=xi在（X，T）上一致有界（χ- 1, χ + 1) × [0, ∞). 定义βQ（t）：=k+Q|∑+Bσ+Qσ1- qβ（t），γq（t）：=km- Cσ-qσ1- qγ（t），那么X isdXt的q动力学=γQ（T- t）- βQ（T- t） Xt公司dt+σdBt，X=xf或0≤ t型≤ T

求解此SDE，如下所示：XT=xe-RTβQ（T-s） ds+e-RTβQ（T-u） duZTγQ（T- s） eRsβQ（T-u） duds+σe-RTβQ（T-u） duZTeRsβQ（T-u） dudBs。rand om变量XT以平均值MT=xe的形式正常分布-RTβQ（T-s） ds+e-RTβQ（T-s） dsZTγQ（T- s） eRsβQ（T-u） duds=xe-RTβQ（s）ds+ZTγQ（s）e-RsβQ（u）dudsand variancevT=σe-2RTβQ（T-u） duZTeRsβQ（T-u） duds=σZTe-2RsβQ（u）duds。此外，很容易检查极限e xist，即m∞:= 限制→∞mT=Z∞γQ（s）e-RsβQ（u）duds，v∞:= 限制→∞vT=σZ∞e-2RsβQ（u）duds。XTis（2πvT）1/2e的Q密度函数-（十）-mT）vT，thusEQhφu（XT）i=EQheuBXT+uCXTi=（2πvT）1/2Z∞-∞euBz+uCz-（z）-mT）vTdz。（D.9）观察βQ（t）≥ k+q|∑+Bσ。我们有≤ v∞= σZ∞e-2RsβQ（u）duds≤ σZ∞e-2（k+q|∑+Bσ）sds=σ2（k+q|∑+Bσ）。式（D.9）中的积分满足Z∞-∞euBz+uCz-（z）-mT）vTdz≤Z∞-∞euBz+uCz-σ（k+q||∑+Bσ）（z-mT）dz。（D.10）利用条件k+qμσ+Bσ>0，可以选择一个小的u>1，使得右侧在（x，T）上均匀有界（χ- 1, χ + 1) × [0, ∞).D、 2关于初始挥发度的敏感性本节的目的是证明以下命题，从而得出定理4.1的第一个陈述。提案D.10。对于等式（4.1）中的Kim–Omberg模型，波动率初始值的长期敏感性为→∞χln v（χ，T）=-Bχ- C、 证明。根据定理3.2，可以证明φ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=X在x中连续可区分，并且xEQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsX=X在T时趋近于零→ ∞. 为了证明这一点，我们采用6.1号提案。引理D.9证明了这个命题的条件（i）。对于（ii），我们确定任何v>1。引理D.8得出如下等式φ′（XT）φ（XT）v=等式| BXT+C | vis一致有界于（x，T）on（χ- 1, χ + 1) × [0, ∞). 为了显示（iii），我们计算了给定等式（D.6）的X的第一个变化过程Y。

ThenYt=Yt；Tsatis fiesdyt=-k+quσ+Bσ+qσ1- qβ（T- t）Ytdt，Y=1，0≤ t型≤ T、 这是一个确定性的过程。下面是：；T=e-（k+q|∑+Bσ）t-qσ1-qRtβ（T-s） ds。通过直接计算，对于任何固定的w>1，很明显Limt→∞公式| YT；T | w=极限→∞e-w（k+q|∑u+Bσ）T-wqσ1-qRTβ（T-s） ds=0，因为k+quσu+Bσ>0，β（·）>0。我们现在考虑（iv）。通过使用公式（D.8），可以很容易地表明，存在正常数cand csuchfx（x，t；t）=qσ1- qB- β（T- t）x个+C- γ（T- t）B- β（T- t）≤ 总工程师-c（T-t） （| x |+1）。使用Yt；T≤ e-νtwhereν：=k+quσ+Bσ，对于任何m>1EQZT | fx（Xs，s；T）Ys；T | dsm级≤ cmTm公司-1e级-cmTZTe（c-ν） msEQ公司（| Xs |+1）米dsby Jensen的不平等。使用引理D.8，我们观察到，对于每一个m>1，期望EQ[（| Xs |+1）m]在s中一致有界≥ 0乘以正常数Cm。因此，EQZT | fx（Xs，s；T）Ys；T | dsm级≤cmCm（c- ν） mTm公司-1.e-νmT- e-cmT公司→ 0as T→ ∞. 最后，命题6.1中的条件（ii）、（i ii）、（iv）适用于任意v、w、m>1，并且（i）适用于某些u>1，因此我们得到了期望的结果。D、 3关于k、m、u、和ρ的灵敏度我们计算关于k扰动的Long项灵敏度。关于参数m、u、和ρ的灵敏度可以用类似的方式计算，因为所有这些参数都影响泛函φ、f和X的漂移，但不影响X的波动性，如XdXt的Q动力学中所示=公里数- Cσ-q（1- ρ)σ1 - qγ（T- t）-k+quρσ+Bσ+q（1- ρ)σ1 - qβ（T- t）Xt公司0的dt+σdbt≤ t型≤ TB1和B2中的五个函数为m（x）=（k+）（m- x） ，σ1，（x）=σ，σ2，（x）=σ，b（x）=ux，（x）=，很容易检查它们是否满足假设B1和B2。请注意=0ln v（χ，T）=kln v（χ，T）=kln v（χ，T），因此在本节的其余部分，我们使用金斯泰德|=0.引理D.11。设α>0，且l > 0

预期EQ中兴通讯-α（T-s） Xsdsl在T上一致有界于[0，∞).证据根据引理D.7，有正数c和r，与T无关，因此中兴通讯-α（T-s） Xsdsl≤ cEP公司中兴通讯-α（T-s） Xsdsrl!从引理D.5中，我们知道，epheδRTe-α（T-s） 对于非常小的δ>0，XSDSII在T中一致有界。选择n∈ N这样rl ≤ n、 使用不等式xnn！≤ 对于x>0，我们有δnn！EP公司中兴通讯-α（T-s） Xsdsrl≤δnn！EP公司中兴通讯-α（T-s） Xsdsn≤ EPHδRTe-α（T-s） Xsdsi。因此，EP中兴通讯-α（T-s） Xsdsrl在[0，∞), 这将给出所需的结果。提案D.12。对于等式（4.1）中的Kim–Omberg模型，关于参数k islimT的长期敏感性→∞Tkln v（χ，T）=-λk、 证明。为了证明这个等式，我们使用定理7.1。定理7.1中的条件（i）可以满足。我们首先在定理7.1中证明（iii），因为用于（iii）的一些技术也用于（ii）的证明。对于定理7.1中的条件（iii），我们应用定理7.3。可以很容易地检查到kκ（x，t；t）≤ c（| x |+1），对于与t、t和x无关的正常数c。通过选择足够大的c，我们可以实现^g（x，t；t）≤ c（| x |+1）适用于等式（7.4）中定义的^g。那么，在定理7.3中，（i）可以证明如下。由于X是测量值的OU过程，对于每一个T>0，可以选择一个正δ=δ（T），使得epheδRTXsdsiis有限。对于引理D.7中的正常数r，我们定义=δ2cr，然后定义新的RT^g（Xs，s；T）dsi≤ EQhecRT（| Xs |+1）dsi≤ c′EPhecrRT（| Xs |+1）dsi1/r≤ c′EPhe2crRT（Xs+1）dsi1/r=c′e2cTEPhe2crRTXsdsi1/r=c′e2cTEPheδRTXsdsi其中c′是引理D.7中的正常数。

这在第7.3条中给出了（i）。对于定理7.3中的（ii），我们观察到对于任何v≥ 2EQZT^g（Xs，s；T）dsv/2≤ cvEQ公司ZT（| Xs |+1）dsv/2≤ cvTv/2EQTZT（| Xs |+1）dsv/2!≤ cvTv/2EQhTZT（| Xs |+1）vdsi= cvTv/2-1.ZTEQ[（| Xs |+1）v]ds.通过引理D.8，期望EQ[（| Xs |+1）v]在s中一致有一个正常数，例如c。然后ZT^g（Xs，s；T）dsv/2≤ cvTv/2-1.ZTEQ[（| Xs |+1）v]ds≤ cvCTv/2。由于常数c和c不依赖于T，我们得到了期望的结果。对于定理7.3中的（iii），我们观察到对于=1EQZT^gv+（Xs，s；T）ds≤ cv+1ZTEQh（| Xs |+1）v+1id，右侧为每个T≥ 0，因为期望EQ（| Xs |+1）v+1是由引理D.8统一限定的。对于（iv）定理7.3，我们想证明对于1/u+1/v=1的u，期望eqh^φu（XT）euRT^f（Xs，s；T）dsiis在[0]上一致有界于T，∞). 然而，请注意，我们证明了定理7.3中的（ii）和（i ii）对任意v都成立≥ 因此，足以证明存在这样的u>1。我们使用符号B（k）和C（k）分别强调k对常数B和C的依赖性。从式（D.9）和式（D.10）中，我们知道，对于小u>1，期望eqheub（k）XT+uC（k）XTi（D.11）在T上一致有界于[0，∞). 这两张地图是k 7→ B（k）和k 7→ C（k）是连续的，u+1>1，如果需要，通过选择一个较小的间期I，它遵循sup∈IB（k+）≤u+1B（k），sup∈IC（k+）≤u+1C（k）。那么^φ（x）=inf∈Ie-B（k+）x-C（k+）x≥ e-u+1B（k）x-u+1C（k）x.（D.12）定义u：=2uu+1>1，（D.13）然后我们有eqh^φ^u（XT）e^uRT^f（Xs，s；T）dsi≤ EQh^φ^u（XT）i≤ EQheuB（k）XT+uC（k）XTi（D.14），其中对于第一个不等式，我们使用了^f≤ 因为右手边在[0]上的T上是统一有界的，∞), 我们得到了期望的结果。

现在我们已经展示了定理7.3中的所有条件，因此定理7.1中的条件（iii）成立。对于定理7.1中的条件（ii），我们首先计算φ和f中变量k的偏导数，而不是X=（Xt）t中的偏导数≥精确地说，我们使用符号φ（x；k）和f（x，t；t；k）来强调k的依赖性。我们要分析wη，（χ，t）=EQhφ（xt；k+η）eRTf（xs，s；t；k+η）dsi，其中Q-xtsatis的动力学方程（D.6），k被k+代替。平等ηEQhφ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）dsi=等式ηφ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）ds在（η，）上的偏导数的连续性由命题C.1得到，其中g（x，t；t）和g给出如下。观察到fk（x，t；t；k）=-qσ1- qB- β（T- t）x个+C- γ（T- t）Bk-βk（T- t）x个+Ck-γk（T- t）.我们使用符号β（T- t；k） ，γ（T- t；k） 强调k的依赖性。对于给定的小开放区间I，sin ce B（k+η），C（k+η），Bk（k+η），Ck（k+η）在I和dβ（T）上的η是连续的- t；k+η），γ（T- t；k+η），βk（T- t；k+η），γk（T- t；k+η）在（η，t）onI×[0，t]中是连续的，可以找到一个正常数b，例如所有（η，t）的正常数b∈ I×[0，T]fη（x，t；t；k+η）≤ b（x+1）=：g（t，x；t）。利用该函数g，命题C.1中的条件（i）三次满足。

对于命题C.1中的条件（ii），选择两个正常数Cs，如所有η∈我Bη（k+η）≤ bCη（k+η）≤ c、 使用公式（D.12）中的函数^φ，我们定义：=^φ（XT）bXT+c | XT|+φ（XT）ZTb（Xs+1）ds。然后为所有（η，t）∈I×[0，T]得出φ（XT；k+η）φη（XT；k+η）+φ（XT；k+η）ZTfη（Xs，s；T；k+η）ds公司≤ GT使用^φ（x）=infη∈Iφ（x；k+η）和φη（x；k+η）=x个Bη（k+η）+xCη（k+η）φ（x；k+η）≤bx+c | x|φ（x；k+η）。从等式（D.11）和^φ（x）中回忆u>1≥ e-u+1B（k）x-u+1C（k）x和^u=2uu+1>1，在等式（D.13）中。我们要求EQ[肠道]<∞ 对于u=3u+12（u+1）>1，这意味着命题C.1中的条件（ii）。设^v为^u/u+^v=1，则新的^φu（XT）bXT+c | XT|用户界面≤EQh^φ^u（XT）iu/^uEQhbXT+c | XT|u^vi1/v.右侧的两个期望值由等式（D.14）和引理D.8确定。以类似的方式，我们有eq^φu（XT）bZT（Xs+1）dsu≤EQh^φ^u（XT）iu/^uEQhbZT（Xs+1）dsu^vi1/v≤ Tu公司-^vEQh^φ^u（XT）iu/^uEQhbu^vZT（Xs+1）u^vdsi1/v≤ Tu公司-^vEQh^φ^u（XT）iu/^ubu^vZTEQ公司（Xs+1）u^vds公司1/v。由于等式[（Xs+1）u^v]在[0]上均匀有界于s，∞) 比亚迪。8，右侧是固定的。因此，EQ【GuT】<∞.收敛极限→∞Tηη=0EQhφ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）dsi=0可以如下所示。

η满足的偏导数ηη=0φ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）ds≤ eBXT+CXT+RTf（Xs，s；T；k）dsXT公司Bk+XTCk+ eBXT+CXT+RTf（Xs，s；T；k）dsZT公司fηη=0（Xs，s；T；k+η）ds≤ eBXT+CXTXT公司Bk+XTCk+ eBXT+CXTZT公司fηη=0（Xs，s；T；k+η）ds.根据三角形不等式和H¨older线质量，对于uin公式（D.11），满足1/u+1/v=1，则公式如下ηη=0φ（XT；k+η）eRTf（Xs，s；T；k+η）ds≤EQeuBXT+uCXT1/u均衡器XT公司Bk+XTCkv1/v+EQeuBXT+uCXT1/u均衡器ZT公司fηη=0（Xs，s；T；k+η）dsv1/v.通过选择u，期望EQeuBXT+ucxt在T中一致有界。期望EQ | XTBk+XTCk | vis在T中也由引理D.8唯一地有界。现在，我们展示了期望EQ | RTfη|η=0（Xs，s；T；k+η）d s | vis一致有界于T。通过直接计算，可以选择正常数c和d，它们与s和T无关，但与k有关，因此fηη=0（x，s；T；k+η）≤ 判定元件-c（T-s） （x+1）。使用变量u=ecs的变化，观察EqhZTecs（Xs+1）dsvi=等式ZecTc（X（ln u）/c+1）duvi=（ecT- 1） vcvEQh发射型计算机断层扫描仪- 1ZecT（X（ln u）/c+1）du不及物动词≤（ecT）- 1） vcvEQhecT公司- 1ZecT（X（ln u）/c+1）vdui=（ecT- 1） 五-1cvZecTEQhX（ln u）/c+1vidu。（D.15）通过引理D.8，有一个正常数C，使得等式[（X（lnu）/C+1）v]≤ C代表所有u≥ 因此，等式ZT公司fηη=0（Xs，s；T；k+η）dsv≤ dve公司-cvTEQh公司ZTecs（Xs+1）ds不及物动词≤ dve公司-cvT（ecT- 1） 五-1cvZecTEQhX（ln u）/c+1vidu公司≤ dve公司-cvT（ecT- 1） 五-1cvZecTC du≤Cdvcv，（D.16），给出所需结果。D、 4σ敏感性我们评估σ扰动的长期敏感性。D.13号提案。根据等式（4.1）中的Kim–Omberg模型，与参数σislimT相关的长期敏感性→∞Tσln v（χ，T）=-λσ.证据

在分解中，v（χ，T）=e-λTφ（χ）EQhφ（XT）eRTf（Xs，s；T）dsi，我们使用第7.3节中的方法分析期望项EQ[φ（XT）eRTf（Xs，s；T）ds]。考虑Lamperti变换l（x） =Zxχσdu=x- χσ.和定义文字：=l（Xt）=Xt- χσ以及asF（ˇx）=-qσ2（1- q）B- β（T- t）（σˇx+χ）+C- γ（T- t）,Φ（ˇx）=e-Bσˇx-（Bχ+C）σˇx-Bχ-Cχ。然后，X满足SDEd下一步=σ公里数- Cσ-qσ1- qγ（T- t）-k+quσ+Bσ+qσ1- qβ（T- t）ˇXt+χσdt+dBt。我们要分析σEQhΦ（ˇXT）eRTF（ˇXs，s；T）dsi。扰动参数σ仅涉及函数项和drif t项ˇX，而不涉及波动项ˇX。因此，我们可以使用命题D.12中使用的相同方法来显示→∞TσEQhΦ（ˇXT）eRTF（ˇXs，s；T）dsi=0。这将得到所需的结果。E赫斯顿模型本附录研究了第4.2节中所述的赫斯顿模型，并显示了本文主要部分中所做的假设在此模型中得到了满足。众所周知，假设A1-3符合赫斯顿模型。我们首先找到HJB方程和遍历HJB方程。式（5.5）中的函数l和h为l（ξ，x）：=-q（1- q）ux+ξh（ξ，x）：=km-k+q|∑x个- qξσ√x、 相应的HJB方程（5.4）为vt=σxvxx+supξ∈R(-q（1- q）ux+ξ五+公里数-k+q|∑x个- qξσ√x个vx）=σxvxx-q（1- q） 第十五条+公里数-k+q|∑x个vx+qσx2（1- q） v（x，0）=1的VxV。这里，我们使用上述HJB方程的上确界在ξ=-σ√x（1- q） vx（x，t）v（x，t）。HJB方程的解为v（x，t）=e-γ（t）-β（t）x，β（t）=q（1- q） sinh（βt/2）βcosh（βt/2）+βsinh（βt/2），γ（t）=kmZtB（s）ds，（E.1），其中β：=k+q，β：=sβ+q（（1- q） σ+σ）u。因此，假设A4成立。最优控制^ξ为^ξ（x，t；t）=σ1- qβ（T- t）√x（E.2）使用此运算计时器，假设A5已满足。现在，我们将注意力转移到遍历HJB方程（5.8）。

通过直接计算，我们可以看到遍历HJBequation的解-λφ=σxφxx-q（1- q） uxφ+公里数- （quσ+k）xφx+qσx2（1- q） φxφ由φ（x）=e给出-BxB=β- βσ+σ1-q、 很容易证明β（t）→ B和γ（t）t→ -λ为t→ ∞, 因此，假设A6成立。遍历最优控制ξ*isξ*（x） =σ1- qB√x、 对于本节的其余部分，我们表明假设A7–A10是满足的。命题E.1。对于Heston模型A7，也就是局部鞅E-qZ·pXsdW1，s- qZ·^ξ（Xs，s；T）dW2，st型0≤t型≤这是测度P证明下的真鞅。为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。回想一下dxt=k（m- Xt）dt+σpXtdW1，t+σpXtdW2，t，X=χ。使用Klebaner和Liptser（2014）中的概念，我们得到（x）=k（m- x） ，bt（x）=σ√x、 σ√x个,σt（x）=-q√x，-q^ξ（x，t；t）,所以kσt（x）k=qux+^ξ（x，t；t）,Lt（x）=2k（m- x） x+σx，Lt（x）=2x公里数-k+q|∑x个- qσ^ξ（x，t；t）√x个+ σx。使用公式（E.2）中的^ξ表达式，可以找到一个正r>χ=x，即σt（x）k+Lt（x）+Lt（x）≤ r1+x.这意味着满足了Klebaner和Liptse r（2014）中定理8.1的假设，因此我们得到了期望的结果。现在，通过等式（5.10）和X isdXt的^P-dynamics可以很好地定义测度^P=公里数-k+q|∑Xt公司- qσ^ξ（Xt，t；t）pXtdt+σpXtd^W1，t+σpXtd^W2，t，X=χ。提案E.2。对于Heston模型A8成立，即局部鞅EqZ·^ξ（Xs，s；T）- ξ*（Xs）d^W2，st型0≤t型≤这是测度^P.证明下的真鞅。为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。

该证明类似于命题E.1的证明，因此我们只陈述了相应的函数，即（x）=km-k+q|∑x个- qσ^ξ（x，t；t）√x、 bt（x）=σ√x、 σ√x个,σt（x）=0，q^ξ（x，t；t）- ξ*（十）,很容易验证Klebaner和Liptser（2014）中定理8.1的假设是否满足。现在，通过等式（5.15）和X isdXt的P-dynamics可以很好地定义度量值P=公里数-k+q|∑Xt公司- qσξ*（Xt）pXtdt+σpXtdW1，t+σpXtdW2，t，X=χ。提案E.3。对于Heston模型，A9适用，即过程M=E-Z·∑BpXsdW1，s-Z·∑BpXsdW2，st型0≤t型≤这是测度P证明下的鞅。为了证明这是一个真实鞅，我们使用了Klebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。该证明类似于命题E.1的证明，因此我们只陈述了相应的函数，即（x）=km-k+q|∑x个- qσξ*（十）√x、 bt（x）=σ√x、 σ√x个σt（x）=-σB√x，-σB√x个,很容易验证Klebaner和Liptser（2014）中定理8.1的假设是否满足。现在，等式（5.16）和X isdXt的P-dynamics很好地定义了度量值P=公里数-k+q|∑+σBXt公司- qσξ*（Xt）pXtdt+σpXtdW1，t+σpXtdW2，t=km-k+q|∑+σ+σ1 - qBXt！dt+σpXtdW1，t+σpXtdW2，t这也是具有重新参数化的CIR过程。提案E.4。对于Heston A10型，即本地m artingaleEqZ·ξ*（Xs）-^ξ（Xs，s；T）dW2，st型0≤t型≤这是一个真正的鞅。证据为了证明这是一个真鞅，我们使用了K lebaner和Liptser（2014）中的定理8.1。该证明类似于命题E.1的证明，因此我们只陈述了相应的函数，即（x）=km-k+q|∑+σ+σ1 - qBx、 bt（x）=σ√x、 σ√x个,σt（x）=0，qξ*（十）-^ξ（x，t；t）,很容易验证Klebaner和Liptser（2014）中定理8.1的假设是否满足。现在，测量值Q由公式（5.17）定义。

式（5.21）中的函数f和κ为f（x，t；t）=-qσx2（1- q）B- β（T- t）（E.3）和κ（x，t；t）=km-k+q|∑+σBx个- qσ^ξ（x，t；t）√x=公里-k+quσ+σB+qσ1- qβ（T- t）x、 最后，x isdXt=κ（Xt，t；t）dt+σpXtdB1，t+σpXtdB2，t，0≤ t型≤ T、 （E.4）E.1可积条件在下面我们证明了可积条件，这将在下一节的分析中需要。引理E.5。在测度Q下，考虑两个过程U和L，它们被定义为SDEsdUt的解=公里数- ^1UUtdt+σpUtdBt，U=x，dLt=公里数- ^1LLtdt+σpLtdBt，L=x，其中νU：=k+quσ+σB，且νL：=k+quσ+（σ+σ1-q） B.然后书信电报≤ Xt公司≤ UT所有0≤ t型≤ T= 1.证明。在测度Q下，过程X满足dxt=公里数-νU+qσ1- qβ（T- t）Xt公司dt+σpXtdBt，≤ t型≤ T、 使用0<β（·）<B，我们得到km- ^1Lx≤ 公里数-νU+qσ1- qβ（T- t）x个≤ 公里数- ^1Ux。Karatzas和Shreve（1998）givesQ中的命题5.2.18书信电报≤ Xt公司≤ UT所有0≤ t型≤ T= 引理E.6。存在一个大于1的数u和一个χ的开放邻域Iχ，使得Γu（x，T）：=EQhφu（XT）euRTf（Xs，s；T）dsX=xi一致有界于Iχ×[0，∞).证据由于函数f是非正的，正如人们在等式（E.3）中所看到的，因此必须证明存在一个u>1的数字，使得EQhφu（XT）i=EQhφu（XT）X=xi在（X，T）上一致有界于（χ，3χ）×[0，∞). 将引理E.5中的过程U重新称为满足QXt公司≤ UT所有0≤ t型≤ T= 1.然后，对于u>1EQhφu（XT），i=EQ[euBXT | X=X]≤ EQ[euBUT | U=x]。由于U是一个CIR过程，已知矩母函数isEQ[euBUT，| U=x]=hThT公司- 乌兰巴托2kmσexpuBe公司-^1Uttxht- 乌兰巴托式中，HT=2ДUσ（1- e-^1UT）。使用k+q||∑+σB=ДU，观察2b+2kσ+2q|∑=2ДUσ<hT。从这个表达式中，很容易检查1<u<2+σBk+q|∑, （E.5）期望EQ[euBUT | U=x]在（x，T）上一致有界χ,3χ× [0, ∞).