我们写作Tn+1（e）=Tn+1（e）- t对于任何事件e∈ E和Ti±Qn+1（k）=Ti±Qn+1（k）- Tn.使用备注8，增量(Tn+1）n≥0在给定Fnand的情况下是独立的Tn+1（e）| fn遵循强度为λn（e，.）的非齐次指数分布。因此，我们有[秦+1=±k]=E[P[Ti±Qn+1（k）<Tn+1（e），e类/∈ Ei±Q（k）| Fn]]=EZR+λi，±Qn（t，k）e-Rtλi，±Qn（s，k）dsdtYe/∈Ei±Q（k）ZR+t<teλn（e，te）e-Rteλn（e，s）dsdte= EZR+λi，±Qn（t，k）e-[PeRtλn（e，s）ds]dt= EZR+λi，±Qn（t，k）Zn（t）dt. （23）通过遵循等式（23）中使用的相同方法，我们得到[Sn+1=±k]=EZR+λ±Sn（t，k）Zn（t）dt,这就完成了证明。设τObe为Ni的第一入口周期=（Ti+j，Xi+j）j≤0到集合O∈ W、 C消费2和消费1定义的边界<z≤ 假设2和3中分别定义了最小值（z，z）和zand zare。引理2（漂移条件）。在假设2和3下，过程Un=（Qn，Qn，Sn）满足以下漂移条件：EzQin+1-CboundτO≥n+1≤ λE茨钦-CboundτO≥n+1+ BE公司τO≥n+1,EzSn+1-CboundτO≥n+1≤ λEzSn公司-CboundτO≥n+1+ BE公司τO≥n+1, n∈ N我∈ B、 λ<1和B两个常数。备注22。我们发现（u）=Xi∈{1,2}zqi-Cbound+zs-Cbound公司，u∈ U、 （24）利用引理2，我们推导出VCbound（Un+1）1τO≥n+1≤ λEVCbound（Un）1τO≥n+1+ 3BEτO≥n+1, n∈ N、 引理2的证明。我们写E十、= EX1τO≥n+1对于任意随机变量X，简化旋转和V，而不是VCBound，因为没有可能的混淆。我们有zQin+1 | Fn=EzQin | Fn+Xu6=UnP[秦+1=q | Fn]hzq- 兹奇尼。使用引理1，我们得到[秦+1=±k]=EZR+λi，±Qn（t，k）Zn（t）dt,这导致了▄EzQin+1=E茨钦+E“ZR+Zn（t）（Xk≥1λi，+Qn（t，k）hzQin+k- zQini+Xk≥1λi，-Qn（t，k）hzQin-k- zQini）dt#，=▄E茨钦+EZR+Zn（t）{Qu（t，Un）}dt, （25）Qu（t，Un）=Pk≥1λi，+Qn（t，k）hzQin+k- zQini+Pk≥1λi，-Qn（t，k）hzQin-k- 兹奇尼。

通过重新计算上述条件，我们得到qu（t，Un）=zQin-CboundX1≤k（zk- 1)λi，+Qn（t，k）- λi，-Qn（t，k）zk.我们写ERR+Zn（t）{Qu（t，Un）}dt= T+TwithT=~EZR+Zn（t）1秦≤Cbound{Qu（t，Un）}dt,T=~EZR+Zn（t）1Qin>Cbound{Qu（t，Un）}dt.我们首先处理术语T。当秦≤ Cbound，数量zQin-Cbound<1是有界的。此外，我们还有∈Eλn（E，s+Tn）≥ 假设3下ψ>0。这确保了Zn（t）≤ e-ψt，a.s.因此，存在c>0和d>0，使得t≤ZR+e-ψt￠E{Qu（t，Un）}dt≤ -cEhzQin-CboundQin公司≤Cboundi+d.（26）在上一个不等式中，我们再次使用了假设3。对于术语T，我们使用假设2和Zn（T）≤ e-ψt，a.s，推导出≤ -ΔψИEhzQin-CboundQin>Cboundi。（27）通过组合不等式（26）和（27），我们得到ZR+Zn（t）{Qu（t，Un）}dt≤ -cE茨钦-Cbound公司+Ed,用c=min（c，Δψ）和d=d证明引理2的第一个不等式。按照同样的步骤，我们还证明了第二个不等式。这就完成了证明。C、 2证明大纲为了证明不变分布的存在，我们首先将N构造为注释8中定义的序列N的极限过程。该构造基于细化算法。之后，我们在步骤（ii）和（iii）中显示，N定义良好。然后，我们介绍“U”过程∞= ess支持≥0’UT占主导地位，并证明在步骤（iv）中is不会爆炸。这确保了家庭的紧密性∪t型≥0’Ut。此外，由于E是一个可数空间，且E[k]Utk是一致有界的，因此过程U满足Fellerproperty。因此，我们推断“U”允许不变分布，并完成证明。C、 3定理1的证明。让我们拿N*和U*备注8中所述的过程，ν=Pe∈EδE.为了清楚起见，我们忘记了Ex的依赖性[.]在初始条件x上∈ W、 步骤（i）：在这一步中，我们证明了由等式（3）定义的过程N作为序列Nm的alimiting过程存在。

为此，我们首先介绍一些符号。我们在备注8中详细说明了过程λ和NMA。注意，Um=（Qm，Qm，Sm）可以以下方式组合：Qm it=Qm i，+t- Qm i，-t、 Smt=Smt+- Smt公司-,（28）对于qm i，+t=PTm<tQm itQm it>0，Qm i，-t=PTm<tQm itQm it<0，Sm+t=PTm<tSmt公司Smt>0，Sm-t=PTm<tSmt公司Smt<0，带i∈ B和Zt=Zt- Zt公司-对于任意过程Z，对于所有ω∈ Ohm, 通过感应，过程nm、λm、Qm i、±和Sm±中的每一个都不随m递减。因此，它们允许限制过程N，λ，Q1（2），±和S±。这意味着Um向U收敛。为了确保Nadmitsλ作为强度，我们需要证明∈Eλt（E）和U都是有限的a.s，参见步骤（ii）-（iii）。步骤（ii）：在这一步中，我们通过对m的归纳来证明suptE[Pe∈Eλmt（E）]是统一边界，这确保了支持[Pe∈Eλt（E）]是有限的∈Eλt（E）不会爆炸。我们写λmn（e，t）=λmt（e）1Tmn<t≤Tmn+1。对于m=0，我们有E[λmn（t，E）]=0，因为对于任何t，λmt（E）=0≥ 当n≤ m、 当n>m+1时，E[λm+1n（E，t）]=0。对于任何t≥ 因此，我们只需要研究n=m+1的情况。使用备注8和假设1，我们得到了supte[λm+1m+1（e，t）]≤ c（e）+d（e）支撑[XTmi<t′φ（e，t- Tmi、Xmi）nψ]=c（e）+d（e）suptX{km}∈P（nψ）nψkkXx号∈EkZ公司(-∞,t） kkYi=1？φki（e，t- si，xi）E【dNms…dNmsk】，带‘（E，t，x）=supu∈Uφ（e，U，t，x）和nψkk=nψ！kkk！。利用上述方程和Brascamp-Lieb不等式，我们得到了[λm+1m+1（e，t）]≤ c（e）+d（e）suptXkk∈P（nψ）nψkkXx号∈EkZ公司(-∞,t） kkYi=1？φki（e，t- si，xi）（supt，nE[λmn（xi，t）]）1/kdsi，=c（e）+λmd（e）Xkk∈P（nψ）nψkkXx号∈EkZRk+kYi=1？φki（e，si，xi）dsi，≤ c（e）+q|λm，（29），其中|λm=supt，e，nE[λmn（e，t）]，q=supe{d（e）Pkk∈P（nψ）nψkkRRk+Qki=1φ*ki（e，si）dsi}，其中φ*在假设1中定义。利用（29），我们推导出|λm+1≤c1类- q+qm+1'λ='x。由于在假设1下q<1，它确保了'λ=supm'λ不确定。

为了完成证明，我们使用（29）和假设3，得到以下不等式：suptE[Xe∈Eλmt（E）]≤ c*+(R)λXe∈E、 kk公司∈P（nψ）d（e）nψkkXx号∈EkZRk+kYi=1？φki（e，t- si，xi）dsi<∞.步骤（iii）：我们写Umn=（Qm 1n，Qm 2n，Smn）=UmTn。本文证明了对于所有m，E[Qm-in]和E[Smn]是一致有界的≥ 0和n≥ 0以确保S和QI不会爆炸。让我们证明一下zQm in+1≤ λEzQm输入+ Bn≤ m级- 1，米≥ 1.（30）带z≤ min（z，z）和zand zare分别在假设2和3中定义，λ<1和b≥ 0、设m≥ 1，我们有by constructionE[zQm+1 in+1]=E[zQm in+1]，当n≤ m级- 因此，我们只需要研究n=m的情况。引理2中证明了这一点。利用不等式（30），我们得到zQm输入≤地下一层- λ+λnzQm i，n≤ m、 （31）zQm固定。因此，EQm输入一致有界。使用类似的论证线，我们也有E[Smn]一致有界。因此，限制过程U不会爆炸。步骤（iv）：首先，请注意，由于λ是局部可积的，因此过程N得到了很好的定义，请参见步骤（ii）-（iii）和[18]。此外，我们可以使用细化算法按路径构建它，请参见备注8。设我们是定理1中描述的过程，我们只是证明了它的存在性。该流程由流程“U”控制∞= （U）∞, λ∞) = ess sups≥0美国。在这一部分中，我们证明了∞] 和E[λ∞] 是有限的。首先，我们证明E[U]∞] < ∞. 设λ<ρ<ρ<1，C>0，S集S={u∈ Uu>C，C.w.}，其中C.w表示组件，S表示集合∈ U S、 自联合国大学以来∈Scis边界。s、 我们只需要显示E[U∞, S] 与U限定∞, S=ess supn∈NUSnand USn=联合国大学∈S、 使用Doob分解，我们得到USn=MSn+ASn，MSna鞅和ASn=Pnk=1东[南卡罗来纳州]Fk-1] - USk公司-1.可预测的过程。

因此，我们得到∞,S]≤ E[ess支持≥0MSn]+E[ess支持≥0ASn]，c.w.Doob不等式和Fatou引理确保E[supn≥0MSn]≤ 2 limn→∞E【MSn】，c.w.利用MSn的鞅性质和USn的Doob分解，我们得出[（MSn）]- E[（MS）]=nXk=1E[（MSk- MSk公司-1） ]，MSk- MSk公司-1=USk- 东[南卡罗来纳州]Fk-1] ，c.w.We haveE[（MSk- MSk公司-1） ]=E[（USk- 东[南卡罗来纳州]Fk-1])] ≤ 2.E[（USk）]+E[E[（USk）| Fk-1]]≤ 4E[（USk）]，c.w.让我们证明一下≥0E[（USk）]<∞. 使用引理2并取O={（Tj，Xj）j≤0∈WXj=（nj、tj、bj、~uj、uj、aj）∈ E和u≥ C、 C.w.}，我们有VC（联合国+1）1联合国+1∈S，Un∈S≤ EVC（联合国+1）1联合国∈S≤ λEVC（Un）1牛顿∈S+ EB1Un∈S. （32）通过遵循引理2和基本近似中用于证明（25）的相同参数行，我们得到以下不等式：EzQin+1-C{Un+1∈S，Un∈Sc}≤ E茨钦-C{Un+1∈S，Un∈Sc}+ EZR+Zn（t）1{Un+1∈S，Un∈Sc}{Qu（t，Un）}dt,在集合{Un∈ Sc}，我们有秦≤ C表示zQin-C<1。此外，我们还有∈Eλn（E，s+Tn）≥ 假设3下ψ>0。这确保了Zn（t）≤ e-ψt，a.s.因此，使用假设3，存在b茨钦-C{Un+1∈S，Un∈Sc}+ EZR+Zn（t）1{Un+1∈S，Un∈Sc}{Qu（t，Un）}dt≤ E[B{Un+1∈S，Un∈（33）我们取C≥ C*= 最大（对数（2Bρ-λ+1），对数（B1-ρ） ，Cbound），以确保B-(ρ - λ） VC（联合国）联合国∈S<0，a.S。B- (1 - ρ） VC（Un+1）联合国+1∈S<0，a.S.通过组合不等式（32）和（33）并取C≥ C*, 我们推断ρEVC（联合国+1）1联合国+1∈S≤ ρEVC（Un）1牛顿∈S+ EB-(ρ - λ） VC（联合国）联合国∈S+ EB- (1 - ρ） VC（Un+1）联合国+1∈S,≤ ρEVC（Un）1牛顿∈S,这确保了EVC（联合国+1）1联合国+1∈S≤ 重新VC（Un）1牛顿∈Sr=ρρ<1。自（USk）≤cVC（USk），这证明了PK≥0E[（USk）]<cPk≥0E[VC（USk）]≤c1类-ρ< ∞. 因此，我们得到了支持≥0MSn]≤c1类-ρ, c、 w。我们还有ASN≤ASn=nXk=1 | E[美国K | Fk-1] - USk公司-1| ≤ 2nXk=1E[| USk |]，c.w，采用▄ASna组件非递减过程。自E[| USk |]≤E[（USk）], 我们得到了E[~An]≤c1类-ρ.

因此，我们推断E[ess supn≥0ASn]≤c1类-ρ, c、 w确保E[U∞,S]<∞.其次，我们证明了E[λ∞] 是有限的。让t≥ 0和T={T=0<T<…<tn=T}是[0，T]的一部分。利用单调收敛定理，我们得到了[nXk=1 |λtk- λtk-1|] ≤ E[Pnk=1（tk- tk公司-1） t |λtk-λtk-1 |]=E【RtfTdst】≤RtE【fT】dst，fT=Pnk=1 |λtk- λtk-1 | 1tk-1.≤t<tk。自E[|λtk- λtk-1|] ≤ 2支持[|λt |]≤c1类-q<∞, wegetE[nXk=1 |λtk- λtk-1|] ≤c1类- q<∞.然后，我们可以应用Bichteler-Dellacherie定理写出λt=Ms+Aswith Msa鞅，Asa可预测过程，几乎可以肯定在有限的时间间隔内有有限的变化，例如[vart（λ）]=E[vart（M）]+E[vart（A）]，其中vart（Z）是过程Z在时间间隔[0，t]上的变化。自[λ]∞] ≤ E[ess supsMs]+E[ess supsAs]，ess sups≤tMs≤ vart（M），ess sups≤助教≤ vart（A）和suptE[vart（λ）]<∞, 我们推导出E[λ∞] < ∞. 最后，我们有E[k'Utk]≤ E【k】U∞k]<∞, 对于所有t≥ 因此，家庭∪t型≥0’Utis紧密。此外，由于U和E是可数态，且E[k”Utk]是一致有界的，因此过程“utsaties”是thefller性质。因此，过程U允许一个不变分布u，从而完成证明。定理2D的D证明。1初步结果MMA 3。Let（Fn）n≥0是σ-代数的序列，使得Fn→n→∞F∞带F∞aσ-代数与（Xn）n≥0是R中取值的随机变量序列，使得Xn→n→∞十、 a.s、XnisF∞-可测量，X是F∞-可测量和仰卧【Xn】<∞. 那么，我们有Xn | Fn→n→∞十、 a.s.备注23。在上述引理3中，我们可以替换条件supnE[Xn]<∞ 根据条件E【supnXn】<∞ 并恢复相同的结果。引理3的证明。设m和n为两个正整数。我们写Xmn=E[Xm | Fn]。步骤（i）：自仰卧位[Xn]<∞, 我们可以应用条件支配收敛定理来证明Xmn→m级→∞Xn=E[X | Fn]，a.s.步骤（ii）：自F起∞= 画→∞Fn，存在序列（An）n≥0以便∈ FnandAn公司→n→∞A.

根据定义，我们有E【XnAn】=E【X1An】。请注意，族（Xn）n≥0太紧了。实际上，利用Doob和Jensen的不等式，我们得到了supi公司≤n | Xi|≤ Esupi公司≤n | Xi|= Esupi公司≤nXi公司≤ 2E类Xn公司.然后，利用Fatou引理，我们得到Esupi公司≤nXi公司≤ 2（仰卧Xn公司)< ∞ 确保（Xn）n≥0太紧了。因此，我们可以提取一个子序列（Xnk）k≥0以便Xnk→k→∞自仰卧位起的Z a.s.[Xn]<∞, 我们可以利用支配收敛定理得到e[Z1A]=limk→∞E【XnkAnk】=limk→∞E【X1Ank】=E【X1A】。因此，Z=X，F∞-a、 因为所有变量Xkare F∞-可测量，变量Zis也为F∞-可测量任意n≥ 假设Z和X都是F∞-可测的，我们推导出（Xn）n的每个累积点Z≥0satis fies Z=X，a.s.最后，我们得到limm→∞n→∞Xmn=X，a.s.我们可以使用组合参数来推断EXn | Fn→n→∞十、 答：我们借用了【9】中的以下定义。定义3（联轴器）。两点进程N和N耦合当且仅当iflimt→∞PNs=Ns，s∈ （t，∞)= 引理4。设N为点过程，λ为其强度。我们有- Nt=0，s∈ （t，∞)|Ft]=E[E-R∞tλuAuds | Ft]，其中Au={Nu- 对于所有u，Nt=0}≥ t、 证明。参见[9]中的引理1。引理5。分别允许λ和λ作为强度偶的两点过程N和nw当且仅当ifZ∞supe公司∈EE公司|λs（e）- λs（e）|ds<∞.证据设Ft=FNt∨ FNt。利用正则耦合，点过程| N- N |允许|λt- λt |作为Ft强度。利用引理（4）和Jensen不等式，我们得到了supe | Ns（e）-Ns（e）|=0，s∈ （t，∞)≥ E【E】-R∞tsupe |λs（e）-λs（e）| ds]≥ e-R∞Tspee[|λs（e）-λs（e）|]ds。SinceR公司∞supeE公司|λs（e）- λs（e）|ds<∞, 我们有∞tsupeE公司|λs（e）- λs（e）|ds公司→t型→∞0 whichimplies that Psupe | Ns（e）- Ns（e）|=0，s∈ （t，∞)→t型→∞这就完成了证明。D、 2唯一性SD。2.1校对大纲N∞= （T∞i、 X个∞i） 是定理1中构造的平稳过程，N=（Ti，Xi）是强度满足（2）的点过程。我们写λ（分别为。

λ∞) 对于N的强度（分别为N∞). 为了证明不变分布的唯一性，我们只需要证明r∞supe公司∈EE公司|λs（e）- λ∞s（e）|ds<∞, 参见引理5。为此，我们首先表明（Un）n≥0isf几何遍历，参见引理8。这个结果的证明需要引理6和7。利用这个结果，我们在引理9中证明了f（t）=supeE|λt（e）- λ∞t（e）|满足以下不等式：f（t）≤ u（t）+cGZt？h（t- s） f（s）ds,u（t）=cE[| | Ut- U∞t | |]+cE库特- U∞tkβpβp，G（t）=tβ，h（t）=supe，u，xφe、 u、t、xc，c，c，β>1和p>1的正常数。然后，我们利用文献[6]中的定理3和上述不等式，证明了rr+f（t）dt<∞ 确保了唯一性。D.2.2引理2和λ<ρ<1给出的证明λ<1。我们用s={（Tj，Xj）j表示≤0∈ WXj=（nj、tj、bj、~uj、uj、aj）∈ E和V（u）≤2Bρ-λ+1}和由αa集α∈ W s、 我们有以下引理。引理6。在假设2和3下，函数f=V+1，V定义在方程（24）中，r>1，因此supx∈WEx公司ταXn=1f（Un）rn< ∞.证据该证明类似于[32]中的定理6.3。让Fn和Fl≤j≤nbe分别定义如下Fn=σTj×Xj，j≤ n,佛罗里达州≤j≤n=σTj×Xj，l≤ j≤ n. 我们还将pnkas写为：pnk（u）=| P[Un=u | Fk≤j≤n-1.- P[Un=u | Fj≤n-1]|, n∈ Nk≤ n- 1.u∈ U、 引理7。在假设1、3和4下，我们有pnk=supu∈Upnk（u）→k→∞0，a.s.（34）证明。使用引理1，我们得到pnk（u）=E[ZR+Zn（t）λn（u，t）dt | Fk≤j≤n-1] - E[ZR+Zn（t）λn（u，t）dt | Fj≤n-1] |=| E[ZR+Zn（t）λn（u，t）dt | Fk≤j≤n-1] -ZR+Zn（t）λn（u，t）dt |，其中λn（u，t）=Pe∈E（联合国-1，u）λn（e，t），λn（e，t）=ψ（e，Un-1，t+Tn-1，rn（t）），rn（t）=Pj≤n-1φ（e，Un-1，t+Tn-1.- Tj，Xj）和Zn（t）=e-RtPeλn（e，s）ds.因为pk=supu∈Upnk（u），我们可以构造一个序列（uj）j≥0使pnk（uj）→j→∞pnk，a.s.Wewrite uj=（qj，qj，sj）。在不丧失一般性的情况下，我们可以认为（qj）j≥0是单调的，取（qj）j的子序列≥0

因此，存在一个限制过程q∞这样qj→j→∞q∞,a、 通过多次重复这个论点，我们总是可以构造（uj）这样的pnk（uj）→j→∞pk，uj→j→∞u∞, a、 让我们证明λn（uj，t）→j→∞λn（u∞, t） ，a.s.为此，我们区分两个集合a={w∈Ohm; u∞（w） <∞} 和A={w∈ Ohm; u∞（w） =∞}. 当u∞< ∞, 我们有uj=u∞因为U是可数的，所以足够大。这确保了E（Un-1，uj）=E（Un-1，u∞), a、 s代表j largeenough。因此，我们得到λn（uj，t）1A→j→∞Xe公司∈E（联合国-1，u∞)ψ（e，Un）-1，t+Tn-1，rn（t））1A，a.s.When u∞= ∞, 我们有∈E（联合国-1，u∞)λn（e，t）=0，因为e（Un∞-1，u∞) = . 使用PE∈Eλnj（E，t）<∞, a、 参见定理1证明中的步骤（ii），我们推导出∈E（Unj-1，Cc）λnj（e，t）→c→∞0，a.s，Cc={u∈ Uu>c，c.w}，c>0，c.w表示组件。自E起（Unj-1，uj）E（Unj-1，Cc）对于足够大的j，我们得到∈E（Unj-1，uj）λnj（e，t）→j→∞0，a.s，表示λn（uj，t）1A→j→∞Xe公司∈E（联合国-1，u∞)ψ（e，Un）-1，t+Tn-1，rn（t））1A=0，a.s，并证明λn（uj，t）→j→∞λn（u∞, t） ，a.s.此外，我们还有E[supn，sPeλn（E，s）]<∞, 参见定理1证明中的步骤（iv）。因此，我们得到E[supn，u，sλn（u，s）]<∞. 正弦λn（e，s）≥ ψ在假设3下，我们有Zn（t）≤ e-ψt，a.s.然后，我们可以应用支配收敛定理来证明Zr+Zn（t）λn（t，uj）dt→j→∞ZR+Zn（t）λn（t，u∞) dt，a.s.此外，我们有supjZR+Zn（t）λn（uj，t）dt≤ EZR+supje-ψtλn（uj，t）dt富比尼=ZR+e-ψtEsupjλn（uj，t）dt，带Esupjλn（uj，t）< ∞. 因此，我们可以使用条件支配收敛来显示ZR+Zn（t）λn（uj，t）dt | Fk≤r≤n-1.→j→∞EZR+Zn（t）λn（u∞, t） dt | Fk≤r≤n-1..最后，自从Fk≤r≤n-1.→k→∞Fr公司≤n-1，我们可以应用引理3来推导thatpnk→k→∞0，a.s.这就完成了证明。允许Tn=Tn-田纳西州-1b第n次跳跃与第n次跳跃之间的到达时间-第n个事件发生时的第1次跳跃。

让N∞= （T∞i、 X个∞i） 是引理1中构造的平稳过程，N=（Ti，Xi）是强度满足（2）的点过程。我们写了∞= （Q）∞, Q∞, S∞) （对应U=（Q，Q，S）），用于与N关联的订单簿状态∞（分别为N）。我们用λ表示∞（分别λ）N的强度∞（分别为N）。我们得到以下结果。引理8。在假设1、2、3和4下，过程（Un）n≥0是f-几何遍历的，参见[33]中的15.7，在这个意义上，存在r>1这样的thatsupx∈WXn公司≥1Exkf（联合国）- f（U∞n） 韩元< ∞.证据设Pn（x，A）是在集合A中的概率={（tk，xk）k≤0∈ Wxk=（nk、tk、bk、sk、~uk、uk、ak）、u∈ a} ，a∈ U、 对于U，由U上的离散拓扑生成的σ-代数，在n跳跃后，条件是x=（tk，xk）k≤0∈ W=（R+×E）N-. 让y∈ W、 过程U的平稳分布的Wewriteπ∞n=（Q∞n、 Q∞n、 S∞n） 和ταk表示U到集合αk={z的起始时间∈ Wz-k+1≤j≤0=y-k+1≤j≤0}. 使用Pn（x，A）的第一入口-最后出口分解，见[33]中的第8.2节，我们得到Pn（x，A）=αkPn（x，A）+nXj=1jXi=1ZUj公司-iu，αkZUix，αkαkPi（x，du）Pj-i（u，dv）αkPn-j（v，A）=αkPn（x，A）+nXj=1jXi=1ZUj公司-iu，αkZUix，αkαkPi（x，du）Pj-i（u，dv）αkPn-j（y，A）+nXj=1jXi=1ZUj公司-iu，αkZUix，αkαkPi（x，du）Pj-i（u，dv）|αkPn-j（v，A）-αkPn-j（y，A）|.（35）αkPn（x，A）=P[（Tk，Xk）k≤0=x，Un∈ A、 ταk≥ n] 和Uix，αk={z∈ αk；（zk）k≤i=x}。使用Ex[ταk]<∞ 对于所有x∈ S和[33]中定理10.2.1证明中使用的参数，我们推断平稳分布允许以下表示：π（A）=Ey[ταk]-1Ey[ταkXj=1'Un∈A] =π（αk）∞Xj=1αkPj（y，A）。（36）通过组合（35）和（36），我们得到p（x，A）- π（A）=αkPn（x，A）+αkP（x）* P（αk）- π（αk）*αkP（y）n（A）+π（αk）Xj≥n+1αkPj（y，A）+αkP（x）* P（αk）*αkP（αk）-αkP（y）无（A）。

（37）带* 两个序列之间的综合柯西积定义如下：[u（B）* v（C）]n（A）=nXi=1ZUiB，Cui（B，du）vn-i（u，A），（B、C、A）∈ （W） 带（un）n≥0和（vn）n≥0两个序列，例如un、vn：（W）→ R、 设f为引理6中定义的函数，π（f）=RUπ（du）f（u）<∞, Ex[f（Un）]=RUPn（x，du）f（u）和| Pn（x，.）-π| f=| Ex[f（Un）]- π（f）|。使用（37），我们有| Pn（x，.）- π| f≤ Ex[f（Un）1ταk≥n] +[αkP（x）* P（αk）- π（αk）]* tfn+π（αk）Xj≥n+1tfj+|αkP（x）* P（αk）* tfn |，（38），tfn=Ey[f（Un）1ταk≥n] 以及tfn（v）=（Ev[f（Un）1ταk≥n]-tfn）。要证明几何遍历性，我们必须显示supxxn≥1 | Pn（x，.）- π| frn<∞, （39）r>1。让我们采取行动∈ N*和延迟k（(R)n）∈ N与αkdepending on？N关联。使用（38），我们得到了？nXn≥1 | Pn（x，.）- π| frn≤\'\'nXn≥1Ex[f（Un）1ταk≥n] rn+(R)nXn≥1|αkP（x）* P（αk）- π（αk）* tfnrn |+π（αk）(R)nXn≥1Xj≥n+1tfjrn+nXn≥1[αkP（x）* P（αk）]* tfnrn=（i）+（ii）+（iii）+（iv）。误差项（i）可由“nXn”控制≥1Ex[f（Un）1ταk≥n] 注册护士≤Xn公司≥1Ex[f（Un）1ταk≥n] rn=ExταkXn=1f（Un）rn. （40）误差项（iii）可由π（αk）(R)nXn限定≥1Xj≥n+1tfjrn≤ π（αk）Xn≥1Xj≥n+1tfjrn≤π（αk）r- 1升级版ταkXn=1f（Un）rn. （41）现在我们转到错误项（iv）。我们有αkP（x）* P（αk）* tfn公司≤Xj公司≤n、 我≤j[ZUj-iu，αk×Uix，αk×WαkPi（x，du）Pj-i（u，dv）αkPn-j（dw）f（w），带αkPn-j（dw）=αkPn-j（v，dw）-αkPn-j（y，dw）|。利用方程（35）和（36），我们得到αkPn-j（dw）≤αkPn-j（v，dw）+αkPn-j（y，dw），Pj≤n、 我≤j[卢比-iu，αk×Uix，αk×WαkPi（x，du）Pj-i（u，dv）αkPn-j（v，dw）f（w）≤ 前任f（Un）rn< ∞,Pj公司≤n、 我≤j[卢比-iu，αk×Uix，αk×WαkPi（x，du）Pj-i（u，dv）αkPn-j（y，dw）f（w）≤ Ey公司f（联合国-j） 注册护士< ∞,自从αkPn-j→k→∞0，参见引理7，支配收敛定理确保αkP（x）* P（αk）* tfn公司→k→∞因此，存在k（\'n），使得αP（x）* P（α）* tfn公司≤ （(R)n）对于任何k≥\'k（\'n）。

因此，错误术语（iv）可以由“nXn”来表示≥1[αkP（x）* P（αk）]* tfnrn公司≤ （`n）r`n+1- 1r级- 这意味着我们必须选择（(R)n）<cr-1r？n+1-1具有ca正常数。最后，使用propertylimn→∞（u）* v） n=limn→∞un×limn→∞vn，（43）我们通过|(R)nXn控制误差项（ii）≥1.αkP（x）* P（αk）- π（αk）* tfnrn |≤Xn公司≥1|αkP（x）* P（αk）n（αk）- π（αk）| rnsupvEv公司ταkXn=1f（Un）rn.（44）此外，我们还有|αkP（x）* P（αk）n（αk）- π（αk）|=|αkP（x）* （P（αk）- π（αk））n（αk）- π（αk）Xi≥n+1αkPi（x，αk）|=|αkP（x）* （P（αk）- P（y））n（αk）+αkP（x）* （P（y）- π（αk））n（αk）- π（αk）Xi≥n+1αkPi（x，αk）|≤αkP（x）* |P（y）- P（αk）|n（αk）+αkP（x）* |P（y）- π（αk）|n（αk）+π（αk）Xi≥n+1αkPi（xu，αk），对于任何n∈ N、 使用方程式（43），我们得到'nXn≥1.|αkP（x）* P（αk）- π（αk）|n（αk）rn≤\'\'nXn≥1.αkP（x）* |Py（αk）- P（αk）|n（αk）rn+(R)nXn≥1.αkP（x）* |P（y）- π（αk）|n（αk）rn+π（αk）Xn≥1i≥n+1αkPi（x，αk）rn≤Xn公司≥1αkPn（x，αk）rnXn公司≥1个以上∈αk | Pn（y，αk）- Pn（w，αk）| rn+Xn公司≥1αkPn（x，αk）rnXn公司≥1 | Pn（y，αk）- π（αk）| rn+ π（αk）Xn≥1十一≥n+1αkPi（x，αk）rn=（1）+（2）+（3）。项（2）以（2）为界≤ 前任rτα苏比Xn公司≥1 | Pn（y，α）- π（α）| rn.因为Kendall定理确保了rταk< ∞ 和PN≥1 | Pn（x，αk）- π（αk）| rn<∞当且仅当SUPPEVrταk< ∞. 术语（1）主要由（1）组成≤ 前任rταkXn公司≥1个以上∈αk | Pn（w，αk）- Pn（y，αk）| rn.确保序列v（\'n）=P'nn≥1个以上∈αk | Pn（w，αk）- Pn（y，αk）| rnis bounded，the put a dependence k and'n.Let（(R)n）>0。通过遵循不等式（42）证明中使用的相同参数，存在k（\'n），因此对于任何k≥\'k（\'n），我们有\'nXn≥1个以上∈αk | Pn（y，αk）- Pn（w，αk）| rn≤ （`n）r`n+1- 1r级- 1、采取（(R)n）≤ cr公司-1r？n+1-1，我们得到（1）≤ csupxExrταk. 此外，术语（3）可由（3）支配≤ 前任rταk. 因此，我们推断（ii）≤ cEx公司rτα（1+supvXn）≥1 | Pn（v，α）- π（α）| rnsupvEv公司ταkXn=1f（Un）rn.

（45）通过组合不等式（40），（41），（44）和（45），当supxExPταkn=1f（Un）rn和supxExrταk都是有限的。自Ex起Pταkn=1f（Un）rn< ∞ 暗示Exrταk< ∞, 我们只需要证明ταkXn=1f（Un）rn< ∞.由于引理6，最后一个不等式得到了满足。引理9。在假设1、3和4下，过程U是遍历的。引理9的证明。为简单起见，我们为正常数写c、c和c，而忽略了任意随机变量X在初始状态X上的依赖性∞= （T∞i、 X个∞i） 是引理1中构造的平稳过程，N=（Ti，Xi）是一个强度满足（2）的点过程。我们写U∞= （Q）∞, Q∞, S∞) （相应的U=（Q，Q，S）），用于与N关联的orderbook状态∞（分别为N）。我们用λ表示∞（分别λ）N的强度∞（分别为N）。为了证明唯一性，我们需要证明N和N∞满足的夫妇∞supeE公司|λt（e）- λ∞t（e）|dt<∞,多亏了引理5。我们写f（t）=supeE|λt（e）- λ∞t（e）|对于任何t≥ 步骤（i）：对于任何γ=pq>1且p，q∈ N*和β使得β+γ=1。让我们首先验证ATF（t）≤ u（t）+g（t）gZt？h（t- s） f（s）ds, （46）u（t）=cE[| | Ut-U∞t | |]+cE库特-U∞tkβpβp[1+2B（t）]，g（t）=c（1+2B（t）），g（t）=tβ，\'h（t）=supe，u，xφe、 u、t、x和B（t）=sup0≤k≤nψ-1.黑色（t）方程（50）中定义了pγ和Bk（t）。量c、c和c表示正常数。我们有f（t）=E|ψ（e，Ut，t，rt）- ψ（e，U∞t、 t，r∞t）|≤ E|ψ（e，Ut，t，rt）- ψ（e，U∞t、 t，rt）|+ E|ψ（e，U∞t、 t，rt）- ψ（e，U∞t、 t，r∞t）|= （1） +（2），rt=rtφ（e，Ut，t- s、 Xs）DNS和r∞t=Rtφ（e，U∞t、 t型- s、 X个∞s） dN∞s、 让我们先来处理术语（2）。

使用假设4，我们有|ψ（e，U∞t、 t，rt）- ψ（e，U∞t、 t，r∞t）|≤ E|ψ（rt）-ψ（r）∞t）|≤ KE公司|rt公司- r∞t | | 1+rnt+r∞nt公司|≤ K（i）z}{E|rt公司- r∞t |ββ（ii）z}{E|1+rnt+r∞nt |γγ.术语（i）可以由|rt公司- r∞t |ββ≤ E|Ztφ（e、Ut、t- s、 Xs）dNs- φ（e，U∞t、 t型- s、 Xs）dN∞s |ββ≤ 2β-1βE|Ztφ（e、Ut、t- s、 Xs）dNs- φ（e，U∞t、 t型- s、 Xs）dNs |ββ+ 2β-1βEZt？h（t- s）dNs- dN∞sββ≤ 2β-1βE库特- U∞tkβ| Zth（e，t- s、 Xs）dNs |ββ+ 2β-1βZt？h（t- s） f（s）dsβ≤ 2β-1βE库特- U∞tkβpβpE|Zth（e，t- s、 Xs）dNs |βqβq+2β-1βZt？h（t- s） f（s）dsβ=cE库特- U∞tkβpβp+cZt？h（t- s） f（s）dsβ、 （47）h（s）=supe，u，xφ（e，u，s，x），~h（e，s，x）=min（α，1）supuφ（e，u，s，x）和min（α，1）表示可数空间u中两个元素之间的最小距离。数量e|Rth（e，t- s、 Xs）dNs |βq从那时起就有界|Zth（e，t- s、 Xs）dNs |βq≤ E|Zth（e，t- s、 Xs）dNs | qβ≤里程数∈P（q）X'X∈相对长度单位qkm×Z(-∞,t） 我mYi=1小时（e，t- si，xi）dNsiβ≤里程数∈P（q）X'X∈相对长度单位qkm×Z(-∞,t） mmYi=1h（e，t- si，xi）Eλsidsi公司q<∞.术语（ii）满意度|1+rnt+r∞n |γγ≤ 3γ-1γ1+E[| rnt |γ]γ+E[| r∞nt |γ]γ, （48）γ=pq和p，q∈ N*. 我们有[| rnt | pq]≤ E[| rnt | p]q=E[Ztφ（e、Ut、t- s、 Xs）dNsnp]q=里程数∈P（\'P）X'X∈相对长度单位(R)pkm×Z(-∞,t） mE“mYi=1’’φ（t- si，xi）dNsi#q、 （49）其中“φ（t，x）=supe，uφ（e，u，t，x）和“p=np”。使用（49）和Brascamp-Lieb不等式，wehaveE[| rnt | pq]≤里程数∈P（\'P）X'X∈相对长度单位(R)pkm×Z(-∞,t） mmYi=1英寸φ（t- si，xi）E[λsi]mdsiq=里程数∈P（\'P）X'X∈相对长度单位(R)pkmRm（t）q=Bk（t）q，（50），Rm（t）=R(-∞,t） mQmi=1？φ（t-si，xi）E[λsi]m+mdsiand Bk（t）=Pkm∈P（P）P（x）∈相对长度单位(R)pkmRm（t）。同样，我们也有∞新界| pq]≤ Bk（t）q.（51）利用不等式（48）和（50），我们推断（ii）验证|1+rnt+r∞n |γγ≤ 3γ-1γ（1+2 sup0≤k≤nψ-1.黑色（t）qγ）。（52）通过组合不等式（47）和（52），我们推导出（2）≤ 3γ-1γ总工程师库特- U∞tkβpβp+cZtg（t- s） f（s）dsβ1+2 sup0≤k≤nψ-1.黑色（t）qγ.

（53）利用定理1，我们得到supe，tE[supuψ（e，u，t，rt）]是有限的。因此，存在K，使得（1）≤ cE[| | Ut- U∞t | |]。（54）因此，使用方程（53）和（54），我们证明（46）。步骤（ii）：通过密度参数，存在连续的函数序列（up）p≥1，（gp）p≥1和（(R)hp）p≥1如此向上（t）→p→∞u（t）和u≤ 向上，总成（t）→p→∞g（t）和g≤ GPL和hpL→p→∞“手动”h≤\'\'马力。因此，我们有f（t）≤ 向上（t）+总成（t）GZt？hp（s）f（s）ds.再次使用密度参数，我们可以找到函数序列（fk）k≥1统一向f靠拢。通过使用子序列，我们始终可以认为FP（t）≤ 向上（t）+总成（t）GZt？hp（s）fp（s）ds,向上（t）=向上（t）+f-fp公司|∞. 利用文献[6]中的定理3和不等式（46），我们得到了fp（t）≤ vp（t）Fp（t）1+克H-1.Zt高压总成ds,H（s）=Rsdt1+G（t），vp（t）=max（G（≈up）（t），1），Fp（t）=max（G（gp）（t），1）和G（w）（t）=w（t）1+Ztw（s）hp（s）eRts（s）hpgpduds.通过将p发送到单位，我们推断出f（t）≤ v（t）F（t）1+克H-1.Zt？h（s）g（s）ds, （55）v（t）=max（G（u）（t），1）和F（t）=max（G（G）（t），1）。步骤（iii）：让我们证明rr+u（t）dt<∞. 由于B（t）是一致有界的，我们只需要证明（RR+E库特- U∞tk公司dt<∞RR+E库特- U∞tkβpβpdt<∞.因为0<ψ=infu，t，rsupeψ（e，u，t，r）≤ λn，我们有ZR+kUt- U∞tkdt公司=≤ EXn公司≥0千牛顿- U∞nkZTn+1TNT= EXn公司≥0千牛顿- U∞nkE[总氮+1- Tn | Fn]≤ EXn公司≥0千牛顿- U∞nkψ.利用引理8，我们得到了EPn编号≥0千牛顿-U∞nk公司< ∞ 这确保了ERR+kUt-U∞tkdt公司<∞. 通过使用类似的方法和以下事实≥0E坤-U∞nkβprn<∞ 当r>1时，见引理8，我们也有RR+E库特- U∞tkβpβpdt<∞.步骤（iv）：由于gis有界且RT'h（s）ds<∞, 函数F（t）和1+克H-1.Rt'h（s）g（s）ds也是有界的。此外，RR+u（t）dt<∞ 感谢上一步。因此，通过应用不等式（55），我们得到thatRR+f（t）dt<∞ 这就完成了证明。D、 3收敛速度引理10。

我们有以下误差估计：| | Pt（w，.）- π| | T V≤ Ke公司-Kt，w∈ W、 K>0和K>0时。引理10的证明。对于任意随机变量X，我们忘记了Ex[X]对初始状态X的依赖性。我们有| | Pt（w，.）- π| | T V≤ P[supe | Ns- N∞s | 6=0，s∈ （t，∞)]=1.- P【supeNs=N】∞ss∈ （t，∞)]= （i） 。利用引理4和Jensen不等式，我们得到（i）≤ 1.- e-R∞tf（s）ds，f（t）=supeE|λt（e）- λ∞t（e）|对于任何t≥ 使用不等式（55）和F的有界性1+克H-1.Rt'h（s）g（s）ds, 我们有（一）≤ cZ公司∞tu（t）dt，（56），具有ca正常数。现在让我们证明u（t）≤ 总工程师-αt，（57），αa为正常数。我们有- U∞tk]=E[kUN（t）- U∞N∞（t） k]≤ E[坤（t）- U∞N（t）k）+E[kU∞N（t）- U∞N∞（t） k）]。使用以下事实：≥1E[kUn-U∞nk]rn<∞, 存在α>0，使得E[kUn-U∞nk]≤Ae-αn.让我们用U表示∞,δtδ-转换过程定义如下：∞,δt=U∞t+δ。将引理9应用于过程U∞,δ、 我们还有supδPn编号≥1E[kU∞,δn- U∞nk]rn< ∞这确保了E[kU∞,δn- U∞nk]≤ Ae-αn.利用下面的引理11和平稳分布的唯一性，我们得到（t）t→t型→Eπ[T] andN公司∞（t） t型→t型→Eπ[T] ，a.s.因此，我们推断- U∞tk]≤ 总工程师-αt.（58）使用相同的论证线，我们也有e[kUt- U∞tkβp]βp≤ 总工程师-αt.（59）通过组合不等式（58）和（59）并使用u（t）的表达式，我们恢复不等式（57），从而确保（i）≤ 总工程师-αt。这就完成了证明。引理11。对于任何初始状态u∈ U、 过程Tnsatis fiespni=1锡→n→∞Eu[T] a.s.，具有u点过程的唯一平稳分布N.Proof。因为存在λ>0，使得inft，u，rPe∈Eλt（E，u，r）>λ，我们有E[Tn]≤任意n的λ≥ 1、因此，TN允许有限的平稳分布。利用[33]中的定理17.1.2，我们完成了证明。E命题2的证明和命题2的证明。

等式（9）的证明是对[12]中定理2的直接应用。由于（Un）是f-几何遍历的，参见引理8，（Yn）是g-几何遍历的且不依赖于代数，因此过程（Un，Yn）是▄f-几何遍历的，其中▄f（u，y）=f（u）+g（y）。设g和h是两个函数，使得g，h≤f，u（U，Y）的平稳分布和(R)v=v- Eu[v]对于任何函数v。通过遵循[33]中引理16.1.5的相同参数线，我们得到了| Eπ[\'h（Zn）\'g（Zn+k）]|≤ REπ[(R)f（Z）]rk，Zn=（Un，Yn），r<1，r为正常数。量Eπ[(R)f（Z）]以Emma 2为界。因此，Z是一个几何混合，而[7]中的定理19.1和19.2给出了结果。命题3的证明。利用引理11和命题3，这个结果的证明与文献[16]中定理4.2的证明是一致的。F平稳分布计算命题4的证明。让z∈ Z和Z∈ Z使得Z 6=Z。由于ζ在u下是静止的，所以我们有xz∈ZZAzu（dw）Pt（w，Az）=ZWu（dw）Pt（w，Az）=u（Az），t型≥ 0，（60）带Pt（w，.）ζ0，wt的概率分布从初始条件w开始，且z={（ws）s≤0∈ Wζ0，w=z}。SinceRAzu（dw）Pt（w，Az）=Pu[ζt=z，ζ=z]=Pu[ζ=z]Pu[ζt=z |ζ=z]和u（Az）=Pu[ζ=z]，数量π（z）=u（Az）在第5.1节中定义∈Zπ（Z）Pu[ζt=Z |ζ=Z]=π（Z），t型≥ 0，这也导致以下等式：Xz∈Zπ（Z）~Q（Z，Z）=0，Xz∈Zπ（Z）=1，其中Q（Z，Z）=limδ→0Pu[ζδ=z |ζ=z]δ。数量Q（z，z）满足Q（z，z）=limδ→0Pu[Uδ=z | U=z]δ=limδ→0Pu[{T≤ δ、 e类∈ E（z，z）}ζ=z]+δ=直线度δ→0Eu[P[{T≤ δ、 e类∈ E（z，z）}| F]|ζ=z]+δ=Eu[limδ→0P[{T≤ δ、 e类∈ E（z，z）}| F]δ|ζ=z]+limδ→0δ=Eu[Xe∈E（z，z）λ（E）|ζ=z]+limδ→0δ=Xe∈E（z，z）Eu[λ（E）|ζ=z]+limδ→0δ、 在哪里 是与间隔[0，δ]中至少发生两个事件的情况相关的错误项。自那时起∈EEu[λ（e）]是有限的，我们有 ≤ 具有ca正常数的cδ。

我们推导出▄Q（z，z）=Xe∈E（z，z）Eu[λ（E，u）]=Q（z，z）。（61）这就完成了证明。命题5的证明命题5的证明。我们写λu，us=Pe∈E（u，u）λs（E）和E（u，u）将订单从状态u移动到状态u的事件集。我们有nu，utt=Rtλsδsu，udst+Nu，ut-Rtλsδsu，udst. （62）自（λs）s≥0在'π和E'π[λs]<∞, [12]第X章定理2.1确保了λsδsu，udst→t型→∞E'π[λδu，u]=Xe∈E（u，u）E'π[λ（E）δu，u]=Xe∈E（u，u）E'π[λ（E）δu，u'u=u]P'π[u=u]=P'π[u=u]Xe∈E（u，u）E'π[λ（E）| u=u]=P'π[u=u]Q（u，u），a.s.（63）此外，由于Nu，ut-Rtλu，usds是鞅和sups≥0，u，uE[λu，us]<∞, 我们有NU，ut-Rtλsδsu，udst→t型→∞0，a.s.（64）因此，通过组合（62）、（63）和（64），我们可以→t型→∞P′π[U=U]Q（U，U），另一方面，我们有tut=Rtδsudst。（65）自（美国）s≥0在'π和E'π[δsu]<∞, [12]第X章定理2.1确保了δsudst→t型→∞因此，我们推导出Nu，uttu=Nu，uttut→t型→∞Q（u，u），a.s，完成证明。置信区间计算证明。通过将定理2应用于ηs=λsδsu，uan的序列，并使用基本不等式通过其整数部分btc来近似t，我们得到√t型Nu，utt- P'π[U=U]Q（U，U）L→ σW，（67），σ=Eu[（λδu，u）]+2Pk≥1Eu[λδu，uλkδku，u]和Wta标准布朗运动。类似地，通过使用相同的参数，我们还可以√t型图坦卡蒙- P'π[U=U]L→ σW，（68），σ=Eu[（δu）]+2Pk≥1Eu[δuδku]。使用（67）和（68），我们有95%的渐近概率p'π[U=U]Q（U，U）∈ [Nu，utt+1.96σ√t、 Nu，utt-1.96σ√t] P'π[U=U]-1.∈ [ttu+1.96σ√t×ttu，ttu-1.96σ√t×ttu]。（69）等式（69）确保了概率为90%的Q（u，u）∈ [（Nu，utt+1.96σ√t） （ttu+1.96σ√t×ttu），（Nu，utt-1.96σ√t） （ttu-1.96σ√t×ttu）]。H备注19证明。我们假设插入（分别消耗）强度λ+（分别λ-) 持续关注最佳出价限制Q。

Qveri的平稳分布πoldπold（q）=πold（0）（ρold）q，πold（0）=（1+∞Xq=1（ρold）q）-1，ρold=λ+λ-, （70）带q≥ 1 Q的大小。我们向市场添加了一种新的试剂，其插入（分别消耗）强度λ+，a（分别λ-,a） 也是常数。新市场的平稳分布πnew满足πnew（q）=πnew（0）（ρnew）q，πnew（0）=（1+∞Xq=1（ρ新）q）-1，ρnew=λ++λ+，aλ-+ λ-,a、 （71）带q≥ 1 Q的大小。使用方程（70）和（71），我们可以写出ρnew=ρold（1+R（λ，λa）），πnew（0）=1 +∞Xq=1（ρold）q（1+R（λ，λa））q-1，（72），λ=（λ+，λ-), λa=（λ+，a，λ-,a） R（λ，λa）=（1+λ+，aλ+/（1+λ-,aλ-) -1、我们希望新引入的代理能够降低旧市场的波动性，旧市场的波动性在一开始读作πnew[η]≤ Eπold[η]。（73）使用方程（72），我们可以用以下方式重新表示不等式（73）：Xq（ρold）q1+R（λ，λa）q1+P∞j=1（ρold）j（1+R（λ，λa））jη（q）≤Xq（ρold）q1+P∞j=1（ρold）jη（q），（74）对于任何函数η。